5.3.1简单的轴对称图形
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5.3《简单的对称轴图形》 课件(北师大版) (8)
O A D B
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 解：ＤＥ＝ＤＣ ∵ 在Rt⊿ABC中（已知） ∴
E
A D B C
∠C=90°(垂直定义) DE⊥AB（已知）
∵
又∵BD是∠B的平分线（已知）
∴DE=DC(角平分线的性质)
想一想
1、什么叫轴对称图形和轴对称？
答：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁
的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 这条直线叫做对称轴。 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们 能完全重合，那么称这两个图形成轴对称。这条 直线就是对称轴。
2、轴对称与轴对称图形的联系和区别 是什么？
做一做
（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB 沿角的两边剪下,
CE=CD 角的平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等。
B
（1）角是轴对称图形吗？ 如果是，请找出它的 对称轴； （2）在上述的操作过程中， 你发现了哪些线段相等？ 说说你的理由。 在折痕上另取一点， 再试一试。 O
B E C C A A
下面用我们学过的知识证明发现： 如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AC， OD⊥AB 。则OE=OD吗？请说明理由。 答：相等。 ∵ AO平分∠BAC ∴ ∠EAO= ∠DAO ∵ OE⊥AB,OD⊥AC ∴ ∠AEO= ∠ADO ∠AEO= ∠ADO ∴由 ∠EAO= ∠DAO AO=AO 得⊿ AEO≌⊿ ADO(AAS) ∴OE=OD
将这个角对折，使角的两边重合。
（2） 在折痕(即角平分线) 上任意取一点C;
B E C C B
(3) 过点C折OA边的垂线，
得到新的折痕CD， 其中点D是折痕与OA 的交点， 即垂足。 (4) 将纸打开，新的折痕 与OB 的交点为 E 。
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 解：ＤＥ＝ＤＣ ∵ 在Rt⊿ABC中（已知） ∴
E
A D B C
∠C=90°(垂直定义) DE⊥AB（已知）
∵
又∵BD是∠B的平分线（已知）
∴DE=DC(角平分线的性质)
想一想
1、什么叫轴对称图形和轴对称？
答：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁
的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 这条直线叫做对称轴。 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们 能完全重合，那么称这两个图形成轴对称。这条 直线就是对称轴。
2、轴对称与轴对称图形的联系和区别 是什么？
做一做
（1）在一张纸上任意画一个角∠AOB 沿角的两边剪下,
CE=CD 角的平分线上的点 到这个角的两边的距离 相等。
B
（1）角是轴对称图形吗？ 如果是，请找出它的 对称轴； （2）在上述的操作过程中， 你发现了哪些线段相等？ 说说你的理由。 在折痕上另取一点， 再试一试。 O
B E C C A A
下面用我们学过的知识证明发现： 如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AC， OD⊥AB 。则OE=OD吗？请说明理由。 答：相等。 ∵ AO平分∠BAC ∴ ∠EAO= ∠DAO ∵ OE⊥AB,OD⊥AC ∴ ∠AEO= ∠ADO ∠AEO= ∠ADO ∴由 ∠EAO= ∠DAO AO=AO 得⊿ AEO≌⊿ ADO(AAS) ∴OE=OD
将这个角对折，使角的两边重合。
（2） 在折痕(即角平分线) 上任意取一点C;
B E C C B
(3) 过点C折OA边的垂线，
得到新的折痕CD， 其中点D是折痕与OA 的交点， 即垂足。 (4) 将纸打开，新的折痕 与OB 的交点为 E 。
轴对称图形有哪些
轴对称图形有哪些
轴对称图形有:正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形.
1、正方形:是特殊的平行四边形,两组对边分别平行且相等;四条边都相等;对角线互相垂直平分;具有不稳定性(易变形);
2、长方形:有一个角是直角的平行四边形叫做长方形;两条对角线相等;对边平行且相等;具有稳定性;
3、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;顶角是直角;底边上的高等于腰上的高;等腰三角形的性质:两条边相等的三角形是等边三角形;等腰三角形的判定:在同一个三角形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
4、等边三角形:三条边都相等的三角形叫做等边三角形;
5、等腰梯形:有一个角是直角的梯形叫做等腰梯形;等腰梯形的判定:在同一个梯形中,如果有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等;
6、菱形:具有一个角为直角的平行四边形叫做菱形;
7、圆:圆是一种特殊的平行四边形,它的定义域是所有的实数;
8、扇形:由圆心角的角度和弧度决定的图形叫做扇形;
9、圆锥:由圆锥面、底面圆和母线组成的几何体叫做圆锥;10、球:在地球表面,由坚硬的岩石组成的天然形体叫做球;11、椭圆:定义:过焦点的圆叫做椭圆;12、双曲线:定义:过焦点的双曲线;13、抛物线:定义:与x 轴有两个交点的曲线叫做抛物线;14、直线:无限长的,平行于x 轴y 轴的线段叫做。
七年级下册数学 5.3.1 等腰三角形的性质经典课件
A’
居民区B
4.如图，在Rt△ABC中，BD是 ∠B的平分线，DE⊥AB ,垂足 为E.DE与DC相等吗？为什么？B
EA D
C
M EP
C
F
A
B
N
2.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向 居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短？
街道
D
C
A
B E
3. 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向 居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短？
居民区A 街道 D C
你能用折纸的方法折出角的对称轴吗？
O
D
E
C
A
B
在折痕（即角平分线）上任意取一点C；
你能用折纸的方法折出CD和CE吗？
CD与CE是否相等？
结论：角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等.
二、合作探究 C
A
B
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CO与AB有怎样的位置关系？
AO与BO相等吗？
垂直平分线（简称中垂线）
在折痕上任意取一点D，沿DA将纸折叠；
D AA(B(A)B()BA) (BA)(B) OA(BA) (BA)A(B(B))
D
A
O
B
把纸展开，得到折痕DA和DB.
DA与DB相等吗？
结论：线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点 的距离相等.
三、巩固练习
1. MN是AB的垂直平分线，
EF是BC垂直平分线.PA与PC是否 相等，为什么？
5.3.1 等腰三角形的性质
教学目标
1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一 步体会轴对称的特征，发展空间观念.
居民区B
4.如图，在Rt△ABC中，BD是 ∠B的平分线，DE⊥AB ,垂足 为E.DE与DC相等吗？为什么？B
EA D
C
M EP
C
F
A
B
N
2.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向 居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短？
街道
D
C
A
B E
3. 如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向 居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短？
居民区A 街道 D C
你能用折纸的方法折出角的对称轴吗？
O
D
E
C
A
B
在折痕（即角平分线）上任意取一点C；
你能用折纸的方法折出CD和CE吗？
CD与CE是否相等？
结论：角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等.
二、合作探究 C
A
B
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CO与AB有怎样的位置关系？
AO与BO相等吗？
垂直平分线（简称中垂线）
在折痕上任意取一点D，沿DA将纸折叠；
D AA(B(A)B()BA) (BA)(B) OA(BA) (BA)A(B(B))
D
A
O
B
把纸展开，得到折痕DA和DB.
DA与DB相等吗？
结论：线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点 的距离相等.
三、巩固练习
1. MN是AB的垂直平分线，
EF是BC垂直平分线.PA与PC是否 相等，为什么？
5.3.1 等腰三角形的性质
教学目标
1、经历探索简单图形轴对称性的过程，进一 步体会轴对称的特征，发展空间观念.
5.3.1 简单的轴对称图形
2.利用圆规 你的方法是________________________
当堂检测
1.在等腰Δ ABC 中，AB=AC 顶角∠A=100°那么底角∠B=_______∠C =_______ . 2. 在△ABC 中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______ 3. 在等腰三角形△ABC 中，有一个角为 50°，那么另外两个角分别是________________ 4.如图，在△ABC 中，AC=BC 时， (1)因为 CD⊥AB 所以∠ ____= ∠_____;____=____ (2) 因为 CD 是中线 所以____⊥____; ∠_____=∠_____ (3) 因为 CD 是角平分线 所以____ ⊥____;_____=____
学
年级：七年级 科目：数学
案
第 1 课时 编写人：周峰 石宏
章节：5.3.1 简单的轴对称图形
一、学习目标：
1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2. 探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发 展空间观念
A
尝试它的几何语 言。
B
D
C
第三环节
知识延伸
1．等边三角形有_____条对称轴？分别是___________________________ 2. 你能发现等边三角形的哪些特征？
第四环节
知识逆用
你有哪些方法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流。 1. 折纸：将长方形纸片对折，沿对角线折叠，再沿折痕展开。 与你的同伴交流 交流。
归纳：等腰三角形的特征： ①_________________________________________ ②________________________________________________________________ ③__________________________________________ 三线合一的基本用法： 如图，在△ABC 中，AB=AC 时， (1)因为 AD⊥BC 所以∠ ____= ∠_____;____=____ (2) 因为 AD 是中线 所以____⊥____; ∠_____=∠_____ (3) 因为 AD 是角平分线 所以____ ⊥____;_____=____
初中数学 轴对称图形有哪些常见的例子
初中数学轴对称图形有哪些常见的例子
轴对称图形是指一个图形中存在一条直线，将图形分成两个完全对称的部分。
以下是一些常见的轴对称图形的例子：
1. 正方形：正方形具有四条对称轴，分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。
正方形沿着这些轴可以分成四个完全对称的部分。
2. 长方形：长方形具有两条对称轴，分别是水平轴和垂直轴。
长方形沿着这些轴可以分成两个完全对称的部分。
3. 圆：圆具有无数条对称轴，其中最常见的是任意直径线都是圆的对称轴。
圆沿着直径线可以分成两个完全对称的半圆。
4. 三角形：等腰三角形具有一条对称轴，即过顶点和底边中点的垂直轴。
等腰三角形沿着这条轴可以分成两个完全对称的部分。
5. 矩形：矩形具有两条对称轴，分别是水平轴和垂直轴。
矩形沿着这些轴可以分成两个完全对称的部分。
6. 心形：心形具有一条对称轴，即心形的中轴线。
心形沿着这条轴可以分成两个完全对称的部分。
这些是常见的轴对称图形的例子，它们在轴对称线上都有明显的对称性。
当我们绘制或观察这些图形时，可以通过轴对称性来帮助我们更好地理解它们的性质和特点。
希望以上内容能够帮助你了解常见的轴对称图形。
如果你还有其他问题，请随时提问。
北师大版七年级数学下册 5.3简单的轴对称图形1
(1)若∠A=50°，则∠B=______°，∠C=______°；
(2)若∠B=45°，则∠A=______°，∠C=______°；
(3)若∠C=60°，则∠A=______°，∠B=______°；
(4)若∠A=∠B，则∠A=______°，∠C=______°。
1、有两边相等的三角形是等腰三角形，它是_______图形。
（2）等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是_______．
8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAC和∠ADC的度数。
A
B
C
D
课后反思：
例3、ABC是等边三角形，AE是它的高，AB=5，求∠BAE的度数和BE的长.
三、当堂检测：
1．等腰三角形的一腰为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）
A．13；B．14；C．15；D．16．
2、如图（7），△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
3．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果
∠BAF=60°，那么∠DAE=_________．
四、总结反思：
(1)等腰三角形和等边三角形的轴对称性质
(2)三线合一
五、课后练习：
1.等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．
2．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．
3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____
课题：5.3.1简单的轴对称图形（一）
A
B
C
图（2）
A
B
C
图（5）
学习目标：1.等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质；
(2)若∠B=45°，则∠A=______°，∠C=______°；
(3)若∠C=60°，则∠A=______°，∠B=______°；
(4)若∠A=∠B，则∠A=______°，∠C=______°。
1、有两边相等的三角形是等腰三角形，它是_______图形。
（2）等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是_______．
8.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAC和∠ADC的度数。
A
B
C
D
课后反思：
例3、ABC是等边三角形，AE是它的高，AB=5，求∠BAE的度数和BE的长.
三、当堂检测：
1．等腰三角形的一腰为6，底边长为4，则这个等腰三角形的周长为（）
A．13；B．14；C．15；D．16．
2、如图（7），△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
3．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果
∠BAF=60°，那么∠DAE=_________．
四、总结反思：
(1)等腰三角形和等边三角形的轴对称性质
(2)三线合一
五、课后练习：
1.等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．
2．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．
3．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____
课题：5.3.1简单的轴对称图形（一）
A
B
C
图（2）
A
B
C
图（5）
学习目标：1.等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质；
北师大版数学七年级下册《简单的轴对称图形第1课时》教学课件
CD
随堂练习
6.已知AB＝AC，AD＝AE，且点B，D，E，C在同一直线上，求证： BD＝EC． 证明：证:1：作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BH＝CH，DH＝EH． ∴BH－DH＝CH－EH． 即BD＝EC．
随堂练习
证法2：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵AB＝AC， ∴△ADB≌△AEC，∴BD＝EC．
随堂练习
2.（1）一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为___1_0____ （2）一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为_1_0_或___1_1 （3）已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm, 求这个等腰三角形的各边长.
解：设三角形的底边长为xcm,则其腰长为(x+2)cm，根据题意得： 2(x+2)+x=16 解得 x=4
A
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，
BD＝CD，
AD＝AD，
B
D
C
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC．
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．
探究新知
几何语言表示：
在△ABC中，
（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
A
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
B
A
E DC
课堂小结
1．等腰三角形的性质 2．等边三角形的概念及性质
再见
A．65°或50° B．80°或40° C．65°或80° D．50°或80°
（3）如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ C ）．
5.3 简单的轴对称图形(1)
20°
.
数学
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名师点拨:
(1)若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况
进行讨论计算;
(2)等腰三角形的顶角可以是直角、钝角或锐角,而底角只能是
锐角.
数学
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知识点三 等边三角形的定义和性质
1.定义:三边都相等的三角形是 等边三角形 ,也叫正三角形.
2.性质:等边三角形是特殊的等腰三角形,它除了具有等腰三角
等腰三角形的 顶角 ,腰与底边的夹角叫做等腰三角形的
底角
.
2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角平分
线所在的直线;②等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、
底边上的中线重合(简称“ 三线合一 ”).
数学
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▶▶ 典型例题
【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点
腰三角形的个数是
3
.
数学
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三、解答题
1.如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD为∠BAC的平分线,且
∠2=36°,BD=2,求∠BAC,∠B的度数及BC的长.
解:因为AD为∠BAC的平分线,∠2=36°,
所以∠1=∠2=36°,∠BAC=2∠2=72°.
又因为AB=AC,所以AD⊥BC,BD=CD,
解:因为AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
所以BD=CD.
因为△ABC的周长为16,
1
所以AB+BD= ×16=8.
2
因为△ABD的周长为12,所以AD=12-8=4.
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6.如图,A,B是直线l同侧的两点.请在直线l上找一点C,使得
AC+CB最小,并说明理由.
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B. 某一条边上的中线.
C. 平分一角和这个角的对边的直线. D. 某一个角的平分线.
5、等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数 为 (A)
A. 120° B. 130° C. 150° D. 160° 6、等腰三角形的周长为80厘米，若以它的底边 为边的等边三角形周长为30厘米，则该等腰三角 形的腰长为 （ B ） A. 25厘米 B. 35厘米 C. 30厘米 D. 40厘米
煤气主管道 ） ）
解决：
A小区
B小区
P
煤气主管道
同学们，学了这节课你最想说什么？
认识了等腰三角形和等边三角形 1等腰三角形是轴对称图形， 等腰三角形“三线合一” 等腰三角形的两个底角相等。 2如果一个三角形有两个角相等， 那么它们所对的边也相等。
信心源自于努力
在Δ ABC中,
探究发现
因为 AD是角平分线,
所以∠BAD=∠CAD。
A
在Δ ABD和Δ ACD中,
因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
所以Δ ABD≌Δ ACD
所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90˚
B
D
C 所以AD是Δ ABC的角平分线、底边上
的中线、底边上的高。
1.等腰三角形是轴对称图形
按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开 .
通过做一做，你有什么发现？
等腰三角形是轴对称图形，请找出它的对称轴.
腰 底角
顶 角 底角
腰
底边
在等腰三角形中，画出顶角的 平分线、底边上的中线和高线， 你又发现了什么？
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线、底边上的高重合（也称为“ 三线合一”）
义务教育教科书（北师）七年级数学下册
第五章 生活中的轴对称
认识等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
腰 底角
顶 角
底角
腰
底边
E
如右图，在△DEF中，DE=DF,请问：
哪些边是腰？ 底边是哪条边？ 底角是哪些角？ 顶角是哪个角？
D
F
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。 2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 底边上的高所在直线呢？ 4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？
Байду номын сангаас
认识等边三角形 三边都相等的三角形是等边三角形 也叫正三角形
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴 （2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下 试试！
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形.
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（“三线合一”）， 它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 等边三角形共有三条对称轴.
7、已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并 且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边 长. 解：设三角形的底边长为x cm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意得：
2(x+2)+x=16
解得 x=4
所以，等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm.
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）. 现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向 这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所 用管道最短? B 小区 A小区
2.等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高重合（也 称“三线合一”），它们所在的直 线都是等腰三角形的对称轴。 B 3.等腰三角形的两个底角相等。
A
1 2
C D
议 一 议
如果一个三角形有 两个角相等，那么这两个 角所对的边也相等吗？
如果一个三角形有两个角相 等，那么它们所对的边也相等。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°.
想一想
1.如图，是由大小不等 的等边三角形组成的图案 ，请找出它的对称轴。
2、如图，P、Q是△ABC边上的两点，且 BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
A
B 3、P124
P 随堂练习
Q
C
4、如果ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一 定是（ ） C A. 某一条边上的高.