存在性问题_专题
中考数学专题复习二次函数——存在性问题的探究
(1)根据这个函数图象，你能求出B点的坐标吗？
(2)若抛物线过A（-5，0）、B（-1，0）C（0，5）三点. 则函数的解析式为_____________
(3)若把（2）中所求的抛物线先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，则平移后所得的抛物线解析式为_____________
(4)求出平移后抛物线与坐标轴的交点坐标？
下面我们将从面积、相似、最值、形状四个角度来展开对存在性问题的学习。
例题学习归纳方法
已知点P是抛物线y= x2-4x+3上的动点，在抛物线上是否存在点P，使S△ABP=1/2S△ABC
若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由
设计意图：通过例题学习，希望对此类问题的求解，探究起到一个示范作用。且通过此类问题提炼出存在性问题的一般解决步骤。
变式练习1：点P是x轴上的动点，在x轴上是否存在点P(不与O 点重合），使△APC与△AOC相似
意图：运用一般步骤，落实一般步骤，提高学生分析问题，解决问题的能力。
变式练习2：点P是抛物线对称轴上的动点，在抛物线对称轴上是否存在点P，使△APC周长最小
设计意图：巩固和提升一般步骤，进一步发展学生思维
拓展提升：点P、Q分别是对称轴和抛物线上的两个动点，在抛物线对称轴与抛物线上是否分别存在点P，Q，使A、B、P、Q四点组成一平行四边形（画出图形，求出P、Q坐标即可）
备用图形
作业设计：点P是抛物线对称轴上的动点，在抛物线对称轴上是否存在点P，|PC-PA|最大
数列中的存在性问题 经典
专题：数列中的存在性问题 一、单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{ n a }的前n 项和为 n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b +-=0，问是 否存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ， ∵n S =235n n +， ∴当n =1时，则 1a = 1 S =8， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +， 当n =1适合， ∴ n a =62 n +， 又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164， ∴数列{n b }是首项为8，公比为1 64的等比数列， ∴n b = 118( )64n -=962n -， 则 log n c n a b += 9662log 2n c n -++= 62(96)log 2a n n ++-= 6(1log 2)29log 2 a a n -++， 又∵对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ， ∴ 6(1log 2) a -=0，解得c =2， ∴M = 29log 2 a +=11， ∴存在常数c =2使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M =11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进
二次函数与几何图形综合题 类型5 探究角度数量关系的存在性问题试题
类型5 探究角度数量关系的存在性问题 1．(2015·南宁)在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y ＝ax 2(a>0)上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限． (1)如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB ＝90°，且AB ＝2时，求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积； (2)如图2所示，在(1)所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，A ，B 两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由； (3)在(2)的条件下，如图3，若直线y ＝－2x －2分别交直线AB ，y 轴于点P ，C ，直线AB 交y 轴于点D ，且∠BPC＝∠OCP，求点P 的坐标． 解：(1)设直线AB 与y 轴交于点E ， ∵AB 与x 轴平行，根据抛物线的对称性有AE ＝BE ＝1. ∵∠AOB ＝90°，∴OE ＝12 AB ＝1. ∴A(－1，1)，B(1，1)． 把x ＝1，y ＝1代入y ＝ax 2，得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2，A ，B 两点的横坐标的乘积为x A ·x B ＝－1. (2)x A ·x B ＝－1为常数，过点A 作A M⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ， ∴∠AMO ＝∠BNO＝90°. ∴∠MAO ＋∠AOM＝∠AOM＋∠BON＝90°. ∴∠MAO ＝∠BON.∴△AMO∽△ONB. ∴AM ON ＝OM BN ，即OM·ON＝AM·BN. 设A(x A ，y A )，B(x B ，y B )， ∵A(x A ，y A )，B(x B ，y B )在y ＝x 2图象上， ∴y A ＝x 2A ，y B ＝x 2B .∴－x A ·x B ＝y A ·y B ＝x 2A ·x 2B . ∴x A ·x B ＝－1为常数． (3)设A(m ，m 2)，B(n ，n 2)，由(2)可知mn ＝－1. 设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b ，联立? ????y ＝kx ＋b ，y ＝x 2，得x 2－kx －b ＝0. ∵m ，n 是方程的两个根，∴mn ＝－b.∴b＝1. ∵直线AB 与y 轴交于点D ，则OD ＝1. 易知C(0，－2)，OC ＝2，∴CD ＝OC ＋OD ＝3. ∵∠BPC ＝∠OCP，∴PD ＝CD ＝3. 设P(a ，－2a －2)，过点P 作PG⊥y 轴于点G ，则PG ＝－a ，GD ＝OG －OD ＝－2a －3. 在Rt △PDG 中，由勾股定理得：PG 2＋GD 2＝PD 2， 即(－a)2＋(－2a －3)2＝32，整理得5a 2＋12a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝－125 . 当a ＝－125时，－2a －2＝145 ，
高一B10：任意性与存在性问题综合
类型一 “x ?，使得()()f x g x >”与“x ?，使得()()f x g x >”的 (1)x ?，使得()()f x g x >，只需()()()min min 0h x f x g x =->????. (2)x ?，使得()()f x g x >，只需()()()max max 0h x f x g x =->????. 类型二 “若1122x D x D ?∈?∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ?∈?∈，，使 ()()12f x g x ＝”的辨析 (1) 1122x D x D ?∈?∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数()f x 在1D 上的值域A 与()g x 在2D 上的值域B 的交集不是空集，即A B ≠?，如图③.其等价转化的目标是两个函数有 相等的函数值． (2) 1122x D x D ?∈?∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数()f x 在1D 上的值域A 是()g x 在2D 上的值域B 的子集，即A B ?，如图④.其等价转化的目标是函数()y f x =的值域都在函数()y g x =的值域之中． 说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影． 类型三()(),f x g x 是闭区间D 上的连续函数，“12,x x D ?∈，使得()()12f x g x >”与“12,x x D ?∈，使得()()12f x g x >”的辨析 (1) ()(),f x g x 是在闭区间D 上的连续函数且12,x x D ?∈，使得()()12f x g x >，等价于()()min max f x g x >.其等价转化的目标是函数()y f x =的任意一个函数值均大于函数 ()y g x =的任意一个函数值．如图⑤.
Peano定理解的存在性定理的应用主讲范进军
第二讲 Peano 定理（解的存在性定理）的应用 （主讲：范进军） 例 利用 Peano 存在定理证明如下隐函数存在定理： 设D 是空间 n R R ′ 内的一个区域，函数 :?(,)(,) n F D R t x F t x ?? 是连续可微的， 而且满足条件 00 (,)0 F t x = 和 00 det{(,)}0, x F t x 1 其中初值 00 (,) t x D ? 。 则方程 (,)0 F t x = 确定一个满足条件 00 () x t x = 的隐函数 () x x t = 。 证明 由条件 00 det{(,)}0 x F t x 1 （其中 00 (,) t x D ? ）知，存在充分小的矩形区域 { } 00 (,):||,||||(,0) n Q t x R R t t a x x b a b =?′-￡-￡> , 使得当(,) t x Q ? 时矩阵 00 (,) x F t x 是可逆的. 因此函数 1 (,){(,)}(,) x t f t x F t x F t x - =- 在区域Q 上是连续的。 根据 Peano 定理知，初值问题 00 (,), () dx f t x dt x t x ì = ? í ? = ? 存在一个局部解 00 (),[,](0) x t t t h t h h j =?-+> 。 从而 1 () {(,())}(,()) x t d t F t t F t t dt j j j - =- ， 0 || t t h -￡ 。 它等价于 () (,())(,()) 0 t x d t F t t F t t dt j j j += ， 0 || t t h -￡ , 即 (,()) 0 dF t t dt j = ， 0 || t t h -￡ 。
中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略
第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且0 45=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为 “一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角” 相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B = ∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2；
A 图1-2-2 3.tan α=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似 ”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（ *） DAC DEA →DA 2=DC ?DE →DG 2+AG 2=DC ?DE 定 定 定 定 定 定 定 定 A A A 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8
人教版九年级数学中考第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离、面积和角度
第二轮复习之函数图像上点的存在性问题 中的距离、面积与角度 中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题： 初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类： ① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3） ⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）． P d O 图1图2P 2 P 1 l d d 图3 角平分线 角平分线 角平分线 角平分线 图4 I 3I 2 I 1 I 二、线段最值问题： 题型一： 已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆 心，线段AB 为半径作圆， A ⊙交直线AC 于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -． 点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小． 题型二： 在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点． 题型三： 直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点 A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求． 题型四： 直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一 题型一：存在问题中的距离 B 1B 2 C B A A' B P A l O l 1l 2 Q P B' A'B A O B A P 2 P 1P l 2 l 1
任意性与存在性问题探究
函数中任意性和存在性问题探究 2011-12-22 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 【例题1】：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设3 2 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下：
2017年数学中考专题《存在性问题》
2017年数学中考专题《存在性问题》 题型概述 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)， ,90OA OC AOC =∠=?Q ， 45OCA OAC ∴∠=∠=?. 190ACP ∠=?Q , 11 904545MCP CPM ∴∠=?-?=?=∠. 1MC MP ∴=.
中考数学复习：二次函数角度的存在性问题
中考数学复习：二次函数角度的存在性问题 【例1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A 、(4,0)B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ； （1）求抛物线的表达式； （2）求证：CAO BCO ∠=∠； （3）若点P 是抛物线上的一点，且PCB ACB BCO ∠+∠=∠，求直线CP 的表达式． 【参考答案】（1）215222y x x = -+； （2）证明略；（3）4 23 y x =-+或2y =． 思路点拨 1．设求抛物线的交点式比较简便． 2．第（2）题求两个锐角的正切值相等，可以得到两个锐角相等． 3．第（3）题先把3个角的关系，转化为∠PCB ＝∠2，再按点P 与CB 的位置关系分两种情况讨论． 满分解答 （1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (4, 0)两点，所以y ＝a (x －1)(x －4)． 代入点C (0, 2)，得1 2a = ． 所以抛物线的表达式为1(1)(4)2y x x =--＝215 222x x -+． （2）如图2，tan ∠CAO ＝OC OA ＝2．如图3，tan ∠BCO ＝OB OC ＝4 2 ＝2，所以∠CAO ＝∠BCO ． 图2 图3 （3）如图2，图3，由于∠CAO ＝∠BCO ，根据等角的余角相等，得∠1＝∠2． 因为∠PCB ＋∠ACB ＝∠BCO ，所以∠PCB ＝∠BCO －∠ACB ＝∠1＝∠2． ∠PCB 存在两种情况： ①如图4，当点P 在CB 的右侧时，由∠PCB ＝＝∠2，得CP //x 轴．
此时直线CP 的解析式为y ＝2． ②如图5，当点P 在CB 的左侧时，设CP 与x 轴交于点D ． 由∠PCB ＝∠2，得DC ＝DB ． 设D (x , 0)，根据DC 2 ＝DB 2 ，列方程x 2 ＋22 ＝(4－x )2 ．解得32x =．所以D 3 (,0)2 ． 由C (0, 2)、D 3 (,0)2，得直线CP 的解析式为4 23 y x =- +． 图4 图5 图6 考点伸展 如果第（3）题的条件不变，求点P 的坐标． 第一种情形，如图4，当CP //x 轴时，点P 与点C 关于抛物线的对称轴5 2 x =对称，所以P (5, 2)． 第二种情形，如图6，设P 21 5 (,2)2 2 x x x - +． 作PE ⊥y 轴于E ，那么OD CO EP CE = ．所以23 22152(2)22 x x x =--+． 解得x ＝0，或73x =．所以P 710 (,)39 -． 【例2】已知在直角坐标系中，抛物线2 83y ax ax =-+(0)a <与y 轴交于点A ，顶点为D ，其对称轴 交x 轴于点B ，点P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧； （1）当 AB BD =时（如图），求抛物线的表达式； （2）在第（1）小题的条件下，当DP ∥AB 时，求点P 的坐标； （3）点G 在对称轴BD 上，且1 2 AGB ABD ∠= ∠，求△ABG 的面积． 【参考答案】（1）2138y x x =- ++； （2）1 (10,)2 ；（3）10或22． 思路点拨 1．抛物线的解析式中隐含了对称轴（点B ）和点A 的坐标，根据AB ＝BD 求出点D 的坐标，再代入解析式求待定系数a ．
任意性和存在性的综合问题
任意性和存在性的综合问题： 1.已知函数,其中m ,a 均为实数． (1)求的极值；(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值；(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得 成立,求的取值范围． 2.设2()()x f x x ax b e =++（1）若2,2a b ==-，求()f x 极大值（2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，用a 表示b ，并确定()f x 的增区间（3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+，若[]12,0,4x x ?∈使得12()()1f x g x -<成立，求a 的取值范围。（若将""?改成""?呢？） 变式训练： 若2()25f x x ax =-+在(],2-∞上是减函数，且[]12,1,1x x a ?∈+时总有12()()4f x f x -≤，求a 的范围。 e ()ln ,()e x x f x mx a x m g x =--=()g x 1,0m a =<12,[3,4]x x ∈12()x x ≠212111()()()() f x f x g x g x -<-a 2a =0(0,e]x ∈(0,e]1212,()t t t t ≠120()()()f t f t g x ==m
3.函数()ln f x x a x =-，（1）求函数的单调区间（2）若0a <，(]12,0,1x x ?∈且12x x ≠，1212 11()()4f x f x x x -<-恒成立，求a 的取值范围 (变式训练)已知函数f(x)＝(a ＋1)lnx ＋ax 2＋1.(1) 讨论函数f(x)的单调性； (2) 设a<－1.如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围． 4.已知2 (),()ln a f x x g x x x x =+=-，若对[]12,1,x x e ?∈都有12()()f x g x ≥成立，求a 的范围。 5.已知'()ln (1)12x f x f x =-+ （1）求'(2)f （2）求()f x 的单调区间和极值（3）1a ≥，22()325g x x ax a =-+-，若 对()00,1x ?∈，总存在()10,2x ∈，使得10()()f x g x =成立，求a 的范围。
解的存在唯一性
解的存在唯一性定理证明及其研究 专业名称：数学与数学应用 组长：赵亚平 组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲 指导老师：岳宗敏
解的存在唯一性定理证明及其研究 摘要 线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。 关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组 （一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法 存在唯一性定理 考虑初值问题 ),(y x f dx dy = 00)(y x y = （1） 其中f(x,y)在矩形区域R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2） 上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普
希茨常数），使不等式 |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路： 1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程 ?+=x x dy y x f y y 0),(0 （3） 的连续解。 2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ?}，任取一连续函数)(0x ?， b y x ≤-|)(|00?代入（3）右端的y ，得 …… 2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为 )(x n ?=dx x x f y n x x n ))(,(lim 1-00 ??∞ →+ dx x x f y x x f y x x x x n ??+ =+=∞ →0 ))(,()) (,(lim 01-n 0?? 4．)(x ?为（3）的连续解且唯一。首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。上类似。 证明过程： 命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程
中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略
第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的 对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B =∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1；
图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-2 3.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如 图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（*） 前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”. 下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45o角，求其对应点A’的坐标. 简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45o得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45o得到Rt △OA ’B ‘，则 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8
导数中的任意性与存在性问题探究
函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数2 3 2 ()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设3 2 ()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，' (),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1 ) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3 h '(x ) + 0 － 0 + h(x) k-45 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 k-9
函数的任意性和存在性求解
专题复习—函数的任意性和存在性 已知两个函数k x x x f +-=2)(2，13)(3+-=x x x g （1）[]2,0∈?x ，都有)()(x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （2）[]2,00∈?x ，使得)()(00x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （3）若[]2,0,21∈?x x ，都有)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （4）[]2,0,21∈?x x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （5）[]2,01∈?x ，[]2,02∈?x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； （6）[]2,01∈?x ，[]2,02∈?x ，使得)()(21x g x f ≥成立，求k 的取值范围； 分析： 函数k x x x f +-=2)(2是一个二次函数，图像开口向上，对称轴为11 22=?--=x ，[]2,01∈，函数)(x f 在[]2,0上先减后增，且1)1()(min -==k f x f ，k f f x f ===)2()0()(max ； 函数13)(3+-=x x x g ，)1)(1(333)(2'-+=-=x x x x g ，令0)('=x g 得11=-=x x 或， 所以[]2,0)(在x g 上的1)1()(min -==g x g ，3)2()(max ==g x g ， 解（1）依题意得，[]2,0∈?x ，0)()(≥-x g x f 恒成立，令)()()(x g x f x t -= 即01)(2 3≥-+++-=k x x x x t 恒成立，所以0)(min ≥x t 123)(2'++-=x x x t =)1)(13(+-+x x ，所以[]2,0)(在x t 上先↓↑后， 3)2(,1)0(-=-=k t k t ，03)(min ≥-=∴k x t ，解得3≥k （2）:p []2,00∈?x ，使得)()(00x g x f ≥成立， :p ?[]2,0∈?x ，都有成立)()(x g x f <成立，令)()()(x g x f x t -= 即01)(2 3<-+++-=k x x x x t 恒成立，所以0)(max 平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）． 如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1． 因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2． 因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3． 因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2． 当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)． 角度：提高思维质量的有效方法 作者：龚国胜 思想品德学科中考题型一般分为两类，一类是客观题，另一类是主观题。主观题的特点是：(1)材料复杂，难以抽象概括； (2)层次多，难找准答题切入点；(3)答案不唯一，不易抓住中心。这些特点很容易让学生答这类题时出现答案不全面现象。学生答案不全面有审题偏差方面的原因，也有知识理解、掌握不系统，不能迁移运用等能力因素的影响。但我以为，学生在组织答案时对答题切入“视角”的把握，也是影响答案是否全面的重要因素。因此，如果我们在教学中，重视培养学生的“角度”意识，学生答题不全面的现象就能得到一定的改善。事实上，尽管中考主观题形式多样，材料浩如烟海，但就初中所学知识而言，其要求学生掌握的答题“角度”却是有限的，主要有下列几种。现例析如下： 角度一：政治、经济、文化 例1胡锦涛同志在党的十七大报告中指出：“我们已经朝着十六大确立的全面建设小康社会的目标迈出了坚实步伐，今后要继续努力奋斗，确保到2020年实现全面建成小康社会的奋斗目标。” 阅读材料，结合所学知识，就如何才能“确保到2020年实现全面小康社会的奋斗目标”谈谈你的看法。 参考答案要点：(1)坚持中国共产党的领导。坚持邓小平理论、三个代表思想和科学发展观，加强社会主义民主政治建设。 (2)以经济建设为中心，大力发展生产力，坚持改革开放，发展社会主义市场经济。 (3)加强社会主义法制建设，加强社会主义精神文明建设。 分析：提“建议”或谈“看法”是中考主观题经常采用的扩展性设问方式。不少学生认为，既然是叫我谈“建议”或“看法”，那我想怎么说就怎么说。其实不然，一是“建议”或“看法”必须符合所学的道理，换句话说，你的“建议”或“看法”其实就是课本里的说法，不是你的凭空想象；二是“建议”或“看法”应该有系统性、逻辑性和层次性，先提什么，后谈什么，不仅是先后次序的问题，更重要的是反映了一个人思维的严密性和层次性。因此，谈“建议”或“看法”首先要找到切入的角度，这是把问题答全的基础。 学生回答此题，只知道要围绕经济层面去谈小康建设，对于全面小康社会中的政治层面、文化层面容易忽略。事实上，国家的建设不外乎政治、经济和文化三大方面。这三个维度不仅是分析本题的--切入点，也是我们分析许多其他问题的共同切入点。掌握了分析问题的角度，我们就有可能对问题作出全面的分析。从本题的参考答案我们不难发现，它正是分别从政治、经济和文化的角度去分析说明的。 角度二：国家、社会、个人 例2我国大力发展义务教育，2006年，我国对西部农村地区义务教育阶段中小学生实行免除学杂费政策；2007年，我国对全国1.48亿名农村义务教育阶段中小学生实行免除学杂费政策；2007年底，国务院又决定，从2008年春季学期起免除城市义务教育学杂费。 阅读材料，用所学知识分析说明国家采取上述措施的重要意义。 参考答案要点：(1)大力发展义务教育，免除农村地区义务教育阶段学杂费，有利于公民人人平等享有受教育的权利；有利于实施科教兴国战略；有利于提高全民族的文化素质。有利于加强社会主义精神文明和法制建设。 (2)免除农村地区学生学杂费，有利于减轻农民负担，有利于实现共同富裕的目标，有利于构建和谐社会。 (3)公民接受教育，掌握一定的知识和技能，有利于公民个体获得更全面发展，更好实现人生价值。 分析：阅读材料谈“意义”或“启示”，是思想品德学科中考主观题又一经常采用的扩展性设问方式，它是考查学生发散思维能力的有效手段。解答“意义”设问，学生们往往觉得无边无际，拿捏不准。做这类题，老师们常要求学生采用“广种薄收”法，即要求学生多写答案，寄希望于答案中的某一点能与标准答案相符。可事实上，学生往往写了很多。得分却很少，因为学生没有掌握好“角度”，答的内容很多是同一层意思。根据初中所学内容，我认为，对国家或政府采取的举措谈意义，其最为重要的答题切入点就是“国家、社会和个人”三个角度，而就“国家”这个角度又可以分别从政治、经济、文化三个层面去论述；社会角度可以从社会建设的政治目标(和谐社会)和社会建设的经济目标(共同富裕)去分析；个人角度主要可以从学生的学习和实践两个方面去说明。 解答本题，学生只知道围绕“个人”角度去谈大力发展义务教育、免除学杂费的意义，至于“国家、社会”层面的意义很多学生就完全忽略了。从参考答案看，第一层就是谈大力发展义务教育对国家的意义。第二层是谈免除义务教育学杂费对社会的意义。第三层主要是谈教育对个人的意义。 角度三：权利与义务 导数中的任意性与存在性问题探究 函数中任意性和存在性问题探究 高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究 一、相关结论： 结论1：1212min max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图一】 结论2：1212max min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图二】 结论3：1212min min [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图三】 结论4：1212max max [,],[,],()()[()][()]x a b x c d f x g x f x g x ?∈?∈>?>；【如图四】 结论5：1212[,],[,],()()()x a b x c d f x g x f x ?∈?∈=?的值域和()g x 的值域交集不为空；【如图五】 例题1：已知两个函数232()816,()254,[3,3],f x x x k g x x x x x k R =+-=++∈-∈; (1) 若对[3,3]x ?∈-,都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (2) 若[3,3]x ?∈-,使得()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； (3) 若对12,[3,3]x x ?∈-,都有12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； 解：（1）设32()()()2312h x g x f x x x x k =-=--+,（1）中的问题可转化为：[3,3]x ∈-时，()0h x ≥恒成立，即min [()]0h x ≥。 '2()66126(2)(1)h x x x x x =--=-+； 当x 变化时，'(),()h x h x 的变化情况列表如下： x -3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3平行四边形的存在性问题
角度(答题方法问题)
导数中的任意性与存在性问题探究资料