中考数学复习题方法技巧专题九角的存在性问题(含答案)

方法技巧专题(九) 角的存在性问题

1.[2018·乐山] 如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()

图F9-1

A.B.6 C.3 D.12

2.[2018·宿迁] 如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.

图F9-2

3.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.

图F9-3

4.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.

(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;

(2)求∠BPQ的大小;

(3)求CQ的长.

图F9-4

5.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;

(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.

图F9-5

6.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.

(1)求点M,A,B的坐标;

(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;

(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.

图F9-6

7.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.

图F9-7

8.[2018·莱芜] 如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE ⊥BC于点E.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)如图①,求线段DE长度的最大值.

(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.

图F9-8

参考答案

1.B[解析] 如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P', ∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,

∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',

过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.

∴△OP'M的面积=|k|=3.

∵PA=PO,∴OH=AH.

又∵点A在直线l:y=x上,

∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,

不妨设∠MOP'=α,

∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,

∴∠POA=∠OP'M.

又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',

∴△OPH≌△P'OM(AAS),

∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.

又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.

2.2[解析] 如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.

∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.

令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).

∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.

∵∠AOB=45°,

∴∠AOC=∠AOM.

∴△OAM≌△OAC.

∴S△OAB=2S△OAM=2.

3.9

4.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,

∴△APP'是等腰直角三角形.

(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,

∴∠APP'=45°,PP'=.

又∵BP'=DP=,BP=2,

∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.

∵∠APP'=45°,

∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.

(3)过点B作BE⊥AQ于点E,则△PBE为等腰直角三角形,

∴BE=PE,BE2+PE2=PB2,

∴BE=PE=2,∴AE=3,

∴AB==,则BC=.

∵∠BAQ=∠EAB,∠AEB=∠ABQ=90°,

∴△ABE∽△AQB,

∴= ,即=,∴AQ=,

∴BQ==,

∴CQ=BC-BQ=.

5.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点, ∴

解得

∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.

(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,

∴m+1=-m2+3m+4,即m2-2m-3=0,

∴m=-1或m=3.

∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).

由(1)知OC=OB,∴∠CBA=45°.

如图①,设点D关于直线BC对称的点为点D'.∵C(0,4),

∴CD∥AB,且CD=3,

∴∠D'CB=∠DCB=45°,

∴点D'在y轴上,且CD'=CD=3,∴OD'=1,

∴D'(0,1),即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).

(3)如图②,过点P作PF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC于点E.由(1)有OB=OC=4,∴∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBA.

∵C(0,4),D(3,4),∴CD∥OB且CD=3,

∴∠DCE=∠CBO=45°,∴DE=CE=.