初三数学专题讲义-存在性问题
初三数学讲义 存在性问题
教学过程：
一、教学衔接（课前环节）
1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；
2、检查学生的作业，及时指点
3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容
二、知识点解析
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。 一、函数中的存在性问题（相似）
1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D.
（1）写出h k 、的值；
（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；
（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
二、函数中的存在性问题（面积）
2. 如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k
y x
=
相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A 作直线AC∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；
（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
三、函数中的存在性问题（四边形）
3． 如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (-
2
1
，0)、 B (2，0)两点，且与y 轴交于点C ； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；
(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四
点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点
为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P
巩固练习，及时反馈
1.如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；
（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PMx 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A B
C O
x
2.如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y=k x+3。
(1) 设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式。
(2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；
(3)是否存在使△AMN的面积等于32
25
的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由。
3．已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．
(1）求满足条件的所有点B的坐标；
(2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；
(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．
4、在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数
23
=y（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始
终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的1
2
．若存在，试求出所
有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
5．如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，连结DM 并延长交
M ⊙于点N ，
连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形EAMD 的面积为43，求直线PD 的函数关系式；
(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，2()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），
∴1
4h k =-=-，。 （2）由（1）得()2
=14y x +-.
当=0y 时，()2
140x +-=． 解之，得1231x x =-=， 。 ∴A(30)B 10- ，，(，).
又当0x =时，()()22
=140143y x +-=+-=-，
∴C 点坐标为（0，－3）。 又抛物线顶点坐标D （－1，－4），
作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ，DF⊥ y 轴于点F 。易知 在Rt△AED 中，AD 2
=22
+42
=20，在Rt△AOC 中，AC 2
=32
+32
=18，
在Rt△CFD 中，CD 2
=12
+12
=2， ∴AC 2
＋ CD 2
＝AD 2
。∴△ACD 是直角三角形。 （3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点。
由（2）知，△AOC 为等腰直角三角形，∠BAC＝450
，AC 1832==。 由△AOM∽ △ABC，得
AO AM
AB AC =
。即39,AM 24432
== 。 过M 点作MG⊥AB 于点G ，则AG=MG=
2
9281942164
??
???==，
OG=AO －AG=3－
9344
=。又点M 在第三象限，所以M （－34，－9
4）
。 2、【答案】解：（1）把点B （－2，－2）的坐标代入k y x =得，22
k
-=-，∴k ＝4。
∴双曲线的解析式为：4
y x
=。
设A 点的坐标为（m ，n ）．∵A 点在双曲线上，∴mn＝4。 又∵tan∠AOX＝4，∴
m n
＝4，即m ＝4n 。∴n 2
＝1，∴n＝±1。 ∵A 点在第一象限，∴n＝1，m ＝4。∴A 点的坐标为（1，4）。
把A 、B 点的坐标代入2y ax bx =+得，4422a b a b +=??-=-?
，解得，a ＝1，b ＝3。
∴抛物线的解析式为：23y x x =+。 （2）∵AC∥x 轴，∴点C 的纵坐标y ＝4，
代入23y x x =+得方程，2340x x +-=，解得x 1＝－4，x 2＝1（舍去）。 ∴C 点的坐标为（－4，4），且AC ＝5。 又∵△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积＝
1
2
×5×6＝15。 （3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积。理由如下：
过点C 作CD∥AB 交抛物线于另一点D ，此时△ABD 的面积等于△A BC 的面积（同底：AB ，等高：
CD 和AB 的距离）。
∵直线AB 相应的一次函数是：22y x =+，且CD∥AB， ∴可设直线CD 解析式为2y x p =+， 把C 点的坐标（﹣4，4）代入可得，12p =。 ∴直线CD 相应的一次函数是：212y x =+。
解方程组23212
y x x y x ?=+?=+?，解得，3
18x y =??=?。
∴点D 的坐标为（3，18）。
3、答案：[解] (1) 根据题意，将A (-21，0)，B (2，0)代入y = -x 2
+ax +b 中，得?????=++-=+--0
2402141b a b a ，
解这个
方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+2
3x +1，当 x =0时，y =1， ∴点C 的坐标为(0，1)。∴在△AOC 中，AC =22OC OA +=221)21(+=2
5。 在△BOC 中，BC =22OC OB +=2212+=5。
AB =OA +OB =21+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=4
25
=AB 2，∴△ABC 是直角三角形。 (2) 点D 的坐标为(2
3，1)。
(3) 存在。由(1)知，AC ⊥BC 。
若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线
BC 的解析式为y = -2
1x +1，直线AP 可以看作是由直线
BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y = -2
1
x b ， y A B C
O
x
P
把点A (-21
，0)代入直线AP 的解析式，求得b = -4
1，
∴直线AP 的解析式为y = -21x -41。∵点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，
∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1= -21x -41，解得x 1=2
5
，
x 2= -21(舍去)。当x =25时，y = -23，∴点P (25，-2
3
)
若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。 可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。
直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，
所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代 入直线BP 的解析式，求得b = -4，
∴直线BP 的解析式为y =2x -4。∵点P 既在拋物线 上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，
即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -25，x 2=2(舍去)。
当x = -25时，y = -9，∴点P 的坐标为(-2
5
，-9)。 综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-2
5
，-9)。
练习
1、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，
∵抛物线过A （﹣2，0），B （﹣3，3），O （0，0）可得 42=093=3=0
a b c a b c c -+??-+???
，解得 =1
=2=0a b c ??
???。
∴抛物线的解析式为22y x x =+。
（2）①当AE 为边时，∵A、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，
则D 在x 轴下方不可能，∴D 在x 轴上方且DE=2，则D 1（1，3），D 2（﹣3，3）。②当AO
为对角线时，则DE 与AO 互相平分。
∵点E 在对称轴上，且线段AO 的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即C （﹣1，﹣1）。 故符合条件的点D 有三个，分别是D 1（1，3），D 2（﹣3，3），C （﹣1，﹣1）。 （3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C （﹣1，﹣1），根据勾股定理得： BO 2
=18，CO 2
=2，BC 2
=20，∴BO 2
+CO 2
=BC 2
．∴△BOC 是直
角三角形。
假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与△BOC
相似，
y A
B C O
P
x
设P （x ，y ），由题意知x ＞0，y ＞0，且22y x x =+，
①若△AMP∽△BOC，则
AM PM
BO CO
=
。 即 x +2=3（x 2
+2x ）得：x 1=13
，x 2=﹣2（舍去）．
当x =13时，y =7
9，即P （13，79
）。
②若△PMA∽△BOC，则，BO PM
CO BO
=
。 即：x 2
+2x =3（x +2）得：x 1=3，x 2=﹣2（舍去） 当x =3时，y =15，即P （3，15）．
故符合条件的点P 有两个，分别是P （13，7
9
）或（3，15）。
2、解：（1）∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线，∴OA⊥AD BD⊥AD 。
又∵ OA⊥OB，∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四边形OADB 是矩形。 ∵⊙C 的半径为2，∴AD=OB=4。
∵点P 在直线l 上，∴点P 的坐标为（4，p ）。 又∵点P 也在直线AP 上，∴p=4k+3。
（2）连接DN 。∵AD 是⊙C 的直径，∴ ∠AND=90°。 ∵ ∠AND=90°－∠DAN，∠ABD=90°－∠DAN， ∴∠AND=∠ABD 。 又∵∠ADN=∠AMN，∴∠ABD=∠AMN。 ∵∠MAN=∠BAP ∴△AMN∽△ABP 。
（3）存在。理由如下：把x =0代入y =k x +3，得y=3，即OA=BD=3。 ∴AB=2222AD BD 435+=+=。
∵ S△ABD=
12AB·DN=1
2AD·DB，∴DN=AD DB AB ?=431255
?=。 ∴AN 2=AD 2－DN 2
=22122564()525
-=。
∵△AMN∽△ABP ， ∴2
AMN ABP S AN ()AP S ??= 即22ABP AMN ABP 2
AN AN S ()AP AP S S ????=?= 。
当点P 在B 点上方时，
∵AP 2
=AD 2
＋PD 2
= AD 2
＋(PB －BD)2
=42
＋(4k ＋3－3)2
=16(k 2
＋1)， 或AP 2
=AD 2
＋PD 2
= AD 2
＋(BD －PB)2
=42
＋(3－4k －3)2
=16(k 2
＋1)，
S △ABP =
12PB·AD=1
2
(4k ＋3)×4=2(4k＋3)， ∴2ABP AMN
222AN 2562(43)32(43)32S AP 2516(1)25(1)25
S k k k k ????++====?++。
整理得k 2
－4k －2=0 ， 解得k 1 =2
， k 2=2
。 当点P 在B 点下方时，
∵AP 2
=AD 2
＋PD 2
=42
＋(3－4k －3)2
=16(k 2
＋1) ， S △ABP =
12PB·AD=1
2
[－(4k ＋3)]×4=－2(4k ＋3)， ∴2ABP AMN
22AN 2562(43)32S AP 2516(1)25
S k k ???-?+===?+。
整理得k 2
+1=－（4k ＋3）， 解得k=－2。
综合以上所得，当
k=－2时，△AMN 的面积等于
32
25
。 3、【答案】解：作AC ⊥x 轴，由已知得OC ＝4，AC ＝3，OA ＝22AC OC +＝5． (1）当OA ＝OB ＝5时，
如果点B 在x 轴的负半轴上，如图（1），点B 的坐标为（－5，0）． 如果点B 在x 轴的正半轴上，如图（2），点B 的坐标为（5，0）．
当OA ＝AB 时，点B 在x 轴的负半轴上，如图（3），BC ＝OC ，则OB ＝8，点B 的坐标为（－8，0）． 当AB ＝OB 时，点B 在x 轴的负半轴上，如图（4），在x 轴上取点D ，使AD ＝OA ，可知OD ＝8．由∠AOB
＝∠OAB ＝∠ODA ，可知△AOB ∽△ODA ，则
OD
OA
OA OB =
，解得OB ＝825，点B 的坐标为（－825，0）
(2）当AB ＝OA 时，抛物线过O （0，0
），A （－4，3），B （－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为bx ax y +=
2
，可得方程组?
??=-=-34160864b a b a ，解得a ＝163-，23-=b ，x x y 23
1632--
=． (当OA ＝OB 时，同理得x x y 4
15
432--
=． (3）当OA ＝AB 时，若BP ∥OA ，如图（5），作PE ⊥x 轴，则∠AOC ＝∠PBE ，∠ACO ＝∠PEB ＝90°，△AOC ∽△PBE ，
4
3
==OC AC BE PE ．设BE ＝4m ，PE ＝3m ，则点P 的坐标为（4m －8，－3m ），代入x x y 2
3
1632--
=，解得m ＝3． 则点P 的坐标为（4，－9）， S 梯形ABPO ＝S △ABO ＋S △BPO ＝48． 若OP ∥AB （图略），根据抛物线的对称性可得点P 的坐标为（－12，－9）， S 梯形AOPB ＝S △ABO ＋S △BPO ＝48．
(当OA ＝OB 时，若BP ∥OA ，如图（6），作PF ⊥x 轴，则∠AOC ＝∠PBF ，∠ACO ＝∠PFB ＝90°，△AOC ∽△PBF ，
4
3
==OC AC BF PF ．设BF ＝4m ，PF ＝3m ，则点P 的坐标为（4m －5，－3m ），代入
x x y 4
15
432--=，解得m ＝23．
则点P 的坐标为（1，－29
），
S 梯形ABPO ＝S △ABO ＋S △BPO ＝4
75
．
若OP ∥AB （图略），作PF ⊥x 轴，则∠ABC ＝∠POF ，∠ACB ＝∠PFO ＝90°，△ABC ∽△POF ，
3==BC
AC OF PF ．设点P 的坐标为（－n ，－3n ）
，代入x x y 415
432--=，解得n ＝9．则点P 的坐标为（－9，－27），S 梯形AOPB ＝S △ABO ＋S △BPO ＝75．
4、【答案】解：（1）四边形OKPA 是正方形。理由如下：
∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK。∴∠PAO=∠OKP=90°。 又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°。∴四边形OKPA 是矩形。 又∵OA=OK，∴四边形OKPA 是正方形。 （2）①连接PB ，设点P 的横坐标为x ，则其纵坐标为23
。 过点P 作PG⊥BC 于G 。
∵四边形ABCP 为菱形，∴BC=PA=PB=PC。 ∴△PBC 为等边三角形。
在Rt△PBG 中，∠PBG=60°，PB=PA=x ，PG=
23
。 sin∠PBG=PG PB ，即23
3
x x
=解之得：x =±2（负值舍去）
。 ∴PG=3，PA=BC=2。
易知四边形OGPA 是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3。 ∴A（0，3），B （1，0）C （3，0）。
设二次函数解析式为：2y ax bx c =++。据题意得：0
903
a b c a b c c ?++=?
++=??
=?
解之得：
a b c =
=
=
∴二次函数关系式为：2y
+②设直线BP 的解析式为：y kx b =+，据题意得：0
2k
b k b +
=???+=??
解之得：
k b ==
∴直线BP 的解析式为：
y
=
过点A 作直线AM∥PB，则可得直线AM
的解析式为：
y =
解方程组：233y
y x x ?
=??=-+??
1212=0 =7
x x y y ??????
==??
??过点C 作直线CM∥PB，则可得直线CM
的解析式为：
y =
-
解方程组：2y
y x x ?=-??=+??
2112=4
=3 0x x y y ????
?==???， 综上可知，满足条件的M 的坐标有四个：
（0），（7，
，（3，0），（4）。
5、答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，
∵抛物线与y 轴交于点()03C -，，∴()()30103a -=+-，∴ 1.a = 所以，抛物线的函数关系式为：2
23y x x =--， 又()2
14y x =--，
因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．
(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线，
∴EA ED EA AM ED MN
=⊥⊥，，，∴EAM EDM △
≌△ 又四边形EAMD 的面积为
∴EAM S =△∴
1
2
AM AE =· 又2AM
=，∴AE =因此，点E
的坐标为(11
E -或(21.E -
-，
当E
点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM 中，tan 2
EA EMA AM ∠=== ∴60EMA ∠=°，
∴60DMB ∠=°
过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，
∴1
3MF DF ==， 因此，切点D 的坐标为()
23，．
设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，将()()
12323E D -，、，的坐标代入得 3223k b k b
?=+??
=-+??解之，得3
3
53k b ?=-????=??
所以，直线PD 的函数关系式为353
.33
y x =-
+
当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.
同理可求：切点D 的坐标为()
23，-，直线PD 的函数关系式为353
.y x =- 因此，直线PD 的函数关系式为
35333y x =-
+或353
.33
y x =-
(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积 又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△
∴E D 、两点到x 轴的距离相等，
∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，
此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-
当2y =时，由2
23y x x =--得，16x =±；
当2y =-时，由2
23y x x =--得，12x =±.
故满足条件的点P 的位置有4个，分别是()()()
123162162122P P P +-+-，、，、，、 ()
4122.P --，
说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.
动点问题题型方法归纳
动点问题 知识点： 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 6 4 y x =-+ 与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点 Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S= 时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类； 第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60o． （1）求⊙O的直径； （2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速 度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为 )2 )( (< 直角三角形的存在性问题代数法 1.写出三边的平方 2.分类列方程 3.解方程 几何法 1.分类 2.画图——“两线一圆” 3.计算 例1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例 2.如图，在直角坐标系中，R t△O A B的直角顶点A在x轴上，O A=4，A B=3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O 移动；同时点N从点O出发，以每秒 1.25个单位长度的速度，沿O B 向终点B移动.当两个动点运动了x秒(0 例 3.(2015·益阳中考)已知抛物线E1：y=x2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A′，B′. (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式. (2)如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接O P并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比. 专题：数列中的存在性问题 一、单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n ）的方程，然后n 的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{ n a }的前n 项和为 n S =235n n +，在数列{n b }中，1b =8，164n n b b +-=0，问是 否存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ，若存在求出常数c 和M ,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数c 使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M ， ∵n S =235n n +， ∴当n =1时，则 1a = 1 S =8， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2235[3(1)5(1)]n n n n +--+-=62n +， 当n =1适合， ∴ n a =62 n +， 又∵164n n b b +-=0， ∴1n n b b +=164， ∴数列{n b }是首项为8，公比为1 64的等比数列， ∴n b = 118( )64n -=962n -， 则 log n c n a b += 9662log 2n c n -++= 62(96)log 2a n n ++-= 6(1log 2)29log 2 a a n -++， 又∵对任意n ，log n c n a b +恒为常数M ， ∴ 6(1log 2) a -=0，解得c =2， ∴M = 29log 2 a +=11， ∴存在常数c =2使得对任意n ， log n c n a b +恒为常数M =11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量，最后进 y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。 由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 动点问题和存在性问题小结训练 一、基础训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为X=﹣．下列结论中， 正确的是（） A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论： ① b2-4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a-2b+c=0；④ a：b：c= －1：2：3. 其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 3.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 5.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 6.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系． （1）试求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 7.如图，在平面直c bx ax y+ + =2角坐标系中，抛物线c bx ax y+ + =2经过 A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值． （3）在此抛物线上是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 专题16 函数动点问题中三角形存在性 模型一、等腰三角形存在性问题 以腰和底分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解. 模型二、直角三角形存在性问题 以直角顶点不同分类讨论，借助勾股定理、相似性质、三角函数等知识进行求解.常见的模型为“一线三直角”. 【例1】 （2019·郑州外国语模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2－3 2 x+c经过点A(－1,0),B(4,0)， 与y轴交于点C，点P是x轴下方的抛物线上一动点（包含点A、B）.作直线BC，若过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q. （1）求抛物线的解析式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a（x+1）（x－4）， 将点（0，－2）代入上式，得：a=1 2 ， 即抛物线的解析式为：y=1 2 x2－ 3 2 x－2； （2）由y=1 2 x2－ 3 2 x－2得：C(0,－2), 由勾股定理得：BC 由C(0,－2), B(4,0)得直线BC的解析式为：y=1 2 x－2， 设P（m，1 2 m2－ 3 2 m－2），则Q(m， 1 2 m－2)， 过Q作QM⊥y轴于M，则QM∥AB， ∴ CQ QM BC AB = ,4 m =， ∴CQ , PQ =－12m 2+2m , PC ①当CQ =PQ 时， =－1 2 m 2+2m ，解得：m =0（舍）或m =4； ②当CQ =PC 时， = m =0（舍）或m =2或m =4（舍）； ③当PQ =PC 时， －12m 2+2m = m =0（舍）或m =32； 综上所述，存在点P ，使△CPQ 是等腰三角形，点P 的横坐标为：42或3 2 . 【变式1－1】（2018·开封二模）如图，抛物线L ：y =ax 2+bx +3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，已知点B (3,0)，抛物线的对称轴为x =1. （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线向下平移h 个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在△OBC 内部（包含△OBC 边界），求h 的取值范围； （3）设点P 是抛物线L 上任一点，点Q 在直线l ：x =－3上，△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，写出符合条件的点P 的坐标，若不能，请说明理由. 【答案】见解析. 第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且0 45=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为 “一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角” 相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B = ∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； A 图1-2-2 3.tan α=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似 ”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（ *） DAC DEA →DA 2=DC ?DE →DG 2+AG 2=DC ?DE 定 定 定 定 定 定 定 定 A A A 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8 中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4 2017年数学中考专题《存在性问题》 题型概述 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)， ,90OA OC AOC =∠=?Q ， 45OCA OAC ∴∠=∠=?. 190ACP ∠=?Q , 11 904545MCP CPM ∴∠=?-?=?=∠. 1MC MP ∴=. 特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题) 特殊平行四边形中的动点及存在性问题 【例1】正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。 【练习1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA =3，OB =4，D 为边OB 的中点. （1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标； （2）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标. 【例2】 如图，在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4）,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当三角形△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，P 的坐标为 ； 【练习2】如图，在平面直角坐标系中，AB ∥OC ，A （0，12），B （a ，c ），C （b ，0），并且a ，b 满 足16b =．一动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 分别从点A 、O 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动．设运动时间为t （秒） （1）求B 、C 两点的坐标； （2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？并求出此时P 、Q 两点的坐标； （3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标． x 【例3】（1）如图，矩形ONEF 的对角线相交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为（4，3），则点M 的坐标为 ； （2）在直角坐标系中，有A （-1，2），B （3，1），C （1，4）三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标． 【练习3】如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D 点坐标是（0，0），B 点坐标是（3，4），矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点A 落在BC 边上的G 处，E 、F 分别在AD 、AB 上，且F 点的坐标是（2，4）． （1）求G 点坐标； （2）求直线EF 解析式； （3）点N 在x 轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 【例4】在Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =60cm ，∠A =60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm /s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm /s 的速度运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是ts （0 二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题 一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式 （1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解； 2、二次函数y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点，可以用方程ax2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 判别式 b 24ac二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况△＞ 0与 x 轴交点方程有的实数根 △＜ 0与 x 轴交点实数根 △＝ 0与 x 轴交点方程有的实数根 3、抛物线上有两个点为A（x ， y）， B（ x ， y） 12 (1) 对称轴是直线x x 1 x2Q 2 (2) 两点之间距离公式： 已知两点 P x1 , y1,Q x2 ,y2 ，P G ( x1 x2 ) 2( y1 y2 ) 2O 则由勾股定理可得：PQ 练一练：已知 A（ 0， 5）和 B（－ 2， 3），则 AB＝。 4、常见考察形式 1）已知 A（ 1,0 ）， B（ 0， 2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C，使△ ABC是等腰三角形； 总结：两圆一线 方法规律 :平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线； 2）已知 A（ -2,0 ）， B（ 1， 3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C，使△ ABC是直角三角形； 总结：两线一圆 方法规律 {平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积： （ 1）直接用面积公式计算；（ 2）割补法；（ 3）铅垂高法； 如图，过△ ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， A铅垂高 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽” （ a），中间的C h 这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高” （ h）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：B 水平宽1 S△ABC =2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。a 6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路：（ 1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3） 后计算 第1讲 角的存在性处理策略 知识必备 一、一线三等角 1.如图1-1-1，o 90=∠=∠=∠E D ACB 且045=∠CAB →CBE ACD ??≌，此为“一线三直角”全等，又称“K 字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为“一线三直角”相似，又称“K 字型”相似; 3.如图1-1-3，o 90=∠=∠=∠E D ACB →CBE ACD ??∽，此为更一般的“一线三等角”. 二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，其比值称为相似比； 相似三角形的对应线段成比例. 三、正切的定义 如图1-1-4，在ABC Rt ?中，b a A =∠tan ，即A ∠的正切值等于A ∠的 对边与A ∠的邻边之比；同理，a b B =∠tan ，则1tan tan =∠?∠B A ，即互余两角的正切值互为倒数. 方法提炼 一、基本策略：联想构造 二、构造路线 方式(一)：构造“一线三等角” 1.45o 角→构等腰直角三角形→造“一线三直角”全等，如图1-2-1； 图1-2-1 2.30o 角→构直角三角形→造“一线三直角”相似，如图1-2-2； 图1-2-2 3.tanα=k →构直角三角形→造“一线三直角”相似，如 图1-2-3； 4.“一线三等角”的应用分三重境界； 一重境：当一条线上已有三个等角时，只要识别、证明，直接应用模型解题，如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”； 二重境：当一条线上已有两个等角时，需要再补上一个等角，构造模型解题； 三重境：当一条线上只有一个角时，需要再补上两个等角，构造模型解题，如图1-2-6及图1-2-7所示； 方式 （二）：构造“母子型相似” “角处理”，还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线，造成某水平边或竖直边对此角结构，然后在这条线上补出一个与此角相等的角，构造出“母子型相似”，其核心结构如图1-2-8所示. 方式（三）：整体旋转法（*） 前两种构造属静态构造方式，再介绍一种动态构造方式，即整体旋转法，其核心思想是“图形的旋转（运动）本质是图形上点旋转（运动）；反过来，点的旋转（运动）可以看成该点所在图形的旋转（运动）”. 下面以三个问题说明此法： 问题1 已知点A （3，4），将点A 绕原点O 顺时针方向旋转45o角，求其对应点A’的坐标. 简析 第一步 （“整体旋转”）：如图1-2-9，作AB ⊥y 轴于点B ，则AB =3，OB =4，点A 绕原点O 顺时针方向旋转45o得到点A ’，可看成Rt △OAB 绕原点O 顺时针方向旋转45o得到Rt △OA ’B ‘，则 图1-2-3 图1-2-4 图1-2-5 图1-2-6 图1-2-7 图1-2-8 第一讲动点存在性问题 一．考情分析 二．知识回顾 1、题型分类 在中考中，存在性问题一般分为四类： 1.是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形）； 2.是否存在四边形（平行四边形、直角梯形和等腰梯形）； 3.是否存在三角形与已知三角形相似或者全等； 4.是否存在三角形与已知三角形的面积之间有数量关系。 2、方法归纳 在解决动点存在性问题时，一般先假设其存在，得到方程，如果有解，则存在，反之，则不存在。而在列方程时，一般要用到特殊三角形以及特殊平行四边形的性质、相似、解直角三角形等知识点，需要注意的是，列方程时，一定要遵循：用两种不同的方法表示同一个量，否则，将会得到“1=1”之类的恒等式。 对于是否存在三角形，一般按顶点分为三类情况。 而对于是否存在平行四边形则有两种形式的题目：如果已知三个定点，就有三种情况，一般利用平移坐标法即可求出答案；如果只有两个定点就应该按与边平行以及与对角线平行两种情况考虑了。 对于等腰梯形，就应该考虑腰长在下底边上的投影了。 对于是否存在三角形与已知三角形相似或者全等，则与是否存在三角形一样，分三类情况，当然，如果有一个角是一个定角（比如直角），则就分为两类情况。 类型一：是否存在三角形（等腰三角形、直角三角形） （A ）【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （C ）【典型例题2】如图2，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，. （1）求点到的距离； （2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设. ①当点在线段上时（如图3），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由； ②当点在线段上时（如图4），是否存在点，使为等腰三角形？若存在， 请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由. （B ）【典型例题3】如图，已知直线1 12y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线 21 2y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。 学习心得 A B Q C P D 图1 直角三角形存在性问题 方法提炼： ●找点 已知“两个定点，求作直角三角形”，可借用“两线一圆法”找到第三个顶点的位置； ●直角三角形存在性问题探讨 1.先假设结论成立，根据直角顶点的不确定性，分情况讨论 2.方法一：画出具体图形，依托直角，作“横平竖直”辅助线，造“一线三直角”，利用相似列方程解 方法二：引入一个字母，用它表示出三角形的三边，再分类谈论，利用勾股定理列方程求解； 例1：如图在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是菱形外部的一点，若以点P、A、C为顶点的三角形 （1）求点A、B的坐标； （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 例3.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c图像经过原点和点A（2，0），直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO ＝45°． （1）求二次函数解析式及其顶点C的坐标； （2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD 为直角三角形．若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由． 例4.（2017年.娄底）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t 秒． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ●针对性演练： 1、如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．（1）求此函数的关系式； （2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由． 2、如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2。 （1）求点A的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 平行四边形的存在性问题 专题攻略 解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便． 针对训练 1．如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析、由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4， 得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）． 如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M． ①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1． 因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)． ②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2． 因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)． ③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3． 因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 解析．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)． ①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2． 当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)． 直角三角形的存在性问题（教案） 学习目标： 1、经历探索直角三角形存在性问题的过程，熟练掌握解题技巧。 2、体会分类讨论的数学思想，体验解决问题方法的多样性。 一、课前准备 1.已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为 . 2.如图，A （0，4），C （4，0），点P 是线段OC 的中点，AP ⊥BP ，BC ⊥PC ，则BC 的长度为 . 【设计意图】通过两个简单的关于直角三角形的练习，检测学生对勾股定理、M 型相似的应用情况，同时引出课题——直角三角形的存在性问题. 二、我们一起来探究 如图，A （0，1），B （4，3）是直线12 1 += x y 上的两点，点P 是x 轴上一个动点. 问：是否存在这样的点P ，使得△ABP 为直角三角形？如果存在，请求出满足条件的点P 的坐标. y x B A O y x B A O y x B A O （备用图1） （备用图2） 提问：（1）这样的问题，你怎么思考的？ 需要针对直角顶点进行分类. （2）一般会有几种情况？ 三种. （3）分类之后需要做什么？ 画图. （4）解题有哪些方法？ （5）当直角顶点在点P 的时候，如何精确地找到点P ？ 以AB 为直径的圆与x 轴的交点. 变式跟进：将上述直线向上平移a 个单位，A 、B 两点也同时向上平移到相应的位置，x 轴上存在唯一的点P ，使得∠APB=90°. 求a 的值. 【小结】直角三角形的存在性问题解题策略： . 【设计意图】通过这个环节，探究直角三角形存在性问题解题策略：分类——画图——解题，重在让学生了解这类题的的三种解法：几何法、解析法、代数法，从而为后面的练习做好铺垫. 三、反馈练习 1.如图，点O （0，0），A （1，2），若存在格点P ，使△APO 为直角三角形，则点P 的个数有 个. 2019-2020年中考数学专题37 动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题 （含解析） 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的 观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形 的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有 点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就 问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解 这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存 在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相 似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写动点形成的等腰三角形存在性问题模拟题。 在中考压轴题中，动点形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思 想准确地进行分类。 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（4，0），动点C在直线 1 l:y x 2 上，若以A、B、C三点 为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是【】 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A。 【考点】单动点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的判定，含30度角直角三角形的性质。 专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题 一、基础知识点综述 动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力. 要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等. 存在性问题 主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点. 解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论. 解题核心知识点： 折叠性质； ①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线； 勾股定理； 相似图形的性质、三角函数等. ★等腰三角形存在性问题 解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕； ★直角三角形存在性问题 解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解. 二、精品例题解析 题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题 例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB 上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为. _ Q _ G _ P _ O 二次函数中的动点问题 三角形的存在性问题 一、技巧提炼 1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式 （1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为 ，然后解三元方程组求解； （2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为 求解； 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2 +bx+c = 0是否有根的情况进行判定； 判别式ac b 42-=? 二次函数与x 轴的交点情况 一元二次方程根的情况 △ ＞ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根 △ ＜ 0 与x 轴 交点 实数根 △ ＝ 0 与x 轴 交点 方程有 的实数根 3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ） (1)对称轴是直线2 x 2 1x x += (2)两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：2 21221)()(y y x x PQ -+-= 练一练：已知A （0，5）和B （－2，3），则AB ＝ 。 4、 常见考察形式 1）已知A （1,0），B （0，2），请在下面的平面直角坐标系 坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形； 总结：两圆一线 方法规律:平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个 端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线； 2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴 上找一点C ，使△ABC 是直角三角形； 总结： 两线一圆 方法规律{平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的 两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆； 5、求三角形的面积： （1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法； 如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的 这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）． 我们可得出一种计算三角形面积的新方法： S △ABC =1 2ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。 6、二次函数中三角形的存在性问题 解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度；（2）再画图；（3） 后计算 B C 铅垂高 水平宽 h a A直角三角形存在性
数列中的存在性问题 经典
专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)
动点问题、存在性问题小结
中考数学 专题16 函数动点问题中三角形存在性(解析版)
中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略
直角三角形的存在性问题解题策略
2017年数学中考专题《存在性问题》
特殊平行四边形动点及存在性问题(压轴题)复习课程
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)
中考专题存在性问题解题策略 角的存在性处理策略
动点存在性问题
专题：直角三角形存在性问题
平行四边形的存在性问题
直角三角形的存在性问题(教案)
2019-2020年中考数学专题37动态几何之动点形成的等腰三角形存在性问题(含解析)
专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题(解析版)
二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)解析