高考数学一轮复习第八章几何第讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程习题创新
2017高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程习题
A组 基础巩固
一、选择题
1．直线l：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )
A. B．
C．－ D．－
[答案] A
[解析] 设直线l的斜率为k，则k＝－＝.
2．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
[答案] D
[解析] 因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．
3．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
[答案] D
[解析] 由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.
当y＝0时，x＝.
∴＝a＋2，
解得a＝－2或a＝1.
4．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
[答案] A
[解析] 取特殊值法或排除法，可知A正确．
5．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
[答案] D
[解析] 由函数y＝f(x)＝a sin x－b cos x的一条对称轴为x＝知，f(0)＝f()，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°.
6．(2015·北京顺义区二模)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜ B．k＞1或k＜
C．k＞或k＜1 D．k＞或k＜－1
[答案] D
[解析] 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3＜1－＜3，解得k＞或k＜－1.
二、填空题
7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈[，]∪[，π)，则k的取值范围是____________________.
[答案] [－，0)∪[，1]
[解析] ∵k＝tanα，α∈[，]∪[，π)
∴－≤k＜0或≤k≤1.
8．若ab＞0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为____________________.
[答案] 16
[解析] 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab＞0，故a＜0，b＜0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号．即ab的最小值为16.
9．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是____________________.
[答案] [－2,2]
[解析] b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x
＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．
10．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为____________________.
[答案] x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
[解析] 设直线的斜率为k(k≠0)，
则直线方程为y－2＝k(x＋2)，
由x＝0知y＝2k＋2.
由y＝0知x＝.
由|2k＋2|||＝1.
得k＝－或k＝－2.
故直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.
三、解答题
11．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B 两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时，直线l的方程.
[答案] x＋y－3＝0
[解析] 设A(a,0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，
直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.
故||·||＝－·＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)(＋)－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
12．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点
P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程.
[答案] (3＋x－2y－3－＝0
[解析] 由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C(，)，
由点C在直线y＝x上，且A、P、B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，
所以l AB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
B组 能力提升
1．(原创题)已知直线l过点O(0,0)和点P(cosα，sinα－4)，其中α≠kπ＋，k∈Z，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．[－，] B．(－∞，－]∪(，＋∞)
C．(－，) D．(－∞，－)∪(，＋∞)
[答案] B
[解析] 动点P的轨迹为圆C：x2＋(y＋4)2＝2，但应除去圆与y轴的两个交点．当直线l与圆C相切时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程
为y＝kx，由圆心C(0，－4)到直线l的距离等于半径，得＝，解得k＝±.利用数形结合，得直线l的斜率的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．
2．(2015·南京调研)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝
0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，那么( ) A．b＞0，d＜0，a＜c B．b＞0，d＜0，a＞c
C．b＜0，d＞0，a＞c D．b＜0，d＞0，a＜c
[答案] C
[解析] 由题意知l1：y＝－x－，则所以
由题意知l2：y＝－x－，则所以
由得(a－c)y＝d－b.
因为直线l1与l2的交点在第一象限，所以y＝＞0，又d－b＞0，所以a－c＞0，即a＞c，故选C.
3．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为
____________________，____________________.
[答案] [－1,1] [0，]∪[，π)
[解析] 如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，
则k PA≤k≤k PB，而k PB＞0，k PA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．
又k PA＝＝－1，
k PB＝＝1，
∴－1≤k≤1.
又当0≤k≤1时，0≤α≤；当－1≤k＜0时，≤α＜π.
故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)．
4．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
[答案] (1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0 (2)a≤－1
[解析] (1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，a≠2，由截距存在且均不为0，
∴＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
因此直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.
5．在△ABC中，已知A(1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x－2y ＝0，AB边上的高线所在直线方程为3x＋2y－3＝0.求BC边所在直线方程.
[答案] 2x＋5y＋9＝0
[解析] k AC＝－2，k AB＝.
∴AC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，
AB：y－1＝(x－1)，即2x－3y＋1＝0.
由得C(3，－3)．
由得B(－2，－1)．
∴BC：2x＋5y＋9＝0.。
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时训练理(2021年整理)
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8。
1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[课时跟踪检测][基础达标]1．直线x sin2－y cos2＝0的倾斜角的大小是（）A．－错误!B．－2C。
错误!D．2解析：因为直线x sin2－y cos2＝0的斜率k＝错误!＝tan2，所以直线的倾斜角为2.答案:D2．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( ) A．8 B．2错误!C。
错误!D．16解析:∵点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋（4－x)2＝2（x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8。
答案：A3．（2018届太原质检）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1)，则直线l的斜率为( ）A.错误!B．－错误!C．－错误!D．错误!解析：依题意,设点P（a,1），Q(7，b），则有错误!解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为错误!＝－错误!。
答案：B4．直线l：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是（)A.错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!解析：设直线l的斜率为k,则k＝－错误!＝错误!。
高考数学(文)大一轮复习检测：8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含答案)
第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线的方程1．辨明四个易误点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．(3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程．1.教材习题改编 经过两点A (m ，3)，B (1，2m )的直线的倾斜角为135°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．4D ．－4B [解析] 由题意得2m －31－m ＝tan 135°＝－1，即2m －3＝m －1，所以m ＝2，故选B.2.教材习题改编 经过点P 0(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0D [解析] 由点斜式得直线方程为 y －(－3)＝tan 45°(x －2)＝x －2， 即x －y －5＝0，故选D.3.教材习题改编 倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝0D [解析] 因为倾斜角为120°，所以斜率k ＝－ 3. 又因为直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.4．(2017·烟台模拟)如果AC ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [解析] 由题意知直线的斜率k ＝－A B ＜0，直线在y 轴上的截距b ＝－CB ＞0，故选C.5．直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1，4)，D (5，0)，则直线l 的方程为________．[解析] 直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3，2)，则直线l ：y ＝23x . [答案] y ＝23x直线的倾斜角与斜率[学生用书P143][典例引领](1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤π6，π3B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3C ．⎣⎡⎦⎤π4，π2D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1，1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．【解析】 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α.由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]． 由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k P A ＝－2，k l ＝－1m.所以－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． 所以实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.【答案】 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围．②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． 求倾斜角时要注意斜率是否存在． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． ②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[通关练习]1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6D [解析] 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． [解析] 因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. [答案] 4求直线的方程(高频考点)[学生用书P144]直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考中对直线方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．[典例引领]根据下列条件，分别写出直线的方程： (1)经过点A (－3，2)，B (－3，5)； (2)斜率为32，在x 轴上的截距为－7； (3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．【解】 (1)显然A 、B 的横坐标相同，故直线AB 与y 轴平行，其方程为x ＝－3. (2)由题意，直线过点(－7，0)．代入直线的点斜式方程得y ＝32(x ＋7)， 即3x －2y ＋73＝0.(3)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.与直线方程有关问题的解题策略(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．(2)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．[题点通关]角度一 已知两个独立条件，求直线方程1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0D [解析] 已知圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.角度二 已知直线方程及其他条件，求参数值或范围2．已知直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0，a 是常数)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，a 的值是( )A ．1B ．2C ．2D ．0A [解析] 直线方程可化为x a ＋y1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号．直线方程的综合问题[学生用书P144][典例引领]过点P (4，1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 【解】 设直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4，1)， 所以4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4ba≥9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立， 所以当|OA |＋|OB |取最小值时， 直线l 的方程为x ＋2y －6＝0.直线方程的应用问题常见的类型及解法(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x 、y 的关系，将问题转化成关于x 的某函数，借助函数性质来解决．(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0., [学生用书P145])——分类讨论思想在求直线方程中的应用(2017·常州模拟)过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________．【解析】 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为 x a ＋ya＝1，即x ＋y －a ＝0. 因为点P (－2，3)在直线l 上， 所以－2＋3－a ＝0，所以a ＝1， 所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ， 则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.【答案】 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用．(3)求直线方程时，还要断定直线是否具有斜率，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1.若直线过点P ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A ．3x ＋4y ＋15＝0B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0D [解析] 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0，0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.2．过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． [解析] (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. [答案] y ＝－53x 或x －y ＋8＝0, [学生用书P275(独立成册)])1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [解析] 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1D [解析] 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a.所以a ＋2a＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0A [解析] 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－cb>0，故ab >0，bc <0.4．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )B [解析] 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．5．(2017·太原质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23B [解析] 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)C [解析] 令x ＝0，得y ＝b2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．7．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程为________．[解析] 设所求直线的斜率为k ，依题意 k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. [答案] 3x ＋4y ＋15＝08．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． [解析] 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． [答案] (2，－2)9．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[解析] b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2]． [答案] [－2，2]10．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a ＝________．[解析] 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．[答案] 1211．△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．[解] (1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3，0)，D (0，2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由(2)知，点D 的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.12．直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] 如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． [答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞)13．设直线l 的方程为x ＋my －2m ＋6＝0，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 的斜率为1； (2)直线l 在x 轴上的截距为－3.[解] (1)因为直线l 的斜率存在，所以m ≠0， 于是直线l 的方程可化为y ＝－1m x ＋2m －6m .由题意得－1m ＝1，解得m ＝－1.(2)法一：令y ＝0，得x ＝2m －6. 由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.法二：直线l 的方程可化为x ＝－my ＋2m －6.由题意得2m －6＝－3，解得m ＝32.14. 如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．[解] 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析
第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。
1。
直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。
当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。
( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。
第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程-2023届高三一轮复习数学精新高考人教A版2019)
3．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _3_x_－__2_y_＝_．0 或 x＋y－5＝0
解析 当纵、横截距均为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0； 当纵、横截距均不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5. 所以直线方程为 x＋y－5＝0.
◇考题再现
向旋转 15°，则旋转后得到的直线 l2 的方程为( B )
A．x－ 3y＋1＝0
B． 3x－y＝0
C． 3x＋y＋1＝0
D．3x－ 3y－1＝0
(2)若 A(1，－2)，B(5，6)，直线 l 经过 AB 的中点 M 且在两坐
标轴上的截距相等，则直线 l 的方程为_2_x_－__3_y_＝__0_或 ___x_＋__y．－5＝0
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方 程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适 合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
[巩固演练] 3．已知直线 l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0 及点 P(3， 4)． (1)证明：直线 l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时，求直线 l 的方程． 解析 (1)在直线 l 的方程可化为： a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0， 由2x＋x＋y－y＋11＝＝00，解得xy＝＝－3 2，， ∴直线恒过定点(－2，3)．
＝5＋－k＋－4k≥5＋4＝9. 所以当且仅当－k＝－4k且 k<0， 即 k＝－2 时，|OA|＋|OB|取最小值． 这时 l 的方程为 2x＋y－6＝0.
►规律方法 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程， 建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．
2025版高考数学一轮总复习知识梳理第8章第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程(含答案)
高考数学一轮总复习知识梳理：第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理知识点一直线的倾斜角1．定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，把x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．倾斜角的取值范围为 [0°，180°).知识点二直线的斜率1．定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．2．过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝y2－y1x2－x1.3．直线的方向向量与斜率的关系1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°kk >0且α越大，k 就越大 不存在k <0且α越大，k 就越大口诀：斜率变化分两段，直角便是分界线； 小正大负皆递增，分类讨论记心中． 2．特殊直线的方程(1)过点P 1(x 1，y 1)垂直于x 轴的直线方程为x ＝x 1； (2)过点P 1(x 1，y 1)垂直于y 轴的直线方程为y ＝y 1； (3)过原点的直线的方程为x ＝my . 3．谨记以下几点(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．求与截距有关的直线方程时应注意过原点的特殊情况是否满足题意．(2)当直线与x 轴不垂直时，可设直线的方程为y ＝kx ＋b ；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x ＝my ＋b .(3)A ，B ，C 三点共线⇔k AB ＝k AC (或k AB ＝k BC ，或k AC ＝k BC )． (4)直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的一个方向向量a ＝(－B ，A )．双 基 自 测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋y b＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(选择性必修1P 58T7)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3.3．(选择性必修1P 67T7)过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 .[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题组三 走向高考4．(2022·北京高考真题)若直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，则a ＝( A )A.12 B ．－12C ．1D ．－1[解析] 由题意知圆心坐标为(a,0)，又直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以圆心在直线上，即2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.5. (2021·山东高考真题)如右图，直线l 的方程是( D )A.3x －y －3＝0B.3x －2y －3＝0C.3x －3y －1＝0 D ．x －3y －1＝0[解析] 由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率k ＝tan 30°＝33，又直线l 与x 轴的交点为(1,0)，所以直线的点斜式方程可得l ：y －0＝33(x －1)，即x －3y －1＝0.故选D.。
新高考数学一轮复习第八章立体几何课时作业47直线的倾斜角与斜率直线方程课件
13．曲线 y＝x3－x＋5 上各点处的切线的倾斜角的取值范围 为 0，π2∪34π，π .
解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为 θ(θ∈[0，π))， 因为 y′＝3x2－1≥－1，所以 tanθ≥－1，结合正切函数的图象 可知，θ 的取值范围为0，2π∪34π，π.
二、填空题 11．已知三角形的三个顶点 A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)， 则 BC 边上中线所在的直线方程为 x＋13y＋5＝0 .
解析：BC 的中点坐标为32，－12，∴BC 边上的中线所在直 线方程为－y－12－00＝32x＋＋55，即 x＋13y＋5＝0.
12．设点 A(－1,0)，B(1,0)，直线 2x＋y－b＝0 与线段 AB 相 交，则 b 的取值范围是 [－2,2] ．
C. 2
D．16
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：∵点 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，∴y＝4－x，∴x2 ＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当 x＝2 时，x2＋y2 取得最小值 8.
9．(多选题)下列说法正确的是( AB ) A．直线 x－y－2＝0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B．点(0,2)关于直线 y＝x＋1 的对称点为(1,1) C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为yy2－－yy11＝xx2－－xx11 D．经过点(1,1)且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x ＋y－2＝0
16．数学家欧拉在 1765 年提出定理，三角形的外心、重心、 垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三 条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线 上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被 后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点 B(－1,0)，C(0,2)， AB＝AC，则△ABC 的欧拉线方程为( D )
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
数学一轮复习练案50理+47文第八章解析几何第一讲直线的倾斜角斜率与直线的方程练习含解析
第八章解析几何第一讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程A组基础巩固一、选择题1．(2021·浙江衢州质检）直线x＋错误!y＋1＝0的倾斜角是(D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析］由直线的方程得直线的斜率为k＝－错误!，设倾斜角为α，则tanα＝－错误!，又α∈［0，π)，所以α＝错误!.2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1,k2，k3，则（D）A．k1<k2<k3B．k3〈k1〈k2C．k3〈k2〈k1D．k1〈k3〈k2[解析]直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1〈0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0〈k3〈k2,因此k1〈k3〈k2，故选D．3．直线3x＋2y＝6的倾斜角的余弦值为（B）A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误![解析］记直线3x＋2y＝6的倾斜角为α，则tan α＝－错误!，∴错误!＝错误!错误!,解得cos α＝－错误!，故选B．4．过点M（1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点,若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为（B）A．2x＋y＝0B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0［解析]设P(x0,0），Q（0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点,∴x0＝2，y0＝－4,∴直线PQ的方程为错误!＋错误!＝1，即2x－y－4＝0。
5．(2021·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小错误!的直线方程是(A)A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2［解析]直线y＝－x－1的倾斜角为错误!,则所求直线的倾斜角为错误!，故所求直线斜率不存在，又直线过点（2，1)，所以所求直线方程为x＝2.6．（2021·重庆巴蜀中学诊断）直线x＋(a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（B)A．错误!B．错误!C．错误!∪错误!D．错误!∪错误!［解析]k＝－错误!∈［－1,0），因此倾斜角的取值范围错误!,选B．7．(2021·重庆一中期中)过点A（1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（D）A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0［解析］当直线过原点时方程为y＝2x，即2x－y＝0，当直线不过原点时，设方程为xa＋错误!＝1，代入A的坐标求出a＝－1,方程为x－y＋1＝0，故选D．8．（2021·广东七校联考)若过点P（1－a，1＋a)和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（A) A．（－2，1）B．（－1，2)C．（－∞，0)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析］由题意知k＝错误!〈0，∴（a－1）（a＋2）<0，即－2〈a<1.故选A．9．(2021·沈阳模拟)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b,c应满足（A)A．ab>0，bc<0B．ab〉0,bc〉0C．ab〈0,bc>0D．ab<0,bc<0［解析］由题意可知直线斜率小于0，纵截距大于0，即错误!，∴错误!,故选A．10．如果A·C〈0，且B·C〈0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－错误!〉0知,在y轴上的截距－错误!〉0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C．11．下列说法正确的是(A)A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B．过点(0，2）的直线方程为y＝kx＋2C．过（x1，y1）,(x2，y2)两点的直线方程为错误!＝错误!D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－2＝0［解析］A中直线在坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2正确,过点（0,2)的直线方程为y＝kx＋2或x＝0,所以B错误，C选项需要条件y2≠y1，x2≠x1，故错误，D选项错误,还有一条截距都为0的直线y＝x。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.1直线的倾斜角斜率与直线的方程学案理20200521
8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程[知识梳理] 1．直线的斜率(1)当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．(2)斜率公式给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，P 2两点的直线的斜率公式为 k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式[诊断自测]1．概念思辨(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( )(2)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A2P109A组T2)如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA>0，在y轴上的截距－CB>0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选C.(2)(必修A2P95T3)倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为________．答案y＝－33x－3解析由直线的倾斜角为150°，知该直线的斜率为k＝tan150°＝－33，依据直线的斜截式方程y＝kx＋b，得y＝－33x－3.3．小题热身(1)(2017·贵州模拟)已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 由点斜式方程知直线l 的方程为y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0.故选A.(2)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 答案 D解析 当a ＝0时，直线方程为y －2＝0，不满足题意，所以a ≠0，所以在x 轴上的截距为2＋a a ，在y 轴上的截距为2＋a ，则由2＋a ＝2＋a a，得a ＝－2或a ＝1.故选D.题型1 直线的倾斜角与斜率典例 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．数形结合，由斜率公式求得k PA ，k PB .答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 方法技巧求直线倾斜角与斜率问题的求解策略1．求直线倾斜角或斜率的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．2．先画出满足条件的图形，找到直线所过的点，然后求定点与端点决定的直线的斜率．见典例．冲关针对训练已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．答案 －23≤m ≤12解析如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l＝－1m ，∴－1m ≤－2或－1m ≥32，解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.题型2 直线方程的求法典例 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．根据已知条件代入相应公式，分别为斜截式、截距式、点斜式．解 (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35.∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34.又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5.即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0.(2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0， 即l 过点(0,0)和(3,2)．∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1. ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2a＝1.∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 方法技巧给定条件求直线方程的思路1．求直线方程常用的两种方法(1)直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如本例(1)、(3)求直线方程，则直接利用斜截式即可．(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组)，求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如本例(2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．2．设直线方程的常用技巧(1)已知直线纵截距b 时，常设其方程为y ＝kx ＋b 或y ＝b . (2)已知直线横截距a 时，常设其方程为x ＝my ＋a .(3)已知直线过点(x 0，y 0)，且k 存在时，常设y －y 0＝k (x －x 0)． 冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α<π)，从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34，故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型3 直线方程的综合应用角度1 由直线方程求参数问题典例(2018·泰安模拟)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.将l 1，l 2分别化为y －2＝a 2(x －2)，y －2＝－2a2(x－2)，知l 1，l 2恒过定点P (2,2)．答案 12解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．角度2 与直线方程有关的最值问题典例 过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程．本题采用基本不等式法求最值．解 (1)设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则2a ＋1b＝1.又∵2a ＋1b≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)设所求直线l 的方程为y －1＝k (x －2)． 则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B (0,1－2k )(k <0)，∴截距之和为2k －1k＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2(－2k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋2 2.此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0.方法技巧与直线方程有关问题的常见类型及解题策略1．求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．2．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．冲关针对训练已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)．设直线l 的方程为x a ＋y b＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋a b ＋b a≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k2＝4.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y－2＝0.1.(2017·大庆模拟)两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )答案 B解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2答案 D解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．(2018·江西南昌模拟)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示．由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．(2014·四川高考)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案 5解析 易知A (0,0)，B (1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时取“＝”)．[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·朝阳模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 D解析 直线斜率为－33，即tan α＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D. 2．(2017·正定质检)直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是( ) A ．40° B ．50° C ．130° D ．140°答案 B解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．(2018·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax－by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D解析 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D.4．(2018·衡阳期末)已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1) 答案 D解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．(2017·河南新乡一中周考)若m ，n 满足m ＋2n －1＝0，则直线mx ＋3y ＋n ＝0过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16C.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，12 答案 B解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n )＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫12，－16.故选B. 7．若经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 解法一：直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.解法二：设方程为x a ＋y b＝1， 将(1,4)代入得1a ＋4b＝1.a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥9， 当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． 所以直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.故选B. 8．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．(2017·烟台期末)直线mx ＋n2y －1＝0在y 轴上的截距是－1，且它的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝－2B ．m ＝3，n ＝2C ．m ＝3，n ＝－2D ．m ＝－3，n ＝2答案 A解析 根据题意，设直线mx ＋n2y －1＝0为直线l ，另一直线的方程为3x －y －33＝0， 变形可得y ＝3(x －3)，其斜率k ＝3，则其倾斜角为60°，而直线l 的倾斜角是直线3x －y －33＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的倾斜角为120°，且斜率k ＝tan120°＝－3，又由l 在y 轴上的截距是－1， 则其方程为y ＝－3x －1；又由其一般式方程为mx ＋n2y －1＝0，分析可得m ＝－3，n ＝－2.故选A.10．若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3答案 C解析 因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图． 当过原点和点(m ，n )的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小，最小值为2.故m 2＋n 2的最小值为4.故选C. 二、填空题11．已知P (－3,2)，Q (3,4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－13解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A (0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a .若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a <－13.12．(2018·石家庄期末)一直线过点A (－3,4)，且在两轴上的截距之和为12，则此直线方程是________．答案 x ＋3y －9＝0或y ＝4x ＋16 解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ， 直线方程为x a ＋y12－a＝1，把A (－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1，整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1， 整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x－2y ＋2＝0.综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2. 14．在下列叙述中：①若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α； ②若直线斜率k ＝－1，则它的倾斜角为135°；③已知点A (1，－3)，B (1,3)，则直线AB 的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点(3,4)； ⑤若直线斜率为34，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误．三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。