苏科版九年级数学下册第5章 二次函数 相关知识要点
二次函数相关知识要点
1、二次函数()20y ax a =≠的图象和性质
二次函数
()20y ax a =≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点是原点.
.
2、二次函数()()()()2
2
20,0,y ax k a y a x h a y a x h k =+≠=-≠=-+()0a ≠的图象和性质
（1）、二次函数()20y ax k a =+≠的图象和性质
二次函数
()20y ax k a =+≠的图象是一条拋物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是0,k .
二次函数
()()2
0y a x h a =-≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y 轴或与y 轴重合的直线x h =，顶点坐标是
,0h .
（3）、二次函数0y a x h k a =-+≠的图象和性质
二次函数()()2
0y a x h k a =-+≠的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x h =，顶点坐标为),h k .
(1)由
()2
y a x h k =-+可直接看出抛物线的顶点坐标(),h k
(2) a 决定抛物线的形状、大小，,h k 决定抛物线的位置. 具体的平移操作如图所示.
(3)二次函数
()2
y a x h k
=-+的图象可由抛物线
2y ax =的图象平
移得到，h 与k 的符号分别确定左右平移和上下平移的方向，h 与k 的绝
对值确定平移的距离.抛物线平移规律是“左右平移，左加右减：上下平移.上加下减”
二次函数解析式有三种常见形式： (1)—般式(或三点式)：2y ax bx a =++ (,,a b c 为常数，0a ≠)；
(2)
顶点式(或配方式)：()2
y a x h k =-+ (,,a h k 为常数，0a ≠)；
(3)交点式(或两根式)：()()12y a x x x x =-- (12,,a x x 是常数，0a ≠拓展点).
注意
(a)任何一个二次函数解析式通过配方都可以化成顶点式()2
y a x h k =-+，抛物线顶点坐标为(),h k .当0h =时，抛
物线顶点在
y 轴上；当0k =时，抛物线顶点在x 轴上；当0,0h k ==时，抛物线顶点在原点处.
(2)两根式又叫交点式，12,x x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即交点
()1,0A x ，交点()2,0B x .
(3)确定二次函数解析式时，根据所给的条件；合理地选择恰当的表达式.一般地，已知抛物线上；任意三点时，通常设函数解析式为一般式；当已知顶点坐标时，通常设函数解析式为顶点式；当已知抛物线与x 轴的两个交点时，通常设函数解析式为交点式. 5、二次函数
()20y ax bx c a =++≠的图象特征与,,a b c 的
符号之间的关系
(1)由抛物线的开口方向可确定a 的符号，简记为“上正下负”. (2)由a 的符号及对称轴2b
x a
=-
的位置可确定b 的符号.特殊地，对称轴为
y 轴时，0b =；—般情况可简记为“左同右异”，
即对称轴在y 轴左侧，,a b 同号，对称轴在y 轴右侧，,a b 异
号.(3)当抛物线与y 轴交于原点时，0c =，否则可简记为“上
正下负”，即抛物线与y 轴交于x 轴上方，c 为正；交于x 轴下方，c 为负.
6、抛物线与直线的交点
直线
()0y kx b k =+≠与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点坐标即方程组2
,
y kx b y ax bx c
=+⎧⎨=++⎩的解. 当方程组有两个不同解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组只有一个解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点.
7、二次函数与一元二次方程的关系
函数
()20y ax bx c a =++≠，当0y =时，得到一次方程()200ax bx c a ++=≠，那么一元二次方程的根就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此，二次函数的图象与x 轴的交点情况决定相应一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴有两个交点时，240b ac ->，方程()2
00ax bx c a ++=≠有
两个不相等的实数根；
(2)当二次函数的图象与
()
20y ax bx c a =++≠轴有且只有一个交点时，
240
b a
c -=，方程
()200ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；
(3)当二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴无交点时，240b ac -<，方程()200ax bx c a ++=≠无实数
根.
综上，求一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的根也就是求二次函数()20y ax bx c a =++≠的值为0时自变量x 的
值，即抛物线
()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的交点
若抛物线
()20y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为()1,0A x 和()2,0B x ，则抛物线的对称轴为直线12
2
x x x +=
，
对称轴与x 轴的交点恰为线段
AB 的中点.。
苏科版九年级下册数学：5.5 用二次函数解决问题 课件(共16张PPT)
B
整理得y=(x-1)2-4 变式3：当2≤x≤4时，求函数y=x2-2x-3的 最大值和最小值.
当x=4时，函数y取得最大值5;
当x=2时，函数y取得最小值-3.
三、归纳小结1：“定区间”下的函数最值问题
二次函数y=ax2+bx+c(a＞0) 试确定当m≤x≤n时，函数的最值.
mn b 2a
m b n 2a
有最大值4，则实数m的值为____祝__你_中__考_.
y
金榜题名！
-2 o 1
当m>1时
由图可知，x=1时，函数y取得最大值，
x
即-(1-m)2+m2+1=4 ，解得m=2.
因为m>1，所以m=2.
xm
对称轴x=m
应用2：当-2≤x≤1时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1
有最大值4，则实数m的值为____祝_你__中_考__.
变式1：当-2≤x≤0时，求函数y=x2-2x-3 的最大值和最小值.
当x=-2时，函数y取得最大值5;
当x=0时，函数y取得最小值-3.
整理得y=(x-1)2-4
变式2：当-1≤x≤2时，求函数y=x2 -2x-3 的最大值和最小值.
当x=-1时，函数y取得最大值0;
A
当x=1时，函数y取得最小值-4.
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
九年级数学下册 第5章 二次函数小结与复习教案 (新版)苏科版 教案
二次函数一. 教学内容：二次函数小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.2. 难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.三. 知识梳理：1. 二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．2. 二次函数的性质值函数的图象及性质＞0 ⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x＝时，函数有最小值；当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大．＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x＝时，函数有最大值；当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小．3. 二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．4. 、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5. 二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.6. 二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.【典型例题】例1. 二次函数y=－x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b 中，值大于0的个数有（）A. 5B. 4C. 3D. 2例3. 如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）A. －B. 0C. －或0D. 1例4. 已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。
苏科版九年级下册数学第5章 全章热门考点整合应用
段抛物线 C2：y＝－18x2＋bx＋c 运动．
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时， 离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数表达 式(不要求写出自变量x的取值范围)；
解：由题意可知抛物线 C2：y＝－18x2＋bx＋c
过 点 (0 ， 4) 和 (4 ， 8) ， 将 这 两 个 坐 标 代 入 得
解：∵D(0，－3)， ∴点D平移到点A，图像向右平移2个单位，向上 平移4个单位，可得平移后图像所对应的二次函数 的表达式为y＝－(x－4)2＋5.
如图，有长为24m的栅栏，一面利用墙(墙的最大可用 5
长度为10m)，围成中间隔有一道栅栏的长方形鸡舍(栅 栏厚度不计)．设鸡舍的一边AB为xm，面积为Sm2.
9 如图，线段AB的长为2，点C为AB上一个动点，分别以 AC，BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等 腰直角三角形BCE，求DE长的最小值．
解：设 AC＝x(0＜x＜2)，则 BC＝2－x. ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，
∴CD＝ 22x，CE＝ 22(2－x)，∠DCA＝∠ECB ＝45°.∴∠DCE＝180°－45°－45°＝90°. 在 Rt△DCE 中，由勾股定理，得 DE2＝DC2＋
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0 ＝a＋4－3，解得a＝－1. ∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1. ∴A(2，1)． ∵对称轴为直线x＝2，B、C关于直线x＝2对称， ∴C(3，0)． ∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图像，使点D恰好落在点A的位 置上，求平移后图像所对应的二次函数的表达式．
解：设老张明年种植该作物的总利润为W元，依题意得 W＝[2160－(4x＋200)＋120]·x＝－4x2＋2080x＝－4(x－ 260)2＋270400， ∵－4＜0，∴当x＜260时，W随x的增大而增大， 由题意知x≤240，∴当x＝240时，W最大， 最大值为－4×(240－260)2＋270400＝268800(元)． 答：当种植面积为240亩时，老张明年种植该作物的总利 润最大，最大利润是268800元．
2020年苏科版九年级下册知识点归纳(最新最全)
苏科版九年级数学下册知识点总结第五章 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 十二、二次函数考查重点与常见题型2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)21． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年数学下册第五章二次函数55用二次函数解决问题课件新版苏科版
形储料场ABCD 的面积最大，为 24 3 m2．
方法点拨：
知1－讲
几何图形中求最值，常用的建立函数关系的方法：几何
图形中的最值问题，一般都是利用二次函数的最值求
解，根据几何图形建立二次函数关系是解题的关键.
一般在几何图形中建立函数关系有如下常用方法：
①面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系.
②勾股法：利用勾股定理建立函数关系.
知1－讲
解题秘方：可用待定系数法来确定y与x之间的函数
关系式；
解：设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b.
由题意得 40k+b＝300， 55k＋b＝0.
解得 k＝－10， b＝700.
故y与x之间的函数关系式为y=－10x+700.
知1－讲
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240 件，当销售 单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多 少？ 解题秘方：设每天的利润为w元，根据利润= 销售量× 单件的利润列式，然后将(1)中的函数关系 式代入，求出利润和销售单价之间的关系式， 最后根据其性质来判断出最大利润；
(－2ba，4ac4－a b2).
当－x2=ba
时，抛物线有最高(低)点，
4ac－b2
函数有最大(小)值为4a .
知1－讲
例 3 [月考·淮安] 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知 球出手时离地面 20米，与篮圈中心的水平距离为 9 8 米，当球出手后运行的水平距离为4 米时达到最 大高度4 米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中 心距离地面3 米．
用二次函数解决问题
实际问题
图形面
积问题
利润问题 分类
数学 模型
转化
抛物线
苏科版九年级下册数学第5章二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2的图像和性质
解题技巧：
知4－讲
①“左加右减自变量，上加下减常数项”，抛物线左右平移时，
只有h发生变化；上下平移时，只有k发生变化，反之，根据
h的值可以确定左右平移的方向和距离；根据k的值可以确定
上下平移的方向和距离.
②画二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像的关键是先确定顶点坐
要点提醒： a 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 和 开 口 大 小 ， 所 以 y=ax2(a≠0) 与
y=ax2+k(a≠0)的图像开口方向和开口大小相同，只是位置不同.
(0，k)
知1－讲
a，k 的符 y=ax2+k(a>0) y=ax2+k(a<0)
号
k>0 k<0 k>0 k<0
图像
方法点拨：
知2－讲
平移规律：左加右减，横变纵不变.
①“ 左 加 ” 表 示 当 h ＞ 0 时 ， 函 数 y=a(x+h)2 的 图 像 可 以 由 函 数
y=ax2的图像向左平移h个单位长度得到.
②“ 右 减 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x+h)2 的 图 像 可 以 由 函 数
知2－讲
方法点拨： 当a>0时，抛物线开口向上，图像有最低点，当x=
－h时，y最小值=0； 当a<0时，抛物线开口向下，图像有最高点，当x=
－h时，y最大值=0.
知2－讲
解：由y=－3(x－1)2可知，抛物线开口向下，对称轴 为直线x=1，顶点坐标为(1，0).
知2－讲
例4 在平面直角坐标系中，函数y=－x－1与y=－ (3x
九年级数学下册《二次函数》知识点总结苏教版
九年级数学下册《二次函数》知识点总结苏教版一、二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax ²+bx+c则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二、二次函数的图像和性质二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴。
二次项系数a决定抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
三、用待定系数法确定二次函数表达式待定系数法只是一种方法，是一套固定程序，并不是什么公式。
就比如说二次函数，有一种一般表达式y=ax²+bx+c，那么a、b、c叫做系数，它们未知，有待确定所以叫“待定系数法”。
待定系数法就是要想办法找出这个二次函数过的三个已知点，把它们代入表达式ax1²+by1+c=0ax2²+by2+c=0ax3²+by3+c=0解这三个方程可以求出a、b、c就算出了二次函数表达式。
有时候也不一定非要把这三个数都求出来，只是要它们之间的某些关系。
四、二次函数与一元二次方程一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
五、用二次函数解决问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：建立适当的平面直角坐标系;把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来;用待定系数法求出抛物线的关系式;利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.。
九下数学课件 二次函数y=ax^2+k的图像与性质 (课件)
(2) BF＝BC 理由：在y＝kx＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ 点F的坐标为(0，2)．
∴ OF＝2.过点F作FH⊥BC，垂足为H.设点B的坐标为 t， 1 t2 + 1 ，
4
∵ 易知四边形OFHC为矩形，∴ OF＝CH，FH＝OC＝t，BC＝14t2＋1.
∴
BH
＝
BC
－
CH
＝
BC
－
OF
＝
1 4
当x＜0时，y随x增大而减小．
抛物线关于y轴对称．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
那么y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像有什么关系？
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像． （1）列表．
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
位置上下平移规律，即：抛物线y=ax2+k 是由抛物线 y=ax2 上下平移｜ k ｜个单位长度得到的，“上加”表 示当k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时， 向下平移；
“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平 移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
l 归纳：
2. 二次函数y=ax2+k 的图像
l 归纳：
3. 二次函数y=ax2+k 的性质 (1)当a>0时，函数有最小值k，当a<0时，函数有 最大值k； (2)如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当 x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0 时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增 大而减小.
l 归纳：
4. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：类比作二次函数y=ax2 图象的描点法，
苏科版初中九年级下册数学：第5章 二次函数
8、已知抛物线y=
线段OA，OB的长度之和是 2√3 。
9.某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售出时，能卖 出500个，已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，设每 个涨价x元，销售价可以表示为 (50+x)元 ，一个商品所获利 润可以表示为 (50+x-40)元 ，销售量可以表示为 _(5_0_0_-1_0_x)_个_， 利润可以为 (50+x-40)(500-10x) ，因此，定价是 70 元时， 最大利润是 9000 元。
一、选择题
1.在二次函数y=ax2+bx+c中，ac ＞0，则它的图像
与x轴的关系是( B )
A. 没有交点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. 有两个交点
C. 有一个交点
D. 不能确定
2.已知抛物线y=x2+px+q经过点(5，0)，(-5，0)，则 p+q=( C )
A. 0 B. 25 C. -25 D. 5
3.若二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如下，与x轴的一个
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4， x2=-2
P
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1，-9) ∴S△ABC=27
6、抛物线 y=-2x2+4x+6 顶点为A，与x轴交于B、C y 两点，与y轴交于D点，求四边形ABCD的面积。 D A
y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8，图像如图
增大而增大。
而减小。
4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种 情况与一元二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点
苏科版九年级第五章 《二次函数》知识点
第5章 《二次函数》知识点康 进 成一、二次函数的概念和一般式1、概念： ；2、一般式： ；3、自变量的取值范围： ；4、列实际问题的二次函数表达式 ；二、二次函数y=ax 2的图象特征和性质1、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 ；2、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .三、二次函数2()y a x h k =-+的图像画法、平移规律、特征和性质1、图像画法：列表（取五对数）、描点（描五个点）、连线2、平移规律：左加右减、上加下减3、特征：开口方向 、顶点坐标 、对称轴 .4、性质：（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .四、二次函数2()y a x h k =-+中a 、h 、k 的意义（1）a 决定 ，（2）h ① ；② ；③ ，（3）k ① ；② ；③ . 五、二次函数一般式2y ax bx c =++对应的顶点式224()24b ac b y a x a a -=++、特征、性质 1、转化：2y ax bx c =++224()24b ac b a x a a -=++. 2、特征：开口方向、顶点坐标（2b a -，244ac b a -）、对称轴是直线2b x a=-. 3、性质（1）增减性：当a ＞0时② ；③ ；④ .当a ＜0时② ；② ；③ .（2）最值：当a ＞0时，x= ，有最小值，y 最小值是 ；当a ＜0时，x= ，有最大值，y 最大值是 .注：由一般式回答图像特征和性质的思路：（1）直接通过计算相关代数式（如2b a-，244ac b a -）的值后解决问题. （2）将一般式转化成顶点式：224()24b ac b y a x a a-=++，结合顶点式来解决问题. 六、二次函数一般式2y ax bx c =++中a 、b 、c 符合和一些重要代数式的符合的确定1、a 看 而确定符合；b 看 而确定符合；c 看 而确定符合；2、2a b +看2b a -与 而确定符合，2a b -看2b a-与 而确定符合， 24b ac -看 而确定符合.3、a b c ++ 而确定符合，a b c -+ 而确定符合， 42a b c ++ 而确定符合，42a b c -+ 而确定符合.七、二次函数的对称规律1、二次函数一般式2y ax bx c =++的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2y ax bx c -=++，即：2y ax bx c =---（2）关于y 轴对称的表达式为：()()2y a x b x c =-+-+ 即：2y ax bx c =-+ （3）关于原点轴对称的表达式为：()()2y a x b x c -=-+-+即：2y ax bx c =-+- 2、二次函数顶点式2()y a x h k =-+的对称规律（1）关于x 轴对称的表达式为：2()y a x h k =---（2）关于y 轴对称的表达式为：2()y a x h k =++（3）关于原点轴对称的表达式为：2()y a x h k =-+-八、二次函数的三种形式和用待定系数法确定函数表达式1、一般式：2y ax bx c =++，已知条件 ，设为一般式求出待定系数的值确定表达式.2、顶点式：2()y a x h k =-+，已知条件 ，设为顶点式求出待定系数的值确定表达式.3、交点式：12()()y a x x x x =--，已知条件 ，设为交点式求出待定系数的值确定表达式.九、二次函数与一元二次方程1、二次函数的图像与x 轴的交点情况与相应的一元二次方程的根的情况的关系.2、由24b ac -的符合确定二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点情况.3、求二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴、y 轴的交点坐标.4、确定（求出）二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的交点坐标，结合图像由y 值的符合确定x 的取值范围.5、由x 值的取值范围值，结合图像根据x 值的取值范围与抛物线对称轴的位置关系（有三种情况：对称轴在x 值的取值范围右边、之间、左边），而确定y 值的取值范围.6、利用图像由二次函数值与一次函数值、二次函数值与反比例函数值的大小关系确定x 的取值范围（关键是组成方程组，解出方程组的解而确定交点坐标，然后看图像而确定x 的取值范围）.7、利用图像（或表格）确定相应的一元二次方程的近似解.十、二次函数与几何图形的综合1、这类问题的三大特点：一数形结合、二分类讨论、三运动.2、抓住二次函数的性质和一些几何图形的性质3、几何图形有等腰三角形、直角三角形、平行四边形（菱形、正方形）、相似三角形、圆，并注意这些几何图形性质的灵活应用，如等腰三角形中等边对等角，直角三角形中勾股定理，平行四边形（菱形、正方形）中对边平行且相等，由相似三角形得比例式，圆中有圆周角定理、切线长定理的应用等等4、如有求值必找等式，用方程思想解决问题、设动点横坐标，代入函数关系式表示出纵坐标，再写成坐标便于解决问题、注意数值与线段长度的区别十一、用二次函数解决问题1、用二次函数知识解决“数”的问题列二次函数解决问题与列整式方程解决问题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．常见的问题主要是解决最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)问题.2、用二次函数的图像解决“形”问题把涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”建立在适当地直角坐标系中，转化为二次函数图像而解决问题常见的问题主要是解决涵洞、桥梁、抛物体等“抛物线形”的实际问题.。