北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.5.1 第1课时 二次函数与一元二次方程
少飞行时间？
h
15
O 1 3 t
解：解方程
15=20t-5t2,
你能结合上图，指出
为什么在两个时间球 的高度为15m吗？
t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需
, t1=t2=2. 当球飞行2s时， 它的高度为20m.
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联
系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
（重点）
导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点；
例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值． (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
y = x2＋x－2
1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 有两个交点 有一个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个不相等的实数 b2-4ac > 0 根，为交点的横坐标 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 ，为交点的横坐标 没有实数根
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1· x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1· x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1.
二 运动中的抛物线问题
没有交点
b2-4ac < 0
典例精析 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0，
2 解得 x1＝1，x2＝ . m
当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴 总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与 x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
你能结合图形指出为 什么只在一个时间球 的高度为20m吗？ O 4 20 h t h=20t-5t2
h=20t-5t2
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需 要多少飞行时间？ 解方程：
20.5 h O
t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度?
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
讲授新课
一 二次函数与一元二次方程的关系
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如
果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如
果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）
与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
你能否解决以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多 少飞行时间？ （2）球从飞出到落地要用多少时间？
现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
h t
h=20t-5t2
O
0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.
为一个常数 （定值）
高度为3.5m．
（1）足球的飞行时间是多少？
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5），
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一
元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自
变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即
x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次 函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
针对训练 1.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离 地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的 飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满 足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
0个 1个 2个
3 -2, 1 y = x2－x＋1
相应的一元二次 方 程 的 根 x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 y = x2－6x＋9
典例精析
例2 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角
的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不
考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞 行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题：
h=20t-5t2
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
h
15
O 1 3 t
解：解方程
15=20t-5t2,
你能结合上图，指出
为什么在两个时间球 的高度为15m吗？
t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需
, t1=t2=2. 当球飞行2s时， 它的高度为20m.
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联
系.(难点）
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
（重点）
导入新课
情境引入
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点；
例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值． (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
y = x2＋x－2
1
知识要点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数 y=ax2+bx+c的 图象与x轴交点 有两个交点 有一个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个不相等的实数 b2-4ac > 0 根，为交点的横坐标 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 ，为交点的横坐标 没有实数根
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都 有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1· x2＝a－2， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1· x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1.
二 运动中的抛物线问题
没有交点
b2-4ac < 0
典例精析 例1 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都
是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0，
2 解得 x1＝1，x2＝ . m
当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴 总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与 x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)， B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
你能结合图形指出为 什么只在一个时间球 的高度为20m吗？ O 4 20 h t h=20t-5t2
h=20t-5t2
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需 要多少飞行时间？ 解方程：
20.5 h O
t 你能结合图形指出 为什么球不能达到 20.5m的高度?
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
讲授新课
一 二次函数与一元二次方程的关系
思考
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如
果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐 标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二 次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
观察图象，完成下表：
角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如
果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）
与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
你能否解决以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多 少飞行时间？ （2）球从飞出到落地要用多少时间？
现在不能解决也不要紧，学完本课，你就会清楚了！
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5m.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
h t
h=20t-5t2
O
0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.
为一个常数 （定值）
高度为3.5m．
（1）足球的飞行时间是多少？
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0， 0.5）（0.8，3.5），
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一
元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为 一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是 一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自
变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即
x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次 函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
针对训练 1.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离 地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的 飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满 足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的
抛物线与x轴 公共点 公共点个数 横坐标
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2
0个 1个 2个
3 -2, 1 y = x2－x＋1
相应的一元二次 方 程 的 根 x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 y = x2－6x＋9
典例精析
例2 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角
的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不
考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞 行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 你能否解决以下问题：
h=20t-5t2
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多
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北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程
北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程一、二次函数1. 二次函数的定义二次函数是指具有如下形式的函数：y=ax2+bx+c其中，a、b、c是常数，且a eq0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口向上或向下取决于系数a的正负。
2. 抛物线的顶点二次函数的图像以抛物线的形式出现，其中最高点或最低点被称为顶点。
对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点的横坐标和纵坐标分别为：$$x = -\\frac{b}{2a}$$$$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$$3. 抛物线的对称轴对于二次函数y=ax2+bx+c，其图像的对称轴的方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
对称轴是抛物线的中线，将抛物线分为两个完全对称的部分。
4. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。
在二次函数y=ax2+bx+c中，焦点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{D}{4a}$，其中D=b2−4ac是二次函数的判别式。
准线是与抛物线平行的一条直线，其纵坐标等于焦点的纵坐标减去$\\frac{1}{4a}$，即 $y = -\\frac{D}{4a} - \\frac{1}{4a}$。
5. 抛物线的开口方向二次函数中的参数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上。
当a<0时，抛物线开口向下。
6. 抛物线与坐标轴的交点对于二次函数y=ax2+bx+c，抛物线与x轴的交点可以通过求解该函数的根来得到。
设抛物线与x轴的交点为(x1,0)和(x2,0)，则有以下关系成立：ax12+bx1+c=0ax22+bx2+c=0二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax2+bx+c=0其中，a、b、c是常数，且a eq0。
2. 一元二次方程的求解求解一元二次方程的一般步骤如下：(1)将方程转化为标准形式：ax2+bx+c=0(2)计算方程的判别式D=b2−4ac(3)根据判别式的值确定方程的解的情况：•当D>0时，方程有两个不相等的实数解；•当D=0时，方程有两个相等的实数解；•当D<0时，方程没有实数解；(4)根据判别式的值，使用求根公式求解方程的根：•当D>0时，方程的两个根为 $x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{D}}{2a}$ 和$x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{D}}{2a}$；•当D=0时，方程的唯一解为 $x = \\frac{-b}{2a}$；•当D<0时，方程没有实数解。
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系.5 二次函数与一元二次方程(第1课时) 演示文稿
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
探究一：
1.函数y＝x2＋4x－5与x轴 的交点坐标 解： 2.函数y＝x2－2x－3的图象 与x轴的交点为 方程x2－2x－3 ＝0的两根是
巩固：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的个交点坐标分别是 A（
X1，0 ），
B（
X2，0 ）
探究二
求二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2
与x轴的交点坐标。
观察判断下列图象哪个有可能是抛 2 x 2 x 3 的图象？ 物线 y
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程的关系
（第1课时）
温故知新
－2 ， 0 ） （1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x= －2
0 （2)一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（2 ，） x= 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
y y
A.
O x
B.
O
x
y
y
C.
√
D.
x
O
x
O
议一议
2 二次函数 y ax bx c 的图象与x轴的交点有三种 情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
北师大版九年级数学下册：.1二次函数和一元二次方程关系课件
例如，已知二次函数y = x2－4x的值为3，求自变量x的值， 可以解一元二次方程x2－4x=3（即x2－4x－3=0）．
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.投影仪和白板。
七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。
以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
北师大版九年级数学下册第二章2.5《二次函数与一元二次方程》教学课件(共6份)
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是:（-1，0）和（4，0）
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有 什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2
1
M
N
0
123
x
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外？
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
A
∴水池的半径至少为3m.
O
x/m
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程 没有应用价值，但它体现了“数形结合”这 一重要的数学思想方法。也启示我们只要善 于观察和思考，就能发现事物之间的各种联 系，去探索科学的奥秘。
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
解法2
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交 点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解;
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5 一元二次方程x2-4x+4=1的根与二次函数y=x2-4x+4的图象有 什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
y
y=x2-4x+4
2
1
M
N
0
123
x
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
它因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流
不至于落在池外？
y/m
解: 在y=-x2+2x+3中，当x=0时y=3，
∴ OA=3m 而当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3
A
∴水池的半径至少为3m.
O
x/m
课堂寄语
利用二次函数的图象求一元二次方程的 近似根，虽然对于我们现在解一元二次方程 没有应用价值，但它体现了“数形结合”这 一重要的数学思想方法。也启示我们只要善 于观察和思考，就能发现事物之间的各种联 系，去探索科学的奥秘。
由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.
解法2
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近 似根.
(1).原方程可变形为x2+2x-13=0； (2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象；；
(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交 点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一 个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约 为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计 算器确定其近似值). (4).确定方程x2+2x-10=3的解;
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数与一元二次方程(第1课时)》公开课课件.ppt
(1).h和t的关系式是什么？
h
100
解 : 1.h 5t 2 40t.
(2).小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴 进行交流.
80 60 40 20
02468 t
2.8s,可以利用图象,也可以解方程 5t 2 40t 0.
活动探究2
活动探究2
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
2 抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ c ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点 D 画出图象后才能说明 3 抛物线y=x2-4x+4与轴有 1 个交点，坐标是 （2，0） 。 4 不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标。
解：∵解方程x2-3x-4=0得： x1=-1，x2=4
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情 况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数 y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就 是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
课堂点睛
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
活动探究1
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间 t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛 出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面 以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运 动时间t(s)的关系如图所示,那么
九年级数学下第2章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系习题北师大
BS版九年级下
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1D 2A 3C 4B
5C 6D 7C 8A
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9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
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1．【2020·成都】关于二次函数 y＝x2＋2x－8，下列说法正确的 是( D ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为(0，8) C．图象与 x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D．y 的最小值为－9
【答案】C
8．【中考·徐州】若函数 y＝x2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交
点，则 b 的取值范围是( A )
A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b
＞0，解得 b＜1.但本题易忽略与 x 轴的交点不能在原点上，即 b
【答案】D
7．【2020·遵义】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝－2. 抛物线与 x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其 部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有( ) ①4a－b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个 不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】①∵对称轴在 y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，
∵c＜0，∴abc＞0，故①正确； ②∵对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴2a＋b＝0，故②正确； ③∵2a＋b＝0，∴a＝－12b，∵当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＞0， ∴－12b－b＋c＞0，∴3b－2c＜0，故③正确；
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
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1．【2020·成都】关于二次函数 y＝x2＋2x－8，下列说法正确的 是( D ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为(0，8) C．图象与 x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D．y 的最小值为－9
【答案】C
8．【中考·徐州】若函数 y＝x2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交
点，则 b 的取值范围是( A )
A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b
＞0，解得 b＜1.但本题易忽略与 x 轴的交点不能在原点上，即 b
【答案】D
7．【2020·遵义】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝－2. 抛物线与 x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其 部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有( ) ①4a－b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个 不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】①∵对称轴在 y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，
∵c＜0，∴abc＞0，故①正确； ②∵对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴2a＋b＝0，故②正确； ③∵2a＋b＝0，∴a＝－12b，∵当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＞0， ∴－12b－b＋c＞0，∴3b－2c＜0，故③正确；
北师大版九年级数学下册2.5.1：二次函数与一元二次方程 课件(共15张PPT)
x
������ = ������������ − ������������ + ������
o1
x
教学目标
1.经历探索二 次函数与一元 二次方程的关 系的过程，体 会方程与函数 之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交 3.理解一元二 点的个数与一元二次方 次方程的根就 程的根的个数之间的关 是二次函数与 系，理解何时方程有两 x轴交点的横 个不相等的实数根、两 坐标. 个相等的实数根和没有 实数根.
������������ + ������������ = ������ 解得：
������������ = ������ ������������ = −������ ������������ − ������������ + ������ = ������ 解得： ������ = ������ ������������ − ������������ + ������ = ������ 没有实数根
总结归纳
二次函数������ = ������������������ + ������������ + ������的图像与x轴交点的 横坐标就是一元二次方程������������������ + ������������ + ������ = ������的根
典型例题
例1、已知方程������������������ + ������������ + ������ = ������的两个根分别为������������ =
观察比较，小组讨论得出结果：
������ = ������������ + ������������
与x轴的交点是：
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
最新北师大版九年级下册数学精品课件-2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程(1)
14．已知点A(1，1)在二次函数y＝x2－2ax＋b的图象上． (1)用含a的代数式表示b； (2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图 象的顶点坐标． 解：(1)b＝2a (2)由(1)y＝x2－2ax＋2a∴Δ＝4a2－8a＝0，解得a＝0 或2，当a＝0时，y＝x2，顶点为(0，0)，当a＝2时，y＝x2－4x＋4＝(x －2)2，顶点(2，0)
13．如图一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于 点O，A1.将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋 转180°得C3，交x轴于点A3……如此进行下去，直至得C13.若P(37，m) 在第13段抛物线C13上，则m＝2 __ __．
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A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 12．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使函数值为0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数y＝x2－mx＋m－2(m为实数)的零点 的个数是_2_个______．
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(2)令 y＝0，则 kx2＋(2k＋1)x＋2＝0，∴(x＋2)(kx＋1)＝0，∴x1＝ －2，x2＝－k1.∵k 为正整数，x2＝－k1为整数，∴k＝1.∴y＝x2＋3x＋2， 其图象如图，
∴当 y1＞y2 时，a＜－4 或 a＞1 (3)∵y＝kx2＋(2k＋1)x＋2，∴(x2 ＋2x)k＋x＋2－y＝0，即(x2＋2x)k＝y－x－2.∵此抛物线恒过定点，∴ x2＋2x＝0，且 y－x－2＝0，∴x＝0，y＝2 或 x＝－2，y＝0.故抛物线 y ＝kx2＋(2k＋1)x＋2 恒过定点(0，2)与(－2，0)