一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

数学，是一门自然学科。对于所有的高中生来说，要学好这门学科，却不是一件容易的事。大多数高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、没有兴趣。但由于高考“指挥棒”的作用，又不得不学。“怎样才能学好数学？”成了学子们问得最多的问题。而怎样回答这个问题便成了教师们的难题。很多人便单纯的认为要学好数学就是要多做题，见的题多了，做的题多了，自然就熟练了，成绩就提高了！于是，“题海战术”便受到很多教育工作者的青睐。熟话说，“熟能生巧”，当然，多做体肯定对学生数学成绩的提高有一定的好处。但长期这样，只会使数学越来越枯燥，让学生越来越厌烦，于是出现厌学、抄作业等现象。

众所周知，数学题是做不完的。我认为要使学生学好数学，还是要从提高学生的数学思维能力和学习数学的兴趣上下工夫。要利用书本上有限的例题和习题来提高学生的学习兴趣和能力。在数学教学过程中，通过利用一切有用条件，进行对比、联想，采取一题多解与一题多变的形式进行教学。这对培养学生思维的广阔性、深刻性、探索性、灵活性、独创性无疑是一条有效的途径。另外，能力提高的过程中，学生的成就感自然增强，并且在不断的变化和解决问题的不同途径中，兴趣油然而生。

对于传统的数学教学来说，教学过程的重点不外乎为：讲解定义推导公式，例题演练，练习，及习题的安排。下面就一题多解与一题多变在教学中的运用谈谈我个人的几点看法。

一、在公式的推导中运用一题多解

数学的公式在数学的解题中的作用是非常巨大的。并且，要学好数学，就必须熟练的运用公式。但很多学生对公式的记忆大多采取死记硬背的方法，对公式的推导往往不够重视。其实，公式的推导过程就是一种解题的方法，或是一种解题技巧。我们如果在公式的推导过程中运用一题多解的话，就会让学生在学习知识的产生过程中同时掌握解题的规律和方法，也便于公式的理解记忆。例如：在学习等差数列通项公式a n =a 1+(n-1)d 时，

方法一：

21a a d =+

3212a a d a d =+=+

4313a a d a d =+=+…………………

由此得到 方法二：

有等差数列定义知： 1n n a a d --=

所以有 12n n a a d ---=

23n n a a d ---=

……………

32a a d -=

21a a d -=

累加得 ()11n a a n d -=-从而得到 方法二就是我们常用的求数列通项公式的方法—累差法。这样的话，学生对这个公式的产生过程印象就更深刻，对公式也就更难忘。另外，在记忆公式的同时，也学到了重要的数学方法和思路，更有助于学生数学思维的发展。这种实例在高中阶段的新课教学中还有很多，就不一一列举。

二、在例题讲解中运用一题多解和一题多变

一题多变和一题多解的变式在教学之中，往往能起到一座桥的作用，在最近发展区之中能把学生从已知的彼岸渡到未知的彼岸。一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展学生的思维能力，提高学生分析问题的能力。一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论，积极开展多种变式题的求解，哪怕是不能解决，有助于学生应变能力的养成，培养学生发散思维的形成，增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。在例题讲解中运用一题多解和一题多变，就不用列举大量的例题让学生感到无法接受。而是从一个题中获得解题的规律，技巧，从而举一反三。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：

例：已知x 、y ≥0且x+y=1，求x 2+y 2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x ，则

x 2+y 2= x 2+（1-x ）2=2x 2－2x+1=2（x －12 ）2+12

由于x ∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知

当x=12 时，x 2+y 2取最小值12

；当x=0或1时，x 2+y 2取最大值1。 评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。解决函数的最值问题，我们已经有比较深的函数理论，函数性质，如单调性的运用、导数的运用等都可以求函数的最值。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x 、y ≥0，则可设

x=cos 2θ，y=sin 2θ 其中θ∈[0，π2

] 则x 2+y 2= cos 4θ+sin 4θ=（cos 2θ+sin 2θ）2－2 cos 2θsin 2θ

=1－12 （2sin θcos θ）2=1－12

sin 22θ =1－12 ×1－cos4θ2 =34 +14

cos4θ 于是，当cos4θ=－1时，x 2+y 2取最小值12

； 当cos4θ=1时，x 2+y 2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（对称换元思想）由于x+y=1，x 、y ≥0，则可设

x=12 +t ， y=12 －t ，其中t ∈[－12 ，12

] 于是，x 2+y 2= （12 +t ）2+（12 －t ）2=12 +2t 2 t 2∈[0，14

] 所以，当t 2=0时，x 2+y 2取最小值12 ；当t 2=14

时，x 2+y 2取最大值1。 评注：对称换元将减元结果进行简化了，从而更容易求最值。

这三种方法，在本质上都一样，都是通过函数观点来求最值，只是换元方式的不同而已，也就导致了化简运算量大小不同，教师通过引导、启发学生主动思考、运用，提高了学生对数学的认识，也增强了学生思维能力的提高。

解法四：（运用基本不等式）由于x 、y ≥0且x+y=1

则 xy ≤（x+y ）24 =14 ，从而0≤xy ≤14

于是，x 2+y 2=（x+y ）2－2xy=1－2xy

所以，当xy=0时，x 2+y 2取最大值1；当xy=14 时，x 2+y 2取最小值12

。 评注：运用基本不等式可以解决一些含有两个未知量的最值问题，但要注意等号成立的条件是否同时满足。

解法四：（解析几何思想）设d=x 2+y 2 ，则d 为动点C （x ，y ）到原点（0，0）

的距离，于是只需求线段??

???≥≥=+001y x y x 上的点到原点的最大和最小距离就可。

当点C 与A 或B 重合时，d max =1，则（x 2+y 2）max

当OC ⊥AB 时d min = 2

2 ，则（x 2+y 2）min =12 评注：在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

解法五：（数形结合思想）设x 2+y 2=r 2（r ＞0），此二元方程表示以坐标原点为圆心、半径为r 的动圆，记为⊙F 。

于是，问题转化为⊙F 与线段??

???≥≥=+001y x y x

有公共点，求r 的变化范围。 当⊙F 经过线段AB 端点时r max =1；当⊙F

则1

2

≤x2+y2≤1

评注：此解法与解法四并无本质区别，关键是数形结合思想的形成。

至此，解答本题的几种常见方法介绍完毕，下面展示对本题的变式和推广。

变式1：已知a、b为非负数，M=a4+b4，a+b=1，求M的最值。

变式2：已知x、y≥0且x+y=1，能求x8+y8的取值范围吗？x8+y6呢？x7+y7的范围能求吗？

变式3：若x、y≥0且x+y=1，能求得

1

2n－1

≤x n+y n≤1的结论吗？

这样一个由特殊性逐步一般化的思维过程，加强了学生思维能力的培养，通过这样一系列的一题多解和一题多变，培养了学生的综合分析能力、提高了学生数学思维能力，渗透了一些数学方法，体现了一些数学思想，也提供了一个推向一般性的结论。在数学教学中,若将经典例题充分挖掘，注重对例题进行变式教学,不但可以抓好基础知识点,还可以激发学生的探求欲望,提高创新能力；不仅能让教师对例题的研究更加深入，对教学目标和要求的把握更加准确，同时也让学生的数学思维能力得到进一步提高，并逐渐体会到数学学习的乐趣。当然，在新课的教学中有些方法所用的知识，学生还未学到，此时，我们可从中挑选学生学过的知识。其他方法可在今后的总复习中给出。

三、在练习和习题中训练学生运用一题多解和一题多变

在数学教学中，很多老师在课后给学生布置除书上练习题和习题以外的大量习题。使学生感到负担很重。很多学生根本无法完成，便出现了抄作业的现象。对数学的厌恶感便油然而生。还有老师从网上寻找各种各样的所谓的新颖题布置给学生做。这样也只会挫伤学生的自信心。我们为什么不能从书上的习题入手，进行演变，逐渐加深。让学生有规律可寻，循序渐进。日积月累过后，学生解题能力自然提高，对于从未见过的新题也会迎刃而解。另外，我们在把变式题布置给学生的同时，便可要求学生运用一题多解，甚至可以要求学生自己对题型进行变式。这样的作业方式不只可以达到复习巩固的目的，还可以提高学生的探究能力及学习数学的兴趣。

例如，在学习抛物线后，在习题中出现了以下一题：

过抛物线y2=2px 焦点的一条直线和这条抛物线相交，设两个交点纵坐标为y

1，y

2

，

求证：y

1y

2

=-p2。（设线段AB为过抛物线焦点的弦）

此题证明并不难，但其结论却很有用，关键是运用其结论。在布置此题给学生时我们便可以有针对性的演变。如变成

（1）证明：过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三点共线。

（2）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。

（3）证明：抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半，并且被这条抛物线平分。

另外，我们还可以让学生自己变式，便还可能出现如下变式：

（4）证明：抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。

（5）证明：抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。

（6）证明：过抛物线焦点一端，作准线的垂线，那么垂足、原点以及弦的另一端点，三点共线。

在数学习题教学中，一题多变也得循序渐进，步子要适宜，变得自然流畅，使学生的思维得到充分发散，而又不感到突然。

总之，在数学习题教学中，选用一些非加探索不能发现其内在联系的习题，采用一题多解与一题多变的形式进行教学，有助于启发学生分析思考，逐步把学生引入胜境，从而使学生开拓知识视野，增强能力，发展创造思维，同时还可以帮助学生对知识系统性、特殊性、广泛性的深刻理解。