徐昀华 数学建模-草原鼠患问题
数学建模论文草原鼠患问题姓名：徐昀华学号：130200308学院：材料科学与工程学院专业班级：材料1303班提交日期：2014年11月6日摘要：在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。
由生物知识知道，鼠患的主要原因是由于人为对自然环境的损坏使得生态失去了平衡，至使老鼠的视线得到了很好的扩充，在加上天敌数量的减少，使得老鼠数目得不到有效控制。
为了更好的对其进行有效、合理的控制，并对其各种方案进行有效性分析，本文主要通过对老鼠和天敌数目之间的关系利用微分等数学方法对模型进行了建立，并在最后给出了自己的最好的方案，但本文存在一定的缺点，对数据的要求较高，需要对大量数据进行统计，使得模型过于复杂。
关键字：微分方程、几何型曲线、生态平衡、鼠患一、问题重述在我国的内蒙古大草原，由于各种人为因素对自然生态系统的破坏(如过度放牧、大量消灭草原上的狼群等)，造成草原鼠患问题严重，并由此引发了严重的生态问题。
老鼠在草原上是家族式掘洞群居。
它们食量巨大，繁殖力强。
由于挖掘造成的环境损失远远大于单纯的食草所造成的危害。
所有鼠害发生的地方水土流失严重。
有的甚至形成了大面积寸草不生的“鼠荒地”。
更糟糕的是至今我们尚未找到能有效控制进而消灭草原老鼠的办法。
也就是说，至少以目前的技术力量，我们还不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被。
因为不当的灭治方法，鼠害日益泛滥，而且越灭越多，因而也就不得不继续灭下去了。
但是，能否最终将老鼠赶出草原，目前尚难以作出定论。
控制草原鼠患，现在人们通常采用的有下面几种方法:(1) 灭鼠药现在所用的灭鼠药在杀死老鼠的同时，也杀死了老鼠的天敌。
因此，实际的情况是，撒灭鼠药后老鼠的数量反而以几何级数增长。
改进的方法是，可以研制无公害的灭鼠药，但这需要一定的时间和大量资金的投入。
(2) 引入老鼠的天敌通过人工喂养和驯化老鼠的天敌，如鹰、狐狸、狼等，将一定数量的老鼠的天敌引入鼠患严重的草原，利用它们控制老鼠的数量。
这种方法在短期内有效，但也有一定的问题：一是费用比较高，例如，喂养和驯化一只银狐的费用要上千元；二是引入的数量难以确定，数量太小，难以控制鼠患，数量太多就会引起新的生态问题。
(3) 人工种植牧草鼠类是一种需要开阔视野的生物种，只要有茂密的牧草生长，它们就无法生存。
它们的视线之内如果毫无遮拦，便会肆意横行。
在草场植被密集的地方，老鼠并不容易打洞，而且在这样的环境中，老鼠遇到天敌追捕时也难以及时躲避，所以数量不会激增。
但是，据有关资料显示，青藏高原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自行退化。
问题1、建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；问题2、对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；问题3、通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。
二、背景据统计，内蒙古呼伦贝尔大草原一些地区每公顷草原约有千余鼠洞，严重地区鼠害面积已占草场面积的40%，鼠灾已严重影响牧民生存。
进入4月中旬，呼伦贝尔大草原本应该是“草色遥看近却无”的时节，但是由于去冬今春降水量偏低，干旱严重，青草至今还看不到踪影。
而严重的干旱常常成了鼠害产生的温床。
有关部门调查，鼠害最为严重的是新巴尔虎右旗。
这个旗的鼠害面积达800多万亩，占全旗草场的40%。
当地草原工作站监测数据显示，新巴尔虎右旗生存着上亿只老鼠，每天可吃掉上千吨牧草。
本来春季牧草就十分短缺，如今加上严重的鼠害，已经形成老鼠和牛羊争牧草的局面。
在呼伦贝尔草原上为害的老鼠主要是布氏田鼠和长爪沙鼠。
由于近年来老鼠的天敌几乎消失殆尽，再加上多年来持续干旱，老鼠种群发展速度十分惊人。
严重的鼠灾已经影响到草原牧民的生存与发展。
据统计，鼠害严重地区每公顷有老鼠洞1600多个，平均鼠洞密度为每公顷977个。
人在草原上行走，随时可见老鼠窜来窜去，驱车在草原路上走过，就可能轧死几只老鼠。
有关专家警告，呼伦贝尔草原鼠繁殖能力特别强，春夏出生的幼鼠秋天即可繁殖。
如果不能在春季控制住鼠害蔓延的趋势，就有可能给草原带来毁灭性的灾难。
尽管化学灭鼠不是上策，目前还是不得已而为之。
新巴尔虎右旗已经配制了100吨毒饵，发放给牧民，指导牧民常规灭鼠，同时还在协调飞机投毒饵灭鼠。
三、基本假设1）老鼠、天敌的出生率、死亡率在正常状况下保持不变；2）老鼠、天敌各个种群之间的性别比为1：1；3）每只老鼠在单位时间内对草原的破坏程度相同；4）老鼠药、牧草单位数量的的价格长时间内不会发生变化；5）老鼠、天敌生存的环境不会有较大的变化；6）老鼠在短时间内不会产生抗体；7）牧草长成的过程不会受到老鼠的影响（为了避免其对牧草生长的影响，可在为遭破坏的草原上种植牧草然后将其移植到需要解决鼠患问题的地方）8）草原的面积为一公顷9）天敌的生存离不开老鼠[模型分析]针对题目中的三种方案，从时间资金投入以及效果等方面出发，建立差分、微分模型、V olterra 模型，对各方案在其平衡点处的最终效果进行分析并予以比较，得出其在短时间与长时期的优势、劣势，综合考虑各方案，得出一套切实可行的方案。
[模型建立]目标函数：M （t ）=P(t)*Q(t)1;○1 老鼠的数量：axy rx ay r x dt dx-=-=)(;○2 天敌的数量：byx dy bx d y dtdy+-=+-=)(;○3 从○2、○3中消去dt 后得到 天敌与老鼠之间的关系：axyrx byx dy dx dy -+-=)(;○4联立○2、○3得两个平衡点分别为：⎪⎭⎫⎝⎛a r b d A , ， ()00'，A 计算他们的p 、q （p=-(-a+rx) , q=dyb rxa -）发现，对于'A ，q=0但'A 不稳定；对于A 点p=0,q>0,处于临界状态，属于非线性方程，不能用判断线性方程的平衡点的稳定性来判断。
由○4得，方程○2○3的相轨线为：()()c e y e xay r bx d=--（其中c 为任意常数）由c 的任意性知，相轨线是一族从A 点向外扩展的封闭曲线。
1） 方案一：灭鼠药)1(11q q a a a k k +⨯⨯=-+ 1）有公害药物对老鼠的影响：n1次繁殖后x 的增长量（呈几何型曲线增长如图）：（1）x （n 1）=1a 1n qQ (t)=12p xn P (t) =V 1∑=nk nq1aM(t)=P(t)*Q(t)1=∑=nk nq V p xn 01112a *1方案二：引入老鼠的天敌引入天敌前，老鼠一年中的增长曲线及各代每胎所生老鼠数目的条形图 N=（16⨯n+66⨯n 2+56⨯n 3+n 4）×2（老鼠一年生四代）引入天敌后老鼠和天敌的变化情况如下图：23p n Q(t)=⎰=11)(P(t)t t dtv t xM(t)=P(t)*Q(t)1=⎰1123)(*p n 1t t dtv t x 当引入天敌数量过多时，生态达到平衡的时间较短但投入资金较多； 当引入天敌数量较少时，生态达到平衡时的资金投入较少，但所需时间较长，对草原破坏较大；为了达到更好的效果需将时间与损坏程度带入上式给予评价. 2) 方案三：人工种植牧草本问题由于种植牧草的作用是使的老鼠视线受到了阻挡，使得天敌对老鼠的扑捉能力加强，从另一方面来讲也就是说天敌的数量增多。
当牧草开始退化时，老鼠的视线进一步可以扩张，使得老鼠对天敌的躲避能力加强，及可看作是天敌的数目的减少。
用方案二的理论给予说明。
Q(t)=S* p 2 P(t)=⎰11)(t t dt v t xM(t)=P(t)*Q(t)1=112)(*p *S 1t t dtv t x 种植牧草（自然退化）只能在短期内有效地抑制草原鼠的数量，并且维护投资较大，不能从根本上解决问题。
通过对以上三种方案的分析，联系实际得出了一种具体且较为有效的方法如下：从棉花籽中提炼出的棉酚，用中药天花粉和莪术。
分别制出对母鼠和公鼠的避孕药。
实验结果表明，吃了“不育剂”的小白鼠交配后90%没有后代，吃了这种药的白鼠与没吃药的白鼠交配后同样不能正常繁育后代。
通过吉林省黄泥河林业局的验证，我们得出在三年后老鼠的种群数量下降大约为70%。
然后再种植矮麦冬草（其特点见附录）。
同时，培育银狐。
一年后将培育好的狐狸放入自然，捕食老鼠。
据新疆畜牧部门对福海县40多万亩鼠害严重的草原进行调查，发现几乎每个鼠洞群附近都有放归后的银黑狐活动的痕迹，同时还发现有效鼠洞数量比放归银黑狐前减少了70%以上。
最终达到自然平衡的目的。
同时麦冬和银狐都是有自身价值的物种，麦冬和银狐的骨头以及器官都有药用价值，银狐的皮毛又是皮毛市场里的瑰宝。
所以在以后的发展中，可以通过出售此类物品来降低投入的成本。
六 、模型的推广： 1） 澳大利亚袋鼠问题； 2） 水葫芦的引进问题;七 、模型优缺点分析及改进方向【模型优点】 本文通过对老鼠及其天敌的数量变化进行了分析，利用数学工具建立了微积分、差分模型，并利用这个模型对其各种方案进行了评估，得出了自己更为合理的方案。
【模型缺点】 由于本文对数据要求较大，对数据的要求较高，使得模型过于复杂，故最后在达到目的后没有一个具体的老鼠和天敌，以及生态平衡时的种群数量。
天气对老鼠和天敌繁殖和成活的影响没有考虑。
会对最后达到生态平衡的时间有一定的影响。
八 、参考文献《数学模型（第三版）》 高等教育出版社 姜启源《微积分和数学分析引论》 科学出版社 F .约翰 刘嘉善译 《Matlab 实用教程》 电子工业出版社 苏金明《中国生物多样性国情研究报告》 中国环境科学出版社 1998年02月 《生物工程》 科学出版社 刘彬，曾祯，李馨 译………………………………………………………………………………………附录：鼠患对我们的启示要有效遏制鼠害，必须解决超载过牧，这就要运用生态智慧，调整人与自然的关系，杜绝对自然的过度索取。
提及草原，人们常会想到那句著名的古诗：“天苍苍，野茫茫，风吹草低见牛羊。
”如今，这样的风景已很难再觅。
5月的内蒙古草原，正遭受着一场严重的鼠害：草原上满地的鼠洞，让骏马难再奔驰；刚刚返青的牧草，被老鼠大肆吞噬；绿色的草地正在变成黄褐色的荒漠。
据统计，内蒙古草原鼠害危害面积超过9800万亩。
当地人说鼠害猖獗是因为草原退化，可草原退化又是因为什么呢？正如生态学所揭示的，除了气候等自然因素，主因还是人类无节制的活动——既有历史上的开垦农田，也有近年来的滥捕草原动物，还有长期的超载过牧。
草原也是人类的家园，怎么能不让人活动？关键要节制，要敬畏自然，尊重草原生态系统的规律。
草原鼠患问题2
草原鼠患问题一、摘要针对题目所提要求，我们建立了两个模型，分别用于对鼠患发展趋势做短期和中长期的预测。
基本完成题目中所给的任务。
为了对鼠患问题做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由网上资料得到启发，针对现今的草原鼠患的特点，把老鼠的增长率对鼠患问题起主要作用的因素作为建模的关键参数，我们建立了两个模型，对鼠的数量做了合理的预测和分析，其中用到了微分方程和差分方程模型。
在附件中没有给出草原近年鼠患的情况下，建立了短期内预测鼠患的微分方程模型。
得到鼠在第t月有i个月大的出生率、死亡率、生育率，第(t+1)月有(i+1)月大的数量等。
较准确的估计出了老鼠增长的关键参数，使得建立的鼠患短期预测模型符合实际。
关键词：短期中长期微分方程差分方程出生率、死亡率、生育率。
二、问题重述2.1建立恰当数学模型，对上述灭鼠方法的效果进行评估分析，要考虑到短期和长期的效果以及资金投入的问题；2.2 对控制草原鼠患，恢复生态平衡，提出你认为切实可行的建议；2.3 通过网络或其它途径（如公开出版的文献、研究论文等）搜集、收集实际数据，验证你的模型及结果。
三、模型的假设假设1：我们的天气预报能够较准确的预测几天内的气候情况；假设2：所施鼠药是目前最普及最有效的化学鼠药(性价比较好);假设3：草的退化周期是固定的；假设4：草原鼠生活在固定区域不会迁移;假设5：草原鼠以长爪沙鼠为主;四、问题的分析草原鼠患问题不能用人工种草的办法永久地恢复自然植被，草原上几乎所有的人工种草都会在一定时间内自动退化，所以在一段时间内退化是有周期性的，要周期性补种。
对于老鼠的数量影响主要受三方面因素限制：1、灭鼠药2、老鼠的天敌3、茂密的牧草种植。
其中撒灭鼠药，引入老鼠天敌短期见效，撒灭鼠药长期不宜使用，引入天敌以现今的技术不能大规模使用,人工种植牧草可以长期实施，可以产生效益，具有周期性。
草原鼠患问题中老鼠是影响生态的主要因素，暂且不考虑其它的因素或将其他影响的因素看作相对稳定。
关于草原合理放牧的数学模型及其定性分析——以乌兰布统大草原为例
烄ｄｘ１ ｄｔ
＝ｘ１（λ１ －α１ｘ１
－β１ｘ２）
烅
．
ｄｘ２ 烆ｄｔ
＝ｘ２ （－λ２ ＋α２ｘ１
－β２ｘ２ ）
பைடு நூலகம்
（１）
其中，ｘ１（ｔ）为ｔ时刻食饵（草原上的牧草）的数量；ｘ２（ｔ）为ｔ时刻捕食者（牛、羊等食草性动物）的数量，λ１
为食饵内禀增长率；－λ２ 为不存在食饵时捕食者的死亡率；α１ 和β２ 分别表示两种群内部密度制约项；β１ 和α２ 分 别表示两种群间相互作用系数．由于两种群生物数量为正值，以 下 仅 在 Ｒ２＋ ＝ ｛（ｘ１，ｘ２ ）ｘ１ ≥０，ｘ２ ≥０｝进
参考文献：
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３０
太 原 师 范 学 院 学 报（自然科学版） 第１８卷
的，并且是一种动态性质的平衡 ［５］ ．每个生态系统都具备着自身的一定范围内的弹性与可塑性 ，拥有着 适 应 外来干扰的一定限度的反馈能 力．本 文 通 过 对 系 统 （ｉ）的 分 析 讨 论，可 以 找 到 乌 兰 布 统 大 草 原 上 的 捕 食 者 （牛、羊等食草性动物）和食饵（牧草）最适合生存的数量 Ｃ（ｘ＊ ，ｙ＊ ）．由 于 两 种 群 之 间 存 在 捕 食 关 系，可 以 通 过调节捕食者或食饵数量来维持生态平衡 ［６］，即：当食饵种群（牧草）繁殖较快或生长较为茂盛时，我们 可 以 人为引入捕食者（牛、羊等食草性动物）来控制其增长速度，既不会资源浪费还可 以 带 来 一 定 经 济 效 益，但 如 果捕食者过量又会导致放牧过度食饵枯竭，也不利于捕食者生长，此时需要对捕 食 者 进 行 适 量 捕 杀．只 有 两 种群数量达到Ｃ（ｘ＊ ，ｙ＊ ）时，才可以达到生态平衡稳定 ［７］，从而实现保护牧草资源，又实现牧业经济最大化 的目的．
草原放牧策略研究数学建模
草原放牧策略研究数学建模
1草原放牧
草原是物种多样性和生物多样性重要组成部分，也是牧民养殖牲畜的主要场所，而合理的放牧策略是保障草原生态系统健康发展的前提。
因此，放牧的优化策略的研究是生态学和经济学的重要组成部分，极其重要地新建立放牧利用的简单模型和使用数学建模的方法。
2数学建模的重要性
关于草原的放牧有许多数学模型，它们旨在模拟草地被放牧动物重复使用的各种方式，如表面情况变化以及剩余草地质量随时间的变化。
更重要的是，这些模型可以有效地作为决策者和决策分析师检查放牧管理的不同策略。
数学建模能够揭示系统的特性和未来趋势，为研究人员提供与放牧管理有关的信息，并可以为决策者提供最佳的放牧策略。
3放牧优化策略
放牧优化策略的研究应从整体系统的角度去考虑，而不是仅围绕单个变量或指标来考虑。
因此，基本的放牧模型是建立在假设放牧生态系统的前提下的，比如放牧动物的数量，放牧强度以及草地物理性质等。
基于这些模型，研究人员可以检测多种放牧管理策略，使用基于求解优化问题和有限元方法等机器学习算法，设计一系列优化放牧策略来满足对放牧优化管理的需求。
4结论
总之，数学建模的方法是研究放牧优化策略的重要组成部分，可以很好地帮助放牧者检查管理策略，分析放牧环境，控制草原放牧动物的数量，保护草原生态系统和经济收入，从而保护和完善草原生态系统。
2023数学建模大赛d题湖羊空间利用率
题目：湖羊空间利用率的深度与广度探讨湖羊空间利用率是指在湖泊和草场一体化利用模式中，草场资源的利用与湖泊资源的保护之间的平衡关系。
在2023数学建模大赛的D题中，湖羊空间利用率成为了研究的热点之一。
本文将从深度和广度两个方面进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章。
一、深度探讨1. 湖羊空间利用率的定义与背景湖羊空间利用率是指湖泊和草场资源相互协调、统一规划利用的程度，具体涉及到牧草生产、畜禽养殖、湖泊资源保护等方面。
在当今环境保护意识日益增强的背景下，湖羊空间利用率的研究备受关注。
2. 影响湖羊空间利用率的因素湖羊空间利用率受到多方面因素的影响，包括人口密度、经济发展水平、政策法规等。
在研究湖羊空间利用率时，需要充分考虑到这些因素的影响，以便找到合适的解决方案。
3. 湖羊空间利用率与可持续发展湖羊空间利用率的优化与提高，与当地的可持续发展密不可分。
如何在保护湖泊资源的提高牧场的利用率，是一个具有挑战性的课题。
二、广度探讨1. 世界各地湖羊空间利用率的案例分析通过对世界各地湖羊空间利用率的案例进行分析，可以发现不同地区的文化、经济发展状况对湖羊空间利用率的影响，这有助于我们更全面地理解这一问题。
2. 湖羊空间利用率的未来发展趋势随着科技的进步和人们对环境保护意识的提高，湖羊空间利用率的未来发展将会朝着怎样的方向发展？这需要我们从宏观的角度进行思考。
3. 对湖羊空间利用率的个人观点与理解在本文的我想共享一下我对湖羊空间利用率的个人观点与理解。
我认为湖羊空间利用率的提高需要政府、科研机构和社会各界的共同努力，在提高牧场资源利用的要充分考虑到湖泊资源的保护。
总结与回顾：本文从深度和广度两个方面对湖羊空间利用率进行了全面探讨。
通过对定义、影响因素、世界案例、未来发展趋势的分析，我们更全面地了解了湖羊空间利用率的相关内容。
以及我对湖羊空间利用率的个人观点与理解。
在未来的研究中，我们可以结合实地调研、统计分析等方法，深入研究湖羊空间利用率，以期为当地的环境保护和可持续发展提供更多的参考。
鼠害控制与传染病治疗数学建模和研究{修}
分类号: O175 单位代码:10110鼠学号:s2*******害控制与传染病治疗的数学建模研究中北大学硕士学位论文鼠害控制与传染病治疗的数学建模和研究张硕士研究生张文英文英指导教师学科专业张凤琴教授基础数学中北大学2013年 5月 15日图书分类号O175510硕士学位密级论文非密鼠害控制与传染病治疗的数学建模和研究张文英指导教师(姓名,职称) 申请学位级别专业名称张凤琴教授理学硕士基础数学论文提交日期论文答辩日期学位授予日期年年年月月日日日论文评阅人答辩委员会主席2013年 5月 15日原创性声明本人郑重声明:所呈交的学位论文,是本人在指导教师的指导下,独立进行研究所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名:日期:关于学位论文使用权的说明本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定,其中包括:①学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件;②学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文;③学校可允许学位论文被查阅或借阅;④学校可以学术交流为目的,复制赠送和交换学位论文;⑤学校可以公布学位论文的全部或部分内容(保密学位论文在解密后遵守此规定)。
签名:日期:导师签名:日期:中北大学学位论文摘要本文建立了两类数学模型, 一是具有不育控制害鼠种群的动力学模型, 二是具有饱和治疗率的 SEIS 和 SEIRS 模型. 具体研究的内容如下:一是建立了不育控制下带有密度制约和非线性感染率的害鼠种群动态模型. 虽然有学者研究了带有非线性感染率的害鼠种群动态模型, 但是所考虑的感染率过于简单化, 现针对不育控制下的害鼠种群动态模型, 讨论了平衡点的存在性, 首先利用 Routh-Hurwitz 判据证明了系统各平衡点的局部稳定性, 其次利用 Dulac 函数证明了正平衡点的全局稳定性. 并分析了各个参数对害鼠种群的动态变化的影响, 且进行了数值模拟.二是考虑到流行病初期爆发时的治疗率和中期后期的治疗率不同, 建立了带有双线性感染率和饱和治疗率的 SEIS 模型. 对于模型, 本文获得了基本再生数以及分支和疾病平衡点的存在性条件. 其次利用 Routh-Hurwitz 判据得到了无病平衡点和疾病平衡点的渐近稳定性. 最后利用 Lyapunov 函数证明了各平衡点的全局稳定性且进行了数值模拟.三是考虑到接种是控制流行病的一种常用的方法, 所以建立了具有连续接种和饱和治疗率的 SEIRS 模型, 与 SEIS 模型类似, 得到了基本再生数以及分支和疾病平衡点的存在性条件, 且证明了无病平衡点和疾病平衡点的局部渐近稳定性. 利用 Lyapunov 函数和几何接近法分别证明了无病平衡点和疾病平衡点的全局稳定性.关键词:不育控制;Dulac函数;稳定性; SEIS模型;SEIRS模型;连续接种;饱和治疗率;后向分支第 I 页中北大学学位论文ABSTRACTTwo kinds of mathematical model is presented in this paper,the one is the dynamicsmodel of rodent population with barren control,the second is the SEIS and SEIRS modelwith saturated treatment. the concrete research content is as follows:Firstly, under the barren control, density-dependent and nonlinear infection-rate rodentpopulation models are established. Although some scholars research the nonlinear infection-rate rodent population models, the considered infection rate is oversimpli?ed. Now wediscuss the existence of equilibrium to the rodent population dynamics model under thebarren control. At the ?rst, we make use of Routh-Hurwitz criterion to demonstrate localstability of system’s equilibrium points. Then, we utilize Dulac function to prove the globalstability of positive equilibrium and analyze analyzes the in?uence of parameters on thedynamic change of rodent population, carried on the numerical simulation.Secondly, considering the di?erence of epidemic diseases’ initial outbreak and mid andlate outbreaks, the SEISmodel with bilinear infection rate as well as saturated treatment.For the model, the paper obtained the existence condition of basic reproductive rate, itsbifurcation and endemic equilibriums. Then we utilize Routh-Hurwitz criterion to get thegradual stability of disease-free equilibrium and the epidemic equilibrium. At last, we uselyapunov function to prove the global stability of each equilibrium point and carry on thenumerical simulation.Thirdly, considering that vaccination is a common way to control the epidemic. There-fore, we build up the SEIRS model with continuous vaccination and saturated treatmentrate. As same as SEIRS model, we got the existing conditionsof basic reproductive rate, itsbifurcation and endemic equilibriums .And the gradually local stability of the disease-freeequilibrium and the epidemic equilibrium are proved. The global stability of disease-freeequilibrium and endemic equilibriums are proved By lyapunov function and geometric ap-proach method.第 II 页中北大学学位论文Key words:Infertility control; Dulac function ; Stability; SEIS model; SEIRSmodel; saturated treatment rate; backward branch; continuous vaccination第 III 页中北大学学位论文摘要ABSTRACT第一章引言目录III11.1研究意义1.2国内外研究现状.1.3本文主要研究内容第二章不育控制下害鼠种群的模型分析2.1模型的建立.2.2模型分析2.3讨论第三章具有饱和治疗率的 SEIS模型分析3.1模型的建立.3.2分支与疾病平衡点的存在性3.3疾病平衡点的稳定性分析.3.4数值模拟第 i 页123555799101215中北大学学位论文第四章具有连续接种和饱和治疗率的 SEIRS模型分析4.1模型的建立.4.2分支方向与疾病平衡点的局部稳定性4.3平衡点的全局稳定性分析.第五章结束语参考文献攻读硕士学位期间发表的论文及所取得的研究成果致谢第 ii 页1818192228293435中北大学学位论文第一章引言1.1研究意义鼠害指的是鼠类对农业的生产、林业和牧业的可持续发展造成的危害. 鼠类有 1600 多种, 且孕育周期短, 产仔率高, 数量能在短期内急剧增加. 它的遍布范围极其的广泛, 无论是平原还是高山, 草原还是沙漠都有其踪迹, 常对我们农业的生产酿成巨大的灾害.我国的鼠害发生非常频繁. 据报道, 上世纪 80 年代初, 全国农牧区大范围内爆发了一场十分严重的鼠灾. 全国农田每年受灾面积达到 2.467 ×107hm2, 因鼠害造成的粮食损失在5 × 106 ~ 1 × 107 之间, 严重时高达 1.5 × 107; 草原受灾面积达 3.733 × 107hm2, 鲜牧草损失近 2 × 107. 进入 90 年代, 农业鼠害更加的严重, 由于全球气候变暖, 干旱加剧等因素的影响, 鼠灾周期变短, 持续时间变长, 鼠类增长过快, 危害程度加大. 此外, 鼠类还是流行性传染病病毒的载体, 直接威胁着畜牧业和人类的安全. 随着害鼠密度的上升, 鼠类传染性疾病也日趋严重. 据统计, 上世纪 80 年代, 害鼠传染性出血热发病人数高达 70 万人. 2000 年代, 我国发生了鼠疫, 是 1955 年代后 45 年以来发病人数最多的一年.综上所述, 对于鼠害的控制已迫在眉睫. 以前的鼠害控制常用急性药物, 如毒鼠磷、磷化锌、氟乙酸钠等. 由于其具有毒性的副作用, 对生态系统造成严重的破坏. 为此, 现在对鼠害的控制研究主要集中在生物防治, 包括定期投放天敌、生物制剂、植物毒鼠剂、植物不育剂、人工合成剂. 其中, 不育剂在鼠害的控制中不仅有明显的效果, 而且还对生态系统的危害不大. 不育剂的目的是控制害鼠的繁殖能力, 从而达到控制害鼠种群增长的目的. 但是不育剂的效果是渐近的, 而化学毒饵的灭鼠效果是直接的, 可在较短的时间内发挥作用. 所以在控制鼠害的过程中应适当的交替使用化学毒饵和不育剂, 但应考虑不使害鼠种群灭绝.根据《最新法定传染病分类》, 传染病共分为 39 种. 传染病是由病菌、细菌、和真菌等病原体或原虫、蠕虫等寄生虫感染人或动物后产生且能再人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病. 自古以来, 人们面临着各种各样传染病的威胁. 近年来, 由于环境污染和生态变迁使得许多病原体发生变异, 并促使其快速传播. 多种人与动物共患传染病迅速异化, 导致了许多新的烈性传染病不断出现, 例如 SARS、禽流感、疯牛病、狂犬病、口蹄疫等. 传染病的控制已成为当今世界迫切需要解决的问题, 因此对传染病的传播规律、流行趋势和预控策略的研究日益受到人们的重视. 目前用数学建模的方法研究传染病的发展第 1 页中北大学学位论文过程, 预测其发展规律及其趋势, 分析传染病传播的主要原因和关键因素, 寻求对其预防和控制的最优策略, 为人们更好的控制传染病的扩散提供了理论基础和数量依据.传染病之所以能够流行, 离不开三个基本的条件: 传染源、传播途径和易感人群. 所以防御传染病应该从这三个方面入手. 传染源可以是疾病的患者、隐形感染者、携带者及被感染的动物. 对于已经确诊的患者, 要尽早隔离, 带有病原体的分泌物或其他接触物都要消毒处理. 对于被感染的动物如牛羊、鸡鸭等若能治疗应则治疗, 如果不能, 应尽快的宰杀然后消毒处理; 而对于像老鼠、蚊子等则应彻底的消灭. 不同的传染病有不同的传播方式. 像非典、SARS 等, 是呼吸系统传染病, 它是经过空气传播的, 对于此类传染病, 我们应该尽量少去人多的公共场所; 像痢疾、蛔虫等病, 是通过粪、口或是直接接触病人的分泌物传染上的,这就要求我们不要随意的接触病人的物品, 应尽量的远离病人. 而对于易感染人群, 应提高自身的免疫力, 并且做好预防接种. 为了能了解传染病的传播规律、流行趋势和预控策略.研究者们利用数学建模的方法研究传染病, 预测其发展规律及其趋势, 分析传染病传播的主要原因和关键因素, 寻求对其预防和控制的最优策略, 为人们更好的控制传染病的扩散提供了理论基础和数量依据.1.2国内外研究现状目前, 国内外对鼠害的防治措施是多种多样的, 有生物防治、化学防治、物理防治、生态防治等等. 生物防治主要是保护和利用天敌, 也可利用对人畜无害仅对鼠类有致命危险的微生物病原体; 物理防治即利用器械灭鼠; 生态防治指的是破坏和改变鼠类的事宜生活条件和环境, 使之不利于鼠类的栖息和繁殖. 这三种措施虽然能减少害鼠的数量, 但是对于鼠类的总体数量来说只是极少的. 而化学防治主要是使得有毒物质进入害鼠体内, 破坏鼠体的正常生理机制而使其中毒死亡. 这种方法广泛应用于大面积灭鼠, 能暂时减小害鼠的密度, 但是有毒物质能引起第二次甚至第三次的中毒, 破坏生态平衡, 危及家畜、和人类的健康. 因此世界各国都在致力于研究鼠害可持续控制新技术, 尤其是不育技术. 不育技术指的是利用鼠类抗生育药剂[2]致使单性或者两性永久不育或短时不育, 从而降低害鼠的出生率. 与传统化学毒杀相比, 利用不育剂控制害鼠相对来说还是比较安全的, 且能长期降低鼠的密度和把危害控制在最小的程度. 如果本技术能提供一种鼠类喜食且口感性好的药物则会起到更为理想的效果[1]关于不育控制, 前人做出了下列的研究. 早期 Knipling 和McGuire[26] 利用模型对比了第 2 页中北大学学位论文灭杀和不育控制下的害鼠种群的动态. 结果表明灭杀不会导致种群灭绝, 而连续三代对百分之七十的雄性和雌性老鼠进行不育控制, 这个种群将会灭绝.Zhang[27] 研究表明, 无论是有无竞争性繁殖干扰不育控制都能有更好的效果; Shi 等[28]通过数据模拟得出: 秋季不育控制比化学药物控制效果要好的多. 李秋英等[29?30]的研究表明雌性子种群的增长率应大于雌性的不育率, 否则种群将会灭绝. 张美明等[31]研究表明, 在采用携带雌性不育疫苗的病毒或携带雄性不育疫苗的病毒控制害鼠时, 应该选用传染系数较高的病毒, 如果携带雌性、雄性不育疫苗的病毒的传染系数一样, 我们应采用成本较低的病毒.对于流行病的控制, 前人也做了很多的研究. 至今为止, 接种疫苗和隔离病人是预防和控制传染病扩散的两种有效的措施. 具有接种疫苗的数学模型[35?36]在决定疫苗的接种策略上和控制流行病的措施上有非常重要的作用. 如果接种不完全有效, 则会出现后向分支,如文献 [3940], 这样的情况下, 只有当基本再生数小于 1 时, 疾病才会消失. 后向分支也出现在其他的流行病模型上, 比如 HIV/AIDS 模型[32?38]和牛呼吸道合胞体病毒模型[34]根据传染病发生率的不同, 研究者们建立了带有不同发生率的数学模型. 最早提出用数学模型研究传染病的是 Kermack-Mckendrick[41], 研究了淋巴腺鼠疫传播. 传染病模型中常用的发生率是双线性标准发生率[42?44]然而, 传统的模型理论并不能解释某些传染病的现象, 如双稳定结构[45?46], 也就是在疾病爆发力很强时流行病持续生存, 而爆发力弱时流行病消失.在 1978 年,Capasso 和 Serio 提出了饱和发生率 gI s, 其中gIKI1+αI后来,Liu 等 [47?48]又提出了一般发生率ksI p1+αI q,其中 p, q 0, α≥ 0. 已被很多研究者引用, 如 Hethocote 等[49?50]α 0、Liu 等[48]q p1. 在文献 [51] 中 Ruan 和 Wang 研究了具有特殊发生率ksI 21+αI 2的流行病模型, 系统中出现了双稳定性、有限环、同宿环等特性. 同样的还有发生率ksI [14]1+αI 2、1+βIksI+αI 2 [54?56].1.3本文主要研究内容本文建立两类数学模型, 一是不育控制下害鼠种群的模型, 二是具有饱和治疗率的 SEIS和 SEIRS 模型. 并研究了模型的一些动力学性态, 主要内容为:在第二章中, 建立并分析了具有密度制约的自传播模型, 通过分析模型, 得出了各个平衡点的存在条件和局部稳定性条件, 根据 Dulac 函数得到了正平衡点的全局稳定性, 利用数值模拟分析了各参数对害鼠种群的影响. 经过分析, 得出结论: 种间密度制约大于内禀增长率时, 可育与不可育之间的有效接触率越大越有利于控制种群的数量.第 3 页中北大学学位论文在第三章中, 建立了具有具有双线性感染和饱和治疗率的 SEIS 模型, 通过对等价模型的分析, 得到了基本再生数及分支和疾病平衡点存在的条件. 根据稳定性理论得到平衡点的局部稳定性, 构造适当的 Lyapunov 函数分析了平衡点的全局稳定性. 最后利用数值模拟进行了进一步的证明. 经过分析, 得出结论: 当基本再生数 R0 小于 1 时, 疾病不一定会消灭.但当基本再生数 R0 小于 Rc 时, 无病平衡点全局渐近稳定, 即疾病将会消灭.在第四章中, 建立了具有连续接种和饱和治疗率的 SEIRS 模型. 讨论了分支和各平衡点存在的条件, 根据稳定性理论得到平衡点的局部稳定性, 分别利用 Lyapunov 函数和几何接近法证明了无病平衡点和疾病平衡点的全局稳定性.第 4 页中北大学学位论文第二章不育控制下害鼠种群的模型分析数学模型常被用来研究不育控制对害鼠种群的影响[2?7]由文献[7]可知, 在利用免疫不育控制害鼠时, 由可育转换成不育的害鼠的数量 nβF S1?k+kF +S,其中 0 ≤ k ≤ 1,β为单位时间内可育个体与不育个体的有效解除率, 即通过接触可育个体将转化为不育个体. 当k 0 时,nβFS,[4]liu研究了同时采取不育控制与直接灭杀两种办法来控制害兽. 文章主要研究了不育控制与直接灭杀对种群动态的影响. 研究表明, 只有当可育与不育之间接触的有效率和化学药物致死率取适当的值, 才能使得害鼠种群规模被控制在一定的数量. 但并不是说明这时的种群数量就是最适当的, 可能还是会偏高, 所以只能通过改换病毒的品种, 提高病毒的传播速度, 来降低种群规模. 当 k 1 时,nβF S [2]F +S分析了各个平衡点全局稳定性存在的条件. 下面我们来研究可育换成不育的害鼠的数量为nβF S1?k+kF +S, 0k 1 的不育控制单种群模型.2.1模型的建立可育种群密度表示为 F , 不育种群密度表示为 S, 模型如下: dFdtrFaF 2αF SβF S1k + kF + S,dSdtβF S1k + kF + SdSαF ScS 2,式中:dFdt为可育种群密度 F 对时间 t 的导数,dSdt为不育种群密度 S 对时间 t 的导数, r 为内禀增长率, 等于出生率 b 减去死亡率 d. a 为可育与可育之间的密度制约, α为可育与不可育之间的密度制约, c 为不可育与不可育之间的密度制约.βF S1?k+kF +S为可育转化为不可育的个体数量, 其中β 0, 0 ≤ k ≤ 1. 为了更好的算出模型的平衡点及其对平衡点稳定性的分析, 在这里假设 a α c, 如此有以下的模型:βF S1?k+kF +SβF S1?k+kF +S2.12.2模型分析通过计算可知, 模型 2.1 总是存在平衡点 E0 0, 0 和 E1 ar , 0.第 5 页中北大学学位论文在 F 与 S 都不为零时, 令 R0 bk +ab1?kr, 当 R0 β时存在正平衡点 E ?F ?, S ?.Fd+aNNb, Sr?aNNb,其中N bβ1??bkk 且 N F+ S定理 2.1 平衡点 E00, 0 是不稳定的.证明系统 2.1 在平衡点 E00, 0 的 Jaccobi 矩阵为r 00 ?d,显然 r 0, ?d 0. 所以系统 2.1 在平衡点 E00, 0 是不稳定的.定理 2.2 当 0 β R0 时, 平衡点 E1 ar , 0 是全局渐近稳定的.证明首先证明边界平衡点 E1 在 0 β R0 时是局部渐近稳定的.把 E1 代入系统 2.1 的 Jaccobi 矩阵得:?βrβr? ,显然λ 1 ?r 0, λ 2 ?b +βra1?k+kr,要使得边界平衡点 E1 是稳定的, 那么λ2 0, 解出来的不等式得0 βbaak + krr所以, 当 0 β R0 时, 平衡点 E1 ar , 0 是局部渐近稳定的.其次证明在 G F, S|F 0, S ≥ 0 内没有极限环.考虑模型的实际背景, 我们假设初始条件满足 H : F 0 0, S0 ≥ 0.∫ t βS u由模型 2.1 可得 F t F 0e , 则当 t 0 时有 F t0. 同理也有 St ≥ 0. 由此可得当满足初始条件 H 时, 区域G 是模型 2.1 的不变集. 取Dulac 函数BF, S F ?1S ?2,设 Y ≡?BP?FBQK函数 BF, S F ?1S ?2 便可使 Y 不变号, 即在区域 G 内无闭轨.当 0 β R0 时正平衡点 E是不存在的, 而边界平衡点 E1 是局部渐进稳定的且在G 内无闭轨, 可以得到 E1 是全局渐进稳定的.定理 2.3 如果 R0 β, 正平衡点 E是全局渐近稳定的.证明首先证明正平衡点 E是局部渐近稳定的.第 6 页中北大学学位论文由系统 2.1 知, 平衡点 E满足的方程组为:βF1?k+kF +S系统 2.1 在平衡点 E的 Jaccobi 矩阵为βS1?k+kF +S2.2?βS1?k+kF +SFβF SkβF βF Sk[1?k βFSk+S]2aS? ,经过化简可以得: 1?k+βFF +S?aFβF1?k+kF +SFβF Sk?11?k+kF +S? ,显然λ 1 1?k+βFF +S 0, λ 2βF Sk?11?k+kF +S0. 则 E是局部渐近稳定的.其次确定无环区域.类似定理 2.3 的证明,G 是模型 2.1 的不变集. 取 Dulac 函数BF, S F ?1S ?2,有 Y ≡?BP?F+?BQ?S1?k+βFF +S 显然 Y 0. 又因为正平衡点 E是局部渐近稳定的,由 BendixsonDulac 判别法讨论2.3[6]可知正平衡点 E是全局渐近稳定的.在不育控制下正平衡点处的种群的大小为: Nb1?kβ?kbβR0. 由函数 gβk?1bkb?ββR0 的导数 g′βk?1b[kb?β]20 可知随β的增大 N减小, 即不育控制中可育与不可育之间的有效接触率越大种群规模越小如图 1., 可育与不可育之间的接触率会降低正平衡点处种群的数量, 尤其在害鼠的种群密度越大时更为有效. 而当 k 取值不同时β对 N的影响是不同的,k 越小越有利于对害鼠种群的控制如图1..在不育控制下正平衡点处的种群的大小为: Nbb?β的导数 R′k可知:[kb?β]2k?1bkb?ββR0, 由函数 Rkk?1bkb?β(1)当 a r 时, 当 R0 β b 有 R′k 0 即随 k 的减小 N 是不断减小的如图2, 显然当β取值不同时 k 对 N 的影响也是不同的,β越大越有利于对害鼠进行控制; 当第 7 页中北大学学位论文β b 即接触率大于出生率, 有 R′k 0, 即随 k 的增大 N减小, 又因为随着β的增大N也是不断的减小的如图 3.(2)当 a r 时 R0 b, 又因为β R0 时正平衡点存在, 所以R′k 0, 则随 k 和β的增大 N不断的减小. 也就是说种间密度制约大于内禀增长率时,k 越大, 可育与不可育之间的有效接触率越大越有利于控制种群的数量图 1-2. 参数 b 1.5;图 3. 参数 b 0.2第 8 页.中北大学学位论文第三章具有饱和治疗率的 SEIS模型分析用数学建模的方法研究传染病的发展过程, 预测其发展规律及其趋势, 分析传染病传播的主要原因和关键因素, 寻求对其预防和控制的最优策略, 为人们更好的控制传染病的扩散提供了理论基础和数量依据.至今为止, 接种疫苗和隔离病人是预防和控制传染病扩散的两种有效的措施. 但对于某些传染病, 治疗则是控制疾病扩散的重要方法. 因此, 具有治疗率的传染病模型的研究引起了许多数学研究者的关注[8?17]其中, 文 [8] 所研究的是恢复率为常数恢复率即hI r0I0的传染病模型. 文 [9] 所研究的是二次治疗率 T I εIgI 2, 0的传染病模型. 文 [1013] 所研究的传染病模型的治疗率为 T I εIεI00≤I ≤I0即当感染者的人数达到一定程度时, 因治疗资源等各个条件的限制, 治疗率达到一定的极限值.然而当疾病刚刚爆发的时候, 由于疾病治疗技术不够完善, 导致治疗率比较低. 随着医疗条件如: 药物, 治疗技术等等的不断改善, 治疗率也在不断的增加. 但毕竟社会的治疗资源是有限的, 当感染个体的数目达到足够大的时候, 治疗效率也会达到最大值. 因此, 考虑饱和治疗率更符合实际意义[10]文 [1416] 所研究的传染病模型的治疗率为饱和治疗率, 即T IεI1+kI本文研究了具有双线性感染率和饱和治疗率的 SEIS 传染病模型. 利用对模型等价系统的分析, 得到了各疾病平衡点和后向分支存在的条件, 并讨论了各平衡点的全局稳定性.结果表明, 当基本再生数 R0 小于 1 时, 疾病不一定会消灭.但当基本再生数 R0 小于 Rc 时,无病平衡点全局渐近稳定, 即疾病将会消灭.3.1模型的建立本文考虑了具有饱和治疗率, 且病人治愈后仍为易感者的 SEIS 模型, 模型如下:? dI εIdEdtdt 1+kI1+kI3.1S 表示易感者,E 表示潜伏者即疾病处于潜伏期的个体, 也可视为处于第一阶段病程的个体,I 表示染病者或者是处于第二阶段病程的个体, d 为自然死亡率,β为感染率,r 为自第 9 页中北大学学位论文然恢复率,ω为由潜伏者到染病者的转换率,N t St + Et + I t, 则εI1+kI是饱和治疗率, 其中ε 0, k ≥ 0. 令dNAdN.由此可知模型 1 等价于?dNdtdEdtdIdtAdN,βNIEIdEωE,εI1+kI3.2模型 3.2 有无病平衡点 E0 [ Ad , 0, 0]. 下面分析无病平衡点的稳定性. 模型 2 在无病平衡点处的 Jaccobi 矩阵是:?d?dωωβAd?drε ,则在无病平衡点处的特征方程为:λ + d[λ2 + 2d + r + ω + ελ + d + ωd + r + εωβA d] 0.由此可知, 特征值λ 1 ?d 0, λ2 +λ 3 ?2d+r +ω +ε 0, λ2λ3 d+ωd+r +ε? ωβA显然, 要使得模型 3.2 在无病平衡点处稳定, 当且仅当基本再生数 R0ωβAdd+ωd+r+ε1.则有以下定理.定理 3.1 无病平衡点 E0 [ Ad , 0, 0] 是局部渐近稳定的充要条件是 R0 1.3.2分支与疾病平衡点的存在性在这一节中我们讨论疾病平衡点的存在性以及后向分支存在的条件. 疾病平衡点满足方程组:βNIEIdEωE 0,1+kI3.3由 3 我们可得 I 满足方程:aI 2bIc 0.第 10 页3.4中北大学学位论文其中a βkdω + d + r 0,b βAωk[βdω + d + r + ε + dkd + ωd + r],c βAωdd + ωd + r + ε.情形 1 当 k 0 时, 方程 3.4 为线性方程, 只有一个解I1cβdω + d + r + ε,I1 0 的充要条件是 c 0 即 R0 1. 所以当 R0 1 时, 除无病平衡点外有一个疾病平衡点 E1 [ Ad , ωβdcωd++rd++εr+ε , βdω+dc +r+ε ], 且当 R0 → 1 时 I1 → 0. 而 R0 1 时无疾病平衡点, 则在 R0 1 处不会产生后向分支, 即有下面定理 2.定理 3.2 当 k 0 时, 模型 3.2 不会产生后向分支.情形 3.2 当 k 0 时, 方程 3.4 为一元二次方程. 则:1 当 c 0 即 R0 1, 方程 3.4 有唯一解 I2√b+ b2+4ac2a;2 当 c 0 即 R0 1, 方程 3.4 除零解外还有一个解 I3 ab ;√b+ b2+4ac2a, I4√b? b2+4ac2a显然, 当 R0 1 时 I2 0; 当 R0 1 时,I3 0 的充要条件是 b 0; R0 1 时,I2 和I4 都大于 0 的充要条件是 b 0 且 b2 + 4ac ≥ 0. 由于参数取值的不同, 导致了模型 3.2平衡点的个数发生变化.定理 3.3 k 0 时, 模型 3.2 在 R0 1 处产生后向分支的条件是 0 βkεd+ωd+ω+r+ε证明由文献 [13] 的定理 4.1 可知, 模型 3.2 在R0 1 处产生后向分支的条件是 b 0.由 R0 1 得出βAω dd + ωd + r + ε,把它代入 b βAωk[βdω + d + r + ε + dkd + ωd + r] 0. 经过化简可知:βkε d + ωd + ω + r + ε命题得证.令 b2 + 4ac, 则模型 3.2 有两个疾病平衡点的充要条件是 R0 1, b 0, 0.R0 1 即βAωdd + ωd + r + ε 0, 得出 A A0. 由 b 0 得 A A1. 当 0 时,把 a, b, c 的值代进去, 经过计算化简可得:βωk2A2 ?2βωkd[βε+kd+ωd+r?βω+d+r]A+d2[βε+kd+ωd+r+βω+d+r]2?第 11 页中北大学学位论文4βkω + d + rd + ωd + r + ε 0.由此可得:dd + ωd + rβωdω + d + rεωk±√2d βεω + d + r[kd + ωβ]βωk,又因为 A1 A A0 且 0 βdd + ωd + rdεAc +βωωkkεd+ωd+ω+r+εdω + d + rωk+√2d βεω + d + r[kd + ωβ]βωk所以, 当 Ac A A0 时有两个正解即 I2 和 I4. 其中dd+ωd+rβω+dεd+ωβω,A1dd+ωd+rβω+dω+d+r+εωk定理 3.4 k 0 时, 如果模型 3.2 存在后向分支, 则i 如果 A ≥ A0, 除了无病平衡点外仅有一个疾病平衡点 E2 [ Ad , d+ω1+kI +ε I2, I2].ii 如果 Ac ≤ A A0, 除无病平衡点外还有两个疾病平衡点E2 [ Ad , d+ω1+kI +ε I2, I2],E4 [ Ad , d+ω1+kI +ε I4, I4]; 当 A Ac 时, 有一个疾病平衡点 E? [ Ad , d+ω1+kI +ε 2a , 2a ],这个点也被称作拐点.iii 如果 0 A Ac, 模型 3.2 仅有无病平衡点.推论 1 k 0 时, 如果模型 3.2 存在后向分支, 则。
2015年数学建模竞赛网络挑战赛C题荒漠区动植物关系的研究
数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第八届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究讨论与赛题有关问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。
我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛队号为：4272参赛队员 (签名) ：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员 (签名)：参赛队伍组别（例如本科组）：本科组数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：荒漠区动植物关系的研究【摘要】群落的格局和动态是群落生态学和生态系统生态学研究的基础问题，也是揭示群落结构和功能的核心问题。
本文主要研究荒漠区在两种不同人为干扰下植物生物量和动物生物量的变化趋势，以及在不同干扰下的他们之间的相互关系；进一步对啮齿动物群落稳定性进行研究，进而揭示干扰对于啮齿动物群落的影响。
对数据进行整理分析，建立拟合模型，线性回归的显著性检验模型，典型相关分析模型，以及使用M.Godron稳定性测定方法模型。
使用EXCEL,SPSS等软件进行操作，得到问题的相应结果。
针对问题一，本文对原始数据进行加工处理，求出草本生物量，灌木生物量以及啮齿动物捕获率的平均值，使用控制变量法，利用SPSS软件绘出不同干扰下对植物生物量，动物生物量的影响趋势图，从而分析得出不同干扰下植物生物量，动物生物量的变化趋势。
进一步运用多元回归方程的显著性检验，探讨植物生物量和动物生物量之间的显著性关系；之后建立了典型相关分析模型，运用SPSS软件求出植物群落与动物群落的典型相关系数，最后得出动物群落变量与植物群落变量中的草本关系最为突出，且啮齿动物生物量与草本的盖度和地上生物量呈负相关关系。
2022-2023学年 选择性必修2 苏教版 种群数量变化的数学模型 作业
第二课时种群数量变化的数学模型A级必备知识基础练1.种群是生态研究的一个重要单位,下列有关种群的叙述,正确的是()A.种群是指一个生态系统中同种生物所有成熟个体的总和B.一个呈“S”型增长的种群中,种群增长速率在各阶段是不同的,数量为K/2时增长速率最大C.种群中各年龄段的个体数目比例适中,这样的种群正处于发展阶段D.合理密植农作物时,其种群数量可以长时间大于K值2.(2022扬州中学2月检测)环保工作者对某地区最主要的草食动物某野兔种群数量进行连年监测,得到如图所示的数量增长变化(λ)曲线,λ=t年种群数量/(t-1)年种群数量。
据图分析,下列叙述正确的是()A.在第1年至第3年期间种群呈“J”型增长B.在第4年初至第5年末,种群数量先增后减C.第3年末种群数量与第5年中期种群数量相等D.野兔的种群数量在第4年末达到最大3.(2021广东)右图表示某“S”型增长种群的出生率和死亡率与种群数量的关系。
当种群达到环境容纳量(K值)时,其对应的种群数量是()A.aB.bC.cD.d4.德国小蠊的繁殖力非常强,能传播多种病菌。
下图是在一定条件下德国小蠊种群数量变化曲线,下列说法错误的是()A.如果使用更大的容器培养德国小蠊,其环境容纳量不一定增大B.德国小蠊种群在0~4 d增长缓慢的原因可能是起始数量较少C.在第20天左右是防治德国小蠊危害的最佳时期D.防治德国小蠊的最根本措施是降低其环境容纳量5.下列关于环境容纳量的叙述,正确的是()A.环境容纳量是不会改变的B.只有在理想环境中才能达到环境容纳量C.种群的增长受到环境因素的制约D.同一种群的K值始终保持不变6.阿根廷的一片林地中生活着灶鸟和粉嘴潜鸭等多种鸟类,对灶鸟种群密度进行调查时发现,种群密度少于15只时,种群数量增加;多于20只时,种群数量下降;处于15~20只之间时,种群数量有时增加有时下降。
下列相关叙述错误的是()A.调查灶鸟种群密度的方法是标志重捕法B.灶鸟种群的K值在15~20只之间C.灶鸟种群密度处于15~20只之间时,在20只时种内斗争最激烈D.该林地中灶鸟和粉嘴潜鸭的环境容纳量相同7.2021年5月11日,我国第七次人口普查结果公布。
数模大作业报告
草原生态建模问题草原生态建模问题一、问题重述：二十世纪二十年代，在美国西部，狼和羊的数量一直保持平衡。
狼吃羊，羊吃草，草原生态系统一直保持平衡。
但是由于美国人觉得羊数量由于狼一直得不到提升。
于是当局政府下令，让猎人进入山区，捕杀狼群。
几年后，狼的数量大幅减少，并在三十年代一度灭绝，羊的数量呈指数增长。
但是随着时间的推移，羊没有了天敌，把草原的草都吃完了，且没有天敌，羊体质明显下降。
羊的数量不升反降，不久，羊也大幅度减少。
生态学家研究这种现象，提出了生态平衡的概念。
这个模型以狼吃羊问题为出发点，模拟生态平衡。
二、问题分析：1、狼吃羊，羊吃草，草场生长，符合一定的生长规律。
如果把这种规律找到，就为后面分析问题提供了方便。
2、当狼、羊、草场有一定合理初值情况下，按照分析1找到的规律分析是否在一定的时间范围内，一直保持生态平衡。
3、在有外界干预的情况下：人为捕杀狼群、草原大火、羊物种入侵，是否还能保持稳定。
三、模型假设：1、假设1（草场假设）：（1）草场总面积1000平方公里；（2）每平方公里在供养50只一下黄羊情况下，草场不退化；（3）当黄羊数量平均每平方公里超过50只时，草场面积减小率与黄羊超过50只的数量成正比，比例系数0.0001.2、假设2（羊群假设）：（1）当前黄羊总群数量60000只；（2）草场充足,没有狼群情况下，黄羊群净增长率0.1；（3）草场不充足会导致总群繁殖率下降，下降率与每平方公里平均黄羊数量减50长比例，比例系数为0.001.（4）狼群存在会减少黄羊的数量。
3、假设3（狼群假设）：（1）当前狼群总数100只；（2）黄羊总群数量与狼群数量之比超过300:1时，狼群净增长率0.01.（3）之比低于300:1时，会导致狼群繁殖率下降，下降与狼群总量与黄羊总量值比成比例，比例系数0.5。
（4）每只狼平均每年吃掉20只黄羊。
四、模型分析及求解：生态系统一般性分析：由上述模型假设分析得：goat1=60000lawn1=1000当 0<goat i/lawn i<=50时goat i+1=1.1*goat i-20*wolf ilawn i+1=lawn i当goat i/lawn i>=50时goat i+1=(1-0.001*(goat i/lawn i-50))*goat i-20*wolf i lawn i+1=(1-0.0001*(goat i/lawn i-50))*lawn i当goat i/wolf i>=300时wolf i+1=(1+0.01)*wolf i当0<goat i/wolf i <=300时wolf i+1=(1-0.5*wolf i/goat i)*wolf i建立如下程序：clc;clear;lawn(1)=1000;goat(1)=60000;wolf(1)=100;i=1;k=200;figure(1);t=1:1:k;while i<kx1=goat(i);x2=wolf(i);x0=lawn(i);if x1/x0<=50goat(i+1)=1.1*x1-20*x2;lawn(i+1)=x0;elsegoat(i+1)=(1-0.001*(x1/x0-50))*x1-20*x2;lawn(i+1)=(1-0.0001*(x1/x0-50))*x0;endif x1/x2>=300wolf(i+1)=(1+0.01)*x2;elsewolf(i+1)=(1-0.5*x2/x1)*x2;endi=i+1;endsubplot(2,2,1);plot(goat,wolf,'b');title('羊和狼的数量变化');xlabel('羊的数量/只');ylabel('狼的数量/只');axis([40000 70000 100 175]); subplot(2,2,2);plot(t,goat,'b');grid on;title('羊的数量变化');xlabel('时间/年');ylabel('羊的数量/只');axis([0 200 0 60000]);subplot(2,2,3);plot(t,wolf,'b');grid on;title('狼的数量变化');xlabel('时间/年');ylabel('狼的数量/只');subplot(2,2,4);plot(t,lawn,'b');grid on;title('草场的数量变化');xlabel('时间/年');ylabel('草场的数量/公亩');由matlab编程可得：当goat1=60000wolf1=100lawn1=1000时：羊最终数量为：goat=48000只狼最终数量为：wolf=168只草场的最终数量为：lawn=992公亩模型结果分析：图一羊数量随时间变化由图一可得，当t=7年时，羊的数量就保持稳定且t=200年时，羊的数量一直保持在4.8万只左右。
2013年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛 18组
2013年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛暨西北民族大学第五届数学建模竞赛论文题号： B论文题目：迭部县草地畜牧业可持续发展的研究参赛队编号：18参赛队员姓名：喻慧刘新付聪日期：2013 年 6 月10 日注：(1) 本封面内容均电脑填写完后打印；(2) 题号从A，B中选择一项填写；(3) 参赛队编号为第1-52队中的对应编号；评审编号（由组委会评审前进行编号）：2013年全国大学生数学建模竞赛校内选拔赛暨西北民族大学第五届数学建模竞赛论文评审编号专用页评审编号（由组委会评审前进行编号）：评阅人评分总分迭部县草地畜牧业可持续发展的研究摘要本文针对甘南州迭部地区的草地畜牧业情况，制定如何在提高当前草地畜牧业经济效益的同时,又能兼顾草地资源的长期利用而不危及子孙后代的利益,保证牧区经济和社会的繁荣与持续发展,维持区域生态平衡的方案。
运用Excel、Matlab软件得出了草地覆盖度和畜牧最大数量趋势预测模型。
最后，将模型结果和实际相结合，做出了海拔对草地覆盖度的分析报告，对模型提出自己的意见和看法。
针对问题一，我们根据所给的2000--2008年期间草地覆盖度的表，运用Excel、Matlab软件画出折线图，从而拟合出草地覆盖度时空变化模型。
根据草地覆盖度时空变化模型，我们可以分析出草地覆盖度与海拔、风力以及温度等环境因素之间的联系。
针对问题二，我们搜集了迭部地区相关牲畜种类及生理特征的资料，根据年际线性变化趋势采用MicaelC.Runnstron的方法，在每个像元的基础上，对C进行线性拟合，趋势斜率用最小二乘法来计算，从而建立草地生态平衡的max基础上建立草地畜牧模型。
针对问题三，根据问题一中建立的草地覆盖时空变化图，利用线性回归的方法求解出草地生长速率的趋势，并模拟出畜牧最大数量趋势预测模型。
根据该模型，制定可持续发展的策略。
本文还对模型的误差进行了定性分析；对模型的优化提出了针对性的切实的改进方向，对问题模型作出了理性中肯的评价。
草原生态系统建模问题
草原生态系统建模问题一．问题重述草原生态系统由黄羊,草,狼组成.黄羊吃草,黄羊的过度繁殖会导致草场退化；草场面积过小也会抑制羊群的繁殖.狼吃黄羊,直接影响黄羊的种群数量,也间接地影响草场的生长；而当羊群种群数量太小时,狼群总体的繁殖率也会下降.草场,黄羊,狼群之间相互作用,共同维持草原生态系统的稳定.现需要根据草场,黄羊,狼群之间满足的一系列条件建立草原"草场--黄羊--狼〞的生态模型,并研究此生态系统的稳定性.二．模型的假设与约定（一）草场基本假定1.草场总面积1000平方公里.2.每平方公里在供养50只以下黄羊情况下,草场不退化,且以每年百分之0.08的速度恢复.3.当黄羊数量平均每平方公里超过50只时,草场面积减小率与黄羊超过50只的数量成正比,比例系数0.0001 .4.草场恢复到1000平方公里后不再增加<容量封顶>. 〔二〕黄羊种群基本假定1.当前黄羊种群数量60000只2.草场充足,没有狼群情况下,黄羊群净增长率0.13.草场不充足会导致种群繁殖率下降,下降率与每平方公里平均黄羊数量减50长比例,比例系数为0.074.狼群存在会减少黄羊的数量5.草场完全退化后,黄羊次年灭绝〔三〕狼群基本假定1.当前狼群种数50只.2.黄羊种群数量与狼种群数量之比超过300:1时,狼群净增长率0.01.3.羊与狼的数量之比低于300:1时,会导致狼群繁殖率下降,下降与狼群总量与黄羊总量值比成比例,比例系数为α.4.每只狼平均每年吃掉20只黄羊.5.黄羊灭绝次年,狼群灭绝.三．研究问题1.建模并分析α=5时,200年后生态系统的状态；2.回答这种情况下生态系统的最终状态；3. [1,10]之间,讨论它的变化对生态系统的影响.四．模型的建立1.草场建模X(1)=1000X (n +1)={ min{1000,1.008X〔n〕},Y(n)<50max{0,[1−0.0001(Y (n )X (n )−50)]X(n)},Y(n)X(n)≥50 2.黄羊建模Y<n>=60000Y(n +1){ max {1.1Y (n )−20Z (n ),0}Y(n)<50max{[1.1−0.07(Y (n )()−50)]Y (n ),0}0X (n )=0Y(n)X(n)≥50 3.狼群建模Z 〔1〕=50Y(n +1){ 1.1Z(n)Y(n)Z(n)>300[1.1−αZ(n)Y(n)]0Y (n )=0Y(n)Z(n)⋞300 五．模型求解〔一〕利用matlab 编程进行求解a=5时生态系统的变化,并画出随着年份的增加草场,黄羊和狼的种群数量的变化,得到结果如下：1.草场的变化结果：2.黄羊的变化结果3.狼群的变化结果：从表中可以看出,200年后生态系统草场维持在999.9到1000亩之间,黄羊数量约为50000头,狼群数量约为165头,整个生态系统良好.如果没有人为或者重大自然灾害的干预,最终生态系统应处于动态平衡状态.（二）为分析α∋[1,10]之间的变化对生态系统的影响,取α为奇数〔α=1,3,5,7,9〕时生态系统的变化作为对比进行分析.〔α=5时的图见〔一〕中〕1.当α=1时2.当α=3时3.当α=7时4.当α=9时由以上可知,惩罚因子α越大时,生态系统越稳定,波动越小.这告诉我们,在现实生活建模中,脆弱的生态系统如沙漠系统建模时就应该选择较小的α,而稳定的生态系统就应该选择较大的α.这样才能减小建模的偏差,实现较好的预测效果.。