算法设计与分析(二)
电子科技大学研究生算法设计与分析拟考题及答案评分细则 (2)
一、Please answer T or F for each of the following statements to indicate whether thestatement is true or false1. An algorithm is an instance, or concrete representation, for a computer programin some programming language. ( F )2. The following problem is a Decision Problem: What is the value of a bestpossible solution? ( F )3. The dynamic programming method can not solve a problem in polynomial time.( F)4. Assume that there is a polynomial reduction from problem A to problem B. Ifwe can prove that A is NP-hard, then we know that B is NP-hard. ( F )5. If one can give a polynomial-time algorithm for a problem in NP, then all theproblems NP can be solved in polynomial time. ( F )6. In an undirected graph, the minimum cut between any two vertices a and b isunique. ( F)7. Linear programming can be solved in polynomial time, but integer linearprogramming can not be solved in polynomial time. ( T )8. We can solve the maximum independent set problem in a graph with at most100 vertices in polynomial time. ( T ) 结论9. If an algorithm solves a problem of size n by dividing it into two subproblems ofsize n/2, recursively solving each subproblems, and then combine the solutions in linear time. Then the algorithm runs in O(n log n) time. ( T )10. Neural Computation, Fuzzy Computation and Evolution Computing are thethree research fields of Computational Intelligence. ( T )二、Given the following seven functions f1(n) = n5+ 10n4, f2(n) = n2+ 3n, f3(n) =f4(n) = log n + (2log n)3, f5(n) = 2n+n!+ 5e n, f6(n) = 3log(2n) + 5log n, f7(n) = 2n log n+log n n. Please answer the questions:第 1 页共5 页(a) Give the tight asymptotic growth rate (asymptotic expression with θ) to eachof them; (7分)(b) Arrange them in ascending order of asymptotic growth rate。
算法分析与设计（线下作业二）
算法分析与设计（线下作业⼆）《算法分析与设计》学习中⼼：专业：学号：姓名：作业练习⼆⼀、名词解释1、MST性质2、⼦问题的重叠性质递归算法求解问题时，每次产⽣的⼦问题并不总是新问题，有些⼦问题被反复计算多次，这种性质称为⼦问题的重叠性质。
⼆、简答题1、简述动态规划算法求解的基本要素。
答：动态规划算法求解的基本要素包括：1)最优⼦结构是问题能⽤动态规划算法求解的前提；2)动态规划算法，对每⼀个⼦问题只解⼀次，⽽后将其解保存在⼀个表格中，当再次需要解此⼦问题时，只是简单地⽤常数时间查看⼀下结果，即重叠⼦问题。
2、备忘录⽅法和动态规划算法相⽐有何异同简述之。
答：备忘录⽅法是动态规划算法的变形。
与动态规划算法⼀样，备忘录⽅法⽤表格保存已解决的⼦问题的答案，在下次需要解此问题时，只要简单地查看该⼦问题的解答，⽽不必重新计算。
备忘录⽅法与动态规划算法不同的是，备忘录⽅法的递归⽅式是⾃顶向下的，⽽动态规划算法则是⾃底向上递归的。
因此，备忘录⽅法的控制结构与直接递归⽅法的控制结构相同，区别在于备忘录⽅法为每个解过的⼦问题建⽴了备忘录以备需要时查看，避免了相同的⼦问题的重复求解，⽽直接递归⽅法没有此功能。
3、贪⼼算法求解的问题主要具有哪些性质简述之。
答：贪⼼算法求解的问题⼀般具有⼆个重要的性质：⼀是贪⼼选择性质，这是贪⼼算法可⾏的第⼀个基本要素；另⼀个是最优⼦结构性质，问题的最优⼦结构性质是该问题可⽤贪⼼算法求解的关键特征。
三、算法编写及算法应⽤分析题1、设计求解如下最⼤⼦段和问题的动态规划算法。
只需给出其递推计算公式即可。
最⼤⼦段和问题：给定由n 个整数（可能为负整数）组成的序列a1a2 … an，求该序列形如Σi≤k≤j ak的⼦段和的最⼤值。
当所有整数均为负整数时定义其最⼤⼦段和为0。
依次定义，所求的最优值为max{0, max1≤i≤j≤n Σi≤k≤j ak }。
2、关于多段图问题。
设G ＝(V ，E)是⼀个赋权有向图，其顶点集V 被划分成k>2个不相交的⼦集V i ：1i k ≤≤，其中，V 1和V k 分别只有⼀个顶点s （称为源）和⼀个顶点t （称为汇），图中所有的边（u,v ），i u V ∈，1i v V +∈。
算法设计与分析第二版
算法设计与分析第二版1. 前言算法是程序设计中最重要的一环，它是计算机科学的核心。
算法设计与分析是指对算法的设计、实现和错误的检测以及对算法效率的分析。
随着计算机软件和硬件技术的日新月异，人们对计算机处理能力的需求不断提高，研究和开发高效的算法成为了人们追求的目标。
因此，算法设计与分析在计算机科学中的地位越来越重要。
2. 算法设计我们常常需要设计一些算法解决具体问题。
所谓算法就是通过按照一定规则和步骤（计算过程）来实现某一种功能的一种描述。
为了更好地实现算法，我们可以通过以下几个方面加以考虑：2.1 正确性设计算法首要考虑的是其正确性。
一个算法的正确性是指其能够正确地实现所需要的功能。
正确性是设计算法的必要条件。
2.2 可读性设计算法的目的不仅仅是为了完成特定的功能，还需要考虑到算法的可读性。
可读性使得算法更加易于理解，便于后续维护和修改。
在实际开发中，算法的可读性经常成为考虑的一个重点。
2.3 可维护性随着业务的不断变化，经常需要对算法进行维护和改进，因此所设计的算法需要考虑到其可维护性，具体表现在代码的可扩展性、可重用性等。
算法具有高可维护性的优势，可以降低程序错误率，提升程序的健壮性。
3. 算法分析算法分析是指对算法的效率进行分析。
具体包括时间复杂度和空间复杂度。
算法的效率是指算法所需要的时间或者空间资源量。
我们通常采用复杂度来描述算法的效率。
3.1 时间复杂度时间复杂度通常指的是算法的运行时间。
计算时间复杂度时，需要确定算法的基本操作次数和各操作之间的顺序，然后计算基本操作次数所占的时间。
3.2 空间复杂度空间复杂度通常指的是算法所需内存的大小。
在实际程序设计中，除了考虑时间复杂度还需要考虑空间复杂度问题。
算法占用空间大小的分析用于程序性能评估和程序优化。
4. 结论本文简要介绍了算法设计和算法分析的基础知识。
算法设计是指对算法的设计、实现和错误的检测以及对算法效率的分析。
算法分析包括时间复杂度和空间复杂度两个方面。
(陈慧南 第3版)算法设计与分析——第2章课后习题答案
因此 T (n) (n 2 ) （3） a 28, b 3, f n cn3
nlogb a nlog3 28 n3.033 ，则 f (n) c n 2 (nlogb a - ) ，其中可取 =0.04 。符合主定理
的情况 1 ，因此 T (n) (n3.033 )
21 21 当 n n0 时， f n g n ，所以 f n = g n 2 2
（2） f n n 2 logn ， g n n log 2 n
2 当 n 4 时， f n n 2 logn n 2 ， g n n log 2 n n 。因此可取 n0 4, c 1 ，当
g n
（1） f n 20n logn ， g n n+ log 3 n
f n 20n logn 21n ， g n n+ log 3 当 n 3 时， logn n log3 n 2n n 因此
因此可取 n0 3, c
f n g n ，所以 f n = g n
2-12 将下列时间函数按增长率的非递减次序排列
3 2
n
， log n ， log 2 n ， n log n ， n ! ， log(log(n)) ， 2 n ， n1 log n ， n 2
答： n1 log n
f ( n ) ( n m )
证明：
f (n) am nm am1nm1 a1n a0 F (n) am n m am1 n m1
a1 n a0
由 F (n) 单调性易知，存在 nt 0 ，使得 F (n) 取 n 1 ，且 nt0 nt ， F (nt0 ) 0 ，则 当 n nt0 时， F (n) 0 即： f (n) am n m am1 n m1
算法设计与分析(第2版) 郑宗汉 第1章-1
8
Байду номын сангаас
学习要求
深刻理解每一类算法的思想及其实现
能熟练运用所学知识解决实际问题
培养提高计算思维能力
9
考核方式
Homework and Reading: 20%
Final Exam (Written Test): 80%
10
第1章 算法的基本概念
1.1 引言
1.1.1 算法的定义和特性
c %3 0
（1.1.3）
16
1.1.2 算法的设计和复杂性分析
百鸡问题的穷举法
输入：所购买的3种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[],m[],s[]
1. void chicken_question(int n, int &k, int g[], int m[], int s[]) 2. { 3. int a,b,c; 分析发现：只能买到n/5 4. k = 0; 只公鸡，n/3只母鸡，将 5. for (a = 0; a <= n; a++) { 算法进行改进。 6. for ( b = 0; b <= n; b++) { 7. for (c = 0; c <= n; c++) { 8. if ((a + b + c == n) && (5 * a + 3 * b + c / 3 == n) && (c%3 == 0)) { 9. g[k] = a; 10. m[k] = b; 11. s[k] = c; 12. k++; 13. } 14. } 15. } 16. } 17. }
算法设计与分析(第2版)
出版工作
2018年8月1日，该教材由清华大学出版社出版。
内容简介
内容简介
全书由12章构成，各章的内容如下。
第1章概论：介绍算法的概念、算法分析方法和STL在算法设计中的应用。
教材目录
教材目录
（注：目录排版顺序为从左列至右列 ）
教学资源
教学资源
该教材配有配套教材——《算法设计与分析（第2版）学习与实验指导》，该配套教材涵盖所有练习题、上 机实验题和在线编程题的参考答案。
该教材每个知识点都配套了视频讲解，提供PPT课件、源码、答案、教学大纲、题库、书中全部源程序代码 （在VC++6.0中调试通过）等教学资源。
算法设计与分析（第2版）
20xx年清华大学出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材目录源 06 作者简介
基本信息
《算法设计与分析（第2版）》是由李春葆主编，2018年清华大学出版社出版的高等学校数据结构课程系列 教材。该教材适合作为高等院校“算法设计与分析”课程的教材，也可供ACM和各类程序设计竞赛者参考。
第5章回溯法：介绍解空间概念和回溯法算法框架，讨论采用回溯法求解0/1背包问题、装载问题、子集和问 题、n皇后问题、图的m着色问题、任务分配问题、活动安排问题和流水作业调度问题的典型算法。
第6章分枝限界法：介绍分枝限界法的特点和算法框架、队列式分枝限界法和优先队列式分枝限界法，讨论 采用分枝限界法求解0/1背包问题、图的单源最短路径、任务分配问题和流水作业调度问题的典型算法。
该教材介绍了各种常用的算法设计策略，包括递归、分治法、蛮力法、回溯法、分枝限界法、贪心法、动态 规划、概率算法和近似算法等，并讨论了各种图算法和计算几何设计算法。书中配有图表、练习题、上机实验题 和在线编程题。
算法设计与分析第二版课后习题及解答（可编辑）
算法设计与分析第二版课后习题及解答算法设计与分析基础课后练习答案习题1.14.设计一个计算的算法,n是任意正整数。
除了赋值和比较运算,该算法只能用到基本的四则运算操作。
算法求 //输入:一个正整数n2//输出:。
step1:a1; step2:若a*an 转step 3,否则输出a; step3:aa+1转step 2;5. a.用欧几里德算法求gcd(31415,14142)。
b. 用欧几里德算法求gcd(31415,14142),比检查min{m,n}和gcd(m,n)间连续整数的算法快多少倍?请估算一下。
a. gcd31415, 14142 gcd14142, 3131 gcd3131, 1618 gcd1618, 1513 gcd1513, 105 gcd1513, 105 gcd105, 43 gcd43, 19 gcd19, 5 gcd5, 4 gcd4, 1 gcd1, 0 1.b.有a可知计算gcd(31415,14142)欧几里德算法做了11次除法。
连续整数检测算法在14142每次迭代过程中或者做了一次除法,或者两次除法,因此这个算法做除法的次数鉴于1?14142 和 2?14142之间,所以欧几里德算法比此算法快1?14142/11 ≈1300 与2?14142/11 ≈ 2600 倍之间。
6.证明等式gcdm,ngcdn,m mod n对每一对正整数m,n都成立.Hint:根据除法的定义不难证明:如果d整除u和v, 那么d一定能整除u±v;如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意一对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d一定能整除n和rm mod nm-qn;显然,若d能整除n和r,也一定能整除mr+qn和n。
数对m,n和n,r具有相同的公约数的有限非空集,其中也包括了最大公约数。
故gcdm,ngcdn,r7.对于第一个数小于第二个数的一对数字,欧几里得算法将会如何处理?该算法在处理这种输入的过程中,上述情况最多会发生几次?Hint:对于任何形如0mn的一对数字,Euclid算法在第一次叠代时交换m和n, 即gcdm,ngcdn,m并且这种交换处理只发生一次.8.a.对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最少要做几次除法?1次b. 对于所有1≤m,n≤10的输入, Euclid算法最多要做几次除法?5次gcd5,8习题1.21.农夫过河P?农夫W?狼 G?山羊 C?白菜2.过桥问题1,2,5,10---分别代表4个人, f?手电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求方程ax^2+bx+c0的实根,写出上述算法的伪代码可以假设sqrtx是求平方根的函数算法Quadratica,b,c//求方程ax^2+bx+c0的实根的算法//输入:实系数a,b,c//输出:实根或者无解信息If a≠0D←b*b-4*a*cIf D0temp←2*ax1←-b+sqrtD/tempx2←-b-sqrtD/tempreturn x1,x2else if D0 return ?b/2*ael se return “no real roots”else //a0if b≠0 return ?c/belse //ab0if c0 return “no real numbers”else return “no real roots”5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答:a.将十进制整数转换为二进制整数的算法输入:一个正整数n输出:正整数n相应的二进制数第一步:用n除以2,余数赋给Kii0,1,2,商赋给n第二步:如果n0,则到第三步,否则重复第一步第三步:将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪代码算法 DectoBinn//将十进制整数n转换为二进制整数的算法//输入:正整数n//输出:该正整数相应的二进制数,该数存放于数组Bin[1n]中i1while n!0 doBin[i]n%2;nintn/2;i++;while i!0 doprint Bin[i];i--;9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.算法略对这个算法做尽可能多的改进.算法 MinDistanceA[0..n-1]//输入:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements 习题1.3考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]4.古老的七桥问题第2章习题2.17.对下列断言进行证明:如果是错误的,请举例a. 如果tn∈Ogn,则gn∈Ωtnb.α0时,Θαgn Θgn解:a这个断言是正确的。
黄宇《算法设计与分析》课后习题解析(二)精选全文
黄宇《算法设计与分析》课后习题解析（⼆）第2章：从算法的视⾓重新审视数学的概念2.1：(向下取整)题⽬：请计算满⾜下⾯两个条件的实数的区间解析：根据向下取整的含义，令，讨论a的取值范围即可解答：令，则可得：即：故的取值区间为：2.2: (取整函数)题⽬：证明：对于任意整数,（提⽰：将n划分为）。
解析：根据提⽰将n进⾏划分，根据取整函数的定义⽤k表⽰取整函数，即可证明；证明如下：因为对于任意整数,可划分为，则:① ；② ；综上：对于任意整数,, 得证；2.3: (斐波拉契数列)对于斐波拉契数列，请证明：1）题⽬：是偶数当且仅当n能被3整除解析：由斐波拉契数列的递归定义式，容易联想到数学归纳法；证明如下：（采⽤数学归纳法）i)当n = 1,2,3时，依次为1，1，2，符合命题；ii)假设当（k>=1）时命题均成⽴，则：① 当n = 3k+1时，是奇数，成⽴；② 当n = 3k+2时，是奇数，成⽴；③ 当 n = 3(k+1)时，是偶数，成⽴；综上：归纳可得为偶数当且仅当，得证;2）题⽬：x x =1+a (0<a <1)x =1+a (0<a <1)⌊x ⌋=1⇒⌊x ⌋=21⌊x ⌋=2⌊1+a +22a ⌋=1a +22a <1⇒0<a <−21⇒1<a +1<⇒21<x <2x (1，)2n ≥1⌈log (n +1)⌉=⌊logn ⌋+12≤k n ≤2−k +11n ≥12≤k n ≤2−k +11k +1=⌈log (2+k 1)⌉≤⌈log (n +1)⌉≤⌈log (2)⌉=k +1k +1=>⌈log (n +1)⌉=k +1k =⌊log (2)⌋≤k ⌊logn ⌋≤⌊log (2−k +11)⌋=k =>⌊logn ⌋=k n ≥1⌈log (n +1)⌉=k +1=⌊logn ⌋+1F n F n n ≤3k F =n F +n −1F =n −2F +3k F =3k −1>F 3k +1F =n F +3k +1F =3k >F 3k +2F =n F +3k +2F =3k +1>F 3k +3F n 3∣n F −n 2F F =n +1n −1(−1)n +1解析：同1）理，容易联想到数学归纳法证明如下：（采⽤数学归纳法）i)当n = 2时，, 易知成⽴；ii)假设当 n = k 时命题成⽴，① 若k = 2m, 则,当n = k+1 = 2m+1时，要证命题成⽴，即证： => ,代⼊递推式, 得：, 易知是恒等式，故命题成⽴；②当 k=2m+1时，同①理可证命题成⽴；综上：归纳可得，得证；2.4：(完美⼆叉树)给定⼀棵完美⼆叉树，记其节点数为，⾼度为，叶节点数为，内部节点数为1）题⽬：给定上述4个量中的任意⼀个，请推导出其他3个量解析：根据完美⼆叉树的结构特点易得解答：（仅以已知⾼度h推导其他三个量为例，其余同理）已知⾼度为h，可得：节点数：叶节点数：内部节点数：2）题⽬：请计算完美⼆叉树任意⼀层的节点个数：① 如果任意指定深度为的⼀层节点，请计算该层节点个数；② 如果任意指定⾼度为的⼀层节点，请计算该层节点个数；解析：根据完美⼆叉树的结构特点易得（注意节点深度和节点⾼度是互补的，相加为树⾼）解答：① ; ② ;2.5: (⼆叉树的性质)对于⼀棵⾮空的⼆叉树T，记其中叶节点的个数为，有1个⼦节点的节点个数为，有两个⼦节点的节点个数为1）题⽬：如果T是⼀棵2-tree，请证明。
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2）递归的结构 一般来说，递归由边界条件、递归计算和递归返回组成。当
边界条件不满足时，递归向前推进计算过程；当边界条件 满足时，递归返回。
3）直接递归和间接递归 对函数A，若在A的过程体内又调用了A自身，则这种递归 形式称为直接递归； 若在A的过程体内调用了另外一个函数B，而在B的过程体 内又调用了A，则这种递归形式称为间接递归；
例2.1 斐波那契(Fibonacci)序列： F0 = F1 = 1 Fi = Fi-1 + Fi-2 （i>1)
算法2.1 求斐波那契数： procedure F(n) //返回第n个斐波那契数// integer n if n ≤ 1 then return(1) else return(F(n-1) + F(n-2)) endif end F
直接递归
A(int x) { int y; …… A(y); …… }
间接递归
A(int x) { …… B(……); …… }
B(……) { int y; …… A(y); …… }
2. 递归程序设计
程序调用自身的编程技巧称为递归程序设计。是递归算法的 直接描述。 关于递归，注意两点： (1) 递归就是在过程或函数里直接或简接地调用自身; (2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称 为递归出口，否则会产生死循环而出错。
改进：保存中间结果（递推模型）(用大小为N的数 组) 其它递归模型
例2.2 欧几里得算法 已知两个非负整数a和b，且a＞b≥0，求这两个数的
最大公因数。 辗转相除法：若b=0，则a和b的最大公因数等于a；若b＞0，
则a和b的最大公因数等于b和用b除a的余数的最大公因数。
算法2.2 求最大公因数 procedure GCD(a,b) // 约定a>b //
算法设计与分析
2012.5
王多强 wdq0818@
二、递归与递归是递归？
递归是一个过程或函数在其定义或说明中又直接或间接调用 自身的一种方法。
1）递归的本质 递归把一个大型、复杂的问题层层转化为一个与原问题相似、
但规模较小的问题来求解，只需少量的程序就可描述出解 题过程所需要的多次重复计算，大大地减少了程序的代码 量。递归的能力在于用有限的语句来定义对象的无限集合。
递推算法设计的思想
Recurrence_SOLVE(P) //P是当前问题 定义数组ans[P] //定义一个与问题规模P相适应的数组，用于存放答案 for i from 边界问题P0 to P do //从小问题求解做起 if i 是边界值 then 直接求解，将结果保存在ans中 else 将i转换为规模较小问题i' ans[i] ←build answer by ans[i'] //用已得到的答案构造i的解ans[i] endif repeat
递归和递推的联系：都存在重复计算，是解决较大规模问题 的有效方法；
递归和递推的区别：求解思路不同，实现技术上也不一样
递归算法设计的思想 Recursive_SOLVE (P) //P是当前问题
if P的规模足够小 then 直接求解 else
将P转换为规模较小问题P' Recursive_SOLVE(P') //递归调用 将P'还原成为原问题P，结果合并 endif END Recursive_SOLVE
3. 怎么克服递归的效率问题？
—— 化递归为递推
递归：递归是一种从上至下的“分解求解“的过程，即不断 地把大问题分解为小问题，直到小问题规模足够小，然后 求解并进行递归返回和结果合并。——效率差！
递推：递推是一种从下往上的“合并求解“过程，即从解决 小问题出发，记录小问题的答案，并根据已有的小问题的 答案，把问题往大里扩展，“滚雪球”，直到达到大问题 的规模为止。并通常用迭代（循环）的方式实现，而不是 递归调用，一般认为效率上比递归好。
递归是一种强有力的设计方法 与数学模型一致 表述简单、清晰、代码量少 可读性强、容易证明正确性
递归的问题：执行时间长、运行效率低，特别 是占用空间多，容易造成系统栈的溢出。
主要原因：递归调用时有大量的现场保护与恢复操 作，在递归调用的过程当中系统为每一层的返回 点、局部量等开辟了栈来存储，递归层次数过多 容易造成栈溢出等。
END Recurrence_SOLVE
怎么化递归程序为递推程序？ 需要理解并解决这样几个问题： ① 如何体现递归反映出来的、通过调用自身实现的重复计
算——从程序入口重复执行本程序的代码的过程？ ② 每次递归完成后要接着递归点往下继续执行，递推时如何
记录重复执行点，以实现与递归类似的、在重复点重复执 行、执行完后又能接着重复点之后的代码继续执行？ ③ 如果递归函数有返回值，返回值需要返回至递归调用点， 用迭代实现时，如何处理返回值？（小问题的解数组ans）
if b=0 then return(a) else return (GCD(b,a mod b))
endif end GCD
例： GCD(22,8) = GCD(8,6) = GCD(6,2) = GCD(2,0) = 2
例2.3 用递归策略设计的检索算法 已知元素x和元素表A（1：n），判断x是否等于A中
某元素的值。 算法2.3 在A（1：n）中检索x procedure SEARCH(i)
//如果在A（1：n）中有一元素A(k)=x，则将其第一次出现的下标k返回，否则返回0//
global n,x,A(1:n) case
:i>n: return(0) :A(i) = x; return(i) :else: return(SEARCH(i+1)) endcase end SEARCH
思考：上述算法的效率非常低下，为什么？
上述过程的效率很差，存在大量的重复计算：
F(n)
F(n-1)
F(n-2)
F(n-2)
F(n-3)
F(n-3)
F(n-4)
分析：F(n-2)被算了两次，F(n-3)被算了三次，F(n-4)被算了五次，.......， 总的运算量为这些运算之和，所以，事实上，这样的计算过程， 运算次数本身也是一个斐波那契数列。整个计算的时间复杂度约 为O(1.618n)。非常之大！