高中数学必修五课件：2.4《等比数列(一)》(人教A版必修5)
∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝± 2. a2－a1 －1 1 当 b2＝2 时， ＝ ＝－ ， b2 2 2 a2－a1 －1 1 a2－a1 1 当 b2＝－2 时， ＝ ＝ .∴ ＝± . b2 2 b2 2 －2
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
课堂总结
1． 等比数列 an 的通项公式为 an＝a1qn－1.在等比数 列中，an≠0，q≠0.
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1时， 为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差数列， 又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－a1，a1，－ a1，….
3．要证明一个数列为等比数列，必须对任意 n an＋1 an ∈N ， ＝q，或 ＝q(n≥2)都成立． an an－1
(2)解： 由(1)可知 an＋1 是以 a1＋1＝2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2×2 an＝2n－1.
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种： an＋1 (1)定义法： ＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*) an
⇔ an 是等比数列；
当a1＝d≠0时，a4＝4d，a6＝6d，a9＝9d， ∴a62＝a4a9＝36d2， ∴a4，a6，a9成等比数列． 当a1≠0且d＝0时，是非零常数列，满足题意． 综上可知a4，a6，a9成等比数列．
题型三 等比中项的应用
【例3】 等比数列的前三项和为168，a2－a5＝ 42，求a5，a7的等比中项．
*
4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知任 意三个，可求第四个量．
n－1
，所以
(2)通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数， n∈N*)⇔ an 是等比数列； (3)中项公式法：an＋12＝an·n＋2(an·n＋1·n＋2≠0，n a a a ∈N )⇔ an 是等比数列．
*
2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成 等比数列，那么G叫做a与b的________． 答案：等比中项 3．等比数列的通项公式为________． 答案：an＝a1qn－1
自主探究
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 答案：等比数列的首项，公比都不为0. 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有一 个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a，G，b不 成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2＝ab，则a， G，b成等比数列．
4 6
1 ＝a12q10＝962· 10＝9.
2
∴a5，a7 的等比中项是± 3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法． (2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
解：设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，由已知
a1＋a1q＋a2q2＝168， a1q－a1q4＝42， a11＋q＋q2＝168， ∴ a1q1－q342.
①
②
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 1 1 ①÷ ②q(1－q)＝ ⇒q＝ . 4 2 42 ∴a1＝ ＝96. 1 14 － 2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·7＝ a a1q ·1q a
误区解密 忽视题中隐含条件而出错
【例 4】 已知数列－1，a1，a2，－4 成等差数列， a2－a1 －1，b1，b2，b3，－4 成等比数列，求 的值． b2
错解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差 1 为 d，则 a2－a1＝d＝ [(－4)－(－1)]＝－1. 3 ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列．
3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13，求 这三个数． a a· q· aq＝27， a 解：设这三个数为 ，a，aq，则 q a＋a＋aq＝13， q
a＝3， 整理得 2 3q －10q＋3＝0，
1 解得 a＝3，q＝3 或 ， 3
∴这三个数为 1,3,9 或 9,3,1.
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项 均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
a1q4－a1＝15， (2)由 3 a1q －a1q＝6，
q2＋1 5 得 q ＝ ， 2
1 得 q＝ 或 q＝2. 2 1 当 q＝ ，a1＝－16，此时 a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，此时 a3＝a1q2＝4.
题型二 等比数列的判断
【例 2】 已知数列 an 满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1， (1)求证：数列 an＋1 是等比数列； (2)求 an 的表达式．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
1 an 中，a2＝4，a5＝－ ，求通项 【例 1】 等比数列 2
公式．
a1q＝4， 1 解：由 a2＝4，a5＝－ 知 4 ， 2 a1q ＝－1 2 a1＝－8， 解得 1 q＝－2，
∴所求通项公式为
1n－1 － an＝－8· . 2
1 3．等比数列 1， ，„的通项公式为________________． 3 1 3 1 解析：等比数列的首项为 1，公比为 ＝ ， 1 3
所以其通项公式为
1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
2．在等差数列 an 中，已知 a1，a2，a4 成等比数 列，求证：a4，a6，a9 也成等比数列．
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
预习测评
1．已知 a 是公比为 q 的等比数列，则这个数列 的通项公式为 ( )
n
A．an＝a3qn－2 C．an＝a3qn－3
B．an＝a3qn－1 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·2·n－3＝aqn－1＝an. q q 答案：C
2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b ＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0， 故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac ＝9，故选B 答案：B
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 1 则 a2－a1＝d＝ [(－4)－(－1)]＝－1， 3 ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝± 2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0. a2－a1 －1 1 ∴b2＝－2，∴ ＝ ＝ b2 －2 2
公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项 之比，防止前后次序颠倒．
(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或 第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此 数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或 第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是 一个等比数列． (4)项不为0的常数数列是等比数列． an＋1 (5)证明一个数列为等比数列，其依据是 ＝ an
2.4 等比数列（一）
掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式 及推导过程，并能应用等比数列的定义及通项公式解 决问题．
自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 叫做________数列，这个常数叫做等比数列的 ________，公比通常用字母q表示(q≠0)． 答案：等比 公比
3．通项公式的应用
通项公式 an＝a1qn
－1
反映了等比数列 an 的各项
与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
(1)证明：因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋ 1＋1＝2(an＋1)， an＋1＋1 由 a1＝1， a1＋1≠0， 故 由上式易知 an＋1≠0， 所以 an＋1 ＝2，所以 an＋1 是以 2 为公比的等比数列．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q(n∈N*)，利用这种形式来判定，便于操作．
2．等比中项的应用 等比数列递推关系an2＝an－1·n＋1(n≥2)，即说 a 明等比数列的任何一项(除第一项和最后一项)都是其 前后两项的等比中项．
特别提醒：(1)利用等比中项可在成等比数列 的三数中“知二求一”． (2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比 中项有两个值，即 G＝± ab.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．
1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3. a1＝27， a1＝－27， a1q＝18， 解：(1)由 3 解得 2 或 2 a1q ＝8， q＝3， q＝－3.
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人教版数学必修五：2.4《等比数列 》ppt课件
－1
.
第二章 2.4 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
.
第二章 2.4 第1课时
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注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
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1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
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an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
等比数列人教A版高中数学必修五PPT课件
解：设原来的三个数是 ：a, aq, aq 2
则必有(a2qaq
a 4)2
(aq 2 a(aq
32) 2 32)
① ②
由①得q 4a 2 a
代入②得a 2，q 5或a 2，q 13 9
故原来的三个数是：2,20,50或 2，26，338 99 9
例2、已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 1)求证数列{an+1}是等比数列; 2)求an的表达式
解：设首项为a1，公比为q，则有
a1 a1
q q
2 3
12 18
解得
q
3 2 ,a1
16 3
an
32 9
(
3 2
)
n，a
2
8
例2、在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160， 求an.
解：设等比数列{an}的公比为q,由题意得
aa11qq52
20 160
解得
q 2 a1 5
因此，an=5×2n-1
(二)等比数列的通项公式 由定义可知：
a2 q，a3 q，a4 q，，an1 q，an q
a1
a2
a3
an2
a n1
(n-1个等式)
观察上式，可以把每一个等式的左边 相乘，右边也相乘，等式还成立。
a2 a3 a4 an1 an q q q q
a1 a2 a3
an2 an1
1 q
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
(五)等比数列的性质
5、若{an },{bn }为项数相同的等比数列 ，则
(1)数列{c
a
n
},
{
人教A版高中数学必修五2.4数学等比数列 课件
当q>0时，数列单调性不定.
an1 q an
当 q>1，a1>0，或 0<q<1，a1<0 时，数列是递增数列. 当 q>1，a1<0，或 0<q<1，a1>0 时，数列是递减数列.
当q=1时，数列是常数数列.
思考2：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,
……
由此归纳等差数列
由此归纳等比数列的通项公式可得：
的通项公式可得：
ana1(n1)d
an a1qn1
3、等比数列的通项公式：
法二：迭加法
等 a2a1d
差 数
a3a2 d
类比
列 a4a3 d ……
+）anan1d
a2 q
等 比 数 列
a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n1
2
图象上一群孤立的点
2
1
O 1234567
n
等差数列
等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
①函数观点； 一次函数形式：
a n = pn + q，n ∈N +
d=p a1=p+q ②方程思想. 方程中有四个量，知 三求一，这是公式最 简单的应用.
等比数列
等比数列通项公式: a n= a 1 q n－1
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年
剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多
长(精确到1年) ？
放射性物质衰变到
解:设这种物质最初分的析质: 量是1,经过n年,剩留量原是来a的n.一半所需时
an1 q an
当 q>1，a1>0，或 0<q<1，a1<0 时，数列是递增数列. 当 q>1，a1<0，或 0<q<1，a1>0 时，数列是递减数列.
当q=1时，数列是常数数列.
思考2：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,
……
由此归纳等差数列
由此归纳等比数列的通项公式可得：
的通项公式可得：
ana1(n1)d
an a1qn1
3、等比数列的通项公式：
法二：迭加法
等 a2a1d
差 数
a3a2 d
类比
列 a4a3 d ……
+）anan1d
a2 q
等 比 数 列
a1
a3 q a2
a4 q
…a 3 …
×） a n q
a n1
2
图象上一群孤立的点
2
1
O 1234567
n
等差数列
等差数列通项公式:
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
①函数观点； 一次函数形式：
a n = pn + q，n ∈N +
d=p a1=p+q ②方程思想. 方程中有四个量，知 三求一，这是公式最 简单的应用.
等比数列
等比数列通项公式: a n= a 1 q n－1
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年
剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多
长(精确到1年) ？
放射性物质衰变到
解:设这种物质最初分的析质: 量是1,经过n年,剩留量原是来a的n.一半所需时
新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.5等比数列(一)
2
a1 q ,, a n a1 q
3
n 1
等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式： a n= a 1 q n － 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
练习：
（ 1 ）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27, 求b
b3
三、例题讲解
例1（P50）某种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰 期为多长(精确到1年)? 例2（P50）根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的 前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
a1 >0，d<0，前n项和有最大值。可由
2．等差数列前n项和的性质
性质1.等差数列的依次每k项之和Sk,S2k－Sk， S3k－S2k…组成一个公差为k2d的等差数列； 性质2.
A
若{an}共有2n项，则S2n=k(an+an+1) ( an,an+1为中间项)， 并且S偶 -S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1
B 若{an}共有2n-1时，则S2n-1=(2n-1)an (an为中间项) S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n/n-1
性质3.
（1）若{an}为等差数列，则
S 2n1 (2n 1)an
（2）若{an}{bn}为等差数列，它们的前n项和为Sn，Tn则
S 2 n1 a n T2 n1 b n
a1 q ,, a n a1 q
3
n 1
等差数列
等差数列通项公式:
首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为
a n = a 1 + ( n－1 ) d，n ∈N +
等比数列
等比数列通项公式: 首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式： a n= a 1 q n － 1
(a 1 ≠0 且 q ≠0,n ∈N +)
练习：
（ 1 ）求45与80的等比中项
60
（2）已知b是a与c的等比中项，且 abc 27, 求b
b3
三、例题讲解
例1（P50）某种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰 期为多长(精确到1年)? 例2（P50）根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的 前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?
a1 >0，d<0，前n项和有最大值。可由
2．等差数列前n项和的性质
性质1.等差数列的依次每k项之和Sk,S2k－Sk， S3k－S2k…组成一个公差为k2d的等差数列； 性质2.
A
若{an}共有2n项，则S2n=k(an+an+1) ( an,an+1为中间项)， 并且S偶 -S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1
B 若{an}共有2n-1时，则S2n-1=(2n-1)an (an为中间项) S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n/n-1
性质3.
（1）若{an}为等差数列，则
S 2n1 (2n 1)an
（2）若{an}{bn}为等差数列，它们的前n项和为Sn，Tn则
S 2 n1 a n T2 n1 b n
人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列的概念及通项公式课件(共34张PPT)
例3 在等比数列{an}中.
②要判(定1每)一已项，知不能有a例2外＝. 4，a5＝－21，求 an；
解 a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15.
所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，
a q＝4， 题型二 等比数列通项公式的应用
a与b的等比中项有 个，且互为__
解 设等比数列的公比为 q，则 网课结束日，学校见面时。 1 若an＋1＝qan，n∈N*，且q≠0，则{an}是等比数列. a q ＝－ . 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于__; 2 (3)数列：-1，-2，-4，-8，-16，…
√C.①②④
解析 ①②显然是等比数列；
由于x可能为0，③不是；
a不能为0，④符合等比数列定义，故④是.
D.①②③④
命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列
例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列； 证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，知a1＋1≠0，从而an＋1≠0.
(2)－1,1,2,4,8，…； 解 记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵aa21＝－1≠aa32＝2， ∴此数列不是等比数列. (3)a1，a2，a3，…，an，….
解 当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…， 显然此数列为等比数列，且公比为a.
3.等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个 量可求得第四个量.
知识点四 等比数列的类型
思考：等比数列的公比与该数列的类型有关系吗？ (1)数列：1，2，4，8，16，… (2)数列：8,4,2,1, 1 , 1 , 1 ,
高中数学人教A版必修5第二章2.4等比数列 课件
差数列.这个常数叫做 列 叫 做 等 比 数 列 . 这
等差数列的公差，用d 个常数叫做等比数列
表示
的公比，用q表示
数学式 子表示
an+1-an=d
an+1 =q (q≠0) an
通项公式 an = a1 +（n-1）d an=a1·qn-1（q≠0）
： 四：布置作业
1.课本53页A组1,6,7,8；B组1 2.固学案； 3.预习等比数列前n项和.
(4)特殊情况a：n q=q1.时(n，数2)列{an}为常数列； an1
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做 等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？
0
1
n 1
解：a1 32 1，q 32 ， an a1 qn1 3 2 .
9
32
n1
3 2 ，即2
n
1， n
5，
2
即9为该数列的第5项.
变式： 3m1是该数列中的项吗？若是，是第几项 ?
n 1
分析：令3m1 3 2 ，则n=2m+3
3、等比中项的理解
如果在a,b中插入一个数G,使a,G,b成等 比数列,则G叫做a,b的等比中项
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比； 防止把被除数与除数弄颠倒；公比可以是正数，负 数，可以是1，但不可以为0
一、预习问题展示与解析
1、等比数列定义的理解
(1)顺序问题:“从第二项起”与“前一项” 之 (2比)定；值问题： (2)定值问题：“比为常数q”，即与n无关,
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
新课标高中数学人教A版必修五全册课件2.4等比数列
1
2
n1
105 , 105 , 105 , , 10 5 ,.
求证：
(1) 这个数列成等比数列;
(2) 这个数列中的任一项是它后面第五
项的 1 ;
10
(3) 这个数列的任意两项的积仍在这个
数列中．
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十七分。
练习:
教材P.53练习第3、4题．
第三十页，编辑于星期日：十三点 十七分。
第十五页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
第十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的性质:
在等比数列中，m＋n＝p＋q， am，an， ap， aq有什么关系呢？
am ·an＝ap ·aq.
第十七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
(1) 5, 15, 45,; (2) 1.2, 2.4, 4.8,; (3) 2 , 1 , 3 ,;
328 (4) 2, 1, 2 .
2
第六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么
是等比中项吗？
第七页，编辑于星期日：十三点 十七分。
讲授新课
思考：
类比等差中项的概念，你能说出什么 是等比中项吗？
{an}是递增数列;
2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时, {an}是递减数列;
3. 当q＝1时, {an}是常数列;
第二十六页，编辑于星期日：十三点 十七分。
等比数列的增减性:
1. 当q＞1, a1＞0或0＜q＜1, a1＜0时,
{an}是递增数列; 2. 当q＞1, a1＜0,或0＜q＜1, a1＞0时,
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
高中数学必修五课件：2.4《等比数列(一)》(人教A版必修5)
特别提醒：(1)利用等比中项可在成等比数列
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中
，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中
，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．