随机信号的功率谱密度
数字随机信号功率谱密度分析-基带1
数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度（PSD ）分析－基带1、形如∑a n g (t -nT 0)的基带数字信号的PSD设有随机数字信号x (t )=∑a g (t -nT )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-∞⎪其中g(t)为基带成型脉冲，其持续时间为t ∈(0,T0) 。
a n 为取值离散的平稳随机随机序列，可以为复值。
(1-1)式可以表示一般的基带随机过程。
至于（窄带）带通过程，则可用等效基带法表示为：s (t )=Re x (t )e j ωc t之后使用窄带随机过程理论来分析。
容易知道，(1-1)式所表示的随机过程是以T 0为周期的周期平稳随机过程。
要求其功率谱密度，一种方法是先求得其周期的自相关函数，然后在一个码元周期内求其平均自相关函数，再对后者求傅里叶变换。
我们这里不使用这种方法，而是直接由功率谱密度的定义来求。
下面使用定义来分析(1-1)式表示的随机信号的功率谱密度。
理论上，随机过程都是功率信号，故其功率谱密度的一般定义为：E ⎪X T (f )⎪⎪ P x (f )=lim ⎪其中X T (f)是对过程截断之后取其傅里叶变换。
E[·]表示取集平均。
按照傅里叶变换的定义：X T (f )=⎪x T (t )e -j 2πft dtx T (t)是对应的截断时间信号。
取T ＝(2N+1)T0，则(1-3)式变为P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪ ⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0因为(1-3)表示的极限存在，所以T 无论怎么趋向+∞，得到的极限都应该相等。
这里取特殊的按照T 0的倍数增长的方式, 即x T (t)的时间跨度限制为[-NT0,(N+1)T0]，当N →∞时，x T (t)就是x (t)。
于是(1-5)式可以进一步写成P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0N →+∞2N +1T ⎪0x T (t 1)e -j 2πft 1dt 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪2⎪⎪E X (2N +1) T 0(f )⎪=E ⎪x T (t )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-N ⎪x T (t 1)e-j 2πft 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪∑a g (tT 0+nT 0nT 0T 0-nT 0)ej 2πft 1∑a g (t-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]g (t 2-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]=E [∑a *n =-N Ng (t 1-nT 0)e j 2πft 1dt 1j 2πf (t 1+nT 0)T 0+mT 0=E [∑a n ⎪g (t 1)ea m ⎪g (t 2)e -j 2πf (t 2+mT 0) dt 2]把求和跟积分分离开，得E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪N N T 0T 0⎪-j 2π(m -n ) fT 0⎪-j 2πf (t 2-t 1) *⎪=E a a e g t g t e dt 1dt 2 (1-8) ()()∑∑n m 12⎪⎪⎪0⎪0⎪⎪⎪m =-N n =-N ⎪在上式后项的积分中令变量替换t 2=t1+τ，得⎪⎪g (t )g (t )e-j 2πf (t 2-t 1)dt 1dt 2=⎪g (t 1)g (t 1+τ)dt 1e -j 2πf τd τR g (τ)e -j 2πf τd τ=ψg (f )正是g(t)的自相关函数的傅里叶变换。
随机信号的谱功率计算
随机信号的谱功率计算
《随机信号的谱功率计算》
随机信号是在时间域和频率域上都为随机变量的信号。
谱功率是描述信号在频率域上能量分布的一个重要指标。
谱功率计算是通过对随机信号进行频谱分析来得到的，它可以用于不同领域中的信号处理和系统分析。
随机信号的谱功率可以通过多种方法来计算，其中最常用的方法是利用傅里叶变换。
傅里叶变换将信号从时间域转换到频域，可以得到信号的频谱信息。
对于离散时间信号，可以使用离散傅里叶变换（DFT）来计算谱功率。
在信号处理中，谱功率通常使用功率谱密度函数（PSD）来表示。
功率谱密度函数是信号在频率域上的能量分布，描述了信号在不同频率上的功率大小。
对于离散时间信号，功率谱密度函数可以通过对信号的离散傅里叶变换的模的平方来计算。
另一种常用的方法是自相关函数和互相关函数。
自相关函数是信号与其自身在不同时刻的相关性，互相关函数是两个信号之间的相关性。
通过对随机信号的自相关函数或互相关函数进行傅里叶变换，可以得到信号的功率谱密度函数。
在实际应用中，计算谱功率还可以使用非参数估计方法，如周期图法、信号子空间方法和最大熵谱估计等。
这些方法不依赖于对信号的先验知识，可以直接估计信号的谱功率分布。
通过计算信号的谱功率，可以得到信号的频谱信息，从而可以进行频率分析、滤波和信号检测等操作。
谱功率计算在通信系统、雷达系统、音频处理和图像处理等领域中具有重要的应用价值。
总之，随机信号的谱功率计算是对信号进行频谱分析的关键步骤。
通过计算信号的功率谱密度函数，可以获得信号在频率域上的能量分布，为信号处理和系统分析提供重要的依据和指导。
随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
功率谱密度psd计算公式
功率谱密度psd计算公式功率谱密度（Power Spectral Density，简称 PSD）是在信号处理领域中一个非常重要的概念，它用于描述信号在不同频率上的功率分布情况。
那咱就来好好聊聊功率谱密度 PSD 的计算公式。
咱先从一个简单的例子说起哈。
就比如说，你在操场上跑步，你跑的速度不是一直不变的，有时候快，有时候慢。
那如果我们想知道你在不同“速度频率”下的能量消耗情况，这时候功率谱密度的概念就派上用场啦。
功率谱密度 PSD 的计算公式呢，通常可以通过傅里叶变换来推导。
对于一个连续的随机信号 x(t) ，它的自相关函数R(τ) 定义为R(τ) =E[x(t)x(t + τ)] ，其中 E 表示数学期望。
然后通过傅里叶变换，把自相关函数R(τ) 变换到频域，就得到了功率谱密度 S(f) 。
具体的公式就是S(f) = ∫_{-∞}^{+∞} R(τ) e^{-j2πfτ} dτ 。
这里面涉及到的傅里叶变换可能听起来有点复杂，但其实咱们可以把它想象成一个魔法工具，能把一个在时间域里看起来很复杂的信号，变到频率域里，让我们更清楚地看到不同频率成分的“力量”有多大。
再比如说，想象一下你听音乐的时候，那些高音低音，其实就相当于不同的频率成分。
功率谱密度就是告诉我们高音和低音分别有多大的“能量”。
在实际应用中，比如在通信系统里，我们需要知道信号在不同频率上的功率分布，来评估系统的性能。
如果功率谱密度在某些频率上太高，可能就会造成干扰；如果太低，可能信号就传不远。
还有在地震学中，通过分析地震波的功率谱密度，我们可以了解地震的能量在不同频率上的分布，从而更好地研究地震的特性和预测可能的危害。
对于工程师们来说，计算功率谱密度就像是在解谜。
他们得处理一堆复杂的数据，运用各种数学工具和算法，才能得到准确的结果。
总之，功率谱密度 PSD 的计算公式虽然有点复杂，但它在很多领域都有着极其重要的作用，帮助我们更好地理解和处理各种信号。
第4章 随机信号的功率谱密度
GN ( )
N0 , ( , ) 2 N0 ( ) 2
RN ( )
N0 N0 2
F 变换
N0 ( ) 2
0
0
白噪声的相关系数： ρ N (τ ) C N (τ ) RN (τ ) δ(τ)
第四章 随机信号的功率谱密度
§1 功率谱密度 信号可用能量特征来加以区别。 能量信号：总能量为有限值而平均功率为零的信号； 功率信号：平均功率为有限值而总能量为无穷大的信号。 例如： 若 x ( t ), t [ T , T ] , 则
信号能量为：
平均功率为：
T
T
x 2 ( t )dt
，
1 2T
1. 2. 3. 4.
非负性，GX(ω)≥0 ； GX(ω)为实函数； GX(ω)为偶函数； GX(ω)不含相位信息；
E [ XT ( ) ] 0
X T ( ) 为实函数
2
2
X T ( ) X T ( ) X T ( )为偶函数
X T ( ) 已不含相位信息
2. Re G XY ( ) 和 Re G YX ( ) 是
Im G XY ( ) 和
的偶函数； Im G YX ( ) 是 的奇函数。
因为任一复函数 f ( ) 满足：
Re[ f ( )] Re[ f ( )]
Im[ f ( )] Im[ f ( )]
当 X ( t ) 为各态历经过程时，则 x ( t , ) X ( t ), 故有
| X T ( , i ) |2 G X ( ) G X ( , i ) lim 。 T 2T
双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度
实验一 双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度1.1 功率谱密度简介平稳过程的任何一个非零样本函数的持续时间为无限长，显然都不满足绝对可积和总能量有限的条件。
因此，它的傅里叶变换不存在即没有频谱函数。
所以我们用功率谱密度来表述其频谱特性。
随机过程的任一实现是一个确定的功率型信号。
而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：2()()limT f T F P Tωω→∞=式中，()T F ω是f(t)的截短函数()T f t 对应的频谱函数。
f(t)是平稳随机过程()t ξ的一个实现。
而随机过程某一个实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应该看作是任一实现的功率谱密度的统计平均，即2()()[()]lim T fT E F P E P Tξωωω→∞== 虽然该式给出了平稳随机过程的功率谱密度，但我们通常都不利用这个式子来计算功率谱。
我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换。
对于平稳随机过程，也有类似的关系，即()()j P R ed ωτξωττ∞--∞=⎰和1()()2j R P ed ωτξτωωπ∞-∞=⎰对于平稳随机过程我们通常先求出其自相关函数再利用上式求出其功率谱密度。
1.2 实验要求1.了解平稳随机信号功率谱的概念及计算方法；2.利用matlab 仿真不同占空比，等概、非等概双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度；3.分析不同型号的功率谱密度中包含的频谱分量，有无直流分量和定时分量信息。
实验源代码：生成tongyuan1函数，duty为占空比，probability为概率function x=tongyuan1(duty,probability)f=10; %模拟信号的频率fs=500;Len=10000; %离散信号的总采样点数N=fs/f; %每个周期内的采样点数%模拟信号的生成和离散信号的采样x=zeros(1,Len); %方波矩阵初始化for i=0:Len-1;x(i+1)=(square(f*2*pi*i/fs,duty)+1)/2;%生成长度为Len的方波end;u=rand(1,Len/N);%将等概率波形变成不同概率波。
随机信号分析__2.3功率谱密度
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
随机信号名词解释
随机信号名词解释一、定义随机信号是指在任何时间都无法确定其确切值的信号。
这种信号的值是随机的，即每个样本函数都是不同的，且遵循某种统计规律。
二、特点1.随机性：随机信号的值是不确定的，其具体取值无法事前预测。
2.统计规律性：尽管随机信号的每个样本函数是不同的，但它们遵循一定的统计规律。
这些规律可以通过概率论和统计学进行描述。
3.功率谱密度：随机信号的功率谱密度是一种描述信号中各种频率分量所占的能量比例的函数。
三、产生方式随机信号可以通过自然现象或人为生成的方式产生。
例如，大气噪声、机械振动、电子噪声等都可以作为随机信号的来源。
此外，也可以通过模拟或数字方式生成具有特定统计特性的随机信号。
四、频谱分析频谱分析是研究随机信号的一个重要手段。
通过对随机信号进行频谱分析，可以了解信号中各个频率分量的能量分布情况，从而更好地理解和处理该信号。
五、相关函数相关函数是描述随机信号之间时间关联性的函数。
如果两个信号在某一时刻之前的值相同或相似，则可以说这两个信号在该时刻是相关的。
相关函数在信号处理、系统分析和物理测量等领域中有着广泛的应用。
六、随机过程随机过程是随机信号的扩展，它不仅考虑单个样本函数的随机性，还考虑多个样本函数之间的相互关系。
随机过程在概率论、统计学、通信工程、金融数学等领域中有着广泛的应用。
七、信号处理对于随机信号的处理，常用的方法包括滤波、预测、估计和编码等。
这些方法可以帮助我们从大量的随机信号中提取有用的信息，或者对信号进行有效的传输和存储。
八、应用领域随机信号在许多领域中都有着广泛的应用，如通信、雷达、声呐、地震学、气象学、经济学等。
在这些领域中，我们需要处理大量的随机信号数据，并从中提取有用的信息。
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Z(t)的谱密度GZ():
GZ () GZ () GY () RXY ( )e j d RYX ( )e j d
其中：
GXY () RXY ( )e j d
GYX () RYX ( )e j d
称为互功率谱密度。
一、互谱密度：
设两个联合平稳的随机过程X(t)和Y(t)，若x(t,)
GXY () GYX () 2mX mY ()
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积， 则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数 RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
三、相干函数
XY ()
GXY ()
1
[GX ()GY ()] 2
4.5 白噪声与白序列
一 白噪声的定义及特性：
GX
()
lim
T
1 2T
T T
T
R(t1,t2 )e j(t2 t1)dt1dt2
T
t
t1,
t2
t1
lim
T
1 2T
T t T
RX
T t T
(t , t
)dte j d
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
)dt e
j d
RX
( )
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
RZ (t,t ) E{[ X (t) Y (t)][ X (t ) Y (t )]} RX (t,t ) RY (t,t ) RXY (t,t ) RYX (t,t )
若两个随机过程X(t)、Y(t)单独平稳且联合平稳， 则：
RZ ( ) RX ( ) RY ( ) RXY ( ) RYX ( )
和y(t,)分别为X(t)和Y(t)的某一个样本函数，相应
的截短函数分别为xT(t,)和yT(t,)，傅立叶变换分
别为：XT (, )、YT (, ) ，则互功率谱：
GXY
(
)
lim
T
E[
X
T
(, )YT
2T
(,
)]
GYX
()
lim
T
E[YT
(, )
2T
X
T
(,
)]
二、互谱密度的性质
性质一：GXY
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
1
2
Gf
()d
W
E[W ]
E[
f
2 (t)] lim T
1 2T
T
E[
T
f
(t) 2 ]dt
1
2
lim
T
1 2T
E[
XT
(, )
2 ]d
或
W
E[ f
2 (t)]
Rf
(0)
1
2
Gf
()d
若f(t)为各态历经过程,则有:
Gf
()
lim
T
1 2T
对于白序列其功率谱：
GZ
(
)
2 Z
,
五、限带白噪声
若噪声在一个有限频带上有非零的常数功率谱，
而在频带之外为零，则被称做限带白噪声。
GN
()
W
,
0,
otherwise
自相关函数：
RN
(
)
W
s in
GN() /
RN()
W
-
0
-2/ -/ 0 / 2/
图 低通限带白噪声
GN
()
W
,
0,
0 | | 0
otherwise
RN
(
)
W
s in
cos0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个
实现： , x2 , x1, x0 , x1, x2 , , xN1,
中的有限长序列段 xn (0 n N 1) ，或者说N个数， 如何由它尽可能准确地得到X(t)或Xj的功率谱密度 GX() 。
GZiZk () RZiZk ( )e j d
RZ i Z k
( )
1
2
GZiZk
()e j d
4.8 功率谱密度的计算举例
• 教材P102—P106：
•
例4.8—例4.10
4.9 随机过程的高阶统计量简介
• 二阶统计量丢失了随机信号重要的相位信息， 而高阶统计量则保持了相位信息，高阶统计量在 所谓盲信号处理（盲系统辩识、盲信道均衡信号 分离等）有重要的应用，高阶统计量还有一些特 性使得近年来人们对它开展了广泛的研究。
4.10 谱相关的基本理论简介
由
Gf
()
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
得:
GX
()
lim
T
E[ 1 2T
T
xT
T
T
(t1, )e jt1 dt1 xT
T
(t2 , )e
jt2 dt2 ]
lim
T
1 2T
T T
T
E[ XT
T
(t1) X T
(t2 )]e
j(t2 t1)dt1dt2RXT (t1,t2 ) E[ XT (t1) XT (t2 )] T (t1,t2 ) T
FT (, ) 2
功率谱密度Gf()是从频率角度描述f(t)统计规律 的最主要的数字特征。 Gf()仅表示了f(t)的平均功 率按频率分布的情况，没有包含过程f(t)的任何相位 信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
XT (, )
xT
(t,
)e
jt
dt
XT (, ) 2 XT (, )XT (, )
1 2T
T T
fT
(t, )[ 1 2
FT
(, )e jt d]dt
lim
T
1 2T
T T
FT
(, )
1
2
[ fT
(t, )e
jt dt]d
1
lim T 2T
T
| FT (, ) |2
T
1
2
d
1
2
1
lim
T 2T
FT (, ) 2 d
W是样 本函数 的平均
功率
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数:
T
1 2T
FT (, ) 2
对所有的（实验结果）取统计平均得：
Gf
()
E[G
f
(,
)]
E[ lim T
1 2T
FT (, ) 2 ]
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T
E[
T
f
(t, )
2 ]dt
lim
1
T
E[ f (t) 2 ]dt
T 2T T
1
2
lim
1、数据采样率：
随机信号采样定理：设平稳随机信号X(t)的功率
谱的最高频率为fc，则取采样间隔：
ts
1 2 fc
c
或
fs 2 fc
采样值为Xn，则有采样展开式：
Xˆ
(t)
n
Xn
sin c (t nts c (t nts )
)
且 Xˆ (t)在均方意义下逼近于X(t)，即：
E[ Xˆ (t) X (t) 2 ] 0
对于零均值随机过程X(t)，其相应的二阶、三阶、
四阶累量分别定义为：
Cum2,X ( ) E[ X (t) X (t )] Cum3,X (1, 2 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 )] Cum4,X (1, 2 , 3 ) E[ X (t) X (t 1) X (t 2 ) X (t 3 )] Cum2,X (1)Cum2,X ( 2 3 ) Cum2,X ( 2 )Cum2,X ( 3 1) Cum2,X ( 3 )Cum2,X (1 2 )
• 2、功率谱密度指单位带宽上的平均功率； • 3、任何直流分量和周期分量在频域上都表现为频
率轴上某点的零带宽内的有限功率，都会在频域 的相应位置上产生离散频谱；而在零带宽上的有 限功率等效于无限的功率谱密度。
• 4、借助函数，维纳—辛钦定理可推广至含 有直流或周期性成分的平稳过程中。
4.3 功率谱密度的性质
N0 2
( )
白噪声的相关系数N ( )为:
N
( )
CN CN
( )
(0)
RN ( )
RN (0)
RN RN
() ()
RN RN
( )
(0)
N
(
)
1, 0,
0 0
二、热噪声
• 热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（ 布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
• 其功率谱密度为：
GNU
(
对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应 的二阶、三阶、四阶累量分别定义为：
Cum( X1, X 2 ) E[ X1X 2 ] Cum( X1, X 2 , X 3 ) E[ X1X 2 X 3 ]
Cum( X1, X 2 , X 3, X 4 ) E[ X1X 2 X 3 X 4 ] E[ X1X 2 ]E[ X 3 X 4 ] E[ X1X 3 ]E[ X 2 X 4 ] E[ X1X 4 ]E[ X 2 X 3 ]