2022秋沪科版九年级数学上册 典中点 第23章综合素质评价
沪科版九年级数学上册 第23章 测评卷及答案
沪科版九年级数学上册 第23章 测评卷及答案(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( D )A ．sin A ＝32B ．tan A ＝12C ．cos B ＝32D ．tan B ＝ 32．计算cos60°＋33·tan60°的值是( C ) A.72 B.56 C.32 D.3＋223．已知等腰三角形的底边长为10 cm ，周长为36 cm ，那么底角的余弦等于( A )A.513B.1213C.1013D.5124．已知α为锐角，且3tan 2α－(1＋3)tan α＋1＝0，则α的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．30°或45°D ．45°或60°5．如图所示，在数轴上点A 所表示的数的范围是( D )A.32sin30°＜x ＜sin60°B ．cos30°＜x ＜32cos45° C.32tan30°＜x ＜tan45°D.32tan45°＜x ＜4sin30°6．已知α是锐角，且tan α＝5，那么α的取值范围是( A )A ．60°＜α＜90°B ．45°＜α＜60°C ．30°＜α＜45°D ．0°＜α＜30°7．★如图所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长为( C )A ．3＋ 3B ．2＋2 3C ．5D ．4.58．在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°，∠A ＝30°，斜边上的高为1，则三角形的三边长分别是( C )A ．a ＝3，b ＝7，c ＝3B ．a ＝2，b ＝233，c ＝433C ．a ＝233，b ＝2，c ＝433D ．a ＝2，b ＝23，c ＝49．★小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图所示，此时测得地面上的影长为8 米，坡面上的影长为4 米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 米，则树的高度为( A )A ．(6＋3) 米B ．12 米C ．(4＋23) 米D ．10 米10．★某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，如图是它的侧面示意图．已知自动扶梯AB 的坡度为1∶2.4，AB 的长度是13 米，MN 是二楼楼顶，MN ∥PQ ，C 是MN 上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，BC ⊥MN ，在自动扶梯底端A 处测得C 点的仰角为42°，则二楼的层高BC 约为(精确到0.1米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( D )A ．10.8 米B ．8.9 米C ．8.0 米D ．5.8 米第10题图第11题图第12题图二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C ＝30°，BC ＝2＋3，tan B ＝12，那么AD 等于__1__．12．如图，一船以每小时20 海里的速度沿正东方向航行，上午八时位于A 处，这时灯塔S 位于船的北偏东45°方向，上午九时三十分位于B 处，这时灯塔S 位于船的北偏东30°处，若继13．★在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x轴于点B ，斜边AO ＝10，sin ∠AOB ＝35，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，32．第13题图第14题图14．如图，河流两岸a 、b 互相平行，点A 、B 是河岸a 上的两座建筑物，点C 、D 是河岸b 上的两点，A 、B 的距离约为200 米．某人在河岸b 上的点P 处测得∠APC ＝75°，∠BPD ＝30°，则河流的宽度约为__100__米．三、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．计算cos 60°＋sin 60°cos 30°－sin 30°＋cos 245°－tan 45°·tan 30°. 解：原式＝12＋3232－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－1×33＝3＋13－1＋12－33 ＝2＋3＋12－33＝52＋233.16．化简求值：（cos70°＋1）2－2（cos60°＋sin60°）2＋|sin20°－1|.解：原式＝cos70 °＋1－2(cos60 °＋sin60 °)＋1－sin20 °＝sin20 °＋1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＋1－sin20 ° ＝1－ 3.四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．根据下列条件，求出Rt △ABC (∠C ＝90°)中未知的边和锐角．(1)BC ＝8，∠B ＝60°；(2)∠B ＝45°，AC ＝ 6.解：(1)∠A ＝90 °－60 °＝30 °，∵sinA ＝BC AB ，∴sin30 °＝8AB ， ∴AB ＝16，∴AC ＝162－82＝83；(2)∵∠B ＝45 °，∴∠A ＝45 °，∴AC ＝BC ＝6，AB ＝2 3.18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AC 上，若DB ＝6，AD ＝12CD ，sin ∠CBD ＝23，求AD 的长和tan A 的值．解：在Rt△DBC中，∠C＝90 °，sin∠CBD＝23，DB＝6，∴CD＝DB·sin∠CBD＝6×23＝4，∴CB＝BD2－CD2＝62－42＝25，又AD＝12CD＝12×4＝2，∴AC＝AD＋CD＝2＋4＝6，在Rt△ABC中，tanA＝CBAC＝256＝53.五、解答题(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10 km，∠CAB＝25°，∠CBA＝37°，因城市规划的需要，将在A，B两地之间修建一条笔直的公路．(1)求改直后的公路AB的长；(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？(参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)(1) 解：作CH⊥AB于点H，在Rt△ACH中，CH＝AC·sin∠CAB＝AC·sin25 °≈10×0.42＝4.2(千米)，AH＝AC·cos∠CAB＝AC·cos25 °≈10×0.91＝9.1(千米)，在Rt△BCH中，BH＝CH÷tan37 °≈4.2÷0.75＝5.6(千米)，∴AB＝AH＋BH＝9.1＋5.6＝14.7(千米)．(2)在Rt△BCH中，BC＝CH÷sin37 °≈4.2÷0.60＝7.0(千米)，∴AC＋BC－AB＝10＋7－14.7＝2.3(千米)．答：改直后比原来缩短了2.3千米．20．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5 m，根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．则限高高度CE是多少米．(结果精确到0.1 m，其中sin18°＝0.3090，cos18°＝0.9511，tan18°＝0.3249)解：限高高度CE是2.6 m.六、解答题(本题满分12分)21．如图所示，在电线杆上的C 处引拉线CE ，CF 固定电线杆．拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6 米处安置测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°.已知测角仪AB 的高为1.5 米，求拉线CE 的长．(结果保留根号)解：过点A 作AM ⊥CD ，垂足为M.∴AM ＝BD ＝6，AB ＝MD ＝1.5.在Rt △ACM 中，tan30 °＝CM AM， ∴CM ＝AM·tan30 °＝6×33＝23， ∴CD ＝CM ＋MD ＝23＋1.5.在Rt △CED 中，sin60 °＝CD CE， 即32＝23＋1.5CE， ∴CE ＝43＋33＝4＋ 3. 答：拉线CE 的长为(4＋3)米．七、解答题(本题满分12分)22．如图所示(图①为实景侧视图，图②为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平面上的射影AF为1.4 m，现已测量出屋顶斜坡面与水平面夹角为θ2，并已知tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412.如果安装工人已确定支架AB高为25 cm，求支架CD的高．(结果精确到1 cm)解：过A作AE∥BC，交DC于点E.则∠EAF＝∠CBG＝θ2，且EC＝AB＝25 cm，在Rt△DAF中，∠DAF＝θ1，∴DF＝AFtanθ1.在Rt△EAF中，∠EAF＝θ2，∴EF＝AFtanθ2，∴DE＝DF－EF＝AF(tanθ1－tanθ2)．又∵AF＝140 cm，tanθ1＝1.082，tanθ2＝0.412，∴DE＝140×(1.082－0.412)＝93.8(cm)，∴DC＝DE＋EC＝93.8＋25＝118.8≈119(cm)．答：支架DC的高为119 cm.八、解答题(本题满分14分)23．如图，已知斜坡AB长60 m，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC.现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(结果都精确到0.1 米，参考数据：3≈1.732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为________m；(2)一座建筑物GH距离坡角A点27 m远(即AG＝27 m)，小明在点D测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，则建筑物GH高多少米？解：(1)11.0.(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P.在Rt△DPA中，DP＝12AD＝12×30＝15，PA＝AD·cos30 °＝32×30＝15 3.在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，DM＝PG＝153＋27，在Rt△DMH中，HM＝DM·tan30 °＝33(153＋27)＝15＋9 3.∴GH＝HM＋MG＝15＋93＋15≈45.6(m)．答：建筑物GH高约45.6 m.。
2022秋沪科版九年级数学上册 点拨 第23章 习题课件
3 3
－
tan
B
2=0，
∴ sin A －
3 2
=0，
3 3
－
tan
B=0.
知1－练
感悟新知
∴ sin A=
3 2
，
tan
B=
33.
又∵∠ A ，∠ B 均为锐角，∴∠ A=60°，∠ B=30° .
∴∠ A + ∠ B=60° +30° =90° .
∴∠ C=180° － 90° =90° .
∴△ ABC 是直角三角形 .
感悟新知
2. 锐角三角函数之间的关系 同一锐角的三角函数之间的关系 (1)平方关系： sin2A+cos2A=1；
(2)商除关系：
sin cos
AA=tan
A.
知4－讲
感悟新知
知4－讲
深度理解 1. 锐角三角函数之间的关系都可用定义推导得出 . 2. 锐角三角函数定义速记口诀： 正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜， 正切等于对比邻，函数特点要牢记.
知1－讲
感悟新知
口诀释义： 理解口诀前需将特殊角的三角函数值的 分子放入二次根号中，此时，弦函数的分母都是 2，若将
切函数的分母都改为 3，则分别变为
33， 39，
27 3
；按照
30°，45°，60°的顺序，正弦函数值分子根号内的数分
别是 1，2，3，余弦函数值分子根号内的数分别是 3，2，
1，正切函数值分子根号内的数分别是 3，9，27. 正弦、正
感悟新知
知1－练
方法点拨 直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑将
相等的角作为中间量进行转化 .
感悟新知
解： 根据题意得∠ BCD= ∠ CAB， 所以 tan ∠ BCD=tan ∠ CAB=
2023年沪科版九年级上册数学第23章综合测试试卷及答案
第23章综合练习
七、(本题满分12分) 22.如图,在大楼AB正前方有一个斜坡CD,坡度i＝1∶3, 楼高AB＝60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为 60°,当太阳光线与水平线的夹角为45°时,通过楼顶B 的光线恰好经过斜坡的顶端D.求斜坡CD的长度.(结果保 留根号)
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第23章综合练习
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第23章综合练习
解:过点E作EN⊥BC于点N,交HG于点M. 根据题意,得∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°,EN＝40. ∵HG∥BC,∴∠EGM＝∠ECB＝36°. 在Rt△AHF中,∠AFH＝40°,AF＝50, ∴AH＝AF·sin ∠AFH≈50×0.64＝32. 在Rt△FEM和Rt△EMG中,设MG＝m,则FM＝7－m, ∴EM＝MG·tan ∠EGM≈0.73m,EM＝FM·tan ∠EFM≈0.47(7－m), ∴0.73m＝0.47(7－m),解得m≈2.7,∴EM≈2.0, ∴AB＝AH－EM＋EN≈70(米). 答:此大跳台最高点A距地面BD的距离约为70米.
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第23章综合练习
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
11.已知α是锐角,sin(α＋15°)＝ 23,则cos α＝
2 2
.
12.在Rt△ABC中,∠C＝90°.若AB＝100,sin A＝35, 则AC的长为 80 .
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第23章综合练习
13.如图,小明在距离地面30米的P处测得山顶A处的 俯角为15°,山脚B处的俯角为60°.若斜面坡度i＝ 1∶ 3,则斜坡AB的长是 20 3 米.
第23章综合练习
第23章综合练习
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,满分40分) 1.已知∠α为锐角,且sin α＝12,则∠α＝( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°
沪科版九年级数学上学期第23章解直角三角形单元综合测试卷含答案
年级上册数学单元综合测试卷（第23章 解直角三角形）注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是（ ）A .13B .3CD . 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是（ ）A .34B .43C .35D .453.如果∠α为锐角，且sin α＝0.6，那么α的取值范围是（ ）A .0°＜α≤30°B .30°＜α＜45°C .45°＜α＜60°D .60°＜α≤90° 4.若α为锐角，且sin α＝45，则tan α的值为（ ） A .925 B .35 C .34 D .435.如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标为（3，m ），且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值为（ ） A .45 B .54 C .35 D .53第5题图 第8题图 第9题图 第10题图6. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝1213，则cos A 的值为（ ） A .512 B .125 C .1213 D .13127.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sin B 的值是（ ）A B C D8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，则tan ∠CDE 的值等于（ ） A .1013 B .1310 C .512 D .1259.如图，两条宽度均为40 m 的公路相交成α角，那么这两条公路在相交处的公共部分（图中阴影部分）的路面面积是（ ） A .1600sin α(m 2) B .1600cos α(m 2) C .1600sin α(m 2) D .1600cos α(m 2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i ＝1：2的坡面向上前进了10m ，此时小球距离地面的高度为（ ）A .5mB .103m C . D .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝30°，∠C ＝90°，∠ADB ＝105°，sin ∠BDC ＝2，AD ＝4．则DC ＝___________.第11题图 第12题图 第13题图 第14题图12.如图，在A 处看建筑物CD 的顶端D 的仰角为α，且tan α＝0.7，向前行进3米到达B 处，从B 处看D 的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A 、B 、C 三点在同一条直线上，CD ⊥AC ），则建筑物CD 的高度为___________米．13.如图，已知点A （0），直线y ＝x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，连接AB ，∠α＝75°，则b ＝________．14.如图，正方形ABCD 中，E 是CD 中点，FC ＝14BC ，则tan ∠EAF ＝________. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.计算：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；（2）sin30°tan60°－(-tan4516.如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝A ＝30°. （1）求BD 和AD 的长； （2）求tan C 的值.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度．小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD＝45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD＝30°，请你根据这些数据计算出河宽．（精确到0.01 1.414 1.732）18.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求tan B的值.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD BE的值．20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC＝30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE＝4，EC＝2．（1）求证：AD＝CD；（2）若tan B＝3，求线段AB的长﹒六、（本题满分12分）21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）﹒七、（本题满分12分）22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测角器高度忽略不计，结果保留根号形式）八、（本题满分14分）23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，BC＝5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.（1）求△ABM的面积；（2）求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDBDACBCAD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11.2. 12. 7 . 13. 5 . 14.12. 三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解答：（1）2sin602cos 60︒︒+2sin45°－22cos45tan 60︒+︒；＝23212()2⨯+2×2－2232⨯+，＝3+2－32+＝3+2－23+22 ＝32－3；（2）sin30°tan60°－(-tan45)2016+2(tan301)︒-.＝12×3－(－1)2016+23(1)3- ＝3－1+1－3＝3.16.解答：（1）∵BD ⊥AC ，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3， 在Rt △ABD 中，AD ＝AB cos A ＝6×3＝33； （2）∵AC ＝53，AD ＝33， ∴CD ＝AC －AD ＝23，在Rt △BCD 中，tan C ＝BD CD ＝23＝3.四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解答：过C 作CE ⊥AB 于E ，设CE ＝x 米，在Rt △AEC 中：∠CAE ＝45°， ∴AE ＝CE ＝x在Rt △BCE 中，∠CBE ＝30°，BE ＝3CE ＝3x ， ∵BE ＝AE +AB ， ∴3x ＝x +50，解得：x ＝253+25≈68.30． 答：河宽为68.30米．18.解答：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ANM ＝90°， 又∵∠MAN ＝∠BAC ， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴AC AB ＝ANAM＝34，设AC ＝3x ，AB ＝4x ，由勾股定理得：BC ＝22AB AC ＝7x ， 在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝7x＝37.五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴CD ＝BD ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACH ＝90°，∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ，即∠B ＝∠CAH ， ∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理得AC ＝5CH ， ∴CH ：AC ＝1：5， ∴sin B ＝55；（2）∵sin B ＝5， ∴AC ：AB ＝1：5， ∴AC ＝2，∵∠CAH ＝∠B ， ∴sin ∠CAH ＝sin B ＝5， 设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝5x ，则x 2+22＝(5x )2， ∴CE ＝x ＝1，AC ＝2，在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AB ＝2CD ＝25，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3． 20.解答：（1）证明：∵ED ⊥AD ， ∴∠ADE ＝90°．在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，AE ＝4， ∴∠DEA ＝60°，DE ＝12AE ＝2， ∵EC ＝2， ∴DE ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ．又∵∠EDC +∠C ＝∠DEA ＝60°， ∴∠C ＝30°＝∠DAE ， ∴AD ＝CD ；（2）解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则∠AFC ＝∠AFB ＝90°， ∵AE ＝4，EC ＝2， ∴AC ＝6．在Rt △AFC 中，∠AFC ＝90°，∠C ＝30°， ∴AF ＝12AC ＝3． 在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，tan B ＝3， ∴BF ＝tan AFB＝1， ∴AB ＝22AF BF ＝10． 六、（本题满分12分）21.解答：过P 作PM ⊥AB 于M ， 则∠PMB ＝∠PMA ＝90°，∵∠PBM ＝90°﹣45°＝45°，∠P AM ＝90°﹣60°＝30°，AP ＝20海里， ∴PM ＝12AP ＝10海里，AM ＝AP cos30°＝103海里，∴∠BPM ＝∠PBM ＝45°， ∴PM ＝BM ＝10海里，∴AB ＝AM +BM ＝（10+103）海里， ∴BP ＝sin 45PM︒＝102海里，即小船到B 码头的距离是102海里，A 、B 两个码头间的距离是（10+103）海里． 七、（本题满分12分）22.解答：作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥CO 于点F ， 在Rt △AOC 中，AO ＝100，∠CAO ＝60°， ∴CO ＝AO tan60°＝1003（米）． 设PE ＝x 米， ∵tan ∠P AB ＝PE AE ＝12， ∴AE ＝2x ．在Rt △PCF 中，∠CPF ＝45°，CF ＝1003﹣x ，PF ＝OA +AE ＝100+2x ， ∵PF ＝CF ，∴100+2x ＝1003﹣x ， 解得x ＝100(31)-（米）， 答：电视塔OC 高为1003米，点P 的铅直高度为100(31)3-（米）． 八、（本题满分14分）23.解答：（1）延长AM 交BC 的延长线于点N ， ∵AD ∥BC ，∴∠DAM ＝∠N ，∠D ＝∠MCN ， ∵点M 是边CD 的中点， ∴DM ＝CM ，∴△ADM ≌△NCM （AAS ）， ∴CN ＝AD ＝3，AM ＝MN ＝12AN ， ∴BN ＝BC +CN ＝5+3＝8， ∵∠ABC ＝90°，∴S △ABN ＝12×AB BN ＝12×4×8＝16， ∴S △ABM ＝12S △ABN ＝8；∴△ABM 的面积为8；（2）过点M 作MK ⊥BC ，∵∠ABC ＝90°， ∴MK ∥AB ，∴△NMK ∽△NAB ，∴MK AB ＝MN AN＝12，∴MK ＝12AB ＝2，在Rt △ABN 中，AN∴BM ＝12AN ＝在Rt △BKM 中，sin ∠MBC ＝MKBM ，∴∠MBC 的正弦值为5．。
沪科版九年级上册数学第23章 解直角三角形含答案
沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF=3：2，则sin∠BAC：sin ∠ACB等于（）A.3：2B.2：3C.9：4D.4：92、比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点D．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（）A. B. C. D.3、下列各数中是有理数的是（）A. B.4π C.sin45° D.4、如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（）A. B. C.2 D.5、如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为( )A.4B.2πC.4πD.6、在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6cm， cosB＝，则BC等于( )A.1cmB.2cmC.3cmD.6cm7、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，按照如下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度的一半为半径画弧，两弧分别相交于点M，N；②作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结BE，则BE的长是（）A. B.3 C. D.8、若0＜α＜30°，则sinα，cosα，tanα的大小关系是（）A.sinα＜cosα＜tanαB.sinα＜tanα＜cosαC.tanα＜sinα＜cosαD.tanα＜cosα＜sinα9、两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A. B. C.sinα D.110、将两个等腰Rt△ADE、Rt△ABC如图放置在一起，其中∠DAE＝∠ABC＝90°.点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE＝15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD＝；④；正确的个数是（）A.1B.2C.3D.411、如图，已知AB=8，P为线段AB上的一个动点，以AP为边作正三角形APC，延长PC到点E使PE=PB，D，F分别是AC，BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点D，F之间的距离的最小值为（）A.2B.4C.D.12、如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将平行四边形 ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点D在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k的值为（）A.4B.12C.8D.613、甲看乙的方向是北偏东30°，那么乙看甲的方向是（）A.南偏东60°B.南偏西60°C.南偏东30°D.南偏西30°14、3tan30°的值等于（）A. B.3 C. D.15、如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（）A.60海里B.45海里C.20 海里D.30 海里二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形OABC的边AB与x轴交于点D，与反比例函数y= （k>0）在第一象限的图象交于点E，∠AOD=30°，点E的纵坐标为1，△ODE的面积的值是________。
沪科版九年级数学上册第23章达标测试卷附答案
沪科版九年级数学上册第23章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1.在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝7，AC＝24，则s i n B的值是()A.724 B.247 C.725 D.24252．已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于()A.12 B.22 C.32 D.333．当30°＜∠A＜90°时，s i n A的值()A．大于32B．小于32C．小于12D．大于12，小于14．如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AC＝5，BC＝2，则s i n∠ACD的值为()A.53 B.2 55 C.52 D.23(第4题)(第5题)(第6题)(第7题)5．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC＝6 m，∠ACB＝52°，则拉线AC 的长为()A.6sin 52°m B.6tan 52°m C．6 cos 52° m D.6cos 52°m6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的邻边的比叫做∠A的正割，用“sec A”表示，如设该直角三角形各边长为a，b，c，则sec A＝cb，则下列说法正确的是() A．sec B·sin A＝1B．sec B＝b cC．sec A·cos B＝1 D．sec2A·sec2B＝17.如图，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为()A．103海里/时B．30海里/时C．203海里/时D．303海里/时8．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan ∠BAC＝25，则此斜坡的水平距离AC为()A．75 m B．50 mC．30 m D．12 m(第8题)(第9题)(第10题)9．如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满水，乙杯是空的．若把甲杯中的水全部倒入乙杯，则乙杯中的水面与图中点P的距离是()A．2 cm B．4 3 cmC．6 cm D．8 cm10．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tanB＝53，则tan ∠CAD的值为()A.33 B.35 C.13 D.15二、填空题(每题3分，共18分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝________．12．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos B＝23，则sin B的值为________．13．如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．(第13题)(第14题)(第15题)(第16题) 14.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan (α＋β)________tanα＋tanβ.(填“＞”“＜”或“＝”)15．如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是____________________．16.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y＝kx(x＜0)的图象交AB于点N，S矩形OABC＝32，tan ∠DOE＝1 2，则BN的长为________．三、解答题(21，22题每题10分，其余每题8分，共52分)17．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，S△ABC＝12.试求tan B的值．18．已知α为锐角，且s i n2α－52s i nα＋1＝0，求s i nα的值．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝cos ∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sin C＝1213，AD＝24，求BC的长．20．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1∶0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部B点处到坡面CD顶端C点处的水平距离BC＝1米，旗杆AB的高度约为多少？(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60，计算结果保留一位小数)21．如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合∠A＝45°，∠B＝30°，BC＝100千米，2≈1.4，3≈1.7等数据信息，解答下列问题：(1)公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？(2)为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加25%，结果提前50天完成了施工任务．施工队原计划每天修建多少千米？22．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．(1)小明画出了一个满足条件的△APD，其中P A＝PD，如图①，则tan∠BAP的值为________；(2)请你在图②中再画出一个满足条件的△APD(与小明画的不同)，并求此时tan∠BAP的值．答案一、1．D 2．B 3．D 4．A 5．D 6．A7．D 点拨：∵∠CAB ＝10°＋20°＝30°，∠CBA ＝80°－20°＝60°，∴∠C ＝90° . ∵AB ＝20海里，∴AC ＝AB ·cos 30°＝103海里．∴救援船航行的速度为103÷2060＝303(海里/时)．故选D.8．A 点拨：∵∠BCA ＝90° ，tan ∠BAC ＝25，BC ＝30 m ，∴tan ∠BAC ＝BC AC ＝30AC ＝25，解得AC ＝75 m ，故选A. 9．C10．D 点拨：如图，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，∵tan B ＝53，即AD AB ＝53， ∴设AD ＝5x ，则AB ＝3x . ∵∠CDE ＝∠BDA ， ∠CED ＝∠BAD ＝90°， ∴△CDE ∽△BDA ， ∴CE AB ＝DE AD ＝CD BD ＝12， ∴CE ＝32x ，DE ＝52x ， ∴AE ＝152x ，∴tan ∠CAD ＝CE AE ＝15，故选D.二、11．12 12．53 13．214．＞ 点拨：如图，易知△ABC 是等腰直角三角形，∴tan (α＋β)＝tan 45°＝1，tan α＋tan β＝DE AD ＋CD AD ＝CEAD ＜1， ∴tan (α＋β)＞tan α＋tan β.15.3＜BC ＜2 316．3 点拨：∵S 矩形OABC ＝32，∴AB ·BC ＝32.∵矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使点B 落在y 轴上，得到矩形ODEF ， ∴AB ＝DE ，OD ＝OA .在Rt △ODE 中，tan ∠DOE ＝DE OD ＝12，∴OD ＝2DE ， ∴DE ·2DE ＝32，解得DE ＝4，∴AB ＝4，OA ＝8. 在Rt △OCM 中，∵tan ∠COM ＝MC OC ＝12，而OC ＝AB ＝4，∴MC ＝2， ∴M (－2，4)．把M (－2，4)的坐标代入y ＝kx ，得k ＝－2×4＝－8，∴反比例函数表达式为y ＝－8x .当x ＝－8时，y ＝－8－8＝1，则N (－8，1)，∴BN ＝4－1＝3.故答案为3.三、17．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于D ，则S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×AD ＝12，解得AD ＝4. 在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝82－42＝4 3， ∴tan B ＝AD BD ＝44 3＝33.18．解：由题意，得sin α＝2或sin α＝12.∵α为锐角，∴0＜sin α＜1. ∴sin α＝12.19．(1)证明： 在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC .∵tan B ＝cos ∠DAC ， ∴AD BD ＝ADAC ，∴AC ＝BD .(2)解：在Rt △ADC 中，sin C ＝AD AC ，则AC ＝AD s i n C ＝ 241213 ＝26，∴CD ＝AC 2－AD 2＝262－242＝10. ∴BC ＝BD ＋CD ＝AC ＋CD ＝26＋10＝36.20．解：如图，延长AB 交ED 的延长线于M ，过点C 作C J ⊥DM 于J.则四边形BMJC 是矩形．由题意得在R t △C J D 中，CJ DJ ＝10.75＝43， 设CJ ＝4k 米，DJ ＝3k 米，∵CD ＝2米， ∴(3k )2＋(4k )2＝22， ∴k ＝25(负值舍去)，∴BM ＝CJ ＝85米，BC ＝MJ ＝1米，DJ ＝65米，∴EM ＝MJ ＋DJ ＋DE ＝465米． 在Rt △AEM 中，tan ∠AEM ＝AM EM ， ∴tan 58°＝AB ＋85465≈1.60，解得AB ≈13.1米．故旗杆AB 的高度约为13.1米．21．解：(1)如图，过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D .∵在Rt △BCD 中，∠B ＝30°，BC ＝100千米， ∴CD ＝BC ·sin 30°＝100×12＝50(千米)， BD ＝BC ·cos 30°＝100×32＝50 3(千米)． ∵在Rt △ACD 中，∠A ＝45°， ∴∠ACD ＝45°＝∠A ， ∴AD ＝CD ＝50千米，AC ＝CD s i n A ＝50s i n 45°＝50 2(千米)， ∴AB ＝AD ＋BD ＝50＋50 3(千米)， ∴AC ＋BC －AB ＝50 2＋100－(50＋503)＝50＋502－503≈35(千米)．答：从A 地到景区B 旅游可以少走约35千米． (2)设施工队原计划每天修建x 千米，依题意得 50＋50 3x －50＋50 3（1＋25%）x ＝50， 解得x ≈0.54，经检验x ≈0.54是原分式方程的解． 答：施工队原计划每天修建约0.54千米． 22．解：(1)1(2)(画法一)如图①所示． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°.∵AP ＝AD ＝6，AB ＝3，∴在Rt △ABP 中，BP ＝AP 2－AB 2＝3 3.∴tan ∠BAP ＝BPAB ＝ 3.(画法二)如图②所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∵PD＝AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∴在Rt△CPD中，CP＝PD2－CD2＝3 3. ∴BP＝BC－CP＝6－3 3.∴tan ∠BAP＝BPAB＝2－ 3.沪科版九年级数学上册期末测试卷一、选择题(每题4分，共40分)1.2sin 60°的值等于()A．1 B. 2 C. 3 D．22．下列函数属于二次函数的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2＋2x－3C．y＝1x2＋3 D．y＝5x3．抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为() A．y＝3(x－3)2－3 B．y＝3x2C．y＝3(x＋3)2－3 D．y＝3x2－64．在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A＝() A．90°B．60°C．45°D．30°5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－1x图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是() A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x16．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是()A．1∶3 B．1∶2C．1∶4 D．1∶97．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4y－1 －0.49 0.04 0.59 1.16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.38．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是() A．abc＞0 B．2a－b＝0C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＞0(第8题) (第9题)9．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2 020A2 021，过点A1、A2、A3、…、A2 020、A2 021分别作x轴的垂线与反比例函数y＝2x(x≠0)的图象相交于点P1、P2、P3、…、P2 020、P2 021，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2 020P2 021A2 021，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2 020、S2 021，则S2 021的值为()A.12 020 B.12 021 C.11 010 D.22 02110．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x (s )，△BPQ 的面积为y (cm 2)，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题(每题5分，共20分)11．若抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝3x 2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为____________________．12．若a b ＝c d ＝ef ＝2，且b ＋d ＋f ＝4，则a ＋c ＋e ＝________． 13．已知α是锐角，若sin α＝cos 15°，则α＝________°.14．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2 cm ，AB ＝7 cm ，BC ＝3 cm ，试在AB 边上确定P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AP 的长是__________________________． 三、(每题8分，共16分)15．计算：2cos 45°－tan 60°＋sin 30°－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 .16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝102，AB ＝20. (1)求BC 的长； (2)求AC 的长； (3)求∠A 的大小．四、(每题8分，共16分)17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x的一些对应值如表：x…－1 0 1 2 3 4 …y＝ax2＋bx＋c… 3 －1 3 …(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式；(2)补全表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，在图中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；(不必重新列表)(3)根据图象回答：①当1≤x≤4时，求y的取值范围；②当x取何值时，y＞0?18．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子AB，当梯子底端离墙面的距离AC＝2 m时，此时人是否能够安全地使用这架梯子？(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(每题10分，共20分)19．如图，已知△ABD∽△ACE.求证：(1)∠DAE＝∠BAC；(2)△DAE∽△BAC.20．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围．六、(12分)21．如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心点O；(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；(3)以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于3∶2.七、(12分)22．某公司生产a型活动板房的成本是每个425元．图①表示a型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线的函数表达式；(2)现将a型活动板房改造为b型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个b型活动板房的成本是多少？(每个b型活动板房的成本＝每个a型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的b型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个b型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售b型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？八、(14分)23．如图，R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°.(1)求证：△P AB∽△PBC；(2)求证：P A＝2PC；(3)若点P到三角形的三边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12＝h2·h3.答案一、1．C2．B 点拨：A.y ＝2x －1是一次函数，故A 错误；B.y ＝x 2＋2x －3是二次函数，故B 正确；C.y ＝1x 2＋3中自变量x 的指数为－2，故C 错误；D.y ＝5x 是反比例函数，故D 错误．故选B. 3．A4．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，∴tan A ＝BC AC ＝515＝33.又∵tan 30°＝33， ∴∠A ＝30°.故选D.5．D 点拨：∵反比例函数y ＝－1x 中k ＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3，∴点(x 1，y 1)在第四象限，(x 2，y 2)、(x 3，y 3)两点均在第二象限， ∴x 2＜x 3＜x 1.故选D. 6．B 点拨：∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA . 又S △DOE ∶S △COA ＝1∶9， ∴DE AC ＝13. ∵DE ∥AC ， ∴BE BC ＝DE AC ＝13， ∴BE CE ＝12，∴S △BDE 与S △CDE 的比是1∶2.故选B. 7．C8．C 点拨：A.由抛物线的开口向下知a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b2a ＞0，a＜0，∴a 、b 异号，即b ＞0.∵由图象知抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故本选项不符合题意； B ．∵a ＜0，b ＞0，∴2a －b ＜0，故本选项不符合题意； C ．由图象可知，对称轴是直线x ＝1， ∴－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，故本选项符合题意；D ．根据图象的对称性可知当x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0，故本选项不符合题意，故选C.9．B 点拨：因为OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，所以由k 的几何意义得，S 1＝1，S 2＝12S 1＝12， S 3＝13S 1＝13， S 4＝14S 1＝14， S 5＝15S 1＝15，… 依次类推：S n 的值为1n . 当n ＝2 021时，S 2 021＝12 021. 故选B.10．C 点拨：由题意可得BQ ＝x .①0≤x ≤1时，P 点在BC 边上，BP ＝3x ， 则△BPQ 的面积＝12BP ·BQ ， 即y ＝12·3x ·x ＝32x 2，故A 选项错误； ②1＜x ≤2时，P 点在CD 边上， 则△BPQ 的面积＝12BQ ·BC ，即y ＝12·x ·3＝ 32x ，故B 选项错误；③2＜x ≤3时，P 点在AD 边上，AP ＝9－3x ， 则△BPQ 的面积＝12AP ·BQ ，即y ＝12·(9－3x )·x ＝92x －32x 2，故D 选项错误．故选C. 二、11．y ＝3x 2＋112．8 点拨：由a b ＝c d ＝ef ＝2及等比性质知，a ＋c ＋e b ＋d ＋f＝a ＋c ＋e 4＝2，∴a ＋c ＋e ＝8. 故答案为8.13．75 点拨：∵sin α＝cos 15°，∴α＝90°－15°＝75°. 故答案为75. 14.145 cm 或1 cm 或6 cm点拨：设AP ＝x ，则BP ＝7－x . ∵AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠B ＝∠A ＝90°.当∠APD ＝∠BPC 时，△APD ∽△BPC ， ∴AP BP ＝AD BC ，即x 7－x ＝23，解得x ＝145；当∠APD ＝∠BCP 时，△APD ∽△BCP ，∴AP BC ＝AD PB ，即x 3＝27－x，解得x ＝1或x ＝6.综上所述，当AP 的长为145 cm 或1 cm 或6 cm 时，以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．故答案为145 cm 或1 cm 或6 cm.三、15．解：原式＝2×22－3＋12－12＝2－ 3. 16．解：(1)在Rt △BCD 中，∵sin ∠BDC ＝BC BD ，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝102×22＝10.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，BC ＝10， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝10 3. (3)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝12， 又∵∠A 为锐角，∴∠A ＝30°.四、17.解：(1)∵由表格可知，x ＝0时，y ＝3；x ＝2时，y ＝－1；x ＝4时，y ＝3，∴⎩⎨⎧c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)补全表格：x … －1 0 1 2 3 4 … y ＝ax 2＋bx ＋c …83－13…函数图象如图所示：(3)①由(2)的函数图象可知，当 1≤x ≤4时，y 的取值范围是－1≤y ≤3； ②由函数图象可知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0. 18．解：在Rt △ABC 中，∵cos α＝AC AB ， ∴AC ＝AB ·cos α，当α＝50°时，AC ＝AB ·cos 50°≈6×0.64＝3.84(m)， 当α＝75°时，AC ＝AB ·cos 75°≈6×0.26＝1.56(m)．即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端离墙面的距离应该在1.56 m ～3.84 m 之间，故当梯子底端离墙面的距离AC ＝2 m 时，人能够安全地使用这架梯子．五、19.证明：(1)∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠BAE ＝∠BAE ＋∠CAE ，∴∠DAE ＝∠BAC .(2)∵△ABD ∽△ACE ， ∴AD AE ＝AB AC ，∴AD AB ＝AE AC .又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△DAE ∽△BAC .20．解：(1)把A (－4，2)代入y ＝m x 中，得m ＝－8，则反比例函数的表达式是y ＝－8x .把(n ，－4)代入y ＝－8x ，得n ＝2，则点B 的坐标是(2，－4)．把A (－4，2)，B (2，－4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4， 解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2，则一次函数的表达式是y ＝－x －2.(2)由图象及(1)可知使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x 的取值范围是－4＜x ＜0或x ＞2.六、21．解：(1)如图所示，点O 即为所求．(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为OA OA ′＝612＝12.(3)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．七、22．解：(1)∵AD ＝4 m ，∴D (2，0)．由题意知EH ＝4 m ，OH ＝AB ＝3 m ，∴EO ＝EH －OH ＝4－3＝1(m)，∴E (0，1)．把点D (2，0)，E (0，1)的坐标代入y ＝kx 2＋m ，得⎩⎨⎧0＝4k ＋m ，1＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，m ＝1，∴该抛物线的函数表达式为y ＝－14x 2＋1.(2)∵GM ＝2 m ，∴OM ＝OG ＝1 m ，当x ＝1时，y ＝－14×12＋1＝34，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34， ∴MN ＝34 m ，∴S 长方形FGMN ＝MN ·GM ＝34×2＝32(m 2)，∴每个b 型活动板房的成本是425＋32×50＝500(元)．(3)根据题意，得w ＝(n －500)⎣⎢⎡⎦⎥⎤100＋20（650－n ）10＝－2(n －600)2＋20 000， ∵每月最多能生产160个b 型活动板房，∴100＋20（650－n ）10≤160，解得n ≥620，∵－2＜0， ∴当n ≥620时，w 随n 的增大而减小，∴当n ＝620时，w 有最大值，W 最大值＝19 200.答：公司将销售单价定为620元时，每月销售b 型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元．八、23．证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.又∵∠APB＝135°，∴∠P AB＋∠PBA＝45°，∴∠PBC＝∠P AB.又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△P AB∽△PBC.(2)∵△P AB∽△PBC，∴P APB＝PBPC＝ABBC.在R t△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝2BC，∴ABBC＝2，∴PB＝2PC，P A＝2PB，∴P A＝2PC.(3)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥AB 交AB于点F，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，∴∠APC＝360°－270°＝90°，∴∠EAP＋∠ACP＝90°.又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，∴∠EAP＝∠PCD.又∵∠AEP＝∠CDP＝90°，∴R t△AEP∽R t△CDP，∴PEDP＝APPC＝2，即h3h2＝2，∴h3＝2h2.∵△P AB∽△PBC，∴h1h2＝ABBC＝2，∴h1＝2h2，∴h12＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，即h12＝h2·h3.。
初中九年级数学第二十三章综合素质评价附答案
第二十三章综合素质评价一,选择题(每题3分,共30分)1．【P69习题T2拓展】垃圾混置是垃圾,垃圾分类是资源．下列可回收物,有害垃圾,厨余垃圾,其它垃圾四种垃圾回收标识中,既是轴对称图形又是中心对称图形地是( )2．【P60例题变式】如图,将方格纸中地图形绕点O逆时针旋转90°后得到地图形是( )3．【P69练习T2改编】点(－1,2)关于原点地对称点坐标是( )A．(－1,－2) B．(1,－2) C．(1,2) D．(2,－1) 4．如图,四边形ABCD为正方形,O为对角线AC,BD地交点,则△COD绕点O经过下列哪种旋转可以得到△DOA？( )A．顺时针旋转90° B．顺时针旋转45°C．逆时针旋转90° D．逆时针旋转45°(第4题) (第5题) (第6题) (第7题)5．【P77复习题T7变式】如图,点O是▱ABCD地对称中心,EF是过点O地任意一条直线,它将平行四边形分成两部分,四边形ABOE与四边形CDOF地面积分别记为S1,S2,那么S1,S2之间地关系为( )A. S1>S2B. S1<S2C．S1＝S2 D. 无法确定6．如图,将Rt△ABC(∠B＝25°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1地位置,使得点C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于( )A ．65°B ．80°C ．105°D ．115°7．如图,四边形ABCD 是边长为5地正方形,E 是DC 上一点,DE ＝1,将△ADE 绕点A 顺时针旋转到与△ABF 重合,则EF ＝( ) A.41B.42C ．52D ．2138．如图,在平面直角坐标系中,将点P (2,3)绕原点O 顺时针旋转90°得到点P ′,则点P ′地坐标为( ) A ．(3,2)B ．(3,－1)C ．(2,－3)D ．(3,－2)(第8题) (第9题) (第10题)9．如图,点P 是等腰直角三角形ABC 外一点,把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′,已知∠AP′B ＝135°,P ′A ∶P ′C ＝1∶3,则P ′A ∶PB 等于( ) A ．1∶2B ．1∶2C.3∶2D ．1∶310．如图,在平面直角坐标系中,将边长为1地正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1;依此方式,绕点O 连续旋转2 022次得到正方形OA 2 022B 2 022C 2 022,那么点A 2 022地坐标是( )A.(22－22)B ．(－1,0) C.(－22－22)D ．(0,－1)二,填空题(每题3分,共24分)11．【P 63习题T 5变式】如图,风车图案围绕着旋转中心至少旋转________度,会与原图案重合．(第11题) (第12题) (第13题)12．如图,大圆地面积为4π,大圆地两条直径互相垂直,则图中阴影部分地面积地与为________．13．如图所示,图形①经过________变换得到图形②;图形①经过________变换得到图形③;图形①经过________变换得到图形④.(填“平移”“旋转”或“轴对称”) 14．如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点C与点E是对应点,若∠CAE＝90°,AB＝1,则BD＝________.(第14题) (第15题) (第16题) (第17题) 15．如图,阴影部分组成地图案既是关于x轴成轴对称地图形又是关于坐标原点O成中心对称地图形,若点A地坐标是(1,3),则点M地坐标是__________,点N地坐标是__________．16．如图,在Rt△OAB中,∠OAB＝90°,O A＝AB＝6,将△O AB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.连接AA1,则四边形OAA1B1地面积为________．17．如图,将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转40°到△AB′C′地位置,若CC′∥AB,则∠CAB′地度数为________．18．如图,将一个45°角地顶点与正方形ABCD地顶点A重合,在正方形地内部绕着点A旋转,角地两边分别与CD,CB边相交于F,E两点,与对角线BD交于N,M 两点,连接EF,则下列结论:①AE＝AF;②EF＝BE＋DF;③△CEF地周长等于正方形ABCD周长地一半;④S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.其中正确地结论有____________(填序号)．三,解答题(19～22题每题8分,23题10分,其余每题12分,共66分)19．如图,在△ABC中,∠B＝10°,∠ACB＝20°,AB＝4,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD地中点．(1)指出旋转中心,并求出旋转角地度数;(2)求∠BAE地度数与AE地长．20．在平面直角坐标系中,△ABC地位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度地正方形)．(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度,画出平移后得到地△A1B1C1;(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,画出旋转后得到地△AB2C2,并直接写出点B2,C2地坐标．21．【P70习题T4拓展】平面直角坐标系第二象限内地点P(x2＋2x,3)与另一点Q(x＋2,y)关于原点对称,试求x＋2y地值．22．如图,在6×6地网格中已经涂黑了三个小正方形,请按下列要求画图．(1)在图①中涂黑一个小正方形,使涂黑地四个小正方形组成一个轴对称图形．(2)在图②中涂黑一个小正方形,使涂黑地四个小正方形组成一个中心对称图形．23．如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到地,且AB⊥BC,BE＝CE,连接DE.(1)求证:△BDE≌△BCE;(2)试判断四边形ABED地形状,并说明理由．24．已知△ABC与△DEC是两个大小不同地等腰直角三角形．(1)如图①,连接AE,DB,试判断线段AE与DB地数量与位置关系,并说明理由;(2)如图②,连接DB,将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE与AF地数量与位置关系,并说明理由．25．在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝α(0°＜α＜60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图①,直接写出∠ABD地大小(用含α地式子表示);(2)如图②,∠BCE＝150°,∠ABE＝60°,试判断△ABE地形状并加以证明;(3)在(2)地条件下,连接DE,若∠DEC＝45°,求α.答案一,1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D7．D 8.D 9.B 10.B 点规律:2 022＝252×8＋6,则点A2 022在点A6地位置,点A6与点C重合．二,11.60 12.π 13.轴对称;旋转;平移14.2 15.(－1,－3);(1,－3)16. 36 17.30° 18.②③④点思路:将△ADF绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,利用全等地知识判断．三,19.解:(1)旋转中心是点A.∵∠CAB＝180°－∠B－∠ACB＝150°,∴旋转角是150°.(2)∠BAE＝360°－150°×2＝60°.由旋转地性质得△ABC≌△ADE,∴AB＝AD,AC＝AE.又∵点C是AD地中点,∴AC＝12AD＝12AB＝12×4＝2.∴AE＝2.20．解:(1)如图,△A1B1C1即为所求．(2)如图,△AB2C2即为所求．点B2地坐标为(4,－2),点C2地坐标为(1,－3)．21．解:根据题意,得(x2＋2x)＋(x＋2)＝0,y＝－3.解得x1＝－1,x2＝－2.∵点P在第二象限,∴x2＋2x＜0.∴x＝－1.∴x＋2y＝－7.22．解:(1)如图①所示:①,②,③,④处涂黑都可以使涂黑地四个小正方形组成一个轴对称图形;(2)如图②所示:①,②处涂黑都可以使涂黑地四个小正方形组成一个中心对称图形．23．(1)证明:∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°得到地, ∴DB＝CB,∠ABE＝∠DBC＝60°.∵AB⊥BC,∴∠ABC＝90°.∴∠CBE＝30°.∴∠DBE＝30°.∴∠DBE＝∠CBE.在△BDE与△BCE中,DB＝CB,∠DBE＝∠CBE,BE＝BE,∴△BDE≌△BCE(SAS)．(2)解:四边形ABED为菱形．理由:由(1)得△BDE≌△BCE,∴EC＝ED.∵△BAD是由△BEC旋转得到地,∴△BAD≌△BEC.∴BA＝BE,AD＝EC.又∵BE＝CE,EC＝ED,∴BA＝BE＝AD＝ED.∴四边形ABED为菱形．24.点方法:(1)可以用观察法初步判断AE与DB地数量,位置关系,通过边长DB交AE于点M,利用全等地知识进行验证.解:(1)AE＝DB,AE⊥DB.理由:如图①,延长DB交AE于点M.由题意可知,CA＝CB,CE＝CD,∠ACE＝∠BCD＝90°,∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴AE＝DB,∠AEC＝∠BDC.∵∠ACE＝90°,∴∠AEC＋∠EAC＝90°,∴∠BDC＋∠EAC＝90°.∴在△AMD中,∠AMD＝180°－90°＝90°.∴AE⊥DB.(2)DE＝AF,DE⊥AF.理由:如图②,设ED与AF相交于点N,由题意易知BE＝AD. ∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC,∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC,∴∠EBD＝∠ADF.又∵DB＝DF,∴△EBD≌△ADF(SAS)．∴∠E＝∠FAD,DE＝AF.∵∠E＝45°,∴∠FAD＝45°.又∵∠EDC＝45°,∴∠AND＝90°.∴DE⊥AF.25．解:(1)∠ABD＝30°－1 2α.(2)△ABE为等边三角形．证明如下:连接AD,CD.∵线段BC绕点B逆时针旋转60° 得到线段BD,∴BC＝BD,∠DBC＝60°.∴△BCD是等边三角形．∴BD＝CD.∵∠ABE＝60°,∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－1 2α.在△ABD与△ACD中,AB＝AC,AD＝AD,BD＝CD, ∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12α.∵∠BCE＝150°,∴∠BEC＝180°－(30°－12α)－150°＝12α.∴∠BAD＝∠BEC.在△ABD与△EBC中,∠BAD＝∠BEC,∠ABD＝∠EBC,BD＝BC,∴△ABD≌△EBC(AAS)．∴AB＝BE.又∵∠ABE＝60°,∴△ABE为等边三角形．(3)由(2)可知△BCD为等边三角形,∴∠BCD＝60°. ∵∠BCE＝150°,∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°,∴△DCE为等腰直角三角形,∴DC＝CE＝BC.∴∠CBE＝∠BEC.∵∠BCE＝150°,∴∠EBC＝180°－150°2＝15°.而由(2)知∠EBC＝30°－1 2α,∴30°－12α＝15°.∴α＝30°.。
2022秋沪科安徽九年级数学上册 点训 第23章学情评估
第23章学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是()A．sin A＝34B．cos A＝53C．tan A＝34D．cos A＝35(第1题)(第2题)(第4题)2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()A．100 3 m B．50 2 m C．50 3 m D.1003 3 m3．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则cos B等于()A. 3B.33 C.32 D.124．如图，梯形护坡石坝的坡高BC为4 m，水平距离AC＝4 3 m，则斜坡AB 的坡度是()A．1∶1 B．1∶ 3 C．1∶2 D．1∶3 35．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin α＝45，则tan α等于()(第5题)A.35 B.34C.43 D.456．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos A＝513，则BC的长为()A．8 B．12 C．13 D．18(第6题)(第7题)(第8题)7．如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m 到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是()A．(480 3＋300)m B．(960 3＋300)mC．780 m D．1 260 m8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝57，则BC的长是()A．10 B．8 C．4 3 D．2 69．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至点E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED等于()A.31010 B.1010 C.510 D.515 (第9题)(第10题)10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D 关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是()A ．1B.65C.43D.53二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C ＝______．12．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为________m ．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)(第12题) (第13题) (第14题)13．如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ACB 的值为________．14．如图，反比例函数y ＝2x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y ＝kx 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝________． 三、解答题(本大题共9小题，共90分)15．(8分)计算：||1－8－2sin 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3－8.16．(8分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，tan A ＝43.求sin A ，cos A的值．(第16题)17．(8分)某品牌太阳能热水器的横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE 与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC ＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度(精确到1 cm，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)．(第17题)18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝33，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝3，求AB的长．(第18题)19．(10分)如图，海中有一个小岛A，它周围10 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(参考数据：3≈1.73)(第19题)20．(10分)安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，琅琊阁的大门上悬挂着巨大的匾额，如图，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC ＝2 m，∠MBC＝34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E 处看点B，仰角∠AEB＝56°，且DE＝4.4 m，求匾额悬挂的高度AB的长．(精确到0.1 m，参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)(第20题)21．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE；(2)求tan∠CAE的值．(第21题)22．(12分)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE 的长．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，2≈1.41)(第22题)23．(14分)把(sin α)2记作sin2α，根据图①和图②完成下列各题．(1)sin2A1＋cos2A1＝________，sin2A2＋cos2A2＝________，sin2A3＋cos2A3＝________；(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝________；(3)如图②，在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想；(4)已知在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sin A＝1213，求cos A的值．(第23题)答案一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.C6．B7.A8.D9.B10．C点拨：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∴∠FME＝90°.∵tan∠ABF＝2，∴FNBN＝2，设BN＝x，则FN＝2x，AN＝4－x.∵点F是点D关于直线AE对称的点，∴DE＝EF，DA＝AF＝4.又∵AE＝AE，∴△ADE≌△AFE(SSS)，∴∠D＝∠AFE＝90°.∵AN2＋NF2＝AF2，∴(4－x)2＋(2x)2＝42，∴x1＝0(舍)，x2＝8 5，∴AN＝4－x＝4－85＝125，MF＝4－2x＝4－165＝45.∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠F AN＝90°，∴∠EFM＝∠F AN，∴cos∠EFM＝cos∠F AN，∴FMEF＝ANAF，即45EF＝1254，∴EF＝43，∴DE＝43.故选C.二、11.75°12.8.113.3 514．－8点拨：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，根据直线AB与反比例函数y＝2x的图象的对称性可知点A、B关于原点O对称，∴OA＝OB.又∵AC＝BC，∴OC⊥AB. ∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°，∴∠AOE＝∠COF.∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∴△AOE∽△COF，∴AECF＝OEOF＝AOCO.∵tan∠CAB＝OCOA＝2，∴CF＝2AE，OF＝2OE.∵AE·OE＝2，CF·OF＝|k|，∴|k|＝2AE·2OE＝4AE·OE＝8. ∴k＝±8，∵点C在第二象限，∴k＝－8.(第14题)三、15.解：原式＝2 2－1－2×22＋4－2＝2＋1.16．解：∵tan A＝BCAC＝43，AC＝9，∴BC＝43AC＝43×9＝12，∴AB＝AC2＋BC2＝92＋122＝15.∴sin A＝BCAB＝1215＝45，cos A＝ACAB＝915＝35.17．解：设OE＝OB＝2x cm，∴OD＝DE＋OE＝(190＋2x)cm.∵∠ADE＝30°，∴OC＝12OD＝(95＋x)cm，∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝(95－x)cm.∵tan∠BAD＝BC AC，∴2.14≈95－x40，解得x≈9.4，∴OB≈2×9.4＝18.8≈19(cm)．18．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝33，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°.又∵CD＝3，∴BC＝CDtan30°＝3.∴AB＝BCsin 30°＝6.19．解：没有触礁的危险．理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，∴∠ABC＝∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝12 n mile.在Rt△ANC中，AN＝AC·sin 60°＝12×32≈10.38(n mile)．∵10.38>10，∴没有触礁的危险．(第19题)20．解：如图，过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为点N、F.在Rt△BCN中，CN＝BC·sin 34°≈2×0.56＝1.12(m)，BN＝BC·cos 34°≈2×0.83＝1.66(m)，在Rt△ABE中，∵∠AEB＝56°，∴∠EBA＝34°.∴AE＝AB·tan∠EBA＝AB·tan 34°≈0.67AB.∵∠ADC＝45°，∴CF＝DF，∴BN ＋AB＝AD－AF＝AD－CN，即1.66＋AB≈0.67AB＋4.4－1.12，解得AB ≈4.9 m.答：匾额悬挂的高度AB 的长约为4.9 m.(第20题)21．(1)证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC ⊥AC ，EF ⊥AF ，∴CE ＝EF .在Rt △ACE 和Rt △AFE 中，⎩⎨⎧CE ＝FE ，AE ＝AE ，∴Rt △ACE ≌Rt △AFE (HL)．(2)解：由(1)可知△ACE ≌△AFE ，∴AC ＝AF .∵F 是AB 的一个三等分点，∴AB ＝3BF ，AF ＝2BF .设BF ＝m ，则AC ＝AF ＝2m ，AB ＝3m . ∴BC ＝AB 2－AC 2＝9m 2－4m 2＝5m .∴在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝2m 5m ＝2 55.在Rt △EFB 中， EF ＝BF ·tan B ＝2 55m ， 在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC ＝EF AC ＝2 55m 2m ＝55.22．解：在Rt △ABC 中，∵AB ＝600 m ，∠ABC ＝75°，∴BC ＝AB ·cos 75°≈600×0.26＝156(m)．在Rt △BDF 中，∵∠DBF ＝45°，BD ＝600 m ，∴DF ＝BD ·sin 45°＝600×22≈300×1.41＝423(m)．易知四边形BCEF 是矩形，∴EF ＝BC ＝156 m ，∴DE ＝DF ＋EF ＝423＋156＝579(m)． 答：DE 的长为579 m.23．(1)1；1；1 (2)1(3)证明：在Rt △ABC 中，∵sin A ＝a c ，cos A ＝b c， 且a 2＋b 2＝c 2，∴sin 2A ＋cos 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2c 2＋b 2c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1，即sin 2A ＋cos 2A ＝1.(4)解：在△ABC 中，∵∠A ＋∠B ＝90°，∴∠C ＝90°. ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＋cos 2A ＝1， 解得cos A ＝513或cos A ＝－513(舍)，∴cos A ＝513.。
第23章 解直角三角形单元测试自我综合评价 2021-2022学年沪科版数学九年级上册(含答案)
自我综合评价(三)[范围:第23章解直角三角形时间:40分钟分值:100分]一、选择题(每小题4分,共40分)1.在△ABC中,∠C=90°,若sin A=√22,则sin B等于()A.12B.√22C.√32D.12.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.若a=3,b=4,c=5,则tan A的值是()A.34B.43C.35D.453.如图1,一个人从山脚下的点A出发,沿山坡小路AB走到山顶点B.已知坡角为20°,山高BC=2千米.用科学计算器计算小路AB的长度,下列按键顺序正确的是()图1A BC D4.如图2,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ACB等于()图2A.45B.35C.34D.√10105.如图3,已知45°<∠A<90°,则下列各式中成立的是()图3A.sin A=cos AB.sin A>cos AC.sin A>tan AD.sin A<cos A6.某简易房示意图如图4所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB 的长为( )图4A .95sinα米B .95cosα米C .59sinα米D .59cosα米7.在△ABC 中,∠ACB=90°,sin A=35,D 是AB 的中点,则 tan ∠BCD+ tan ∠ACD 等于( ) A .2512B .75C .43D .838.在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(0,3),点B 在x 轴上,且sin ∠OAB=45,则点B 的坐标为( ) A .(4,0)B .(-4,0)C .(4,0)或(-4,0)D .(5,0)或(-5,0)9.如图5,某数学社团开展实践性研究,在大明湖南门A 处测得历下亭C 在北偏东37°方向,继续向北走105 m 后到达游船码头B 处,测得历下亭C 在游船码头B 的北偏东53°方向.请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为(参考数据:tan37°≈34,tan53°≈43) ( )图5A .225 mB .275 mC .300 mD .315 m10.如图6,在等腰直角三角形ABC 中,∠C=90°,AC=6,D 是AC 上一点,若tan ∠DBA=15,则AD 的长为( )图6A .2B .√3C .√2D .1二、填空题(每小题5分,共20分),则cos B=.11.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=51312.如图7,在△ABC中,AB=BC,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交BC于点C和点D,再分别CD长为半径画弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点M,若以点C,D为圆心,大于12CM=1,BD=3,则cos B=.图713.如图8,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距离旗杆底部点B6 m 的位置,在点D处测得旗杆顶端点A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5 m,则旗杆AB的高度约为m.(精确到0.1 m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)图814.在△ABC中,AB=4√5,AC=2√5,tan B=1,则BC的长为.2三、解答题(共40分)15.(6分)计算:sin245°+3tan30°tan60°-2cos60°.16.(10分)如图9,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tan B=3.4(1)求AD的长;(2)设∠BAD=α,求sinα的值.图917.(12分)如图10,一楼房AB后有一小山坡,其坡度为i=3∶4,山坡面上一点E处有一亭子,测得坡脚C与楼房的水平距离BC=30米,与亭子的距离CE=25米,小张从楼房测得E点的俯角为60°,求楼房AB的高度.图1018.(12分)如图11,台风中心位于点O处,并沿北偏东45°方向(OC方向)以40千米/时的速度匀速移动,在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响,在点O的正东方向,距离60√2千米的地方有一城市A.(1)A市是否会受到此台风的影响?为什么?(2)在点O的北偏东15°方向上,距离80千米的地方还有一城市B,则B市是否会受到此台风的影响?若受到影响,请求出受到影响的时间;若不受影响,请说明理由.图11教师详解详析1.B2.A3.A4.D [解析] ∵AB=5,BC=√32+42=5,AC=√32+12=√10, ∴BA=BC , ∴∠ACB=∠CAB , ∴cos ∠ACB=cos ∠CAB=√10=√1010.故选D .5.B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大,余弦值随角度的增大而减小判断.也可用特殊值检验.6.B [解析] 如图,过点A 作AD ⊥BC 于点D ,则BD=32+0.3=95.∵cos α=BD AB,∴cos α=95AB,解得AB=95cosα米.故选B .7.A [解析] 如图,由sin A=35,设BC=3k ,AB=5k.由勾股定理,得AC=4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得CD=AD=BD ,∴∠BCD=∠B ,∠ACD=∠A ,故tan ∠BCD+tan ∠ACD=43+34=2512.8.C [解析] ①如图,当点B 在x 轴的正半轴上时.∵sin ∠OAB=45,∴设OB=4x ,AB=5x ,∴由勾股定理,得32+(4x )2=(5x )2, 解得x=1,∴OB=4,则点B 的坐标是(4,0);②同理,当点B 在x 轴的负半轴上时,点B 的坐标是(-4,0). 故点B 的坐标是(4,0)或(-4,0).9.C [解析] 如图,过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E. 设EC=x m,BE=y m .在Rt △ECB 中,tan53°=ECEB ,即x y =43. 在Rt △AEC中,tan37°=EC AE,即x 105+y=34,解得x=180,y=135,∴AC=√EC 2+AE 2=√1802+2402=300(m).故选C .10.A [解析] 如图,过点D 作DE ⊥AB ,垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形,AE=DE.在Rt △BDE 中,tan ∠DBA=DE BE =AE BE =15,所以BE=5AE.在等腰直角三角形ABC 中,∠C=90°,AC=6,由勾股定理可求出AB=6√2,所以AE=√2.在等腰直角三角形ADE 中,利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11.513 [解析] 方法1:由互余两角三角函数关系可知cos B=sin A=513; 方法2:可设BC=5k ,AB=13k , ∴cos B=BCAB =5k13k =513.12.45 [解析] 由作图可知,AM ⊥DC ,DM=MC=1. ∵BD=3,∴BM=3+1=4,AB=BC=3+2=5,∴cos B=BM AB=45.故答案为45.13.9.5 [解析] 如图,过点D 作DE ⊥AB 于点E.∵在点D 处测得旗杆顶端点A 的仰角为53°, ∴∠ADE=53°. ∵BC=DE=6 m,∴AE=DE ·tan53°≈6×1.33=7.98(m),∴AB=AE+BE=AE+CD ≈7.98+1.5=9.48(m)≈9.5(m). 14.10或6 [解析] 当∠ACB 为锐角时,如图所示,过点A 作AD ⊥BC 于点D. 在Rt △ABD 中,tan B=AD BD =12,设AD=x ,则BD=2x ,则AB=√x 2+(2x )2=√5x=4√5,解得x=4, 故AD=4,BD=8.在Rt △ACD 中,CD=√AC 2-AD 2=√20-16=2, 故BC=BD+CD=8+2=10; 当∠ACB 为钝角时,同理可得BC=BD -CD=8-2=6. 故答案为10或6.15.解:原式=(√22)2+3×√33×√3-2×12=12+3-1=212. 16.解:(1)∵tan B=34,可设AC=3x ,得BC=4x. 由勾股定理,得(3x )2+(4x )2=52, 解得x 1=-1(舍去),x 2=1, ∴AC=3,BC=4.∵BD=1, ∴CD=3,∴AD=√CD 2+AC 2=3√2. (2)过点D 作DE ⊥AB 于点E. ∵tan B=34,可设DE=3y ,则BE=4y.由勾股定理,得(3y )2+(4y )2=12, 解得y 1=-15(舍去),y 2=15,∴DE=35,∴sin α=DE AD =√210.17.解:如图,过点E 作EF ⊥BC 的延长线于点F ,作EH ⊥AB 于点H. 在Rt △CEF 中,∵i=EF ∶CF=3∶4,CE=25米, ∴EF=15米,CF=20米, ∴BH=EF=15米, HE=BF=BC+CF=50(米). 在Rt △AHE 中,∵∠HAE=30°, ∴AH=HE tan30°=50√3(米),∴AB=AH+HB=(50√3+15)米. 答:楼房AB 的高度为(50√3+15)米.18.解:(1)不会.理由:如图,过点A 作AE ⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中,sin45°=AEOA ,∴AE=60√2×√22=60(千米). ∵60千米>50千米,∴A 市不会受到此台风的影响. (2)会.如图,过点B 作BF ⊥OC 于点F .在Rt△BOF中,,∵∠BOF=45°-15°=30°,sin30°=BFOB=40(千米).∴BF=80×12∵40千米<50千米,∴B市会受到台风的影响.如图,以点B为圆心,50千米为半径作圆交OC于点G,H.在Rt△BGF中,∵BF=40千米,∴GF=√502-402=30(千米).同理,FH=30千米.∴GH=60千米,则60÷40=1.5(时),∴B市受到台风影响的时间为1.5小时.。
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第23章综合素质评价一、选择题(每题4分，共40分)1．【教材P115例2改编】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cos A等于()A．35B．45C．34D．432．已知α为锐角，且cosα＝12，则α等于()A．30°B．45°C．60°D．无法确定3．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则sin∠ABC的值为()A．35B．34C．105D．14．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱AC高为a.冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为()A．a sin 26.5°B．atan 26.5°C．acos 26.5°D．a cos 26.5°5．【2021·威海】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18′，按键顺序正确的是()A．sin36· 18＝B．sin36D·M′S18＝C．2ndF sin36D·M′S18＝D．sin36D·M′S18D·M′S＝6．如图，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100 m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是()A．200 mB．200 3 mC．220 3 mD．100(3＋1)m7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为()A．34B．43C．35D．458．【教材P123习题T6改编】如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D 是CB的延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为()A．2 3 B．3 3C．2＋ 3 D．2－ 39．【教材P115例3变式】如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan∠OAB等于()A．25B．23C．52D．3210．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8 m，坡面上的影长为4 m．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1 m、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m，则树的高度为()A．(6＋3)m B．12 mC．(4＋23)m D．10 m二、填空题(每题5分，共20分)11．【2021·杭州】计算：sin 30°＝________.12．如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两棵树的坡面距离AB 为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为________m．13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan B的值为________．14．如图，一架长为6 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时测得∠ABO ＝70°，若梯子的底端B外移到D处，则梯子顶端A下移到C处，这时又测得∠CDO＝50°，那么AC的长度约为________m(参考数据：sin 70°≈0.94，sin 50°≈0.77，cos 70°≈0.34，cos 50°≈0.64)．三、(每题8分，共16分)15．计算：(1)3sin 60°－2cos 45°＋3 8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－120＋4cos 60°·sin 45°－（tan 60°－2）2.16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，∠B ＝60°，解这个直角三角形．四、(每题8分，共16分)17．【教材P 128例6改编】如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝底BC 的长．18．【2021·杭州】如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．五、(每题10分，共20分)19．如图，已知▱ABCD，E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝125，求CF的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝23，点D，E分别在AB，AC上，DE⊥AC，垂足为E，DE＝2，DB＝9.求：(1)BC的长；(2)tan∠CDE的值．六、(12分)21．为了承办2022年亚运会，杭州市加强城市绿化建设．如图，工作人员正在对该市某河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得该河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200 m，求该河段的宽度(结果保留根号)．七、(12分)22．【2020·宁波】图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50 cm，∠ABC＝47°.(1)求车位锁的底盒长BC.(2)若一辆汽车的底盘高度为30 cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据：sin 47°≈0.73，cos 47°≈0.68，tan 47°≈1.07)八、(14分)23．【2020·衡阳】小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当显示屏的边缘线OB与底板的边缘线OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B，O，C在同一直线上，OA＝OB＝24 cm，BC⊥AC，∠OAC＝30°.(1)求OC的长；(2)如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°，求点B′到AC的距离(结果保留根号)．答案一、1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．D 8．D 9．B 10．A 点拨：如图，延长AC 交BF 的延长线于点D ，过点C 作CE ⊥BD 于点E .由题意得BF ＝8 m ，CF ＝4 m ，∠CFD ＝30°. 在Rt △CFE 中，∠CFE ＝30°，CF ＝4 m ， ∴CE ＝2 m ，EF ＝4cos 30°＝2 3 m.∵同一时刻，一根长为1 m 、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2 m ， ∴tan D ＝CE DE ＝AB BD ＝12. ∴DE ＝2CE ＝4 m.∴BD ＝BF ＋EF ＋ED ＝(12＋23)m. ∴AB ＝12BD ＝12×(12＋23)＝6＋3(m)． 二、11．12 12．a cos α 13．34 14．1.02三、15．解：(1)原式＝3×32－2×22＋2＝32－1＋2＝52；(2)原式＝1＋4×12×22－（3－2）2＝1＋2－(2－3)＝－1＋2＋ 3.16．解：∵∠C ＝90°，∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°. ∴BC ＝AC ·tan A ＝15×33＝53， AB ＝2BC ＝2×53＝10 3.四、17．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点D 作DF ⊥BC 于点F .易知EF ＝AD ＝6 m ，AE ＝DF .在Rt △CDF 中，∵CD ＝14 m ，∠DCF ＝30°， ∴DF ＝12CD ＝7 m. ∴AE ＝7 m. ∵cos ∠DCF ＝FCCD ，∴FC ＝CD ·cos ∠DCF ＝14×32＝73(m)． 在Rt △ABE 中，∵∠B ＝45°， ∴BE ＝AE ＝7 m.∴BC ＝BE ＋EF ＋FC ＝7＋6＋73＝13＋73(m)． 18．(1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°， ∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°. ∴∠BAC ＝∠ADB . ∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∠ABC ＝60°，AE ＝3， ∴BE ＝AEtan ∠ABC＝ 3.在Rt △AEC 中，∠C ＝45°，AE ＝3， ∴EC ＝AEtan C ＝3. ∴BC ＝3＋ 3.∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.五、19．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC . ∴∠ADE ＝∠DEC . 又∵∠AFC ＝∠DEC ，∴∠AFC ＝∠ADE ， ∴DE ∥FC .∴四边形DECF 是平行四边形．(2)解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠BCD ＝∠A ，CD ＝AB ＝13. 又∵tan A ＝125＝tan ∠DCH ＝DHCH ， ∴DH ＝12，CH ＝5.∵四边形DECF 是平行四边形， ∴DF ＝EC ，DE ＝CF . ∵DF ＝14， ∴CE ＝14. ∴EH ＝9.∴DE ＝92＋122＝15. ∴CF ＝DE ＝15.20．解：(1)在Rt △DEA 中，∵DE ＝2，sin A ＝23，∴AD ＝DE sin A ＝223＝3.∵DB ＝9，∴AB ＝BD ＋AD ＝12.在Rt △ABC 中，∵AB ＝12，sin A ＝23， ∴BC ＝AB ·sin A ＝12×23＝8.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝12，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝122－82＝4 5. 在Rt △DEA 中，∵DE ＝2，AD ＝3，∴AE＝AD2－DE2＝32－22＝ 5. ∴CE＝AC－AE＝3 5.∴tan∠CDE＝CEDE＝352.六、21．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.根据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝ADBD＝ADBC－AD，即AD200－AD＝3，解得AD＝(300－1003) m.答：该河段的宽度为(300－1003)m.七、22．解：(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵AB＝AC，∴BH＝HC.在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50 cm，∴BH＝AB·cos B＝50×cos 47°≈50×0.68＝34(cm)．∴BC＝2BH≈68 cm.答：车位锁的底盒长BC约为68 cm.(2)在Rt△ABH中，AH＝AB·sin B＝50×sin 47°≈50×0.73＝36.5(cm)．∵36.5＞30，∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．八、23．解：(1)在Rt△AOC中，OA＝24 cm，∠OAC＝30°，∴OC＝12OA＝12×24＝12(cm)．(2)如图，过点B′作B′D⊥AC，垂足为D，过点O作OE⊥B′D，垂足为E.由题意得OA＝OB′＝24 cm.当显示屏的边缘线OB′与水平线的夹角仍保持120°时，可得∠B′OE＝60°，∴在Rt△B′OE中，B′E＝OB′·sin 60°＝12 3 cm.∵OE⊥B′D，B′D⊥AD，OC⊥AD，∴四边形OCDE是矩形．∴OC＝DE＝12 cm.∴B′D＝B′E＋DE＝(123＋12)cm.即点B′到AC的距离为(123＋12)cm.。