陕西省宝鸡市重点高中2023届高三上学期第一次月考 数学(理)试题

2022-2023学年度第一学期高三年级第一次月考数学（理科）宏志班试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，(){|ln 1}B x y x ==+，则A B =（ ） A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的12x x ，（12x x ≠）恒有11122122()()()()0x f x x f x x f x x f x --+>，若(0)a f =，(1)b f =，(2)c f =，则（ ） A ．c b a << B ．a b c << C ．c a b <<D ．a c b <<3．下列判断错误．．的是（ ） A ．“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件B ．命题“x R ∀∈，3210x x --≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -->”C ．若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题D ．命题“若21x =，则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-，则21x ≠” 4．已知22111()x x f x x x++=+，则f (x )等于（）A ．x 2-x +1，x ≠0 B ．2211x x x++，x ≠0C ．x 2-x +1，x ≠1D ．1+211x x+，x ≠1 5．sin1a =，lgsin1b =，sin110c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关总 分 值： 150分 试题范围：一轮复习第一章一第二章考试时间：120分钟7．函数e e ()x xf x x-+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知(1)f x -是定义为R 上的奇函数，f (1)＝0，且f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，则不等式()230xf -<的解集为（ ）A ．(1,2)B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞9．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 以下结论错误的是（ ） A ．)()21D D <B ．函数()y D x =不是周期函数C ．()()1D D x =D ．函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数10．设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1)x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上是减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解11．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（ ） A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知命题“[6,1]x ∃∈--，240x mx -+”是假命题，则m 的取值范围是_________. 14．已知函数2()21x x af x +=-是奇函数，则实数a 的值为__________．15．设()f x 的定义域为R ，且满足()()()()11,2f x f x f x f x -=++-=，若()13f =，则()()()()()()()1232022202320282030f f f f f f f ++++=++___________.16．已知R a ∈，函数()()11,44,a x x a f x x x a x ⎧-+<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若()f x 存在最小值，则a 的取值范围是__________. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题12分）已知函数f （x ）的定义域为R ，且对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），且当x >0时，f （x ）<0恒成立. (1)求f （0）；(2)证明：函数y =f （x ）是奇函数； (3)证明：函数y =f （x ）是R 上的减函数.18．（本题10分）已知集合{}31A x x =-<<，{|1B y y =<-或3}y >，{}21C x x m =-<<+，其中3m >-． (1)求A B ；(2)若()=A B C C ，求实数m 的取值范围．19．（本题12分）已知命题2:32p x x -+>. （1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）设命题:2q x <，若“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.20．（本题12分）已知a ∈R ，集合(){}222log log 2A x R x x =∈≥，集合()(){}10B x R x x a =∈--<. (1)求集合A ； (2)若RB A ⊆，求a 的取值范围.21．（本题12分）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当[,2]x t t ∈+（R t ∈）时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．22．（本题12分）已知函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数.(1)求实数k 的值;(2)解关于m 的不等式()()211f m f m +>-;(3)设()()()2log 20xg x a a a =⋅+≠，若函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，求实数a 的取值范围.2022-2023学年度第一学期高三年级第一次月考数学（理科）宏志班试题参考答案1．D 【分析】集合B 表示函数定义域，求解得集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】解：(){|ln 1}B x y x ==+{|1}x x =>-，A B ∴={0,1,2}.故选：D.2．B 【分析】根据已知，利用函数单调性的定义判断函数的单调性，再利用单调性比较大小. 【详解】因为11122122()()()()0x f x x f x x f x x f x --+>，所以1212()[()()]0x x f x f x -->，即1212()()0f x f x x x ->-，因为定义在R 上的函数()f x 对任意的12x x ，（12x x ≠）都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以()f x 在R 上单调递增，因为(0)a f =，(1)b f =，(2)c f =， 所以(1)(2)(0)f f f >>，即a b c <<.故A ，C ，D 错误. 故选：B.3．D 【分析】根据命题的充分不必要条件，全称命题的否定，复合命题的真假关系，以及逆否命题的形式，逐项判断.【详解】对于A ，由22am bm <知20m ≠， 不等式两边同乘以21m 得，a b <， 反之，若a b <，则取20m =时，不能得到22am bm <， 故22am bm <是a b <的充分不必要条件，故A 正确； 对于B ，因为“3210,x R x x ∀∈--≤”是全称命题，故其否定是特称命题，为“3210,x R x x ∃∈-->”，故B 正确； 对于C ，若p ，q 均为假命题，则p q ∧为假命题，故C 正确； 对于D ，若21x =，则1x =或1x =-的逆否命题为， 若1x ≠且1x ≠-，则21x ≠，D 错. 故选:D .【点睛】本题考查了四种命题的关系，命题的否定形式，充要条件的应用，属于基础题.4．C 【分析】设1x x+=t ，利用换元法可求得结果 【详解】设1x x +=t ,则x=11t -,t ≠1, 则f (t )=2211111t t ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎝⎭+t-1=t 2-t+1,t ≠1. 所以f (x )=x 2-x+1,x ≠1. 故选：C.【点睛】本题考查了利用换元法求函数的解析式，属于基础题.5．B 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】0sin11<<，sin10lg ∴<，sin1101>，b ac ∴<<． 故选：B ．6．C 【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++， 设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞， 所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--， 所以()g x 为奇函数， 所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．B 【分析】判断函数e e ()x xf x x -+=为奇函数，排除CD ；根据特殊值的大小，排除A 选项.【详解】e e ()x xf x x-+=定义域为()(),00,∞-+∞，又()e e ()x x f x f x x -+-=-=-，故e e ()x xf x x -+=为奇函数，排除CD ； 又33e e (3)3f -+=，1(1)e e f -=+，显然()(3)1f f >，故A 错误，B 正确.故选：B8．D 【分析】由(1)f x -是定义为R 上的奇函数可知函数()f x 关于(1,0)-点对称；再结合(1)0f -=，即可得出(3)(1)(1)0f f f -=-==.再结合f (x )在[1,0)-上单调递增，在[0,)+∞上单调递减，可知函数()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.【详解】因为(1)f x -是定义为R 上的奇函数, 所以(1)(1)f x f x -=---;函数()f x 关于(1,0)-点对称. 当2x =时：(3)(1)0f f -=-=； 当0x =时：(1)0f -=;所以()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在(2,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减. 所以当232x -<-时233x ->-，解得0x <; 当2230x -≤-≤时231x -<-，解得01x ≤<; 当230x ->时231x ->，解得2x >;综上所述：不等式()230xf -<的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞故选：D.9．B 【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，因为0,(1)1D D ==，所以()1D D <，所以A 正确，对于B ，对于任意非零有理数T ，若x 为任意有理数，则x T +也为有理数，所以()()1D x T D x +==，若x 为任意无理数，则x T +也为无理数，所以()()0D x T D x +==，所以任意非零有理数T ，x 为实数，都有()()D x T D x +=，所以有理数T 为函数的周期，所以B 错误，对于C ，当x 为有理数时，()()(1)1D D x D ==，当x 为无理数时，()()(0)1D D x D ==，所以()()1D D x =，所以C 正确，对于D ，对于任意12,R x x ∈，且12x x <，若12,x x 都为有理数或都为无理数，则12()()D x D x =，若1x 为有理数，2x 为无理数，则12()1()0D x D x =>=，若1x 为无理数，2x 为有理数，则12()0()1D x D x =<=，所以函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数，所以D 正确，故选：B10．C 【分析】由题设可得()f x 关于(1,0)-、1x =对称且周期为8，利用对称性和周期性求72f ⎛⎫⎪⎝⎭、判断(7)f x +奇偶性及()f x 在(6,8)上的单调性，由()f x 与lg y x =-交点情况，数形结合判断()lg 0f x x +=根的个数.【详解】由题设(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，即()(2)f x f x =---，(1)(1)f x f x +=-+，则()f x 关于1x =对称，即()(2)f x f x =-，所以(2)(2)x x f f =----，则(2)(2)f x f x +=--，故()(4)f x f x =--， 所以(4)(8)f x f x -=--，即()(8)f x f x =-，故()(8)f x f x =+， 所以()f x 的周期为8，773313(2)()(2)()222224f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确；由周期性知：(1)(7)f x f x -=+，故(7)f x +为奇函数，B 正确；由题意，()f x 在(6,8)与(2,0)-上单调性相同，而(1,0)x ∈-上2()1f x x =-+递增，()f x 关于(1,0)-对称知：(2,1)x ∈--上()f x 递增，故(2,0)-上()f x 递增，所以()f x 在(6,8)上是增函数，C 错误；()lg 0f x x +=的根等价于()f x 与lg y x =-交点横坐标，根据()f x 、对数函数性质得：()[1,1]f x ∈-，lg121lg 6-<-<-， 所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D 正确.故选：C11．B 【分析】根据已知可求得()2f x x x =-+，从而可求得函数()f x 的解析式，令()()210g x xf x x =-=，可得()1f x x =，即2211,013,0x x x x x x ⎧-=>⎪⎪⎨⎪+=<⎪⎩，构造函数并画出函数图象，结合图象即可得解.【详解】解：因为()()22f x f x x x =+-，所以()()()2222f x fx xx f x x x =+-=+-，所以()2f x x x =-+，所以()()2222,0223,0x x x f x f x x x x x x x x x ⎧-+≥=+-=-+-=⎨--<⎩，由()()210g x xfx x=-=， 得()221f x x =，即()1f x x =， 即2211,013,0x x x x x x ⎧-=>⎪⎪⎨⎪+=<⎪⎩，如图，画出函数1,03,0x x y x x ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩和21y x =的图象，当1x =-时，()21132,11-+==-，由图可知函数1,03,0x x y x x ⎧->⎪=⎨+<⎪⎩和21y x =的图象右4个交点， 即函数()()21g x xf x x=-有4个零点. 故选：B.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了利用数形结合思想求函数的零点的个数，考查了数形结合思想和转化思想，有一定的难度.12．B 【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.【详解】因为当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--，所以12,0? 2()122,12x x f x x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又因为函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，所以函数()f x 的部分图像如下，由图可知，若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则113m ≥.故A ，C ，D 错误.故选：B.13．20,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】假命题的否定为真命题，转化为恒成立问题，再利用分离参数法处理.【详解】由题意可知命题“[6,1]x ∀∈--，240x mx -+<”是真命题，即[6,1]x ∀∈--，4m x x<+.因为61x --，所以20443x x-+-，则203m <-. 故答案为：203m <-. 14．1【分析】根据奇函数的定义即可求解；【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，即222121x x x x a a --++=---，化简整理，得212x x a a ⋅+=+，即()()1210xa --=， 所以10a -=，解得1a =. 所以实数a 的值为1. 故答案为：1.15．2024【分析】根据所给函数的性质，可推出函数是以4为周期的周期函数，再由函数性质可得()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，据此即可求解.【详解】因为()()()2,13f x f x f +-==，所以()()()()11,01,201f f f f -=-===，由()()11f x f x -=+，得()()()()2,2f x f x f x f x -=+=-，有()()222f x f x ++-=， 可得()()222f x f x ⎡⎤+--=⎣⎦，有()()42f x f x +-=，又由()()2f x f x +-=，可得()()4f x f x -=-，可知函数()f x 的周期为4，可得()()()()()()202311,202801,203021f f f f f f =-=-====，有()()()2023202820301f f f ++=，因为()()()2,13f x f x f +-==，所以()()11,01f f -=-=由()()11f x f x -=+得()()2f x f x -=+，所以()()()()22,132f x f x f x f x ++=+++=，即()()()()1234f x f x f x f x ++++++=，所以()()()()][()()()()1012342021202245062024f f f f f f f f ⎡⎤-++++++++=⨯=⎣⎦ 所以()()()()()()()12320222024012024112024f f f f f f +++⋯+=---=---=.故()()()()()()()12320222024202320282030f f f f f f f ++++=++.故答案为：202416．⎡⎢⎣⎦【分析】利用分段函数的单调性及最值求解即可. 【详解】解：当10a ->，即1a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递增，故()f x 无最小值，不符合题意；当12a ≤≤时，()f x 在(,)a -∞上单调递减，所以()(1)1f a a a =-+，又()f x 在[,)a +∞上的最小值为()20f =，要使()f x 存在最小值，还需()110a a -+≥，a ≤≤，故12a a ≤≤⎪≤≤⎩1a ⇒≤≤ 当2a >时，要使()f x 存在最小值，还需：()4114a a a a -+≥+-，因为()4110,40a a a a-+<+->，所以无解 综上a的取值范围为⎡⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦. 17．(1)f （0）=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用赋值法求解；（2）利用函数奇偶性定义证明；（3）利用函数单调性定义证明.（1）解：因为对任意a ，b ∈R ，都有f （a +b ）=f （a ）+f （b ），所以令a =b =0，得f （0）=0.（2）由f （a +b ）=f （a ）+f （b ），得f （x -x ）=f （x ）+f （-x ）.即f （x ）+f （-x ）=f （0），而f （0）=0，∴f （-x ）=-f （x ），即函数y =f （x ）是奇函数.（3）设x 1>x 2，则x 1-x 2>0，f （x 1-x 2）<0而f （a +b ）=f （a ）+f （b ），∴f （x 1）=f （x 1-x 2+x 2）=f （x 1-x 2）+f （x 2）<f （x 2），∴函数y =f （x ）是R 上的减函数.18．(1){}31x x -<<- (2){}30m m -<≤【分析】（1）根据交集的定义计算；（2）求出A B ，由()A B C C ⋃⋂=得C A B ⊆⋃，根据集合的包含关系可得结论．（1） 因为{}31A x x =-<<，{|1B y y =<-或3}y >， 所以{}31A B x x ⋂=-<<-．（2）由题意，得{|1A B x x ⋃=<或3}x >．因为()A B C C ⋃⋂=，所以C A B ⊆⋃．因为3m >-，所以C ≠∅，所以11m +≤，解得0m ≤，所以实数m 的取值范围是{}30m m -<≤．19．（1）()1,2；（2）(]2,1-.【解析】（1）解不等式232x x -+>，即可得解；（2）解不等式2x <，由题意可知p 、q 中一真一假，分p 真q 假和p 假q 两种情况讨论，综合可得出实数x 的取值范围.【详解】（1）若p 为真命题，则232x x -+>，即2320x x -+<，解得12x <<.所以，当p 为真命题，求实数x 的取值范围是()1,2；（2）解不等式2x <，可得22x -<<，即:22q x -<<.由于“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，则p 、q 中一真一假.①若p 真q 假，则1222x x x <<⎧⎨≤-≥⎩或，此时x ∈∅； ②若p 假q 真，则1222x x x ≤≥⎧⎨-<<⎩或，此时21x -<≤. 综上所述，实数x 的取值范围是(]2,1-.【点睛】本题考查利用简单命题和复合命题的真假求参数，对于利用复合命题的真假求参数，一般要对确定各简单命题的真假，必要时要对各简单命题的真假进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.20．(1)[)2,A =+∞(2)(],2a ∈-∞【分析】（1）根据对数函数的单调解不等式即可；（2）先求()R ,2A =-∞，再分类讨论并满足R B A ⊆可得答案.(1) ()()2222222log log 2log log 220x x x x x x ≥⇒≥⇒≥>解得2x ≥，故[)2,A =+∞(2)由（1）()R ,2A =-∞当1a =时，B =∅，满足题意；当1a >时，()1,B a =，只需2a ≤；当1a <时，(),1B a =，满足题意.综上所述，(],2a ∈-∞.21．(1)2()2f x x =+(2)222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩【分析】（1）由题意可得2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式，（2）求出抛物线的对称轴，然后分0t ≥，20t +≤和01t t <<+三种情况求解函数的最小值 （1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)2f =，(1)()21f x f x x +-=+，所以2c =，且22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，由22(1)(1)()21a x b x c ax bx c x ++++-++=+，得221ax b a x ++=+，所以221a b a =⎧⎨+=⎩，得10a b =⎧⎨=⎩， 所以2()2f x x =+.（2）因为2()2f x x =+是图象的对称轴为直线0x =，且开口向上的二次函数，当0t ≥时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递增，则2min ()()2f x f t t ==+；当20t +≤，即2t ≤-时，2()2f x x =+在[,2]x t t ∈+上单调递减，则22min ()(2)(2)246f x f t t t t =+=++=++；当01t t <<+，即20t -<<时，min ()(0)2f x f ==，综上222,0()2,2046,2t t g t t t t t ⎧+≥⎪=-<<⎨⎪++≤-⎩22．(1)1-(2)()(),20,-∞-⋃+∞(3)()2,1【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断0x ≥时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，可得1222x x xa a ⋅+=+有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.（1）函数的定义或为R ，函数()()2log 41x f x kx =++为偶函数. ()()f x f x ∴-=，即 ()()22og 41lo l g 41x x kx kx -+-=++，()()22224142log 41log 41log log 4241x x x x x x kx x --+∴=+-+===-+， 1k ∴=-；（2）()()222411log 41log log 222x xx x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当0x ≥时，21x ≥，122x xy =+单调递增， ()f x ∴在[)0,∞+上单调递增，又函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，在(],0-∞上单调递减； ()()211f m f m +>-，211m m ∴+>-，解得2m <-或0m >，所以所求不等式的解集为 ()(),20,-∞-⋃+∞；（3）函数()f x 与()g x 图象有2个公共点，()()()()22241log 2log 41log 2x x xx g x a a f x x ⎛⎫+∴=⋅+==+-= ⎪⎝⎭， 即4112222x xx x x a a +⋅+==+，20x a a ⋅+>， 设20x t =>，则1at a t t+=+，即()2110a t at -+-=， 又2x t =在R 上单调递增，所以方程()2110a t at -+-=有两个不等的正根；()()210Δ411001101a a a a a a -≠⎧⎪=--⨯->⎪⎪∴⎨->-⎪⎪->⎪-⎩，解得21a ，即a的取值范围为()2,1.。