变厚度矩形薄板问题简介

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变厚度矩形板自由振动的广义微分求积法分析

ｖｒｙ，Ｎｉｇｂ３５１，Ｃｈｎｅｉｔｎｏ１２１ｉａ）
ＡｂｔａｔａｅｎｇｎｒｌｅｉｅｅｔｌｕｄａｕｅｔｏＧＤｓｒｃ：Ｂｓｄｏｅｅａｚｄｄｆｒｎｉａｒｔｒｈｄ（ＱＭ）ｈｏｅｎｎｉｅｅｔｌｑａｉｆａｑｍｅ，ｔｅｇｖｒｉｇｄｆｒｎｉｕ — ｆａｅ
ｔｏｎｉｆｒｎｏｎａｙｃｎｉｉｎｒｄｉｃｅｅａｄｔｅｆｅｕｎｙｃａａｔｒｓｉｓｗｅｅｓｕｉｄｉｎａｄｄｆｅｅｔｂｕｄｒｏｄｔｏｓｗｅｅｍａｅｄｓｒｔｎｈｒｑｅｃｈｒｃｅｉｔｃｒｔｄｅｆｒｔａｓｅｓｒｅｖｂａｉｎｏｅｔｎｕａｌｔｓｗｉａｉｂｅｔｉｋｅｓＢｓｎｕｒｃｌｏｕａｉｎ，ｏｒｎｖｒｅｆｅｉｒｔｏｆｃａｇｌｒｐａｅｔｖｒａｌｈｃｎｓ．ｙｕｉｇｎｍｅｉａｍｐｔｔｏｒｈｃｔｅｄｍｅｓｏｌｓｕｄｍｅｔｌｒｑｅｃｅｒｂａｎｄｆｒｔｅｅｐａｅｔｄｆｅｅｔａｐｃａｉｓａｄｖｒ— ｈｉｎｉｎｅｓｆｎａｎａｅｕｎｉｓｗｅｅｏｔｉｅｈｓｌｔｓａｉｆｒｎｓｅｔｒｔｎａｉｆｏｏａｌｈｃｎｓａａｔｒｎｅｉｌｕｐｒｅｒｃａｅｏｎａｙｃｎｉｉｎ．Ｃｏａｅｔｖｉ — ｂｅｔｉｋｅｓｐｒｍｅｅｓｕｄｒｓｍｐｙｓｐｏｔｄｏｌｍｐｄｂｕｄｒｏｄｔｓｏｍｐｒｄｗｉｈａａｌａ

矩形薄板的几种解法

（范文素材和资料部分来自网络，供参考。

可复制、编制, 期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法•:纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为O二 0_ay 厂O二 0-0.纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即q"4D 芸M C mn sin ^sin 也。

m ± n a b血x现在来求出式（（中的系数C mn 。

将式C ）左右两边都乘以n ,其中的a为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意=ox _0n ::A mn m 土 n 三sinsinab（a ）其中m 和n 都是任意正整数。

弹性曲面微分方显然，上列的边界条件都能满足。

将式代入程::n m 2 n 2冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。

（ b ）a b到（C ）Aya sin .0sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdxa 再将此式的左右两边都艰以土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到b ，注意b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j因为i 和j 式任意正整数,可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin abC 4 mn解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) Amn4a 4 0bq sin4二 abDsin n Ldxdy abm 2. n 2~2当薄板受均布荷载时，q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为q 0 sinsin:a=q 0q 0 sinam •:; x dx adxdy bb . n 二 y sin dy 0 bq 0 ab2 ------■：\ mn一 cos m 「jj 1 - cos n 丄于是由式d ）得到 Amn 1 - cos n ■：!；4 q 0 1 一 cos m 尹 —y—-J 二6D mn A mn 16 q 0・ 2 2 I m_ . nJ 厂 .2 >,- b。

弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法

t
2
yz zdz
（10.10）
将式（10.3）和（10.5）代入式（10.9），（10.10）得
Mx
D
2w x2
2w y 2
,
My
D
2w y 2
2w x2
M
xy
D(1
)
2w xy
（10.11）
FQx
D
x
2w x2
2w y 2
,
FQy
D
y
2w x2
2w y 2
将式（10.3）和（10.5）与（10.11）进行比较，可以得到用内力矩表示的薄板应力
D 4 w q
（10.7）（c）（10.8a）
即
4w x 4
2
4w x 2 y
2
4w y 4
q D
（10.8b）
方程（10.8）称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。它是薄板弯曲问题的基本方程。从薄板中取出微元体进行平衡分析，同样可推导出该方程式。
纵上所述，薄板弯曲问题归结为：在给定的薄板侧面的边界条件下求解挠曲微分方程。求得挠度w后，然后就可以按公式（10-3）、（10-5）和（10-7）求应力分量。
薄板的小挠度弯曲理论，普遍采用以下三个计
算假定：
（1）、变形前垂直于中面的任一直线线段，变形后仍为直线，并垂直于变形后的弹性曲面，且长度不变。这就是Kichhoff的直法线假设；
（2）、垂直于板中面方向的应力分量σz、τzx 、 τzy较小，它们引起的形变可以略去不计，但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计。
薄板弯曲问题的经典解法
第10章薄板弯曲问题
在弹性力学中，将两个平行面和垂直于该平面的柱面所围城的物体称为平板，简称为板， y 如图10-1所示。

薄板零件变形原因及解决方法浅析

Internal Combustion Engine&Parts0引言在汽车产品的结构设计中，薄板零件得到广泛应用，本文提到的薄板零件是指厚度在4mm以下，在长方形或圆形的板料中厚度与短边的比值不大于0.2mm的金属薄板[1]。

此类零件薄而宽大，受轧制工艺路线、储运、下料、加工及装配方式等生产过程各因素的影响，成品零件产生的塑性变形变形明显无法满足产品的质量要求。

因此，如何防范、消除零件的变形缺陷，是产品生产厂家亟待解决的问题。

1薄板零件变形的原因在温度变化或力的作用下，薄板零件会产生形状和尺寸大小的改变。

当零件承受的应力在弹性极限以内时，零件产生的变形是弹性变形，外力消除后，零件将恢复原有形状。

如果零件受到应力超过了材料的弹性极限，零件产生弹性变形的同时还产生了塑性变形，此力消除后，弹性变形部分恢复，而塑性变形保留下来，即零件产生了永久变形。

薄板零件主要以收缩变形、角变形、弯曲变形、扭曲变形等大挠度的变形为主[2]，也是现实中面临的主要问题。

薄板零件变形的主要原因有以下几方面：①薄板生产过程中，板材受热不均、轧辊弯曲、轧辊间隙不一致等问题，就会使板材在宽度方向的压缩不均匀，有可能失稳而导致变形[3]。

②储存、运输过程不正确的放置方式，使零件受到外力、高温或震动等原因，残余应力会逐渐释放出来或重新分布，造成零件变形。

③材料加工过程产生的变形，材料加工过程中经过火焰切割、剪切、冲裁、切削等某一道或几道工序，每一工序都会引起钢材变形。

④薄板在进行焊接时，容易出现多种类型的变形，距离焊接缝隙较远的位置会产生一定的残余应力，若这些残余应力超过了薄板的变形临界压力时，会导致薄板出现变形。

⑤零件装配过程引起的变形，如零件不当的装配顺序、固定方式、夹具安装位置、零部件间的位置公差过大、紧固和锁紧不当等影响因素。

⑥零件承受超负荷加载或零件受到各种冲击性载荷，使零件产生塑性变形。

位移达0.4mm，远超过标准规定的0.05m，振动数据己降为4.9mm/s，运行恢复正常。

薄板弯曲和薄壳问题

y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y

矩形薄板简支弯曲经验公式

矩形薄板简支弯曲经验公式摘要：1.矩形薄板简支弯曲的基本概念2.矩形薄板简支弯曲的经验公式3.经验公式的应用和实用性4.公式中的参数解释5.总结与展望正文：矩形薄板简支弯曲经验公式在工程领域具有广泛的应用，尤其在结构分析和设计中。

本文将详细介绍矩形薄板简支弯曲的基本概念、经验公式及其应用，以期为相关领域的研究和工程实践提供参考。

一、矩形薄板简支弯曲的基本概念矩形薄板是指四边形截面的薄板，其边界条件为两对边固定（简支），另外两对边自由。

简支弯曲是指在横向力作用下，板的两个简支边产生位移，而另外两个自由边保持固定。

矩形薄板简支弯曲问题的求解，通常采用经验公式或数值方法。

二、矩形薄板简支弯曲的经验公式针对矩形薄板简支弯曲问题，研究者们通过实验和理论分析，总结出了一系列经验公式。

其中，较为著名的是施密特（Schmidt）公式和修正的施密特（Modified Schmidt）公式。

1.施密特公式：施密特公式为：M = E*I/r，其中M为弯矩，E为材料弹性模量，I为矩形薄板的惯性矩，r为距离板中心轴线的半径。

2.修正的施密特公式：针对施密特公式在某些情况下的误差，研究者们提出了修正的施密特公式。

修正的施密特公式为：M = E*I/(r+0.5*h)，其中M、E、I的含义与施密特公式相同，h为矩形薄板的高度。

三、经验公式的应用和实用性矩形薄板简支弯曲经验公式在实际工程中具有很高的实用性。

通过应用经验公式，工程师可以快速、准确地估算矩形薄板在简支弯曲条件下的弯矩、挠度等参数，为结构设计和分析提供依据。

同时，经验公式也可用于验证和改进数值方法的准确性，为更深入的研究提供参考。

四、公式中的参数解释1.E：材料弹性模量，反映材料的弹性特性；2.I：矩形薄板的惯性矩，与板的长宽比有关；3.r：距离板中心轴线的半径；4.h：矩形薄板的高度。

五、总结与展望矩形薄板简支弯曲经验公式在工程领域具有重要应用价值。

通过对经验公式的学习和掌握，工程师可以更好地进行结构设计和分析。

两对边简支单向非均匀变厚度正交各向异性矩形板弯曲的一般解

(3.4)
+α m ( y − t ) shα m ( y − t )[ D2 '( y ) − D1 '( y )v2 − 2 Dk , ( y )] + shα m ( y − t )[ 3α m D2 ( y ) D1" ( y )v2 + D2" ( y ) D1 ( y )α m + − 2 2α m 2
−4 pm0 = α m f m (0),
p' m 0 = α
−5 m
' D2 (0) f ' m (0) − 2 p α m D2 (0) m 0
i −1
pmi = ( Fmi − ∑ pmj K mij ) / K mij ,
j =1
(4.3)
(i = 1,2,....k ),
其中：
-4-
K mij =
y ∂f ( y , t ) ∂ y [ ∫ f ( y , t )dt ] = f ( y, y ) + ∫ dt , 0 0 ∂y ∂y
(3.2)
容易求得关于未知函数 ϕ m ( y ) 的如下第二类 Volterra 积分方程：
ϕm ( y ) + ∫ K m ( y, t )ϕm (t )dt = f m ( y),
v1 = v2 = v0 = const D1 = D2 = D0 = const , Dk = (1 − v0 ) D1 2
-3-
时，以上结果退化为 Levy 解。对于指数变刚度 D( y ) = D0 exp(λy ) 和线性变刚度 D( y ) = D0 + D1 y 的特殊情形，可以求得与文献完全一致的精确解。

有限元教案_薄板问题

已知：
对位移函数求导得：
28
因为：
−1 (e ) 所以： {k} = [ Bα ][ A] {δ }
或：
{k} = [ B]{δ }( e )
29
−1 其中： [ B ] = [ Bα ][ A]
四、由弹性方程求内力 {M} 已知：因为：得：或：其中：
{M } = [ D f ]{k}
{k} = [ B]{δ }
将四个结点的坐标值带入位移函数，可得
{δ }
(e )
= [ A](12×12) {α }(12×1)
26
将上式求逆转得：
将上式带入位移函数可得单元内部点的挠度与结点位移之间的转换关系：
形函数
27
三、由几何方程求弯扭变形 {k}
∂ 2ω − 2 k x ∂x ∂ 2ω {k} = k y = − 2 ∂y2 k xy ∂ω −2 ∂x∂y
23
薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）
用虚功原理来推导薄板矩形单元的单刚。
24Biblioteka 薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）
一、虚功原理（Virtual Work Principle）虚功原理（）
由虚功原理知：
{δ∆}T {F } = ∫∫∫Ω {δε }T {σ } dΩ
1
薄板弯曲的基本方程一、基本假设
平分板厚的中间平面，称作板的中面。平分板厚的中间平面，称作板的中面。当板的厚度t远小于中面尺寸时，当板的厚度远小于中面尺寸时，远小于中面尺寸时这种板称为薄板。这种板称为薄板。薄板在垂直中面载荷作用下的变形和受力状态有如下特点：特点：轴方向产生挠度ω。（1）中面上任一点沿轴方向产生挠度。）中面上任一点沿z轴方向产生挠度（2）中间弯成曲面，叫做弹性曲面。弹性曲面发生双向）中间弯成曲面，叫做弹性曲面。弯曲变形，并伴随有扭曲变形。弯曲变形，并伴随有扭曲变形。（3）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。

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(c)
2 ，式（c）为挠度w的变系其中 = 数微分方程。对于薄板厚度的不同变化规律，该微分方程的系数取不同的函数形式，要求用不同的方法求解。
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（2）厚度沿某一方向线性变化
薄板厚度沿着某一方向线性变化的情况虽然是一种特殊情况，但却是工程上比较常见的。
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（2）厚度沿某一方向线性变化 3 Et0 如图，假定薄板y=b/2处厚度为t0,有 D0 12 1 2
（b ）
式（b）为变厚度矩形薄板的平衡微分方程
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（1）平衡微分方程进一步改写：
D D Dw 2 w 2 w Dw x x y y 2 D 2w 2 D 2w 2 D 2w (1 )( 2 2 2 2 2 )q x y xy xy y x
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展（1）变厚度矩形薄板问题背景介绍二长期以来，有关等厚度板的研究非常多, 而涉及变厚度板则较少。变厚度矩形板弯曲间题的研究最早可追溯到R.G.Ossion(1 9 3 4 年)对一类线性变厚度板给出了级数解,对阶梯形板给出了统一解式, 并以此来逼近连续的单向变厚度板。自60 年代以来, 由于计算机的应用, 伴随有限元法的兴起, 使计算力学得到飞跃发展, 一般的板间题均可用有限元法和差分法解之, 但误差较大, 求解不甚经济。
2 M xy 2 M y 2 M x 2 2 q0 2 x xy y
2 得到： 2 x
2w 2 w 2 2w D D 2 2 2 1 x y x y x y 2 2 y 2 w 2 w 2 2 q 0 x y

2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（1）根据等厚度矩形薄板的平衡微分方程推导变厚度矩形薄板平衡微分方程
（2）考察厚度沿某一方向线性变化的情况
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（1）平衡微分方程等厚度矩形薄板弯矩、扭矩与挠度w的关系：
2w Et 3 2 w 2w 2w Mx 2 D 2 2 2 2 y y 12 1 x x 2w Et 3 2 w 2w 2w My 2 D 2 2 2 2 x x 12 1 y yy D 1 12 1 xy xy
（D=常数）
等厚度矩形薄板平衡微分方程：
Mx 2 2 q0 2 x xy y
2
2 M xy
2 M y
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（1）平衡微分方程等厚度矩形薄板
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展（1）变厚度矩形薄板问题背景介绍三近几年来, 利用求解对象的特征, 采用半解析法来解决问题的途径, 愈加受到推崇。目前有关变厚度矩形板的专门方法, 大多针对单向变厚度、两对边简支的矩形板(称Levy 型板) , 其中有限条法较为有效, 然而, 在具体实施中较繁琐。以下简单介绍几种常见而有效的针对变厚度矩形薄板问题的解法。
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展（2）现有解法的介绍一 a.变厚度矩形薄板的GD解法基本思路：该方法从泰勒级数出发，用全域内节点函数的加权和来表示该点的各阶导数值。好处：GD法便捷，思路明确，是求解变厚度薄板弯曲问题、解决工程实例问题的一种有力工具。
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展（2）现有解法的介绍二 b.变厚度矩形薄板弯曲间题的插值矩阵法单向变厚度型板的弯曲问题, 用单三角级数把矩形板的控制方程化成常徽分方程边值间题, 然后采用两点边值问题的擂值矩阵法求解板的方程。实践结果表明,用该方法求解变厚度板的方法，简洁,精度高，通用性强, 计算稳定, 收敛也快，使用方便。
?
变厚度矩形薄板
假设：1.薄板厚度变化比较平缓；2.薄板中面仍然是平面。则Mx,My,Mxy的表达式仍然成立，但弯曲刚度 D变为x和y的函数。
即： D=常数 D=D(x,y)
2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程（1）平衡微分方程将D=D(x,y)带入Mx,My,Mxy的表达式，再将 Mx,My,Mxy带入薄板平衡方程：
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展（2）现有解法的介绍三
• 针对矩形薄板的动力响应问题，提出了一种有效的方法：DQ半解析法 . • 本方法针对矩形薄板的振动控制微分方程，在空间域采用DQ法，即微分求积法在时间域取级数，采用时域配点的方法，得到求解以板各节点动力响应位移场为全部待定参数的线性方程组，只需一次求解该方程组即得到全部待定参数，进而得到各节点的动力响应位移场，再由高阶Lagrange 插值得到全域内的动力响应位移场．该法和之前提到的GD法类似。
1.变厚度矩形薄板问题的发展
2.变厚度矩形薄板问题平衡微分方程 3.变厚度矩形薄板问题的求解 4.变厚度矩形薄板问题的DQ解法
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展
（1）变厚度矩形薄板问题背景介绍（2）现有解法的介绍
1.变厚度矩形薄板问题的历史发展（1）变厚度矩形薄板问题背景介绍一实际工程中为了提高材料的利用率，减轻结构的自重等需要，很多情况下要根据外界载荷和支撑情况而使板的厚度作相应变化，变厚度矩形薄板就是其中用的较多的一种工程结构，因而研究变厚度矩形薄板的弯曲问题有着重要的理论与实际意义。