常微分方程课程教学大纲
常微分方程教学大纲
常微分方程教学大纲1. 引言1.1 课程背景1.2 课程目标2. 基本概念与分类2.1 常微分方程的定义2.2 一阶常微分方程与高阶常微分方程2.3 线性与非线性常微分方程2.4 齐次与非齐次常微分方程3. 解常微分方程的基本方法3.1 可分离变量法3.2 齐次方程法3.3 线性方程法3.4 变量替换法3.5 常系数线性齐次方程法3.6 常系数线性非齐次方程法4. 常微分方程的应用领域4.1 数学建模与科学研究4.2 物理学中的应用4.3 生物学中的应用4.4 工程学中的应用5. 常微分方程的求解工具5.1 MATLAB在求解常微分方程中的应用5.2 WolframAlpha在求解常微分方程中的应用5.3 相关软件与工具的介绍6. 常微分方程的数值解法6.1 欧拉法6.2 改进的欧拉法6.3 龙格-库塔法6.4 迭代法6.5 数值解法的误差分析7. 常微分方程的稳定性与解的存在唯一性7.1 稳定性的定义与判定7.2 解的唯一性的定理与证明7.3 线性方程与非线性方程的稳定性比较8. 常微分方程教学的案例与实例8.1 简单案例的解析解与数值解比较8.2 复杂案例的数值解求解8.3 应用案例的数学建模与解决9. 课堂教学安排与评估方式9.1 教学活动与教学资源准备9.2 课堂教学流程设计9.3 学习目标与评估方式10. 总结与展望10.1 课程内容总结10.2 教学方法总结10.3 未来发展与深化的方向通过本门课程的学习，学生将了解常微分方程的基本概念与分类，掌握常微分方程的基本解法，并能够运用所学知识解决实际问题。
课程还将介绍常微分方程在数学建模、物理学、生物学和工程学中的应用，并通过案例与实例帮助学生更好地理解和掌握所学内容。
课程中将介绍常微分方程的基本解法，包括可分离变量法、齐次方程法、线性方程法、变量替换法、常系数线性齐次方程法和常系数线性非齐次方程法。
此外，还将介绍常微分方程的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法和迭代法，并讨论数值解法的误差分析。
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。
通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。
（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。
（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。
第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。
常微分方程课程教学大纲及实施意见.doc
常微分方程课程教学大纲及实施意见一、课程的性质与任务常微分方程是数学的一个重耍分支，也是数学理论联系实际的重耍渠道之一，它是与微积分同时产生和发展起來的。
随着科学技术和数学各分支的发展，常微分方程的理论FI益丰富多采，富有生命力。
常微分方程是大学数学专业的一门皋础课，在教学计划屮是选修课，它在解析几何、数学分析、高等代数之后开课,本课程着重讲授常微分方程理论中一些最皋本、最重要的经典问题和一些简单的应用，例如初等解法，解的理论，线性方程的理论和解法，一阶线性和拟线性偏微分方程的理论和解法，为了使学生对常微分方程的进一步内容有所了解，本课程也简略地介绍了常微分方程定性理论和稳定性理论。
通过本课程的学习，使学生正确理解常微分方程的基本概念,掌握基本理论和主耍方法,具冇一定的解题能力，为学习本学科的近代内容和后继课程打下基础C二、课稈内容、要求与说明（一）初等积分法（学吋数26）内容1.基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性方程和非线性方程，阶，解（通解、特解、隐式解），初值条件，初值问题。
2.可分离变量的方程。
3.齐次方程dy/dx=ip（y/x）4.一阶线性方程,常数变易法,伯努力方程。
5.全微分方程与积分因子。
6.方向场，微分方程的几何意义。
7.一阶隐式微分方程（可解出dy/dx的方程，克莱洛方程，奇解）8.几种可降阶的二阶方程:d2y/dx2=f（x, dy / dx）, d 2 y / dx 2 =f （y, dy / dx）。
9.微分方程的应用举例（物理与几何方面的简单应用）教学要求1.理解线性方程与井线性方稈，阶，解（通解，特解，隐式解），初值条件，初值问题等概念。
2.熟练掌握可分离变量的方程，齐次方程，一阶线性方程；们努力方程，全微分方程的求解方法。
3.掌握常数变易法，记住一阶线性方程的通解表达式。
4.了解变量变换和积分因子在求解微分方程屮的作用，会作简单的变量变换和会用简单的积分因子解微分方程。
常微分方程教学大纲
常微分方程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务“常微分方程”课程是中央广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课。
常微分方程是一门与微积分一起成长起来的学科，是自然学科中表述各种基本规律的根本工具之一，已经成为数学联系实际问题的重要手段之一。
近些年来，常微分方程的研究与应用已经深入到自然科学和社会科学的众多领域，并且成功地揭示了许多自然和社会现象的内在规律。
本课程的任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力。
学习本课程，学生应具备微积分和高等代数的基础知识。
通过本课程的学习，还能为其它后继课，如微分几何、数学物理方程和泛函分析初步等课程的学习做好必要的准备。
二、课程的目的与要求1.学习常微分方程基本理论时，学生要注意了解学科的理论特征，理解其思维方式，掌握基本的推理方法。
2.常微分方程的求解方法主要包含在初等积分法，线性方程与线性方程组的代数解法中，这是学习常微分方程的基本功，要求学生熟练掌握。
3.线性系统理论是常微分方程理论中不多见的比较完整的理论，其内容与线性代数的有关知识有密切关系，通过这部分内容的学习，使学生在高等代数有关理论的框架下，对常微分方程线性系统理论有更深层次的理解，有助于学生对数学理论的统一性加深理解。
4.定性理论是常微分方程近代理论中重要的研究方向，本课程简略介绍问题的背景、解决问题的方法和重要结果，以此引发学生进一步深入学习常微分方程的兴趣。
5.由于常微分方程是一门与实际问题联系紧密的学科，在教学中，尽量多安排一些在物理、化学、生态学及几何学中常见的与之有关的实际问题，培养学生把实际问题转化成为数学问题的能力。
三、课程的教学要求层次教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容按“知道、了解和理解”三层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
第二部分学时、教学安排、教材与教学环节一、学时和学分1．本课程共54学时，学时分配为：章号内容课内学时电视学时IP学时备注1 初等积分法14 5 72 基本定理93 43 线性微分方程组9 3 54 线性微分方程145 75 定性理论简介8 2 4合计54 18 272.学分本课程共3学分。
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主要内容：
39、二维自治系统与相平面；
40、初等奇点附近的轨线分布；
41、极限环；
42、稳定性理论初步。
基本要求和教学重点：
43、了解方程曲线趋势；
44、熟练掌握定性稳定性判别方法。
四、各教学环节学时分配
序号
内容
学时安排
小计
理论课
习题课
1
第一章绪论
4
0
4
2
第二章初等积分法
8
2
10
3
第三章一阶微分方程的解的存在定理
18、解对初值和参数的可微性
基本要求和教学重点：
19、熟悉和理解定理证明方法；
20、掌握逐步逼近法。
第四章
主要内容：
21、高阶线性微分方程的一般理论；
22、高阶常系数线性齐次方程的解法；
23、高阶常系数线性非齐次方程的解法；
24、变系数线性微分方程。
25、幂级数解法
基本要求和教学重点：
26、理解和掌握关于线性方程解的基本性质；
10、全微分方程与积分因子；
11、一阶隐式微分方程。
基本要求和教学重点：
12、熟练地掌握一阶方程各种类型的初等解法.
13、学会根据所给方程的特点，引进适当的变换，增强解题能力；
14、能够合理的处理某些一阶微分方程的求解问题。
第三章
主要内容：
15、解的存在性与唯一性定理
16、解的延拓
17、解对初值和参数的连续依赖性
6
2
8
4
第四章高阶线性微分方程
10
6
16
5
第五章线性微分方程组
10
2
12
6
第六章定性与稳定性理论
10
4
14
合计
48
16
64
五、课程考核
45、考核形式：本课程采用闭卷笔试；
46、成绩构成：总成绩=平时成绩10%+期中成绩20%+期末成绩70%。
六、推荐教材和教学主要参考书
推荐教材：
47、《常微分方程》（第二版），东北师大微分方程教研室，高等教育出版社（2005）；
常微分方程课程教学大纲
英文名称：
Ordinary differential equation
课程类型：
专业基础课理ຫໍສະໝຸດ 学时：64实验学时：
0
学分：
4
开课学期：
第3学期
适用对象：
数学与应用数学专业本科生
考核方式：
考试
先修课程：
数学分析、高等代数与解析几何
一、课程简介
常微分方程是数学系本科生的必修课.通过本课程的学习，利用数学分析、高等代数的一些工具，牢固掌握微分方程学科最基本的内容，如一阶常微分方程、高阶微分方程与线性微分方程组的基本理论与解法，初步掌握其在实际问题中的应用及微分方程定性和稳定性理论的基本概念和重要结果，一般了解一阶线性偏微分方程.
三、教学内容及要求
第一章
主要内容：
1、常微分方程基本概念;
2、导出微分方程的实例;
3、微分方程的几何意义。
基本要求和教学重点：
4、了解常微分方程的基本概念；
5、领会常微分方程所讨论问题的基本内容；
6、了解常微分方程的实际背景及应用。
第二章
主要内容：
7、变量分离方程；
8、齐次方程；
9、一阶线性方程与常数变易法；
34、常系数线性微分方程组的解法。
基本要求和教学重点：
35、理解线性微分方程组解的存在唯一性定理；
36、熟悉和掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组所有解的代数结构；
37、掌握齐次线性微分方程组的基解矩阵概念及非齐次线性方程组的常数变易法；
38、对于常系数线性方程组，能利用矩阵指数给的基解矩阵的一般形式，能够计算。
二、课程教学目标
本门课程的主要任务是：通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力；使学生掌握常微分方程的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础.
48、《常微分方程》（第二版），王高雄等，高等教育出版社（2006）。
参考资料：
49、《常微分方程讲义》王柔怀，伍卓群，北京：人民教育出版社（1963）；
50、《常微分方程讲义》（第2版）叶彦谦，北京：人民教育出版社（1982）。
27、掌握求一般非齐次线性方程特解的常数变易法；
28、掌握关于常系数齐次线性方程基本解组的特征根法；
29、掌握常系数非齐次线性方程解的待定系数法；
30、掌握一般二阶齐次线性方程的特解的幂级数解法。
第五章
主要内容：
31、一阶线性微分方程组的一般概念；
32、一阶线性齐次方程组的一般理论；
33、一阶线性非齐次方程组的一般理论；