现代仿真技术与应用-第二章系统的数学模型

2.1连续系统的数学模型
2.1.1
常用数学模型的表示形式
4 结构图表示
f1
u k1 -
+
y
7
现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
2.1.2
数学模型之间的转换
1微分方程转换为状态方程
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) a n 1 ... a1 a0 y (t ) u (t ) n n 1 dt dt dt
用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示 为(num,den)，称为传递函数二对组模型参数
5
现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
2.1.1
常用数学模型的表示形式
3 状态空间表达式
当系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为 U(t),Y(t),系统的内部状态变量为X(t).
(2-1)
模型参数形式为：
输入系统向量 输出系统向量
A [a0 , a1, ， , an ] n+1维
B [b0 , b1,
， , bm ] m+1维
4
现代仿真2.1.1 常用数学模型的表示形式
2 传递函数形式
在零初始条件下，将(2-1) 方程两边进行拉氏变换，则有
现代仿真技术与应用
章节安排
第一章
第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
概述
系统的数学模型 连续系统的数字仿真 离散事件系统仿真 面向对象的仿真 分布式交互仿真 可视化、多媒体、虚拟现实仿真
1
现代仿真技术与应用
第二章系统的数学模型
2.1
2.2
连续系统的数学模型
离散时间系统的数学模型
2
现代仿真技术与应用
x1 y x2 y ..... xn x (1) n 1 y ( n 1)
. (1)
x1
(1)
x2
(2-6)
x2
(1)
x3 xn
..... x n 1 xn
(1) (1)
a 0 x1 a1 x 2 ... a n 1 x n u
. X=
. X1 . X2 . Xn
d n z (t ) d n 1 z (t ) dz(t ) a ... a a0 z (t ) u (t ) n 1 1 n n 1 dt dt dt
Z ( s) Y ( s) 将 和 取拉氏反变换，可得： U ( s) Z ( s)
取状态变量为： x1 z, x2 z (1) , xn z n1
-6 –11
Y= CX+u=
[1 0 0 ]
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现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
2.1.2
数学模型之间的转换
其中y(t)是输出
例2 系统的微分方程为
函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。 解：把微分方程变形为： 引入状态变量： 则有：
10
现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
0
1 0
0 1 –a2
0 0 -an-1
X1
0
= AX+Bu=
0
X2
Xn
+
0 1
u
-a0 –a1 [1 0 0 0] X
Y= CX+u=
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)
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现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
2.1.2
数学模型之间的转换
例2-1设系统微分方程为：y(3) + 6y(2)+11y(1)+6y =6u,y为输出量，u为输
y( s) bm s bm1s ...b1s b0 G( s) n n 1 u ( s) s an1s ...a1s a0
m
m 1
(2-4)
模型参数可表示为 传递函数分母系数向量 传递函数分子系数向量
A [an , an1 ,....a0 ] B [bm , bm1 ,....b0 ]
第二章系统的数学模型
内因
取决系统动态特性的两大因素：
外因
建立系统数学模型应遵循的原则： 清晰性 切题性 精确性
集合性
3
现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
2.1.1
常用数学模型的表示形式
1 微分方程形式
设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) d m y (t ) d m1u (t ) du(t ) a ... a a y ( t ) b b ... b b0 u (t ) n 1 1 0 m n 1 1 n n 1 m m 1 dt dt dt dt dt dt
X (t ) AX (t ) BU (t ) Y (t ) CX (t ) DU (t )
式中X为n维状态向量 模型参数形式为： 系统系数矩阵A，系统输入矩阵B 系统输出矩阵C，直接传输矩阵D 简记为(A,B,C,D)形式。
(2-5)
6
现代仿真技术与应用
2.1连续系统的数学模型
2.1.2
数学模型之间的转换
y( s) bn 1s n 1 bn 1s n 1 ...b1s b0 G( s) u ( s) s n an 1s n 1 ...a1s a0
2传递函数转换为状态方程（可控标准型）
设系统传递函数为：
G( s)
(2-12)
1 Z ( s) Y ( s) n 1 n 1 .( b s b s ... b s b ) n 1 n 1 1 0 s n an1s n1 ...a1s a0 U ( s) Z ( s)
入量，求系统状态空间表达式 解：选取状态变量x1=y,x2=y(1),x3=y(2)将x1,x2，x3代入原方程，得：
. X=
. X1 . X2 . X3 . X1 . X2
=x2 =x3
=-6x1-11x2-6x3+6u
0
1
0
0
1 –6
X1
0
= AX+Bu=
0
X2
X3
+
0 6
u
. X3 X1 X2 X3
d n 1 z (t ) dz(t ) y (t ) bn 1 ... b1 b0 z (t ) n 1 dt dt
. X=
0 0
1 0
0 1 –a2 b1
0 0 -an-1
X1 X2 Xn
0
+
0
u
-a0 –a1 Y= CX= [ b0
1
11
bn-1 ] X
1
现代仿真技术与应用