2019年常州市高一数学下期末试题(及答案)
2019年常州市高一数学下期末试题(及答案)一、选择题1．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形3．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x -4）=f （x ），且在区间[0，2]上f （x ）=x ，若关于x 的方程f （x ）=log a |x |有六个不同的根，则a 的范围为（ ） A ．6,10B ．6,22C ．(2,22D ．（2，4）5．设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，1,2,,10)i =，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A ．1,4a +B ．1,4a a ++C ．1,4D ．1,4a +6．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1767．若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．258．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，当0x ≥时，函数()()210216()122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．1111,,2448⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9．在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦10．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．1511．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)212．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ． C ． D ．3π 二、填空题13．奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21x f x =-，则()2log 11f =______.14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ． 15．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________． 16．若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．17．已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______. 18．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 19．函数2cos 1y x =+的定义域是 _________.20．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．三、解答题21．某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数.（Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 22．已知圆O ：x 2+y 2=2，直线．l ：y=kx-2． （1）若直线l 与圆O 相切，求k 的值；（2）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB 为锐角时，求k 的取值范围；（3）若1k 2=，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC ，PD ，切点为C ，D ，探究：直线CD 是否过定点．23．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =，332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 24．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 25．投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设表示前n 年的纯利润总和（前年总收入-前年的总支出 -投资额72万元）（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.26．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （2）求频率分布直方图中的a ，b 的值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .3．D解析：D 【解析】试题分析：，且，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．A解析：A 【解析】由()4f x f x -=（）得：4T =，当010]x ∈（，时，函数的图象如图：()()()26102f f f ===，再由关于x 的方程()log a f x x =有六个不同的根，则关于x 的方程()log a f x x =有三个不同的根，可得log 62 log 102a a<⎧⎨>⎩，解得610a ∈（，），故选A.点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本性质，函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出()f x 的周期是4，画出函数的图象，将方程根的个数转化为函数图象交点的个数，得到关于a 的不等式，解得即可.5．A解析：A 【解析】试题分析：因为样本数据1210,,,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是121012101210 (1101010)y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数据1210,,,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.考点：样本数据的方差和平均数．6．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 7．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，sin α= s ，∴α＞45°且5cos α= ，∵()3sin 5αβ+=，且13252＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα4355=-+= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．8．B解析：B 【解析】 【分析】作出函数()y f x =的图像，设()f x t =，从而可化条件为方程20t at b ++=有两个根，利用数形结合可得114t =，2104t <<，根据韦达定理即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由题意，作出函数()y f x =的图像如下，由图像可得，10()(2)4f x f ≤≤=关于x 的方程[]()2()()0,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根， 设()f x t =，20t at b ∴++=有两个根，不妨设为12,t t ；且114t =，2104t << 又12a t t -=+11,24a ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.9．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 10．C 解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.11．B解析：B 【解析】 函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）=e ﹣2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.12．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，2A B BM ===，，2A M ==，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．二、填空题13．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题 解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题14．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．15．9【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=pab=q 再由ab ﹣2这三个数可适当排序后成等差数列也可适当排序后成等比数列列关于ab 的方程组求得ab 后得答案【详解】由题意可得：a+b=p解析：9【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．【详解】 由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②． 解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．16．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果.【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案 解析：415. 【解析】【分析】 根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入n a n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值.【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=,从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥…, 3222a a -=⨯2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n n n n -=⨯=- 而121,a =所以221n a n n =-+, 则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n =+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==,当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题. 18．如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题：（1）如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确；（2）如果解析：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.【解析】【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.19．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出 解析：()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域.【详解】函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1cos 2x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．20．【解析】【分析】由三视图知几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2得到圆锥的高利用圆锥体积公式得到结果【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥圆锥的底面半径是1母线长是2∴圆锥的高是∴几何体的体积是 解析：36π 【解析】 【分析】 由三视图知几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式得到结果．【详解】由三视图知该几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径是1，母线长是2， ∴圆锥的高是413-=， ∴几何体的体积是211313326ππ⨯⨯⨯⨯=， 故答案为36π 【点睛】本题考查由三视图还原几何图形，考查圆锥的体积公式，属于基础题. 三、解答题21．(1)()3800,19,y 5005700,19,x x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【解析】试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.试题解析：（Ⅰ）当时，3800y =；当时，3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为3800,19,{()5005700,19,x y x N x x ≤=∈->. （Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【考点】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.22．（1）k=±1；（2）（1-）∪（13）直线CD 过定点（112-，）． 【解析】【分析】（1）由直线l 与圆O 相切，得圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，由此能求出k ．（2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k 的取值范围．（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，122t -），其方程为221202x tx y t y ⎛⎫-+--=⎪⎝⎭，C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，求出直线CD ：（x+y 2）t-2y-2=0，联立方程组能求出直线CD 过定点（1,12-）． 【详解】解：（1）∵圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx-2．直线l 与圆O 相切，∴圆心O （0，0）到直线l 的距离等于半径，即=，解得k=±1． （2）设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），将直线l ：y=kx-2代入x 2+y 2=2，整理，得（1+k 2）x 2-4kx+2=0， ∴1224k x x 1k +=+，1222x x 1k =+， △=（-4k ）2-8（1+k 2）＞0，即k 2＞1，当∠AOB 为锐角时，OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1-2）（kx 2-2）=()()212121k x x 2k x x 4+-++ =2262k 1k -+＞0， 解得k 2＜3，又k 2＞1，∴k 1-＜或1＜k．故k 的取值范围为（1-）∪（1（3）由题意知O ，P ，C ，D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设P （t ，1t 22-），其方程为x （x-t ）+y （y 1t 22-+）=0， ∴221x tx y t 2y 02⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭， 又C ，D 在圆O ：x 2+y 2=2上，两圆作差得l CD ：tx+1t 2y 202⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即（x+y 2）t-2y-2=0， 由y 0{?2220x y +=+=，得1{?21x y ==-，∴直线CD 过定点（112-，）． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23．（1）3C π=（2）5【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒= （2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.24．（1）()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【解析】【分析】 （1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，1211(1),(1)82f kg k ====， ()1,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.25．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元【解析】【分析】【详解】(Ⅰ)依题意前年总收入- 前年的总支出- 投资额72万元,可得由得,解得 由于,所以从第3年开始盈利.(Ⅱ)年平均利润当且仅当,即时等号成立 即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元26．（1）0.9（2）0.085,0.125a b ==【解析】试题分析：（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由频率/组距求出a 、b 的值试题解析：（1）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有 6+2+2=10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100-=． 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9 （2）课外阅读时间落在组[4,6)的有17人，频率为0.17， 所以0.170.0852a ===频率组距， 课外阅读时间落在组[8,10)的有25人，频率为0.25， 所以0.250.1252b ===频率组距 考点：频率分布直方图。
2019-2020学年江苏省常州市2019级高一下学期期末考试数学试卷及答案
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知
（1）求角A的大小；
(2)若b＋c－6,△ABC的面积为5,求a．
20． (12分)
新冠肺炎疫情期间,为确保“停课不停学",各校精心组织了线上教学活动开学后,某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查．已知该校高一年级共有学生660人,抽取的样本中高二年级有50人,高三年级有45人．下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表
A． 2
B．4
C． 6
D． 8
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13．直线 ：2x＋y＋1＝0与直线 ：4x＋ 2y－3＝0之间的距离为________
14．如图,把一个表面涂有蓝漆的正方体木块锯成64个完全相同的的小正方体,若从中任取一块,则这一块至多有一直涂有蓝漆的概率为________
四、解答题：本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17． （10分）
在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(1,5）,B（－3,7）,C（－8,2）．
（1）求AC边上的高所在直线方程：
(2)求△ABC的面积．
18． (12分)
已知
(1)求cosα－sinα；
(2)求
（3）设M,N是圆C上任意两个不同的点,若以MN为直径的圆与直线l都没有公共点,求k的取值范围．
2019-2020学年江苏省常州市2019级高一下学期期末考试
9．已知直线 ：3x－y－1－0, ：x＋2y－5－0, ：x－ay－3－0不能围成三角形,则实数a的取值可能为
【必考题】高一数学下期末试题(及答案)
【必考题】高一数学下期末试题(及答案)一、选择题1．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}2．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．604．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．266．已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．58-B ．58C ．78-D ．787．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知二项式2(*)nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④10．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>11．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =60C = 12．在ABC ∆中，2cos (,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y 2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.14．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.233a b c-=，则222a cb ac +-的取值范围为______. 15．不等式2231()12x x -->的解集是______． 16．底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2. 17．如图，在矩形中，为边的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .18．若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 19．设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 22．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=．（1）求角A 的大小；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积． 23．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合． 24．已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．25．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期；(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若在[]0,x π∈内，方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解，求a 的取值范围.26．在ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===. （Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.2．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯= 本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.4．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b ba ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．C解析：C 【解析】由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C xx ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭ 令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．9．C解析：C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.10．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .11．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解； 对于B 选项，2sin 5252c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位解析：{8,8-+【解析】 【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可 【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d , 因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =,所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+ 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想14．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦解析：()()0,2【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos 2C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈.故答案为：()()0,2．【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.15．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：()1,3-【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．16．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=17．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中圆柱的底面半径为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋转体的组合体 解析：【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为 .考点：旋转体的组合体.18．【解析】故答案为 解析：75【解析】1tan tan 17446tan tan 144511tan tan644ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭故答案为75.19．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1 【解析】由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．20．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<， 所以实数m的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【考点】 二次函数的性质．三、解答题21．(1) 3C π=.(2) .【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，243sin sin 3sin 3a b A Bπ===，即443sin ,3sin 33a A b B == ∴43(sin sin )3a b A B +=+423sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎦ 23sin 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以234sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b 的取值范围为(23,4]. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 22．（1）23A π=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）已知等式左边利用两角差的余弦函数公式化简，求出()cos B C +的值，确定出B C +的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b c +的值代入求出bc 的值，再由sin A 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积. 【详解】(1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝， ∴cos(B ＋C )＝. ∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝.∴cos A ＝－. 又∵0<A <π，∴A ＝.(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A .则(2)2＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·cos .∴12＝16－2bc －2bc ·(－)．∴bc ＝4. ∴S △ABC ＝bc ·sin A ＝×4×＝.【点睛】本题主要考查余弦定理、特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.23．（1）()2sin(2)6f x x π=+（2）单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,(k Z ∈)；x 取值集合|,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭,(k Z ∈) 【解析】 【分析】（1）先由函数()y f x =的最大值求出A 的值，再由图中对称轴与相邻对称中心之间的距离得出最小正周期T ，于此得出2T πω=，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()y f x =的解析式结合φ的范围得出φ的值，于此可得出函数()y f x =的解析式； （2）解不等式()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递增区间，由()2262x k k Z πππ+=-+∈可求出函数()y f x =取最小值时x 的取值集合．【详解】（1）由图象可知，2A =. 因为51264T ππ-=，所以T π=.所以2ππ=ω. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以2sin(2)26ϕπ⨯+=， 解得=+2()6k k Z ϕππ∈. 又因为2πϕ<，所以=6ϕπ，所以()2sin(2)6f x x π=+.（2）222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,(k Z ∈)，()f x 的最小值为-2，取得最小值时x 取值集合|,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭,(k Z ∈). 【点睛】本题考查由三角函数图象求解析式，以及三角函数的基本性质问题，在利用图象求三角函数()()sin 0,0y A x b A ωϕω=++>≠的解析式时，其基本步骤如下： （1）求A 、b ：max min 2y y A -=，max min2y y b +=； （2）求ω：2Tπω=； （3）求ϕ：将顶点或对称中心点代入函数解析式求ϕ，但是在代对称中心点时需要结合函数在所找对称中心点附近的单调性来考查．24．（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】 【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤. 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．25．(1) ()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，最小正周期T π=；(2) 161217a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】【试题分析】（1）借助题设提供的图形信息与数据信息可求出周期T π=，再借助T πω＝，求出2ω=，再借助点,16π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 图象上求出 6πϕ=；（2）先将原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，分离参数2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，再换元sin t x =，将其转化为函数()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图问题来处理：解：(1)由图象可知：22362T πππ=-=，∴T π=，又T πω＝，∴2ω=. 又∵点,16π⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 图象上，∴sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+， ∴26k πϕπ=+，k Z ∈，又∵2πϕ<，∴6πϕ=.∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期T π=. (2)∵()1sin 212g x f x x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠. ∵[]0,x π∈，[]sin 0,1x ∈，∴213sin 2sin 0x x +->，∴2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，令sin t x =，则[]0,1t ∈，作出()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图象，当21a ≤2<或2178a =时，两图象在[]0,1内有且仅有一解， 即方程221732sin 84x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两解， 此时a 的取值范围为161217a a a ⎧⎫<≤=⎨⎬⎩⎭或. 点睛：求出函数的解析式后，求解第二问时先将原方程可化为()213sin 2sin 2a x x +-=，则0a ≠，然后借助[]0,x π∈，[]sin 0,1x ∈，得到213sin 2sin 0x x +->，进而分离参数2221732sin 3sin 12sin 84x x x a ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，再换元sin t x =，则[]0,1t ∈，从而将问题化为函数()2173284f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及2y a =图象的交点的个数问题，然后结合图像求出参数的取值范围。
江苏省常州市武进区2018-2019学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析.pdf
江苏省常州市武进区2018-2019学年高一下学期期末数学试卷最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。
最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）不等式x 2﹣2x ﹣3＜0的解集是．2．（5分）过两点A （﹣2，1），B （m ，3）的直线倾斜角是45°，则m 的值是．3．（5分）在等差数列{a n }中，a 1+a 2=1，a 3+a 4=9，则a 5+a 6=．4．（5分）已知a ＞0，b ＞0，a+4b=ab ，则a+b 的最小值是．5．（5分）在△ABC 中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．6．（5分）圆x 2+y 2=1上的点到直线3x+4y ﹣25=0距离的最小值为．7．（5分）设a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α；③若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β；④若a ⊥β，α⊥β，则a ∥α．其中所有正确的序号是．8．（5分）已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3：S 2=3：2，则公比q=．9．（5分）若变量x ，y 满足，则2x+y的最大值为，的取值范围．10．（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m ，n ）重合，则m+n 的值是．11．（5分）如图所示，ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，并且AC ∥面EFGH ，BD ∥面EFGH ，AC=2，BD=4，当EFGH 是菱形时，的值是．12．（5分）若关于x的不等式ax 2﹣|x|+2a＜0的解集为?，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x 2+y2﹣（6﹣2m）x﹣4my+5m2﹣6m=0，直线l经过点（﹣1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为．14．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n 2+≥ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为．二、解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB﹣（2c﹣b）cosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：平面PAD⊥平面PCD．17．（14分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18．（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元．（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：①年平均收益最大时，以14万元出售该设备；②总收益最大时，以9万元出售该设备．问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？19．（16分）已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l ：y=kx ﹣4．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A 、B ，当∠AOB=时，求k 的值．（2）若k=1，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，问：直线CD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．（3）若EF 、GH 为圆O ：x 2+y 2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M （1，），求四边形EGFH 的面积的最大值．20．（16分）已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=，2a n =a n+1+a n ﹣1（n ≥2，n ∈N ?），数列{b n }满足：b 1＜0，3b n ﹣b n ﹣1=n （n ≥2，n ∈R ），数列{b n }的前n 项和为S n ．（Ⅰ）求证：数列{b n ﹣a n }为等比数列；（Ⅱ）求证：数列{b n }为递增数列；（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S n 取得最小值，求b 1的取值范围．江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．（5分）不等式x 2﹣2x ﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式x 2﹣2x ﹣3＜0，因式分解得：（x ﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x ＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．2．（5分）过两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，则m的值是0．考点：直线的倾斜角；直线的斜率．专题：直线与圆．分析：利用直线的斜率关系求解即可．解答：解：两点A（﹣2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45°，可得，解得m=0，故答案为：0．点评：本题考查直线方程的应用，直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查．3．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=17．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的等差数列的前两项之和，和S4﹣S2，根据三项成等差数列，根据等差数列的性质做出结果．解答：解：∵等差数列{a n}中，a1+a2=1，a3+a4=9，∴S2=1，S4﹣S2=9，∴S6﹣S4=2×9﹣1=17．故答案为：17．点评：本题考查等差数列的性质，在等差数列中S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n三项成等差数列，这是常用的等差数列的性质．4．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b=ab，则a+b的最小值是9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得+=1，可得a+b=（a+b）（+）=5++，由基本不等式求最值可得．解答：解：∵a＞0，b＞0，a+4b=ab，∴=1，即+=1，∴a+b=（a+b）（+）=5++≥5+2=9当且仅当=即a=6且b=3时取等号，故答案为：9点评：本题考查基本不等式求最值，适当变形是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．解答：解：因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°﹣（B+C）=30°在△ABC中有正弦定理有：故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理应用，在已知两角一边求另外边时采用正弦定理．6．（5分）圆x 2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值为4．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；数形结合．分析：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=，圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y ﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求解答：解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d=∴圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣1=4故答案为： 4点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值。
江苏省常州市高一下期末考试数学试卷及答案解析
第 1 页 共 22 页2020-2021学年江苏省常州市高一下数学期末试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数z =13+4i ，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为325+425iD ．复数的模为12．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如表：观看场数 0 1 2 3 4 5 6 7 观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m %12%6%2%从表中可以得出正确的结论为（ ） A ．表中m 的数值为8B ．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C ．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D ．估计观看比赛场数的众数为23．O 为△ABC 内一点，且OA →+OB →+2OC →=0→，AD →=tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．234．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ） A ．√33π B ．√33C ．√3πD ．√35．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16。
江苏省常州市高一下学期期末数学试卷
江苏省常州市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）一个年级共有20个班，每个班学生的学号都是1～50，为了交流学习的经验，要求每个班学号为22的学生留下，这里运用的是（）A . 分层抽样法B . 抽签法C . 随机抽样法D . 系统抽样法2. （2分）某校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（）A . 84B . 85C . 86D . 87.53. （2分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则是（）A . 乙胜的概率B . 乙不输的概率C . 甲胜的概率D . 甲不输的概率4. （2分）下列随机试验的数学模型属于古典概型的是（）A . 在适宜条件下，种一粒种子，它可能发芽，也可能不发芽B . 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C . 某射击运动员射击一次，试验结果为命中0环，1环，2环， (10)D . 四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会5. （2分）已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A . 3B . 1C . －5D . －66. （2分） (2016高一下·赣州期中) 在△ABC中，A=45°，B=60°，a=2，则b等于（）A .B .C .D . 27. （2分）(2018·南宁模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）若a、b、c，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）已知x，y的取值如下表所示：x234y645如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为=bx+，则b=（）A . -B .C . -D .10. （2分）已知数列中，，（），能使的可以等于（）.A . 14B . 15C . 16D . 17二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） 488被7除的余数为________．12. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 如图，当输入的x值为3时，输出y的结果是________13. （1分） (2018高二下·惠东月考) 设等比数列满足，则的最大值为________.14. （1分）已知直线y=x+b，b∈[﹣2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是________15. （1分） (2016高一上·虹口期中) 不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________三、解答题 (共5题；共50分)16. （10分） (2016高二上·衡水开学考) 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．17. （10分）(2018·广东模拟) 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知， .（1）若点是线段的中点，，求的值；（2）若，求的面积.18. （15分） (2017高一下·淮北期末) 一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y（1）列出所有可能结果．（2）求事件A=“取出球的号码之和小于4”的概率．（3）求事件B=“编号X＜Y”的概率．19. （10分）(2012·四川理) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a2an=S2+Sn对一切正整数n都成立．（1）求a1，a2的值；（2）设a1＞0，数列{lg }的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值．20. （5分） (2016高二上·桓台期中) 已知关于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b};（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共50分)16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。
江苏省常州武进区2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析.pdf
BD 面 EFGH ， AC 2 ， BD 4 , 当 EFGH 是菱形时， AE 的值是
．
EB
A
E
H
D B
G F
C
【答案】 1 2
【解析】
试题分析： 因为 AC 面 EFGH ， AC, EF 在平面 ABC 内，所以 AC EF , BEF BAC ，
BE EF
DH HG
BE DH
，同理得
，有 EF HG ，
率为 2 6 1 ，则折痕所在直线的斜率为 -1 ，所以折痕所在直线的方程为： y 4 04
由点 7,3 与点 m,n 关于 y 4
x 2 对称。则
3n 4
2 n3 1 m7
m7 2
2
所以 m n 2 。
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程
x 2，
m3
，
n1
11. 如右图所示， ABCD 是空间四边形， E , F , G, H 分别是四边上的点， 并且 AC 面 EFGH ，
的连线的斜率，所以其取值范围为
kAD , kCD ，所以其范围为
1 3, 。
2
考点：线性规划
10. 将一张坐标纸折叠一次，使点 0,2 与点 4,6 重合，且点 7,3 与点 m, n 重合，
则 m n 的值是
．
【答案】 2
【解析】
试题分析：点 0,2 与点 4,6 关于折痕对称，两点的中点坐标为 2,4 ，两点确定直线的斜
，
则 a ∥ . 其中所有正确的序号是
．
【答案】①③
【解析】
试题分析：①若 a // b ， a ，根据两平行线中一条垂直与平面，则另一条也垂直与平面， 所以 b ，故正确；②若 a b, a , ，则 b // 或 b ，故不正确；③若 a ， a ，
江苏省常州市2019-2020学年新高考高一数学下学期期末质量跟踪监视试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 2．已知sin 0θ<，tan 0θ>，那么θ是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（ ） A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．304．已知(,4),(3,2)a x b ==，a ∥b 则x =（ ） A ．6B ．38-C ．-6D ．385．不等式2230x x +->的解集为（ ） A ．()3,1- B ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ C ．()1,3-D ．(,1)(3,)-∞-+∞6．若直线1l ：280ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行 ，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或2C ．-2D ．1或-27．实数满足121x y y x -+⎧⎨≥-⎩,则3x y +的取值范围为（ ）A ．[]19， B ．[]39，C ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．392⎡⎤⎢⎥⎣⎦，8．已知在三角形ABC 中，2AB BC AC ===，、、A B C 点都在同一个球面上，此球面球心O 到平面ABC ，点E 是线段OB 的中点，则点O 到平面AEC 的距离是（ ）A B C ．12D ．19．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,2a b c ===，则cos B =（ ） A ．16B ．13C ．14D ．110．设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α==，若a 与b 共线，则角α=（ ） A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°11．将3sin 4y x =的图象向左平移12π个单位长度，再向下平移3个单位长度得到()y f x =的图象，若()f m a =，则π3f m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．a -B ．3a --C ．3a -+D ．6a --12．若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A ．{}n a λ（λ为常数） B ．{}n n a b + C ．{}22n n a b -D ．{}n n a b ⋅二、填空题：本题共4小题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若553S π=，则24cos()a a +=_______ 14．圆22640x y x y +-+=和圆22450x y x +--=交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________.15．（如下图）在正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=__________．16．已知圆C:()2269x y -+=，点M 的坐标为(2，4)，过点N(4，0)作直线l 交圆C 于A ，B 两点，则MA MB +的最小值为________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【压轴题】高一数学下期末试题(附答案)
【压轴题】高一数学下期末试题(附答案)一、选择题1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2B ．3C ．2D ．32．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．113．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元4．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6 C ．4 D ．25．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，7sin 4B =，574ABC S =△，则b =（ ） A ．23B ．27C ．15D ．146．已知集合 ，则A ．B ．C ．D ．7．已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b>8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．609．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生12．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题13．设a ＞0，b ＞033a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 14．抛物线214y x =-上的动点M 到两定点(0,1)(1,3)--、的距离之和的最小值为__________．15．不等式2231()12x x -->的解集是______． 16．已知ABC V ，135B o∠=，22,4AB BC ==，求AB AC ⋅=u u u r u u u r______．17．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是__________． 18．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___.19．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 20．关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 最大值为2；④()f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．三、解答题21．已知23()sin cos 3cos f x x x x =+- （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）求函数()f x 在[0，]π上的单调递增区间.22．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 23．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .24．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空，ABC ∆外的地方种草，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若1BC =，ABC θ∠=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，设ABC ∆的面积为1S ，正方形的面积为2.S(1)用θ表示1S 和2S ； (2)当θ变化时，求12S S 的最小值及此时角θ的大小. 25．已知数列{}n a 满足()*112112n n n n na a a n Nb a a +==∈=+，，，． ()1证明数列{}n b 为等差数列；()2求数列{}n a 的通项公式．26．ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (1)求sin sin BC； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2．A解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 3．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x⎛⎫++=+++≥+=+=⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题.5．D解析：D 【解析】 【分析】 利用正弦定理化简sin 5sin 2A cB b=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c，由sin 4B =，求得cos B ，最后利用余弦定理即可得到答案． 【详解】 由于sin 5sin 2A c B b=，有正弦定理可得： 52a c b b =，即52a c =由于在ABC V中，sin 4B =，4ABC S =△1sin 24ABC S ac B ==V ，联立521sin 24sin a c ac B B ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：5a =，2c = 由于B为锐角，且sin 4B =，所以3cos 4B ==所以在ABC V 中，由余弦定理可得：2222cos 14b a c ac B =+-=，故14b =（负数舍去） 故答案选D 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 试题分析：由得，所以，因为，所以，故选D.【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果. 【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯=本题正确选项：B 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.9．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.12．B解析：B 【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题13．【解析】由已知是与的等比中项则则当且仅当时等号成立故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质等比数列的性质其中熟练应用乘1法是解题的关键 解析：【解析】由已知0,0a b >>33a 与b 的等比中项，则233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．14．4【解析】【分析】【详解】由题意得交点设作与准线垂直垂足为作与准线垂直垂足为则 解析：4 【解析】 【分析】 【详解】由题意得交点(0,1)F - ，设(1,3)A - ，作AN 与准线垂直，垂足为N ，作MH 与准线垂直，垂足为H ，则314MA MF MA MH AN +=+≥=+=15．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题 解析：()1,3-【解析】 【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可． 【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3- 【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．16．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解【详解】由余弦定理可得：所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简单题解析：16 【解析】 【分析】由正余弦定理可得cos A ∠，由平面向量的数量积公式有：cos 165AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r ⋅=∠==，得解．【详解】由余弦定理可得：2222cos13540AC AB BC AB BC =+-⨯=o ，所以AC = 由正弦定理得：sin sin135BC ACA =∠o，所以sin A ∠=所以cos 5A ∠=，即cos 16AB AC AB AC A u u u r u u u r u u u r u u u r⋅=∠==， 故答案为16 【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题17．【解析】分析：利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y 的最小值详解：因为所以所以（当且仅当时等号成立）则的最小值是总上所述答案为点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情 解析：92【解析】分析：利用题设中的等式，把y 的表达式转化成14()()2a b a b++，展开后，利用基本不等式求得y 的最小值. 详解：因为2a b +=，所以12a b+=，所以14145259()()222222a b b a y a b a b a b +=+=+=++≥+=（当且仅当2b a =时等号成立），则14y a b =+的最小值是92，总上所述，答案为92. 点睛：该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，则2122221333n n T -=++++L 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析解析：①③ 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫=⎪⎝⎭以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当2x ππ<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数()y f x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，命题②错误；对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又22f π⎛⎫=⎪⎝⎭Q ，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >，又()()()00ff f ππ=-==Q ，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.三、解答题21．（1）对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈（2）单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ【解析】 【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式对函数进行整理，可得()sin(2)3f x x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈即可求出对称轴.（2）由（1）知，令222()232k x k k Z πππππ-+++∈剟，即可求出函数的单调递增区间，令0k =和1可求得函数在[0，]π上的单调递增区间. 【详解】解：（1）已知2()sin cos 2f x x x x =+-1sin 2cos 2)222x x =++-， sin(2)3x π=+，令2()32x k k Z πππ+=+∈，解得：()212k x k Z ππ=+∈， 所以函数()f x 的对称轴方程为()212k x k Z ππ=+∈. （2）由（1）得：令：222()232k x k k Z πππππ-+++∈剟，整理得：5()1212k x k k Z ππππ-++∈剟，当0k =和1时， 函数在[0，]π上的单调递增区间为[0，]12π和7[,]12ππ. 【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了三角函数的对称轴求解，考查了三角函数单调区间的求解.本题的关键是对函数解析式的化简.本题的易错点是在求单调区间时，解不等式求错. 22．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665. 【解析】【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果. 【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-， 所以()4sin πsin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±. 由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++，所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 23．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合几何体，因为,E G 分别是,BC SC 的中点，所以//EG SB .，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由,F G 分别是,DC SC 的中点，得//FG SD .由线面平行的判定定理//FG 平面11BDD B .，再由（1）知，再利用面面平行的判定定理证明.【详解】 证明： （1）如图，连接SB ，,E G Q 分别是,BC SC 的中点，//EG SB ∴.又SB ⊂Q 平面11,BDD B EG ⊄平面11BDD B ，所以直线//EG 平面11BDD B .（2）连接,,SD F G Q 分别是,DC SC 的中点，//FG SD ∴.又∵SD ⊂平面11,BDD B FG ⊄平面11,BDD B//FG ∴平面11BDD B .又EG ⊂平面,EFG FG ⊂平面,EFG EG FG G ⋂=， ∴平面//EFG 平面11BDD B . 【点睛】本题主要考查了线面平行，面面平行的判断定定理，还考查了转化化归的能力，属于中档题.24．（1）2121sin cos sin cos 41sin cos S S θθθθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，；（2）最小值944πθ=， 【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，可用,R θ表示,AB AC ，从而可求其面积，利用三角形相似可得PS 的长度，从而可得2S .（2）令sin 2t θ=，从而可得(]21144,0,14t t S t S ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，利用(]4,0,1s t t t=+∈的单调性可求12S S 的最小值.【详解】（1）在Rt ABC ∆中，cos ,sin AB AC θθ==，所以11sin cos 2S θθ=，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，. 而BC 边上的高为sin cos sin cos 1θθθθ=， 设APS ∆斜边上的为1h ，ABC ∆斜边上的高为2h ， 因APS ABC ∆∆:，所以12sin cos sin cos h PS PSBC h θθθθ-==， 故sin cos 1sin cos PS θθθθ=+，故222sin cos 1sin cos S PS θθθθ⎛⎫== ⎪+⎝⎭，02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.（2）()()212221sin cos 2sin 224sin 2sin cos 1si 1sin cos 2sin cos n cos S S θθθθθθθθθθθθ++===⎛⎫ ⎪+⎝⎭，令(]sin 2,0,1t t θ=∈，则()212214444t t S t t S+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭. 令(]4,0,1s t t t=+∈，设任意的1201t t <<≤， 则()()1212121240t t t t s s t t ---=>，故(]4,0,1s t t t=+∈为减函数， 所以min 5s =，故m 12in94S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时1t =即4πθ=. 【点睛】直角三角形中的内接正方形的问题，可借助于解直角三角形和相似三角形得到各边与角的关系，三角函数式的最值问题，可利用三角变换化简再利用三角函数的性质、换元法等可求原三角函数式的最值. 25．（1）见解析；（2）21n a n =+ 【解析】 【分析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列{}n b 为等差数列，确定数列{}n b 的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式． 【详解】()1证明：10a Q ≠，且有122nn n a a a +=+， ∴()*0n a n N ≠∈，又1n nb a =Q ， ∴1121111222n n n n n n a b b a a a +++===+=+，即()*112n n b b n N +-=∈，且1111b a ==， ∴{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列． ()2解：由()1知()111111222n n n b b n -+=+-⨯=+=，即112nn a+=， 所以21n a n =+．【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题. 26．（1）12；（2）1 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解. 试题解析： （1），1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠， ∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =． 由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =， ∴2BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD 中，由余弦定理可知，2222cos 222AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 22xAD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅ ∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232222x-=1x =， 即1AC =．考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．。
常州市名校2019-2020学年高一下期末统考数学试题含解析
常州市名校2019-2020学年高一下期末统考数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,若使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,则实数ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数的整数ω有且仅有一个,结合正弦函数的单调性,即可求得答案. 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,使得()f x 在区间,3πϕ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数可得0262263,,22362k k k Z k Z k k πππωωππππωϕπωϕπ⎧<≤--+≤-⎧⎪⎪⎪∈∴∈⎨⎨≤+⎪⎪+≤+⎩⎪⎩，， 当03πϕ-<≤时，满足整数ω至少有12，,舍去当0ϕ>时，0,(0,2]k ω=∈，30πωϕ<≤要使整数ω有且仅有一个, 须123πϕ≤<,解得:63ππϕ<≤ ∴实数ϕ的取值范围是,63ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选:A ． 【点睛】本题主要考查了根据三角函数在某区间上单调求参数值,解题关键是掌握正弦型三角函数单调区间的解法和结合三角函数图象求参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于难题.A ．22a b >B ．22a b >C ．||||a b >D ．11a b< 【答案】B 【解析】【分析】通过反例可排除,,A C D ；根据2xy =的单调性可知B 正确. 【详解】当1a =-，2b =-时，22a b <，a b <，则,A C 错误； 当1a =，1b =-时，11a b>，则D 错误； 由2xy =单调递增可知，当a b >时，22a b >，则B 正确 本题正确选项：B 【点睛】本题考查不等关系的判断，解决此类问题常采用排除法，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,已知3a=2,58a a +=16,则10a 为( )A ．8B ．128C ．28D ．14【答案】D 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得10a 的值. 【详解】依题意112221116a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1107127a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故101914a a d =+=.故选：D. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，属于基础题. 4．如右图所示，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k 则C ．132k k k <<D ．321k k k <<【答案】C 【解析】试题分析：由图可知10k <，230k k >>，所以231k k k >>，故选C ． 考点：直线的斜率．5．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩的可行域,再根据线性规划的方法,结合2y x z =-的图像与z 的关系判定最小值即可. 【详解】画出可行域,又2z x y =-求最小值时, 故2y x z =-的图形与可行域有交点,且2y x z =-往上方平移到最高点处.易得此时在()0,1处取得最值2011z =⨯-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题. 6．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】 利用正弦定理求出的值，由得出，可得出角的值，再利用三角形的内角和定理求出角的大小. 【详解】 由正弦定理得，则，，则，所以，，由三角形的内角和定理得，故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形内角和定理的应用，在解题时要注意正弦值所对的角有可能有两角，可以利用大边对大角定理或两角之和小于进行验证，另外就是要熟悉正弦定理解三角形所适用的基本情形，考查计算能力，属于中等题.7．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下： 甲：7，7，8，8，1； 乙：8，9，9，9，1．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用12x x ，表示，方差分别用2212s s ，表示，则 A ．221212x x s s >>， B ．221212x x s s ><， C ．221212x x s s <<， D ．221212x x s s <>，【答案】D 【解析】 【分析】分别计算平均值和方差，比较得到答案. 【详解】 由题意可得127788108999108955x x ++++++++====，，()()()()()222222178788888108655s -+-+-+-+-==，()()()()()222222289999999109255s -+-+-+-+-==. 故221212x x s s <>，.本题考查了数据的平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力. 8．函数22sin 2cos sin 3y x x x =+--的最大值是（）A ．34B ．34-C ．3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】令sin ,[1,1]t x t =∈-，再计算二次函数定区间上的最大值。
(高一下数学期末40份合集)常州市重点中学2019届高一下学期数学期末试卷合集
高一下学期期末数学试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．cos660o的值为( ).A.12-B.122.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：A.甲B.乙C.丙D.丁3.某全日制大学共有学生2018人，其中专科生有2018人，本科生有2018人，研究生有2018人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人.A.65,150,65B.30，150，100C.93,94,93D.80,120,804.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( ).A.r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B.r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C.r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D.r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 35.已知(,),()a 54b 3,2==，则与2a 3b -平行的单位向量为( ).A. B.(或C.(或D.y=sin(2x+π4)6.要得到函数y=cosx 的图象，只需将函数的图象上所有的点的( ).A.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B.横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 再向右平行移动π8个单位长度7.在如图所示的程序框图中，输入A=192，B=22， 则输出的结果是( ). A.0 B.2 C.4 D.68.己知α为锐角，且πtan(πα)cos(β)23502--++=，tan(πα)sin(πβ)61+++=，则sin α的值是( )..1A B C D 39.如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输 出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该 填入下面四个选项中的( ).A.c ＞x ？B.x ＞c ？C.c ＞b ？D.b ＞c ？ 10.在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且1AN NC 2=，P 是BN上的一点，若2AP mAB AC 9=+，则实数m 的值为( ).....11A B C 1D 39311.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx ＜0的解集是( ).ππππ.(,)(,)(,).(,)(,)(,)A 3013B 10132222----π.(,)(,)(,).(,)(,)(,)C 310113D 301132----12.关于x 的方程cos 2x 2x k 1+=+在π[,]02内有相异两实根，则k 的取值范围为( )A.(-3，l)B.[0,1)C.(-2，1)D.(0,2)第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若πsin(α)435-=，则πcos(α)6+=____________.14.茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的 平均成绩超过乙的平均成绩的概率是______. 15.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ， AP=3，点Q 是△BCD 内(包括边界)的动点，则AP AQ ⋅的取值范围是___________. 16.给出下列说法：①终边在y 轴上的角的集合是π{α|α,k Z}k 2=∈②若函数f(x)=asin2x+btanx+2，且f(-3)=5，则f(3)的值为-1③函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos πx(-2≤x ≤4}的图像所有交点的横坐标之和等于6，其中正确的说法是__________〔写出所有正确说法的序号) 三、解答题17.(本小题满分10分)已知||,||a 4b 3==.(1)若a 与b 的夹角为60o，求()()a 2b a 3b +⋅-；(2)若()()2a 3b 2a b -⋅+=61，求a 与b 的夹角 18.(本小题满分12分)已知函数πf(x)cos(x )sin 222x 3=-+，(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期； (2)若α为锐角，且αf()324=，求sin α的值.19,(本小题满分12分)某校从高一年级周末考试的学生中抽出6O 名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示： (1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(2)已知在[90，100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.20.(本小题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，-π2＜ϕ＜π2，x∈R)的部分图象如图所示.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)当x∈π[π,]6--时，求f(x)的取值范围.21.(本小题满分12分)设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(l)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0，t+1]任取的一个数，b是从区间[0,t]任取的一个数，其中t满足2≤t≤3，求方程有实根的概率，并求出其概率的最大值.22.(本小题满分12分)已知A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω＞0,π2-＜ϕ＜0)图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点P(l，，若|f(x1)-f(x2)|=4时，|x1-x2|的最小值为π3.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈π[,]6时，不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围。