湖南省2018年中考数学专题复习课件专题六 圆综合问题
专题六┃圆综合问题
题 型 解 读 题|型|1 切线类型题 【解题策略】 有关圆的切线的综合性问题，常结合圆周角、圆心角 转移角的位置，再结合垂径定理、等腰(等边)三角形、三角形相似(全等) 等知识求解，解题的关键是巧用辅助线，如利用直径，连接弦构造直 角；过切点，作半径，构造直角三角形；连接半径构造等腰三角形等． 例1 [2017·玉林]如图Z6－1，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦
专题六┃圆综合问题
∵CE∥BD，∴∠E＝∠ DBA＝30°， BC 3 ∴AC＝CE，∴ ＝ . CE 3 ∵∠CAB＝∠ BCF＝∠ CBD＝30°， ∴∠BCE＝30°， ∴BE＝BC，∴△CGB∽ △CBE， CG BC 3 ∴ ＝ ＝ . BC CE 3 ∵CG＝4，∴BC＝4
3，∴BE＝4
图Z6－2
专题六┃圆综合问题
1．解：(1)证明：连接OA，OE，OE交BC于点T.
∵AM是切线，∴∠OAM＝90°，∴∠PAD＋∠ OAE＝90°. ∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠ PDA＝∠ EDT. ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠ OEA， ∴∠EDT＋∠ OEA＝90°，∴∠DTE＝90°， ︵ ＝CE ︵. ∴OE⊥BC，∴BE (2)∵ ED，EA的长是一元二次方程x2－5x＋5＝0的两根， ∴ED·EA＝5.
专题六┃圆综合问题
∵OA＝OC，∴四边形AFCO是菱形， ∴AF＝AO＝OF，∴△AOF是等边三角形， ∴∠FAO＝2α＝60°，∴α＝30°. ∵2α＋β＝90°，∴β＝30°， ∴α＝β＝30°.
专题六┃圆综合问题
[变式训练] 1．[2017·鄂州]如图Z6－2，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上(异于 B，F)一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M，P为AM上一点，PB的 延长线交⊙O于点C，D为BC上一点，且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点 E. ︵； ︵ ＝CE (1)求证：BE (2)若ED，EA的长是一元二次方程x2－5x＋5＝0的两根，求BE的长； (3)若MA＝6 1 2，sin∠AMF＝ ，求AB的长． 3
图Z6－3
专题六┃圆综合问题
2．解：(1)证明：连接OC，∵∠BAC＝∠ CBD， ︵ ，∴OC⊥BD. ︵ ＝DC ∴BC ∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．
专题六┃圆综合问题
(2)证明：∵ AB为直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CF⊥AB，∴∠ACB＝∠ CFB＝90°. ∵∠ABC＝∠ CBF，∴∠A＝∠ BCF. ∵∠A＝∠ CBD，∴∠BCF＝∠ CBD， ∴CG＝BG. (3)连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠DBA＝30°，∴∠BAD＝60°. ︵ ＝DC ︵， ∵BC 1 ∴∠DAC＝∠ BAC＝ ∠ BAD＝30°， 2 ∴ BC 3 ＝tan 30°＝ . AC 3
专题六┃圆综合问题
思维分析 (1)首先证明∠DAE＝2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可 α＋β ＝90°(0°＜α＜45°)； 知________
菱 形，得出△AFO (2)连接CF，可以证明四边形AFCO是________
是等边三角形 ________，从而解决问题．
专题六┃圆综合问题
图Z6－1
专题六┃圆综合问题
，过点C作⊙O的切线DE，交AB的延长线于点E，过点A作切线DE 的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别 是α，β. (1)用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围； (2)连接OF，与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的 值．
专题六┃圆综合问题
2.[2017· 黔南州]如图Z6－3所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O， 点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点 F，交BD于点G，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E. (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)求证：CG＝BG； (3)若∠DBA＝30°，CG＝4，求BE的长．
湖南省2018年中考数学专题复习课件
专题六
圆综合问题
专题六┃圆综合问题
圆是中考中的重要内容，在每年的考试中，都有一道大题以圆 的形式呈现，考查的知识多为判断直线与圆的位置关系，牵涉的知 识有圆周角、圆心角、直角三角形、相似三角形、切线的性质与判 定、圆内接四边形等．在压轴题中，多与二次函数表达式、最值问 题、动点问题相结合，从而增加考试难度，体现其综合应用性．
解：(1)连接OC. ∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE. ∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ ACO. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠ OAC，∴∠DAE＝2α. ∵∠D＝90°，∴∠DAE＋∠ E＝90°， ∴2α＋β＝90°，∴β＝90°－2α(0°＜α＜45°)． (2)连接CF. ∵AO′＝CO′，∴AC⊥OF， ∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠ FCA＝∠ CAO， ∴CF∥OA. ∵AF∥OC， ∴四边形AFCO是平行四边形．
专题六┃圆综合问题
︵ ＝CE ︵ ，∴∠BAE＝∠ EBD. ∵BE ∵∠BED＝∠ AEB，∴△BED∽ △AEB， ∴ BE DE ＝ ， AE EB
∴BE2＝DE· EA＝5，∴BE＝ 5. (3)作AH⊥OM于点H.在Rt△AMO中， 1 OA ∵AM＝6 2，sinM＝ ＝ ， 3 OM ∴设OA＝m，OM＝3m， ∴9m2－m2＝72，∴m＝3， ∴OA＝3，OM＝9.易知∠ OAH＝∠ M， OH 3 ＝ ， AH 6 2 ∴OH＝1，AH＝2 2，BH＝2， ∴tan∠OAH＝ ∴AB＝ AH2＋BH2＝ （2 2）2＋22＝2 3.
3.
专题六┃圆综合问题
题|型|2 非切线类型题 【解题策略】 圆中非切线类型题主要综合圆周角定理、相似三角形、全 等三角形的判定与性质及扇形的面积与弧长公式的应用等知识． 例2 [2017· 恩施州]如图Z6－4，AB，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦， 且BE∥CD，过点C的切线与EB的延长线交于点P，连接BC. (1)求证：BC平分∠ABP； (2)求证：PC2＝PB· PE； (3)若BE－BP＝PC＝4，求⊙O的半径．
2018年中考数学复习第6单元圆第27课时与圆有关的计算课件湘教版
正多边形和圆的关系非常密切，将一个圆n(n≥3)等分， 依次连接各等分点所得的多边形叫作这个圆的内接正多边形 ，这个圆是这个正多边形的外接圆．正多边形的外接圆的圆 心叫作正多边形的________ 中心 ．
拓展：正多边形的有关计算的常用公式． (1)有关角的计算： ①正 n 边形的内角和＝(n－2)²180°，外角和＝360°； （n－2）²180° 360° ②正 n 边形的每个内角＝ ，每个外角＝ ； n n
|针对训练| 1． 【2017²达州】如图 27－5，将矩形 ABCD 绕其右下角 的顶点按顺时针方向旋转 90°至图①位置，继续绕右下 角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图②位置，以此类推， 这样连续旋转 2017 次．若 AB＝4，AD＝3，则顶点 A 在整 个旋转过程中所经过的路径总长为(D )
[解析] 连接 BC，∵∠A＝90°， ∴BC 为直径，即 BC 过圆心 O. 由勾股定理求得 AB＝AC＝ 2， ∴S 扇 2 nπ R 1 ＝ π. 形＝ 360 2
图 27 －3
回归教材
考点聚焦
考向探究
第六单元┃ 圆
5． 【九下 P82 习题 2.6 第 7 题改编】如图 27－4，在矩形 ABCD 中，AD＝2，以 B 为圆心，BC 长为半径画弧交 AD 于 F，且 2 ︵ CF长为 π . 3 (1)求圆心角∠CBF 的度数； (2)求图中阴影部分的面积(结果保留根号及π 的形式)．
[解析] (1)半径为6 cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长 为＝4π (cm)．
回归教材 考点聚焦 考向探究
第六单元┃ 圆 (2)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm
，则此扇形的半径是________cm. 24 解析：(2)设扇形的半径是r，则＝20π ，解得r＝24(cm)．
中考数学总复习 第六单元 圆 第36课时 圆的综合问题课件
【解析】
(3)3+ 3
120×π×4
解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∴∠COE=120°,∴劣弧 CE 的长为
180
8
= π.
3
(2)证明:如图,连接 OF, ∵∠COE=120°,∴∠DOE=60°,∵EF∥CD,∴∠OEF=60°,
∵OE=OF,∴△OEF 是等边三角形,∴EF=OE,∠FOE=60°,∴∠COF=∠COE-60°=60°,
∵OC=OF,∴△OCF 是等边三角形,∴CF=OC,∴EF=OE=CF=OC,∴四边形 EFCO 是菱形.
(3)作 CH⊥AB 于点 H,可得∠CHD=∠CHB=90°,在 Rt△CHB 中,∵∠ABC=60°,BC=6,∴BH=3,CH=3 3.
1
在
Rt△CHD 中,∵tan∠CDB=3,∴DH= CH= 3,∴BD=3+ 3.
2021/12/9
图 36-7
第七页，共二十五页。
60°
.
课前考点过关
5
8.[2018·泰州] 如图 36-8,△ABC 中,∠ACB=90°,sinA= ,AC=12,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到
13
△A'B'C,P 为线段 A'B'上的动点,以点 P 为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P 与△ABC 的边相切时,☉P 的
5
(2)若 CD=15,BE=10,tanA= ,求☉O 的直径.
12
图 36-11
2021/12/9
第十三页，共二十五页。
课堂互动探究
【答案】(1)BD 为☉O 的切线
(2)
专题06 圆的有关动点综合问题-2018届突破中考数学压轴题讲义(解析版)
【类型综述】综合题是指学生在不同的学习阶段所学的知识，不同章节所学的知识，特别是代数、几何不同学科中所学的知识，综合运用进行解题的数学题目，它既能考察同学们对数学基础知识基本方法掌握的熟练程度，又能考察综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
几何中关于圆的综合题大致可分为：（1）以几何知识为主体的综合题；（2）代数、几何知识相结合的综合题；（3）圆中的探索型问题；【方法揭秘】直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．如图1，直线443y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标．“既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个．假设圆C与直线AB相切于点D，设CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点C的坐标为(0,4－5m)．罗列三要素：对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；圆心距OC＝4－5m．分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1．把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴．相同的是，对于圆O，r＝1；对于圆C，R＝3m；不同的是，圆心距OC＝5m－4．图1【典例分析】例1 如图1，直线AB与x轴交于点A(－4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动．同时将直线34y x以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由．图1思路点拨1．用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来．2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行．3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小．满分解答（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t ＝t ．解得t ＝209． 此时OD ＝0.6t ＝43．所以BD ＝433-＝53． 作DE ⊥AB 于E ．在Rt △BDE 中，sin B ＝45，BD ＝53，所以DE ＝BD ·sin B ＝43． 因此OD ＝DE ，即圆心D 到直线AB 的距离等于圆D 的半径．所以此时圆D 与直线AB 相切于点E （如图4）．图2 图3考点伸展在本题情境下，点P 运动到什么位置时，平行四边形ACDP 的面积最大？S 平行四边形ACDP ＝AC ·DO ＝43(4)55t t -⨯＝21212+255t t -＝2125()3252t --+． 当52t =时，平行四边形ACDP 的面积最大，最大值为3． 此时点P 是AB 的中点（如图5）．图4 图5例2如图1，PQ 为圆O 的直径，点B 在线段PQ 的延长线上，OQ ＝QB ＝1，动点A 在圆O 的上半圆上运动（包含P 、Q 两点），以线段AB 为边向上作等边三角形ABC ．（1）当线段AB 所在的直线与圆O 相切时，求△ABC 的面积（如图1）；（2）设∠AOB ＝α，当线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）时，求α的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB 与圆O 有两个公共点A 、M 时，如果AO ⊥PM 于点N ，求CM 的长（如图3）．图1 图2 图3思路点拨1．过点B 画圆O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意．2．第（3）题发现AO //MQ 很重要，进一步发现NO 、MQ 是中位线就可以计算了．满分解答此时等边三角形ABC 3602︒=，所以S △ABC图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B 画圆O 的切线，切点为G ．如图8，弧GQ 上的每一个点（包括点G 、Q ）都是符合题意的点A ，即线段AB 与圆O 只有一个公共点（即A 点）．如图9，弧GP 上的每一个点A （不包括点Q ）与点B 连成的线段AB ，与圆O 都有两个交点A 、M ．图7 图8 图9例3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3思路点拨1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答（1）在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8．过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形．在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658OA =．图5 图6图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85BF =． 在Rt △OMF 中，OF ＝8421055x x --=-，所以222426()()55OM x =-+． 在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45BQ =． 在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055x x --=-，所以222463()()55OP x =-+． ①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155x -+=没有实数根． ②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425x OA == ③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658x OA ==．例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，cos A ＝14，点P 是边AB 上的动点，以P A 为半径作⊙P ． （1）若⊙P 与AC 边的另一个交点为D ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，求AP 的长；（3）若⊙C 的半径等于1，且⊙P 与⊙C AP 的长．图1 备用图思路点拨1．△PCD 的底边CD 上的高，就是弦AD 对应的弦心距．2．若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C 的半径等于1，公共弦MN CMN 是等腰直角三角形．在四边形CMPN 中，利用勾股定理列关于x （⊙P 的半径）的方程．满分解答（1）如图2，在Rt △ABC 中， AC ＝4，cos A ＝14，所以AB ＝16，BC ＝设弦AD 对应的弦心距为PE ，那么AE ＝14AP ＝14x ，PE x ．所以y ＝S △PCD ＝12CD PE ⋅＝11(4)224x x -⨯＝2162x x -+． 定义域是0＜x ＜8． （2）若⊙P 被直线BC 和直线AC 截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF ＝PE ．因此四边形AEPF 是正方形（如图3），设正方形的边长为m ．由S △ABC ＝S △ACP ＋S △BCP ，得AC ·BC ＝m (AC ＋BC )．所以m此时AE ＝4，AP ＝4AE图2 图3图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PF ＝14BP ＝1(16)4x -，由PE ＝PF 1(16)4x x =-．解得x =．例5如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a、b、c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种情况，其中MA＝MN和NA＝NM两种情况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝此时x ＝OH ＝2．所以点P 的纵坐标为222112)1)444x ===+③如图5，当NA ＝NM 时，点P 的纵坐标为也为4+图4 图5考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以2114PB x ==+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．【变式训练】1.(2017北京第29题)在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 上存在一点Q ，使得P Q 、两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点． （1）当O 的半径为2时，①在点123115,0,,,0222P P P ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭中，O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y x =-上，若P 为O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线1y x =-+与x 轴、y 轴交于点A B 、．若线段AB 上的所有点都是C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）①23,P P ≤x ≤－2 或2 ≤x ≤2，（2）－2≤x ≤1或2≤x ≤本题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===, 点1P 与⊙的最小距离为32 ，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ∴⊙的关联点为2P 和3P ．（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴令y=0得，-x+1=0,解得x=1，令得x=0得，y=0，∴A(1,0) ,B (0,1) ,分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3,∴点C坐标为，C ( -如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，∴CD=1 ,如图4,当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3,在Rt△OCB中，由勾股定理得=, C点坐标为．考点：切线，同心圆，一次函数，新定义.2. （2017广东广州第25题）如图14，AB 是O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．（1）求证：045CAB ∠=；（2）若直线l 为O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,B D A B B D =所在的直线与AC 所在的直线相交于点E ，连接AD ．①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论；②EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）①AE AD = ②2BECD=（2）①如图所示，作BF l ⊥ 于F 由（1）可得，ACB ∆ 为等腰直角三角形.O 是AB 的中点. CO AO BO ∴== A C B ∴∆ 为等腰直角三角形.又l 是O 的切线，OC l BF l ∴⊥⊥∴ 四边形OBEC 为矩形 22AB BF BD BF ∴=∴=303075BDF DBA BDA BAD ∴∠=︒∴∠=︒∠=∠=︒，15901575CBE CEB DEA ∴∠=︒∠=︒-︒=︒=∠，,ADE AED AD AE ∴∠=∠∴=②当ABD ∠ 为钝角时，如图所示，同样，1,302BF BD BDC =∴∠=︒ 1801501509015152ABD AEB CBE ADB ︒-︒∴∠=︒∠=︒-∠=︒∠==︒，，AE AD ∴=考点：圆的相关知识的综合运用3.(2017湖南湘潭第26题)如图，动点M在以O为圆心，AB为直径的半圆弧上运动（点M不与点A B、及AB的中点F重合），连接OM.过点M作ME AB⊥于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，过M点作O的切线交射线DC于点N，连接BM、BN.（1）探究：如左图，当M动点在AF上运动时；①判断OEM MDN∆∆是否成立？请说明理由；②设ME NCkMN+=，k是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；③设MBNα∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点M在FB上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）【答案】(1)①成立，理由见解析；②为定值1；③ 为定值45°；（2）不发生变化.试题解析：（1）①成立，理由如下：过点M作ME⊥AB于点E，以BE为边在半圆同侧作正方形BCDE，∴∠MEO=∠MDN=90°，∴∠MOE+∠EMO=90°过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∴∠DMN+∠EMO=90°∴∠MOE=∠DMN∴△OEM∽△MDN②k是定值1，理由如下：过点B作BG⊥MN,∵过M点的O的切线交射线DC于点N，∴∠OMN=90°，∵BG⊥MN,∴∠BGM=90°，③α为定值45°，理由如下：由②知：∠OBM=∠MBG, △BNG ≌△BCN, ∴∠GBN=∠CBN, ∵正方形BCDE ， ∴∠EBC=90°， ∴∴∠MBN=01452EBC ∠=(2)不发生变化.4. （2017湖南株洲第26题）已知二次函数y=﹣x 2+bx +c +1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程； ②若c=14b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？ ③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =，求二次函数的表达式．【答案】①.二次函数的对称轴的方程为x=12； ②.b 为22与x 轴相切；③. 二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1．出△OAM ∽△OMB ，得出OM 2=OA•OB ，由二次函数的图象与x 轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），得出方程（c +1）2=c +1，得出c=0，OM=1，证明△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ，得出DE BD OM OD =，OM OADF AD=，得出OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1，由x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，得出方程组122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解方程组求出b 的值即可．试题解析：①二次函数y=﹣x 2+bx +c +1的对称轴为x=2b ，当b=1时，2b =12， ∴当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程为x=12．③∵AB 是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM +∠OBM=90°， ∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM +∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM ， ∴△OAM ∽△OMB ，∴OM OAOB OM=，∴OM 2=OA•OB ， ∵二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），∴OA=﹣x 1，OB=x 2，x 1+x 2，=b ，x 1•x 2=﹣（c +1），∵OM=c +1，∴（c +1）2=c +1， 解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足13DE EF =， ∴AD=BD ，DF=4DE ，DF ∥OM ，∴△BDE ∽△BOM ，△AOM ∽△ADF ， ∴,DE BD OM OA OM OB DF AD ==，∴DE=BD OB ，DF=AD OA ，∴AD BDOA OB=×4，∴OB=4OA ，即x 2=﹣4x 1， ∵x 1•x 2=﹣（c +1）=﹣1，∴122114x x x x ⋅=-⎧⎨=-⎩，解得：12122x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴b=﹣12+2=32，∴二次函数的表达式为y=﹣x 2+32x +1． 考点：二次函数综合题；二次函数的性质．5． （2017哈尔滨第26题）已知：AB 是O ⊙的弦，点C 是AB 的中点，连接OB 、OC ，OC 交AB 于点D .(1)如图1，求证：AD BD =；(2)如图2，过点B 作O ⊙的切线交OC 的延长线于点M ，点P 是AC 上一点，连接AP 、BP ，求证：90APB OMB -=∠∠°.(3)如图3，在(2)的条件下，连接DP 、MP ，延长MP 交O ⊙于点Q ，若6MQ DP =，3sin 5ABO =∠，求MP MQ 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）518PM MQ =.试题解析：（1）如图1，连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC BC =，∴∠AOC=∠BOC ，∵OA=OB ，∴OD ⊥AB ，AD=BD ； （2）如图2，延长BO 交⊙O 于点T ，连接PT∵BT是⊙O的直径，∴∠BPT=90°，∴∠APT=∠APB﹣∠BPT=∠APB﹣90°，∵BM是⊙O的切线，∴OB⊥BM，又∠OBA+∠MBA=90°，∴∠ABO=∠OMB，又∠ABO=∠APT，∴∠APB﹣90°=∠OMB，∴∠APB﹣∠OMB=90°；考点：圆的综合题．6.（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣29x2﹣49x+169（2）证明见解析（3）50415120试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴∠MAG=∠ABO ． ∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠MAG+∠OA B=90°，即∠MAB=90°． ∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°， ∴∠FPE=∠FBD ． ∴tan ∠FPE=12．∴PF ：PE ：2：1．∴△PEF 的面积=12PE•EF=1215PF 2．考点：二次函数综合题7.（2017年四川省内江市第27题）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE．（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PB=PE；（3）123．【解析】试题分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP 的长，与半径的差就是PQ的最小值．试题解析：（1）如图1，连接BC ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，∴BC AC =，∴∠A =∠ABC ，∵EC =AE ，∴∠A =∠ACE ，∴∠ABC =∠ACE ，∵∠A =∠A ，∴△AEC ∽△ACB ，∴AC AEAB AC=，∴AC 2=AE •AB ；（3）如图3，∵N 为OC 的中点，∴ON =12OC =12OB ，Rt △OBN 中，∠OBN =30°，∴∠COB =60°，∵OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∵Q 为⊙O 任意一点，连接PQ 、OQ ，因为OQ 为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小，当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小，∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A =12∠COB =30°，∴∠PEB =2∠A =60°，∠ABP =90°﹣30°=60°，∴△PBE 是等边三角形，Rt △OBN 中，BN ∴AB =2BN =设AE =x ，则CE =x ，EN =x ，Rt △CNE 中，2222)x x =+，x =3，∴BE =PB =3=3，Rt △OPB 中，OP 3，∴PQ ﹣4PQ ．考点：圆的综合题；最值问题；探究型；压轴题．8. （2017年浙江省杭州市第23题）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，点C 在劣弧AB 上（不与点A ，B 重合），点D 为弦BC 的中点，DE ⊥BC ，DE 与AC 的延长线交于点E ，射线AO 与射线EB 交于点F ，与⊙O 交于点G ，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ， （1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【答案】（1）β=α+90°，γ=﹣α+180°（2）5试题解析：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BC A=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，考点：1、圆的综合问题，2、勾股定理，3、解方程，4、垂直平分线的性质9.(2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD 上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和CM的度数；（2）求证：AC=AB。
湖南省2018年中考数学复习专题检测专题六 圆综合问题
湖南省2018年中考数学复习专题检测专题(六)圆综合问题1．[2017·南京]如图ZT6－1，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.图ZT6－12．[2017·西宁]如图ZT6－2，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB的延长线于点F.(1)求证：DE⊥AC；(2)若AB＝10，AE＝8，求BF的长．图ZT6－23．[2017·遵义]如图ZT6－3，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于点C，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．图ZT6－34．[2017·金华]如图ZT6－4，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上的一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.(1)求证：AC平分∠DAO.(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.①求∠OCE的度数．②若⊙O的半径为2 2，求线段EF的长．图ZT6－45．如图ZT6－5，已知AB是⊙O的切线，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E 为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)求证：△CFP∽△CPD；(3)如果CF＝1，CP＝2，sin A＝45，求点O到DC的距离．图ZT6－56．如图ZT6－6，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC＝PF；(3)若tan∠ABC＝43，AB＝14，求线段PC的长．图ZT6－67．[2017·深圳]如图ZT 6－7，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是CBD ︵上任意一点，AH ＝2，CH ＝4.(1)求⊙O 的半径r 的长度； (2)求sin ∠CMD ；(3)直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE·HF 的值．图ZT 6－7参考答案1．证明：(1)如图，连接OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP.又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC. (2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°. ∵∠C ＝30°，∴∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°. ∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC＝12∠APC＝12×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.又OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.2．解：(1)证明：连接OD，AD，∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵AB＝AC，∴D是BC的中点．又∵O是AB中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC.(2)∵AB＝10，∴OB＝OD＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE＝OFAF＝BF＋OBBF＋AB，设BF＝x，∴58＝x ＋5x ＋10，解得x ＝103.经检验，x ＝103是原分式方程的根，且符合题意， ∴BF ＝103.3．解：(1)证明：连接AO ，BO ， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，PA ＝PB ，∠APO ＝∠BPO ＝12∠APB ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠AOP ＝∠CAO ＋∠ACO ，∴∠ACO ＝30°， ∴∠ACO ＝∠APO ，∴AC ＝AP. 同理BC ＝PB ，∴AC ＝BC ＝BP ＝AP ， ∴四边形ACBP 是菱形．(2)连接AB 交PC 于点D ，∴AD ⊥PC. ∵OA ＝1，∠AOP ＝60°，∴AD ＝32OA ＝32，∴PD ＝32，∴PC ＝3，AB ＝3，∴菱形ACBP 的面积＝12AB·PC ＝3 32.4．解：(1)证明：∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD. ∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD. ∴∠DAC ＝∠ACO.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO.∴∠DAC＝∠OAC.∴AC平分∠DAO.(2)①∵OC∥AD，∴∠EOC＝∠DAO＝105°.∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E＝180°―105°―30°＝45°.②如图，过点O作OG⊥CE于G，可得FG＝CG.在Rt△OGC中，OC＝2 2，∠OCE＝45°，∴OG＝CG＝OC sin 45°＝2 2×22＝2.∴FG＝CG＝2.在Rt△OGE中，OG＝2，∠E＝30°，∴EG＝OGtan E＝233＝2 3.∴EF＝EG－FG＝2 3－2.5．解：(1)证明：连接OD.∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．在Rt△ADB中，E为AB中点，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB.又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵∠OBD＋∠ABD＝90°，∴∠ODB＋∠EDB＝90°.∴ED是⊙O的切线．(2)证明：∵PF⊥BC，∴∠FPC＝90°－∠BCP.∵∠PDC＝90°－∠PDB，∠PDB＝∠BCP，∴∠FPC＝∠PDC.又∵∠PCF是公共角，∴△PCF ∽△DCP.(3)过点O 作OM ⊥CD 于点M ，∵△PCF ∽△DCP ，∴PC DC ＝FCPC ， ∴PC 2＝CF·CD ， ∵CF ＝1，CP ＝2，∴CD ＝4，∴CM ＝2.易知sin ∠DBC ＝sin A ＝sin ∠MOC ＝45， ∴DC BC ＝45，即4BC ＝45， ∴BC ＝5，∴CO ＝52， ∵MC ＝2，∴MO ＝32， ∴点O 到DC 的距离为32.6．解：(1)证明：∵PD 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PD. 又∵AD ⊥PD ， ∴OC ∥AD ， ∴∠ACO ＝∠DAC. ∵OC ＝OA ， ∴∠ACO ＝∠CAO ， ∴∠DAC ＝∠CAO ， 即AC 平分∠DAB. (2)∵AD ⊥PD ，∴∠DAC ＋∠ACD ＝90°. 又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠PCB＋∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB.又∵∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB.∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF.(3)∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴PCPB＝ACBC.又∵tan∠ABC＝43，∴ACBC＝43，∴PCPB＝43，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k＋7，OC＝7，∵PC2＋OC2＝OP2，∴(4k)2＋72＝(3k＋7)2，∴k＝6(k＝0不合题意，舍去)．∴PC＝4k＝4×6＝24.7．解：(1)如图①，连接OC.∵AB⊥CD，∴∠CHO＝90°.在Rt△COH中，∵OC＝r，OH＝r－2，CH＝4，∴r2＝42＋(r－2)2，∴r ＝5.(2)如图①，连接OD. ∵AB ⊥CD ，AB 是直径， ∴AD ︵＝AC ︵＝12CD ︵， ∴∠AOC ＝12∠COD. ∵∠CMD ＝12∠COD ， ∴∠CMD ＝∠COA ，∴sin ∠CMD ＝sin ∠COA ＝HC CO ＝45.(3)如图②，连接AM.∵AB 是直径，∴∠AMB ＝90°， ∴∠MAB ＋∠ABM ＝90°. ∵∠E ＋∠ABM ＝90°， ∴∠E ＝∠MAB ， ∴∠MAB ＝∠MNB ＝∠E. ∵∠EHM ＝∠NHF ，∴△EHM ∽△NHF ，∴HE HN ＝HMHF ， ∴HE ·HF ＝HM·HN. ∵HM ·HN ＝AH·HB ，∴HE ·HF ＝AH·HB ＝2·(10－2)＝16.。
中考数学复习讲义课件 专题6 圆的综合题
[解答] 证明：∵EF∥BC，BC⊥AB， ∴EF⊥AD. ∵E 是 AD 的中点，∴FA＝FD.∴∠FAD＝∠D. ∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠DCB＝90°. ∴∠DCB＝∠G. ∵∠DCB＝∠GCF，∴∠GCF＝∠G.∴FC＝FG.
∴∠C＝∠AOB＝60°. 又∵OC＝OD，∴△COD 是等边三角形． ∴∠COD＝60°. ∴∠AOD＝180°－60°－60°＝60°＝∠AOB. 又∵OD＝OB，AO＝AO， ∴△AOD≌△AOB(SAS)． ∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即 OD⊥AD. 又∵点 D 在⊙O 上， ∴AD 是⊙O 的切线．
4 3.
[点评] 此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角 三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC＝60°是解第(2) 问的关键．
ห้องสมุดไป่ตู้
1．(2021·张家界)如图，在 Rt△AOB 中，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°， 以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 BO 的延长线于点 C，过点 C 作 OA 的平 行线，交⊙O 于点 D，连接 AD. (1)求证：AD 为⊙O 的切线； 证明：连接 OD. ∵∠OAB＝30°，∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝60°. ∵CD∥OA，
(2)若 BC＝ 3，AC＝5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长． 解：连接 CD 交 OB 于 H，设⊙O 的半径为 r. 由(1)知∠2＝∠4，∴OB∥AC． ∵O 是 AD 的中点，∴H 是 CD 的中点． ∴OH＝12AC＝52，且 OH⊥CD. ∴OD2＝OH2＋HD2. ∴r2＝522＋HD2＝522＋BD2－BH2