高等电磁场理论习题解答(作业)
(完整版)电磁场理论习题及答案7.
习题:1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。
当该导线以速度24x y m v e e s=+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求感应电动势.解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。
有 ()in v B dl ε=⨯⋅⎰ 根据已知条件,得2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==⨯=+⨯+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为0.520[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-⋅=-⎰2。
长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。
当其在恒定磁场0z B e B =中以角速度ω旋转时,求导体棒中的感应电动势。
解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=⨯⋅⎰根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为200001()()2llLin z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=⨯⋅=⨯⋅==⎰⎰⎰3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。
解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数.考察麦克斯韦第一方程，有 11()BH B B μμμ∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯211B B μμμ=-∇⨯+∇⨯D E J J t tε∂∂=+=+∂∂ 所以E BB J t μμμεμ∂∇⨯∇⨯=++∂ 而 ()D E E E εεερ∇⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=，于是,微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为E BB J t μμμεμ∂∇⨯∇⨯=++∂ B E t∂∇⨯=-∂ 0B ∇⋅= E E εερ∇⋅+∇⋅= 对于无耗媒质，0σ=,因此有0J =。
1高等电磁理论第一章答案1
D 8 0 E0 (ex e y ez )
4 2 2 x 4 3 1 1 （2） D = ε E = ε0 2 4 2 E0 y = 0 E0 0 ，解得 x ， y ， z 2 2 2 2 2 4 z 0
E ex104 ei(t 20 z ) e y 104 e
i(t 20 z ) 2
（V m）
试求： （1）平面波的传播方向； （2）电磁波的频率； （3）波的极化方式； （4）磁场强度
H； （5）电磁波流过沿传播方向单位面积的平均功率。
解： （1）由 k r 20 z 可得 k 20 ez ，即波的传播方向为 e z （2）由 k
k (e x e z )( x z ) 2 则k ， k E 0 ，是平面电磁波。 k (e - e ) ( x z ) x z 2 由 k E H ，可得
k ( zx) i 2k 2 E0 e ey 1 H kE k ( x z ) i 2k 2 E e ey 0
1-9 若媒质的介电常数和磁导率都是空间坐标的函数，即分别为 r 、 r ，则该媒
（1）
E ( E ) 2 E i H 2 (r ) E
E得
5
2 E 2 0 E ( E
令 k 2 2 0 ，可得
( r ) ) (r )
2 E k 2 E E
Η
1
1
kE
(20 e z ) [10 e
4 i (t 20 z )
e x 10 e
4
山东大学网络教育电气工程及其自动化电磁场导论作业及答案
1. 同轴电缆内外导体半径分别为R 1和R 2，长度为l ，中间为线性各向同性电介质，相对电容 率 εr =2。
已知内外导体间的电压为U ， 求：1）介质中的D 、E 和P ；2）内导体表面的自由电荷量q 3）介质内表面的极化电荷量qP 解：设内导体表面带电量为q ，由qd s =⋅⎰s D得r l r q e D ⋅=π2rr l r q l r q e e D E ⋅=⋅==004)2(2πεεπε由于1200ln 442121R R l qr dr l q d U R R R R πεπε==⋅=⎰⎰l E内导体的自由电荷量120ln4R R lU q πε= (C)故得介质中的场强rR R r Ue E 12ln ⋅=rR R r UeE D 120ln2⋅⋅==εεrr R R r UR R r U U ee E D P 12012000lnln 2⋅⋅=⋅-=-=εεεε介质内表面的极化电荷量0012211122lnln P sUl Uq d R l R R R R R επεπ⋅⋅=-⋅=-⋅=-⋅⎰P s 2.长直圆柱体导磁材料的半径为a ，磁导率μ ，μ0，已知其被永久磁化，磁化强度 M = M 0e z ，求：1）永磁材料表面上单位长度的磁化电流I m 2）永磁材料中的B 和H解：1）因磁化强度M=M 0e z 沿z 轴方向，所以圆柱体表面的磁化电流沿圆周e α方向，单位长度通过的磁化电流为1M Md I z z m =⋅=⋅=⎰e e l M (A)2）圆柱体永磁材料的表面有磁化电流，相当于无限长螺线管。
众所周知，其外部B =0；内部为均匀场，由于永磁体表面无自由电流，故 mm lI I I d 00)(μμ=+=⋅∑⎰l B即 l M l B ∆=∆⋅00μ，所以 M e B 000μμ==z M (Wb/m2)M BH -=μ000=-=M Mμμ （A/m ）3.长直载流导线通电流i (t)= I m sin ωt ，附近有一单匝矩形线框与其共面(如图所示)。
高等电磁理论第三章答案3
第三章 稳恒电流场的边值问题3-1 在电导率为σ的均匀半空间表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以I +和I -向媒质中供电。
试根据电场的叠加原理，求出A 和B 两个点电流源在表面上M 点形成的电位。
解：易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I RΦπσ=，同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电位为2B IRΦπσ=-，则叠加后介质中任意一点的总电位为22A BI IR R Φπσπσ=-对于表面上一点M （设其坐标为(0)x ,）而言，||A R x L =+，||B R x L =-，则有22||||2||2||2||I I I x L x L x L x L x L Φπσπσπσ--+=-=+--3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以电流强度I +和I -向地下供电，在地下建立稳定电流场。
试解答如下问题：（1）求A 和B 连线中垂线上h 处电流密度h j 的表达式；（2）计算并绘图说明深度为h 处的电流密度h j 随AB 的变化规律；（3）确定使h j 为最大时，供电电极距AB 与h 的关系式。
解：（1）易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A IRΦπσ=，则31()()()=22A I I E R RσσΦσπσπ==⋅-∇=⋅-⋅∇Rj 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电流密度为32B I Rπ=-Rj ，叠加后得介质中任意一点的电流密度为3322A BA BI I R R ππ=-R R j 在A 、B 连线的中垂线上，A B R =R ，A B =2L ρ-R R e ，则有3322222()I I L L R L h ρρππ=⋅=⋅+j e e （2）（3）设3222()()f L L L h -=⋅+，对其求导可得35'2222222()()3()f L L h L L h --=+-+令其等于0，得22230L h L +-=，解得L = 故h j 为最大时电极距AB 与h 的关系为22AB L ===3-3 在习题3-2中，电极距AB 时，均匀各向同性半空间中h 深度处的电流密度最大。
高等电磁理论习题答案
高等电磁理论习题答案【篇一：电磁场理论补充习题及解答】ass=txt>一、填空与简答1、2、ddadbdduda?a?u3、若a,b为矢量函数，u为标量函数，(a?b)?，(ua)?，dtdtdtdtdtdtddbdaddbda(a?b)?a???b，(a?b)?a???b， dtdtdtdtdtdtdadadu?如果a?a(u),u?u(t)， dtdudt4、?表示哈密顿算子（w.r. hamilton），即??ex????ey?ez。
数量场u梯度和矢量?x?y?z场a的散度和旋度可表示为grad u??u，div a???a，rot a???a。
4、奥氏公式及斯托克斯公式可为??a?ds????(??a)dv，a?dl?(??a)?ds 。
s?ls5、亥姆霍兹（h.von helmholtz场。
6、高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：e?ds?sq?07、电偶极子（electric dipole正电荷指向负电荷。
8、根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。
极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。
等效体电荷密度和面电荷密度分别为?(r?)?????p(r?)，?sp?p(r?)?n 。
9、在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即n?(d2?d1)?场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即n?(e2?e1)?0。
10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而?s，电不是以电荷或电位的形式存在于空间的。
场中任一点的能量密度为we?11、1e?d。
2欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即j??e。
2导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即p??e。
12、在恒定电场中，电流密度j在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即n?(e2?e1)?0，n?(j2?j1)?0。
重庆大学电磁场习题答案习题（第4章）
重庆大学电磁场习题答案习题（第4章）第四章习题答案4-4 设磁矢量位的参考点为无穷远处，计算一段长为2m 的直线电流I 在其中垂线上距线电流1m 的磁矢量位值。
解：选圆柱坐标，在z '处取元电流段z e I l I'dz d ＝，元电流段产生的元磁矢量位为z 0e R4z Id A d πμ'=整个线电流产生的磁矢量位：C e R z Id 4A z 2l 2l 0+'=-//πμ 其中 22z R '+=ρ，电流有限分布，参考点选在无穷远处，所以积分常数C 为零。
()()2222ln 44z 2222022220e l l l l I e z z Id A z l l //////++-++=?'+'=-ρρπμρπμ 将 l =2 ，1=ρ 带入上式，得z e I A1212ln π40-+=μ4.5解：由恒定磁场的基本方程，磁感应强度一定要满足0B ?=，因此，此方程可以作为判断一个矢量是否为磁感应强度B 的条件。
4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两个平面分别在2d z -=和2d z =且平行与xO y 平面。
相应的面电流密度分别为x e k 和y e k,求由两个无限大平面分割出来的三个空间区域的磁感应强度。
解：由例题4-7结果，分别求出面电流x e k 和y e k产生的磁场，然后应用叠加原理，x e k产生的磁场为：ρy图4-4-<->-2d z e 2K 2d z e 2K B y 0y 01,,)()(μμ＝ y e k产生的磁场为><-2),(22),(2002d z e K d z e K B x xμμ＝由叠加原理知：>+-<<-+--<-=2),(222,)(22),(2000d z e e K d z d e e K d z e e K B xy x y x yμμμ4-7 参见教材例4.84-8 如题图4-8所示，同轴电缆通以电流I ，求各处的磁感应强度。
电磁场作业题答案全
第1章 矢 量 分 析1.1 什么是场？什么是矢量场？什么是标量场？什么是静态场？什么是时变场？答：如果在空间某一个区域内上任意一点都有一确定物理量值与之对应，则这个区域就构了一个物理量的场。
如果这个确定物理量值是一个标量（只有大小没有方向），我们称这种场为标量场，如温度场、密度场、电位场等等。
如果这个确定物理量值是一个矢量（既有大小又有方向），我们称这种场为矢量场，如电场、磁场、重力场等等。
如果在场中的这个物理量仅仅是空间位置的函数，而不是时间的函数（即不随时间变化的场），我们称这种场为静态场。
如果在场中的这个物理量不仅仅是空间位置的函数，而且还是时间的函数（即随时间变化的场），我们称这种场为时变场。
1.2 什么是标量？什么是矢量？什么是常矢？什么是变矢？什么是单位矢量？答：一个物理量如果仅仅只有大小的特征，我们称此物理量为标量。
例如体积、面积、重量、能量、温度、压力、电位等。
如果一个物理量不仅仅有大小，而且还具有方向的特征，我们称此物理量为矢量。
例如电场强度，磁感应强度、电位移矢量、磁场强度、速度、重力等。
一个矢量如果其大小和方向都保持不变的矢量我们称之为常矢。
如果矢量的大小和方向或其中之一是变量的矢量称为变矢。
矢量与矢量的模值的比值，称为单位矢量。
即模值为1的矢量称为单位矢量 1.3什么是等值面？什么是等值面方程？什么是等值线？什么是等值线方程？答：在标量场中许多相同的函数值（他们具有不同的位置）。
构成的曲面，称为等值面。
例如，温度场中由相同温度构成的等温面，电位场中相同电位构成的等位面等都是等值面。
描述等值面的方程称为等值面方程。
假定()z y x u ,,是坐标变量的连续可微函数。
则等值面方程可表述为 ()C z y x u =,, （c 为任意常数）在标量场中平面中相同的函数值构成的曲线，称为等值线。
描述等值线的方程称为等值线方程。
假定()y x u ,是坐标变量的连续可微函数。
则等值线方程可表述为 ()C y x u =, （c 为任意常数） 1.4求下列电场的等位线方程 (1) z x =ϕ， (2) 224y x +=ϕ 解：根据等值线方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位线方程为⑴ xz c ==ϕ，即 z cx =； ⑵ c 422=+=y x ϕ 即 k y ==+c4x 22 （为常数k ）1.5 求下电场的等值面方程 1） 1222z y x ++=ϕ， 2） )z -z ()()x -= 202020+++y y x （ϕ， 3）)++ln(=222z y x ϕ 解：根据等值面方程的定义即电位函数应为一常数，所以等位面方程为⑴ c1222=++=z y x ϕ 即 2222c 1k z y x ==++ ⑵ c )z -z ()()x -= 202020=+++y y x （ϕ 即 22202020)()()(k c z z y y x x ==-+-+- ⑶ ()c z y x =++222ln 即 2222k e z y x c ==++，（k 为常数）1.6 什么方向导数？什么梯度？梯度与方向导数的关系？答：在标量场中任一点在某一方向上的变化率称为方向导数。
高等电磁理论习题答案
高等电磁理论习题答案【篇一：电磁场理论补充习题及解答】ass=txt>一、填空与简答1、2、ddadbdduda?a?u3、若a,b为矢量函数，u为标量函数，(a?b)?，(ua)?，dtdtdtdtdtdtddbdaddbda(a?b)?a???b，(a?b)?a???b， dtdtdtdtdtdtdadadu?如果a?a(u),u?u(t)， dtdudt4、?表示哈密顿算子（w.r. hamilton），即??ex????ey?ez。
数量场u梯度和矢量?x?y?z场a的散度和旋度可表示为grad u??u，div a???a，rot a???a。
4、奥氏公式及斯托克斯公式可为??a?ds????(??a)dv，a?dl?(??a)?ds 。
s?ls5、亥姆霍兹（h.von helmholtz场。
6、高斯定理描述通过一个闭合面的电场强度的通量与闭合面内电荷的关系，即：e?ds?sq?07、电偶极子（electric dipole正电荷指向负电荷。
8、根据物质的电特性，可将其分为导电物质和绝缘物质，后者简称为介质。
极化介质产生的电位可以看作是等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的。
等效体电荷密度和面电荷密度分别为?(r?)?????p(r?)，?sp?p(r?)?n 。
9、在静电场中，电位移矢量的法向分量在通过界面时一般不连续，即n?(d2?d1)?场强度的切向分量在边界两侧是连续的，即n?(e2?e1)?0。
10、凡是静电场不为零的空间中都存储着静电能，静电能是以电场的形式存在于空间，而?s，电不是以电荷或电位的形式存在于空间的。
场中任一点的能量密度为we?11、1e?d。
2欧姆定理的微分形式表明，任意一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即j??e。
2导体内任一点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，即p??e。
12、在恒定电场中，电流密度j在通过界面时其法向分量连续，电场强度的切向分量连续，即n?(e2?e1)?0，n?(j2?j1)?0。
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第一章基本电磁理论1-1 利用Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell方程导出其频域形式。
（作1-2—1-3）解：付氏变换和付氏逆变换分别为：麦氏方程：对第一个方程进行付氏变换：（时谐电磁场）同理可得：上面四式即为麦式方程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为当外加电场强度为(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5)求出产生的电通密度。
（作1-6）解：将E分别代入，得：1-3 设各向异性介质的介电常数为试求：(1) 当外加电场强度时，产生的电通密度D；(2) 若要求产生的电通密度，需要的外加电场强度E。
（作1-7—1-8）解：即：.附：又所以1-6 已知理想导电体表面上某点的电磁场为试求该点表面电荷及电流密度。
解：由已知条件，理想导体表面某点：(1-6-1)(1-6-2)知该点处的法向单位矢量为： (1-6-3)理想导体表面上的电磁场满足边界条件：(1-6-4)(1-6-5)将(1-6-2)、(1-6-3)式代入(1-6-4)式，得该点处的表面电流密度为：(1-6-6)将(1-6-1)、(1-6-3)式代入(1-6-5)式，得该点处的表面电荷密度为：(1-6-7)1-9 若非均匀的各向同性介质的介电常数为, 试证无源区中的时谐电场强度满足下列方程:（作1-9）证明：非均匀各向同性介质中（无源区）的时谐电磁场满足(1-9-1)(1-9-2)对(1-9-2)式两边取旋度，并利用(1-9-1)得又所以 (1-9-3)又在非均匀各向同性介质中即 (1-9-4)将(1-9-4)代入(1-9-3)，得即第2章平面电磁波2-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解：非均匀各向同性线性媒质中，正弦电磁场满足的Maxwell方程组为(2-1-1)(2-1-2)(2-1-3)(2-1-4)对(2-1-2)式两边取旋度，并应用(2-1-1)得即对(2-1-1)式两边取旋度，并应用(2-1-2)得所以非均匀各向同性媒质中，正弦电磁场满足的波动方程为 (2-1-5)(2-1-6)由(2-1-4)式得即 (2-1-7)由(2-1-3)式得即 (2-1-8)利用矢量关系式，并将(2-1-7)(2-1-8)式代入，得电磁场满足的亥姆霍兹方程为(2-1-9)(2-1-10)均匀介质中，无源区中2-4 推导式（2-2-8）。
解：已知在无限大的各向同性的均匀线性介质中，无源区的正弦电磁场满足齐次矢量Helmholtz方程：其中，设复传播常数，则由得即所以由等号两边实部和虚部对应相等得解以上方程组得2-6 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
证：任一椭圆极化平面波可写为令，，则上式变为上式表示两个旋转方向相反的圆极化平面波之和，因此证明了一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
2-7 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
解：圆极化平面波的电场强度的瞬时值表达式可写为：上式等价于磁场强度的瞬时值表达式为：其中表示波阻抗。
因此能流密度的瞬时值表达式为：因此圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
2-8 设真空中圆极化平面波的电场强度为V/m试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。
解：由真空中圆极化平面波的电场强度表达式知传播常数，所以波长：频率：因为此圆极化平面波的传播方向为方向，且电场强度分量相位超前分量相位，因此为左旋圆极化平面波。
磁场强度可写为能流密度为：2-9 设真空中平面上分布的表面电流，式中为常数。
试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解：平面上分布的表面电流将产生向+z和-z方向传播的两个平面波。
设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和，向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为和。
由电磁场在z=0平面处满足的边界条件可得：(2-9-1)(2-9-2)又，所以即 (2-9-3)将(2-9-3)代入(2-9-1)得：得 (2-9-4)所以 , z>0 (2-9-5)， z>0 (2-9-6)同理， z<0 (2-9-7), z<0 (2-9-8)其中为真空波阻抗。
能流密度：， z>0, z<02-10 若在上题中有一个无限大的理想导电表面位于z = d平面，再求解其结果。
解：由2-9题知，平面上分布的表面电流将产生方向极化向和方向传播的两个平面波。
为计算方便，本题均采用复矢量表示形式。
如图2-10所示，设向+z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为向-z方向传播的电磁波的电场和磁场分别为假设理想导电平面位于处，则表面电流向+z方向传播的平面波在理想导体表面产生反射。
设反射波的电场和磁场分别为：由电场在理想导体表面处切向分量为零的边界条件，得（1）由z=0处电场和磁场满足的边界条件，得：（2）即（3）联立解（1）（2）（3）得：，，所以，，，在区域：在区域：，在区域：电磁场为零。
复能流密度：（z>0）2-13 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1V/m，入射角为60，介质的电磁参数为，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。
解：在真空中：波阻抗为，传播常数为介质中的波阻抗为，传播常数为设折射角为，则所以，即(1) 对于平行极化波，有反射系数透射系数可见此时平面波发生无反射现象，折射波的电场振幅为；(2) 对于垂直极化波，有反射系数透射系数因此反射波和折射波的电场振幅均为。
2-16 已知电场强度为的平面波向三层介质边界正投射，三种介质的参数为，，，中间介质夹层厚度，试求各区域中电场强度及磁场强度。
解答：由电场强度知，传播常数rad/m，波长m。
在中间介质中的波长为m，传播常数rad/m。
介质三中的波长为m，传播常数rad/m。
三种介质中的波阻抗分别为：，，介质一（z≤0）中入射波电场和磁场强度为，，令反射电场和磁场强度为，介质二(0<z≤d)中，令入射波和反射波的电场和磁场强度分别为：，，介质三（z>d）中，令入射波的电场强度为。
则在和处有电场和磁场切向分量连续得：由以上四式可解得,，，则各区域的电场和磁场强度为：，，，，，第三章辅助函数3-1.由Lorentz 条件导出电荷守恒定律。
解答：已知矢量磁位和标量电位分别满足：(3-1-1)(3-1-2)由(3-1-1)得 (3-1-3)所以将Lorentz条件代入上式得：电荷守恒定律得证。
3-3 已知在圆柱坐标系中，矢量磁位，式中。
试求对应的电场强度和磁场强度。
解：已知 (3-3-1)(3-3-2)(3-3-3)将(3-3-1)式代入(3-3-2)、(3-3-3)式，并在圆柱坐标系下展开得3-4 使用Hertz矢量求解电流元Il和磁流元I m l产生的电磁场。
（作3-7—3-12）解：设电流元和磁流元均沿z轴放置于原点。
电流元产生的电Hertz位和磁流元产生的磁Hertz位分别满足由以上两式求得(参见戴书p23)所以电流元产生的电磁场磁流元产生的电磁场为3-7 证明式（3-3-4）至式（3-3-7）。
证：无源区域中有即由此可得由（1）（5）两式可得：式中同理可证的表达式。
（见讲义p8）3-20试证式（3-8-16）。
证明：设并矢，则3-21试证式（3-8-19）至式（3-8-21）。
证明：所以设则所以第4章电磁定理和原理4-1 利用磁场边界条件,证明位于无限大理想导电平面附近的垂直电流元及磁流元的镜像关系。
证明：(1) 如图4-1(a)所示，在无限大理想导电平面附近放置一垂直电流元，在镜像位置放置一镜像电流元，根据电流元产生的电磁场的分布知，，在理想导电体表面产生的磁场强度方向均沿导体切向方向，所以满足理想导电体表面磁场法向分量为零的边界条件，且上半空间的源仍为。
因此引入镜像源前后上半空间的源和边界条件均未改变，根据唯一性原理知，上半空间的场未改变。
(2) 如图4-1(b)所示（图中有误，垂直磁流源应为负像，H与l平行），在无限大理想导电平面附近放置一垂直磁流元，在镜像位置放置一镜像磁流元，则其产生的矢量电位分别为产生的磁场强度分别为若满足，则在理想导电体表面上的磁场强度的法向分量为零，与原来的边界条件相同，且上半空间源未变，因此上半空间的电磁场与原来相同。
4-3 长度为l，宽度为w的裂缝天线位于无限大的理想导电平面，如习题图4-3所示。
若缝隙中的电场强度为利用对偶原理，根据对称天线的结果直接导出其空间辐射场。
（作4-10—4-14）lwxyz习题图4-3解答：对称天线的辐射场为:由对偶原理知，将以上两式中换为，换为，可得裂缝天线的辐射场为：4-4 利用矢量Green定理，导出积分形式的互易定理。
证明：设区域中的两组同频源，和，产生的电磁场分别满足(4-4-1)(4-4-2)及(4-4-3)(4-4-4)已知第二矢量Green定理为(4-4-5)令，代入上式得利用(4-4-2)和 (4-4-4)，(4-4-6)式右端化为(4-4-7)利用(4-4-1) — (4-4-4)，(4-4-6)式左端化为(4-4-8)由(4-4-6), (4-4-7), (4-4-8)得因为，和，在表面内，因此(4-4-9)式中含有，和，项的面积分为零，所以(4-4-9)式化为上式即为积分形式的的互易定理。
(另证见书p161,较简单)4-5 证明位于任意形状理想导电体附近的垂直磁流元的空间辐射场为零。
证明：如图4-5所示，在理想导电体附近放置一垂直于理想导电体表面的磁流源，其在空间某点产生的磁场强度为，在该点放置另一个与方向相同的同频磁流源。
则在理想导电体表面附近产生的磁场强度应平行于理想导电体表面，即垂直于磁流源。
对，应用Carson互易原理，得即又，所以因为为任意假定的，所以证明任意形状的理想导电体附近的垂直磁流源的空间辐射场为零。
4-10 若位于的球面上的表面电流和表面磁流分别为试证区域内的电磁场与电流元Il的电磁场相等，区域内的电磁场为零。
证明：沿轴放置的电流元产生的电磁场可写为假设在区域的电磁场和电流元产生的电磁场相等，区域的电磁场为零，则在表面上必存在面等效源电流元和面等效磁流元，且由边界条件可得由以上可见，面等效源电流元和面等效磁流元与题中给出的表面电流和表面磁流恰好相等。
因此由唯一性定理知，表面上的表面电流和表面磁流在区域产生的电磁场与电流元产生的电磁场相等，在区域内的电磁场为零。