数学分析-第三讲-连续与一致连续

第三讲 连续与一致连续一、 知识结构1、 函数连续的概念和定义函数连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，并且函数)(x f 的图象是连续不断的，我们称函数)(x f 在区间I 上连续.(1) 函数)(x f 在点0x 连续的相关定义定义1 设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，如果)()(lim 00x f x f x x =→，则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =→.^定义1′设函数)(x f 定义在);(δ0x U 内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续.定义 2 设函数)(x f 定义在);(δ0x U +内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤00x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点连续. 记作)()(lim 00x f x f x x =+→.定义 3 设函数)(x f 定义在);(δ0x U -内，对0>∀ε，∃0>'δ，当δδ<'<-≤x x 00时，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数)(x f 在0x 点左连续. 记作)()(lim 0_x f x f x x =→.(2) 函数)(x f 在区间I 上连续定义1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义1′固定),(0b a x ∈, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内连续.定义 2 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续, 则我们称函数)(x f 在区间],(b a 连续.定义 3 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间),[b a 连续.^定义 4 如果函数)(x f 在区间),(b a 内任意一点连续，并且在点b 左连续、点a 右连续, 则我们称函数)(x f 在区间],[b a 上连续.2、 函数一致连续的概念和定义函数一致连续的概念: 如果函数)(x f 在区间I 上有定义，函数)(x f 的图象是连续不断的，并且函数)(x f 的图象没有铅直的渐进线，我们称函数)(x f 在区间I 上一致连续.例如，函数xx f 1=)(在区间),(10内连续，但不一致连续. 定义1对),(0b a x ∈∀, 0>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时(b x a x ≤+≥-δδ00,)，有ε<-)()(0x f x f ,则我们称函数在区间),(b a 内一致连续.定义1′设函数)(x f y =在区间()b a ,上有定义，x x ''',是区间()b a ,内的任意一点, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f ,则我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续.说明: 对给定的0>ε, 由于区间()b a ,内的点对x x ''',有无穷多个, 所以对每一对x x ''',均存在一个δ, 进而有无穷多个δ, 无穷多个δ中有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上一致连续. 无穷多个δ中没有最小的, 我们称函数)(x f 在区间()b a ,上不一致连续.定理 1 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一致连续.)说明: 如果函数)(x f 在开区间()b a ,内连续，则函数)(x f 在开区间()b a ,内不一定一致连续.3、 函数)(x f 的间断点（不连续点）定义1 如果)()(lim 00x f x f x x ≠→，我们称函数在点0x 间断.(1) 第一类间断点定义2 如果极限)(lim x f x x 0→存在，但不等于)(0x f ，我们称点0x 为函数的可去间断点.定义2 如果极限)(lim x f x x +→0与)(lim x f x x -→0都存在但不相等，我们称点0x 为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点. (2) 第二类间断点&非第一类间断点称为第二类间断点，即)(lim x f x x 0→不存在，或)(lim x f x x +→0不存在，或)(lim x f x x -→0不存在，具体情况如下：①∞=→)(lim 0x f x x ；②∞=→)(lim 0x f x x 趋向于两个以上的数；③∞=+→)(lim 0x f x x ；④)(lim x f x x +→0趋向于两个以上的数；⑤∞=-→)(lim 0x f x x ；⑥)(lim x f x x -→0趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=为无理数时，当为有理数时，，当x x x D 01)(定义域()+∞∞-,上的任意一点为第二类间断点. 因为⎩⎨⎧=→为无理数时当为有理数时当x x x D x x ,0,,1)(lim 0,所以)(lim 0x D x x →不存在. 再例如,对函数x 1sin,00=x 是函数的第二类间断点. 因为x x x 10sinlim +→不存在(x x sin lim +∞→不存在前面已证).连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上. 二、解证题方法 1、连续例1 (天津大学2006年)证明: 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续(用δε-语言证明).证明因为)(624212424322+-=--+--x x x x x x , 对0>∀ε, 存在{}118,min εδ=, 当δ<-4x 时, 有ε≤-≤+-=--+--184624212424322x x x x x x x )(,所以函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+--=42142424322x x x x x x x f ,,,)(在4=x 处连续.?例2(天津大学2005年)证明:函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续(用δε-语言证明).证明 因为0==→ππn x nx sin sin lim , R x ∈, 所以, 对0>∀ε，∃0>δ，当δ<-n x 时，有επ<-0x sin . 又因x x f πsin )(≤, R x ∈, 所以ε<-0)(x f . 故函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f ,,,sin )(0π在n x =处连续.例3 (复旦大学2002年)证明函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续. 证明 取nx n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为,)()(1=-=-nn nn n n y x x y y f x f 所以, 存在10=ε,对所有0>δ,当δ<-n n y x 时, 有,)()(1≥-=-nn n n n n y x x y y f x f 故函数x x f 1=)(在区间],(10上不一致连续.证法 2 取nx n 1=,11+=n y n , ,,,321=n ,则],(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而1=-∞→)()(lim nn n y f x f ,所以函数xx f 1=)(在区间],(10上不一致连续.例4(中北大学2005年)证明函数xx x x f 112sin )(++=在区间),(10内不一致连续, 在],[21与),[+∞2上均一致连续.证明 取πn x n 21=,221ππ+=n y n , ,,,321=n ,则),(,10∈n n y x .因为0=-∞→n n n y x lim ,而224228=++++=-∞→∞→ππππn n y f x f n n n n lim )()(lim ,所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间),(10上不一致连续.由于函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[21上连续, 所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[21上一致连续.》由于函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[12+A 上连续, 所以函数xx x x f 112sin )(++=在区间],[12+A (2>A )上一致连续.因为0112=++=+∞→+∞→xx x x f x x sin lim )(lim ,对2>A ,当A x x >''',时,有ε<''-')()(x f x f . 进而函数xx x x f 112sin )(++=在区间),[+∞A (2>A )上一致连续.例5 (北京工业大学2005年)设)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数，试证明{})(),(max )(x g x f x F =为区间()b a ,上的连续函数.证明 因为{}[])()()()()(),(max )(x g x f x g x f x g x f x F -++==21， 所以只要证明)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数即可.对()b a x ,∈∀0,由于)(x f 和)(x g 为区间()b a ,上的连续函数, 所以,对>∀ε，∃0>δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ,ε<-)()(0x g x g .又因ε20000<-+-≤---)()()()()()()()(x g x g x f x f x g x f x g x f ,所以)()(x g x f -为区间()b a ,上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,其值域为[])(),(b f a f ,证明)(x f 在],[b a 上连续.证明 因为函数)(x f 为],[b a 上的单调增函数,所以函数)(x f 在],[b a 上任意一点的极限都存在.;如果函数)(x f 在],[b a 上不连续,则函数)(x f 在],[b a 上存在间断点0x ,如果a x =0,则00>-+)()(a f a f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(0+a f a f 上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果b x =0,则00<--)()(b f b f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(b f b f 0-上的值,这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 如果()b a x ,∈0，则不等式0000<--)()(x f x f 及0000>-+)()(x f x f 至少有一个成立,不妨设0000<--)()(x f x f .由函数)(x f 在],[b a 上的单调性知, 函数)(x f 无法取到[])(),(000x f x f -上的值, 这与函数)(x f 的值域为[])(),(b f a f 矛盾. 故函数)(x f 在],[b a 上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程)()()(y f x f y x f =+的惟一不恒为零的连续函数是指数函数()+∞∞-∈=,,)(x a x f x,其中01>=)(f a .分析:要说明函数)(x f 是指数函数xa ,应证明①0>)(x f ;②[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数;③01>=)(f a .证明首先证明①>)(x f .因为222222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x f x f x x f x f )(,又因为0000≠==-⋅)()()()()(x f x f f x f x f (因为)(x f 在()+∞∞-,上不恒为零,所以存在()+∞∞-∈,0x ,使00≠)(x f ).所以0≠)(x f ,进而0>)(x f .其次证明[]cx f cx f )()(=,其中c 是实数.a) 当0=c 时, 由)()()(0000f x f x f =≠得10=)(f 得10=)(f . b)当nc =,n为正整数时,[]nn nx f x f x f x x f nx f )()()()(==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= .c)当nmc =,m n ,为正整数时, |mm m n x f n x f n x f n x n x f x n m f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,又因为nn n n x f n x f n x f n x n x f x n n f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,所以[]n x f n x f 1)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛.进而()[]n mx f x n m f =⎪⎭⎫ ⎝⎛. d)当nmc -=,m n ,为正整数时, ()[][]n m nm nm nm x f x f x f f x f x n m f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-)()()()(10, e) 当c 为无理数时,有有理数列{}n c ,使得c c n n =∞→lim .因函数)(x f 连续,所以[][][]c c c n n n x f x f x f x c f cx f n n n )(lim )()(lim )(lim )(====∞→∞→∞→. 最后证明01>=)(f a .因为0>)(x f ,所以01>=)(f a .…例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调函数，定义)()(0+=x f x g .证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.分析：不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.要证明函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续，只要证明对任意一点R x ∈0，0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有ε<-≤)()(00x g x g . 证明 不妨设函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数.设0x 是区间()+∞∞-=,R 上的任意一点, 因为)0()(00+=x f x g ,即()00)(lim )0(0x g x f x f x x ==++→,所以,对0>∀ε，∃0>δ，当δ≤-≤00x x 时，有εδ<-+)()(00x g x f ,即εδε<-+<-)()(00x g x f .εδδ<-+=-+)()()()(0000x g x f x g x f ,又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数, 所以)()()(δ+≤+=00x f x f x g ,故ε<-)()(0x g x g .又因函数)(x f 是区间()+∞∞-=,R 上的单调增函数,所以())()()(x g x f x f x g =+≤+=0000,进而ε<-)()(0x g x g .所以函数)(x g 在区间()+∞∞-=,R 上的每一点都右连续.例9(中北大学2005年)设函数()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=<-=,0,41ln 1,0,6,0,arcsin arctan )(23x x x ax x e x x xx ax x f ax 问:(1)a 为何值时,)(x f 在0=x 处连续;(2) a 为何值时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.解 (1) 因为()()212203030113lim arcsin lim arcsin arctan lim -→→→--=-=----xax x x ax x x ax x x x)()()()a xa xx ax xx ax x x x 616lim16lim13lim2320232023220-=--=--=--=-→-→-→---,41lim 41ln 1lim 2020x x ax x e x x ax x e ax x ax x ⋅--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++→→ 42212lim 212lim 2200+=+=-+=++→→a e a x a x ae ax x ax x ,所以,当64262=+=-a a 时,即1-=a 时,函数)(x f 在0=x 处连续.(2)当66422≠-=+a a 时, 0=x 是)(x f 的可去间断点.即2-=a 时,0=x 是)(x f 的可去间断点.例10设函数()2222220,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩,试讨论(,)f x y 在点()0,0的连续性、偏导数存在性、可微性. 解 （1）连续性 因为()()()()()22,0,0,0,0lim(,)lim sin 0(0,0)x y x y f x y x y f →→⎡⎤=+==⎢⎢⎣，所以(,)f x y 在点()0,0连续.（（2）偏导数存在性 因为()()()()()xxx xf x f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim )0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sin lim0,0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=→∆∆x x y x ，()()()()()yyy yf y f y x y x ∆∆∆=∆-∆+→∆∆→∆∆1sinlim )0,0(0,0lim20,0,0,0,()()01sin lim0,0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆=→∆∆y y y x ，所以)0,0(x f 与)0,0(y f 均存在，且都等于零. （3）可微性 因为]ρρdff -∆→0lim()()[]()()[]ρρdy f dx f f y x f y x 0,00,00,00,0lim+--∆+∆+=→()()ρρ001sin lim22220+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∆+∆∆+∆→y x y x 01sin lim 1sin lim 0220=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆→→ρρρρρy x ，所以()f df o ρ∆-=，进而函数(,)f x y 在点()0,0可微. 练习[1] (电子科技大学2005年)设函数)(x f 定义在()b a ,上,()b a c ,∈,又设)(x H 和)(x G 分别在),[],,(b c c a 上连续且在),(c a 和()b c ,内是)(x f 的原函数.令⎩⎨⎧<≤+<<=bx c C x G c x a x H x F ,)(,),()(0,其中选择0C 使)(x F 在c x =处连续,就下列情况,回答)(x F 是否是)(x f 在()b a ,上的原函数.(1))(x f 在c x =处连续;`(2) c x =是)(x f 的第一类间断点; (3) c x =是)(x f 的第二类间断点.解(1)当)(x f 在cx =处连续时,因为)()(lim )(lim )()(lim)(c f x f x F cx c F x F c F c x c x c x =='=--='→→→,所以)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数.(2)因为 c x =是)(x f 的第一类间断点,且)(x F 在c x =处连续, 所以)()(lim )(lim c f x f x f cx cx ≠==+→→或)(lim )(lim x f x f cx cx =+→→≠.当)()(lim )(lim c f x f x f cx c x ≠==+→→时,由)(lim )(lim )()(lim )(x f x F c x c F x F c F c x c x c x +++→→→+='=--='得,)()(lim )(c f x f c F cx ≠='+→+,所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.当)(lim )(lim x f x f cx c x =+→→≠时, )(c f 不存在,即)()(c f c F ≠'.所以)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.(3)不能判断.例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=--.,,,sin sin )(0001121x x xnx x nx x f n n 当21,=n 时,0=x 是)(x f 的第二类间断点,取⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,,,,sin )(0001x x xx x F n当2=n 时,)(sin lim )()(lim )(00100000f xx x F x F F x x ===--='→→,故)(x F 是)(x f 在()b a ,上的原函数.当1=n 时,)(sin lim )()(lim)(00100000f xx F x F F x x =≠=--='→→,故)(x F 不是)(x f 在()b a ,上的原函数.[2] (电子科技大学2003年,江苏大学2004年)证明区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.证明 不妨设函数)(x f 是单调增函数,并且设()b a x ,∈0是函数)(x f 的间断点.因为())()(lim 0000x f x f x f x x ≤=--→,())()(lim 0000x f x f x f x x ≥=++→,并且函数在0x 不连续,所以不等式())(000x f x f ≤-,())(000x f x f ≥+至少有一个取>或<号,所以0x 是跳跃间断点,即区间()b a ,上的单调函数)(x f 的一切不连续点都为第一类间断点.[3](上海交通大学2003年,深圳大学2006年)定义函数如下:。