商不变的规律
数学教案-商不变的规律
数学教案－商不变的规律引言商是数学中的一个常见概念，它描述了两个数相除的结果。
在实际生活中，我们经常会遇到商不变的规律。
这个规律指的是，如果我们在分子和分母中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。
本文将介绍商不变的规律的概念和应用，并提供一些相关的例子和练习。
商不变的规律的概念商不变的规律是数学中的一个基本原理，也是我们运用除法操作时常常利用到的一条性质。
简而言之，商不变的规律指的是，如果我们在被除数和除数中都乘（或除）以一个同样的数，那么商的结果不会改变。
换句话说，我们可以对被除数和除数同时进行相同的乘（或除）操作，而不会改变最终的商。
商不变的规律的应用商不变的规律在解决实际问题中起到了重要的作用。
以下是一些常见的应用场景：比例问题在比例问题中，我们常常需要求解未知的比例关系。
这时，我们可以利用商不变的规律来简化问题。
例如，如果一辆车以每小时60公里的速度行驶，那么3小时行驶的距离是多少？我们可以通过将速度和时间都除以3，得到车辆每小时20公里的速度。
然后再将新的速度乘以行驶的小时数3，即可得到结果，即60公里。
这个例子展示了商不变的规律在求解比例问题中的应用。
分配问题在一些分配问题中，商不变的规律能够帮助我们简化计算。
例如，如果某个项目需要花费8000元，而这个项目的费用将由三个人平分。
我们可以通过将项目的费用8000元除以参与人数3，得到每个人平分的费用为2666.67元。
这个例子再次展示了商不变的规律在解决分配问题中的应用。
比较问题商不变的规律还可以用来比较不同数值的大小。
例如，如果我们需要比较两个小数的大小，我们可以将两个小数的分子和分母都乘以同样的数，使得两个小数的分母相等。
然后，我们只需要比较两个小数的分子大小即可判断它们的大小关系。
这个方法通过利用商不变的规律，简化了比较问题的计算。
示例与练习示例1：比例问题某个果汁店每瓶果汁售价为10元，一天能卖出100瓶果汁。
那么两天能够卖出多少瓶果汁？解法：我们可以利用商不变的规律来解决这个问题。
商不变的性质和积不变的性质
商不变的性质和积不变的性质－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－积和商的“变与不变”规律㈠、积的变化规律：⑴、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以）几。
字母表示：如果a×b=c ，则(a×3)×b=c×3举例：a×b=12 如果(a×3)则积就是12×3=36.⑴、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；⑴、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。
㈡、积不变规律：一个因数乘（或除以）几，另一个因数相应的除以(或乘)几，积不变。
字母表示：如果a×b=c 则（a×5）×（b÷5）=c㈢、商的变化规律：⑴被除数不变，除数乘几商就除以几，除数除以几商就乘几。
字母表示：如果a÷b=c ，则a÷（b×3）=c÷3举例：a÷b=12 如果(b×3)则商就是12÷3=4⑴除数不变，被除数乘商就相应的乘几，被除数除以几商就除以几。
字母表示：如果a÷b=c ，则(a×3)÷b=c×3举例：a÷b=12 如果(a×3)则商就是12×3=36.被除数大于除数，商就大于1；被除数小于除数，商就小于1.一个数除以一个比1大的数，商比被除数要小；一个数除以一个比1小的数，商比被除数要大。
㈣、商不变规律：被除数和除数同时乘或除以几，商不变。
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四年级数学上册《商不变的规律》教案
四年级数学上册《商不变的规律》教案（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
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数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
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商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
四年级上商不变的规律
四年级上商不变的规律在我们四年级的数学学习中，有一个非常重要的规律叫做“商不变的规律”。
这个规律就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们更轻松地解决很多数学问题。
那什么是商不变的规律呢？咱们先来举个例子。
比如说，我们有 12 个苹果，要平均分给 3 个人，每个人能得到 4 个苹果，算式就是 12÷3 ＝ 4。
那如果现在有 24 个苹果，平均分给 6 个人，每个人能得到几个苹果呢？算一下，24÷6 ＝ 4。
你看，虽然被除数从 12 变成了 24，除数从 3 变成了 6，但商还是 4，没有变化。
再比如，60÷15 ＝ 4，那 120÷30 呢？答案还是 4。
通过这些例子，我们就能发现商不变的规律啦：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
为什么 0 要除外呢？这是因为 0 不能做除数呀，如果除数是 0，这个算式就没有意义了。
那商不变的规律有什么用呢？用处可大啦！比如说，我们要计算 700÷25，直接算可能有点麻烦。
但我们可以根据商不变的规律，把被除数和除数同时乘 4，就变成了（700×4）÷（25×4）＝ 2800÷100 ＝ 28，这样是不是就简单多啦？再比如，我们计算 5600÷400，同样可以利用商不变的规律，被除数和除数同时除以 100，变成 56÷4 ＝ 14。
商不变的规律还能帮助我们检验计算的结果是否正确。
比如我们计算 36÷9 ＝ 4，那如果被除数和除数同时乘 2，变成 72÷18，按照商不变的规律，商也应该是4，如果我们算出来不是4，那就说明可能算错啦。
同学们在运用商不变的规律时，一定要注意同时乘或除以相同的数，而且这个数不能是 0。
为了更好地掌握商不变的规律，我们可以多做一些练习题。
比如：1、填空：（1）36÷9 ＝（）÷3 （2）480÷80 ＝（）÷82、简便计算：（1）800÷25 （2）9000÷125通过这些练习，我们就能更加熟练地运用这个规律，提高我们的计算能力和解题速度。
商的变化规律
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
商的变化规律（一）：在除法中，被除数不变，除数乘（或除以）一个非0的数，商反而除以（或乘）相同的数商的变化规律（二）：在除法算式中，除数不变，被除数乘（或除以）一个非0的数，商也乘（或除以）相同的数商不变的规律）：在除法中，被除数和除数同时乘（或除以）同一个非0的数，商不变。
四年级上册数学商不变的规律笔记
四年级上册数学商不变的规律笔记一、概述在四年级的数学学习中，商不变的规律是一个非常重要的概念。
通过商不变的规律，我们可以更好地理解和运用乘法的相关知识，进而在解决实际问题时更加得心应手。
本文将从商不变的概念、规律的应用以及相关练习等方面展开讲解，帮助同学们更好地掌握这一部分知识。
二、商不变的概念商不变的概念指的是，在一个乘法运算中，无论先算乘法式中的哪两个数，最后得到的积是相同的。
对于乘法式3×4=12，不论先算3×4还是4×3，最终得到的积都是12，这就是商不变的规律。
在实际生活中，商不变的规律也有着广泛的应用。
我们去商场购物时，商品的价格和数量构成了乘法式，而不管我们是先看价格再看数量，还是先看数量再看价格，最终要支付的金额都是相同的，这就符合了商不变的规律。
三、商不变的规律及运用1. 乘法交换律商不变的规律与乘法交换律有着密切的关系。
乘法交换律是指，两个数相乘，交换两数的位置所得的积是相等的。
这也是商不变的规律的一个体现。
对于乘法式2×6=12，根据乘法交换律，也可以写成6×2=12。
而根据商不变的规律，不论是先算2×6还是6×2，最终得到的积都是12。
2. 商的分配律商不变的规律还与商的分配律有着密切的通联。
商的分配律是指，在一个乘法运算中，可以按照加法的性质把一个数分成几部分，然后分别与其他数相乘，最后将这些积相加得到的结果是相同的。
对于乘法式3×（4+2），按照商的分配律，可以得到3×4+3×2=12+6=18。
而根据商不变的规律，无论是先算3×4+3×2还是先算3×（4+2），最终得到的结果都是相同的。
3. 解决实际问题商不变的规律在解决实际问题时也非常有用。
小明去超市买了3斤苹果，每斤苹果6元，那么他一共需要支付多少钱呢？按照商不变的规律，我们可以先算3×6=18，也可以先算6×3=18，最终得到的结果都是18元，这就是商不变的规律在实际问题中的应用。
《商不变的规律》教案
二、核心素养目标
《商不变的规律》核心素养目标：
1.培养学生的逻辑思维能力，通过自主探究、合作交流，发现并理解商不变的规律，提高数学推理能力。
2.培养学生的观察能力，观察算式变化，发现商不变的规律，并能运用到实际题目中，培养数学抽象思维。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数这一重点。对于难点部分，如0不能作为除数，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与商不变规律相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。例如，让学生通过计算器验证商不变的规律，观察并记录结果。
在教学过程中，教师要针对重点和难点内容，运用生动形象的语言、直观的教具演示、实际操作等多种教学方法，帮助学生透彻理解商不变的规律，并能够熟练运用这一规律解决实际问题。同时，关注学生的个体差异，给予不同程度的指导和鼓励，确保每个学生都能掌握核心知识，突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《商不变的规律》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过算式的商保持不变的情况？”（如购物时总价不变，数量和单价同时变化）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索商不变的规律的奥秘。
3.培养学生的应用意识，将商不变的规律应用于解决生活中的实际问题，提高数学应用能力。
4.培养学生的团队协作能力，通过小组讨论、分享心得，促进学生间的沟通与交流，培养合作精神。
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商不变的规律
教学内容:北师大版四上《商不变的规律》P74--75
教学目标：1、经历探索的过程，发现商不变的规律，理解并能运用这一规律进行一些除法运算的简便运算
2．通过让学生参与观察、比较、概括、验证等学习活动，从而培养学生的观察、概括及发现规律、探索新知的能力
3．体验数学的神奇性，激发学生对数学的热爱
教学重点：使学生在探索过程中发现商不变的规律
教学难点：掌握商不变的规律，及能在实际生活中灵活运用
教学过程：
一、设疑激趣，引入问题（3~5分钟）
1．同学们，我们已经学过了乘法口诀，知道很多算式都含有3这个因数，现在拿出草稿纸，快速写出一道商是3的除法算式。
（预设）生1：24÷8＝3
生2：18÷6＝3
生3：6÷2＝3
………
2．教师从学生写的算式中挑出其中的五道，按被除数和除数从大到小的顺序排列起来(板书) 96÷32＝3
48÷16≡3
24÷8＝3
12÷4＝3
6÷2＝3
现在我们一起来看看黑板上这五道题，他们的被除数和除数都相同吗？（不同）那他们的商有什么特点？（商相同，都是3）
很好，我们发现这五道题的被除数和除数都不相同，都有变化，但商不变。
这时老师就有个疑问了，被除数和除数怎么样变，商才不变？
（预设）生1：被除数和除数都乘一个相同的数，商不变。
生2：被除数和除数都除以一个相同的数，商不变。
生3：被除数和除数都加上一个相同的数，商不变
………
同学们很爱动脑筋，一下子就想出了这么多，那今天我们就一起来探索其中的奥秘（板书：商不变的规律）
二、观察分析，概括规律(20~25分钟)
1．探索被除数和除数同时乘相同的数，商是否不变
（1）我们从最中间的这道题24÷8＝3往上看，你们发现了什么？
（预设）生1：被除数和除数一个比一个大，都比前一个扩大了2倍，但商不变生2：被除数和除数一个比一个大，都乘了2，但商不变
………
很好，同学们都发现了后面的被除数和除数都比前面的大且都乘了2
（2）填空（在○里填上正确的运算，在□里填上正确的数字）
24÷8＝3
48÷16≡(24○□)÷(8○□)＝3
96÷32＝(24○□)÷(8○□)＝3
（3）根据前面的算式，同学们能得出什么结论？
被除数和除数同时乘相同的数，商不变（教师强调同时与相同的数这两个词）2．探索被除数和除数同时除以相同的数，商是否不变
（1）我们再从算式24÷8＝3往下看，你们又发现了什么？
小组合作交流，讨论，再小组汇报（学生根据乘法的探索过程，自主解决被除数和除数同时除以相同的数，商是否不变）
（2）要求学生同样写出算式
24÷8＝3
12÷4＝（24○□）÷（8○□）＝3
6÷2＝（24○□）÷（8○□）＝3
（3）得出结论：被除数和除数同时除以相同的数，商不变
3．举一些例子说明自己的发现？
4．探索被除数和除数同时加上或减去相同大的数，商是否不变
教师写一个例子，如8÷2＝4，被除数和除数同时加上1（减去1），看商是否不变全班共同探索，并证明被除数和除数同时加上或减去同一个数，商是变的
三、尝试运用，深入探索
1．判断：
（1）800÷25＝（800×4）÷（25×4）（）
（4）510÷17＝（510÷0）÷（17÷0）（）
（2）48÷24＝（48÷4）÷（24÷2）（）
（3）56÷4＝（56×0）÷（4×0）（）
(5) 7200÷300＝（7200÷100）÷（300÷100） ( )
从这些算式中你能发现什么？
（预设）被除数和除数不能乘或除以0
很好，那你们能合上前面的两句总结完整地说一遍吗？
总结: 被除数和除数同时乘或除以（零除外）相同的数，商不变
2．试一试
950÷50＝
学生会出现以下两种做法：
（1）（2）
出现第二种做法时，教师提问：为什么这样做？从而让学生说出运用的是商不变的规律四、巩固练习，深化认知(8~10分钟)
练一练
1．（对应性练习）
根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。
（1）18÷6＝3 （2）480÷10＝48
（18×2）÷（6×2）＝（480÷2）÷（10÷2）＝
（18×3）÷（6×3）＝（480÷5）÷（10÷5）＝要求学生在半分钟内做好，做好后并说明自己的方法
2．（综合性练习）
计算下列各题，并与同学进行交流
240÷30 80÷20 360÷90 4800÷400
440÷20 9600÷800 120÷40 2400÷60
学生自己独立完成，完成后同桌之间互相说说自己的算法
3．（提高性练习）
一捆铁线有多长？（运用今天所学的知识解决）
4．拓展性练习
学生们认真观察淘气做的算式400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，得到启发，再运用今天所学的知识，能够简便得计算除法的运算
五、反馈新知，课堂总结(2分钟)
我们今天又发现了一个什么数学规律？老师希望在今后的生活中能够充分地运用起来！
六、板书设计
96÷32＝3 48÷16≡(24○□)÷(8○□)＝3 被除数和除数同时乘相同的数，48÷16＝3 96÷32＝(24○□)÷(8○□)＝3 商不变
24÷8＝3 （0除外）
12÷4＝3 12÷4＝（24○□）÷（8○□）＝3被除数和除数同时除以相同的6÷2＝3 6÷2＝（24○□）÷（8○□）＝3数，商不变。