1.4_二次函数的应用(1)课件1
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九年级数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用(第1课时)b课件 (新版)浙教版
.
∵
a
π 2
7
0, b
6, c
0,
新教课学讲目 解
标
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边 长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05m2.
新教课学讲目 解
标
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围 2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变 量的取值范围内。
新教课学讲目 解
标
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多 少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
学教以学致目 用
标
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E 、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何 设计，可使花园面积最大？
草图（如图所示）．
巩教固学提目升
标
7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于
多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面 积是多少?
xx
y
课教堂学小目结
标
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围 内）；
（或利用函数图象找最值）
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
《二次函数的应用》优秀PPT课件下载
直线x=-4
坐标是
是 -1
.当x= -4 时，函数有最 大 值，
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶点坐标 是 (2 ，1).当x= 2 时，函数有最 小 值，是 1 .
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调 查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时, 销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助 分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
22.5 二次函数的应用
1.让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化. 2.让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题.
3.掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务
于生活.
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 的对称轴是 直线x=h
b 直线x 2a
4ac b 2 4a
25 之和的最小值是 2 (或12.5)
cm2．
3．（兰州·中考） 如图，小明的父亲在
相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小 明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距
地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物
线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5 米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最 低点距地面的距离为 0.5 米.
，它
，顶点坐标是_________. (h，k) 抛物线 ，它 ，顶点坐标是___________. 低 点，函数
b 4ac b 2 2a , 4a
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 的对称轴是
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最
有最 小 值，是
向 下 ，有最
二次函数的简单应用PPT
经济学中收益与成本分析
总收益与总成本模型
01
在经济学中，总收益和总成本往往可以表示为产量的二次函数，
通过分析这些函数可以找出最大利润点。
边际收益与边际成本
02
利用二次函数的导数表示边际收益和边际成本，进而分析企业
的盈利状况。
价格与需求关系
03
在某些情况下，价格与需求之间的关系可以近似为二次函数，
通过分析这种关系可以制定合适的定价策略。
运动学问题中速度与时间关系
1 2
匀加速直线运动
根据匀加速直线运动的速度与时间关系，构建二 次函数模型求解位移、速度等参数。
竖直上抛运动
利用竖直上抛运动的速度、时间和高度之间的关 系，建立二次函数模型分析运动过程。
3
曲线运动中的速度与时间关系
在某些曲线运动中，速度与时间的关系可以近似 为二次函数，从而进行求解和分析。
在给定速度、距离等条件下，通过二次函数模型求解使得时间最短 的运动方案。
06 总结与展望
二次函数简单应用知识点总结
二次函数的对称轴
$x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的判别式
$Delta = b^2 - 4ac$，用于 判断二次方程的根的情况。
二次函数的一般形式
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其 中 $a neq 0$。
周长问题
对于某些特定形状的几何图形（如抛物线型、椭圆型等），可以通过二次函数表示其周长 ，并讨论周长的性质和最值问题。
综合应用
结合多种几何图形和二次函数的性质，可以解决更复杂的面积、周长等问题，如最优布局 、路径规划等实际问题。
05 二次函数在优化问题中的 应用
1.4 二次函数的应用 课件
问题6 如何求最值？
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378.
知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须 在自变量的取值范围内.
（2）开口方向：向下；对称轴：x= （ - 3 ， 25 ）；最大值： 25 .
-
3 2
；顶点坐标：
24
4
合作探究
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）
与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中
h= 30t - 5t 2
12 34 56
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
依据
常பைடு நூலகம்几何图形 的面积公式
建立函数 关系式
一个注意
最值有时不在顶点处，则要 利用函数的增减性来确定
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
2a y 4ac b2 ．
4a
h/m
t
b 2a
30 2 （
5）
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378.
知识要点 二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须 在自变量的取值范围内.
（2）开口方向：向下；对称轴：x= （ - 3 ， 25 ）；最大值： 25 .
-
3 2
；顶点坐标：
24
4
合作探究
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）
与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中
h= 30t - 5t 2
12 34 56
t/s
球运动中的最大高度是 45 m．
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形 菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最 大，最大面积是多少？
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
依据
常பைடு நூலகம்几何图形 的面积公式
建立函数 关系式
一个注意
最值有时不在顶点处，则要 利用函数的增减性来确定
由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 x b 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
2a y 4ac b2 ．
4a
h/m
t
b 2a
30 2 （
5）
九年级上数学：二次函数的应用课件ppt(共30张PPT)
知道顶点坐标或函数的最值时 知道顶点坐标或函数的最值时 顶点坐标
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？
比较顶点式和一般式的优劣
一般式：通用， 一般式：通用，但计算量大 顶点式：简单， 顶点式：简单，但有条件限制
使用顶点式需要多少个条件？ 使用顶点式需要多少个条件？
顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 顶点坐标再加上一个其它点的坐标； 再加上一个其它点的坐标 对称轴再加上两个其它点的坐标 再加上两个其它点的坐标； 对称轴再加上两个其它点的坐标； 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。 三个条件才能求 其实，顶点式同样需要三个条件才能求。
二次函数的应用
专题三： 专题三： 二次函数的最值应用题
二次函数最值的理论
b 你能说明为什么当x = − 时，函数的最值是 2a 2 4ac − b y= 呢？此时是最大值还是最小值呢？ 4a
求函数y=(m+1)x 2(m+1)x- 的最值。 求函数y=(m+1)x2-2(m+1)x-m的最值。其 为常数且m≠ m≠－ 中m为常数且m≠－1。
A O D
B
C
最值应用题——面积最大 面积最大 最值应用题
•
用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 用一块宽为 m 一个水槽，水槽的横断面为底角120 120º的等 一个水槽，水槽的横断面为底角120 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大， 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？ AB应该是多长 侧面AB应该是多长？ D A
C
145km
A
D
最值应用题——销售问题 销售问题 最值应用题
某商场销售一批名牌衬衫， 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 元，为了扩大销售，增加 件 每件盈利40元 为了扩大销售， 盈利，尽快减少库存， 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施。经调查发现， 降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降 价1元，商场平均每天可多售出 件。 元 商场平均每天可多售出2件 （1）若商场平均每天要盈利 ）若商场平均每天要盈利1200元，每件 元 衬衫应降价多少元？ 衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 ）每件衬衫降价多少元时， 盈利最多？ 盈利最多？
二次函数的应用ppt课件
∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版 九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点 最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);
6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
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◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2
《二次函数的应用》PPT课件(湘教版)
由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是：
2.45≤x≤2.45.
–3 –2
y
–1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
A
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
现价 涨价
进价/元 20 20
–3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 m， 因此点 A（2，－2）在抛物线
度不计）
83 4
这时高为
3 =2m.
2
则当窗框的宽为 4 m，高为2m时，窗框的透光面积
3 最大，最大透光面积为
8
m2.
3
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
2.45≤x≤2.45.
–3 –2
y
–1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
A
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
现价 涨价
进价/元 20 20
–3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4 –5
1 2 3x
一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 m，水面宽是
4 m 时，拱顶离水面 2 m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎
样变化．你能建立函数模型来解决这个问题吗？
已知水面宽 4 m 时， 拱顶离水面高 2 m， 因此点 A（2，－2）在抛物线
度不计）
83 4
这时高为
3 =2m.
2
则当窗框的宽为 4 m，高为2m时，窗框的透光面积
3 最大，最大透光面积为
8
m2.
3
某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件. 根据销售经验，提高销售单价会导 致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少10 件. 当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？【教材P31页】
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试一试
已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达
到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长。
2－ x
x
探究活动:
已知有一张边长为10cm的正三角形纸板，若要从中 剪一个面积最大的矩形纸板，应怎样剪？最大面积 为多少？
A
D
E
B
K
F
C
4 2 0
x
2
-4
-2
求函数的最值问题， 应注意对称轴(或顶点)是否在自变量的取值范围内。
合作探究
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm的墙
问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？
最大面积是多少？
8 x 2
若靠的墙只有1.5m， 最大面积为多少？
x
小结：应用二次函数的性质解决日常生活中的
把二次函数y=2x2+8x+13化成顶点式。
1、图中所示的二次函数图像 的解析式为：
y
y=2x2+8x+13
⑴若－3≤x≤0，该函数的最 大值、最小值分别为
(-4,13)
（ 1， 3）
（ 13 ）、（ 5 ）。 ⑵又若-4≤x≤-3，该函数的
最大值、最小值分别为（ 13 ）、（ 7 ）。
6
(-2,5)
最值问题，一般的步骤为：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）； ②求出函数解析式（包括自变量的取值范围）；
③在自变量的取值范围内求出最值(配方法或顶点坐标公式） ④答。
例1、如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周
长为16m.求截面积S(m)关于底部宽x(m)的函数表达式.当 底部宽为多少时，隧道的截面积最大（结果精确到 0.01m）？