量子力学第一章1.2_1

4.固体比热的解释（用Planck假设解释） 如果把固体中的原子看作是三维谐振子，则原 子平均能量为：
E =3
hν e
hν / kT
−1
∂E 因而有： cV = ∂T
3(hν ) 2 e hν / kT = 2 hν / kT 2 kT (e − 1)
∂E 3(hν ) 2 e hν / kT cV = = 2 hν / kT ∂T kT (e − 1) 2
n
kT
=
=
ε 0e
− ε 0 / kT − ε 0 / kT
1− e
e
ε 0 / kT
ε0
−1
E=
e
ε 0 / kT
ε0
−1
将这个平均能量乘上空腔单位体积内频率 ν 到 ν + dν 8πν 2 间的振子数目（振动方式数） 3 dν ，得黑体辐 c 射公式：
ε0 8πν 2 ρν dν = 3 ε 0 / kT dν c e −1
− nε 0
kT
若 ν −ν + dν 间的振子总数为N，则能量取值 En = nε 0 Nn − nε 0 / kT ( = ce − nε 0 kT ) 的振子个数应为： N n = Nce N
而 N = ∑ Nn = ∑ Nce
n=0 n=0
∞
∞
N n = Nce − nε 0 / kT
−nε0 / kT
第一个完全肯定光除了波动性之外还具有微粒性 的是爱因斯坦（Einstein）。1905年在法国杂志《物 理学观点》上他发表了《关于光的产生和转化的一个 启示性的观点》。他认为电磁辐射不仅在被发射和吸 收时以能量为 hν 的微粒形式出现，而且以这种形式 以速度 c 在空间中运动。这种粒子叫做光量子或光子 （光子是后来由莱维斯命名）。他用这个观点成功的 解释了光电效应。 Dirac评价Einstein时说他有三大革新，即狭义相对 论、波与粒子的关系和广义相对论。
所以光子的能量和动量分别为：
v r hv E = hν = hω ， p = n = hk − Planck − Einstein
λ
(*)
h h= = 1.0545 × 10−34 J ⋅ s 为量子力学常用符号； 其中 2π
ω 表示角频率，与频率 ν 的关系为 ω = 2πν ； v 2πν v 2π v v n 为光子运动方向的位矢，k = n= n 为波矢。
“总而言之，我们可以说，在近代物理学结出硕果的那些 重大问题中，很难找到一个问题是爱因斯坦没有做过重要贡 献的，在他的各种推测中，他有时可能也曾经没有射中标 的，例如，他的光量子假设就是如此，但是这确实并不能成 为过分责怪他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可 能不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
kT
e− y = ε 0 e −ε 0 = ε0 (1 − e − y ) 2
(1 − e −ε 0
kT 2
)
则有每个振子的平均能量为：
E =
nε 0 e − nε 0 ∑
n
kT
E=
ε 0e
− ε 0 / kT
/(1 − e ) − ε 0 / kT 1/(1 − e )
− ε 0 / kT 2
e − nε 0 ∑
( x < 1)
E =
nε 0 e − nε 0 ∑
n
kT
e − nε 0 ∑
n
kT
nε 0 e − nε 0 计算分子： ∑
n =0
∞
kT
，令 y = ε 0 kT
∑ nε e
n =0 0
∞
− nε 0 kT
= ε 0 ∑ ne
n =0
∞
− ny
d ∞ − ny d 1 = −ε 0 ∑ e = −ε 0 dy n =0 dy 1 − e − y
c
λ
可见：关系式（*）把光的二重性—波动性和粒子性 联系起来。等式左边的动量和能量是描写粒子的，而 等式右边的频率和波长则是波的特性。
• 虽然爱因斯坦对光电效应的解释是对Planck量子概 念的极大支持，但是Planck不同意爱因斯坦的光子假 设，这一点流露在Planck推荐爱因斯坦为普鲁士科学 院院士的推荐信中：
(3)根据光子理论，电子的能量是直接由光子供给 的，只要光一照到金属表面，电子就吸收光子而立 即逸出，所以光电子的发射几乎不需要延迟时间。 这样经典理论不能说明的问题得到了解释。
2.光的波粒二象性
ν 光子不但具有确定的能量 E = h ，且具有动量，由相对论知，
以速度 v 运动的粒子能量是：
E=
四、康普顿效应
康普顿(Arthur Holly Compton) 美国著名的物理学家、“康普顿效应”的 发现者。1892年9月10日出生于俄亥俄 州的伍斯特，1962年3月15日于加利福 尼亚州的伯克利逝世，终年70岁。康普 顿的科学家生涯是从研究X射线开始 的。 康普顿是世界最伟大的科学家之一。他所发现的“康普顿 效应”是发展量子物理学的核心。他的这一发现为自己在伟大 科学家的行列中取得了无可争辩的地位。
8π hν 3 1 dν ρν dν = 3 hν / kT c e −1
hν b.当辐射频率很低时，使得 kT << 1 时，分母中的指 hν 数可按 展开： kT
e
hν kT
hν = 1+ +L kT
忽略高次项，只取前两项得：
8πν 2 ρν dν = 3 kTdν c
—
Rayleigh − Jeans ' s formula
一、光的波动性典型实验—双狭缝衍射 A是垂直于纸面的屏，屏上有两条相互平行的很窄的 狭缝 s1和 s2 ，两狭缝间距为d，B是与A平行的另一个 屏，B与A的距离为 D >> d 。同一光源发出的光线穿 过双狭缝打在屏B上产生衍射图样。以 E1 和 E2 分别表 示穿过缝 s1 和
E1 = E0 cos ωt
二、普朗克（Planck）公式
（Max Planck 1858－1947），德国人，1900 年以前Planck一直在努力探索黑体辐射的规 律，他先找到了一个经验公式，后又从理论上 推出，这个公式与实验很符合，长波方向与 Rayleigh-Jeans公式一致，短波方向与Wien公 式相符合。 他的推导于1900年12月17日在柏林德国物理学会会议上公 布，其题目为《关于正常光谱的能量分布定理的理论》（在此 文中他提出了“能量子”的概念），此文标志着量子理论的诞 生，成为经典物理学与现代物理学的分界线。获1918年诺贝尔 物理学奖。
（可见：c =
1 e − nε 0 ∑
n=0 ∞ kT
)
− nε 0 kT
P (E n ) = ce
则每个振子的平均能量为
E=
∑ En N n
n
∑ Nn
n
=
nε 0 cNe − nε 0 ∑
n
kT
cNe − nε 0 ∑
n
kT
=
nε 0 e − nε 0 ∑
n
kT
e − nε 0 ∑
n
kT
E =
nε 0 e − nε 0 ∑
说明：Planck成功的关键在于提出了能量子 ε 0 = hν 的假设，辐射能量是不连续改变的，从而导致了 E 不 同于经典的单个振子的能量。这里第一次出现了经典 物理中没有的常数 h ，这些都跳出了经典物理的框 架，成为量子物理的开端。Planck导出公式后，曾努 力把它纳入经典物理范畴，但未成功。
2
πd I = 4 I 0 cos ( sin θ ) λ
2
nλ 讨论：a.若P点位置满足关系式 sin θ = ， d
n=0,1,2,…时，则 I = 4 I 0 ，即该点光的强度为最大；
2n + 1 λ b.若P点的位置满足关系式 sin θ = , 2 d
n=0,1,2,… 时，则 I = 0 ，即该点的光强为零。 所以能够形成衍射图样，光具有波动性得到有 力的证实。
hν << 1 ),平均每个原子对热容 可见：a.在高温时( kT ∂E 量的贡献 为3k ，1mol 原子即为3R ； ∂T
hν ∂E >> 1）， → 0 与实验相 b.在低温时（ kT ∂T
符合。
5. 光具有粒子性 Planck理论说明物体以
hν 为能量单位发射或吸收
能量，能量不是连续进行的，而是以能量为 hν 的 颗粒形式出现，能量小于 hν 的发射或吸收过程是 没有的。能量单位
1. Planck的假设
①空腔壁与辐射的能量交换是不连续的，只能以最小 单位
ε0
一份份地进行；
②辐射的每一振动方式相当于一振子，它只能取能量 值 En = nε 0 （n=0,1,2,…）,且取 En = nε 0 的几率与
e − nε 0 / kT 成比例。
2. Planck公式的推导
P (E n ) = ce
μ0 c 2
1− v / c
2 2
→
E v2 μ0 = 2 1 − 2 c c
由此式得光子的静止质量
μ0 = 0 。
2 2 4 0 2 2
由相对论的能量—动量关系式： E = μ c + c p 。 得到光子能量E和动量p的关系为： E = cp 。 即：
E hν h p= = = c c λ
其中 λ 为波长。
s2 到达 P
的光波振动，则：
2π d
E2 = E0 cos(ωt +
λ
sin θ )
θ 为衍射角，2π d sin θ 为位相差。 其中
λ
解释：s1 P 和 s2 P 的光程差是 s2Q = d sin θ ，因为光 程差为一波长时，位相差恰好是 2π ，所以 E1 和 E 2 2π 的位相差为 d sin θ 。 λ