文科高等数学(2.微积分的直接基础-极限)

第二章 微积分的直接基础——极限§2.1 从阿基里斯追赶乌龟谈起——数列的极限 一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积: A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ ,1+n n⋅ ⋅ ⋅; {2n}: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n, ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ; {nn n 1)1(--+}: 2,21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ .它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+.数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ),它的定义域是全体正整数. 数列的极限:数列的极限的通俗定义:对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11l i m =+∞→n n n ,021lim =∞→nn , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n }, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义 如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞).如果数列没有极限, 就说数列是发散的.a x n n =∞→l i m ⇔∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε .数列极限的几何解释: 例题: 例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n .分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n1, 即ε1>n .证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -1|=ε<=--+-nn n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim1=-+-∞→nn n n .例2. 证明0)1()1(lim 2=+-∞→n nn .分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n .对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn .证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n ,所以0)1()1(lim2=+-∞→n nn .例3. 设|q |<1, 证明等比数列 1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使 |x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。

证明: 因为对于任意给定的ε >0, 存在N =[ log |q |ε +1], 当n >N 时, 有 | qn -1-0|=|q |n -1<ε ,所以0lim 1=-∞→n n q .收敛数列的性质:定理1(极限的唯一性) 数列{x n }不能收敛于两个不同的极限. 证明: 假设同时有a x n n =∞→lim 及b x n n =∞→lim , 且a <b .按极限的定义, 对于2a b -=ε>0, 存在充分大的正整数N ,使当n >N 时, 同时有|x n -a |<2a b -=ε 及|x n -b |<2a b -=ε,因此同时有2a b x n +<及2a b x n +>,这是不可能的. 所以只能有a =b .数列的有界性: 对于数列{x n }，如果存在着正数M ，使得对一切x n 都满足 不等式|x n |≤M ,则称数列{x n }是有界的; 如果这样的正数M 不存在，就说数列 {x n }是无界的定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{x n }收敛, 那么数列{x n }一定有界.证明: 设数列{x n }收敛, 且收敛于a , 根据数列极限的定义, 对于ε =1, 存在正整数N , 使对于n >N 时的一切x n , 不等式 |x n -a |<ε =1都成立. 于是当n >N 时,|x n |=|(x n -a )+a | ≤| x n -a |+|a |<1+|a |. 取M =max{|x 1|, |x 2|, ⋅ ⋅ ⋅, |x N |, 1+| a |}, 那么数列{x n }中的 一切x n 都满足不等式|x n |≤ M .这就证明了数列{x n }是有界的.定理3收敛数列的保号性) 如果数列{x n }收敛于a , 且a >0(或a <0), 那么存在正整数N , 当n >N 时, 有x n >0(或x n <0).证 就a >0的情形证明. 由数列极限的定义, 对02>=aε, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有2||a a x n <-,从而022>=->a a a x n .推论 如果数列{x n }从某项起有x n ≥0(或x n ≤0), 且数列{x n }收敛于a , 那么a ≥0(或a ≤0). 证明 就x n ≥0情形证明. 设数列{x n }从N 1项起, 即当n >N 1时有x n ≥0. 现在用反证法证明, 或a <0, 则由定理3知, ∃N 2∈N +, 当n > N 2时, 有x n <0. 取N =max{ N 1, N 2 }, 当n >N 时, 按假定有x n ≥0, 按定理3有x n <0, 这引起矛盾. 所以必有a ≥0.子数列: 在数列{x n }中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列{x n }的子数列.例如, 数列{x n }: 1, -1, 1, -1, ⋅ ⋅ ⋅, (-1)n +1⋅ ⋅ ⋅的一子数列为{x 2n }: -1, -1, -1, ⋅ ⋅ ⋅, (-1)2n +1⋅ ⋅ ⋅.定理3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{x n }收敛于a , 那么它的任一子数列也收敛, 且极限也是a .证明: 设数列}{kn x 是数列{x n }的任一子数列.因为数列{x n }收敛于a , 所以∀ε >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -a |<ε . 取K =N , 则当k >K 时, n k ≥k >K =N . 于是|kn x -a |<ε .这就证明了a x k n k =∞→lim .讨论:1. 对于某一正数ε 0, 如果存在正整数N , 使得当n >N 时, 有|x n -a |<ε 0. 是否有x n →a (n →∞).2. 如果数列{x n }收敛, 那么数列{x n }一定有界. 发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?3. 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1, -1, 1, -1, ⋅ ⋅ ⋅, (-1)N +1, ⋅ ⋅ ⋅是发散的？§2.2 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势: x 无限接近x 0 : x →x 0,x 从x 0的左侧(即小于x 0)无限接近x 0 : x →x 0-, x 从x 0的右侧(即大于x 0)无限接近x 0 : x →x 0+, x 的绝对值|x |无限增大: x →∞, x 小于零且绝对值|x |无限增大: x →-∞, x 大于零且绝对值|x |无限增大: x →+∞. 1．自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义:如果当x 无限接近于x 0 , 函数f (x )的值无限接近于常数A , 则称当x 趋于x 0 时, f (x )以A 为极限. 记作limx x →f (x )=A 或f (x )→A (当x →0x ).分析: 在x →x 0的过程中, f (x )无限接近于A 就是|f (x )-A |能任意小, 或者说, 在x 与x 0接近到一定程度(比如|x -x 0|<δ, δ为某一正数)时, |f (x )-A |可以小于任意给定的(小的)正数ε , 即|f (x )-A |<ε . 反之, 对于任意给定的正数ε , 如果x 与x 0接近到一定程度(比如|x -x 0|<δ, δ为某一正数)就有|f (x )-A |<ε , 则能保证当x →x 0时, f (x )无限接近于A .定义1 设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ, 使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时, 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当x →x 0时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).定义的简单表述:A x f x x =→)(lim 0⇔∀ε>0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ时, |f (x )-A |<ε .函数极限的几何意义: 例1. 证明c c x x =→0lim .证明: 这里|f (x )-A |=|c -c |=0,因为∀ε>0, 可任取δ>0 , 当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |=|c -c |=0<ε , 所以c c x x =→0lim .例2. 证明00lim x x x x =→.分析: |f (x )-A |=|x -x 0|. 因此∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要|x -x 0|<ε .证明: 因为∀ε >0, ∃δ =ε , 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |=|x -x 0|<ε , 所以00lim x x x x =→.例3. 证明1)12(lim 1=-→x x .分析: |f (x )-A |=|(2x -1)-1|=2|x -1|. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要2|1|ε<-x .证明: 因为∀ε >0, ∃δ=ε /22εδ=, 当0<|x -1|<δ 时, 有|f (x )-A |=|(2x -1)-1|=2|x -1|<ε ,所以1)12(lim 1=-→x x .例4. 证明211lim21=--→x x x .分析: 注意函数在x =1是没有定义的, 但这与函数在该点是否有极限并无关系. 当x ≠1时, |f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要|x -1|<ε .证明: 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -1|<δ 时, 有| f (x )-A ||211|2---=x x =|x -1|<ε ,所以211lim21=--→x x x .单侧极限:若当x →x 0-时, f (x )无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f (x )当x →x 0时的左极限, 记为A x f x x =-→)(lim 0或f (0x -)=A ;若当x →x 0+ 时, f (x )无限接近于某常数A , 则常数A 叫做函数f (x )当x →x 0时的右极限, 记为A x f x x =+→)(lim 0或f (0x +)=A .讨论:1.左右极限的ε --δ定义如何叙述?2. 当x →x 0时函数f (x )的左右极限与当x →x 0时函数f (x )的极限之间的关系怎样?提示: 左极限的ε --δ 定义：A x f x x =-→)(lim 0⇔∀ε >0, ∃δ >0, ∀x : x 0-δ<x <x 0, 有|f (x )-A |<ε .A x f x x =+→)(lim 0⇔∀ε >0, ∃δ >0, ∀x : x 0<x <x 0+δ , 有|f (x )-A |<ε .Ax f x x =→)(lim 0⇔A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.例5 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=01000 1)(x x x x x x f 当x →0时的极限不存在.这是因为,1)1(lim )(lim 0-=-=--→→x x f x x ,1)1(lim )(lim 0=+=++→→x x f x x ,)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→≠.2．自变量趋于无穷大时函数的极限设f (x )当|x |大于某一正数时有定义. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε , 总存在着正数X , 使得当x 满足不等式|x |>X 时, 对应的函数数值f (x )都满足不等式|f (x )-A |<ε,则常数A 叫做函数f (x )当x →∞时的极限, 记为A x f x =∞→)(lim 或f (x )→A (x →∞).A x f x =∞→)(lim ⇔∀ε >0, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε .类似地可定义A x f x =-∞→)(lim 和A x f x =+∞→)(lim .结论: A x f x =∞→)(lim ⇔A x f x =-∞→)(lim 且A x f x =+∞→)(lim .极限A x f x =∞→)(lim 的定义的几何意义例6. 证明01lim=∞→xx .分析: ||1|01||)(|x xA x f =-=-. ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x .证明: 因为∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有ε<=-=-||1|01||)(|x xA x f ,所以01lim=∞→xx .直线y =0 是函数xy 1=的水平渐近线.一般地, 如果c x f x =∞→)(lim , 则直线y =c 称为函数y =f (x )的图形的水平渐近线.二、函数极限的性质 定理1(函数极限的唯一性)如果极限)(lim 0x f x x →存在, 那么这极限唯一.定理2(函数极限的局部有界性)如果f (x )→A (x →x 0), 那么存在常数M >0和δ, 使得当0<|x -x 0|<δ时, 有|f (x )|≤M . 证明 因为f (x )→A (x →x 0), 所以对于ε =1, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-A |<ε =1,于是|f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就证明了在x 0的去心邻域{x | 0<|x -x 0|<δ }内, f (x )是有界的. 定理3(函数极限的局部保号性)如果f (x )→A (x →x 0), 而且A >0(或A <0), 那么存在常数δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时, 有f (x )>0(或f (x )<0).证明: 就A >0的情形证明. 因为A x f x x =→)(lim 0, 所以对于2A =ε, ∃δ >0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有2|)(|A A x f =<-ε⇒)(2x f A A <-⇒2)(A x f >>0.定理3'如果f (x )→A (x →x 0)(A ≠0), 那么存在点x 0的某一去心邻域, 在该邻域内, 有||21|)(|A x f >.推论 如果在x 0的某一去心邻域内f (x )≥0(或f (x )≤0), 而且f (x )→A (x →x 0), 那么A ≥0(或A ≤0).证明: 设f (x )≥0. 假设上述论断不成立, 即设A <0, 那么由定理1就有x 0的某一去心邻域, 在该邻域内 f (x )<0, 这与f (x )≥0的假定矛盾. 所以A ≥0. 定理4(函数极限与数列极限的关系)如果当x →x 0时f (x )的极限存在, {x n }为f (x )的定义域内任一收敛于x 0的数列, 且满足x n ≠x 0(n ∈N +), 那么相应的函数值数列{f (x n )}必收敛, 且)(lim )(lim 0x f x f x x n n →∞→=.证明 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε >0, ∃δ >0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε . 又因为x n →x 0(n →∞), 故对δ >0, ∃N ∈N +, 当n >N 时, 有|x n -x 0|<δ . 由假设, x n ≠x 0(n ∈N +). 故当n >N 时, 0<|x n -x 0|<δ , 从而|f (x n )-A |<ε . 即)(lim )(lim 0x f x f x x n n →∞→=§2.3．无穷小与无穷大 一、无穷小如果函数f (x )当x →x 0(或x →∞)时的极限为零, 那么称函数f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷小.特别地, 以零为极限的数列{x n }称为n →∞时的无穷小. 例如, 因为01lim=∞→xx , 所以函数x1为当x →∞时的无穷小.因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x →1时的无穷小.因为011lim=+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n →∞时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示: 无穷小是这样的函数, 在x →x 0(或x →∞)的过程中, 极限为零. 很小很小的数只要它不是零, 作为常数函数在自变量的任何变化过程中, 其极限就是这个常数本身, 不会为零. 无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程x →x 0(或x →∞)中, 函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x )=A +α, 其中α是无穷小.证明: 设A x f x x =→)(lim 0, ∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .令α=f (x )-A , 则α是x →x 0时的无穷小, 且f (x )=A +α .这就证明了f (x )等于它的极限A 与一个无穷小α之和.反之, 设f (x )=A +α , 其中A 是常数, α是x →x 0时的无穷小, 于是 |f (x )-A |=|α|.因α是x →x 0时的无穷小, ∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ , 有|α|<ε 或|f (x )-A |<ε这就证明了A 是f (x ) 当 x →x 0时的极限. 简要证明: 令α=f (x )-A , 则|f (x )-A |=|α|.如果∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ , 有f (x )-A |<ε , 就有|α|<ε ;反之如果∀ε >0 , ∃ δ >0, 使当0<|x -x 0|<δ , 有|α|<ε , 就有f (x )-A |<ε .这就证明了如果A 是f (x ) 当 x →x 0时的极限, 则α是x →x 0时的无穷小; 如果α是x →x 0时的无穷小, 则A 是f (x ) 当 x →x 0时的极限.类似地可证明x →∞时的情形.例如, 因为333212121x x x +=+, 而021lim3=∞→x x , 所以2121lim33=+∞→x x x .二、无穷大如果当x →x 0(或x →∞)时, 对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示:∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ >0, 当0<|x -0x |<δ 时, 有|f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x .例2 证明∞=-→11lim1x x . 证 因为∀M >0, ∃M1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有M x >-|11|,所以∞=-→11lim1x x .提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要Mx 1|1|<-.铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线.定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.三、无穷小的比较观察两个无穷小比值的极限:03lim20=→x x x , ∞=→203lim x x x , 1sin lim 0=→xx x . 两个无穷小比值的极限的各种不同情况, 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度. 在x →0的过程中, x 2→0比3x →0“快些”, 反过来3x →0比x 2→0“慢些”, 而sin x →0与x →0“快慢相仿”.下面, 我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时, 来说明两个无穷小之间的比较.定义: 设α及β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小. 如果0lim =αβ, 就说β是比α高阶的无穷小, 记为β=o (α). 如果∞=αβlim , 就说β 是比α 低阶的无穷小. 如果0lim ≠=c αβ, 就说β 与α 是同阶无穷小. 如果0lim ≠=c kαβ, k >0, 就说β是关于α的k 阶无穷小. 如果1lim=αβ, 就说β与α是等价无穷小, 记为α~β . 下面举一些例子: 例1. 因为03lim20=→xx x , 所以当x →0时, 3x 2是比x 高阶的无穷小, 即3x 2=o (x )( x →0).例2. 因为∞=∞→211lim n n n , 所以当n →∞时,n1是比21n低阶的无穷小.例3. 因为639lim23=--→x x x , 所以当x →3时, x 2-9与x -3是同阶无穷小.例4. 因为21cos 1lim 2=-→xx x , 所以当x →0时, 1-cos x 是关于x 的二阶无穷小. 例5. 因为1sin lim 0=→xx x , 所以当x →0时, sin x 与x 是等价无穷小, 即sin x ~ x (x →0).关于等价无穷小的有关定理:定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o (α).证明 必要性 设α ~ β, 则01lim )1lim(lim=-=-=-αβαβααβ, 因此 β-α=o (α),即 β=α+o (α).充分性 设β=α+o (α), 则 1])(1lim[)(lim lim =+=+=ααααααβo o , 因此α~β.简要证明: 这是因为, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1lim lim αβααβ1lim -=αβ, 0lim=-ααβ当且仅当1lim =αβ, β-α=o (α)当且仅当α~β, β=α+o (α)当且仅当α~β.例6. 因为当x →0时sin x ~x , tan x ~x , 1-cos x ~221x , 所以当x →0时, 有sin x =x +o (x ), tan x =x +o (x ), 1-cos x =)(2122x o x +.定理2设α~α ', β~β ', 且αβ''lim 存在, 则αβαβ''=lim lim .证明: αααβββαβ'⋅''⋅'=limlimαβαααβββ''='⋅''⋅'=limlimlimlim.定理2表明, 求两个无穷小之比的极限时, 分子及分母都可用等价无穷小来代替. 因此,如果用来代替的无穷小选取得适当, 则可使计算简化. 例7. 求xx x 5sin 2tan lim 0→.解: 当x →0时, tan 2x ~ 2x , sin 5x ~ 5x , 所以xx x 5sin 2tan lim 0→5252lim 0==→x x x .例8. 求xx xx 3sin lim 3+→. 解: 当x →0时sin x ~x , 无穷小x 3+3x 与它本身显然是等价的, 所以3131lim3lim3sin lim202030=+=+=+→→→x x x xx x x x x .§2.4 极限运算法则定理1 有限个无穷小的和也是无穷小.例如, 当x →0时, x 与sin x 都是无穷小, x +sin x 也是无穷小.简要证明: 设α及β是当x →x 0时的两个无穷小, 则∀ε >0, ∃δ1>0及δ2>0, 使当0<|x -x 0|<δ1 时, 有|α|<ε ; 当0<|x -x 0|<δ2 时, 有|β|<ε .取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ时, 有|α+β|≤|α|+|β|<2ε . 这说明α+β 也是无穷小.证明: 考虑两个无穷小的和.设α及β 是当x →x 0时的两个无穷小, 而γ =α +β . 任意给定的ε >0. 因为α 是当x →x 0时的无穷小, 对于2ε>0存在着δ1>0, 当0<|x -x 0|<δ1时, 不等式|α|<2ε成立. 因为β 是当x →x 0时的无穷小, 对于2ε>0存在着δ2>0, 当0<|x -x 0|<δ2时, 不等式|β|<2ε成立. 取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时,|α|<2ε及|β|<2ε同时成立, 从而|γ|=|α+β|≤|α|+|β|<2ε+2ε=ε . 这就证时了γ 也是当x →x 0时的无穷小.定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.简要证明: 设函数u 在x 0的某一去心邻域{x |0<|x -x 0|<δ1}内有界, 即∃M >0, 使当0<|x -x 0|<δ1时, 有|u |≤M . 又设α 是当x →x 0时的无穷小, 即∀ε >0. 存在δ2 >0, 使当0<|x -x 0|<δ 2时, 有|α|<ε .取δ =min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有|u ⋅α|< M ε .这说明u ⋅α 也是无穷小.例如, 当x →∞时, x1是无穷小, arctan x 是有界函数, 所以x1arctan x 也是无穷小.推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理3 如果lim f (x )=A , lim g (x )=B , 那么 (1) lim [f (x )±g (x )] = lim f (x ) ±lim g (x ) =A ± B ; (2) lim f (x )⋅g (x ) = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) =A ⋅B ; (3)BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim(B ≠0).证明(1): 因为lim f (x )=A , lim g (x )=B , 根据极限与无穷小的关系, 有f (x )=A +α,g (x )=B +β,其中α及β 为无穷小. 于是f (x ) ±g (x )=(A + α) ± (B + β) = (A ± B ) + (α ± β),即f (x ) ± g (x )可表示为常数(A ± B )与无穷小(α ± β)之和. 因此lim [f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) = A ± B .推论1 如果lim f (x )存在, 而c 为常数, 则lim [c f (x )]=c lim f (x ). 推论2 如果lim f (x )存在, 而n 是正整数, 则lim [f (x )]n =[lim f (x )]n .定理4 设有数列{x n }和{y n }. 如果A x n n =∞→lim , B y n n =∞→lim ,那么(1)B A y x n n n ±=±∞→)(lim ;(2)B A y x n n n ⋅=⋅∞→)(lim ;(3)当0≠n y (n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)且B ≠0时, BA y x nn n =∞→lim. 定理5 如果ϕ(x )≥φ(x ), 而lim ϕ(x )=a , lim ψ(x )=b , 那么a ≥b . 例1. 求)12(lim1-→x x .解: 11121lim 21lim 2lim )12(lim1111=-⋅=-=-=-→→→→x x x x x x x .讨论: 若n n n n a x a x a x a x P ++⋅⋅⋅++=--1110 )(, 则?)(lim 0=→x P x x提示: n x x n x x n x x n x x x x a x a x a x a x P 0lim )(lim )(lim )(lim )(lim 1110→-→-→→→++⋅⋅⋅++=n x x x x n n x x n x x a x a x a x a 0lim lim )(lim )(lim 1110→→--→→++⋅⋅⋅++=) )lim ()lim (1100n n x x n x x a x a x a +⋅⋅⋅++=-→→=a 0x 0n +a 1x 0n -1+⋅ ⋅ ⋅+a n =P (x 0).若n n n a x a x a x P +⋅⋅⋅++=- )(110, 则)()(lim 00x P x P x x =→.例2. 求351lim232+--→x x x x .解: )35(lim )1(lim 351lim 223223 2+--=+--→→→x x x x x x x x x 3lim lim 5lim1lim lim 2222232→→→→→+--=x x x x x x x x 325)lim (1)lim (2232+⋅--=→→x x x x 3731021223-=+--=.提问: 如下写法是否正确？35lim 1lim 351lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x 3731021223-=+--=. )35(lim )1(lim 351lim2232232+--=+--→→→x x x x x x x x x 37)3102(lim )12(lim 2232-=+--=→→x x .例3. 求93lim23--→x x x . 解:31lim )3)(3(3lim 93lim 3 32 3+=+--=--→→→x x x x x x x x x 61)3(lim 1lim33=+=→→x x x .例4. 求4532lim21+--→x x x x .解: 031241513245lim221=-⋅+⋅-=-+-→x x x x , 根据无穷大与无穷小的关系得4532lim21+--→x x x x =∞.提问: 如下写法是否正确？ ∞=-=+--=+--→→→01)45(lim )32(lim 4532lim21 121x x x x x x x x x .讨论:有理函数的极限?)()(lim=→x Q x P x x 提示:当0)(0≠x Q 时, )()()()(lim000x Q x P x Q x P x x =→. 当0)(0=x Q 且0)(0≠x P 时, ∞=→)()(limx Q x P x x .当Q (x 0)=P (x 0)=0时, 先将分子分母的公因式(x -x 0)约去.例5. 求357243lim 2323-+++∞→x x x x x .解: 先用x 3去除分子及分母, 然后取极限:73357243lim 357243lim332323=-+++=-+++∞→∞→x xx x x x x x x x . 例6. 求52123lim232+---∞→x x x x x .解: 先用x 3 去除分子及分母, 然后取极限:020512123lim 52123lim332232==+---=+---∞→∞→x x x x x x x x x x x . 例7. 求12352lim223--+-∞→x x x x x .解: 因为052123lim 232=+---∞→x x x x x , 所以∞=--+-∞→12352lim 223x x x x x .讨论:有理函数的极限?lim110110=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mm m n n n x b x b x b a x a x a提示:⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++--∞→mn m n ba mn b x b x b a x a x a m m m n n n x 0 lim 0110110.例8. 求xxx sin lim∞→.解: 当x →∞时, 分子及分母的极限都不存在, 故关于商的极限的运算法则不能应用. 因为x xxx sin 1sin ⋅=, 是无穷小与有界函数的乘积,所以 0sin lim =∞→xx x .定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义, 若0)(lim 0u x g x x =→, A u f u u =→)(lim 0, 且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0, 则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.定理8(复合函数的极限运算法则) 设函数y =f [g (x )]是由函数y =f (u )与函数u =g (x )复合而成, f [g (x )]在点x 0的某去心邻域内有定义. 若g (x )→u 0(x →x 0), f (u )→A (u →u 0), 且在x 0的某去心邻域内g (x )≠u 0, 则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0.简要证明 设在{x |0<|x -x 0|<δ0}内g (x )≠u 0.要证∀ε >0, ∃δ>0, 当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f [g (x )]-A |<ε .因为f (u )→A (u →u 0), 所以∀ε >0, ∃η>0, 当0<|u -u 0|<η时, 有|f (u )-A |<ε . 又g (x )→u 0(x →x 0), 所以对上述η>0, ∃δ1>0, 当0<|x -x 0|<δ1时, 有|g (x )-u 0|<η. 取δ=min{δ0, δ1}, 则当0<|x -x 0|<δ时, 0<|g (x )-u 0|<η, 从而 |f [g (x )]-A |=|f (u )-A |<ε .注:把定理中0)(lim 0u x g x x =→换成∞=→)(lim 0x g x x 或∞=∞→)(lim x g x ,而把A u f u u =→)(lim 0换成A u f u =∞→)(lim 可类似结果.把定理中g (x )→u 0(x →x 0)换成g (x )→∞(x →x 0)或g (x )→∞(x →∞), 而把f (u )→A (u →u 0)换成f (u )→A (u →∞)可类似结果. 例如 例9 求39lim 23--→x x x .解 392--=x x y 是由u y =与392--=x x u 复合而成的.因为639lim23=--→x x x , 所以6lim39lim623==--→→u x x u x .§1. 7极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时,有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x );(2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim=→xxx . 证明 首先注意到, 函数xxsin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然 sin x =CB , x =⋂AB , tan x =AD . 因为S ∆AOB <S扇形AOB<S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x , 即 sin x <x <tan x .不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<, 或 1s i n c o s <<xxx .注意此不等式当-2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ).显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x , 从而 1sin cos <<xx x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .应注意的问题: 在极限)()(sin limx x αα中, 只要α(x )是无穷小, 就有1)()(sin lim=x x αα.这是因为, 令u =α(x ), 则u →0, 于是)()(sin limx x αα1sin lim0==→uuu .1sin lim0=→xxx , 1)()(sin lim=x x αα(α(x )→0). 例1. 求x xx tan lim0→.解: xxx tan lim→xxx x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim00=⋅=→→xx x x x .例2. 求20cos 1limx xx -→.解: 2cos 1lim xxx -→=2222)2(2sin lim212sin2limxx x x x x →→=2112122s i n lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列{x n }满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n +1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调增加的; 如果数列{x n }满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n +1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列{x n }满足条件x n ≤x n +1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛.准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II , 可以证明极限n n n)11(lim +∞→存在.设n n nx )11(+=, 现证明数列{x n }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有 nn n n n n n n n n n n n n n n nn nx 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+= )11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=, )111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n nn n n .比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于x n +1的对应项, 并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此x n < x n +1 ,这就是说数列{x n }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为x n 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n n n n n x .根据准则II , 数列{x n }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nn n =+∞→)11(lim .我们还可以证明e xx x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y =e x 以及对数函数y =ln x 中的底e 就是这个常数.在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要α(x )是无穷小, 就有ex x =+)(1)](1lim[αα.这是因为,令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e uu u =+=∞→)11(lim .e xx x =+∞→)11(lim , e x x =+)(1)](1lim[αα(α(x )→0). 例3. 求x x x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是 x x x)11(lim -∞→t t t-∞→+=)11(lim ett t 1)11(1lim=+=∞→. 或 )1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x xx11])11(lim [---∞→=-+=e xx x .§1. 8 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 变量的增量:设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续. 注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0l i m 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε ,那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续. 左右连续性:如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系:函数y =f (x )在点x 0处连续⇔函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续. 函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数xx f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的. 证明: 设x 为区间(-∞, +∞)内任意一点. 则有 ∆y =sin(x +∆x )-sin x )2cos(2sin2x x x ∆+∆=,因为当∆x →0时, ∆y 是无穷小与有界函数的乘积, 所以0lim 0=∆→∆y x . 这就证明了函数y =sin x在区间(-∞, +∞)内任意一点x 都是连续的． 4. 函数y =cos x 在区间(-∞, +∞)内是连续的. 二、函数的间断点 间断定义:设函数f (x )在点x 0的某去心邻域内有定义. 在此前提下, 如果函数f (x )有下列三种情形之一:(1)在x 0没有定义;(2)虽然在x 0有定义, 但0lim x x →f (x )不存在;(3)虽然在x 0有定义且0lim x x →f (x )存在, 但0lim x x →f (x )≠f (x 0);则函数f (x )在点x 0为不连续, 而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点.例1. 正切函数y =tan x 在2π=x 处没有定义, 所以点2π=x 是函数tan x 的间断点.因为∞=→x x tan lim 2π, 故称2π=x 为函数tan x 的无穷间断点.例2. 函数xy 1sin =在点x =0没有定义, 所以点x =0是函数x1sin 的间断点.当x →0时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次, 所以点x =0称为函数x1sin 的振荡间断点.例3. 函数112--=x x y 在x =1没有定义, 所以点x =1是函数的间断点. 因为11lim21--→x x x 2)1(lim 1=+=→x x , 如果补充定义: 令x =1时y =2, 则所给函数在x =1成为连续. 所以x =1称为该函数的可去间断点.例4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==1 211 )(x x x x f y .第二章 极限21 因为1lim )(lim 11==→→x x f x x ,21)1(=f , )1()(lim 1f x f x ≠→, 所以x =1是函数f (x )的间断点. 如果改变函数f (x )在x =1处的定义:令f (1)=1, 则函数f (x )在x =1 成为连续, 所以x =1也称为该函数的可去间断点.例5. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0 1000 1)(x x x x x x f .因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x , 1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x , )(lim )(lim 00x f x f x x ++→→≠, 所以极限)(lim 0x f x →不存在, x =0是函数f (x )的间断点. 因函数f (x )的图形在x =0处产生跳跃现象,我们称x =0为函数f (x )的跳跃间断点.间断点的类型:通常把间断点分成两类:如果x 0是函数f (x )的间断点, 但左极限f (x 0-0)及右极限f (x 0+0)都存在, 那么x 0称为函数f (x )的第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点, 称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 左、右极限相等者称为可去间断点, 不相等者称为跳跃间断点. 无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.。