数学建模期末试题及答案

数学建模期末试题及答案
1. 题目描述
这是一份数学建模期末试题，包含多个问题，旨在考察学生对数学建模的理解和应用能力。

以下是试题的具体描述及答案解析。

2. 问题一
某城市的交通流量与时间呈周期性变化，根据历史数据，可以得到一个交通流量函数，如下所示：
\[f(t) = 100 + 50\sin(\frac{2\pi}{24}t)\]
其中，t表示时间（小时），f(t)表示交通流量。

请回答以下问题：
a) 请解释一下该函数的含义。

b) 根据该函数，该城市的最大交通流量是多少？
c) 在哪个时间段，该城市的交通流量较低？
【解析】
a) 该函数表示交通流量f(t)随时间t的变化规律。

通过观察函数，可以发现交通流量与时间的关系是周期性变化，每24小时一个周期。

函数中的sin函数表示交通流量在周期内的变化，振幅为50，即交通流量的最大值与最小值之差为50。

基准流量为100，表示在交通最不繁忙的时刻，流量为100辆。

b) 最大交通流量为基准流量100辆与振幅50辆之和，即150辆。

c) 交通流量较低的时间段为振幅为负值的时刻，即最小值出现的时
间段。

3. 问题二
某学校的图书馆借书规则如下：
- 学生每次最多可以借5本书，每本书的借阅期限为30天。

- 学生可以在借阅期限结束后进行续借，每次续借可以延长借阅期
限30天。

请回答以下问题：
a) 一个学生在10天内连续借了3次书，分别是2本、3本和4本，
请写出该学生在每次借书后的总借书数。

b) 如果一个学生借了5本书，每本都是在借阅期限后进行续借，借
了10年，最后一次续借后，该学生一共续借了几次书？
【解析】
a) 总的借书数为每次借书的累加和。

学生第一次借2本，总共借书
数为2本；第二次借3本，总共借书数为2 + 3 = 5本；第三次借4本，总共借书数为5 + 4 = 9本。

b) 学生每本书借阅期限为30天，10年为3650天，每次借书续借可
以延长借阅期限30天。

因此，学生续借次数为10年÷30天= 121次。

4. 问题三
某公司的销售额数据如下表所示：
| 月份 | 1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 销售额（万元） | 120 | 150 | 180 | 210 | 240 |
请回答以下问题：
a) 该公司1月到5月的平均月销售额是多少？
b) 根据上述销售额数据，拟合一条直线函数，表示月销售额与月份
的关系，并写出表达式。

c) 根据上述直线函数，预测该公司6月份的销售额是多少？
【解析】
a) 1月到5月的总销售额为120 + 150 + 180 + 210 + 240 = 900万元，平均月销售额为900 ÷ 5 = 180万元。

b) 月销售额与月份的关系可以用直线函数表示。

根据给定的数据，
可以构建如下的线性方程：\[y = ax + b\]其中，y表示销售额（万元），x表示月份，a和b为待求的参数。

根据表格数据，可得到以下两个方程：
\[120 = a \times 1 + b\]和\[240 = a \times 5 + b\]通过求解这两个方程，可得到a = 30和b = 90，即直线函数的表达式为\[y = 30x + 90\]。

c) 根据直线函数\[y = 30x + 90\]，将x取6，代入计算可得：\[y = 30 \times 6 + 90 = 210\]因此，预测该公司6月份的销售额为210万元。

5. 总结
本文介绍了一份数学建模期末试题，并通过题目对应的问题进行了详细的解答。

通过这些问题的解答，我们可以更好地理解数学建模的基本原理和应用方法。

希望本文对您的学习和应试有所帮助。

（注：本文中的数据和函数仅为示例，与实际情况无关）。