第八章刚体的平面运动习题解答
合肥工业大学理论力学答案08刚体平面运动
八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
第八章-2 刚体的平面运动
aB aAx aAy aBA a
√ √
√
n BA
aAy
A
aAx
方向 √ √ 大小
√
？
√
？ AB
将上式向 轴投影
a BA
2 AB
aAy
AB
n a BA
n aB a Ax a Ay 2 aBA 74.36(cm / s 2 )
aB 1 n (a Ax a Ay ) aBA 2 2
a
① 加速度没有投影定理。 ② 加速度瞬心存在，但一般不与速度瞬心重合。 ③ 由于加速度瞬心寻找很困难，求解中只用基点法。
半径为 R 的轮子 在水平面上纯滚，已知某瞬 时轮心的速度为 vO，加速 度为aO .求轮上速度瞬心的 加速度和 B 点的加速度。
例
aBY aO aBX B O C aCX
aB
B
aAx
n aB BA
§8-5 运动综合应用举例
工程中的机构大都由数个物体组成，各物体间通过联 结点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各 物体都作什么运动，计算联结点的速度和加速度。 平面运动理论用来分析同一平面运动刚体，或刚体间 接触处没有相对滑动的机构的运动量联系。当两刚体 相接触而有相对滑动时，则需要点的合成运动理论。 复杂机构可能同时有平面运动和点的合成运动问题， 应分清关系、综合处理。
B’ B
30°
vB’A
vB' A 30 3 mm/ s
AE
vB ' A 3 rad / s AB 2
从而得槽杆AE的角速度
求加速度
1、选滑块B为动点，动系与槽杆AE固结。 aa = a e + a r+ a C ( 4 ) 2、以 A 点为基点，求 B’点的加速度
第八章刚体的平面运动
其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
14
2. 速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连
线上的投影相等。
证明：
vB =vA +vBA
vBA vB
∵(vB )AB= (vA )AB+ (vBA) AB
A
B
vA
vA
而vBA 垂直AB，在AB两点连线上的投影为零
∴ (vB )AB= (vA )AB
O
30 A 60 60 B vB 已知方向，可求出连杆CB的速度瞬
vA
心Cv2。
36
例题
刚体的平面运动
例题8
因为
CCv2 CB tan 30
3l 3
故得连杆CB角速度的大小
C
Cv2
Cv1
vC
CB
vC CCv 2
3 l
vA
它的转向沿逆时针。于是滑块B 速
度的大小为
O
30 A
vA
60 60 B vB
M3和M4各点的加速度大小。
39
例题
刚体的平面运动
例题9
解： 因在此瞬时O点的加速度是已知的，
M3
故选O点为基点，则齿轮节圆边缘上任一
点M 的加速度为：
aO vO M4
M2
RO
a O
因为任一瞬时齿轮的角速度 vO ，
R
M1
因此，可对此式求导数，从而求得齿轮
的角加速度
O
ψ
A vB
vA=u
vB
u
tan
,
vBA
u
sin
,
所以
AB
vBA l
u l
理论力学-刚体的平面运动案例
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
第八章刚体的平面运动习题解答
基点法
瞬心法
8-10在瓦特行星机构中，杆O1A绕轴O1转动，并借连杆AB带动曲柄OB绕轴O转动（曲柄OB活动地装在O轴上），如图8-37所示。齿轮Ⅱ与连杆AB固连于一体，在轴O上还装有齿轮Ⅰ。已知 ；又杆O1A的角速度 。试求当 且 时，曲柄OB和齿轮Ⅰ的角速度。
图8-37
瞬心法
基点法
8-11图8-38所示的双曲柄连杆机构中，滑块B和E用杆BE连接，主动曲柄OA和从动曲柄OD都绕O轴转动。主动曲柄OA作匀速转动，角速度的大小为 。已知各部件的尺寸为： 。试求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD和连杆DE的角速度。
图8-59
以O为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
圆轮O
以O为基点，分析C点
向y
8-33图8-60所示机构中，已知曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动，OA=100mm，l=500mm。在图示位置， ，试确定杆BD的角速度和角加速度。
图8-60
以A为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
图8-43
速度分析
加速度分析
8-17边长l=400mm的等边三角板ABC在其所在平面内运动，如图8-44所示。已知某瞬时点A的速度 ，加速度 ，方向均沿AC；点B的速度大小为 ，加速度大小为 。试求该瞬时点C的速度和加速度。
图8-44
即
(1)
向图示x、y方向投影
(2)
向图示x、y方向投影
8-18图8-45所示机构中，曲柄OA长为 ，以匀角速度 绕轴O转动；滑块B可在水平滑槽内滑动。已知AB=AC=2l，在图示瞬时，OA铅直，试求此时点C的速度及加速度。
图8-62
《理论力学》第八章_刚体的平面运动习题解
vE
vO
v0
1 (157.05 52.35) 52.35(mm / s) （方向：向上。） 2
vD
[习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图 示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
y
x
'
O
'
B
vB
300
A
60
0
O
0 v A
解：
v A OA 0 200 3 600(rad / s)
v B v A v BA [v B ] AB [v A ] AB
v B cos 30 0 v A 600
vB 600 692.84(mm / s) 0.866
C3 0
A
Rr t 2 2r
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
x A ( R r ) cos y A ( R r ) sin
t 2
2
t 2
2
A
Rr t 2 2r
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢 量和之一半。 已知：如图所示， AC CB ， 求证： vC 证明：
300
v B v A v BA
ve
O
vBA AB 200 2 400(mm / s)
v B v A v BA 2v A v BA cos 150 0
2 2
5332 400 2 2 533 400 0.866
刚体的平面运动
O1O2 0.05 + O1 A = + 0.1 D tan 30 tan 30D
ω ABD =
0.2 = 1.072 rad / s 0.1866
ω ABD
P
vD = PD ⋅ ω ABD = ( PA + AD ) ⋅ ω = (0.1866 + 0.05) ⋅1.072 = 0.254 m / s
O1 B 与连杆间成 30° 角．如 OA = r , AB = 2 3r , O1 B = 2r ,求在该瞬时，滑块 B 的切向和法
向加速度。 解: AB 杆作平面运动,速度分析如图
vB cos 60D = v A , vB = 2v A = 2rωO
n 2 2 故 B 点的法向加速度： aB = vB / O1 B = 2rωO
刚体的平面运动(一)
一、填空题 1、刚体的平面运动可分解为 随基点的平移 和 绕基点的转动 ； 平移的速度和加速度 与基 点的选择有关，_转动的角速度和角加速度_与基点的选择无关。
2、若已知刚体上任一点的速度 v 和刚体的角速度 ω ，那么速度瞬心的位置应在_过该点与 v 垂 直的直线上_，距该点的距离_____ v / ω _____；若瞬心在无穷远，则此时角速度为__零___， 刚体作___瞬时平移__。 3、刚体定轴转动时，轴上各点的速度__为零___，加速度__为零__；而绕速度瞬心转动时，速 度瞬心的速度__为零__，加速度 二、判断题 (× ) 1、刚体的平面运动与刚体的平动其相似之处是刚体上各点的运动轨迹都在同一平面内。 (× ) 2、平面图形上任意两点的速度在固定坐标轴上的投影相等。 (√) 3、平面图形的角速度不等于零，则图形上不可能存在两个或两个以上速度为零的点。 (√) 4、作平面运动的平面图形上(瞬时平动除外)，每一瞬时都存在一个速度瞬心。 三、选择题 1、一圆盘作平面运动,如图所示的速度分布情况中,可能出现的是 A.图(a) B.图(b) C.图(c) A 。 D.图(d) 不一定为零 。
刚体平面运动习题
刚体平面运动习题第八章刚体平面运动的练习1.真或假(勾选正确和交叉错误)8-1。
刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。
()8-2。
平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。
()8-3。
平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。
()()()8-6。
瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。
()8-7。
刚体的平移也是一种平面运动。
()2。
填空(在横线上写出正确答案)8-8。
在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。
8-9。
平面图上任意两点的速度在上投影中相等。
8-10。
瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。
3.简短回答问题8-11。
确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。
AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d)8-12。
如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c)8-13。
下图中O1A和AC的速度分布是否正确？8-14。
当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13图8-148-15。
为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题8-16。
椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。
如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。
8-17。
半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。
角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。
yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO图8-178-18。
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习 题8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。
OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
图8-28t t r y t r x O O C O C ωϕωω===sin cos8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。
圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。
试求圆柱的平面运动方程。
图8-293/32gh v A = 3/22gh v A= 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =ϕ8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。
设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
图8-30瞬心法θθθθωcos sin cot sin 2R v R v AIv A === 基点法 θsin v v CA =θθθθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA ===8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
图8-31AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 221-=ω OB B O v v v += 2212v v r v v O +=+=ω8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。
当ADBC 成一平行四边形时，m /s 4.0m /s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。
图8-32CB B CA A C v v v v v +=+=向x︒=︒+-60cos 30cos B CA A v v v 38.02/3214.02.030cos 60cos =⨯+=︒︒+=B A CA v v v 向ξ ︒-=︒-30cos 60cos CB B A v v v3130cos 60cos =︒︒+=A B CB v v v m/s 306.038.023314.02314.030cos 2222==⨯⨯⨯-+=︒-+=CB B CB B C v v v v v8-6 图8-33所示机构中，OA =200mm ，AB =400mm ，BD =150mm ，曲柄OA 以匀角速度rad/s 4=ω绕轴O 转动。
当︒=45θ时，连杆AB 恰好水平、BD 铅直，试求该瞬时连杆AB 及构件BD 的角速度。
图8-33瞬心法800==ωOA v Arad/s 414.122400800====AB A AB AI v ω 24002400=⨯==AB AB B BI v ωrad/s 711.32381502400====BD v B BD ω 基点法8-7 在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC 的摆动是由曲柄连杆机构所带动。
已知曲柄长OA =0.3m ，转速为n =40r/min 。
当筛子运动到与点O 在同一水平线上时，︒=90OAB ，试求此时筛子BC 的速度。
图8-34π4.04030π3.0=⨯⨯==ωOA v A 速度投影定理A B v v =︒60cosm/s 2512.0π8.0260cos ===︒=A A B v v v8-8 长为l=1.2m的直杆AB作平面运动，某瞬时其中点C的速度大小为v C=3m/s，方向与AB 的夹角为︒60，如图8-35所示。
试求此时点A 可能有的最小速度以及该瞬时杆AB 的角速度。
图8-35︒-+=30cos 222AC C AC C A v v v v v对AC v 求导，并令其等于0，得︒=30cos C AC v v 即AC A v v ⊥时m/s 5.130sin =︒=C A v v ︒=30cos C AC v vrad/s 33.435.26.0233==⨯==AC v AC AB ω8-9 如图8-36所示的四连杆机构中，连杆AB 上固连一块直角三角板ABC ，曲柄O 1A 的角速度恒为rad/s 21=ω，已知O 1A =0.1m ，O 1 O 2=AC ＝0.05m ，当O 1A 铅直时，AB 平行于O 1 O 2，且AC 与O 1A 在同一直线上，︒=30ϕ 。
试求此时直角三角板ABC 的角速度和点C 的速度。
图8-36基点法m /s 2.021.01=⨯==ωA O v Am/s 32.030tan =︒=A BA v v rad/s 0718.1135.021.0305.02.031.005.032.0=+=+=+==AB v BA ABC ω m/s 2536.00718.105.02.0=⨯+=+=+=ABC A CA A C AC v v v v ω瞬心法305.01.030cot 05.01.011+=︒+=+=I O A O AIm /s 2.021.01=⨯==ωA O v Arad/s 0718.1305.01.02.0=+==AI v A ABC ω m/s 2536.00718.1)305.01.005.0(=⨯++==ABC C CI v ω8-10 在瓦特行星机构中，杆O 1A 绕轴O 1转动，并借连杆AB 带动曲柄OB 绕轴O 转动（曲柄OB 活动地装在O 轴上），如图8-37所示。
齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体，在轴O 上还装有齿轮Ⅰ。
已知m 5.1m,75.0m,33.0121====AB A O r r ；又杆O 1A 的角速度rad/s 61=O ω 。
试求当︒=60γ 且︒=90β 时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
图8-37瞬心法360cos =︒=AB AI 35.160tan =︒=AB BI m/s 5.4675.011=⨯==O A A O v ωrad/s 5.135.4===AI v A AB ω m/s 325.25.135.1=⨯==AB B BI v ω rad/s 75.336.0325.2===OB v B OB ω m/s 38.15.1)33.035.1(=⨯-==AB C CI v ω rad/s 633.038.1I ===OC v C ω 基点法 m/s 5.4675.011=⨯==O A A O v ωm/s 325.2235.430cos =⨯=︒=A B v v rad/s 75.336.0325.2===OB v B OB ω m /s 25.230sin =︒=A BA v vrad/s 5.15.155.2===AB v BA AB ω m/s 38.15.133.0325.2=⨯-=-=CB B C v v v rad/s 633.038.1I ===OC v C ω8-11 图8-38所示的双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。
主动曲柄OA 作匀速转动，角速度的大小为rad/s 12=O ω。
已知各部件的尺寸为：m 312.0m,12.0m,26.0m,12.0m,1.0=====DE BE AB OD OA 。
试求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD 和连杆DE 的角速度。
图8-38 m 24.01.026.02222=-=-=OA AB OBm 12.012.024.0=-=-=EB OB OE杆AB 瞬时平动m/s 2.1121.0=⨯==O A OA v ωm /s 2.1==A B v v杆EB 平动m /s 2.1==B E v v杆DE 平面运动(瞬心法)︒=∠=∠=∠30EIO DEO EDO312.0==DE EI 36.0=DIrad/s 3310310312.02.1====EI v E DE ω m/s 32.1331036.0=⨯==DE D DI v ω rad/s 31012.032.1===OD v D OD ω加速度分析(讨论)杆AB 瞬时平动222m/s 4.14121.0=⨯==O A OA a ω2m/s 624.01.04.144.14tan =⨯=⨯==OB OA a a A B ϕ (向右) 杆EB 平动 2m/s 6==B E a a杆DE 平面运动(基点法)以E 为基点，分析D 点n τn τDEDE E D D a a a a a ++=+ 36)310(12.022n =⨯==OD D OD a ω 34)3310(312.022n =⨯==DE DE DE a ω 向n τn 30cos 30sin 30cos DEE D D a a a a +︒=︒-︒ ︒-︒-=︒-︒-︒=30sin 30cot )(30sin 30cos 30cos n n n n τDE E D DE E D Da a a a a a a 3222343)636(=⨯--= 2τrad/s 5.3173355063110012.0322=====OD a D OD α (逆时针)8-12 图8-39所示机构中，已知：m;31.0m,1.0m,1.0m,1.0====EF DE BD OA 曲柄OA 的角速度为rad/s 4=O ω。
在图示位置时，OA 垂直于水平线OB ；B 、D 和F 位于同一铅直线上；又DE 垂直于EF 。
试求此时杆EF 的角速度和点F 的速度。
图8-39 杆AB 瞬时平动 m/s 4.041.0=⨯==O A OA v ωm /s 4.0==A B v v杆BC 平面运动(瞬心法)，瞬心在D 点rad/s 41.04.0===BD v B BC ωCDE C CDv ω== 杆EF 平面运动(瞬心法)3.0=EI 32.0=FIm/s 4.041.0=⨯==CDE E DE v ωrad/s 3333.1343.04.0====EI v E EF ω m/s 4619.0338.03432.0==⨯==EF F FI v ω8-13 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的固定圆弧面作纯滚。
在图8-40所示瞬时，滚子中心C 的速度为C v 、切向加速度为τC a 。
试求此时滚子与圆弧面的接触点A 以及同一直径上最高点B 的加速度。
图8-40 rv C =ω r a C τ=α r R v a C n C -=2 n AC τAC n C τC A a a a a a +++=r v r a C nAC 22==ω ττC AC a r a ==α r r R Rv r v r R v aa a C C C n AC nC A )(222-=+-=+= n BC τBC n C τC B a a a a a +++=τC BC a r a ==ατ r v r a C n BC 22==ω ττ2C BC C B a a a a =+=ττr r R v r R r R v r v a a a C C C nCn BC nB )()2(222--=--===8-14 绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为R 。