通信原理课程设计——模拟信号的抽样

一、基本原理1.1抽样定理抽样时时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样序列的过程。

抽样定理要解决的事，能否由此抽样序列无失真的恢复出模拟信号。

对一个频带受限的、时间连续的模拟信号抽样，当抽样速度达到一定的数值时，那么根据它的抽样值就能无失真恢复原模拟信号。

也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需要传输由抽样得到的抽样即可。

因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。

抽样的过程是将输入的模拟信号与抽样信号相乘，通常抽样信号时一个周期为T 的周期脉冲信号，抽样后得到的信号称为抽样信号。

理想的抽样为()∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nT t s nT t δδ其中(){ss t t T f t 1,0010===≠δ称为抽样速率。

因此抽样后信号为 ()()()()()sk sT s nT t nT x t t x t x -==∑∞-∞=δδ1.2低通抽样定理一个频带限制在()H f ,0内的连续信号()t x ，如果以()H sf T 2\1≤ 秒的时间间隔对它进行均匀抽样，则()t x 将被所得到的抽样值完全确定，可以由抽样值序列无失真地重建原始信号。

()H s f T 2\1=是抽样的最大间隔，称为奈奎斯特间隔。

低通信号的抽样可以从频域来理解，抽样的时域、频域对照如图4-3所示，根据频域卷积定理，()t x 的频域表达式为()()()[]()()()∑∑∞-∞=∞-∞=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-*=*=n ssn s sT s n X T n X T X X ωωωωδωωδωπω1121由上式可见，在s ω的整数倍（n=⋅⋅⋅±±，，21）处存在()ωX 的复制谱。

如图4—3（c ）所示，抽样后信号的频谱是原信号频谱平移s nf 后叠加而成，因此如果不发生频谱重叠，可以通过低通滤出原信号。

如果抽样频率H s ωω2<，即抽样间隔()H s f T 2/1>，则抽样信号的频谱会发生混叠现象，此时不可能无失真地重建原始信号。

将抽样后的信号()ωs X 通过介质频率为H ω的低通滤波器，只允许低于H ω的频率分量通过，滤除过高的频率分量，从而恢复出原来被抽样的信号 X 。

滤波器的作用等效于用一门函数与()ωs X 相乘。

低通滤波器的特性如图4—3（c ）上虚线表示。

在时域上就是与冲激响应()t h 作运算。

即()()()()()[]sHn sss nT t Sa nT f T t x t h t x -=*=∑∞-∞=ω1式中，抽样信号()()t t t Sa /sin = 就是()t h ，也就是()ωH 的傅里叶逆变换。

图4—3（d ）从几何意义上来说，以每个抽样值为峰值画一个Sa 函数的波形，则合成的波形就是x （t ）。

图4—3 低通抽样的时域、频域对照1.3、带通抽样定理一个带通信号m （t ），其频率限制在fL 与fH 之间，带宽为B=fH-fL ，如果最小抽样速率f=2fH/m ，m 是一个不超过fH /B 的最大整数，那么m （t ）可以完全由其抽样值确定。

下面分两种情况加以说明：（1）若最高频率FH 为带宽的整数倍，即fH =nB 。

此时fH/B=n 是整数，m=n ，所以抽样速率=2fH/m=2B 。

图6-7画出了fH=5B 时的频谱图。

图中抽样信号的频谱MS(ω)既没有混叠也没有留空隙，而且包含有m(t)的频谱M(ω)，如图6-7（c）中两对虚线所框的部分所示。

这样，采用带通滤波器就能无失真恢复原信号，且此时抽样速率（2B）远低于按低通抽样定理时=10B的要求。

显然，若fS再减小，即fS<2B时必然会出现混叠失真。

由此可知：当fH =nB时，能重建原信号m(t)的最小抽样频率为fs=2B。

（2）若最高频率fH不为带宽的整数倍，即fH =nB+kB,0<k<1此时，fH /B=n+k，由定理知m是一个不超过n+k的最大整数，显然，m=n，所以能恢复出原信号m(t)的最小抽样速率为。

式中，n是一个不超过fH/B的最大整数，0<k<1。

根据式6-11，和关系fH=B+ fL画出的曲线如图6-8所示。

由图可知，F在2B-4B范围内取值，当fL继续增加，并远远大于B时，趋近于2B。

这一点由式（6-11）也可以加以说明，当fL远大于B时，n很大，所以不论fH是否为带宽的整数倍，式（6-11）可简化为≈2B。

实际中，应用广泛的高频窄带信号就符合这种情况，这是因为fH大而B小，fL当然也大，很容易满足fL>>B。

由于带通信号一般为窄带信号，容易满足fL>>B，因此带通信号通常可按2B速率抽样。

二、设计过程2.1、MATLAB编程简介：MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起，并提供了大量的内置函数，从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作，而且利用MATLAB产品的开放式结构Matlab特点：（1）高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；（2）具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化;（3）友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；（4）功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,为用户提供了大量方便实用的处理工具。

2.2设计思路模拟信号首先被抽样，通常抽样是按照等时间间隔进行的，模拟信号被抽样后，成为抽样信号，它在时间上是离散的但是其取值仍然是连续的，所以是离散模拟信号。

在理论上抽样过程可以看成是用周期性单位冲激脉冲和此模拟信号相乘。

抽样结果得到的是一系列周期性的冲激脉冲，其面积和模拟信号的取值成正比。

下面举例说明：给出某一低通信号如：x(t)=0.5+0.1cos0.15π+1.5sin2.5πt+0.5cos4πt（1）画出该低通信号波形；（2）画出抽样速率分别为2Hz、4Hz、6Hz时的抽样序列；（3）从抽样序列恢复出原始信号。

分析：此次实验是根据要求先用matlab产生一个的x(t)=0.5+0.1cos0.15π+1.5sin2.5πt+0.5cos4πt的连续信号，然后对该信号进行抽样，产生频谱。

抽样频率不同，即单位时间内的抽样点数不同，会产生不同的频谱，再设计一个低通滤波器，使抽样后的信号经过此低通滤波器，恢复出原始信号，由于抽样频率不同会恢复出不同的原始信号。

2.3、流程图2.4、仿真程序第一步：产生低通信号波形t=0:pi/10:30;x2=0.5+0.1*cos(0.15*pi)+1.5*sin(2.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t); figureplot(t,x2);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('原时域连续信号');grid第二步：分别以2hz,4hz,6hz的频率对信号进行抽样n1=input('请输入采样点数n:');n=0:n1;zb=size(n);figuret=30*n/zb(2);sinf=0.5+0.1*cos(0.15*pi*t)+1.5*sin(2.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t); stem(n,sinf,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');title('采样后的时域信号');gridn的值为采样点数。

n=60时为20hz,n=120为4hz,n=180为6hz第三步：设计低通滤波器[B,A]=butter(8,350/500);[H,w]=freqz(B,A,512,2000);figure;plot(w*2000/(2*pi),abs(H));xlabel('Hz');ylabel('频率响应幅度');title('低通滤波器');grid;第四步：根据抽样后的信号恢复原信号n1=input('请输入采样点数n:')n=0:n1;zb=size(n);figuret=30*n/zb(2);sinf=0.5+0.1*cos(0.15*pi*t)+1.5*sin(2.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t);subplot(2,1,1);stem(n,sinf,'.');xlabel('n');ylabel('x(n)');title('采样后的时域信号');gridy=filter(B,A,sinf);subplot(2,1,2);plot(y);xlabel('t');ylabel('x(t)');title('恢复后的连续信号');grid;输入n的值，输出抽样n的抽样波形和对应的经过低通滤波器的恢复波形。

2hz时信号失真严重，4hz时能基本恢复波形，6hz时能很好的恢复波形，分别见图别见图时，6hz时能三、仿真结果第一步：第二步：n=60n=120n=180 第三步：第四步：n=60n=120n=180四、仿真结果分析（1）第一步：产生要求的信号波形，横坐标表示时间t，长度为30，描点间隔为pi/10，纵坐标表示幅度x2,幅度与时间的关系为：x2=0.5+0.1cos(0.15*pi)+1.5*sin(0.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t)（2）第二步；分别以2hz,4hz,6hz的频率对信号进行抽样，程序中n为程序运行后手动输入，n的值为采样点数。

n=6时为2hz,n=120为4hz,n=180为6hz.（3）第三步：设计出低通滤波器，利用[b,a]=butter(n,Wn,ftype)一个阶数为n频率为Wn 的低通滤波器其中参数ftype的形式确定了滤波器的形式当它为high时得到高通滤波器若Wn是一个含有两个元素向量[w1 w2]则返回的[a,b]所构成的滤波器是阶数为2n的带通滤波器滤波器的通带范围是w1<Wn<w2.[H,w]=freqz(B,A,N)B和A分别为离散系统的系统函数分子，分母多项式的系统向量，返回量H则包含了离散系统频响在0~pi范围内N个频率等分点的值（其中N为正整数），w则包含了范围内N个频率等分点。

调用默认的N时，其值是512.（4）第四步：根据抽样信号后的信号恢复原信号，输入n的值，输出抽样n的抽样波形和对应的经过低通滤波器输出的恢复波形2hz时信号失真严重，4hz时基本能恢复波形，6hz 时能很好地恢复波形。

五、总结这次设计中，程序的调试遇到很多问题，从基本的函数图形的产生，到后来的抽样产生频谱，再到后来的设计低通滤波器，到最后的信号恢复，从无知到熟知，这个过程不仅巩固了matlab的应用，更让我对信号的产生，抽样处理，低通滤波器的设计实现，及信号的恢复有了更深刻的认识。