高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解)[1]1
高中数学选修4-4习题(含问题详解)
统考作业题目——4-41．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数〕,以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,两坐标系取一样的长度单位.曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. 〔1〕求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；〔2〕点M 是曲线C 上任一点,求点M 到直线l 距离的最大值.2．极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位一样.直线的极坐标方程为：,点,参数．〔I 〕求点轨迹的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕求点到直线距离的最大值． 1、[详解]〔1〕12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==,所以222440x y x y ++++=,即22(1)(2)1x y +++=〔2〕因为圆心(1,2)--到直线10x y +-=距离为|121|222---=, 所以点M 到直线l 距离的最大值为2222 1.r +=+2、解：〔Ⅰ〕设,如此,且参数,消参得：所以点的轨迹方程为〔Ⅱ〕因为所以 所以,所以直线的直角坐标方程为法一：由〔Ⅰ〕点的轨迹方程为圆心为〔0,2〕,半径为2．,点到直线距离的最大值等于圆心到直线距离与圆的半径之和, 所以点到直线距离的最大值．法二：当时,,即点到直线距离的最大值为．3．在平面直角坐标系xOy 中,曲线的参数方程为〔为参数〕,曲线的参数方程为〔,t 为参数〕.<1>求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；<2>设P 为曲线上的动点,求点P 到上点的距离的最小值,并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ 〔α为参数,以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔1〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔2〕设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求||PQ 的最小值与此时P 的直角坐标. 3、[详解]〔1〕对曲线：,,∴曲线的普通方程为．对曲线消去参数可得且∴曲线的直角坐标方程为．又,从而曲线的极坐标方程为.〔2〕设曲线上的任意一点为,如此点到曲线：的距离,当,即时,,此时点的坐标为．4、[详解]〔1〕曲线1C 的参数方程为cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕,移项后两边平方可得,2222cos sin 13y x αα+=+= 即有椭圆221:13y C x +=；曲线2C 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即有2222ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭由cos x ρθ=,sin y ρθ=,可得40x y +-=,即有2C 的直角坐标方程为直线40x y +-=；〔2〕设(cos ,3sin )P αα,由P 到直线的距离为|cos 3sin 4|2d αα+-=当sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,||PQ 的最小值为2, 此时可取3πα=,即有13,22P ⎛⎫⎪⎝⎭. 5.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是〔θ为参数〕,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为．假如直线与曲线相交于不同的两点A ,B ,且,求的值．6．直线l 的参数方程为315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0ρθθ-=．〔Ⅰ〕求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； 〔Ⅱ〕假如直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求线段AB 的长． 5、 因为,所以直线的直角坐标方程为,其倾斜角为,过点,所以直线的参数方程为〔为参数〕,即〔为参数〕．曲线的参数方程〔θ为参数〕化为普通方程为,将代入曲线的方程,整理得,,设点,对应的参数分别为,如此,所以．6、[详解]〔Ⅰ〕将315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=,即4340x y --=, 故直线l 的普通方程为4340x y --=．由2sin4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ,把cos x ρθ=,sin y ρθ=代入上式,可得042=-x y ,即24y x =,故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．〔Ⅱ〕将31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =,可得2415250t t --=,设点A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,如此12154t t +=,12254t t =-,所以22121212152525||||()4()4()444AB t t t t t t =-=+-=-⨯-=, 故线段AB 的长为254． 7．平面直角坐标系x0y,以O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线l 过点P<-1,2>,且倾斜角为23π,圆C 的极坐标方程为)3cos(2πθρ+=. <1>求圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；<2>设直线l 与圆C 交于M 、N 两点.求PM PN +的值.8．在以极点O 为原点,极轴为x 轴正半轴的直角坐标系中,曲线1C的参数方程为2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕,曲线1C 在点),(00y x P 处的切线l的极坐标方程为ρ=.〔1〕求切线l 的直角坐标方程与切点P 的直角坐标；〔2〕假如切线l 和曲线2:C 2cos 6sin 160ρθρθ--+=相交于不同的两点,A B ,求1||PA +1||PB 的值. 7、[详解]〔1〕2cos ,3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭2cos sin ρρθθ∴=⋅⋅∴圆C的方程：220x y x +-+=,直线l的参数方程为1122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕〔2〕将直线l 的参数方程代入圆C 的方程,得： 8、[详解]〔1〕切线l的极坐标方程为ρ=∴cos 2sin 3θρθ-=,如此切线l的直角坐标方程为230y --=,∵曲线1C 的参数方程为22x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕, ∴曲线1C 的普通方程为y x 22=,即212y x =,如此y x '=, 又切线l 的斜率为3,∴03x =,此时032y =, 故切点P 的直角坐标为3(3,)2.〔2〕切线l 的倾斜角为π3, ∴切线l 的参数方程为1323322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩〔t 为参数〕,曲线2C 的极坐标方程为243cos 6sin 160ρρθρθ--+=,∴曲线2C 的直角坐标方程为22436160x y x y +--+=,将1323322x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22436160x y x y +--+=, 得2410310t t -+=,设交点,A B 对应的参数分别是12,t t ,如此121253214t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩,∴1212125311210314t t t t t t ++===, 故||1||1PB PA +310=. 9．曲线的参数方程为为参数>,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.〔1〕把的参数方程化为极坐标方程；〔2〕求与交点的极坐标．10．在直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为,曲线E的极坐标方程为.〔1〕分别求曲线C和E的直角坐标方程；〔2〕求经过曲线C与E交点的直线的直角坐标方程.9、[详解]〔1〕将消去参数t,化为普通方程即将代入得所以的极坐标方程为〔2〕的普通方程为,由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.10、[详解]〔1〕由题意,曲线C的直角坐标方程为：；曲线E的直角坐标方程为：.〔2〕由题意得：得.即所求直线的直角坐标方程为11．在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩参数〕,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 7,2π〕且经过极点的圆〔1〕求曲线C 1的极坐标方程和C 2的普通方程； 〔2〕射线(0)6πθρ=≥分別与曲线C 1,C 2交于点A,B 〔点B 异于坐标原点O 〕,求线段AB 的长12．选修4-4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩,〔t 为参数〕,在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线1:2cos C ρθ=,2:2cos 3C πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求1C 与2C 交点的直角坐标；〔Ⅱ〕假如直线l 与曲线1C ,2C 分别相交于异于原点的点M ,N ,求MN 的最大值. 11、[详解]〔1〕由曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩〔ϕ为参数〕,消去参数ϕ得2214xy +=,又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2214x y +=得1C 的极坐标方程为222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++, 由曲线2C 是圆心的极坐标为7,2π⎛⎫⎪⎝⎭且经过极点的圆. 可得其极坐标方程为7ρθ=,从而得2C 的普通方程为22270x y y +-=.〔2〕将(0)6πθρ=≥代入27sin ρθ=得27sin76B πρ==,又将(0)6πθρ=≥代入2224cos 4sin ρθθ=+得224477cos 4sin 66A ρππ==+, 12、[详解]解：〔Ⅰ〕曲线1C 的直角坐标方程为222x y x +=,曲线2C 的直角坐标方程为2230x y x y +--=.由2222230x y x x y x y ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 故1C 与2C 交点的直角坐标为()0,0,33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.〔Ⅱ〕不妨设0απ≤<,点M ,N 的极坐标分别为()1,ρα,()2,ρα所以122cos 2cos 3MN πρραα⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭所以当32πα=时,MN 取得最大值2. 13． 在直角坐标系中,曲线的参数方程为〔为参数〕,直线的方程为．〔1〕以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程；〔2〕在〔1〕的条件下,直线的极坐标方程为,设曲线与直线的交于点和点,曲线与直线的交于点和点,求的面积．13、[详解]〔1〕由,得曲线C 的普通方程为,把,代入该式化简得曲线C 的极坐标方程为：.因为直线：是过原点且倾斜角为的直线,所以直线的极坐标方程为：．〔2〕把代入得,故, 把代入得,故,因为,所以的面积为..。
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解)[1](优选.)
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最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案) - 副本
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cossinxyρθρθ=⎧⎨=⎩222tan(0)x yyxxρθ=+=≠在一般情况下,由tanθ确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02)rρθπ=≤<圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22rππρθθ=-≤<圆心为(,)2rπ,半径为r的圆2sin(0)rρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试(附答案)
高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是 （ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 （ ）A ．ρ=1B ．ρ=cosθC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 （ ）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（ ）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是 （ ）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为 ，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
新课标高考《坐标系与参数方程》(选修4-4)含答案
第二讲 坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．热点二参数方程及其应用[例2](2014·福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝a－2t，y＝－4t(t为参数)，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝4cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．2．倾斜角为α的直线l过点P(8,2)，直线l和曲线C：⎩⎨⎧x＝42cos θ，y＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M1，M2.(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并写出直线l的参数方程；(2)求|PM1|·|PM2|的取值范围．[例3](2014·辽宁高考)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝2＋t cos α，y＝t sin α(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.热点三极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上， 可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1， 所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42， 所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，热点二参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64. 热点三极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. 故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x .(2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C2：x 216＋y 29＝1. 曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1. 曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4． 解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6.(2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。
2020年高考数学 选修4-4：坐标系与参数方程 解答题专练(含答案)
2020年高考数学选修4-4：坐标系与参数方程解答题专练1.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线，曲线（φ为参数）.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为.（1）求直线l1和曲线C的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,C的公共点分别为A,B，且，求MOB的面积．2.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是设点P(-1,2)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程化为普通方程；(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点，求的值．3.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数），点P的坐标为(-2,0)(1)若点Q在曲线C上运动，点M在线段PQ上运动，且，求动点M的轨迹方程；(2)设直线l与曲线C交于A,B两点，求的值.4.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线（φ为参数）相交于不同的两点A,B．（1）若，若以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程；（2）若直线的斜率为，点，求的值．5.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．6.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P(-1,0)，直线l和曲线C交于A,B两点，求的值．7.【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，求．8.【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C交于A，B两点.（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求ABP的面积的最大值9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，点P（0，﹣1），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ=8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，M是线段AB的中点，当|PM|=时，求sinα的值．10.【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为.(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；(2)若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|=4，求△MAB面积的最大值与最小值。
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坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=. 二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解)
数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23-C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A．1(,2B ．31(,)42-C． D． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
高考理科数学一轮复习专题训练：选修4-4坐标系与参数方程(含详细答案解析)
第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩的斜率为（ ）A ．1B ．1- CD．【答案】C【解析】由11x ty =+=-+⎧⎪⎨⎪⎩，可得1y =，斜率k C ．2．点A 的极坐标为，则A 的直角坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】 设点(),A x y ，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，52sin 16y π==，即点A的坐标为()，故选D ． 3．在极坐标系中，方程sin ρθ=表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】B【解析】方程sin ρθ=，可化简为2sin ρρθ=，即22x y y +=． 整理得2211y 24x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，表示圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆．故选B ．4．参数方程()sin cos22x y ααα⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数的普通方程为（ ） A ．221y x -=B ．221x y -=C ．(221y x x -=D ．(221x y x -=【答案】C【解析】由题意可知：21sin x α=+，2222sin 1y y x α=+⇒-=，且y ⎡⎣，据此可得普通方程为(221y x x -=≤．故选C ．5．点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．22,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()π2,2π3k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z【答案】C【解析】由于222x y ρ=+，得24ρ=，2ρ=，由cos x ρθ=，得1cos 2θ=-，结合点在第二象限，可得23θπ=，则点M 的坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，故选C ． 6．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示的不是同一点的极坐标是（ ）A ．72,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．132,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()1-，而点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭在直角坐标系中表示点()，所以点2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭和点72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭表示不同的点，故选B ．7．点P 的直线坐标为()，则它的极坐标可以是（ ）A ．26π⎛⎫⎪⎝⎭，B ．26π⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．526π⎛⎫⎪⎝⎭，D ．526π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】2ρ==，tan θ=，因为点在第二象限，故取526k θπ=π+，k ∈Z ，故选C ． 8．圆半径是1，圆心的极坐标是()1,π，则这个圆的极坐标方程是（ ） A ．cos ρα=- B ．sin ρα= C ．2cos ρα=- D ．2sin ρα=【答案】C【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为()1,0-， 则圆的标准方程为：()2211x y ++=，即2220x y x ++=，化为极坐标方程即：22cos 0ρρθ+=，整理可得：2cos ρα=-．故选C ．9．若曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩（t 为参数）与曲线ρ=B ，C 两点，则BC 的值为（ ）A B C D 【答案】C【解析】曲线21x ty t =-=-+⎧⎨⎩的普通方程为10x y +-=，曲线ρ=228x y +=，圆心O 到直线的距离为d ==又r =BC ==C ． 10．已知曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩（θ为参数），则该曲线离心率为（ ）A B ．34C D ．12【答案】A【解析】由题得曲线C 的普通方程为221164x y +=，所以曲线C 是椭圆，4a =，c =所以椭圆的离心率为e A ． 11．在极坐标系中，设圆:4cos C ρθ=与直线():4l θρπ=∈R 交于A ，B 两点，则以线段AB 为直径的圆的极坐标方程为（ ）A ．22sin 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．22sin 4ρθπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．22cos 4ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．22cos 4ρθπ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程2240x y x +-=，直线的直角坐标方程y x =． 由2240x y x y x+-==⎧⎨⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩，所以()00A ，，()22B ，， 从而以AB 为直径的圆的直角坐标方程为()()22112x y -+-=， 即2222x y x y +=+．将其化为极坐标方程为()22cos sin 0ρρθθ-+=，即()2cos sin 22sin 4ρθθθπ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选A ．12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以x 轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线:20l y kx ++=与曲线:2cos C ρθ=相交，则k 的取值范围是（ ）A ．k ∈RB ．34k ≥-C ．34k <-D ．k ∈R 但0k ≠【答案】C【解析】()2222:2cos 211C x y x x y ρθ=⇒+=⇒-+=，所以223141k k k +<⇒<-+，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角坐标系中，点()21-，到直线2:x tl y t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）的距离是__________．【答案】22【解析】直线一般方程为20x y +-=，利用点到直线距离公式122d -=2．14．极坐标方程()cos sin 10ρθθ+-=化为直角坐标方程是_______． 【答案】10x y +-=【解析】极坐标方程即()cos sin 10ρθθ+-=，则直角坐标方程是10x y +-=．15．在极坐标系中，直线()cos sin 0a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．【答案】1+【解析】圆2cos ρθ=，转化成22cos ρρθ=，用222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，转化成直角坐标方程为()2211x y -+=， 把直线()cos sin a ρθθ+=的方程转化成直角坐标方程为0x y a +-=， 由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，1=，解得1a =±0a >，则负值舍去，故1a =1+16上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离是________．【解析】设点P 的坐标为()4cos 3sin θθ，， 则点P 到直线3424x y -=的时，d 取得最大值为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在极坐标系下，已知曲线1C ：cos sin ρθθ+＝和曲线2C ：(sin )4ρθπ-（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）当()0θ∈π，时，求曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标．【答案】（1）1C ：220x y x y +--＝，2C ：10x y -+＝；（2）1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）圆O ：cos sin ρθθ+＝，即2cos sin ρρθρθ+＝， 曲线1C 的直角坐标方程为22x y x y ++＝，即220x y x y --＋＝， 曲线2C：sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-＝，则曲线2C 的直角坐标方程为：1y x -＝，即10x y -+＝． （2）由22010x y x y x y ⎧-⎨-+⎩+-＝＝，得0x y ⎧⎨⎩＝＝1，则曲线1C 和曲线2C 公共点的一个极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭．18．（12分）已知曲线1C 的极坐标方程是1ρ=，在以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴的平面 直角坐标系中，将曲线1C 所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程； （2）直线l 过点()1,0M ，倾斜角为，与曲线2C 交于A 、B 两点，求 【答案】（1）3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）；（2）85．【解析】（1）曲线1C 的直角坐标方程为221x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为∴曲线2C 的参数方程为3cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，（θ为参数）．（2）设l 的参数方程为代入曲线2C 的方程19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线1C 的方程为2219x y +=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=． （1）写出曲线1C 的参数方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）设点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最大值．【答案】（1）1C ：3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩（ϕ为参数），2C ：()2241x y +-=；（2）1．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为3cos sin x y ϕϕ==⎧⎨⎩，（ϕ为参数）， 2C 的直角坐标方程为228150x y y +-+=，即()2241x y +-=．（2）由（1）知，曲线2C 是以()20,4C 为圆心，1为半径的圆．设()3cos ,sin P ϕϕ，则2PC ==．当1sin 2ϕ=-时，2PC = 又因为21PQ PC ≤+，当且仅当P ，Q ，2C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max 1PQ =．20．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线1C 的普通方程；（2）极坐标方程为2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 与1C 交P ，Q 两点，求线段PQ 的长．【答案】（1）()2214x y -+=；（2）2．【解析】（1）曲线1C 的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+=⎧⎨⎩（θ为参数），可得1cos 2x θ-=，sin 2yθ=．因为22sin cos 1θθ+=，可得()2214x y -+=， 即曲线1C 的普通方程：()2214x y -+=．（2）将2sin 3ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭l 化为普通方程可得：2sin cos 2cos sin 33ρθρθππ+=y =，因为直线l 与1C 交P ，Q 两点，曲线1C 的圆心()10，，半径2r =， 圆心到直线l的距d =所以线段PQ的长2==．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为221x y =-=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求MON △的面积．【答案】（1）2213y x +=；（2）34． 【解析】（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=．（2）将直线l的参数方程21x y ==-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得250t +=，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t，则12t t +=，125t t ⋅=， 于是MN =， 直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l的距离d ==，所以1324MON S MN d =⋅=△． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中．直线1C ：2x ＝-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积． 【答案】（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12．【解析】（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-， 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ=故12ρρ-=，即MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN △是直角三角形，其面积为12．第16单元 选修4-4 坐标系与参数方程（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数相切，则b =（ ） A ．4-或6 B ．6-或4 C ．1-或9 D ．9-或1【答案】A【解析】把直线314x t y t ==-⎧⎨⎩()t 为参数与圆3cos 3sin x y b θθ==+⎧⎨⎩()θ为参数的参数方程分别化为普通方程得：直线4330x y +-=；圆()229x y b +-=．∵此直线与该圆相切，∴22033343b +-=+，解得4b =-或6．故选A ．2．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨⎩=()θ为参数，则它的两个焦点坐标是（ ） A ．()4, 0± B ．()0,4± C ．()5, 0± D ．()0,3±【答案】A【解析】消去参数可得椭圆的标准方程221259x y +=，所以椭圆的半焦距4c =，两个焦点坐标为()4, 0±，故选A ．3．直线的参数方程为=31+3x ty t=⎧⎪⎨⎪⎩()t 为参数，则直线l 的倾斜角大小为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C310x y +-=， 所以直线的斜率3k =-，从而得到其倾斜角为23π，故选C ． 4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ） A ．sin ρθ= B ．2sin ρθ= C ．cos ρθ= D ．2cos ρθ=【答案】D【解析】由1cos sin x y αα=+=⎧⎨⎩()α为参数得曲线C 普通方程为()2211x y -+=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨⎩=，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ． 5．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ） A ．()0θρ=∈R 和cos 2ρθ=B ．()2πθρ=∈R 和cos 2ρθ=C ．()0θρ=∈R 和cos 1ρθ=D ．()2πθρ=∈R 和cos 1ρθ=【答案】B【解析】如图所示，在极坐标系中，圆2cos ρθ=是以()10，为圆心，1为半径的圆 故圆的两条切线方程分别为()2πθρ=∈R ，cos 2ρθ=，故选B ．6．已知M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为（ ）A ．2,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】M 点的极坐标为2,6π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即为52,6π⎛⎫⎪⎝⎭，∴M 点关于直线2θπ=的对称点坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，故选A ． 7．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα==+⎧⎨⎩()α为参数，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()221:11C x y +-=，2:10C x y -+=，圆心()10,1C 到直线2C 的距离22011011d -+==+，∴两曲线相交，有2个交点．故选C ．8．若曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数，则曲线C （ ）A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆【答案】D【解析】将参数方程2cos 12sin x y θθ==+⎧⎨⎩,22θ⎛⎫ππ⎡⎤∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭参数消去参数θ可得()2214x y +-=．又,22θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴02cos 2x θ≤=≤．∴曲线C 表示圆()2214x y +-=的右半部分．故选D ．9．已知M 为曲线3sin :cos x C y θθ=+⎧⎨=⎩()θ为参数上的动点，设O 为原点，则OM 的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】从曲线C 的参数方程中消去θ，则有()2231x y -+=，故曲线C 为圆，而3OC =， 故OM 的最大值为3314r +=+=，故选D ．10．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos sin x y αα==⎧⎨⎩()α为参数，M 是曲线C 上的动点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=，则点M 到T 的距离的最大值为（ ）A ．1345+B ．245+C ．445+D ．65【答案】B【解析】由曲线的极坐标方程为2sin cos 20ρθρθ+=， 可得曲线T 的直角坐标方程为2200y x +-=，由曲线C 的参数方程4cos sin x y αα==⎧⎨⎩，设曲线上点M 的坐标为()4cos sin αα，，由点到直线的距离公式可得()20sin 204cos 2sin 2055d αθαα+-+-当()sin 1αθ+=-时，d 20202455+=+B ．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ） A ．810B ．10 C ．10 D ．85【答案】C【解析】曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，化为普通方程为：22x 4y +=，表示圆心为(0)0，，半径为2的圆．直线l 的极坐标方程是cos sin 30ρθρθ--=，化为直角坐标方程即为30x y --=．圆心到直线的距离为362d ==． 直线与曲线相交所得的弦的长为264102⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12．已知点(),P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+=⎧⎨⎩[)(),2θθ∈ππ为参数，且上，则点P 到直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的距离的取值范围是（ ） A ．3232,22⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．32321,122⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．(2,22⎤⎦D ．322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】直线21x ty t =+=--⎧⎨⎩()t 为参数的普通方程为10x y +-=，点P 到直线距离为2sin 332sin 2cos sin 144222θθθθπ⎛⎫π⎛⎫+--+ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭==， 因为[),2θππ∈，所以2sin 1,42θ⎡⎫π⎛⎫+∈-⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎢⎣⎭，因此取值范围是322,12⎛⎤+ ⎥ ⎥⎝⎦，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在极坐标系中，点23π⎛⎫⎪⎝⎭，与圆4cos ρθ=的圆心的距离为_________．【答案】2【解析】由题得点P 的坐标为()1,3，∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=． ∴圆心的坐标为20（，），∴点P 到圆心的距离为()()2221032-+-=，故答案为2．14．若点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t ==⎧⎨⎩()t 为参数上，则PF 等于_________．【答案】4【解析】抛物线244x t y t==⎧⎨⎩()t 为参数可化为24y x =，∵点()3,P m 在以F 为焦点的抛物线244x t y t==⎧⎨⎩，()t 为参数上，∴24312m =⨯=，∴()323P ，， ∵()10F ，，∴()222234PF =+=，故答案为．15．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位． 已知直线极坐标方程为()4θρπ=∈R ，它与曲线23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数相交于两点A 、B ， 则AB =__________． 【答案】2 【解析】∵4ρ=π，利用cos x ρθ==，sin y ρθ==进行化简， ∴0x y -=，23cos 23sin x y αα=+=-+⎧⎨⎩()α为参数，相消去α可得圆的方程为()()22229x y -++=得到圆心()22-，，半径为3，圆心()22-，到直线0x y -=的距离222d ==，∴2222982AB r d =-=-=，∴线段AB 的长为2，故答案为2．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24 4x ty t⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数的焦点为F ，动点P 在抛物线上． 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上， 则PF PQ +的最小值为__________． 【答案】4【解析】∵抛物线的参数方程为24 4x ty t ⎧=⎪⎨⎪⎩=()t 为参数， ∴抛物线的普通方程为24y x =，则()1,0F ，∵动点Q 在圆()8cos 150ρρθ-+=上，∴圆的标准方程为()2241x y -+= 过点P 作PA 垂直于抛物线的准线，垂足为A ，如图所示：∴PF PQ PA PQ +=+，分析可得：当P 为抛物线的顶点时，PA PQ +取得最小值， 其最小值为4．故答案为4．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． 已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos 63sin6x t y t π⎧=+⎪⎪⎨π⎪=-⎪⎩()t 为参数．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，且P 到直线l 的距离为1，求满足这样条件的点P 的个数．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）3个． 【解析】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，故曲线C 的直角坐标方程为：224x y x +=，即()2224x y -+=． （2）由直线l 的参数方程消去参数t 得()331y x +=-，即340x y --=． 因为圆心()20C ，到直线的距离为2304113d -⋅-==+，d 恰为圆C 半径的12，所以满足这样条件的点P 的个数为3个．18．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为2ααπ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩()t 为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为:l 2cos 4sin 0ρθθ-=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()10P ，，若点M 的极坐标为12π⎛⎫⎪⎝⎭，，直线l 经过点M 且与曲线C 相交于A ，B 两点， 设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．【答案】（1）():tan 1l y x α=-，2:4C x y =；（2）32 【解析】（1）消去直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+=⎧⎨⎩中的参数t ，得到直线l 的普通方程为()tan 1y x α=-，把曲线C 的极坐标方程:l 2cos 4sin 0ρθθ-=左右两边同时乘以ρ， 得到22cos 4sin 0ρθρθ-=，利用公式cos sin x y ρθρθ==⎧⎨⎩代入，化简出曲线C 的直角坐标方程24x y =．（2）点M 的直角坐标为()01，，将点M 的直角坐标为()01，代入直线():tan 1l y x α=-中， 得tan 1α=-，即:10l x y +-=，联立方程组2104x y x y +-=⎧⎨=⎩，得AB 中点坐标为()23Q -，，从而PQ =．19．（12分）已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩()θ为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1'31'2x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得到曲线'C ．（1）求'C 的普通方程；（2）若点A 在曲线'C 上，点()30B ，，当点A 在曲线'C 上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程． 【答案】（1）221x y +=；（2）223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【解析】（1）将3cos 2sin x y θθ==⎧⎨⎩代入1'31'2x x y y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得'C 的参数方程为cos sin x y θθ==⎧⎨⎩，∴曲线'C 的普通方程为221x y +=． （2）设()P x y ，，()00A x y ，，又()30B ，，且AB 中点为P ，∴00232x x y y =-=⎧⎨⎩，又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程2201x y +=得()()222321x y -+=， ∴动点P 的轨迹方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩()α为参数．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=． （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程；（2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB ．【答案】（1）2211204:x y C +=，()()222:211C x y ++-=；（2．【解析】（1）222225cos cos sin 122sin 25y x y αααα=⎛⎫⇒+=+= ⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎪=⎝⎭⎝⎭，即曲线1C 的普通方程为221204x y +=，∵222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+=， 即()()222:211C x y ++-=．（2）曲线1C 左焦点为()40-，直线的倾斜角为4απ=，2sin cos αα==，∴直线l 的参数方程为2422x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩()t 为参数将其代入曲线2C 整理可得23240t t -+=，∴()2324420∆=--⨯=>．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则∴1232t t +=124t t =． ∴()()22121212432442AB t t t t t t =-=+-=-⨯21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点()1P a ，，其参数方程为221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3cos 0ρθθρ+-=． （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值． 【答案】（1）1:10C x y a --+=，22:3C y x =；（2）1348a =或712． 【解析】（1）1C 的参数方程221x a y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=， 2C 的极坐标方程化为222cos 3cos 0ρθρθρ+-=即23y x =．（2）将曲线的参数方程标准化为221x a t y t =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩()t a ∈R 为参数,代入曲线22:3C y x = 得22260t t a -+-=，由()()2241260a ∆=--⨯->，得14a >， 设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得123t t =即123t t =或123t t =-，当123t t =时，1212123226t t t t t t a ⎧=+==-⎪⎨⎪⎩，解得131448a =>，当123t t =-时，1212123226t t t t t t a=⎧-+==-⎪⎨⎪⎩解得712a =，综上：1348a =或712． 22．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩[]()0αα∈π为参数,，，以原点为极点，以x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出曲线C 的极坐标方程；（2）设直线10:l θθ=（0θ为任意锐角）、20:2l θθπ=+分别与曲线C 交于A ，B 两点，试求AOB △面积的最小值．【答案】（1）[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，；（2）127． 【解析】（1）由22cos sin 1αα+=，将曲线C 的参数方程2cos 3sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩，消参得()221043x y y +=≥，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2222cos sin 143ρθρθ+=，化简整理得曲线的极坐标方程为[]()2221203cos 4sin ρθθθ=∈π+，．① （2）将0θθ=代入①式得，22220123cos 4sin A OA ρθθ==+，同理222222000012123sin 4cos 3cos 4sin 22B OB ρθθθθ===ππ+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是22220000223cos 4sin 3sin 4cos 117121212A B θθθθρρ+++=+=，由于2271111212A B A B ρρρρ⎛⎫=+≥⋅ ⎪⎝⎭（当且仅当A B ρρ=时取“=”）， 故247A B ρρ⋅≥，11227AOB A B S ρρ=⋅≥△．。
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数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ） A．1(,2 B ．31(,)42- C． D．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤"4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =5．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x t t y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。
;3．已知直线113:()24x t l t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =_______________。
4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
三、解答题1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2．求直线11:()5x t l t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆2211612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
|[综合训练B 组]一、选择题1．直线l 的参数方程为()x a t t y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是（ ） A ．1t B ．12t C1 D1 2．参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线3．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B．( C．3)- D．(3,4．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）&A ．4(5,)3π--B ．(5,)3π-C ．(5,)3πD ．5(5,)3π- 5．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．21(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ） AB ．1404 CD二、填空题1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ⎧=-⎪≠⎨⎪=-⎩为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。
2．直线3()14x at t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________。
~ 3．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。
4．曲线的极坐标方程为1tan cos ρθθ=⋅，则曲线的直角坐标方程为________________。
5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。
三、解答题1．参数方程cos (sin cos )()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+⎧⎨=+⎩为参数表示什么曲线2．点P 在椭圆221169x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。
3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
[提高训练C 组]一、选择题$1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t t y t=-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、 B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9、 3．直线12()2x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ） A ．125 BCD4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线24()4x t t y t⎧=⎨=⎩为参数上， 则PF 等于（ ）;A ．2B ．3C ．4D ．55．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-二、填空题￥ 1．已知曲线22()2x pt t p y pt⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，那么MN =_______________。
2．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩为参数上与点(2,3)A -的距离等于_______。
3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为_______________。
4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩相切，则θ=_______________。
三、解答题1．分别在下列两种情况下，把参数方程1()cos 21()sin 2t t t t x e e y e e θθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程：（1）θ为参数，t 为常数；（2）t 为参数，θ为常数；2．过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的值及相应的α的值。
…~新课程高中数学训练题组参考答案数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]一、选择题1．D 233122y t k x t --===-- 2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-时，12y = 3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈4．C (cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或5．C 2(2,2),()3k k Z ππ+∈都是极坐标 6．C 2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即则,2k πθπ=+或224x y y += ]二、填空题1．54- 455344y t k x t --===-- 2．221,(2)416x y x -=≥ 22()()422222t t t t t t y x e x e e y y x x y y e e x e ---⎧⎧+==+⎪⎪⎪⇒⇒+-=⎨⎨=-⎪⎪-=⎩⎪⎩3．52 将1324x t y t=+⎧⎨=-⎩代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而(1,2)A ，得52AB = 4直线为10x y +-=，圆心到直线的距离2d ==，2=，5．2πθα=+ cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=，取2πθα-=三、解答题1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩，22cos sin 1)1x y θθθϕ+=++=++121x y ≤+≤@（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥(cos sin )1)141a a πθθθ∴≥-+-=+-∴≥ 2．解：将15x t y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩代入0x y --=得t =，得(1P +，而(1,5)Q -，得PQ ==3．解：设椭圆的参数方程为4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，d =3)33θθθθ=-=+- 当cos()13πθ+=时，min 5d =，此时所求点为(2,3)-。
新课程高中数学训练题组参考答案（咨询）数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组]一、选择题…1．C1=2．D 2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线3．D221(1)()162t ++-=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==中点为114324x x y y ⎧=+⨯⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩4．A圆心为5(,2 5．D 22222,11,1,0,011,0244y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得 6．C2211x x t y t y ⎧=-+⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，把直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩代入 22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=12t t -==12t -=二、填空题）1．2(2)(1)(1)x x y x x -=≠- 111,,1x t t x-==-而21y t =-， 即221(2)1()(1)1(1)x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)- 143y x a+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3椭圆为22164x y +=，设,2sin )P θθ，24sin )x y θθθϕ+=+=+≤4．2x y = 22221sin tan ,cos sin ,cos sin ,cos cos θρθρθθρθρθθθ=⋅===即2x y =5．2224141t x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，241t x t =+； 而y tx =，即2241t y t =+，得2224141t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩三、解答题1．解：显然tan y x θ=，则222222111,cos cos 1y y x xθθ+==+ …2222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=+=⨯++ 即222222222111,(1)12111y y y y x x x x y y y x x x x x+=⨯+=+=++++ 得21y y x x x+=+，即220x y x y +--= 2．解：设(4cos ,3sin )P θθ，则12cos 12sin 245d θθ--=即d = 当cos()14πθ+=-时，max 12(25d =； 当cos()14πθ+=时，min 12(25d =-。