2020-2021学年苏科版七年级数学下册第7章《平面图形认识》(平行线与角平分线)练习
第7章《平面图形认识》（平行线与角平分线）能力提优
平行线与角平分线:在角的顶点作平行线，用未知数表示角度，进行转换.
1.已知，如图，AB ∥CD ，点P ，P 1，P 2分别在两条平行线之间，∠P ＝45°，∠P2＝135°，若∠PAP 1＝
13∠PAP 2，∠PCP 1＝1
3
∠PCP 2，则∠P 1的度数为 .
2.如图，AB ∥CD ，∠ABK 的角平分线BE 的反向延长线和∠DCK 的角平分线CF 的反向延
长线交于点H ，且∠K －∠H ＝33°，则∠K ＝ .
3.如图，AB ⊥BC ，点P 为∠ABC 内一点，点D 为BC 上一点，连接PA ，PD ，且QA ，QD 分别平分∠PAB ，∠PDC ，则∠P ，∠Q 的数量关系是 .
4.如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABF ，DE 平分∠CDF ，则∠E 与∠F 之间满足的数量关系是 .
5.如图，已知AB ∥CD ，点E 在AB 上，DF 平分∠CDC ，∠BEG 的角平分线反向延长过点F ，则∠F 与∠G 的数量关系是 .
6.如图，已知AB ∥CD ，BE 和DF 分别平分∠ABF 和∠CDE ，2∠E －∠F ＝48°，则∠CDE ＝ .
7.如图，AB ∥CD ，∠DCE 的平分线CG 的反向延长线和∠ABE 的角平分线交于点F ，且∠F+48°＝∠E ，则∠F ＝ .
8.如图，AC ⊥BD 于C ，E 是AB 上一点，CE ⊥CF ，DF ∥AB ，EH 平分∠BEC ，DH 平分∠BDC ，则∠H 与∠ACF 之间的数量关系为 . 9.如图，AB ∥CD ，∠ABM ＝
1n ∠MBE ，∠CDN ＝1
n
∠NDE ，直线MB ，ND 交于点F ，则F
E
∠=∠ .
10.如图，∠AOB为小于45°的锐角，边OA，OB均为平面反光镜，在OB上有一点E，从点E射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB与∠AOB的数量关系是.
11.如图，AE平分∠BAD交BC边于点E，AE⊥DE，∠EAD+∠EDC＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F，则∠F＝. 12.如图，BD平分∠ABC交AC于D，BF交DE于O，DE∥AB，EF平分∠DEC，有下列结论:①∠BDE＝∠FEC；②EF∥BD；③∠CDE＝∠CED；④S三角形BOE＝S三角形DOF.其中正确的是序号是.
13.一个矩形桌面如图所示，一个球在桌面上的点G滚向桌边的AD，碰着AD上的点F后便反弹而滚向桌边BC，碰着BC上的点E便反弹而滚向点H，若∠EFG的平分线FN垂直于AD，∠HEF的平分线EM垂直于BC，那么FG是否平行EH?为什么?
14.如图，AG平分∠BAC交BC于点G，D为线段GC上的一个动点，过D作AC的平行线交AB于点E，DF平分∠BDE交直线AG于点F，求∠AFD与∠B的数量关系.
15.如图1，点E在直线BH，DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE－∠HAE ＝90°.
(1)求证:BH∥CD；
(2)如图2，直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE.试探究∠MAN，∠AFG 的数量关系.
16.如图，点E在DA的延长线上，CE，AB交于F点，AD∥BC，∠B＝∠D.
(1)说明AB与CD的位置关系；
(2)如图2，若∠EAF，∠BCF的平分线交于G，∠ECD＝40°，求∠G.
17.已知AB∥CD.
(1)如图1，点E在AB，CD之间，连接并延长AE，与∠ECD的平分线交于点G，接并延长CE，与∠EAB的角平分线交于点F，请探究∠F，∠G与∠FEC的数量关系；
(2)如图2，E为AB，CD外的一点，连接AE，EC，∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F，且∠AEC比∠AFC多20°，求∠AFC.
18.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ABD，DE平分∠ADB.
求证:(1)∠DFC＝∠ADC－∠DCE；(2)S三角形EDF＝S三角形BCF.
19.如图，点B在AD上，AE平分∠BAC，BE平分∠DBC，请探究∠ACB与∠AEB之间的数量关系.
变式:如图，三角形ABC中，点E，F分别在AC，BC上，EF∥AB，EG平分∠CEF，BC 平分∠CBD，且∠G比∠C的3倍少120°，则∠C＝.
20.如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E为BA延长线上一点，∠EAD与∠BCD的角平分线交于点P.
(1)求∠APC的度数；
(2)连接DP，若∠PDC＝55°，求∠DPC－1
2
∠B.
21.如图1所示，已知∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°.
(1)写出AD与CE的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数；
(3)在(2)条件下，如图3，P是AB上点，Q是GE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，
PN平分∠APQ.有下列结论:①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的值不变.其中只有一个正确，请判断并证明.
22.如图，HD//GE，点P在直线HD和GE之间.
(1)如图1，Q是GE上一点，QR平分∠PQG，PN平分∠APQ，QN平分∠PQE，探究∠HAP 与∠N的数量关系；
(2)如图2，若∠HAP＝60°，∠PQR＝2∠GQR，∠PQN＝2∠EQN，∠QPN＝2∠APN，求∠N.
23.如图，已知AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点E，F，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP与CD交于点C，CH⊥EC.
(1)求证:PF∥CH；
(2)如图2，连接PH，K是GH上点，且∠PKH＝∠HPK.作PQ平分∠EPK，请探究∠HPQ 的大小是否发生变化.
24.已知:直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，AB∥CD，EM平分∠FED，H，P分别为直线AB和线段EF上的点.
(1)如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF于P，求∠M的度数；
(2)如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动(不与点F重合)时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论.
25.如图，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝115°.
(1)若∠ADQ＝105°，求∠BED的度数；
(2)将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°(n ＞65)，求∠BED的度数(用含n的代数式表示).
26.(1)如图1，D为三角形ABC的边BC延长线上一点求证:∠ACD＝∠A+∠B；
(2)如图2，将AB平移到DC，E是BC延长线上一点，连接AE，CF平分∠DCE，AF平分∠DAE，试探究∠BAE与∠F的数量关系；
(3)如图，AH∥BD，G为CD上点，Q为AC上一点，GR平分∠QGD交AH于R，QN 平分∠AQC交AH于N，QM∥GR，猜想∠MQN与∠ACB的关系，并说明理由.
27.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠BAD的平分线AG交BC于点
G.
(1)求证:∠BAG＝∠BGA；
(2)如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B＝50°.
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，请直接写出∠AFC的度数；
(3)如图3，点P在线段AG上，∠ABP＝2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出∠ABM:∠PBM的值.
参考答案。
苏教版七下数学第七章——平面图形的认识(2)PPT省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
A. 1cm, 2cm, 3cm B. 2cm, 3cm , 4cm
C. 2cm, 3cm , 5cm D. 2cm, 3cm , 6cm
分析：鉴别3条线段能否构成三角形， 只要计算两条较短线段旳和，看其是 否不小于最长旳线段即可.
1.有两根长度分别为5cm和8cm旳木棒.
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C.直角三角形 D. 以上都可能
◆已知,如图,AD、AE分别是 △ABC旳中线和高,BC=6cm,AE=4cm. ①求△ABC、△ABD旳面积.
◆已知,如图,AD、AE分别是 △ABC旳中线和高,BC=6cm,AE=4cm.
②由此你能得出什么结论？
动脑筋
已知,如图,△ABC中,
认识三角形(二)
A
B
.C
D
在三角形中，从一种顶点向它旳对边所在直线
作垂线，顶点和垂足之间旳线段叫做三角形旳
高线，简称三角形旳高.
线段AD⊥BC，垂足为D，我们把线段AD叫做
△ABC旳高.
2.下图中， 在△ABC中画出边AC上
旳高，画法正确旳是（ C ）
(A)
(B)
(C)
(D)
·
锐角三角形旳三条高交于形内一点
①与长度为2cm旳木棒一起能摆成三角 形吗？为何？
②与长度为13cm旳木棒呢？
③若能摆成一种三角形，则第三根木棒 旳长度xcm应在什么范围内？
8－3＜5＜x＜x＜138+5
2.有长度分别为2cm、3cm、4cm和5cm 旳4根小木棒，任取其中3根，能搭出
不同旳三角形旳种数是（ C ）
A.1种
B. 2种
三角形内角和(一)
2020-2021学年苏科版七年级下册数学 第七章 平面的图形认识(二)
苏科版七年级下册数学第七章平面的图形认识（二）解答题专项培优集训（二）1．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．（1）求证：EF∥CD；（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明．2．已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE，CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．3．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥OC，（1）图中∠AOF的余角是（把符合条件的角都填出来）；（2）如果∠AOC＝160°，那么根据可得∠BOD＝度；（3）如果∠1＝32°，求∠2和∠3的度数．4．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC＝75°，∠BOE：∠DOE＝2：3．（1）求∠BOE的度数；（2）若OF平分∠AOE，∠AOC与∠AOF相等吗？为什么？5．如图1所示，MN∥PQ，∠B与MN，PQ分别交于A、C两点．（1）若∠MAB＝30°，∠QCB＝20°，求∠B的度数；（2）如图2所示，直线AE，CD相交于D点，且满足∠BAM＝n∠MAE，∠BCP＝n∠DCP．①当n＝2时，若∠ABC＝90°，求∠CDA的度数；②试探究∠CDA与∠B的关系．6．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．7．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG 之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．8．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E+∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．9．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．（1）求证：BE∥CF；（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．10．如图①，直线l 1∥l 2，直线EF 和直线l 1、l 2分别交于C 、D 两点，点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，点P 在直线EF 上，连接PA 、PB ．猜想：如图①，若点P 在线段CD 上，∠PAC ＝15°，∠PBD ＝40°，则∠APB 的大小为 度．探究：如图①，若点P 在线段CD 上，直接写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，直接写出∠PAC 、∠APB 、∠PBD 之间的数量关系．11．如图1，已知直线CD ∥EF ，点A 、B 分别在直线CD 与EF 上．P 为两平行线间一点．（1）若∠DAP ＝40°，∠FBP ＝70°，则∠APB ＝ ．（2）猜想∠DAP ，∠FBP ，∠APB 之间有什么关系？并说明理由．（3）利用（2）的结论解答：①如图2，AP 1、BP 1分别平分∠DAP 、∠FBP ，请你写出∠P 与∠P 1的数量关系，并说明理由．②如图3，AP 2、BP 2分别平分∠CAP 、∠EBP ，若∠APB ＝β，求∠AP 2B （用含β的代数式表示）．12．如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，∠BOE ＝90°．（1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC：∠BOC＝3：7，求∠DOE的度数．13．已知：如图①，AB∥CD，∠1+∠3与∠2的关系是；如图②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是，证明你的结论．说明理由：如图③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是；如图④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系．14．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE 的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．15．完成推理填空．填写推理理由：如图：EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，把求∠AGD的过程填写完整．∵EF∥AD，∴∠2＝，（）又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥，（）∴∠BAC+ ＝180°，（）又∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．参考答案1．（1）证明：如图1，连接FD，∵EB＝EF，CB＝CD，∴∠EBF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，∵∠FBD＝90°，∴∠EBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，∴∠EFB+∠CDB＝90°，∴∠EFD+∠CDF＝180°，∴EF∥CD；（2）成立，证明：如图2，连接FD，延长CB到H，∵EG∥BC，∴∠EGF＝∠HBF，∵∠FBD＝90°，∴∠HBF+∠CBD＝90°，∠BFD+∠BDF＝90°，∴∠EGF+∠CBD＝90°，∵EG＝EF，CB＝CD，∴∠EGF＝∠EFB，∠CBD＝∠CDB，∴∠EFB+∠CDB＝90°，∴∠EFD+∠CDF＝180°，∴EF∥CD．2．证明：∵AB∥DE，∴∠B+∠BCE＝180°，∠B＝∠BCD，∵CM平分∠BCE，∴∠1＝∠2，∵CN⊥CM，∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4，∵∠3+∠4＝∠BCD，∴∠B＝2∠DCN．3．解：（1）∵OF⊥OC，∴∠COF＝∠DOF＝90°，∴∠AOF+∠BOC＝90°，∠AOF+∠AOD＝90°，∴∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD；故答案为：∠BOC、∠AOD；（2）∵∠AOC＝160°，∴∠BOD＝∠AOC＝160°；故答案为：对顶角相等； 160；（3）∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠1＝64°，∴∠2＝∠AOD＝64°，∠3＝90°﹣64°＝26°．4．解：（1）设∠BOE＝2x，则∠EOD＝3x，∠BOD＝∠AOC＝75°，∴2x+3x＝75°，解得x＝15°，则2x＝30°，3x＝45°，∴∠BOE＝30°；（2）∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝150°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝75°，∴∠AOC＝∠AOF．5．解：（1）如图1，过点B作BF∥MN，则∠BAM＝∠ABF＝30°，∵MN∥PQ，∴PQ∥BF，∴∠CBF＝∠QCB＝20°，∴∠ABC＝∠ABF+∠CBF＝50°；（2）①设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，当n＝2时，∠BAM＝2x°，∠BCP＝2y°，∴∠BCQ＝180°﹣2y°，由（1）知，∠ABC＝∠BAM+∠BCQ，∴2x+180﹣2y＝90，整理，得：x﹣y＝﹣45，如图2，延长DA交PQ于点G，∵MN∥PQ，∴∠MAE＝∠DGC＝x°，则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC＝y°﹣x°＝﹣（x﹣y）°＝45°；②n∠CDA+∠ABC＝180°，设∠MAE＝x°，∠DCP＝y°，则∠BAM＝n∠MAE＝nx°，∠BCP＝n∠DCP＝ny°，∴∠BCQ＝180°﹣ny°，由（1）知，∠ABC＝nx°+180°﹣ny°，∴y°﹣x°＝，∵MN∥PQ，∴∠MAE＝∠DGP＝x°，则∠CDA＝∠DCP﹣∠DGC＝y°﹣x°＝，即n∠CDA+∠ABC＝180°．6．解：（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．7．解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D＝∠AHE＝40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，故答案为：70；（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF＝∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，∴∠EDK＝α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，即3α＝22°+2α﹣4°，解得α＝18°，∴∠EDK＝16°，∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．8．解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH+∠HEN＝∠BME+∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN+∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN+∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME+∠BMF，∠FND＝∠FNE+∠END，∵2∠MEN+∠MFN＝180°，∴2（∠BME+∠END）+∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME+2∠END+∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF+∠FND+∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME+∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME+∠END），∠ENP＝∠END，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME+∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．9．（1）证明：方法一：∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，∴∠1＝∠BFG，∴AC∥DG，∴∠ABF＝∠BFG，∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，∴∠EBF＝∠ABF，BFG，∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF；方法二：∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABF，∠2＝∠BFG，∴∠ABF＝∠BFG，∵∠ABF的平分线是BE，∠BFG的平分线是FC，∴∠EBF＝∠ABF，BFG，∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF；（2）解：∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，∴∠C＝∠CFG＝35°，∴∠CFG＝∠BEG＝35°，∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．10．解：猜想：如图①，过点P作PG∥l，1∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PG，∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，∴∠APB的大小为55度，故答案为：55；探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：∵l1∥l2∥PG，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：如图，当点P在射线CE上时，过点P作PG∥l1，∴l1∥l2∥PG，∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；当点P在射线DF上时，过点P 作PG ∥l 1，∴l 1∥l 2∥PG ，∴∠APG ＝∠PAC ，∠BPG ＝∠PBD ，∴∠PAC ＝∠APG ＝∠APB +∠BPG ，∴∠PAC ＝∠APB +∠PBD ，综上所述：当点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，∠PAC ＝∠PBD ﹣∠APB 或∠PAC ＝∠APB +∠PBD ．11．（1）证明：过P 作PM ∥CD ，∴∠APM ＝∠DAP ．（两直线平行，内错角相等），∵CD ∥EF （已知），∴PM ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠MPB ＝∠FBP ．（两直线平行，内错角相等），∴∠APM +∠MPB ＝∠DAP +∠FBP ．（等式性质）即∠APB ＝∠DAP +∠FBP ＝40°+70°＝110°．（2）结论：∠APB ＝∠DAP +∠FBP ．理由：见（1）中证明．（3）①结论：∠P ＝2∠P 1；理由：由（2）可知：∠P ＝∠DAP +∠FBP ，∠P 1＝∠ADP 1+∠FBP 1，∵∠DAP ＝2∠DAP 1，∠FBP ＝2∠FBP 1，∴∠P ＝2∠P 1．②由①得∠APB ＝∠DAP +∠FBP ，∠AP 2B ＝∠CAP 2+∠EBP 2，∵AP 2、BP 2分别平分∠CAP 、∠EBP ，∴∠CAP2＝∠CAP，∠EBP2＝∠EBP，∴∠AP2B＝∠CAP+∠EBP，＝（180°﹣∠DAP）+（180°﹣∠FBP），＝180°﹣（∠DAP+∠FBP），＝180°﹣∠APB，＝180°﹣β．12．解：（1）∵∠BOE＝90°，∠BOD＝40°，∴∠AOE＝90°，∠AOC＝∠BOD＝40°，则∠COE＝90°﹣40°＝50°；（2）∵∠AOC：∠BOC＝3：7，∴设∠AOC＝3x，则∠BOC＝7x，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴3x+7x＝180°，解得：x＝18°，∴∠AOC＝54°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠BOD＝54°，∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝90°+54°＝144°．13．解：如图①，AB∥CD，∠1+∠3与∠2的关系是∠2＝∠1+∠3；如图②，AB∥CD，∠1+∠3+∠5与∠2+∠4的关系是∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5，证明：作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥GH∥DC∥MN，∴∠1＝∠BEF，∠FEM＝∠EMN，∠NMG＝∠MGH，∠HGD＝∠5，∵∠2＝∠MEF+∠FEM，∠3＝∠EMN+∠NMG，∠4＝∠MGH+∠HGD，∴∠2+∠4＝∠MEF+∠FEM+∠MGH+∠HGD＝∠BEF+∠EMN+∠NMG+∠HGD＝∠1+∠3+∠5；如图③，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+∠7与∠2+∠4+∠6的关系是∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；如图④，AB∥CD，∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）与∠2+∠4+∠6+…+∠2n的关系为：∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）．故答案为：∠2＝∠1+∠3；∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5；∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7；∠2+∠4+∠6+…+∠2n＝∠1+∠3+∠5+…+∠（2n+1）14．解：（1）如图1，过点E作ER∥AB，∵AB∥CD，∴ER∥CD，∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，∴∠ABE＝∠BER＝30°答：∠ABE的度数为30°．（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，设∠CEB＝β，则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝，∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，∴2×+180﹣β＝190，∴α＝10，∴∠ABE＝30°．答：∠ABE的度数为30°．（3）如图3，过点P作PJ∥AB，∵AB∥CD，∴PJ∥CD，∵PK平分∠BPH，∴∠KPH＝∠KPB＝x，∵HN∥PK，∴∠NHP＝x，设∠MHN＝y，∴∠MHP＝x+y，∵HM平分∠DHP，∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，∵∠DHQ＝2∠DHN，∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，∴∠PHQ＝30°答：∠PHQ的度数为30°．15．解：∵EF∥AD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°，故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；DG；内错角相等，两直线平行；∠DGA；两直线平行，同旁内角互补．。
2020-2021学年七年级数学苏科版下册 第七章 平面的图形认识(二)解答题专项提升(一)
苏科版七年级下册数学第七章平面的图形认识（二）解答题专项提升（一）1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F．（1）∠ABC＝40°，∠A＝60°，求∠BFD的度数；（2）直接写出∠A与∠BFD的数量关系．2．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC 的平分线，∠ADF与∠AFD互余．（1）试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH 与∠GBH的大小关系，并说明理由．3．如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，若∠E＝∠1，则∠2＝∠3吗？下面是推理过程，请你填空或填写理由．证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），∴∠ADC＝∠EGC＝90°，∴AD∥EG（），∴∠1＝∠2（），∵∠E＝∠1（已知）∴∠E＝∠2（等量代换）∵AD∥EG，∴＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴＝（等量代换）4．如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1．求证：AD平分∠BAC．5．如图①，已知直线l1、l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在直线l3上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线l1上，点B在直线l2上．（1）问题发现：如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3＝∠2，请写出l1与l2之间的位置关系；（2）拓展探究：如图②如果l1∥l2，点P在直线l1的上方运动时，试猜想∠1+∠2与∠3之间关系并给予证明；（3）问题解决：如果l1∥l2，点P在直线l2的下方运动时，请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系．6．如图，∠1＝∠2，∠BAE＝∠BDE，EA平分∠BEF．（1）求证：AB∥DE；（2）BD平分∠EBC吗？为什么？7．在△ABC中，∠A＝70°．（1）如图①∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC＝°；（2）如图②△ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线相交于点O'，则∠BO'C＝°；（3）探究探究一：如图③，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A＝n°，求∠BOC的度数．（用n的代数式表示）探究二：已知：四边形ABCD的内角∠ABC的平分线所在直线与其外角∠DCE的平分线所在直线相交于点O，∠A＝n°，∠D＝m°①如图④，若∠A+∠D≥180°，则∠BOC＝（用m、n的代数式表示）②如图⑤，若∠A+∠D＜180°，则∠BOC＝（用m、n的代数式表示）8．若∠C＝α，∠EAC+∠FBC＝β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5＝．（用α、β表示）9．推理填空：已知，如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC∥EF．证明：∵∠1＝∠2∴∥（）∴＝∠5 （）又∵∠3＝∠4∴∠5＝（）∴BC∥EF（）10．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°．如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180°，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．【定理证明】已知：△ABC（如图①）．求证：∠A+∠B+∠C＝180°．【定理推论】如图②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB＝180°，点D是BC延长线上一点，由平角的定义可得∠ACD+∠ACB＝180°，所以∠ACD＝．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步运用】如图③，点D、E分别是△ABC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝80°，∠DBC＝150°，则∠ACB＝°；（2）若∠A＝80°，则∠DBC+∠ECB＝°．【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形ABPC的边AB、AC延长线上一点．（1）若∠A＝80°，∠P＝150°，则∠DBP+∠ECP＝°；（2）分别作∠DBP和∠ECP的平分线，交于点O，如图⑤，若∠O＝50°，则∠A和∠P的数量关系为；（3）分别作∠DBP和∠ECP的平分线BM、CN，如图⑥，若∠A＝∠P，求证：BM∥CN．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠ACB＝75°，点I是两条角平分线的交点．（1）求∠BIC的度数；（2）若点D是两条外角平分线的交点，求∠BDC的度数；（3）若点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．12．已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝36°，∠E+∠F＝100°，将△DEF如图放置，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．（1）当将△DEF如图1摆放时，∠ABF+∠ACE＝°．（2）当将△DEF如图2摆放时，试问：∠ABF+∠ACE等于多少度？请说明理由．（3）如图2，是否存在将△DEF摆放到某个位置时，使得BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB？如果存在，请画出图形或说明理由．如果不存在，请改变题目中的一个已知条件，使之存在．13．如图①，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAC＝100°，∠DAE＝40°，则∠CDE＝，此时＝；（2）若点D在BC边上（点B、C除外）运动，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系并说明理由；（3）若点D在线段BC的延长线上，点E在线段AC的延长线上（如图②），其余条件不变，请直接写出∠BAD与∠CDE的数量关系：；（4）若点D在线段CB的延长线上（如图③）、点E在直线AC上，∠BAD＝26°，其余条件不变，则∠CDE＝°（友情提醒：可利用图③画图分析）14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．说明AB∥DC的理由．解：∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC∴∠＝∠．（等量代换）∵∠1＝∠3，∴∠2＝．∴∥．．15．已知：CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）如图1，求证∠BAC＝∠B+2∠E；（2）如图2，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，若∠DCE＝2∠CAF，∠B＝2∠E，求∠BAC的度数．参考答案1．解：（1）∵∠ABC＝40°，∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝20°+40°＝60°．（2）∵∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．2．解：（1）BE∥DF，理由：∵BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABE+∠ADF＝90°，∵∠ADF与∠AFD互余，∴∠ADF+∠AFD＝90°，∴∠ABE＝∠AFD，∴BE∥DF；（2）∠FBH＝∠GBH，理由：由（1）知BE∥DF，∴BE∥DG，∴∠EBH+∠DHB＝180°，∵BH⊥FG，∴∠DHB＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠DHB＝90°．∴∠CBE+∠GBH＝180°﹣∠EBH＝90°，∵∠ABE+∠ABH＝∠EBH＝90°，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠ABH＝∠GBH，即∠FBH＝∠GBH．3．证明：∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G（已知），∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠E＝∠1（已知）∴∠E＝∠2（等量代换）∵AD∥EG，∴∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠2＝∠3（等量代换），故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠E，∠2，∠3．4．证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）∴∠ADC＝∠EGC＝90°，∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）．∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）．∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠E＝∠1（已知）∴∠2＝∠3，（等量代换）．∴AD平分∠BAC．（角平分线的定义）5．证明：（1）如图①，延长BP交AC于E，∵∠2＝∠1+∠3，∠2＝∠1+∠AEP，∴∠3＝∠AEP，∴l1∥l2，故答案为：l1∥l2；（2）如图②所示，当点P在线段DC的延长线上时，∠1+∠2＝∠3，理由是：∵l1∥l2，∴∠CEP＝∠3∵∠CEP＝∠1+∠2，∴∠1+∠2＝∠3；（3）如图③所示，当点P在直线l2的下方运动时，∠APB+∠PBD＝∠PAC．理由：过点P作PF∥l1，∠FPA＝∠1．∵l1∥l2，∴PF∥l2，∴∠FPB＝∠3，∴∠FPA＝∠2+∠FPB＝∠2+∠3；即∠APB+∠PBD＝∠PAC．6．（1）证明：∵∠2与∠ABE是对顶角，∴∠2＝∠ABE．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ABE，∴AB∥DE；（2）解：BD平分∠EBC．理由：∵由（1）知AB∥CD，∴∠AED+∠BAE＝180°，∠BEF＝∠EBC．∵∠BAE＝∠BDE，∴∠AED+∠BDE＝180°，∴AE∥BD，∴∠AEB＝∠DBE．∵EA平分∠BEF，∠BEF＝∠EBC，∴BD平分∠EBC．7．解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝×110°＝55°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°；（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，∵BO、CO分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，∴∠OBC+∠OCB＝（180°+∠A），∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝55°；（3）探究探究一：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠OCE＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠OBC，∵∠OCE是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠OCE﹣∠OBC＝∠A+∠OBC﹣∠OBC＝∠A＝n°；探究二：①由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，由三角形的外角性质得，∠DCE＝∠A+∠D+∠ABC，∠OCE＝∠O+∠OBC，∵BO、CO分别是∠ABC和∠DCE的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠DCE，∴∠BOC+∠OBC＝（∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝（∠A+∠D）+∠ABC﹣90°，∴∠BOC＝（∠A+∠D）﹣90°，∵∠A＝n°，∠D＝m°，∴∠BOC＝（n°+m°）﹣90°；②同①可求，∠BOC＝90°﹣（n°+m°）．故答案为：55；55；（n°+m°）﹣90°；90°﹣（n°+m°）．8．解：（1）∵AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，∴∠MAC+∠NCB＝∠EAC+∠FBC＝β，∵AM∥BN，∴∠C＝∠MAC+∠NCB，即α＝β；（2）∵∠EAC的平分线与∠FBC平分线相交于P，∴∠PAC+∠PBC＝∠EAC+∠FBC＝β，若点P在点C的下方，则∠C＝∠APB+（∠PAC+∠PBC），即α＝∠APB+β，若点P在点C的上方，则∠C+∠APB＝∠PAC+∠PBC，即α+∠APB＝β；综上所述，α＝∠APB+β或α+∠APB＝β；（3）由（2）得，∠P1＝∠C﹣（∠PAC+∠PBC）＝α﹣β，∠P2＝∠P1﹣（∠P2AP1+∠P2BP1），＝α﹣β﹣β＝α﹣β，∠P3＝α﹣β﹣β＝α﹣β，∠P4＝α﹣β﹣β＝α﹣β，∠P5＝α﹣β﹣β＝α﹣β．故答案为：（2）α＝∠APB+β或α+∠APB＝β；（3）α﹣β．9．证明：∵∠1＝∠2∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行）∴∠3＝∠5（两直线平行，内错角相等）又∵∠3＝∠4∴∠5＝∠4（等量代换）∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）故答案为：AC，DE，同位角相等，两直线平行，∠3，两直线平行，内错角相等，∠4，等量代换，内错角相等，两直线平行．10．【定理证明】证明：方法一：过点A作直线MN∥BC，如图所示，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；（3分）方法二：延长BC到点D，过点C作CE∥AB，如图所示，∴∠A＝∠ACE，∠B＝∠ECD，∵∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（3分）【定理推论】∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，（4分）故答案为：∠A+∠ABC；【初步运用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣80°＝70°，故答案为：70；（5分）（2）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣100°＝260°，故答案为：260；（6分）【拓展延伸】（1）如图④，连接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC＝∠BAC+∠BPC，∵∠BAC＝80°，∠P＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAC+∠BPC＝80°+150°＝230°，故答案为：230；（7分）（2）∠P＝∠A+100°（9分）理由是：如图⑤，设∠DBO＝x，∠OCE＝y，则∠DBO＝∠OBP＝x，∠PCO＝∠OCE＝y，由（1）同理得：x+y＝∠A+∠O，2x+2y＝∠A+∠P，2∠A+2∠O＝∠A+∠P，∵∠O＝50°，∴∠P＝∠A+100°，故答案为：∠P＝∠A+100°；（3）证明：延长BP交CN于点Q，∵BM平分∠DBP，CN平分∠ECP，∴∠DBP＝2∠MBP，∠ECP＝2∠NCP，∵∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，∠A＝∠BPC，∴2∠MBP+2∠NCP＝∠A+∠BPC＝2∠BPC，∴∠BPC＝∠MBP+∠NCP，∵∠BPC＝∠PQC+∠NCP，∴∠MBP＝∠PQC，∴BM∥CN（12分）11．解：（1）在△ABC中，∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝40°，∠ACB＝75°，∴∠ABC＝180°﹣40°﹣75°＝65°．∵BI是∠ABC的平分线，∴∠CBI＝∠ABC＝×65°＝32.5°．∵CI是∠ABC的平分线，∴∠BCI＝∠ACB＝×75°＝37.5°．在△BCI∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°，∴∠BIC＝180°﹣32.5°﹣37.5°＝110°．（2）∵∠MBC是△ABC的外角，∴∠MBC＝∠A+∠ACB．∵∠NCB是△ABC的外角，∴∠NCB＝∠A+∠ABC．∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+40°＝220°．∵BD是∠MBC的平分线，∴∠CBD＝∠MBC．∵CD是∠NCB的平分线，∴∠BCD＝∠NCB．∴∠CBD+∠BCD＝（∠MBC+∠NCB）＝×220°＝110°．在△BCD中∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，∴∠BDC＝180°﹣110°＝70°．（3）∵BE是∠ABC的平分线，∴∠CBE＝∠ABC．∵∠ACG是△ABC的外角，∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC．∵CE是∠ACG的平分线，∴∠ECG＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC．∵∠ECG是△BCE的外角，∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC．∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠BEC．∴∠BAC＝2∠BEC．12．解：（1）由三角形内角和定理得：∠D＝180°﹣（∠E+∠F）＝180°﹣100°＝80°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D＝100°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝144°，∴∠ABF+∠ACE＝180°﹣（∠ABC+∠DBC）+180°﹣（∠ACB+∠DCB）＝360°﹣100°﹣144°＝116°；故答案为：116；（2）∠ABF+∠ACE＝316°；理由如下；在△ABC中，∠A＝36°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝144°，在△DEF中，∠E+∠F＝100°，∴∠D＝180°﹣100°＝80°，∴∠BCD+∠CBD＝180°﹣∠D＝100°，∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠BCD+∠CBD）＝144°﹣100°＝44°，∴∠ABF+∠ACE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠ACD＝360°﹣（∠ABD+∠ACD）＝360°﹣44°＝316°；（3）不存在．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD＝∠ABD+∠ACD＝100°，那么∠ABC+∠ACB＝200°，与三角形内角和定理矛盾，∴不存在；如果存在，根据两内角平分线模型，可知∠D＝90°+∠A，题中∠D＝80°，∠A＝36°，∴只要∠E+∠F＝100°改成∠E+∠F＝72°．13．解：（1）如图①，∵∠DAE＝40°，∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝70°，∵∠BAC＝100°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝100°﹣40°＝60°，∵∠B＝∠C＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+60°＝100°，∴∠CDE＝30°，∴＝＝2，故答案为：30°，2；（2）如图①，∠BAD与∠CDE的数量关系是：∠BAD＝2∠CDE；理由是：设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则∠BAD＝y﹣x，∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝，∵∠B＝∠C＝，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝+y﹣x＝90°+y﹣x，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°+y﹣x﹣＝，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）如图②，∠BAD与∠CDE的数量关系：∠BAD＝2∠CDE，理由是：设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则∠BAD＝x+y，∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠E＝，∵∠B＝，∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠E+∠CDE，∴+y＝+∠CDE，∴∠CDE＝（x+y），∴∠BAD＝2∠CDE；故答案为：∠BAD＝2∠CDE；（4）分两种情况：①当E在射线CA上时，如图③，设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则x+y＝180°﹣26°＝154°，∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝，∵∠C＝，△CDE中，∠CDE＝180°﹣∠AED﹣∠C＝180°﹣﹣＝（x+y）＝＝77°②当E在射线AC上时，如图④，设∠DAE＝x，∠BAC＝y，则x﹣y＝26°，∵∠DAE＝x，∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝，∵∠ACB＝，△CDE中，∠CDE＝∠ACB﹣∠AED＝﹣＝（x﹣y）＝＝13°，综上，∠CDE＝13°或77°；故答案为：13或77．14．解：∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠ADC又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，∴∠1＝ABC，∠2＝∠ADC∵∠1＝∠2．∵∠1＝∠3，（已知）∴∠2＝3．（等量代换）∴AB∥CD．（内错角相等，两直线平行）．15．解：（1）∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∵∠DCE＝∠B+∠E，∴∠ACE＝∠B+∠E，∵∠BAC＝∠ACE+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．（2）设∠CAF＝α，则∠ACE＝∠DCE＝2α，∵AF⊥BC，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝90°﹣α，∵∠ACF+∠ACE+∠DCE＝180°，∴90°﹣α+2α+2α＝180°，解得：α＝30°，∴∠ACE＝60°＝∠B+∠E，又∵∠B＝2∠E，∴∠B＝40°、∠E＝20°，∴∠BAC＝∠B+2∠E＝80°．。
2020—2021学年苏科版七年级数学下册第七章 ：平面的图形认识(二)解答题证明题补充型训练(一)
2020—2021学年七年级数学下册第七章：平面的图形认识（二）解答题证明题补充型训练（一）1．如图，已知点D、F、E、G都在△ABC的边上，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝70°，求∠AGD的度数．（请在下面的空格处填写理由或数学式）解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝（）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝（）∴∥，（）∴∠AGD+＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵，（已知）∴∠AGD＝（等式性质）2．如图，已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于M、N两点，若ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，试说明：ME∥NF解：∵AB∥CD，（已知）∴∠AMN＝∠DNM（）∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线，（已知）∴∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM（角平分线的定义）∴∠EMN＝∠FNM（等量代换）∴ME∥NF（）由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对角的平分线互相．3．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连接EA、EC．（1）如图①，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝°．（2）如图②，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝°．（3）如图③，若∠A＝α，∠C＝β，则α，β与∠AEC之间有何等量关系．并简要说明．4．如图，EF∥AD，∠1＝∠2．说明：∠DGA+∠BAC＝180°．请将说明过程填写完成．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝．（）又∵∠1＝∠2，（）∴∠1＝∠3，（）∴AB∥，（）∴∠DGA+∠BAC＝180°．（）5．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（），∴∥（），∴∠3+∠4＝180°（）6．如图所示，已知AB∥DC，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E．试说明AD∥BC．完成推理过程：∵AB∥DC（已知）∴∠1＝∠CFE（）∵AE平分∠BAD（已知）∴∠1＝∠2 （角平分线的定义）∵∠CFE＝∠E（已知）∴∠2＝（等量代换）∴AD∥BC（）7．完成下面的证明过程：如图所示，直线AD与AB，CD分别相交于点A，D，与EC，BF分别相交于点H，G，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．证明：∵∠1＝∠2，（已知）∠2＝∠AGB（）∴∠1＝（）∴EC∥BF（）∴∠B＝∠AEC（）又∵∠B＝∠C（已知）∴∠AEC＝（）∴（）∴∠A＝∠D（）8．（1）根据下列叙述填依据：已知：如图①，AB∥CD，∠B+∠BFE＝180°，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：因为∠B+∠BFE＝180°所以AB∥EF（）因为AB∥CD（）所以CD∥EF（）所以∠CDF+∠DFE＝180°（）所以∠B+∠BFD+∠D＝∠B+∠BFE+∠EFD+∠D＝360°（2）根据以上解答进行探索，如图②，AB∥EF，∠BDF与∠B、∠F有何数量关系（3）你能探索处图③、图④两个图形中，∠BDF与∠B、∠F的数量关系吗？请写出来．9．请将下列推理过程补充完整．已知：如图，点A、B、C在一条直线上，AD∥BE，∠1＝∠2．求证：∠A＝∠E．证明：∵AD∥BE∵∠A＝（）又∵∠1＝∠2∴ED∥（）∴∠E＝（）∴∠A＝∠E．10．请在括号内完成证明过程和填写上推理依据．如图，已知：AB和CD相交于点O，∠C＝∠AOC，∠D＝∠BOD，延长DB到点E，且∠CAB的平分线AF和∠ABE的平分线BF相交于点F．求证：AF⊥BF．证明：∵∠C＝∠AOC，∠D＝∠BOD又∵∠COA＝∠BOD（）∴∠C＝∠D∴AC∥BD（）∴∠CAB+∠ABE＝180°（）∵∠CAB的平分线AF和∠ABE的平分线BF相交于点F∴∠FAB＝∠CAB，∠ABF＝∠ABE∴即∠FAB+∠ABF＝90°又∵∠FAB+∠ABF+∠AFB＝180°∴∠AFB＝90°∴AF⊥BF（）参考答案1．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行同位角相等）∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴DG∥BA，（内错角相等两直线平行）∴∠AGD+∠CAB＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）∵∠CAB＝70°，（已知）∴∠AGD＝110°（等式性质）．故答案为：∠3；两直线平行同位角相等；∠3；等量代换；DG；BA；内错角相等两直线平行；∠CAB；∠CAB；70°；110°2．解：∵AB∥CD，（已知），∴∠AMN＝∠DNM（两直线平行，内错角相等），∵ME、NF分别是∠AMN、∠DNM的角平分线（已知），∴∠EMN＝∠AMN，∠FNM＝∠DNM（角平分线的定义），∴∠EMN＝∠FNM（等量代换），∴ME∥NF（内错角相等，两直线平行），由此我们可以得出一个结论：两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的平分线互相平行，故答案为：两直线平行，内错角相等，，，内错角相等，两直线平行，内错，平行．3．解：如图，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．（1）∵∠A＝20°，∠C＝40°，∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°，∴∠AEC＝∠1+∠2＝60°；（2）∴∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°，∵∠A＝x°，∠C＝y°，∴∠1+∠2+x°+y°＝360°，∴∠AEC＝360°﹣x°﹣y°；（3）∠A＝α，∠C＝β，∴∠1+∠A＝180°，∠2＝∠C＝β，∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∴∠AEC＝∠1+∠2＝180°﹣α+β．4．解：∵EF∥AD，（已知）∴∠2＝∠3．（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠1＝∠3，（等量代换）∴AB∥DG，（内错角相等，两直线平行）∴∠DGA+∠BAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．5．解：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行），∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．6．证明：∵AB∥DC（已知）∴∠1＝∠CFE（两直线平行，同位角相等）∵AE平分∠BAD（已知）∴∠1＝∠2（角平分线的定义）∵∠CFE＝∠E（已知）∴∠2＝∠E（等量代换）∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：两直线平行，同位角相等；∠E；内错角相等，两直线平行．7．证明：∵∠1＝∠2，（已知）∠2＝∠AGB（对顶角相等）∴∠1＝∠AGB（等量代换），∴EC∥BF（同位角相等，两直线平行）∴∠B＝∠AEC（两直线平行，同位角相等），又∵∠B＝∠C（已知）∴∠AEC＝∠C（等量代换）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A＝∠D（两直线平行，内错角相等），故答案为：对顶角相等，∠AGB，等量代换，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠C，等量代换，AB∥CD，内错角相等，两直线平行，两直线平行，内错角相等．8．解：（1）因为∠B+∠BFE＝180°，所以AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），因为AB∥CD（已知），所以CD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行），所以∠CDF+∠DFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠B+∠BFD+∠D＝∠B+∠BFE+∠EFD+∠D＝360°；（2）过点D作AB的平行线DC，因为AB∥EF，所以∠B＝∠BDC，因为AB∥EF，所以CD∥EF，所以∠F＝∠FDC，所以∠BDF＝∠B+∠F（3）过点D作AB的平行线DC，根据平行线的性质可以证明图③∠BDF+∠B＝∠F；图④∠BDF+∠B＝∠F．9．证明：∵AD∥BE∵∠A＝∠CBE（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2∴ED∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠E＝CBE（两直线平行，内错角相等）∴∠A＝∠E．故答案为：∠CBE；两直线平行，同位角相等；AC；内错角相等，两直线平行；∠CBE；两直线平行，内错角相等．10．证明：∵∠C＝∠AOC，∠D＝∠BOD又∵∠COA＝∠BOD（对顶角相等）∴∠C＝∠D，∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）∴∠CAB+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠CAB的平分线AF和∠ABE的平分线BF相交于点F∴∠FAB＝∠CAB，∠ABF＝∠ABE∴即∠FAB+∠ABF＝90°又∵∠FAB+∠ABF+∠AFB＝180°∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BF（垂直定义）故答案为：（1）对顶角相等；（2）内错角相等，两直线平行；（3）两直线平行，同旁内角互补；（4）垂直定义．。
苏教版-七年级数学(下)第七章-平面图形的认识二知识点归纳
第七章平面图形的认识(二)一、平行线1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles)如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。
两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
如图：∠1与∠6，∠2与∠5均为同位角。
两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角（interior angles of thesame side）。
如图：∠1与∠5，∠2与∠6均为同位角。
2、平行线的性质（1）两直线平行,同位角相等。
（2）两直线平行,内错角相等。
（3）两直线平行,同旁内角互补。
3、平行线的判定（1）同位角相等,两直线平行。
（2）内错角相等,两直线平行。
（3）同旁内角互补,两直线平行。
（4）平行于同一直线的两直线平行。
4、平移平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。
５、平移的性质经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）（3）多次平移相当于一次平移。
（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向，距离决定的。
（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。
二、三角形1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。
2、三角形的性质１）三角形的任意两边之和大于第三边（由此得三角形的两边的差一定小于第三边）２）三角形三个内角的和等于180度（在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度）（一个三角形的3个内角中最少有2个锐角）３）直角三角形的两个锐角互余４）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（三角形的一个外角大于任何一个１）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高。
2021学年苏科版七年级下册 第7章 《平面图形的认识(二)》 单元高频易错必刷题(二)有答案
2020--2021学年七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》单元高频易错必刷题（二）1．填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝（），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴＝∠CDE（），∠DCE＝∠BEF（），∴＝（等量代换），∴EF平分∠DEB（）．2．如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO 和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝；（直接写出答案）（2）若∠MON＝n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF 的数量关系．3．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝．∵AB∥CD，∴∥，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．4．如图，AB∥CD，若∠ABC＝50°，∠CEF＝150°，∠BFE＝60°，∠D＝60°，求∠BCE的度数．请完成如下解答：解：因为∠BFE＝60°，∠D＝60°（已知）所以∠BFE＝∠D（等量代换）所以EF∥，（）所以∠CEF+∠ECD＝°（）因为∠CEF＝150°（已知）所以∠ECD＝30°（等式性质）因为AB∥CD（已知）所以∠ABC＝∠（）因为∠ABC＝50°（已知）所以∠BCD＝°（）所以∠BCE＝∠BCD﹣∠＝°．5．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，已知∠ABE＝50°，∠DCE＝25°，则∠BEC＝°；（2）如图②，若∠BEC＝140°，求∠BE1C的度数；（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C＝°．6．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点C，过点C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究：在转动过程中，∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．7．已知AB∥CD，点M，N分别在直线AB、CD上，E是平面内一点，∠AME和∠CNE的平分线所在的直线相交于点F．（1）如图1，当E、F都在直线AB、CD之间且∠MEN＝80°时，∠MFN的度数为；（2）如图2，当E在直线AB上方，F在直线CD下方时，探究∠MEN和∠MFN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当E在直线AB上方，F在直线AB和CD之间时，直接写出∠MEN和∠MFN之间的数量关系．8．在△ABC中，点D是边AC上一点，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．（1）如图，若∠ABC＜90°，点G是边AB上一点，且∠BEG＝∠C，请判断∠AEG与∠CDF的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC＞90°，点G是直线AB上一点，且∠BEG＝∠C，请直接写出∠AEG与∠CDF的数量关系．9．已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别交于点M、N，MG平分∠AMF，NH平分∠END．求证：MG∥NH．10．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC＝30°．（1）如图（1），当直线l1和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1＝35°，则∠2＝°．（2）如图（2），当∠ADE＝80°时，求∠GFB的度数．（3）如图（3），点Q是线段CD上的一点，当∠QFC＝2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由．参考答案1．证明：∵CD平分∠ACB（已知），∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），∵AC∥DE（已知），∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），∵CD∥EF（已知），∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．故答案为：∠CDE；∠DEF；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．2．解：（1）∵∠MON＝60°，∴∠BAO+∠ABO＝120°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA＝∠ABO，∠CAB＝∠BAO，∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝60°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°，故答案为：60°；（2）∵∠MON＝n°，∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣n°，∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，∴∠CBA＝∠ABO，∠CAB＝∠BAO，∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝90°﹣n°，∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝90°﹣n°；（3）∵CF∥OA，∴∠ACF＝∠CAG，∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG＝90°﹣80°＝50°．3．解：（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．答：∠BED的度数为180°﹣．4．解：因为∠BFE＝60°，∠D＝60°（已知）所以∠BFE＝∠D（等量代换）所以EF∥CD，（同位角相等，两直线平行）所以∠CEF+∠ECD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）因为∠CEF＝150°（已知）所以∠ECD＝30°（等式性质）因为AB∥CD（已知）所以∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）因为∠ABC＝50°（已知）所以∠BCD＝50°（等量代换）所以∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝20°．故答案为：CD，同位角相等，两直线平行，180，两直线平行，同旁内角互补，BCD，两直线平行，内错角相等，50，等量代换，ECD，20．5．解：（1）如图①，过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE＝75°；（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠BE1C＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝70°；（3）如图2，∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，∴由（1）可得，∠BE2C＝∠ABE2+∠DCE2＝∠ABE1+∠DCE1＝∠CE1B＝∠BEC；∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此类推，∠E n＝∠BEC，∴当∠BEC＝α度时，∠BE n C等于（）°．故答案为：75°；（）．6．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，∴∠BAN＝180°×＝60°，故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜90时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD∴2t＝1•（30+t），解得t＝30；②当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴1•（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：设灯A射线转动时间为t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，又∵∠ABC＝120°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．7．解：（1）如图1，过E作EH∥AB，FG∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，FG∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝80°，∴∠AME+∠CNE＝360°﹣（∠BME+∠DNE）＝280°，∵MF，FN分别平分∠AME和∠CNE，∴∠AMF+∠CNF＝×280°＝140°，∵AB∥FG∥CD，∴∠AMF＝∠MFG，∠NFG＝∠CNF，∴∠MFN＝∠MFG+∠NFG＝∠AMF+∠CNF＝140°，故答案为：140°；（2）∠MEN＝2∠MFN，理由：∵∠1＝∠EMH+∠E，∵MF平分∠AME，∴∠4＝，∴∠HMG＝180°﹣∠MHG﹣∠3＝180°﹣∠1﹣∠3，∴∠4＝180°﹣∠MHG﹣∠3，∵∠4＝∠E+∠3，∴180°﹣∠MHG﹣∠3＝∠E+∠3，∴∠MHG＝180°﹣∠E﹣2∠3，∵FN平分∠CNH，∴∠5＝，∴∠DNH＝180°﹣2∠5，∵∠5＝∠2+∠F，∴∠DNH＝180°﹣2∠2﹣2∠F，∵AB∥CD，∴∠MHG＝∠DNH，∴180°﹣∠E﹣2∠3＝180°﹣2∠2﹣2∠F，∵∠2＝∠3，∴∠E＝2∠F；（3）∠E+∠MFN＝180°，证明：如图3，∵AB∥CD，∴∠MGE＝∠ENC，∵NF平分∠ENC，∴∠MGE＝∠ENC＝2∠FNG，∵MF平分∠AME，∴∠AME＝2∠1＝∠E+∠MGE＝∠E+2∠FNG，∴∠FMG＝∠1＝∠E+∠FNG，∵∠E+∠MFN＝360°﹣∠FNG﹣∠FMG﹣∠EMG＝360°﹣∠FNG﹣（180°﹣∠E﹣2∠FNG）﹣（∠E+∠FNG）＝180°+∠E，∴∠MFN+∠E＝180°．故答案为：∠E+∠MFN＝180°．8．解：（1）∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∴∠C+∠CDF＝∠BEG+∠AEG＝90°，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝∠CDF；（2）如图2，∵AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∴∠C+∠CDF＝∠BEG+∠AEG＝90°，∴∠AEG＝∠CDF；如图3，当点G在AB的延长线上时，∵∠AEC＝∠DFC＝90°，∴∠AEG＝90°+∠BEG，∠C＝90°﹣∠CDF，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝90°+90°﹣∠CDF，∴∠AEG+∠CDF＝180°，综上所述，∠AEG与∠CDF的数量关系为相等或互补．9．证明：∵MG平分∠AMF，NH平分∠END，∴∠GMN＝∠AMF，∠HNM＝∠END，∵AB∥CD，∴∠AMF＝∠END，∴∠GMN＝∠HNM，∴MG∥NH．10．解：（1）∵l1∥l2，∴∠2+∠CAB+∠1+∠ABC＝180°，∵∠1＝35°，∴∠2＝55°．故答案为：55；（2）∵∠ADE＝80°，∠A＝60°，∴∠AED＝40°，∵l1∥l2，∴∠AGF＝40°，（3）3∠ADE＝∠QFG+90°．∵∠ADE+∠CFN＝∠C＝90°，设∠CFN＝x，则∠QFC＝2x，∴∠ADE＝90°﹣x，∠QFG＝180°﹣3x，∴3∠ADE＝∠QFG+90°．。
2020-2021学年苏科版数学七年级下册第7章《平面图形的认识(二)》培优练习(二)
2020-2021学年七年级下册第7章《平面图形的认识（二）》常考题培优练习（二）1．填写下列空格完成证明：如图，EF∥AD，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，求∠AGD．解：∵EF∥AD，∴∠2＝．（理由是：）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．（理由是：）∴∥．（理由是：）∴∠BAC+＝180°．（理由是：）∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝°．2．如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）3．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．（1）试说明∠1＝∠2；（2）已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．4．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在．请举例说明；若不存在，请说明理由．5．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．6．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：①∠CAE的度数；②∠DAE的度数．（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．8．已知凸四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，求证：DE⊥BF；（2）如图②，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE∥BF．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出∠ABO的度数＝．10．（1）如图①，∠DCE＝∠ECB＝α，∠DAE＝∠EAB＝β，∠D＝30°，∠B＝40°①用α或β表示∠CNA，∠MP A，∠CNA＝，∠MP A＝②求∠E的大小．（2）如图②，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，则∠E与∠B，∠D之间是否存在某种等量关系？若存在，写出结论，说明理由；若不存在，说明理由．参考答案1．解：∵EF＝AD，∴∠2＝∠3，（理由是：两直线平行，同位角相等）∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，（理由是：等量代换）∴DG∥AB（理由是：内错角相等，两直线平行）∴∠BAC+∠AGD＝180°（理由是：两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC＝70°，∴∠AGD＝110°．故答案为：∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；AB；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110．2．解：（1）∠1+∠2＝∠3；理由：过点P作l1的平行线，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠1＝∠4，∠2＝∠5，（两直线平行，内错角相等）∵∠4+∠5＝∠3，∴∠1+∠2＝∠3；（2）同（1）可证：∠1+∠2＝∠3；（3）∠1﹣∠2＝∠3或∠2﹣∠1＝∠3理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，∴∠2＝∠4，∠1＝∠3+∠4，（两直线平行，内错角相等）∴∠1﹣∠2＝∠3；当点P在上侧时，同理可得：∠2﹣∠1＝∠3．3．解：（1）∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，∵A′E∥C′F，∴∠MEA′＝∠MFC′，∴∠MEA′﹣∠MEB＝∠MFC′﹣∠MFD，即∠1＝∠2；（2）由折叠知，∠C′FN＝＝70°，∵A′E∥C′F，∴∠A′EN＝∠C′FN＝70°，∵∠1＝∠2，∴∠BEF＝70°+40°＝110°．4．解：设三角形的三个内角为α、β、γ，（1）∵α＝2β，且α+β+γ＝180°，∴当α＝100°时，β＝50°，则γ＝30°，∴这个“特征三角形”的最小内角的度数30°；（2）不存在．∵α＝2β，且α+β+γ＝180°，∴当α＝120°时，β＝60°，则γ＝0°，此时不能构成三角形，∴不存在“特征角”为120°的三角形．5．解：（1）如图（1），连接AD并延长至点F，，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度数为63°．6．解：（1）如图（1）．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，而AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝×80°＝40°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°；（2）如图2中，作AH⊥BC于H．由（1）可知∠HAE＝10°，∵AH∥EF，∴∠DFE＝∠HAE＝10°（3）结论：∠DFE＝（∠B﹣∠C）．理由如下：如图3中，作AH⊥BC于H，FD⊥BC于D．∵∠HAE＝∠EAB﹣∠BAH，∠BAH＝90°﹣∠B，∠BAE＝（180°﹣∠B﹣∠C），∴∠HAE＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B）＝（∠B﹣∠C），∵AH∥FD，∴∠DFE＝∠HAE，∴∠DFE＝（∠B﹣∠C）．7．解：（1）∠AEB的大小不变．如图1，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣45°＝135°；（2）∠CED的大小不变．如图2，延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴△CDE中，∠E＝180°﹣112.5°＝67.5°．8．解：（1）DE⊥BF．延长DE交BF于G，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠ADC＝∠CBM，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，∴∠CDE＝∠ADC，∠EBF＝∠CBM，∴∠CDE＝∠EBF．∵∠DEC＝∠BEG，∴∠EGB＝∠C＝90°，∴DE⊥BF．（2）DE∥BF，连接BD，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠NDC+∠MBC＝180°，∵BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的外角，∴∠EDC+∠CBF＝90°，∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC＝180°，∴DE∥BF．9．解：（1）∠AEB的大小不变，∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，∴∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝45°，∴∠AEB＝135°；（2）∠CED的大小不变．延长AD、BC交于点F．∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，∴∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠P AB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠P AB+∠ABM）＝135°，∴∠F＝45°，∴∠FDC+∠FCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠E＝67.5°；（3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝∠ABO，∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，∴∠EAF＝90°．在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①∠EAF＝3∠E，∠E＝30°，∠ABO＝60°；②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°，∠ABO＝120°；③∠F＝3∠E，∠E＝22.5°，∠ABO＝45°；④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°，∠ABO＝135°．∴∠ABO为60°或45°．故答案为：60°或45°．10．解：（1）①∠CNA＝∠D+∠DCE＝40°+α，∠CP A＝∠B+∠BAP＝30°+β，故答案为：40°+α，30°+β；②∵∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，∵∠D+∠ECD＝∠E+∠EAD，∠B+∠EAB＝∠E+∠ECB，∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB＝∠E+∠EAD+∠E+∠EC∴∠D+∠B＝2∠E，∴∠E＝（∠D+∠B）＝35°；（2）设BC交AD于点F，∵∠BFD＝∠B+∠BAD，∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D）．。
2020-2021学年苏科版七年级数学下册第七章 平面图形的认识(二) 压轴培优(三)
七年级数学下册第七章《平面图形的认识（二）》压轴培优（三）1．如图1，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，GH⊥EG交MN于H．（1）求证：PF∥GH．（2）如图2，连接PH，K为GH上一动点，∠PHK＝∠HPK，PQ平分∠EPK交MN于Q，则∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．2．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．（1）求证：AB∥CD；（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．（3）保特（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．3．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，∠ACD+∠F＝180°．（1）求证：AC∥FG；（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．4．已知：如图，线段AC和BD相交于点G，连接AB，CD，E是CD上一点，F是DG上一点FE∥CG，且∠1＝∠A．（1）求证：AB∥DC；（2）若∠B＝30°，∠1＝63°，求∠EFG的度数．5．已知：点A在射线CE上，∠C＝∠D．（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE 时，求∠BAD的度数．6．如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠EHF＝70°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．7．如图，AB∥CD，GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线（1）试判断GM和HN的位置关系；（2）如果GM是∠AGH的角平分线，（1）中的结论还成立吗？（3）如果GM是∠BGH的角平分线，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，请你猜想GM和HN的位置关系，不必说明理由．8．如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°．（1）试判断AD与BC是否平行（请在下面的解答中，填上适当的理由或数学式）；解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（角平分线定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式的性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴AD∥BC（）．（2）若AE⊥BC，求∠ACB的度数．9．如图，以n边形的n个顶点和它内部m个点作为顶点，把原n边形分割成若干个互不重叠的小三角形．观察图形，解答问题：（1）填表：m个数n1 2 3 …3 3 5 7 …4 4 …（2）填空，三角形内部有m个点，则原三角形被分割成个不重叠的小三角形；四边形内部有m个点，则原四边形被分割成个不重叠的小三角形；n边形内部有m个点，则原n边形被分割成个不重叠的小三角形；（3）若多边形内部的点的个数为多边形顶点数的五分之一，分割成互不重叠的小三角形共有2021个，求这个多边形的边数．10．阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF 满足的数量关系，并证明它．11．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．12．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝82°，请将求∠AGD的过程填写完整．解：因为EF∥AD所以∠2＝∠（）又因为∠1＝∠2所以∠1＝∠3（）所以AB∥（）所以∠BAC+∠＝180°（）因为∠BAC＝82°所以∠AGD＝°13．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数．14．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且+|β﹣30|＝0．（1）α＝°，β＝°；直线AB与CD的位置关系是；（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．15．阅读下面材料：小亮同学遇到这样一个问题：已知：如图甲，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．（1）小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝．∵AB∥CD，∴∥，∴∠FED＝．∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．①如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，求∠BED的度数；②如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．参考答案1．解：（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠PEF＝BEF，∠PFE＝DFE，∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠DFE）＝180°＝90°，∴∠EPF＝90°，∵GH⊥EG，∴∠EGH＝90°，∴∠EPF＝∠EGH，∴PF∥GH；（2）∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：∵PF∥GH，∴∠FPH＝∠PHK，∵∠PHK＝∠HPK，∴∠FPH＝∠HPK，∵PQ平分∠EPK，∴∠EPQ＝∠QPK，设∠FPH＝∠HPK＝α，∠FPQ＝β，∴∠EPQ＝∠FPH+∠HPK+∠FPQ＝2α+β，∴∠EPF＝∠EPF+∠QPF＝2α+β+β＝2（α+β）＝90°，∴α+β＝45°，∴∠HPQ＝∠HPF+∠FPQ＝α+β＝45°．所以∠HPQ的大小不发生变化．2．（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，∴∠ACB＝∠CED，∴AC∥DF，∴∠A＝∠DFB，∵∠A＝∠D，∴∠DFB＝∠D，∴AB∥CD；（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥HN∥CD，∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，∵BG平分∠ABE，∴∠ABG＝ABE，∵AB∥HN，∴∠2＝∠ABG，∵CF∥HN，∴∠2+∠β＝∠3，∴ABE+∠β＝∠3，∵DH平分∠EDF，∴∠3＝EDF，∴ABE+∠β＝EDF，∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，设∠DEB＝∠α，∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，∵∠DEB比∠DHB大60°，∴∠α﹣60°＝∠β，∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）解得∠α＝100°∴∠DEB的度数为100°；（3）∠PBM的度数不变，理由如下：如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，∠CDN＝∠EDN＝CDE，∵ES∥CD，AB∥CD，∴ES∥AB∥CD，∴∠DES＝∠CDE，∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，∠G＝∠PBK，由（2）可知：∠DEB＝100°，∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，∵BP∥DN，∴∠CDN＝∠G，∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK＝∠EBK﹣CDE＝（∠EBK﹣∠CDE）＝80°＝40°．3．（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴∠AFH＝∠ADC＝90°，∴EF∥DC，∴∠AHE＝∠ACD，∵∠ACD+∠F＝180°．∴∠AHE+∠F＝180°，∵∠AHE+∠EHC＝180°，∴∠EHC＝∠F，∴AC∥FG；（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，∴设∠BCD＝2x，∠ACD＝3x，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°，∴解得x＝15°，∴∠BCD＝2x＝30°．答：∠BCD的度数为30°．4．解：（1）∵FE∥CG，∴∠1＝∠C．又∵∠1＝∠A，∴∠C＝∠A，∴AB∥DC；（2）∵AB∥DC，∴∠D＝∠B＝30°．∵∠1＝63°，∴∠EFG＝∠D+∠1＝30°+63°＝93°．5．解：（1）如图1，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠C，又∵∠C＝∠D，∴∠DAE＝∠D，∴AD∥BC；（2）∠EAD+2∠C＝90°．证明：如图2，设CE与BD交点为G，∵∠CGB是△ADG是外角，∴∠CGB＝∠D+∠DAE，∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，又∵∠D＝∠C，∴2∠C+∠DAE＝90°；（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，∵∠DFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝180°﹣8α，∵DF∥BC，∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，又∵2∠C+∠DAE＝90°，∴2（180°﹣8α）+α＝90°，∴α＝18°，∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．6．解：（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠DGF，又∵∠C＝∠EFG，∴∠DGF＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）∵∠CED＝∠GHD，∠GHD＝∠EHF＝70°，∴∠CED＝70°，在△CDE中，∠CED＝70°，∠D＝30°，∴∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝80°，∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣80°＝100°．答：∠AEM的度数为100°．7．解：（1）GM∥HN；理由如下：∵AB∥CD，且GM、HN分别为∠BGE和∠DHG的角平分线，∴∠EGB＝∠GHD，∠EGD＝2∠EGB，∠GHD＝2∠GHN，∴∠EGM＝∠GHN，∴GM∥HN．（2）（1）中的结论还成立；理由如下：如图，当GM′平分∠AGH时，∠AGH＝2∠M′GH；∵AB∥CD，∴∠AGH＝∠GHD；而∠GHD＝2∠GHN，∴∠M′GH＝∠GHN，∴GM′∥HN．（3）（1）中的结论不成立；此时，GM⊥HN．8．解：（1）∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式的性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：2∠2，116，180，同旁内角互补，两直线平行；（2）∵AE⊥BC，∠B＝64°，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣64°＝26°，∵∠BAC＝2∠BAE＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣64°﹣52°＝64°．9．解：（1）观察图形，完成下表，m1 2 3 …个数n3 3 5 7 …4 4 6 8 …故答案为：6，8；（2）三角形内部1个点时，共分割成3部分，3＝3+2（1﹣1），三角形内部2个点时，共分割成5部分，5＝3+2（2﹣1），三角形内部3个点时，共分割成7部分，7＝3+2（3﹣1），…，所以，三角形内部有m个点时，3+2（m﹣1）＝2m+1，四边形的4个顶点和它内部的m个点，则分割成的不重叠的三角形的个数为：4+2（m﹣1）＝2m+2，n边形内部有m个点，则原n边形被分割成n+2（m﹣1）＝2m+n﹣2个不重叠的小三角形；故答案为：（2m+1），（2m+2），（2m+n﹣2）；（3）设这个多边形的边数为n，则内部的点的个数为n，根据题意得，2×n+n﹣2＝2021，解得：n＝1445，答：这个多边形的边数为1445．10．解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF＝，，∴∠GEF+∠GFE＝＝＝＝90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD＝（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．11．解：（1）①∵∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30；（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝180°，故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；（3）①∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°，故答案为：45°；②∵BC∥DA，∴∠A+∠ACB＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．12．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC＝82°，∴∠AGD＝98°，故答案为：3；两直线平行，同位角相等；等量代换；DG；内错角相等，两直线平行；AGD；两直线平行，同旁内角互补；98．13．解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：∵∠A＝35°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；（2）∵∠B＝60°，∴∠A+∠C＝120°，设最小的角为x，①当60°＝3x时，x＝20°，②当x+3x＝120°时，x＝30°，答：△ABC中最小内角为20°或30°．14．（1）证明：∵+|β﹣30|＝0，∴α＝β＝30，∴∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，∴∠EMF＝∠MFN，∴AB∥CD；故答案为：30；30；AB∥CD；（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．理由：∵AB∥CD，∴∠MNF＝∠PME，∵∠MGH＝∠MNF，∴∠PME＝∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM＝∠FMN，∵∠GHF+∠GHM＝180°，∴∠FMN+∠GHF＝180°．（3）解：的值不变，＝2．理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．∵AB∥CD，∴∠PEM1＝∠PFN，∵∠PER＝∠PEM1，∠PFQ＝∠PFN，∴∠PER＝∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1＝∠R，设∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y，则有：，可得∠EPM1＝2∠R，∴∠EPM1＝2∠FQM1∴＝2．15．解：（1）过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D；故答案为：∠B；EF；CD；∠D；（2）①如图1，过点E作EF∥AB，有∠BEF＝∠EBA．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC．即∠BED＝∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝65°．答：∠BED的度数为65°；②如图2，过点E作EF∥AB，有∠BEF+∠EBA＝180°．∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠EDC．∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠EBA＝∠ABC＝，∠EDC＝∠ADC＝，∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣+．答：∠BED的度数为180°﹣．。
2020—2021学年苏科版七年级数学下册第7章《平面图形的认识(二 )》解答题常考题(二)
苏科版七年级数学下册第7章《平面图形的认识（二 )》解答题常考题（二）1．一零件形状如图，按规定∠A应等于75°，∠B和∠C应分别是18°和22°，某质检员量得∠BDC＝114°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AE平分∠BAC．（1）若AD⊥BC于D，∠C＝35°，求∠DAE的大小；（2）若EF⊥AE交AC于F，求证：∠C＝2∠FEC．3．完成下列推理结论及推理说明：如图，已知∠B+∠BCD＝180°，∠B＝∠D．求证：∠E＝∠DFE．证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知AB∥CD（）∠B＝（）又∵∠B＝∠D（已知）＝（等量代换）∴AD∥BE（）∠E＝∠DFE（）4．如图，AB∥CD，∠FGB＝154°，FG平分∠EFD，求∠AEF的度数．5．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠AEB 的度数．6．如图，已知∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．（1）试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；（2）若BF⊥AC，∠2＝140°，求∠AFG的度数．7．感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD＝∠A+∠B（不需证明）；探究：如图②，在四边形ABDC中，试探究∠BDC与∠A、∠B．、∠C之间的关系，并说明理由；应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝度；拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，则∠BEC ＝度．8．如图，已知∠A＝90°+x°，∠B＝90°﹣x°，∠CED＝90°，4∠C﹣∠D＝30°，射线EF∥AC．（1）判断射线EF与BD的位置关系，并说明理由；（2）求∠C，∠D的度数．9．如图，AD为△ABC的高，BE为△ABC的角平分线，若∠EBA＝34°，∠AEB＝80°，求∠CAD的度数．10．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是度．（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是．（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是度．②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．11．如图，已知AB∥CD，直线分别交AB、CD于点E，F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB．（1）已知∠B＝20°，求∠DFH；（2）求证：FH平分∠GFD；（3）若∠CFE：∠B＝4：1，则∠GFH的度数．12．如图，AB∥CD，点E在线段AB上，连接EC、ED、AD，且AD⊥CE于F，ED平分∠CEB，若∠ADC＝40°，∠A﹣∠B＝10°，求∠BDE的度数．13．如图，∠ABC＝180°﹣∠A，EF∥BD，∠1+∠2＝96°，DO⊥AD交EF于点O．求∠BDO 的度数．14．如图，已知：AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，求∠2的度数．完成下面的证明过程：证明：∵AB∥CD（），∴∠1＝∠BCD＝40°（）．∵BD⊥BC，∴∠CBD＝．∵∠2+∠CBD+∠BCD＝（），∴∠2＝．15．已知：如图所示，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A+∠1＝60°，求：∠D的度数．参考答案1．解：如图，延长BD与AC相交于点E，∵∠1是△ABE的外角，∠A＝75°，∠B＝18°，∴∠1＝∠B+∠A＝75°+18°＝93°，同理，∠BDC＝∠1+∠C＝93°+22°＝115°，∵李师傅量得∠BCD＝114°，不是115°，∴这个零件不合格．2．（1）解：∵∠C＝35°，∠B＝2∠C，∴∠B＝70°，∴∠BAC＝75°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝37.5°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝55°，∴∠DAE＝55°﹣37.5°＝17.5°；（2）证明：∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AED+∠FEC＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEC，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣3∠C）＝90°﹣∠C，∵∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC﹣（90°﹣∠C）＝90°﹣∠C﹣90°+∠C＝∠C，∴∠FEC＝C，∴∠C＝2∠FEC．3．证明：∵∠B+∠BCD＝180°（已知），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠D（已知），∴∠DCE＝∠D（等量代换），∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），∴∠E＝∠DFE（两直线平行，内错角相等），故答案为：同旁内角互补，两直线平行，∠DCE，两直线平行，同位角相等；∴∠DCE；∠D；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．4．解：∵AB∥CD，∠FGB＝154°，∴∠GFD＝180°﹣∠FGB＝180°﹣154°＝26°，∵FG平分∠EFD，∴∠EFD＝2∠GFD＝2×26°＝52°，∵AB∥CD，∴∠AEF＝∠EFD＝52°．5．解：∵BE∥AD，∴∠ABE＝∠BAD＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝20°，∵∠C＝90°，∴∠AEB＝∠C+∠CBE＝90°+20°＝110°．6．解：（1）BF∥DE，理由如下：∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠3，∵∠1+∠2＝180°，∴∠3+∠2＝180°，∴BF∥DE；（2）∵BF∥DE，BF⊥AC，∴DE⊥AC，∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，∴∠1＝40°，∴∠AFG＝90°﹣40°＝50°．7．解：探究：连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF及∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；应用：由探究的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又因为∠A＝50°，∠BXC＝90°，所以∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；故答案为：40；拓展：由探究的结论易得∠BDC＝∠BAC+∠ABC+∠ACB，易得∠ABC+∠ACB＝50°；而∠BEC＝（∠ABC+∠ACB）+∠A，代入∠BAC＝100°，∠BDC＝150°，易得∠BEC＝125°故答案为：1258．解：（1）EF∥BD，∵∠A+∠B＝（90+x）°+（90﹣x）°＝180°，∴AC∥BD，∵EF∥AC，∴EF∥BD；（2）∵AC∥EF∥BD，∴∠CEF＝∠C，∠DEF＝∠D，∵∠CED＝90°，∴∠C+∠D＝90°，联立，解得．9．解：∵BE为△ABC的角平分线，∴∠CBE＝∠EBA＝34°，∵∠AEB＝∠CBE+∠C，∴∠C＝80°﹣34°＝46°，∵AD为△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝44°．10．解：（1）①∵∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30；（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，故答案为：∠ACB+∠DCE＝180°；（3）①∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠E＝45°，故答案为：45°；②∵BC∥DA，∴∠A+∠ACB＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．11．解：（1）∵AB∥CD，∠B＝20°，∴∠DFB＝20°，∵FH⊥FB，∴∠BFH＝90°，∴∠DFH＝90°﹣∠DFB＝70°；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠DFB＝∠B，∵∠EFB＝∠DFB，∵∠DFB+∠DFH＝90°，∴∠EFB+∠GFH＝90°，∴∠GFH＝∠DFH，∴FH平分∠GFD；（3）∵AB∥CD，∴∠CFB+∠B＝180°，∵∠EFB＝∠B，∠CFE：∠B＝4：1，∴∠EFB＝30°，∴∠GFH＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60°．12．解：∵AB∥CD，∵∠A﹣∠B＝10°，∴∠B＝30°，∵AD⊥EF，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF＝50°，∴∠BEC＝130°，∵DE平分∠BEC，∴∠BED＝∠BEC＝65°，∴∠BDE＝180°﹣30°﹣65°＝85°．13．解：∵∠ABC＝180°﹣∠A，即∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3，又∵EF∥BD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1+∠2＝96°，∴2∠1＝96°，∠1＝48°，又∵DO⊥AD，∴∠ADO＝90°，∴∠BDO＝90°﹣∠1＝42°．答：∠BDO的度数为42°．14．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠1＝∠BCD＝40°（两直线平行，同位角相等）．∵BD⊥BC，∴∠CBD＝90°．∵∠2+∠CBD+∠BCD＝180°（三角形内角和定理），∴∠2＝50°．故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，90°，180°，三角形内角和定理，50°．15．解：∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，∵∠A+∠1＝60°，∴∠1＝∠A＝30°，∴∠ECD＝∠1＝30°，∵DE⊥AE，∴∠DEC＝90°，∴∠D＝180°﹣∠DEC﹣∠ECD＝60°．。
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· B 2 1
A
E
· F
3
D4 c
三、平移的概念及特征:
平移的概念:
在平面内,将一个图形沿着某个方向 移动一定的距离,这样的图形运动叫做 图形的平移
平移的特征:
平移不改变图形的_形__状_和_大__小__.
四.平移的性质:
图形经过平移,连接各组对应点的线段 平行且相等或在同一条直线上且相等.
练习4：计算:[更多资料加 Q(41)6如5图0，1大0矩2形03的]长是10cm，宽是8cm，
E
A３１２
D
４
B
C
练一练
知识点梳理
一、两直线平行的条件: 同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 二、两 直线平行的性质: 两直线平行,同位角相等.
两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.
两条平行直线被第三条直线直线所截，
判定(数----形)
性质(形----数)
阴影部分的宽为2cm，则空白部分的面 积是多少?
(2)如图，△ABE向右平移一定距离后 得到△CDF.
①图中存在平行且相等的三组线段是 AB和 CD，AE和 CF，AC和BD或EF.
②若∠BAE=60°,∠AEB=98°，则
∠DcF= 60 °，∠CFD= 98 °.
A
C
60°
98°
B
ED
F
五、三角形的有关知识结构:
条件
结论
条件
结论
同位角相等， 两直线平行 两直线平行，同位角相等。
内错角相等， 两直线平行 两直线平行，内错角相等。
同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补