同济高等数学第七版第4章习题解答

209

教材习题同步解析

习题4-1

2. 求下列不定积分:

(2)x ⎰;

(3)x (4)⎰x x x d 32; (5)

⎰x x

x

d 1

2

; (11)x x x d )1(13⎰

-+）（;

(12)⎰-x x x d )1(2; (15)x x e e x x d 1⎰

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--; (16)⎰x e x x d 3; (19)⎰

x x

d 2

cos 2;

(20)⎰+x x d 2cos 11; (21)⎰

-x x x x

d sin cos 2cos ;

(22)⎰x x

x x

d sin cos 2cos 2

2; (23)⎰

x x d cot 2; (25)22d 1

x x x +⎰. (26)⎰++x x x x d 12322

4.

解

(2)35

222

d 5

x x x x C ==+⎰⎰ .

(3)x C =. (4)C x x dx

x x x x +=

=⎰

⎰

3

3373

210

3d . (5)

C x

x x

x

x x

x

+⋅-==⎰

⎰-

132d d 1

252

.

209

(11) x x x d )1(13⎰-+）（x x x x d 132⎰

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=

⎰⎰

⎰

⎰

-

+

-

=x x x x x x x d d d d 23

21

2

C x x x x +-+-=25

23

35

2

3231. (12)

()⎰

⎰

+-=

-x x

x x x x x d 21d 12

2 C x x x x x x x ++-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎰

-25

232123212152342d 2. (15)C x e x x e x x e e x x x x +-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰

⎰--21212d d 1.

(16)C e C e e x e x e x

x x x

x

x ++=+=

=⎰

⎰

1

3ln 3)3ln()3(d )3(d 3. (19)⎰

⎰+=x x

x x d 2cos 1d 2cos 2

C x x x x ++=+=⎰

)sin (2

1d )cos 1(21. (20)⎰

⎰+==+C x x x x x tan 21

d cos 21d 2cos 112.

(21)x x

x x

x x x x x d sin cos sin cos d sin cos 2cos 22⎰⎰

--=-

⎰

+-=+=C x x x x x cos sin d )sin (cos .

(22)222222cos 2cos sin d d cos sin cos sin x x x

x x x x x x

-=⎰

⎰ 22

1

1d sin cos x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

⎰C x x +--=tan cot .

209

(23)C x x x x x x +--=-=⎰

⎰cot d )1(csc d cot 22.

(25)222

211

d d 11

x x x x x x +-=++⎰⎰ 21

(1)d arctan 1

x x x C x =-=-++⎰

(26)⎰⎰

⎪⎭⎫ ⎝

⎛++-=++x x x x x x x d 1113d 12322

224

C x x x ++-=arctan 3.

5. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.

解 设该曲线的方程为()x f y =, 则由题意得x

x f y 1

)(='='.

所以 C x x x

y +==⎰

||ln d 1

.

又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有C C e +=+=2ln 32,1=C . 于是所求曲线的方程为:1ln +=x y .

6. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是(),/32s m t 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？

解 设位移函数为()t s s =, 则23t v s ==', C t t t s +==⎰

32d 3.

因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为3t s =. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.

(2)由3t s ==360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s.

习题4-2

1. 在下列各式等号右端的横线处填入适当的系数，使等式成立：

（1）d d()x ax =

； （5）2d d(1)x x x =-；