北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形》培优专题练习卷

4. 如图，在 ᖈቀ 中， ቀᖈ
，ቀ㰀为 ᖈ 边上的中线，过点作 t ቀ㰀
于点 t，过点 ᖈ 作 ቀ㰀平行线，交 t 的延长线于点，在延长线上截得
ቀ㰀，
连结 ቀ 、㰀．若 ᖈ
，
，则四边形 ቀ 㰀的面积等于________．
5. 已知正方形的一条对角线的长，那么这个正方形的面积为________． 6. 如图，四边形 ᖈቀ㰀是菱形，添加一个条件：________，可使它成为正方形．
ቀ、ᖈ㰀是菱形
B. 㰀 ᖈቀ D. ቀ ᖈ㰀 ᖈቀ㰀的对角线，那么下列结论一定正确的
A. ᖈ与 ᖈቀ 的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
19. 已知㰀t ቀ、㰀
ᖈ，添加下列条件后，不能判断四边形㰀t 为
24 如图，在四边形 ᖈቀ㰀中，㰀 ᖈቀ，点 t、在边 ᖈቀ 上，㰀t ᖈ，㰀ቀ，且 t 㰀．
（1）㰀与 ᖈቀ 有何数量关系？请说明理由；（2）当四边形 ᖈቀ㰀满足条件________时，四边形 t 㰀是矩形，请说明理由．
（3）当四边形 ᖈቀ㰀满足条件________时，四边形 t 㰀是正方形（只写结论，不需证明）．
菱形的是（）
A. 㰀平分 ᖈ ቀ
B. ᖈ ቀ 且 ᖈ㰀 ቀ㰀
C. 㰀为中线
D.t 㰀
20. 某住宅小区，为美化环境，提高居民的生活质量，想要建造一个八边形的
居民广场，如图，其中正方形买 ⣀ 同长方形（图中的阴影部分）的面积的和
为 h 部，正方形买 ⣀ 的边长为，则八边形 ᖈቀ㰀t 翿的面积为
C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.对角线相等的菱形是正方形
16. 如图，在平行四边形 ᖈቀ㰀中，用直尺和圆规作 ᖈ 㰀的平分线交 ᖈቀ
于点 t，若 ᖈ
， ᖈ ，则 t 的长为（）
A.
B.
C.
D.
17. 如图，四边形 ᖈቀ㰀的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添
加的条件是(
)
A. ᖈ ቀ㰀 C. ᖈ ᖈቀ 18. 如图，已知是（）
（
）
A. h 部 h 部
B. h 部 h 部
C. h 部
D. h 部 h 部
三、解答题（本题共计 4 小题，共计 60 分，）
21. 如图，在矩形 ᖈቀ㰀中， ᖈቀ 的角平分线交对角线 ቀ 于点， t ᖈ，
ᖈቀ，垂足分别是 t，．判定四边形 tᖈ 的形状，并证明你的结论．
22. 如图，矩形 ᖈቀ㰀的对角线相交于点，ᖈt ቀ、 t ᖈ㰀．
（1）求证：四边形 tᖈ 是菱形．（2）当题中的矩形改为菱形时，则四边形 tᖈ 是________形；当题中的矩形改为正方形时，则四边形 tᖈ 是________形．
23. 如图所示，t、、、翿分别是四边形 ᖈቀ㰀的边 ᖈ、ᖈቀ、ቀ㰀、㰀的中点，
（1）当四边形 ᖈቀ㰀是矩形时，四边形 t 翿是________形，请说明理由．（2）当四边形 ᖈቀ㰀满足什么条件时，四边形 t 翿为正方形？并说明理由．
7. 如图，矩形 ᖈቀ㰀的对角线 ቀ，ᖈ㰀相交于点，ቀt ᖈ㰀，㰀t ቀ ，则四边形 ቀ 㰀t 的周长是________．
ቀ．若
8. 点是四边形 ᖈቀ㰀内一点，若
ᖈ， ቀ 㰀， ᖈ ቀ 㰀，点
t湯湯湯翿分别是 ᖈ湯ᖈቀ湯ቀ㰀湯㰀的中点，则给边形 t 翿为正方形.
ᖈ 添加一个条件________使四
9. 如图，菱形 ᖈቀ㰀的对角线相交于点，请你添加一个条件：________，使得该菱形为正方形．
10. 如图，在 ᖈቀ， ᖈ ቀ，点㰀为 ᖈቀ 的中点， t 是 ᖈ ቀ 外角的平分线，㰀t ᖈ 交 t 于 t，则四边形㰀ቀt 的形状是________．
二、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计 30 分，） 11. 如图，在菱形 ᖈቀ㰀中，对角线 ቀ、ᖈ㰀相交于点，下列结论中不一定成立的是（）
A. ᖈ ቀ 㰀 ቀ
B. ቀ ᖈ㰀
C. ቀ ᖈ㰀
D.
ቀ
12. 下列不能判定一个四边形是菱形的是（）
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.四条边都相等的四边形是菱形
D.对角线相等的平行四边形是菱形
13. 如图，在矩形 ᖈቀ㰀中， ᖈ ，㰀，是㰀上一动点， ᖈ㰀
于， t ቀ 于 t，则 t h 的值为（）
A.
B.
C.
D.
14. 将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）
A.
B. t
C.
D.
15. 下列说法不正确的是（）
A.一组邻边相等的矩形是正方形 B.有一个角是直角的平行四边形是正方形
第一章特殊平行四边形
一、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计 30 分，） 1. 如图，四边形 ᖈቀ㰀为矩形，添加一个条件：________，可使它成为正方形．
2. 如果边长分别为和的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个
正方形的边长为________ ．
3. 菱形的两条对角线分别为，，则它的面积是________ ．

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北师大新版九年级数学上学期第一章：特殊的平行四边形单元培优卷含解析

第一章特殊的平行四边形一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．42．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣64．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝cm．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE⊥AC 于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8 B．10 C．3D．4【分析】根据矩形的性质得出∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，求出a2+b2＝102，ab＝40，解方程组求出a即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2××10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4，b＝2，即AD＝4，故选：D．2．如图，矩形ABCD中，BH⊥AC，DE∥BH交CB的延长线于点E，交AB于点G，P是DE上一点，∠BPD＝∠BCD，且G为PF的中点．则①AF＝CH；②AC＝3FH；③BE＝BG；④若AE＝，则FG＝3，以上结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①利用矩形的性质，证明△AFD与△CHB全等，即可推出结论①正确；②先证明四边形PBHF为矩形，推出PB＝FH，再证明△AFG与△BPG全等，推出AF＝FH ＝CH，即可②正确；③假设结论成立，可推出∠BAC＝45°，BA＝BC，故矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④先证明△EPB与△BHC全等，推出EB＝BC，AB垂直平分EC，求出AC的长度，再证△ABH与△BCH相似，求出BH的长度，最后证△AFG与△AHB相似，即可求出GF的长度为2，故④错误．【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，∴∠DAF＝∠BCH，∵BH⊥AC，∴∠BHC＝∠BHA＝90°，∴△AFD≌△CHB（AAS），∴AF＝CH．故①正确；②由①知，∠PFH＝∠BHF＝90°，∵∠BPD＝∠BCD＝90°，∴∠BPD＝∠PFH＝∠BHF＝90°，∴四边形PBHF为矩形，∴PB＝FH，PB∥FH，∵∠AFG＝∠BPG＝90°，FG＝PG，∠AGF＝∠BGP，∴△AFG≌△BPG（ASA），∴BP＝AF，∴AF＝FH，由①知，AF＝CH，∴AF＝FH＝CH，∴AC＝3FH，故②正确；③假设BE＝BG，∵∠EBG＝90°，∴∠E＝∠BGE＝45°，在Rt△EFC中，∠FCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°，∴BA＝BC，∴矩形ABCD必为正方形，不符合题意，故③错误；④∵DE∥BH，∴∠PEB＝∠HBC，由②知，四边形PBFH为矩形，PB＝FH＝CH，∴∠EPB＝∠BHC＝90°，∴△EPB≌△BHC（AAS），∴EB＝BC，∵∠ABC＝90°，∴AB垂直平分EC，∴AC＝AE＝6，由②知，AF＝FH＝HC，∴AF＝FH＝HC＝AC＝2，∴AH＝4，∵∠BHC＝∠AHB＝90°，∴∠BAH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠HBC＝90°，∴∠BAH＝∠HBC，∴△ABH∽△BCH，∴＝，即＝，∴BH＝4，∵DE∥BH，∴△AFG∽△AHB，∴＝，即＝，∴CF＝2，故④错误，故选：B．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B′，过B′作B′F⊥DC于F，连接DB′，若△DB′F为等腰直角三角形，则BE的长是（）A．6 B．3 C．3D．6﹣6【分析】如图作B′H⊥AD于H交BC于M．首先证明四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，根据AB′2＝AH2+HB′2，构建方程求出x，再利用相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：如图作B′H⊥AD于H交BC于M．∵∠B′HD＝∠HDF＝∠DFB′＝90°，∴四边形DFB′H是矩形，∵FD＝FB′，∴四边形DFB′H是正方形，设边长为x，则AH＝6﹣x，HB′＝x，在Rt△AHB′中，∵AB′2＝AH2+HB′2，∴62＝（6﹣x）2+x2，解得x＝3，∴B′M＝CF＝6﹣3，∵△AHB′∽△B′ME，∴＝，∴＝，∴EB′＝6﹣6，∴BE＝B′E＝6﹣6，故选：D．4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD 的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，于是得到＝＝，得到NB ＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得到BM＝＝a，于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，∴ME+MF＝MB．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．5．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE＝AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG ＝180°，易证ED∥GA，即可判断A；求出∠DAG＝135°，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得∠BAC＝135°；根据AD＝AC＝和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．【解答】解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．6．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（）A．9.5 B．10 C．10.5 D．11【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1＝2C2＝4C3，FG＝LK，EF＝6，即可得到AB＝BF+EF+AE＝11．【解答】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等，∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°，∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，BF＝FG，AE＝AK，CL＝HL，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，即BF+FE+AE＝AK+KL+CL，又∵BF＝FG＝KL，∴EF＝CL＝6＝CH，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，∵C1＝2C2，∴AE＝CH＝3，又∵2C2＝4C3，∴C3＝C2＝×12＝6，∴BF＝×6＝2，∴AB＝BF+EF+AE＝2+6+3＝11，故选：C．二．填空题（共7小题）7．已知菱形ABCD的周长为52cm，对角线AC＝10cm，则BD＝24 cm．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝5cm，AD＝AB＝BC＝CD ＝13cm，根据勾股定理求出OD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2DO，AO＝OC＝AC＝＝5cm，∵菱形ABCD的周长为52cm，∴AD＝AB＝BC＝CD＝×52cm＝13cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝AO2+0D2，即OD＝＝12（cm），∴BD＝2OD＝24cm，故答案为：24．8．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于50．【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AM＝AP，∠MAP＝60°，∴△AMP是等边三角形，∵∠MAP＝∠BAC，∴∠MAB＝∠PAC，∴△MAB≌△PAC，∴BM＝PC＝10，∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，∴PM2+PB2＝BM2，∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，故答案为50+72．9．如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为．【分析】延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．【解答】解：延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，∴GF∥BE，EF∥AM，∴四边形AMFE是平行四边形，∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，∵∠A＝60°，∴∠DAH＝30°，∴MN＝DM＝，∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，在Rt△DNF中，DF＝＝，故答案为：．10．如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC＝，则线段EF的长为或．【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出＝，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【解答】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴＝，即＝，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF＝．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC＝，综上，EF＝或．故答案为：或．11．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在BC与CD上，且∠EAF＝45°（1）如图甲，若EA＝EF，则EF＝；（2）如图乙，若CE＝CF，则EF＝7﹣4．．【分析】（1）已知EA＝EF，∠EAF＝45°，由三角形的内角和得∠AEF＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，又因∠BAE+∠AEB＝90°，等量代换得∠BAE＝∠CEF，从而证明△ABE≌△ECF；EF的长可由勾股定理求出．（2）作辅助线FM和EN，已知△CEF，构建两个等腰△DEM，△BEN可求出线段DF，AM，FC，BE和AN的长；证明△ANE∽△FMA，再由两个三角形相似的性质求出相似比，解出x 的值，由勾股定理（或三角函数）求出EF的长．【解答】解：（1）如图甲所示：∵EA＝EF，∴△AEF是等腰直角形，∠EAF＝∠EFA，∵∠EAF＝45°，∴∠EFA＝45°，又∵在△AEF中，∠EAF+∠EFA+∠AEF＝180°，∴∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，又∵∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，又∵△ABE中，∠B+∠BAE+∠AEB＝180°，∠B＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，在△ABE和△ECF中，∴△ABE≌△ECF（AAS）∴AB＝EC，BE＝CF，又∵AB＝3，BC＝4，∴EC＝3，CF＝1，在Rt△CEF中，由勾股定理得：＝＝故答案为．（2）如图乙所示：作DM＝DF，BN＝BE，分别交AD，AB于点M和点N，设MD＝x，∵四边形ABCDA是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∴∠BNE＝45°，∠DMF＝90°，又∵∠BNE+∠ENA＝180°，∠FMD+∠FMA＝180°，∴∠ENA＝135°，∠FMA＝135°，又∵∠EAF＝45°，∠BAD＝∠BAE+∠EAF+∠FAD＝90°，∴∠BAE+∠FAD＝45°，∵∠BAE+∠NEA＝45°，在△ANE和△FMA中，∴△ANE∽△FMA（AA）∴；又∵MD＝x，∴DF＝x，∵CE＝CF，AB＝3，BC＝4，∴FC＝EC＝3﹣x，BE＝AB＝x+1，AN＝2﹣x，∴，解得：2﹣4，或﹣2﹣4（舍去），∴FC＝3﹣（）＝7﹣2，∴EF＝FC＝（7﹣2）＝7﹣4．故答案为7﹣4．12．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，直线EF经过对角线BD的中点O分别交边AD、BC与点E、F，点G、H分别是OB、OD的中点，当四边形EGFH为矩形时，则BF的长或．【分析】根据矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，可求出对角线的长，再由点G、H分别是OB、OD的中点，可得GH＝BD，从而求出GH的长，若四边形EGFH为矩形时，EF＝GH，可求EF的长，通过作辅助线，构造直角三角形，由勾股定理可求出MF的长，最后通过设未知数，列方程求出BF的长．【解答】解：如图：过点E作EM⊥BC，垂直为M，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∴AB＝EM＝CD＝2，AD＝BC＝6，∠A＝90°，OB＝OD，在Rt△ABD中，BD＝，又∵点G、H分别是OB、OD的中点，∴GH＝BD＝，当四边形EGFH为矩形时，GH＝EF＝，在Rt△EMF中，FM＝＝，易证△BOF≌△DOE（AAS），∴BF＝DE，∴AE＝FC，设BF＝x，则FC＝6﹣x，由题意得：x﹣（6﹣x）＝，或（6﹣x）﹣x＝，∴x＝或x＝，故答案为：或．13．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP ＝PE时，求出即可．【解答】解：根据题意得：BP＝t，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，由勾股定理得：AE＝＝5，过E作EF⊥AB于F，则∠EFA＝∠EFB＝90°，∵∠C＝∠B＝90°，∴四边形BCEF是矩形，∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，∴PF＝5﹣t，由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，解得：t＝2，t＝8，∵t＝8不符合题意，舍去；②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，解得：t＝，即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，故答案为：2或．三．解答题（共9小题）14．四边形ABCD是菱形，AC＝16，DB＝12，DH⊥AB于点H，求DH的长．【分析】先根据菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB＝10，然后根据菱形的面积公式得到•AC•BD＝DH•AB，再解关于DH的方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB＝＝10，∵S菱形ABCD＝•AC•BD，S菱形ABCD＝DH•AB，∴DH•10＝×12×16，∴DH＝．15．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD＝4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．【分析】（1）在RT△BCP中利用勾股定理求出PB，在RT△ABP中利用勾股定理求出PA 即可．（2）如图2中，延长PM交BC于E．先证明PD＝BE，再利用三角形中位线定理证明MN ＝BE，ON＝PD即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AB∥CD∵PD＝4，∴PC＝6，∵PB⊥CD，∴PB⊥AB，∴∠CPB＝∠ABP＝90°，在RT△PCB中，∵∠CPB＝90°PC＝6，BC＝10，∴PB＝＝＝8，在RT△ABP中，∵∠ABP＝90°，AB＝10，PB＝8，∴PA＝＝＝2．（2）△OMN是等腰三角形．理由：如图2中，延长PM交BC于E．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CB＝CD，∵PE⊥AC，∴PE∥BD，∴＝，∴CP＝CE，∴PD＝BE，∵CP＝CE，CM⊥PE，∴PM＝ME，∵PN＝NB，∴MN＝BE，∵BO＝OD，BN＝NP，∴ON＝PD，∴ON＝MN，∴△OMN是等腰三角形．16．菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，已知AC＝8，BD＝6，求AB边上的高．【分析】首先利用菱形的性质得出AB的长，再利用菱形面积求法得出DE的长．【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，∴AB＝5，∴×6×8＝DE×AB，解得：DE＝，即AB边上的高为：．17．如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．【分析】（1）根据已知条件证明AE＝CF，从而根据SAS可证明两三角形全等；（2）先证明DE＝BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG，∴四边形AGBD是矩形，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE，∵DF∥BE，DF＝BE，∴四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．18．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD＝OC，求出∠CDO，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．19．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．【分析】（1）由△AEF≌△CED，推出EF＝DE，又AE＝EC，推出四边形ADCF是平行四边形，只要证明∠ADC＝90°，即可推出四边形ADCF是矩形．（2）四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDC，∵E是AC中点，∴AE＝EC，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED，∴EF＝DE，∵AE＝EC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．（2）∵线段DG、线段GE、线段DE都是△ABC的中位线，又AF∥BC，∴AB∥DE，DG∥AC，EG∥BC，∴四边形ABDF、四边形AGEF、四边形GBDE、四边形AGDE、四边形GDCE都是平行四边形．20．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的两条直线分别交边AB、CD、AD、BC于点E、F、G、H．【感知】如图①，若四边形ABCD是正方形，且AG＝BE＝CH＝DF，则S四边形AEOG＝S；正方形ABCD【拓展】如图②，若四边形ABCD是矩形，且S四边形AEOG＝S矩形ABCD，设AB＝a，AD＝b，BE＝m，求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；【探究】如图③，若四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，AD＝5，BE＝1，试确定F、G、H的位置，使直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．【分析】【感知】如图①，根据正方形的性质和全等三角形的性质即可得到结论；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，根据图形的面积得到mb＝AG•a，于是得到结论；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，根据平行四边形的面积公式得到＝，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：【感知】如图①，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAG＝∠OBE＝45°，OA＝OB，在△AOG与△BOE中，，∴△AOG≌△BOE，∴S四边形AEOG＝S△AOB＝S正方形ABCD；故答案为：；【拓展】如图②，过O作ON⊥AD于N，OM⊥AB于M，∵S△AOB＝S矩形ABCD，S四边形AEOG＝S矩形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∵S△AOB＝S△BOE+S△AOE，S四边形AEOG＝S△AOG+S△AOE，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OM＝m b＝mb，S△AOG＝AG•ON＝AG•a＝AG•a，∴mb＝AG•a，∴AG＝；【探究】如图③，过O作KL⊥AB，PQ⊥AD，则KL＝2OK，PQ＝2OQ，∵S平行四边形ABCD＝AB•KL＝AD•PQ，∴3×2OK＝5×2OQ，∴＝，∵S△AOB＝S平行四边形ABCD，S四边形AEOG＝S平行四边形ABCD，∴S△AOB＝S四边形AEOG，∴S△BOE＝S△AOG，∵S△BOE＝BE•OK＝×1×OK，S△AOG＝AG•OQ，∴×1×OK＝AG•OQ，∴＝AG＝，∴当AG＝CH＝，BE＝DF＝1时，直线EF、GH把四边形ABCD的面积四等分．21．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、EF为邻边作▱ECFG．（1）证明▱ECFG是菱形；（2）若∠ABC＝120°，连结BC、CG，求∠BDG的度数；（3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长．【分析】（1）平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线的性质证明∠CEF ＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）证明：，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEG≌△DCG（SAS），∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图2中，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10，∴DM＝BD＝5．22．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．【分析】（1）证△AEO≌△CFO，推出OE＝OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设AF＝CF＝a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出即可；（3）①只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t，即可求出答案；②分为三种情况，P在AF上，P在BF上，P 在AB上，根据平行四边形的性质求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∵AC的垂直平分线EF，∴AO＝OC，AC⊥EF，在△AEO和△CFO中∵，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能在CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝．。

北师大版九年级数学上第1章特殊平行四边形综合提升卷(含答案)

北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )第一章特别平行四边形综合提高卷一、选择题(每题 3 分，共30 分 )1．以下说法中错误的选项是()A．平行四边形的对角线互相均分B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形2．已知△ ABC ， AB ＝ AC ，将△ ABC 沿边 BC 翻折，获取的△DBC 与原△ ABC 拼成四边形 ABDC ，则能直接判断四边形ABDC 是菱形的依据是()A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．四条边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直均分的四边形是菱形3．如图 1 ，在矩形ABCD 中 (AD ＞ AB) ，E 是 BC 上一点，且DE ＝DA ， AF ⊥ DE ，垂足为 F. 在以下结论中，不用然正确的选项是( )图 11A．△ AFD ≌△ DCE B．AF＝2ADC．AB ＝AF D ． BE＝ AD－ DF北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)4．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的极点坐标分别是A(－ 3 ，0) ，B(0 ，2) ，C(3 ， 0)，D(0 ，－ 2) ，则四边形ABCD 是 ()A ．矩形B ．菱形C．正方形D．平行四边形5．如图2，在矩形ABCD 中， E，F ， G， H 分别为边AB ， DA ， CD ， BC 的中点．若AB＝ 2， AD ＝ 4 ，则图中阴影部分的面积为()11/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )图 2A．3B．4C．6D．86．如图 3 ，在△ ABC 中， D 是 BC 上一点， AB ＝AD ， E， F 分别是AC ，BD 的中点，EF＝2，则AC的长是 ()图 3A．3B．4C．5D．67．如图 4，矩形 ABCD 的对角线AC 与 BD 订交于点 O ，CE ∥BD，DE ∥AC ，AD ＝ 2 3，DE ＝2，则四边形 OCED 的面积为 ( )图 4A．2 3B．4C．4 3D．88．如图 5 ，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使极点 D 落在 BC 边上的点 E 处，折痕为GH ，若 BE∶ EC ＝ 2∶ 1，则线段CH 的长是 ()北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)图 5A．3B． 4C．5D．69．如图6，矩形纸片ABCD 中， AB ＝ 4， BC ＝ 6. 将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三角形，所有剪法中节余部分面积的最小值是()22/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )图 6A．6B． 3C．D．210 ．如图 7， P 是矩形ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边AB ， BC 的长分别是6 和 8 ，则点P 到矩形的两条对角线AC 和 BD 的距离之和是()图 7A．B．5C．6D．请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(每题 3 分，共18分)11 ．如图8，在菱形ABCD 中， AB ＝4，线段AD 的垂直均分线交AC 于点 N，△ CND 的周长是10 ，则 AC 的长为 ________ ．北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)图 812. 如图 9 ，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到点 E，使 AE ＝ AC ，则∠ BCE 的度数是________ ．33/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )图 913 ．已知在四边形ABCD 中，∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝90 °，若增加一个条件即可判断该四边形是正方形，则这个条件可以是________ ．14 ．如图10 ，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ， BD 订交于点O，动点 E 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 出发沿AC 方向运动，点 F 同时以每秒 1 个单位长度的速度从点 C 出发沿CA 方向运动，若AC ＝ 12 ， BD ＝ 8，则经过 ________ 秒后，四边形BEDF 是矩形．图 1015 ．如图 11 ，在正方形 ABCD 内作∠ EAF ＝ 45 °， AE 交 BC 于点 E， AF 交 CD 于点 F ，连接EF ，过点 A 作 AH ⊥ EF ，垂足为 H，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转 90 °获取△ ABG ，若 BE ＝2， DF ＝3，则 AH 的长为 ________ ．图 1116. 如图 12 ，已知菱形OABC 的边 OA 在 x 轴上，点 B 的坐标为 (8 ，4) ，P 是对角线OB 上的一个动点，点 D (0 ， 1) 在 y 轴上，当PC ＋PD 最短时，点P 的坐标为 ________ ．北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)图 12三、解答题(共 72 分 )17 ． (6 分) 如图 13 ，在 ? ABCD 中，以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧交AD 于点 F ，1再分别以点 B ，F 为圆心，大于2BF 的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP 并延长交BC 于点 E，连接EF.(1) 四边形ABEF 是什么四边形？并说明原由；44/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )(2)AE ， BF 订交于点 O，若四边形 ABEF 的周长为 40 ，BF ＝10 ，求 AE 的长和∠ ABC 的度数．图 1318 ． (6 分 )如图 14 ， E 是正方形 ABCD 外一点， F 是线段 AE 上一点，△ EBF 是等腰直角三角形，其中∠ EBF ＝90 °，连接 CE ，CF .(1)求证：△ ABF ≌△ CBE ；(2)判断△ CEF 的形状，并说明原由．图 14北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)55/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )19 ．(8 分 )如图 15 ，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90 °， AD 是斜边上的中线， E 是 AD 的中点，过点A 作 AF ∥BC 交 BE 的延长线于点 F，连接 CF .(1)求证： BD ＝AF ；(2)判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．图 1520 ． (8 分 )如图 16 ，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点 B 落在点 F 处， FC 交 AD 于点 E.(1)求证：△ AFE ≌△ CDE ；(2)若 AB ＝ 4， BC ＝ 8，求图中阴影部分的面积．北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)图 1666/15北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )21 ．(10 分 )如图 17 所示，在矩形ABCD 中， E， F 分别是边 AB ，CD 上的点， AE ＝ CF ，连结 EF， BF ， EF 与对角线 AC 订交于点 O，且 BE ＝ BF ，∠ BEF ＝2∠ BAC.(1)求证： OE ＝OF ；(2)若 BC＝ 2 3，求 AB 的长．图 1722 ．(10 分 )如图 18 ，在△ ABC 和△ BCD 中，∠ BAC ＝∠ BCD ＝90 °， AB ＝ AC ， BC ＝CD ，延长 CA 至点 E，使 AE ＝AC ，延长 CB 至点 F，使 BF ＝ BC，连接 AD ， AF ， DF ， EF，延长DB交EF于点N.(1)求证： AD ＝AF ；(2)试判断四边形 ABNE 的形状，并说明原由．图 187 7/15北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )23 ． (12 分)阅读下面资料：在数学课上，老师请同学们思虑以下问题：如图19 ，我们把一个四边形ABCD 的四边中点 E，F， G ， H 依次连接起来获取的四边形EFGH 是平行四边形吗？小敏在思虑问题时，有以下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图 (a) 中四边形 ABCD 的形状 ( 如图 (b)) ，则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？并说明原由．参照小敏思虑问题的方法，解决以下问题：(2) 如图 (b) ，在 (1) 的条件下，若连接AC， BD .①当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？写出结论并证明；②当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是矩形？直接写出结论．图 19北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)88/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )24 ．(12 分)背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，若是勾等于三，股等于四，那么弦就等于五．它被记录于我国古代出名数学著作《周髀算经》中，在本题中，我们把三边的比为3∶ 4∶ 5 的三角形称为(3， 4， 5)型三角形，比方：三边长分别为9， 12 ， 15 的三角形就是(3， 4， 5) 型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种种类的三角形．实践操作如图 20 ①，在矩形纸片ABCD 中， AD ＝ 8 cm ，AB ＝12 cm.第一步：如图②，将图①中的矩形纸片ABCD 沿过点 A 的直线折叠，使点 D 落在 AB 上的点 E 处，折痕为AF，再沿EF 折叠，尔后把纸片展平．第二步：如图③，将图②中的矩形纸片再次折叠，使点 D 与点 F 重合，折痕为GH ，然后展平，隐去AF .第三步：如图④，将图③中的矩形纸片沿AH 折叠，获取△AD ′H，再沿 AD ′折叠，折痕为 AM ， AM 与折痕 EF 交于点 N，尔后展平．问题解决(1) 请在图②中证明四边形AEFD 是正方形；(2)请在图④中判断NF 与 ND ′的数量关系，并加以证明；(3)请在图④中证明△AEN 是 (3 ， 4 ，5) 型三角形．北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)图 2099/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )详解详析1． D2． B3．B.4． B5． B6． B7． A8．B．9． C10． A11 ． 612． 22.5 °13． AB ＝ BC 或 AC⊥ BD 等 (答案不唯一)14．2 或 1015． 610 516．(，)7717 ．解： (1) 四边形 ABEF 是菱形．原由：从尺规作图中得出AB ＝ AF，∠ BAE ＝∠ FAE. ∵ AF ∥ BC，∴∠ FAE ＝∠ BEA( 两直线平行，内错角相等) ，∴∠ BAE ＝∠ BEA( 等量代换 )，∴ AB ＝ BE( 等角同等边)，∴ BE ＝AF . 又∵ BE ∥ AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，即四边形ABEF 是菱形．北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)(2) 从作图中得出AE 为∠ BAF 的均分线，而四边形ABEF 的周长为40 ，∴边长 AF ＝AB ＝10.又∵ BF＝ 10，∴△ ABF 是等边三角形，∴∠ BAF ＝60°.∵四边形ABEF 是菱形，1010/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )∴AE⊥ BF， OF＝1BF ＝5， 2∴ AO＝ AF 2－ OF2＝ 5 3，∴ AE＝ 2AO ＝ 10 3.∵AF∥ BC，∴∠ ABC ＝ 180 °－∠ BAF ＝ 120 ° .18 ．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ BA＝ BC，∠ ABC ＝ 90°.∵△ EBF 是等腰直角三角形，∠EBF ＝ 90 °，∴BF ＝ BE ，∠ ABC ＝∠ EBF ，∴∠ ABC －∠ FBC ＝∠ EBF －∠ FBC ，即∠ ABF ＝∠ CBE ，∴△ ABF ≌△ CBE(SAS) ．(2)△ CEF 是直角三角形．原由：∵△ BEF 为等腰直角三角形，∴∠ EFB ＝∠ FEB ＝ 45 °，∴∠ AFB ＝ 135 °.又∵△ ABF ≌△ CBE ，∴∠ CEB ＝∠ AFB ＝ 135 °，∴∠ FEC ＝∠ CEB －∠ FEB ＝ 90 °，即△ CEF 是直角三角形．19 ．解： (1) 证明：∵ AF ∥ BC ，∴∠ AFE ＝∠ DBE .北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)∵E 是 AD 的中点， AD 是 BC 边上的中线，∴ AE＝ DE ， BD ＝CD.在△ AFE 和△ DBE 中，∠AFE ＝∠ DBE ，∠ FEA ＝∠ BED ， AE ＝ DE ，∴△ AFE ≌△ DBE ，∴ BD ＝ AF.(2)四边形 ADCF 是菱形．证明：由 (1) 知， AF＝ BD .∵ BD＝ CD ，∴ AF ＝ CD.1111/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )又∵ AF ∥ BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．1∵∠ BAC ＝ 90 °， D 是 BC 的中点，∴AD ＝ CD ＝2BC ，∴四边形 ADCF 是菱形．20 ．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝ CD ，∠ B＝∠ D ＝ 90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点 B 落在点 F 处，∴∠ F＝∠ B， AB ＝ AF ，∴AF ＝CD ，∠ F＝∠ D.在△ AFE 和△ CDE 中，∵∠ F＝∠ D ，∠ AEF ＝∠ CED ， AF＝CD ，∴△ AFE ≌△ CDE .(2)∵ AB＝ 4， BC＝ 8，∴CF＝ AD ＝ 8， AF＝ CD ＝ AB＝ 4.∵△ AFE ≌△ CDE ，∴ AE＝ CE ， EF＝ DE，在 Rt △ CDE 中， DE 2＋CD2＝CE 2，即 DE2＋ 42＝ (8－ DE )2，∴ DE ＝ 3，∴ EF ＝ 3，∴图中阴影部分的面积＝21 ．解： (1) 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD ，∴∠ OAE ＝∠ OCF .又∵ AE ＝ CF ，∠ AOE ＝∠ COF ，∴△ AEO ≌△ CFO ，∴ OE ＝ OF.(2) 如图，连接BO.北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)1 1S△ACF－ S△AEF＝×4×8－× 4×3＝10.2 2∵BE＝ BF ，∴△ BEF 是等腰三角形．又∵ OE ＝ OF ，∴ BO ⊥ EF ，且∠ EBO ＝∠ FBO ，∴∠ BOF ＝ 90 °.1212/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCF ＝ 90 °.又∵∠ BEF ＝ 2∠ BAC ，∠ BEF ＝∠ BAC ＋∠ AOE ，∴∠ BAC ＝∠ AOE ，∴ AE ＝ OE.∵AE＝ CF ， OE＝ OF，∴ OF ＝ CF .又∵ BF ＝ BF ，∴ Rt △ BOF ≌ Rt △BCF (HL ) ，∴∠ FBO ＝∠ CBF ，∴∠ CBF ＝∠ FBO ＝∠ EBO.∵∠ ABC ＝ 90 °，∴∠ OBE ＝ 30 °，∴∠ BEO ＝ 60 °，∴∠ BAC ＝ 30 °.在 Rt △ BAC 中，∵ BC ＝2 3，∴ AC＝ 2BC＝4 3，AB＝AC 2－ BC2＝（43）2－（ 2 3）2＝6.22 ．解： (1) 证明：∵ AB ＝ AC ，∠ BAC ＝ 90 °，∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝45 °，∴∠ ABF ＝135 °.又∵∠ BCD ＝ 90 °，∴∠ ABF ＝∠ ACD ＝ 135 °. ∵BC＝ CD ，BC＝ BF ，∴ BF ＝ CD .在△ ABF 和△ ACD 中，∵AB＝ AC，∠ ABF ＝∠ ACD ， BF ＝ CD ，∴△ ABF ≌△ ACD ，∴ AD ＝ AF.(2)四边形 ABNE 是正方形．原由以下：由已知可得 AB 是△ CEF 的中位线，北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)∴ AB∥ EF ，∴∠ AEF ＝∠ BAC ＝90 °.由 (1) 知， AF ＝ AD ，△ ABF ≌△ ACD ，∴∠ FAB ＝∠ DAC .∵∠ BAC ＝ 90 °，∴∠ EAB ＝∠ BAC ＝90 °，∴∠ EAF ＝∠ BAD .∵AB＝ AC， AE＝ AC，∴ AE＝ AB.1313/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )在△ AEF 和△ ABD 中，∵AE＝ AB ，∠ EAF ＝∠ BAD ，AF ＝ AD ，∴△ AEF ≌△ ABD ，∴∠ AEF ＝∠ ABD ＝90° .又∵∠ EAB ＝ 90 °，∴四边形ABNE 是矩形．又∵ AE＝ AB，∴四边形ABNE 是正方形．23 ．解： (1) 四边形 EFGH 还是平行四边形．原由以下：连接AC.∵ E， F 分别是 AB， BC 的中点，1∴EF∥ AC， EF＝2AC.∵ G， H 分别是CD ， AD 的中点，1∴GH∥ AC ，GH ＝2AC，∴EF∥ GH ，EF ＝ GH，∴四边形 EFGH 是平行四边形．(2) ①当 AC ＝ BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明以下：由 (1) 可知四边形EFGH 是平行四边形，北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)当 AC ＝ BD 时， FG ＝ 1 BD ， EF ＝1AC ，22∴ FG ＝ EF ，∴平行四边形 EFGH 是菱形． ②当 AC ⊥ BD 时，四边形 EFGH 是矩形． 24 ．解： (1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ D ＝∠ DAE ＝ 90°.由折叠的性质得AE ＝AD ，∠ AEF ＝∠ D ＝ 90°，∴∠ D ＝∠ DAE ＝∠ AEF ＝ 90°，∴四边形 AEFD 是矩形．1414/15北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)北师大版九年级数学上第1 章特别平行四边形综合提高卷( 含答案 )又∵ AE ＝ AD ，∴矩形AEFD 是正方形．(2)NF ＝ ND ′.证明：连接HN ，由折叠的性质得∠AD ′H＝∠ D＝ 90 °， HF ＝ HD＝ HD ′.由 (1) 知四边形 AEFD 是正方形，∴∠ EFD ＝ 90 °.∵∠ AD ′H ＝90°，∴∠ HD ′ N＝ 90°.在 Rt △ HNF 和 Rt △HND ′中，∵ HN＝HN ， HF ＝ HD ′，∴Rt △ HNF ≌ Rt △HND ′，∴ NF＝ ND ′.(3)证明：由 (1) 知四边形 AEFD 是正方形，∴AE ＝ EF ＝ AD ＝ 8 cm ，由折叠的性质得 AD ′＝ AD ＝ 8 cm.设 NF ＝ x cm ，则 ND ′＝ x cm.在 Rt △ AEN 中，∵ AN 2＝AE2＋ EN2，∴ (8 ＋ x)2＝ 82＋ (8 － x)2，解得 x＝ 2，∴ AN ＝ 8＋ x ＝10 cm ， EN ＝ 6 cm ，∴ EN ∶ AE ∶ AN ＝ 3∶ 4∶ 5，∴△ AEN 是(3 ，4， 5) 型三角形．北师大版九年级数学上第1章特别平行四边形综合提高卷(含答案)1515/15内容总结。

北师大版九年级上学期数学《第一章.特殊的平行四边形》培优单元测试题

2019-2020 学年.特殊的平行四边形》状元培优单元测试题（北师大版附答案）一、选择题1、矩形各内角的平分线围成一个（）3、下列命题中正确的是（）4、如图，正方形 ABCD 的边长为8,在各边上顺次截取 AE = BF = CG= DH= 5，则四边形 EFGH 勺面积是（）6、如图，在？ABC ［中，对角线 AC BD 相交于点O,添加下列条件不能判定 ?ABCD 是菱形的只有（）九年级上学期数学《第一章A •平行四边形B .正方形C •矩形 D.菱形2、如图，菱形 ABCD 中，/ B = 60°, AB = 4,则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（A . 14B. 15 C . 16 D . 17 A •对角线相等的四边形是矩形B•对角线互相垂直的四边形是矩形C •对角线相等的平行四边形是矩形D •对角线互相垂直的平行四边形是矩形A • 30B • 34C •36D • 405、已知：如图，点 P 是正方形 ABCD 勺对角线 AC 上的一个动点（A 、C 除外），作PEL AB 于点E ,作PF 丄BC 于点F ，y 与x 之间的函数关系的是（ABCO 勺边OA 在 x 轴上，边 OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且 AD 交y 轴于点E .那么点D 的坐标为（）6和8,点P 是对角统AC 上的一个动点，点M N 分别是边AB BC 的中点，则PM+PN 勺最小值是（）12、如图，△ ABC 是等腰三角形，点 D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点，Z ADE=Z DAC DE=AC 运用这个图（不添加辅助线）A . Ad BD B. AB= BC C. AC= BD D . Z 1 =Z 27、如图，在矩形 ABCD 中, AB=6, BC=8,若将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕 EF 的长为（B.-,C. 5D. 68、若一个菱形的两条对角线长分别是 5cm 和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（A. 6cmB. 5cm D. 7.5cm 9、下列命题中，不正确的是（）A.平行四边形的对角线互相平分C.菱形的对角线互相垂直且平分B.矩形的对角线互相垂直且平分D.正方形的对角线相等且互相垂直平分10、如图•在直角坐标系中，矩形 B.8 C.5 D.4C. cm11、如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长可以说明下列哪一个命题是假命题？（）A . —组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B .有一组对边平行的四边形是梯形 C. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D •对角线相等的平行四边形是矩形二、填空题13、矩形的一边长是 3.6 cm ,两条对角线的夹角为 600,则矩形对角线长是 _______________ .14、如图，O 为矩形ABCD 寸角线ACBD 的交点，AB= 6,MN 是直线BC h 的动点，且MN k 2，则OMON 勺最小值是 ______15、如图，一张矩形纸片的长 AD= 6,宽AB= 1,点E 在边AD 上，点F 在边BC 上,将四边形 ABFE 沿直线EF 翻折后, 点B 落在边AD 的三等分点G 处，贝U EG 的长为 _________________16、如图，矩形 ABCD 中, AB= 4, AD- 6,点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接 APE 沿PE 折叠得到△ FPE 连接CE CF,当厶ECF 为直角三角形时， AP 的长为 ______________ .17、如图，在等边三角形 ABC 中, AB= 2"'cm 点M为边BC 的中点，点N 为边AB 上的任意一点（不与点A,B 重合），若点B 关于直线MN 的对称点B '恰好落在等边三角形 ABC 勺边上，则 BN 的长为 ______________ c m1）CA f18、如图，？ABCD的对角线AC, BD交于点0,点E是AD的中点，△ BCD的周长为18,则厶DEO的周长是三、简答题19、如图，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3 : 4,周长为40cm求菱形的高及面积.20、如图，在Rt△ ABC中，/ ACB=90 , D为AB 的中点，AE// CD CE// AB,连接DE交AC于点O.(1)证明：四边形ADCE为菱形.(2)BC=6, AB=10,求菱形ADCE的面积.21、已知E、F分别是平行四边形ABCD勺边AB CD的中点，BD是对角线，AG/ BD交CB的延长线于G.(1)试说明△ ADE^A CBF(2 )当四边形AGB虎矩形时，请你确定四边形BEDF勺形状并说明；(3 )当四边形AGB［是矩形时，四边形AGC［是等腰梯形吗？直接说岀结论.22、如图，在厶ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交 CE 的延长线于点 F ,且AF=BD 连结BF o (1) 求证：BD=CD(2) 如果AB=AC 试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形章末培优、能力提升卷

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形章末培优、能力提升卷（时间：120分钟满分：120分）一、选择题(每小题3分，共30分)1、如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB ，E 为垂足．如果∠A=125°，则∠BCE=（）A.550B.350C.300D.2502、如图，在周长为20cm 的□ABCD 中，AB ≠AD ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，AB=5，BC=3，则EC 的长（）A.1B.1.5C.2D.34、如图，平行四边形ABCD 中，∠B =110°，延长AD 至F ，延长CD 至E ，连接EF ，则∠E +∠F =（）A. 110°B.30°C.50°D.70° 5、下列说法中，正确的是（）ABCDOEAB CDEE F ABCDA.正方形是轴对称图形且有四条对称轴B.正方形的对角线是正方形的对称轴C.矩形是轴对称图形且有四条对称轴D.菱形的对角线相等6、三角形三条中位线的长分别为3、4、5，则此三角形的面积为（）A.12B.24C.36D.487、矩形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点，则四边形EFGH的形状是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形8、在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C ＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，其中正确的有( )A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④9、为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )A．2a2B．3a2C．4a2D．5a210、如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是( )A．7 B．8 C．7 2 D．7 3二、填空题(每小题3分，共24分)11、已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是___ _cm．12、如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，测得DE的长度为360米，则A，B两地之间的距离是________米．第12题图第13题图13、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件______________，使四边形ABCD是正方形．14、矩形ABCD中，AC交BD于O点，已知AC＝2AB，∠AOD＝________°.15、如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝6，DE＝2，则▱ABCD的周长等于________．第15题图第16题图16、如图，活动衣帽架由三个相同的菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角∠A，使衣帽架拉伸或收缩．若菱形的边长等于10cm ，∠A＝120°，则AB＝________，AD＝________．17、如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．第17题图第18题图18、如图，菱形ABCD中，点E，F分别是BC，CD的中点，过点E作EG⊥AD于点G，连接GF，EF.若∠A＝80°，则∠DGF的度数为________．三、解答题(共66分)21、已知：如图，E、F是平行四边形ABCD•的对角线AC•上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF 是平行四边形22、已知菱形ABCD 中，cm BD cm AC 6,8==，求菱形ABCD 的周长和面积。

2019年北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形培优专题(中考真题)(含答案)

2019年北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形培优专题（中考真题）（含答案）一、单选题1．（2019·广西中考真题）如图，E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点H 与B 关于CE 对称，EH 的延长线与AD 交于点F ，与CD 的延长线交于点N ，点P 在AD 的延长线上，作正方形DPMN ，连接CP ，记正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为1S ，2S ，则下列结论错误的是（）A ．212S S CP +=B ．2AF FD =C ．4CD PD = D ．3cos 5HCD ∠=2．（2019·江苏中考真题）如图，菱形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上（B 在C 的左侧），顶点A 、D 在x 轴上方，对角线BD 的长是103，点()2,0E -为BC 的中点，点P 在菱形ABCD 的边上运动．当点()0,6F 到EP 所在直线的距离取得最大值时，点P 恰好落在AB 的中点处，则菱形ABCD 的边长等于（）A ．103BC ．163D ．33．（2018·四川中考真题）如图，在 ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2019·天津中考模拟）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，E 为BC 边的中点，M 为对角线BD 上的一个动点。

则下列线段的长等于12AM BM +最小值的是（）A ．ADB ．AEC ．BD D ．BE5．（2019·河南省实验中学中考模拟）如图①，在菱形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B→C→D→B 运动．设点P 经过的路程为x ，△ABP 的面积为y ．把y 看作x 的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b 等于（）A ．B ．37C ．5D ．46．（2019·河南省实验中学中考模拟）如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（8，6），以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 、AO 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧两弧交于点Q ，作射线AQ 交y 轴于点D ，则点D 的坐标为（）A ．()0,1B ．80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,27．（2019·辽宁中考模拟）如图，菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，点P 和点Q 分别从点B 和点C 出发，沿射线BC 向右运动并且始终保持BP=CQ ，过点Q 作QH ⊥BD ，垂足为H ，连接PH ，设点P 运动的距离为x （0＜x≤2），△BPH 的面积为s ，则能反映s 与x 之间的函数关系的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（2019·湖南中考真题）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ︒∠=，4BD =，6CF =，则正方形ADOF 的边长是（）A B ．2C D ．49．（2019·内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且//EG BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 过点G ．若AB 6=，2EF =，120H ∠=，则DN 的长为（）A -B C D ．10．（2015·四川中考真题）如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②S 四边形BCDG =；③若AF=2DF ，则BG=6GF ；④CG 与BD 一定不垂直；⑤∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．111．（2019·江西中考真题）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种12．（2019·内蒙古中考真题）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，点,E F 分别在边BC 和CD 上，AE AF =，60EAF ∠=，则CF 的长是（）A B C 1D ．2313．（2019·贵州中考真题）如图，四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60°，点E 、F 分别在边DC 、BC 上，且CE ＝13CD ，CF ＝13CB ，则S △CEF ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．914．（2019·浙江中考真题）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积（）A．先变大后变小B．先变小后变大C．一直变大D．保持不变15．（2018·海南中考真题）如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱ALMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱ALMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．2716．（2018·贵州中考真题）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．1817．（2014·黑龙江中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个18．（2018·广西中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔA DM 关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3 B．C．D．19．（2015·湖北中考真题）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（）A．2B．3C．D．二、填空题20．（2019·贵州中考真题）如图，平行四边形纸片ABCD 的边AB ，BC 的长分别是10cm 和7.5cm ，将其四个角向内对折后，点B 与点C 重合于点C '，点A 与点D 重合于点A ′．四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG ，其顶点分别在平行四边形ABCD 的四条边上，则EF ＝__cm ．21．（2019·四川中考真题）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.22．（2019·四川中考真题）如图，在菱形ABCD 中，4sin 5B =，点,E F 分别在边,AD BC 上，将四边形AEFB 沿EF 翻折，使AB的对应线段MN 经过顶点C ，当MN BC ⊥时，AEAD的值是_____．23．（2019·湖北中考真题）如图，先有一张矩形纸片48ABCD AB BC ，＝，＝，点M N ，分别在矩形的边AD BC ，上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：CQ CD ①＝；②四边形CMPN 是菱形；③P A ，重合时，MN =；④PQM 的面积S 的取值范围是35S ≤≤．其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．24．（2019·黑龙江中考真题）如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ∆；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到123A A A ∆；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到234A A A ∆……记12AA A ∆、123A A A ∆、231A A A ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S =_____．25．（2019·四川中考真题）如图，在ABC ∆中，已知3AC =，4BC =，点D 为边AB 的中点，连结CD ，过点A 作AE CD ⊥于点E ，将ACE ∆沿直线AC 翻折到ACE '∆的位置．若//CE AB '，则CE '=_______．26．（2019·江苏中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边EFG ∆，连接CG ，则CG 的最小值为_____．27．（2019·江苏中考真题）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”，图①是由边长10cm 的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为_______cm (结果保留根号).28．（2019·山东中考真题）如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 的中点，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE 上的点G 处，折痕为AF ．若AD＝4 cm，则CF 的长为___________cm ．29．（2018·贵州中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为______．30．（2018·浙江中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____．31．（2018·四川中考真题）如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为__________.参考答案1．D 【解析】【分析】根据勾股定理可判断A ；连接CF ，作FG EC ⊥，易证得FGC ∆是等腰直角三角形，设EG x =，则2FG x =，利用三角形相似的性质以及勾股定理得到2CG x =，CF =，3EC x =，5BC x =，5FD x =，即可证得3FD AD =，可判断B ；根据平行线分线段成比例定理可判断C ；求得cos HCD ∠可判断D. 【详解】解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为1S ，2S ，∴21S CD =，22S PD =，在Rt PCD ∆中，222PC CD PD =+，∴212S S CP +=，故A 结论正确；连接CF ，∵点H 与B 关于CE 对称， ∴CH CB =，BCE ECH ∠=∠，在BCE ∆和HCE ∆中，CH CB ECH BCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE HCE SAS ∆≅∆，∴BE EH =，90EHC B ∠=∠=︒，BEC HEC ∠=∠， ∴CH CD =，在Rt FCH ∆和Rt FCD ∆中CH CDCF CF =⎧⎨=⎩∴()Rt FCH Rt FCD HL ∆≅∆， ∴FCH FCD ∠=∠，FH FD =， ∴1452ECH ECH BCD ∠+∠=∠=︒，即45ECF ∠=︒，作FG EC ⊥于G ，∴CFG ∆是等腰直角三角形， ∴FG CG =，∵BEC HEC ∠=∠，90B FGE ∠=∠=︒， ∴FEG CEB ∆∆，∴12EG EB FG BC ==， ∴2FG EG =，设EG x =，则2FG x =，∴2CG x =，CF =， ∴3EC x =，∵222EB BC EC +=， ∴22594BC x =， ∴22365BC x =，∴BC x =，在Rt FDC ∆中，FD x ===， ∴3FD AD =，∴2AF FD =，故B 结论正确； ∵//AB CN ， ∴12ND FD AE AF ==，∵PD ND =，12AE CD =， ∴4CD PD =，故C 结论正确； ∵EG x =，2FG x =，∴EF =，∵5FH FD x ==，∵BC x =，∴5AE x =，作HQ AD ⊥于Q ， ∴//HQ AB ，∴HQ HF AE EF =，即355x=，∴25HQ x =，∴CD HQ x x -=-=，∴cos CD HQ HCD CF -∠===，故结论D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键. 2．A 【解析】【分析】如图1中，当点P 是AB 的中点时，作FG ⊥PE 于G ，连接EF ．首先说明点G 与点F 重合时，FG 的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．∵E（-2，0），F（0，6），∴OE=2，OF=6，∴0，4=21∵∠FGE=90°，∴FG≤EF，∴当点G与E重合时，FG的值最大．如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC=2a．∵PA=PB，BE=EC=a，∴PE∥AC，BJ=JH，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BH=DH=3，BJ=6，∴PE⊥BD，∵∠BJE=∠EOF=∠PEF=90°，∴∠EBJ=∠FEO，∴△BJE∽△EOF，∴BE BJ EF EO=，∴62=，∴a=53，∴BC=2a=103，故选A．【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．4．B【解析】【分析】过点M作PM⊥CB于P，根据菱形和直角三角形的性质可得PM=1BM2，从而可得1AM BM2+=AM+PM，根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长；【详解】过点M作PM⊥CB于P，∵四边形ABCD是菱形，∴∠PBM=12∠ABC=30°，AB=BC∴PM=12 BM，∴1AM BM2+=AM+PM，∵AB=BC,ABC60∠=︒∴ABC是等边三角形∵E为BC边的中点，∴AE⊥BC；根据垂线段最短可知，AM+PM的最小值为AE的长，故选：B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．B【解析】【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为4，对角线BD为6，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，b为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．【详解】解：如图，连接AC交BD于O，由图②可知，BC=CD=4，BD=14-8=6， ∴BO=12BD=12×6=3，在Rt △BOC 中，，，所以，菱形的面积=12AC•BD=12×，当点P 在CD 上运动时，△ABP 的面积不变，为b ，所以，b=12×．故选：B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半，根据图形得到菱形的边长与对角线BD 的长是解题的关键． 6．B 【解析】【分析】过点D 作DE ⊥AC 于点E ，由勾股定理可求AC=10，由“AAS”可证△ADO ≌△ADE ，可证AE=AO=8，OD=DE ，可得CE=2，由勾股定理可求OD 的长，即可求点D 坐标．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，∵四边形OABC 为矩形，点B 的坐标为（8，6），∴OA=8，OC=6∴由题意可得AD 平分∠OAC∴∠DAE=∠DAO ，AD=AD ，∠AOD=∠AED=90° ∴△ADO ≌△ADE （AAS ） ∴AE=AO=8，OD=DE ∴CE=2， ∵CD 2=DE 2+CE 2， ∴（6-OD ）2=4+OD 2， ∴OD=83∴点D （0，83）故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明△ADO ≌△ADE 是本题的关键． 7．C 【解析】【分析】根据菱形的性质得到∠DBC=60°，根据直角三角形的性质得到BH=12 BQ=1+12x ，过H 作HG ⊥BC ，得到BH=2+4x ，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】∵菱形ABCD 的边长为2,∠A=60°，∴∠DBC=60°，∵BQ=2+x ，QH ⊥BD ， ∴BH=12BQ=1+12x ，过H 作HG ⊥BC ，∴，∴s=12PB ⋅2x ⩽2)，故选C 【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于作辅助线 8．B 【解析】【分析】设正方形ADOF 的边长为x ，在直角三角形ACB 中，利用勾股定理可建立关于x 的方程，解方程即可．【详解】设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE BD 4==，CE CF 6==，BC BE CE BD CF 10∴=+=+=，在Rt △ABC 中，222AC AB BC +=，即()()2226x x 410+++=，整理得，2x 10x 240+-=，解得：x=2或x=-12(舍去)，x 2∴=，即正方形ADOF 的边长是2，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质、一元二次方程的解法、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 9．A【解析】【分析】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；由四边形EFGH 是菱形，120EHG ∠=，得2GH EF ==，60OHG ︒∠=，EG FH ⊥，sin 6022OG GH ︒=⋅=⨯=，根据根据折叠性质，再证四边形OGCM 为菱形，得PG 是梯形MCDN 的中位线，根据中位线性质求解. 【详解】延长EG 交DC 于P 点，连接GC 、FH ；如图所示：则12CP DP CD ===，GCP ∆为直角三角形， ∵四边形EFGH 是菱形，120EHG ∠=， ∴2GH EF ==，60OHG ︒∠=，EG FH ⊥，∴sin 602OG GH ︒=⋅==，由折叠的性质得：CG OG ==OM CM =，MOG MCG ∠=∠，∴6PG ==∵//OG CM ，∴180MOG OMC ︒∠+∠=， ∴180MCG OMC ︒∠+∠=， ∴//OM CG ，∴四边形OGCM 为平行四边形， ∵OM CM =，∴四边形OGCM 为菱形，∴CM OG ==根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴2DN CM PG +==∴DN =故选：A ．【点睛】考核知识点：矩形折叠，菱形判定和性质，三角函数.理解折叠的性质是关键.10．B【解析】试题分析：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确；②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=，故本选项错误；③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确；④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，AD中点，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG，在△GDC与△BGC中，∵DG=BG，CG=CG，CD=CB，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有①③⑤，共3个，故选B．考点：四边形综合题．11．D【解析】【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．【详解】解：共有6种拼接法，如图所示．故选：D ．【点睛】本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画出图形是解题的关键． 12．C 【解析】【分析】由正方形的性质得出∠B=∠D=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=1，证明Rt △ABE ≌Rt △ADF 得出∠BAE=∠DAF ，求出∠DAF=15°，在AD 上取一点G ，使∠GFA=∠DAF=15°，则AG=FG ，∠DGF=30°，由直角三角形的性质得出DF=12FG=12AG ，，设DF=x ，则，AG=FG=2x ，则，解得：，得出DF=2-【详解】解：四边形ABCD 是正方形，90,B D BAD ︒∴∠=∠=∠=1AB BC CD AD ====，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中， AE AFAB AD=⎧⎨=⎩，()Rt ABE Rt ADF HL ∴∆≅∆，BAE DAF ∴∠=∠，60EAF ︒∠=，30BAE DAF ︒∴∠=+∠， 15DAF ︒∴∠=，在AD 上取一点G ，使15GFA DAF ︒∠=∠=，如图所示：,30AG FG DGF ︒∴=∠=，11,22DF FG AG DG ∴===，设DF x =，则,2DG AG FG x ===，AG DG AD +=，21x ∴=，解得：2x =-2DF ∴=1(21CF CD DF ∴=-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 13．D 【解析】【分析】根据菱形的性质得出△CEF 为等边三角形，即可解答【详解】∵四边形ABCD 为菱形，AB ＝2，∠DAB ＝60° ∴AB ＝BC ＝CD ＝2，∠DCB ＝60°∵CE ＝13CD ，CF ＝13CB ∴CE ＝CF ＝23∴△CEF 为等边三角形∴S △CEF 22()3=故选：D . 【点睛】此题考查菱形的性质和等边三角形的性质，解题关键在于得出△CEF 为等边三角形 14．D 【解析】【分析】连接DE ，△CDE 的面积是矩形CFGE 的一半，也是正方形ABCD 的一半，则矩形与正方形面积相等．【详解】连接DE ，∵S △CDE ＝12S 四边形CEGF ， S △CDE ＝12S 正方形ABCD ， ∴矩形ECFG 与正方形ABCD 的面积相等．故选D ．【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接DE 由面积关系进行转化是解题的关键． 15．B【解析】【分析】此题涉及的知识点是正方形、长方形的性质，先根据正方形和长方形的性质求出各边长的关系，再根据▱ALMN 的面积，求出各边长的关系，最后得出面积. 【详解】设EF=a ，BC=b ，AB=c ，则PQ=a-c ，RQ=b-a ，PQ=RQ ∴a=2b c+， ∵▱ALMN 的面积为50，∴bc+a 2+(a-c)2=50, 把a=2b c+代入化简求值得b+c=10, ∴a=5, ∴正方形EFGH 的边长为5， ∴正方形EFGH 的面积为25，故选B. 【点睛】此题重点考查学生对于正方形和长方形的性质的理解，熟练掌握这两个性质是解题的关键. 16．C 【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ，最终得到S 矩形EBNP = S 矩形MPFD ,即可得S △PEB =S △PFD ，从而得到阴影的面积．【详解】作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PFC =S △PCN ∴S 矩形EBNP = S 矩形MPFD , 又∵S △PBE =12S 矩形EBNP ，S △PFD =12S 矩形MPFD ，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．17．D【解析】试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB，∵AD=AB，∴AE=AD，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH，∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD，又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质18．C【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=∴FE=.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．19．B【解析】试题分析：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==，∴，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF===，故选A．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．20．10．【解析】【分析】先根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形EHFG是矩形，再证明△FCH≌△EAG，可得CF=AE=FC'，可知EF=AB，即可得结论．【详解】如图中，由翻折可知：∠CHF ＝∠FHC'，∠BHE ＝∠EHC'， ∴∠FHE ＝∠FHC'+∠EHC'12=（∠CHC'+∠BHC'）＝90°，同法可证：∠HFG ＝∠GEH ＝90°， ∴四边形EHFG 是矩形． ∴FH ＝EG ，FH ∥EG ， ∴∠HFC'＝∠FEG ，∵∠CFH ＝∠HFC'，∠AEG ＝∠GEA'， ∴∠CFH ＝∠AEG ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠C ＝∠A ，BC ＝AD ，由翻折得：CH ＝C'H ＝BH 12=BC ，AG ＝A'G ＝DG 12=AD ， ∴CH ＝AG ，∴△HCF ≌△GAE （AAS ）， ∴CF ＝AE ，∴EF ＝FC'+EC'＝AE+BE ＝AB ＝10cm ，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，翻折变换，矩形的判定和性质，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21【解析】【分析】过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C ，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又1AB 1BB ==，根据勾股定理得，1AB【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知平移的性质及勾股定理的应用. 22．29. 【解析】【分析】延长CM 交AD 于点G ，进而利用翻折变换的性质得出AE ME =，A EMC ∠=∠，BF FN =，B N ∠=∠，AB MN =，再利用菱形的性质得出AB BC CD AD ===，B D ∠=∠，180A B ︒∠+∠=，设4C F x =，5FN x =，利用勾股定理得出9BC x AB CD AD ====，再根据三角函数进行计算即可解答【详解】延长CM 交AD 于点G ，∵将四边形AEFB 沿EF 翻折，∴AE ME =，A EMC ∠=∠，BF FN =，B N ∠=∠，AB MN = ∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠，180A B ︒∠+∠=∵4sin sin 5CF B N FN===， ∴设4CF x =，5FN x =，∴3CN x ==，∴9BC x AB CD AD ====， ∵4sin sin 5GCB D CD===∴365x GC =∴()36x 6655GM GC MN CN x x =--=-= ∵180A B ︒∠+∠=，180EMC EMG ︒∠+∠= ∴B EMG ∠=∠ ∴4sin sin 5EG B EMG EM=∠==∴3cos 5GMEMG EM∠==∴=2EM x ， ∴2AE x =， ∴2299AE x AD x == 故答案为：29. 【点睛】此题考查翻折变换，菱形的性质，三角函数，解题关键在于利用折叠的性质进行解答 23．②③ 【解析】【分析】先判断出四边形CNPM 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN NP ＝，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ CD ＝，得Rt CMQ CMD ≌，进而得30DCM QCM BCP ∠∠∠︒＝＝＝，这个不一定成立，判断①错误；点P 与点A 重合时，设BN x ＝，表示出8AN NC x -＝＝，利用勾股定理列出方程求解得x 的值，进而用勾股定理求得MN ，判断出③正确；当MN 过D 点时，求得四边形CMPN 的最小面积，进而得S 的最小值，当P 与A 重合时，S 的值最大，求得最大值便可．【详解】如图1，//PM CN ， PMN MNC ∴∠∠＝， MNC PNM ∠∠＝， PMN PNM ∴∠∠＝， PM PN ∴＝， NC NP ＝， PM CN ∴＝， //MP CN ，∴四边形CNPM 是平行四边形，CN NP ＝，∴四边形CNPM 是菱形，故②正确；CP MN BCP MCP ∴⊥∠∠，＝，90MQC D ∴∠∠︒＝＝，CP CP ＝，若CQ CD ＝，则Rt CMQ CMD ≌，30DCM QCM BCP ∴∠∠∠︒＝＝＝，这个不一定成立，故①错误；点P 与点A 重合时，如图2，设BN x ＝，则8AN NC x -＝＝，在222Rt ABN AB BN AN +中，＝，即22248x x +-＝（），解得3x ＝，835CN AC ∴=＝﹣＝，12CQ AC ∴==5QN CN CQ ∴=-=2MN QN ∴＝＝,故③正确；当MN 过点D 时，如图3，此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小，则S 最小为1144444CMPN S S ==⨯⨯=菱形，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大为15454S =⨯⨯=， 45S ∴≤≤，故④错误．故答案为：②③．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 24．20172 【解析】【分析】首先求出S1、S2、S3，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【详解】四边形11OAA B 是正方形，1111OA AA A B ∴===，1111122S ∴=⨯⨯=，190OAA ∠=，211111AO ∴=+=∴，2232OA A A ∴==，212112S ∴=⨯⨯=，同理可求：312222S =⨯⨯=，44S =…， 22n n S -∴=，201720192S ∴=，故答案为：20172．【点睛】此题考查正方形的性质，规律型：图形变换，解题关键在于找到规律25．95．【解析】【分析】如图，作CH AB ⊥于H ．首先证明90ACB ︒∠=，解直角三角形求出AH ，再证明CE AH '=即可．【详解】解：如图，作CH AB ⊥于H ．由翻折可知：90AE C AEC ︒'∠=∠=，ACE ACE '∠=∠， ∵//CE AB '， ∴ACE CAD '∠=∠， ∴ACD CAD ∠=∠， ∴DC DA =， ∵AD DB =， ∴DC DA DB ==， ∴90ACB ︒∠=，∴5AB ==，∵1122AB CH AC BC =， ∴125CH =，∴95AH ==， ∵//CE AB ，∴180E CH AHC ︒'∠+∠=， ∵90AHC ︒∠=， ∴90E CH ︒'∠=，∴四边形AHCE '是矩形， ∴95CE AH '==，【点睛】本题考查翻折变换，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型． 26．52【解析】【分析】由题意分析可知，点F 为主动点，G 为从动点，所以以点E 为旋转中心构造全等关系，得到点G 的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG 最小值．【详解】由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将EFB ∆绕点E 旋转60︒，使EF 与EG 重合，得到EFB EHG ∆≅∆，从而可知EBH ∆为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM HN ⊥，则CM 即为CG 的最小值，作EP CM ⊥，可知四边形HEPM 为矩形，则1351222CM MP CP HE EC =+=+=+=. 故答案为52．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G 的运动轨迹，是本题的关键．27．2【解析】【分析】由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等，所以大正方形的对角线长度为4倍小正方形边长，设出小正方形边长，利用大正方形面积列出方程，解出方程即可【详解】设小正方形边长为a ，由题目中第一个图可到小正方形的边长与小等腰三角形的直角边相等，与平行四边形的短边相等，所以大正方形对角线长4a ，S 大正方形=442a a ⨯=10×10，解得2a =±，舍去负值，得到2a =，故填2 【点睛】本题主要考查正方形的面积公式，能够用a 表示出正方形对角线的长度是本题关键28．6- 【解析】【分析】设BF=x ，则FG=x ，CF=4-x ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（4-x ）2+22，从而得到关于x 方程，求解x ，最后用4-x 即可．【详解】设BF=x ，则FG=x ，CF=4-x ．在Rt △ADE 中，利用勾股定理可得根据折叠的性质可知AG=AB=4，所以．在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（4-x ）2+22，所以（）2+x 2=（4-x ）2+22，解得．则故答案为：【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键． 29．2.8 【解析】【分析】作EH ⊥BD 于H ，根据折叠的性质得到EG=EA ，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD 为等边三角形，得到AB=BD ，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：作EH ⊥BD 于H ，由折叠的性质可知，EG=EA ，由题意得，BD=DG+BG=8，四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BD ，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60° ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB=BD=8，设BE=x ，则EG=AE=8-x ，在Rt △EHB 中，BH=12x ，，在Rt △EHG 中，EG 2=EH 2+GH 2，即(8-x)22+(6-12x)2，解得，x=2.8，即BE=2.8，故答案为：2.8．【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．30．【解析】分析：根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的16，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．详解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为23×9=6，∴空白部分的面积为9-6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为12×3=32，设BG=a，CG=b，则12ab=32，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴∴△BCG的周长15，．点睛：此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．31．【解析】分析：首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．详解：延长NF与DC交于点H，∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=90°，∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，∴∠A=∠DFH，∴∠FDH+∠DFH=90°，∴NH⊥DC，设DM=4k，DE=3k，EM=5k，∴AD=9k=DC，DF=6k，∵tanA=tan∠DFH=，则sin∠DFH=，∴DH=DF=k，∴CH=9k-k=k，∵cosC=cosA=，∴CN=CH=7k，∴BN=2k，∴．故答案为：.点睛：此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．。

北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)

九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形1．在菱形ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 O 直线 EF 分别交 DA、 BC 的延长线于点 E、 F，连接 BE、 DF ．（1）求证：△ AOE≌△ COF；（2）若 EF ＝BD， BE＝ 8， BF＝ 16，求菱形 ABCD 的面积；（ 3）若 EF ⊥AB，垂足为G，OB＝ 3AG，求的值．2．菱形 ABCD 中， F 是对角线 AC 的中点，过点 A 作 AE ⊥BC 垂足为 E，G 为线段 AB 上一点，连接GF 并延长交直线BC 于点 H．（ 1）当∠ CAE＝ 30°时，且CE ＝，求菱形的面积；（ 2）当∠ BGF +∠BCF ＝ 180°， AE＝ BE 时，求证： BF ＝（+1） GF ．3．如图，菱形ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 D 作 DE ∥AC 且 DE ＝ OC，连接CE、 OE，连接 AE 交 OD 于点 F．（1）求证： OE＝ CD；（2）若菱形 ABCD 的边长为 6，∠ ABC ＝ 60°，求 AE 的长．4．如图 1，在矩形ABCD 中， AC 为对角线，延长 CD 至点 E 使 CE＝ CA，连接 AE． F 为 AB 上的一点，且 BF＝ DE ，连接 FC ．（ 1 ）若 DE ＝ 1， CF＝，求 CD 的长；（ 2 ）如图 2，点 G 为线段 AE 的中点，连接BG 交 AC 于 H，若∠ BHC+∠ ABG＝ 60°，求证： AF +CE ＝ AC．5．如图，已知正方形ABCD 的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ ACD交BD 于点 E，（1）求 DE 的长；（2 ）过点 E 作 EF⊥ CE，交 AB 于点 F，求 BF 的长；（3）过点 E 作 EG⊥ CE，交 CD 于点 G，求 DG 的长．6．如图，在正方形ABCD 中，点 E 在射线 AB 上，点 F 在射线 AD 上．（1）若 CE⊥ CF，求证： CE＝ CF ；（2）若 CE＝ CF，则 CE⊥ CF 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明．7．【感知】如图① ，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝ DG ．【拓展】如图② ，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠ F．求证： BE＝DG ．【应用】如图③ ，四边形ABCD 、 CEFG 均为菱形，点 E 在边 AD 上，点 G 在 AD 延长线上．若AE＝ 2ED，∠ A＝∠ F，△ EBC 的面积为8，则菱形CEFG 的面积为．8．已知，正方形ABCD 中，∠ MAN ＝45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC （或它们的延长线）于点M、 N，AH⊥ MN 于点 H ．（ 1）如图①，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM ≠DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN ＝ 45°，AH⊥ MN 于点 H，且 MH ＝ 2，NH＝3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）9．如图，在长方形OABC 中， O 为平面直角坐标系的原点，点 A 的坐标为（ a， 0），点 C 的坐标为（ 0， b）且 a、b 满足+|b﹣ 6|＝0，点 B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着O﹣ C﹣ B﹣A﹣ O 的线路移动．（Ⅰ）点 B 的坐标为；当点P移动3.5秒时，点P的坐标为；（Ⅱ）在移动过程中，当点P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，求点P 移动的时间；（Ⅲ）在移动过程中，当△OBP 的面积是10 时，求点P 移动的时间．10．如图，在正方形ABCD 中， E 是边 AB 上的一动点（不与点A、 B 重合），连接 DE，点A 关于直线 DE 的对称点为 F ，连接 EF 并延长交 BC 于点 G，连接 DG ，过点 E 作 EH ⊥ DE交 DG 的延长线于点 H，连接 BH ．（1）求证： GF ＝ GC；（2）用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．11．如图 1，在 Rt△ ABC 中，∠ACB＝ 90°，AC＞ BC，分别以 AB，BC，CA 为一边向△ ABC 外作正方形 ABDE 、 BCMN ， CAFG ，连接 EF 、GM 、 ND ，设△ AEF 、△ BND、△ CGM的面积分别为S1、S2、 S3．（1）猜想 S1、 S2、 S3的大小关系．（2）请对（ 1）的猜想，任选一个关系进行证明；（3）若将图 1 中的 Rt △ ABC 改为图 2 中的任意△ ABC ，若 S ABC＝ 5，求出 S1+S2+S3的值；（ 4）若将图 2 中的任意△ ABC 改为任意凸四边形ABCD ，若 S△AEG+S△CNK+S△IBH +S△DFM ＝α，则四边形 ABCD 的面积为（直接用含α的代数式表示结果）12．（ 1）如图 1，已知 DE∥ BC，∠ D：∠ DBC ＝ 2：1，∠ 1＝∠ 2．求∠ DEB 的度数．（ 2）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图 2 所示的图形，其中，ABCD 是长方形（ AD ∥ CB ，F 是 DA 延长线上一点，G 是 CF 上一点，并且∠ACG ＝∠ AGC，∠ GAF ＝∠ F，你能证明∠ECB＝∠ ACB吗？13．如图，已知正方形ABCD ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 延长线上， BE＝ DF （1）求证： AE＝ AF；（2）若 BD 与 EF 交于点 M，连接 AM，试判断 AM 与 EF 的数量与位置关系，并说明理由．14．（ 1）如图①，已知正方形ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别是边 BC， CD 上两点，且BM ＝ CN，连 AM 和 BN，交于点 P．猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论．（2）如图②，已知正方形 ABCD 的边长为 4．点 M 和 N 分别从点 B、 C 同时出发，以相同的速度沿 BC 、CD 方向向终点 C 和 D 运动，连接 AM 和 BN，交于点 P．求△ APB周长的最大值．15．已知，在△ABC 中， D ，E， F 分别是 AB，AC ，BC 的中点，连接DE， DF ．（1）如图 1，若 AC ＝BC，求证：四边形 DECF 为菱形；（2）如图 2，过 C 作 CG∥ AB 交 DE 延长线于点 G，连接 EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ ADG 面积相等的平行四边形．16．如图，在正方形ABCD 中，点 P 为 AD 延长线上一点，连接AC、 CP， F 为 AB 边上一点，满足CF⊥ CP，过点 B 作 BM ⊥ CF，分别交AC、 CF 于点 M、 N（ 1）若 AC＝AP， AC＝ 4，求△ ACP的面积；（2）若 BC＝ MC，证明： CP﹣ BM＝ 2FN．参考答案1．证明：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝ OC ，AD ∥ BC ，∴∠ EAO ＝∠ FCO ，又∠ AOE ＝∠ COF∴△ AOE ≌△ COF （ AAS ）；（ 2）由△ AOE ≌△ COF ，得 OE ＝ OF ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OB ＝ OD∴四边形 EBFD 是平行四边形，∵ EF ＝ BD ，∴ ? EBFE 是矩形，∴∠ EBF ＝ 90°，设菱形 ABCD 的边长为x ，∴ AB ＝ AD ＝ x ，∴ AE ＝ 16﹣ x ，在 Rt △AEB 中，根据勾股定理，得AB 2＝ AE 2+BE 2，即 x 2＝（ 16﹣ x ） 2+82 ，解得 x ＝ 10，∴ S 菱形＝BC ?BE ＝10× 8＝ 80．答：菱形 ABCD 的面积为 80．（ 3）∵ EF ⊥AB ，垂足为 G ，∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ⊥ OB ∴∠ AOG +∠ BOG ＝90°，∵ OG ⊥AB ，∴∠ AOG+∠ OAG ＝ 90°，∴∠ BOG ＝∠ OAG ，∠ AGO ＝∠ BGO ＝90°， ∴△ OBG ∽△ AOG∴，∴ OG 2＝AG?BG∵在 Rt △ GOB 中，根据勾股定理，得22 2∴ OB 2﹣ BG 2＝AG?BG ，∵ OB ＝ 3AG ，∴ BG 2+AG?BG ﹣90AG 2＝ 0∴（ BG ﹣9AG ）（ BG+10AG ）＝ 0BG ＝ 9AG ， BG ＝﹣ 10AG （不符合题意，舍去），AB ＝ BG+AG ＝ 10AG ，在 Rt △AOB 中，根据勾股定理，得OA 2＝ AB 2﹣ OB 2＝ 100AG 2﹣ 90AG 2＝ 10A G2∴ OA ＝AG ∴＝答：的值为．2．（ 1）解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝ BC ，∵ AE ⊥ BC ，∠ EAC ＝ 30°，∴∠ ACE ＝ 60°， AC ＝2EC ＝ 2，∴△ ABC ，△ ACD 都是等边三角形，∴S 菱形ABCD ＝ 2?S △ ＝ 2× ×（ 2 ）2＝6 ． ABC（ 2）如图，连接 GC ，作 GM ⊥ GF 交 BF 于 M ．∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BA ＝ BC ，∵ AF ＝ FC ，∴ BF ⊥ AC ，∴∠ BFA ＝90°，∵∠ BGF+∠ BCF ＝ 180°，∠ AGF +∠ BGF ＝ 180°，∴∠ AGF ＝∠ ACB ，∵∠ GAF ＝∠ CAB∴＝，∴＝，∵∠ CAG＝∠ BAF，∴△ CAG∽△ BAF ，∴∠ CGA＝∠ BFA＝90°，∵AE⊥ BE， AE＝ BE，∴∠ ABE＝45°，∴∠ GBC＝∠ GCB＝45°，∴ GB＝ GC，∵∠ BGC＝∠ MGF ，∴∠ BGM ＝∠ CGF ，∵∠ GBM ＝∠ GCF ，∴△ BGM ≌△ CGF ，∴BM＝CF，GM ＝GF，FM ＝GF，∵∠ AGC＝ 90°AF＝FC ，∴GF＝ FC＝BM ，∴ BF＝ BM +FM ＝ GF+GF ＝（+1） GF ．3．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， DE ＝AC，∴AC⊥ BD，DE ＝OC．∵ DE∥ AC，∴四边形 OCED 是平行四边形，∵ AC⊥ BD，四边形 OCED 是平行四边形，∴四边形 OCED 是矩形，∴OE＝ CD．（ 2）解：∵菱形ABCD 的边长为6，∴AB＝ BC＝ CD ＝AD＝ 6， BD ⊥AC，AO＝ CO＝ AC．∵∠ ABC＝ 60°， AB＝BC ，∴△ ABC 是等边三角形，∴ AC ＝ AB ＝ 6，∵△ AOD 中 BD ⊥AC ，AD ＝ 6， AO ＝3，∴OD ＝＝3 ，∵四边形 OCED 是矩形，∴ CE ＝ OD ＝3 ，∵在 Rt △ ACE 中， AC ＝6， CE ＝ 3，∴AE ＝＝＝3 ．4．解：（ 1）设 CD ＝ x ．∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ ADC ＝∠ B ＝ 90°， AD ＝ BC ，在 Rt △BCF 中， BC ＝＝，∵ AC ＝ CE ＝ x+1，在 Rt △ADC 中，∵ AC 2＝ AD 2+ CD 2，∴（ x+1） 2＝ x 2+（） 2，∴ x ＝ 3，∴ CD ＝3．（ 2）如图 2 中，连接 CG ．作 FJ ⊥AC 于 J ．∵ CA ＝ CE ， AG ＝EG ，∴ CG ⊥ AE ，∠ ACG ＝∠ ECG ，∵∠ AGC＝∠ ABC＝ 90°，∴∠ AGC+∠ ABC＝180°，∴A、 G、C、 B 四点共圆，∴∠ ABG＝∠ ACG，∴∠ ACG＝∠ ECG＝∠ ABG ，设∠ ACG＝∠ ECG＝∠ ABG＝x，则∠ BAH ＝∠ ACD ＝2x，∠ BHC＝∠ BAH+∠ ABG＝3x，∵∠ BHC+∠ ABG＝ 60°，∴4x＝60°，∴x＝ 15°，∴∠ FAJ＝ 30°，∠ DAC＝∠ ACB＝ 60°，∠ CAE＝ 75°，∴∠ EAD＝ 15°，∵DE＝ BF，∠ ADE ＝∠ CBF， AD ＝BC，∴△ ADE≌△ CBF ，∴∠ BCF＝∠ DAE ＝15°，∴∠ FCJ＝ 45°，∴ CJ＝ FJ ，设 CJ＝ FJ＝ a，则 AJ＝a， AF＝ 2a， AC＝ a+a，∴＝＝﹣1，∴AF＝（﹣1）AC，∴ AF＝AC﹣ AC，∵ AC＝ CE，∴AF+CE＝ AC．5．解：（ 1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ ABC＝∠ ADC＝ 90°，∠DBC＝∠ BCA＝∠ ACD ＝45°，∵ CE 平分∠ DCA ，∴∠ ACE＝∠ DCE＝∠ ACD＝22.5°，∴∠ BCE＝∠ BCA+∠ ACE ＝ 45°+22.5 °＝ 67.5°，∵∠ DBC＝ 45°，∴∠ BEC＝ 180°﹣ 67.5°﹣ 45°＝ 67.5°＝∠ BCE，∴BE＝ BC＝，在 Rt△BCD 中，由勾股定理得： BD ＝＝ 2，∴DE＝ BD﹣BE ＝2﹣；（ 2）∵ FE⊥CE，∴∠ CEF＝ 90°，∴∠ FEB ＝∠ CEF ﹣∠ CEB＝ 90°﹣ 67.5°＝ 22.5°＝∠ DCE ，∵∠ FBE＝∠ CDE ＝45°， BE＝BC＝CD ，∴△ FEB ≌△ ECD ，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长 GE 交 AB 于 F，由（ 2）知： DE ＝ BF＝ 2﹣，由（ 1）知： BE＝ BC＝，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB∥DC，∴△ DGE∽△ BFE ，∴＝，∴＝，解得： DG＝3﹣4．6．（ 1）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴CB＝ CD，∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°∵ CE⊥ CF∴∠ ECF＝ 90°∴∠ BCE＝∠ DCF ＝ 90°﹣∠ BCF在△ BCE 和△ DCF 中，，∴△ BCE≌△ DCF ，∴CE＝ CF．（ 2）若 CE＝ CF，则 CE⊥ CF 不一定成立当点 E 在线段 AB 上，且点 F 在 AD 延长线上或当点 E 在 AB 延长线上，且点 F 在线段AD 上时 CE⊥CF 成立，证明如下：∵四边形ABCD 是正方形∴CB＝ CD，∠ ABC ＝∠ BCD ＝∠ D ＝90°∵ CE＝ CF在 Rt△BCE 和 Rt△ DCF 中，，∴Rt△BCE≌ Rt △ DCF（ HL ），∴∠ ECB＝∠ FCD ，∴∠ ECB+∠ BCF ＝ 90°，∴CE⊥ CF；当点 E 在线段AB 上，且点 F 在线段 AD 上或当点 E 在线段 AB 延长线上，且点 F 在 AD 延长线上时，CE⊥ CF 不成立，如图如下：．7．解：拓展：∵四边形ABCD 、四边形 CEFG 均为菱形，∴BC＝ CD，CE＝ CG，∠ BCD＝∠ A，∠ ECG＝∠ F．∵∠ A＝∠ F，∴∠ BCD＝∠ ECG．∴∠ BCD﹣∠ ECD＝∠ ECG﹣∠ ECD，即∠ BCE＝∠ DCG ．在△ BCE 和△ DCG 中，，∴△ BCE≌△ DCG （ SAS），∴BE＝ DG ．（6 分）应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD∥BC，∵BE＝DG，∴S△ABE+S△CDE＝ S△BEC＝ S△CDG＝ 8，∵ AE＝ 2ED ，∴S△CDE＝× 8＝，∴S△ECG＝ S△CDE+S△CDG＝，∴S菱形 CEFG＝2S△ ECG＝．故答案为：．（9 分）8．解：（ 1）如图① AH ＝AB．（2）数量关系成立．如图②，延长 CB 至 E，使 BE＝ DN ．∵ABCD 是正方形，∴ AB＝ AD ，∠ D ＝∠ ABE ＝ 90°，在 Rt△AEB 和 Rt△ AND 中，，∴Rt△AEB≌ Rt △ AND，∴AE＝ AN，∠ EAB＝∠ NAD，∵∠ DAN+∠ BAM ＝ 45°，∴∠ EAB+∠ BAM ＝45°，∴∠ EAM＝ 45°，∴∠ EAM＝∠ NAM ＝ 45°，在△ AEM 和△ ANM 中，，∴△ AEM≌△ ANM ．∴S△AEM＝ S△ANM， EM ＝ MN ，∵AB、 AH 是△ AEM 和△ ANM 对应边上的高，∴AB＝AH．（3）如图③分别沿 AM 、 AN 翻折△ AMH 和△ ANH，得到△ ABM 和△ AND，∴ BM ＝2， DN ＝ 3，∠ B＝∠ D＝∠ BAD ＝ 90°．分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD ，由（ 2）可知， AH ＝AB＝ BC＝ CD ＝ AD．设 AH ＝ x，则 MC ＝ x﹣ 2， NC＝ x﹣ 3，在 Rt△MCN 中，由勾股定理，得2 2 2 MN ＝ MC +NC∴52＝（ x﹣ 2）2+（ x﹣ 3）2（ 6 分）解得 x1＝6， x2＝﹣ 1．（不符合题意，舍去）∴AH＝ 6．9．解：（Ⅰ）∵ a、b 满足+ |b﹣ 6|＝ 0，∴a﹣ 4＝ 0， b﹣6＝ 0，解得 a＝ 4， b＝ 6，∴点 B 的坐标是（ 4， 6），∵点 P 从原点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着O﹣ C﹣ B﹣ A﹣O 的线路移动，∴2× 3.5＝ 7，∵OA＝ 4，OC＝ 6，∴当点 P 移动 4 秒时，在线段CB 上，离点 C 的距离是： 7﹣ 6＝ 1，即当点 P 移动 4 秒时，此时点P 在线段 CB 上，离点 C 的距离是 2 个单位长度，点P 的坐标是（ 1， 6）；故答案为（4，6），（1，6）．（Ⅱ）由题意可得，在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P 移动的时间是：4÷2＝2 秒，第二种情况，当点 P 在 BA 上时．点 P 移动的时间是：（ 6+4+2）÷ 2＝ 6 秒，故在移动过程中，当点 P 到 x 轴的距离为 4 个单位长度时，点 P 移动的时间是 2 秒或 6 秒．（Ⅲ）如图 1 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴OP ?BC＝ 10，即× 4×OP ＝10．解得： OP＝ 5．∴此时 t ＝ 2.5s如图 2 所示；∵△ OBP 的面积＝ 10，∴PB?OC＝ 10，即× 6×PB ＝ 10．解得： BP＝．∴CP＝．∴此时 t ＝s，如图 3 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴BP?BC＝ 10，即× 4× PB＝10．解得： BP ＝5．∴此时 t ＝s如图 4 所示：∵△ OBP 的面积＝ 10，∴OP ?AB ＝10，即× 6× OP＝10．解得： OP＝．∴此时 t ＝s综上所述，满足条件的时间t 的值为 2.5s 或s 或s 或s．10．证明：（ 1）如图 1，连接 DF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA＝ DC，∠ A＝∠ C＝90°，∵点A 关于直线 DE 的对称点为 F，∴△ ADE≌△ FDE ，∴∠ DFG ＝ 90°，在 Rt△DFG 和 Rt△ DCG 中，∵，∴Rt△DFG ≌ Rt△ DCG （ HL ），∴GF＝ GC；（ 2）BH ＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段 AD 上截取 AM，使 AM ＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE，由（ 1）知：∠ 1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4，∵∠ ADC＝ 90°，∴∠ 1+∠ 2+ ∠ 3+∠ 4＝90°，∴ 2∠ 2+2∠ 3＝90°，∴∠ 2+∠ 3＝ 45°，即∠ EDG＝ 45°，∵EH⊥ DE，∴∠ DEH ＝ 90°，△ DEH 是等腰直角三角形，∴∠ AED+∠ BEH ＝∠ AED +∠1＝ 90°， DE＝ EH ，∴∠ 1＝∠ BEH ，在△ DME 和△ EBH 中，∵，∴△ DME ≌△ EBH （ SAS），∴EM ＝BH，Rt△ AEM 中，∠ A＝ 90°， AM ＝AE ，∴EM ＝ AE，∴BH＝ AE；证法二：如图3，过点 H 作 HN⊥ AB 于 N，∴∠ ENH＝ 90°，由方法一可知：DE＝ EH ，∠ 1＝∠ NEH ，在△ DAE 和△ ENH 中，∵，∴△ DAE≌△ ENH（ AAS），∴AE＝ HN ，AD ＝EN，∵ AD＝ AB，∴AB＝ EN＝ AE+BE＝ BE+BN，∴AE＝ BN＝ HN ，∴△ BNH 是等腰直角三角形，∴BH＝ HN ＝ AE．11．解：（ 1）猜想： S1＝ S2＝ S3（ 2）如图 1，延长 FA，过点 E 作 EH⊥ FA 于 H由已知：∠ BAE＝∠ CAH ＝ 90°∴∠ CAB＝∠ HAE∵∠ ACB＝∠ AHE ＝90°， AE＝AB∴△ HAE≌△ CAB∴EH＝ BC∴ S△AEF＝＝＝S△ABCS1＝ S△ABC同理： S2＝ S△ABC S3＝ S△ABC∴S1＝ S2＝ S3（ 3）如图 2分别过点G 和 A 作 GQ⊥MC 于 Q，AP⊥BC 于 P 由已知：∠ GCA＝∠ QCB＝ 90°∴∠ GCQ ＝∠ ACP又∵∠ GQC ＝∠ APC＝ 90°GC＝ AC∴△ GCQ ≌△ ACP∴GQ＝AP∵S△GCM＝S△ABC＝MC ＝BC∴S△GCM＝S△ABC∴S3＝ S△ABC同理： S1＝ S△ABCS2＝ S△ABC∴S1＝ S2＝ S3＝ S△ABC∵S ABC＝ 5∴S1+S2+S3＝ 15（ 4）如图 3，连 AC由（ 3）可知， S△DFM＝ S△ADCS△IBH＝ S△ABC∴S△DFM +S△IBH＝ S△ADC+S△ABC＝S 四边形ABCD 同理： S△AEG+S△CNK＝ S 四边形ABCD∴S△AEG+S△ CNK+S△IBH +S△DFM ＝2S四边形 ABCD∵S△AEG+S△CNK+S△IBH +S△DFM＝α∴ 2S 四边形ABCD＝α∴四边形ABCD 的面积为故答案为：12．（ 1）解：如图1 中，∵ DE ∥BC，∴∠ D+∠ DBC＝ 180°，∵∠ D：∠ DBC ＝ 2： 1，∴∠ D＝ 2∠DBC ，∴2∠DBC +∠ DBC＝180°，即∠ DBC＝ 60°，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 1＝∠ 2＝30°，∵ DE∥ BC，∴∠ DEB＝∠ 1＝30°．（2）解：如图 2 中，∵ AD∥CB，∴∠ FCB＝∠ F，∵∠ AGC 是△ AGF 的外角，∴∠AGC＝∠ GAF+∠ F＝ 2∠ F，又∵∠ ACG ＝∠ AGC，∠ACB＝∠ ECB +∠ACG ，＝∠ F+2∠ F＝ 3∠ F＝ 3∠ ECB，∴∠ ECB＝∠ ACB．13．（ 1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ ABE＝∠ ADC ＝∠ ADF ＝ 90°， AB＝ AD ，在△ ABE 和△ ADF 中，，∴△ ABE≌△ ADF （ SAS），∴AE＝ AF ；（ 2）AM⊥ EF， AM ＝EF，理由是：由（ 1）得：△ ABE≌△ ADF ，∴∠ FAD＝∠ EAB ，∴∠ FAE＝∠ DAB ＝90°，∴△ FAE 是直角三角形，如图，过 E 作 EN∥ CD，交 BD 于 N，∴∠ MNE ＝∠ MDF ，∠ MEN ＝∠ MFD ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ NBE＝ 45°，∴△ NBE 是等腰直角三角形，∴EN＝ BE＝ DF ，在△ MNE 和△ MDF 中，∵，∴△ MNE ≌△ MDF （ASA），∴EM ＝FM ，∵AE＝AF，∴AM ⊥EF，AM ＝ EF ．14．解：（ 1）结论： AM⊥ BN．理由：如图① 中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝ BC，∠ ABM ＝∠ BCN＝ 90°，∵BM ＝CN，∴△ ABM≌△ BCN，∴∠ BAM＝∠ CBN，∵∠ CBN+∠ ABN＝ 90°，∴∠ ABN+∠ BAM＝ 90°，∴∠ APB＝90°，∴AM ⊥BN．（ 2）如图②中，以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠ AEB＝90°，作 EF⊥ PA 于 F，作 EG⊥ PB 于 G，连接 EP．∵∠ EFP ＝∠ FPG ＝∠ G＝90°，∴四边形EFPG 是矩形，∴∠ FEG＝∠ AEB＝ 90°，∴∠ AEF ＝∠ BEG ，∵EA＝ EB，∠ EFA＝∠ G＝90°，∴△ AEF ≌△ BEG ，∴ EF＝ EG， AF＝ BG，∴四边形EFPG 是正方形，∴PA+PB＝ PF+AF+PG﹣ BG＝ 2PF＝2EF ，∵ EF≤ AE，∴ EF 的最大值＝ AE＝ 2，∴△ APB 周长的最大值＝4+4．15．（ 1）证明：∵ D， E， F 分别是 AB， AC， BC 的中点，∴ DE∥ CF，DF ∥ EC， DE＝BC ，DF ＝AC，∴四边形DECF 是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝ DF，∴四边形 DECF 是菱形．（2）∵ CG∥ EF， EG∥ CF，∴四边形 EFCG 是平行四边形，△ ADG 面积相等的平行四边形有：四边形 DECF ，四边形 DEFB ，四边形 EFCG ，四边形ADFE ．16．解：（ 1）∵ AC＝AP， AC＝ 4，∴AP＝．AD＝CD＝4∴ S△ACP＝AP× CD＝×× 4＝ 7；（2）在 CF 上截取 FN＝NG，连接 BG ，∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB＝ CB＝ CD ，∠CBF ＝∠ CDP ＝∠ BCF +∠FCD ＝90°，又∵ CF ⊥ CP，∴∠ DCP+∠ FCD ＝ 90°，∴∠ BCF＝∠ BCD，在△ BCF 和△ DCP 中，，∴△ BCF≌△ DCP，∴CF＝ CP，∵BC＝ MC， BM ⊥ CF ，∴∠ BCF＝∠ ACF ＝∠ BCA＝22.5°，∴∠ CFB＝ 67.5°，∵FC⊥ BM，FN ＝ NG∴BF＝ BG∴∠ FBG＝ 45°，∠ FBN ＝ 22.5°∴∠ CBG＝ 45°，在△ BCG 和△ BAN 中，，∴△ BCG≌△ ABM，∴BM ＝CG，∴CF﹣ CG＝FG ，∵BF＝ BG， BM⊥CF，∴ FN＝ NG，∴ CP﹣ BM＝2FN．。

北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答

2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答一．选择题（共10小题，每小题3分共30分）1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相平分2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点为O ，过O 作OF AC ⊥交AD 于点F ，交BC 于点E ，则四边形AECF -定是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．-般四边形3．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，:1:3EDC EDA ∠∠=，且10AC =，则DE 的长度是( )A ．3B ．5 C．D．24．如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知5AB BC CD DA ====千米，村庄C 到公路1l 的距离为4千米，则C 到公路2l 的距离是()A ．6千米B ．5千米C ．4千米D ．3千米5．如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若6BD =，则菱形ABCD 的面积是( )A ．6B ．12C ．24D ．48第2题图第3题图第4题图第5题图6．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边分别平行B ．对角线垂直C ．对角线互相平分D ．对边分别相等7．如图，正方形ABCD 中，25DAF ∠=︒，AF 交对角线BD 于点E ，那么BEC ∠等于( )A ．45︒B ．60︒C ．70︒D ．75︒8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )A ．43B ．1C ．56D ．659．下列识别图形不正确的是( )A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．有三个角是直角的四边形是矩形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(0,0)，(2,0)，60α∠=︒，则顶点C 在第一象限的坐标是( )A ．(2,2) B． C ．(3,2) D．1二．填空题（共6小题，每小题3分共18分）11．等腰三角形纸片ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 是BC 边上的高，若将ABC ∆沿AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为．12．如下图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，且CE AC =，连接AE ，则E ∠= 度．第7题图第8题图第10题图13．如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=︒，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠= 度．14．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为．15．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若3AB =，则BC 的长为．16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且8AC =，6BD =，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH = ．三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18每小题7分，19、20每小题8分,21、22每小题10分，23、24每小题11分）17．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分BAD ∠，若15EAO ∠=︒，求B O E ∠的度数．18．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且16AC cm =，12BD cm =，求菱形ABCD 的第12题图第13题图第14题图第15题图高DH和AB的长．19．如图，ABC=．∆的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且A C B D⊥．点M，N分别在BD、AC 上，且AO ON NC==，BM MO OD==．求证：2=．BC DN21．如图，在ABCD中，2=，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接BC ABEF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若8∠=︒，求OC的长．ABCBC=，6022．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=︒，当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）23．如图，以锐角ABC ∆的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连接BE 、CF ．（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由．（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．24．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线//MN BC ，且MN 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题参考简答一．选择题（共10小题）1．C ． 2．B ． 3．D ． 4．C ． 5．C ． 6．B ． 7．C ． 8．D ．9．C ． 10．B ．二．填空题（共6小题）11． 14或16或18 ． 12． 22.5 ． 13． 72 ． 14． 2 ．15 16． 125．三．解答题（共8小题）17．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分BAD ∠，若15EAO ∠=︒，求B O E ∠的度数．【解】：ABCD 为矩形，90BAD ∴∠=︒ABCD 相交于O 点，AO CO BO DO ∴===AE 平分BAD ∠交BC 于E 点，45BAE EAD ∴∠=∠=︒15EAC ∠=︒， 060BA ∴∠=︒，AO BO =，60ABO ∴∠=︒， 180BAO ABO AOB ∠+∠+∠=︒，60AOB ∴∠=︒AOB ∴∆为等边三角形，即AB OA BO ==，又90ABC ∠=︒，45EAB ∠=︒，45BEA∴∠=︒，ABE∴∆为等腰直角三角形，BE BA∴=，BE BA=而BA BO=，BE BO∴=即OBE∆为等腰三角形9060ABC ABO∠=︒∠=︒30OBE∴∠=︒(18030)275BOE BEO∴∠=∠=-÷=︒．故BOE∠的度数75︒．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且16AC cm=，12BD cm=，求菱形ABCD的高DH和AB的长．【解】：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且16AC cm=，12BD cm=，8AO CO cm∴==，6DO BO cm==，90AOB∠=︒，∴在Rt AOB∆中10()AB cm=，菱形面积为：12AC BD DH AB⨯=⨯，则11612102DH⨯⨯=⨯，解得：48()5DH cm=，答：菱形ABCD的高DH为485cm，AB的长为10cm．19．如图，ABC∆的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF=．【证明】BE 是ABC ∆的高，M 为BC 的中点，12ME BC ∴=， CF 是ABC ∆的高，M 为BC 的中点，12MF BC ∴=， ME MF ∴=．20．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且A C B D ⊥．点M ，N 分别在BD 、AC 上，且AO ON NC ==，BM MO OD ==．求证：2BC DN =．【证明】AO ON =，OD OM =，∴四边形AMND 是平行四边形，AC BD ⊥，∴平行四边形AMND 是菱形，MN DN ∴=，ON NC =，BM MO =，12MN BC ∴=， 2BC DN ∴=．21．如图，在ABCD 中，2BC AB =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE ，BF 交于点O ，连接EF ，OC ．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若8BC=，60ABC∠=︒，求OC的长．【解】：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，//BC AD∴，BC AD=．E，F分别是BC，AD的中点，∴11,22BE BC AF AD==．BE AF∴=．∴四边形ABEF是平行四边形．2BC AB=，AB BE∴=．∴平行四边形ABEF是菱形．（2）解：过点O作OG BC⊥于点G．E是BC的中点，8BC=，4BE CE∴==．四边形ABEF是菱形，60ABC∠=︒，30OBE∴∠=︒，90BOE∠=︒．2OE∴=，60OEB∠=︒．1GE∴=，OG=5GC∴=．OC∴=22．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=︒，当AE = 2 cm 时，四边形CEDF 是菱形．（直接写出答案，不需要说明理由）【解】：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，//CF ED ∴，FCD GCD ∴∠=∠， G 是CD 的中点，CG DG ∴=，在FCG ∆和EDG ∆中，FCG EDG CG DGCGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CFG EDG ASA ∴∆≅∆，FG EG ∴=，∴四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，5AD BC cm ∴==，3CD AB cm ==，60ADC B ∠=∠=︒，当DE CE =时，四边形CEDF 是菱形，∴当CED ∆是等边三角形时，四边形CEDF 是菱形，3DE CD cm ∴==，2AE AD DE cm ∴=-=，即当2AE cm =时，四边形CEDF 是菱形．故答案为：2．23．如图，以锐角ABC ∆的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连接BE 、CF ．（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由．（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．【解】：（1）BE和CF垂直且相等．理由：先AB和CF的交点为O，如下图所示：在正方形ABGF，=，AF AB∠=︒，FAB90又在正方形ACDE，=，AE AC∠=︒，EAC90∴∠=∠=︒，FAB EAC90∠=∠+∠，FAC FAB BAC∠=∠+∠，EAB EAC BAC∴∠=∠，FAC EABFAC EAB∴∆≅∆，∴=，且AFC ABE∠=∠，BE CF又AOF BOH∠=∠，故在AFO∆和BHO∠=∠=︒，FAO BHO∆中，有90∴又垂直于CF；BE（2）由（1）知，FAC BAE∆≅∆，故FAC∆可以通过旋转而得到彼此，∆和BAE其旋转中心为点A，旋转角为直角．24．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线//MN BC ，且MN 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．【证明】：CE 平分ACB ∠，ACE BCE ∴∠=∠，//MN BC ，OEC ECB ∴∠=∠，OEC OCE ∴∠=∠，OE OC ∴=，同理，OC OF =，OE OF ∴=．AO CO =，EO FO =，∴四边形AECF 为平行四边形， CE 平分ACB ∠，12ACE ACB ∴∠=∠，同理，12ACF ACP ∠=∠， 11()1809022ECF ACE ACF ACB ACP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴四边形AECF 是矩形．。

2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固(培优篇)

专题1.29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）（专项练习）一、单选题1．如图，菱形OABC 的顶点O 与原点重合，点C 在x 轴上，点A 的坐标为（3，4）．将菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B 的坐标为（）A ．（-8，-4）B ．（-9，-4）C ．（-9，-3）D ．（-8，-3） 2．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．则EC +GC 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），四边形OABC 是菱形，60AOC ∠=︒，以OB 为边作菱形11OBB C ，使顶点1B 在OC 的延长线上，再以1OB 为边作菱形122OB B C ，使顶点2B 在1OC 的延长线上，再以2OB 为边作菱形233OB B C ，使顶点3B 在2OC 的延长线上，按照此规律继续下去，则2021B 的坐标是（）A ．101130-（，）B ．101132（，）C ．20210-（，）D ．202310113322（-，）4．如图，点H ，F 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，点E ，G 分别在BA ，DC 的延长线上，且AE AH CG CF ===．连结EH ，EF ，GF ，GH ，若菱形ABCD 和四边形EFGH 的面积相等，则AH AD的值为（）A ．12 B C D ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（）A．4 B ．8 C ．D ．6．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =O 是对角线的交点，过C 作CE BD ⊥于点E ，EC 的延长线与BAD ∠的平分线相交于点H ，AH 与BC 交于点F .给出下列四个结论：∠AF FH =；∠BF BO =；∠AC CH =；∠3BE DE =.其中正确结论有( ).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，6AB =，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ．展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕为BM ，再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：∠60ABN ∠=︒；∠3AM =；∠∠BMG是等边三角形；∠EN =∠P 为线段BM 上一动点，H 是线段BN 上的动点，则PN PH+的最小值是）A ．∠∠∠∠B ．∠∠∠∠C ．∠∠∠∠D ．∠∠∠∠∠8．如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点M 处，折痕为AP ；再将PCM △，ADM △分别沿PM ，AM 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点N 处．下列结论不．正确的是（）A ．M 是CD 的中点B ．MN AP ⊥C ．当四边形APCD 是平行四边形时，AB =D ．AD BC ∥ 9．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ， BC 为边向外作正方形ACDE 与正方形BCFG ， H 为EG 的中点，连接DH ，FH ．记∠FGH 的面积为S 1，∠CDH 的面积为S 2，若S 1－S 2＝6，则AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点E 是CD 边上一点，且75ABE ∠=︒．P 是对角线BD 上一动点，则12AP BP +的最小值为（）A．4 B ．C D 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD 的顶点A 的坐标为（-1，3），在纸的正方形1111D C B A ，将该纸片以O 为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C 和点1B 的坐标分别为（）A ．（-3，-1），（1，0）B ．（-3，-1），（0，-1）C ．（3，1），（0，-1）D ．（3，1），（1，0） 12．如图，将正方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边的点P 处（不与点A ，点D 重合），点C 落在G 点处，PG 交DC 于点H ，连接BP ，BH ．BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：∠PB 平分∠APG ；∠PH =AP +CH ；∠BM ，∠若BE =53，AP =1，则S 四边形BEPM =113，其中正确结论的序号是（）A ．∠∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠二、填空题 13．如在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，E 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则PA PE +的最小值为__________．14．如图，已知ABC 中，5AB AC ==，8BC =，将ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是___________．15．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．16．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 在边BC 上，将∠ABE 沿直线AE 翻折180°，得到∠AB ′E ，点B 的对应点是点B ′．若AB ′∠BD ，BE ＝2，则BB ′的长是___．17．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一动点，将ABE △沿AE 折叠后得到AFE △，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ，3AB =，4=AD ．当点E 是BC 的中点时，线段GC 的长为______；点E 在运动过程中，当∠CFE 的周长最小时，BE 的长为______．18．如图，在等腰Rt ABC 中，CA BA =，90CAB ∠=︒，点M 是AB 上一点，点P 为射线CA （除点C 外）上一个动点，直线PM 交射线CB 于点D ，若1AM =，3BM =，CPD ∆的面积的最小值为________．19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∠BC ，AD ∠AC ，AD ＝AC ，∠BAD ＝105°，点E 和点F 分别是AC 和CD 的中点，连接BE ，EF ，BF ，若CD ＝8，则BEF 的面积是_____．20．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点P 是边AD 上的动点，沿直线PE 将△APE 对折，点A 落在点F 处. 已知AB =6，AD =4，连结CF 、CE ，当△CEF 恰为直角三角形时，AP 的长度等于___________.21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF ＝45°，∠ECF 的周长为8，则正方形ABCD 的边长为_____．22．如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，1AB =，点D 为AC 边上任意一点，将BCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为点E ，当30ADE ∠=︒时，CD 的长为______．23．如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F ，H 分别是边BC ，CD ，AB 上的一点，将正方形ABCD 沿FH 折叠，使点D 恰好落在BC 边的中点E 处，点A 的对应点为点P ，则折痕FH 的长为______．24．图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，45EDF ∠=︒，则DE 的长为 _____．三、解答题25．直线443y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中，其中点D 在x 轴负半轴上，直线y x m =+经过点C ，交x 轴于点E ．(1)请直接写出点C ，点D 的坐标，并求出m 的值；(2)点()0,P t 是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 重合），经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ，交CE 于.N 当四边形NEDM 是平行四边形时，求点P 的坐标；(3)点()0,P t 是y 轴正半轴上的一个动点，Q 是平面内任意一点，t 为何值时，以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？26．综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(0,)A a ，点(,0)B b ，且a ．b 满足：4b +=C 与点B 关于y 轴对称，点P ，点E 分别是x 轴，直线AB 上的两个动点．(1)求点C 的坐标；(2)连接PA ，PE ．∠如图1，当点P 在线段BO （不包括B ，O 两个端点）上运动，若APE 为直角三角形，F 为PA 的中点，连接EF ，OF ，试判断EF 与OF 的关系，并说明理由；∠如图2，当点P 在线段OC （不包括O ，C 两个端点）上运动，若APE 为等腰三角形，M 为底边AE 的中点，连接MO ，请直接写出PA 与OM 的数量关系．27．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF ；取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．(1)连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形；猜想与发现：(2)在（1）的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是___________________________；结论2：DM、MN的位置关系是___________________________；拓展与探究：(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．28．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．参考答案1．A【分析】过点A作AE∠OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B1，作B1F∠y轴于F，利用全等三角形的性质求出的坐标，根据循环性规律，得出第2022次旋转结束时，点B的坐标即可．解：过点A作AE∠OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B1，作B1F∠y轴于F，∠点A的坐标为（3，4），∠5OA，∠菱形OABC的顶点O与原点重合，∠5AB OA==，AB∠OC，∠点B的坐标为（8，4），延长BA交y轴于H，∠BH∠OF，∠∠BHO=∠B1FO=90°，∠∠BOB1=90°，∠∠BOH+∠FOB1=90°，∠BOH+∠OBH=90°，∠∠FOB1=∠OBH，∠OB1=OB，∠∠OBH∠∠OB1F，∠FB1=OH=4，FO1=BH=8，B1的坐标为（-4，8）；同理可求，第二次旋转点B的坐标为（-8，-4）,第三次旋转点B的坐标为（4，-8）,第四次旋转点B的坐标为（8，4）,四次一循环，∠2022÷4=505……2，故第2022次旋转结束时，点B的坐标（-8，-4）,故选：A．【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、点的坐标变换，解题关键是熟练运用相关性质求出变换后点的坐标，发现规律求解．2．B【分析】连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG 为平行四边形，即得出HE CG =，从而可得出EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH 的长即可．解：如图，连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移的性质可知AB EG =，AB EG ．∠四边形ABCD 为菱形，∠AB CD =，AB CD ，1302ADB ABD ABC ∠=∠=∠=︒， ∠CD EG =，∥EG CD ，∠四边形CDEG 为平行四边形，∠GC DE =．由轴对称的性质可知HE DE =，DAE HAE ∠=∠，AH AD =，∠HE CG =，∠EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．∠AB EG =，AB EG ，∠四边形ABGE 为平行四边形，∠AE BG ∥，∠30EAD ADB ∠=∠=︒，∠260HAD EAD ∠=∠=︒，∠ADH 为等边三角形，∠4DH AD CD ===，60ADH ∠=︒，∠2120CDH ADH ∠=∠=︒，∠30HCD ∠=︒，即CDH △为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求224CH === 故选B ．【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．3．A【分析】连接AC 、BC 1，分别交OB 、OB 1于点D 、D 1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB 的长，进一步在菱形OBB 1C 1计算出OB 1，过点B 1作B 1M ∠x 轴于M ，利用勾股定理计算出B 1M ，OM ，从而得B 1的坐标，同理可得B 2，B 3，B 4，B 5，B 6，B 7，B 8，B 9，B 10，B 11，B 12，根据循环规律可得B 2021的坐标．解：如图所示，连接AC ，1BC 分别交OB ，1OB 与D 、1D ，∠点A 的坐标为（1，0），∠OA =1，∠四边形OABC 是菱形，∠AOC =60°，∠OC =OA =1，OB =2OD ，∠COD =30°，∠CDO =90°， ∠1122CD OC ==，∠OD ==∠OB =∠∠AOC =60°，∠∠B 1OC 1=90°-60°=30°，∠四边形OBB 1C 1是菱形，11111902C DO OC OB OB OD ∴∠=︒===，，在Rt ∠OC 1D 1中11112C D OC ==，∠132OD ==， ∠OB 1=2OD 1=3，过点B 1作B 1M ∠x 轴于点M ，在Rt ∠OMB 1中，11322OM OB ==∠1B M ==∠13(2B ，同理可得2345927(((27,0)22B B B B ---，，，6788181(,(,(0,22B B B ---，，，91011243729(,(,(729,0)22B B B ，，，12729)2B ，由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次1n n OB +=，∠2021÷12=168……5，∠B 2021的纵坐标符号与B 5的相同，则B 2021在y 轴的负半轴上，又2022101120213OB ==∠B 2021的坐标为1011(3,0)-，故选A【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．4．D【分析】根据题意先证四边形EFGH 是平行四边形，由平行四边形的性质求出EH ∠AC ，进而由面积关系进行分析即可求解．解：连接HC 、AF 、HF 、AC ，HF 交AC 于O ，连接EG ．∠四边形ABCD 是菱形，∠D =∠B ，AB =CD =AD =BC ，∠AE =AH =CG =CF ，∠DH =BF ，BE =DG ，在∠DHG 和∠BFE 中，DH BF D B BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠DHG ∠∠BFE ，∠HG =EF ，∠DHG =∠BFE，∠BC ∠AD ，∠∠BFE =∠DKF ，∠∠DHG =∠DKG ，∠HG ∠EF ，∠四边形EFGH 是平行四边形．∠AH =CF ，AH ∠CF ，∠四边形AHCF 是平行四边形，∠AC 与HF 互相平分，∠四边形EFGH 是平行四边形，∠HF 与EG 互相平分，∠HF 、AC 、EG 互相平分，相交于点O ，∠AE =AH ，DA =DC ，BE ∠DC ，∠∠EAH =∠D ，∠∠AEH =∠AHE =∠DAC =∠DCA ，∠EH ∠AC ，∠S △AEH =S △EHO =S △AHO =12S △AHC =14S 四边形EFGH =14S 四边形ABCD ， ∠S △AHC =12S 四边形ABCD =S △ADC ，∠AD =AH ， ∠AH AD =1. 故选：D ．【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明EH ∠AC 是解题的关键．5．C【分析】取CD 中点H ，连接AH ，BH ，根据矩形的性质题意得出四边形AECH 是平行四边形，可知AC CE ∥，然后根据三角形中位线的性质得PH CE ∥，得出点P 在AH 上，然后判断BP 的最小值，再求出值即可.解：如图，取CD 中点H ，连接AH ，BH ，设AH 与DE 的交点为O ，∠四边形ABCD 是矩形，∠AB ＝CD ＝8，AD ＝BC ＝4，CD AB ∥，∠点E 是AB 中点，点H 是CD 中点，∠CH ＝AE ＝DH ＝BE ＝4，∠四边形AECH 是平行四边形，∠AH CE ∥，∠点P 是DF 的中点，点H 是CD 的中点，∠PH 是∠CDF 的中位线，∠PH CE ∥，∠点P 在AH 上，∠当BP ∠AH 时，此时点P 与H 重合，BP 有最小值，∠AD ＝DH ＝CH ＝BC ＝4，∠∠DHA＝∠DAH ＝∠CBH ＝∠CHB ＝45°，AH BH ==∠∠AHB ＝90°，∠BP 的最小值为故选：C ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P 的位置是解题的关键．6．C【分析】利用矩形性质及勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，可知60ABO ∠=︒，进一步可得AOB 为等边三角形，得到1BO BA ==，再利用角平分线的性质可证明1BF BA ==，故∠正确；证明15CHA OAH ∠=∠=︒，即可知∠正确；求出1122DE CD ==，13222BE =-=，即可知∠正确；无法证明F 是AH 中点，故∠错误．解：∠ABCD 为矩形，1AB =，AD =，∠90DAB ∠=︒，30ADB ∠=︒，2BD =，∠AF 平分DAB ∠，∠45FAB AFB ∠=∠=︒，即1BF BA ==，∠30ADB ∠=︒，∠60ABO ∠=︒，∠OA OB =，∠AOB 为等边三角形，∠1BO BA ==，∠BF BO =，故∠正确；∠AOB 为等边三角形，且45FAB ∠=︒，∠15OAH ∠=︒，同理：COD △为等边三角形，∠CE BD ⊥，∠30ECO ∠=︒，∠15CHA ∠=︒，∠15CHA OAH ∠=∠=︒，即AC CH =，故∠正确；∠30ECO ∠=︒，∠30DCE ∠=︒，∠1CD AB ==， ∠1122DE CD ==， ∠2DB =， ∠13222BE =-=， ∠3BE DE =，故∠正确；∠AC CH =，但是无法证明F 是AH 中点，故∠错误；综上所述：正确的有∠∠∠．故选：C ．【点拨】本题考查矩形性质及勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形，角平分线，三角形外角的定义及性质．解题的关键是熟练掌握以上知识点，证明1BO BA ==， 1BF BA ==；证明15CHA OAH ∠=∠=︒；求出1122DE CD ==，13222BE =-=． 7．C【分析】∠首先根据EF 垂直平分AB ，可得AN =BN ，然后根据折叠的性质，可得AB =BN ，据此判断出∠ABN 为等边三角形，即可判断出∠ABN =60°；∠首先根据∠ABN =60°，∠ABM = ∠NBM ，求出∠ABM =∠NBM =30°，然后在Rt ∠ABM 中，根据AB =6，求出AM 的大小即可；∠求出∠AMB =60°，得到∠BMG =60°，根据AD ∠BC ，求出∠BGM =60°即可；∠根据勾股定理求出EN 即可；∠根据轴对称图形的性质得到AP =PN ，PN +PH =AH ，且当AH ∠BN 时，PN +PH 最小，应用勾股定理，求出AH 的值即可．解：如图，连接AN ，∠EF 垂直平分AB ，∠AN =BN ，根据折叠的性质，可得AB =BN ，∠AN =AB =BN ，∠△ABN 为等边三角形，∠∠ABN =60°，∠PBN =12⨯60°=30°，即结论∠正确； ∠∠ABN =60°，∠ABM =∠NBM ，∠∠ABM =∠NBM =12⨯60°=30°， ∠BM =2AM ，∠AB =6，222AB AM BM +=，∠62+AM 2=（2AM ）2，解得AM =∠不正确；∠∠AMB =90°-∠ABM =60°，∠∠BMG=∠AMB=60°，∠ AD∠BC，∠∠MBG=∠AMB=60°，∠∠BGM=60°，∠BMG是等边三角形；即结论∠正确；∠BN=AB=6，BN=3，∠EN=∠正确；连接AN，∠△ABM与∠NBM关于BM轴对称，∠AP=NP，∠PN+PH=AP+PH，∠当点A、P、H三点共线时，AP+PH=AH，且当AH∠BN时AH有最小值，∠AB=6，∠ABH=60°，∠∠BAH=30°，∠BH=3，∠AH=∠PN＋PH的最小值是∠正确；【点拨】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键．8．B【分析】由折叠的性质可得DM＝MN，CM＝MN，即M是CD的中点；故∠正确；∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠P AB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∠BC，由平行线的性质可得∠DAB＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AN＝PN，由直角三角形的性质可得ABMN．解：由折叠的性质可得：DM＝MN，CM＝MN，∠DM＝CM，即M是CD的中点；故A正确；由折叠的性质可得：∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠P AB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP ＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，∠∠MNA+∠MNP＝180°，∠∠D+∠C＝180°，∠AD∥BC，故D正确；∠∠B+∠DAB＝180°，∠∠DMN+∠CMN＝180°，∠∠DMA+∠CMP＝90°，∠∠AMP＝90°，∠∠B＝∠AMP＝90°，∠∠DAB＝90°，若MN∠AP，则∠ADM＝∠MNA＝∠C＝90°，则四边形ABCD为矩形及AB∥CD，而题目中无条件证明此结论，故B不正确；∠∠DAB＝90°，∠∠DAM＝∠MAP＝∠P AB＝30°，由折叠的性质可得：AD＝AN，CP＝PN，∠四边形APCD是平行四边形，∠AD＝PC，∠AN＝PN，又∠∠AMP＝90°，AP，∠MN＝12∠∠P AB＝30°，∠B＝90°，AP，∠PB＝12∠PB＝MN∠AB，故C正确；故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质及直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点并灵活运用这些性质是解题的关键．9．A【分析】连接AD 交EC 于点M ，连接BF 交CG 于点N ，设,AC a BC b ==，分别求出EC ，AD =，DM =，,CG FN ==，)EG a b =+，)HG EH a b ==+，)CH b a =-，分别求得1S ，2S ，由126S S -=得，2224a b +=，由勾股定理可得结论．解：连接AD 交EC 于点M ，连接BF 交CG 于点N ，∠四边形ACDE ，BCFG 是正方形，∠,,,AD EC BF CG AD EC BF CG ⊥⊥==，1122DM AD FN BF ==，，设,AC a BC b ==，∠∠90,=EAC AE AC a =︒=，∠EC ∠AD =，∠1122DM AD ===，同理可证：,CG FN ==， ∠EG EC CG =+，∠)EG a b =+，∠H 为EG 的中点，∠1))2HG EH a b a b ==+=+，∠)CH EH EC b a =-=-， ∠121124FG H ab b S S HG FN ∆+==⋅⋅=，22(124DH ab a S S CH DM ∆-=== 又∠126S S -=，∠22644ab b ab a +--=，整理得，2224a b +=，∠∠90ACB =︒，∠AB ，故选：A ．【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．10．D【分析】连接AC ，作PG BE ⊥，证明当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ，再利用勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．解：连接AC ，作PG BE ⊥∠ABCD 是正方形且边长为4，∠45ABO ∠=︒，AC BD ⊥，AO =∠75ABE ∠=︒，∠30PBG ∠=︒，∠12PG BP =， ∠当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ，∠75ABE ∠=︒，AG BE ⊥，∠15BAG ∠=︒，∠45BAO ∠=︒，∠30PAO ∠=︒，设OP b =，则2AP b =，∠(()222=2b b +，解得：b 设PG a =，则2BP a =，∠BO =∠2a b +=a∠2AG AP PG b a =+=+=故选：D【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当12AP BP +取最小值时，A ，P ，G 三点共线，且AG BE ⊥，此时最小值为AG ．11．C【分析】由该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，可得旋转一周360458︒÷︒=次，由2988372÷=⋅⋅⋅，可得第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90°，由正方形纸片ABCD 对角线中点位于原点，可求点C （1，-3）由11A B =根据勾股定理，2221111+2OA OB A B ==求出B 1（-1，0），连结OD 与OC ，过D 作ED ∠x 轴于E ，CF ∠y 轴于F ，可证△FOC ∠△EOD （AAS ），可求点D （3，1），与点C 1（0，-1）即可．解：∠该纸片以О为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，∠旋转一周360458︒÷︒=次，∠2988372÷=⋅⋅⋅，∠第298次旋转后，实际是将纸片逆时针旋转37周后再转90°，∠正方形纸片ABCD 对角线中点位于原点，∠点A 与点C 关于点O 成中心对称，∠点A （-1，3），∠点C （1，-3），∠11A B又∠11OA OB =，根据勾股定理，2221111+2OA OB A B ==，∠111OA OB ==，∠B 1（-1，0），连结OD 与OC ，过D 作ED ∠x 轴于E ，CF ∠y 轴于F ，绕点O 逆时针旋转90°后点C 位置转到点D 位置，∠四边形ABCD 为正方形，OD OC =，90FOE COD ∠==︒，∠∠FOC +∠COE =∠COE +∠EOD =90°，∠∠FOC =∠EOD ，在△FOC 和△EOD 中，90FOC EOD CFO DEO OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠FOC ∠∠EOD （AAS ），∠CF =DE =1，OF =OE =3，∠点D （3，1），∠点B 1转到C 1位置，点C 1（0，-1），∠第298次旋转后，点C 和点1B 的坐标分别为（3，1）与（0，-1）．故选：C ．【点拨】本题主要考查坐标与旋转规律问题，涉及了正方形性质、中心对称性质、勾股定理应用、三角形全等判定与性质等知识，熟练掌握正方形旋转性质、中心对称性质、勾股定理应用、三角形全等判定与性质，根据旋转一周8次，确定旋转37周再转90°是解题关键．12．B【分析】根据折叠的性质，90EPG EBC ∠∠==，EB EP =，从而得到EPB EBP ∠=∠，根据直角三角形两锐角互余，得到APB BPG ∠=∠，即可判定∠；过点B 作BQ ∠PH ，利用全等三角形的判定与性质，得到CH QH =，AP PQ =，即可判定∠；通过证明BMP 为等腰直角三角形，即可判定∠；根据BEP BMP BEPM S S S =+△△四边形求得对应三角形的面积，即可判定∠．解：由题意可得：90EPG EBC ∠∠==，EB EP =，∠90EPG EPB BPG ∠∠∠=+=，EPB EBP ∠=∠，∠90EBP BPG ∠∠+=，由题意可得：1801809090EBP APB A ∠∠∠+=-=-=，∠APB BPG ∠=∠，∠PB 平分∠APG ；∠正确；过点B 作BQ ∠PH ，如下图：∠90BQP A ∠∠==在APB 和QPB 中，A BQP APB QPB BP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠(AAS)APB QPB ≌∠AP PQ AB BQ ==，∠四边形ABCD 为正方形∠AB BC BQ ==，又∠BH BH=∠Rt Rt (HL)BCH BQH ≌，∠CH QH =∠PH PQ QH AP CH =+=+，∠正确；由折叠的性质可得：EF 是PB 的中垂线，∠PM BM =由题意可得：BAP BQP ≌，BCH BQH △≌△，∠,ABP PBQ CBH QBH ∠∠∠∠==， ∠1452PBQ QBH ABP CBH ABC ∠∠∠∠∠+=+==， ∠45PBM ∠=，∠45BPM PBM ∠∠==，∠BMP 为等腰直角三角形，∠222BM PM BP +=，即222BM BP =，∠BM ，∠正确；若BE =53，AP =1，则53PE BE ==，在Rt APE 中，222AE AP PE +=∠43AE ==，3AB AE BE ，∠PB =∠BM BP == 21110223BEP BMP BEPM S S S BE AP BM =+=⨯⨯+⨯=△△四边形，∠错误，故选B ，【点拨】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．13【分析】连接AC ，CE ，则CE 的长即为AP +PE 的最小值，再根据菱形ABCD 中，120BCD ∠=︒得出∠ABC 的度数，进而判断出∠ABC 是等边三角形，故∠BCE是直角三角形，根据勾股定理即可得出CE 的长．解：连接AC ，CE ，∠四边形ABCD 是菱形，∠A 、C 关于直线BD 对称，∠CE 的长即为AP +PE 的最小值，∠120BCD ∠=︒，∠60ABC ∠=︒，∠∠ABC 是等边三角形，∠E 是AB 的中点，∠CE AB ⊥，112122BE BC ==⨯=∠CE ==【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点之间线段最短是解答此题的关键．14．258或5或8 【分析】∠ADE 是等腰三角形，所以可以分3种情况讨论：∠当AD ＝AE 时，∠ADE 是等腰三角形．作AM ∠BC ，垂足为M ，利用勾股定理列方程可得结论；∠当AD ＝DE 时，四边形ABED 是菱形，可得m ＝5；∠当AE ＝DE 时，此时C 与E 重合，m ＝8．解：分3种情况讨论：∠当AD ＝AE 时，如图1，过A作AM∠BC于M，∠AB＝AC＝5，BM＝12BC＝4，∠AM＝3，由平移性质可得AD＝BE＝m，∠AE＝m，EM＝4−m，在Rt∠AEM中，由勾股定理得：AE2＝AM2＋EM2，∠m2＝32＋（4−m）2，m＝258，∠当DE＝AD时，如图2，由平移的性质得AB DE∥，AB DE，∠四边形ABED是菱形，∠AD＝BE＝ED＝AB＝5，即m＝5；∠当AC＝DE时，如图3，此时C与E重合，m＝8；综上所述：当m＝258或5或8时，∠ADE是等腰三角形．故答案为：258或5或8．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、平移的性质，解题的关键是分三种情况求出BE的长；本题属于基础题，难度不大，但在解决该题时，部分同学会落掉两种情况，故在解决该题型题目时，全面考虑等腰三角形的三种情况是关键．15．1【分析】取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长．解：如图，取OB中点E'，连接PE'，作射线FE'交AC于点P'．则PE＝PE'，∠PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，∠在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∠∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∠∠ABD为等边三角形．∠AB＝BD＝AD＝4．∠OD＝OB＝2．∠点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，∠BF1AB＝1，4∠∠ABD＝60°，∠∠BE'F为等边三角形，∠E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．16．【分析】根据菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°可知∠ABD 是等边三角形，结合三线合一可得∠BAB '＝30°，求出∠ABB '＝75°，可得∠EB 'B ＝∠EBB '＝45°，则∠BEB '是直角三角形，借助勾股定理求出BB '的长即可．解：∠菱形ABCD ，∠AB ＝AD ，AD //BC ，∠∠BAD ＝60°，∠∠ABC ＝120°，∠AB ′∠BD ，∠∠BAB '1302BAD =∠=︒， ∠将∠ABE 沿直线AE 翻折180°，得到∠AB ′E ，∠BE ＝B 'E ，AB ＝AB '，∠∠ABB '()118030752=⨯︒-︒=︒， ∠∠EBB '＝∠ABE ﹣∠ABB '＝120°﹣75°＝45°，∠∠EB 'B ＝∠EBB '＝45°，∠∠BEB '＝90°，在Rt∠BEB '中，由勾股定理得：BB '==故答案为：．【点拨】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．17． 43##113 32 【分析】连接GE ，根据点E 是BC 的中点以及翻折的性质可以求出BE ＝EF ＝EC ，然后利用“HL ”证明GFE 和GCE 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG ＝CG ，设GC ＝x ，表示出AG 、DG ，然后在Rt ADG 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；先判断出EF AC ⊥时，GEF △的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论．解：∠如图，连接GE ，∠E 是BC 的中点，∠BE ＝EC ，∠ABE △沿AE 折叠后得到AFE △，∠BE ＝EF ，∠EF ＝EC ，∠在矩形ABCD 中，∠∠C ＝90°，∠∠EFG ＝90°，∠在Rt GFE 和Rt GCE 中，EG EG EF EC =⎧⎨=⎩∠()GFE GCE HL ≌△△， ∠GF ＝GC ；设GC x =，则3AG x =+，3DG x =-，在Rt ADG 中，2224(3)(3)x x +-=+，解得x ＝43，即43GC =； ∠如图：由折叠知，∠AFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ，∠4EF CE BE CE BC AD +=+===，∠当CF 最小时，CEF △的周长最小，∠CF AC AF ≥-，∠当点A ，F ，C 在同一条直线上时，CF 最小，由折叠知，AF ＝AB ＝3，在Rt ABC 中，AB ＝3，BC ＝AD ＝4，∠AC ＝5，∠2CF AC AF =-=，在Rt CEF 中，222EF CF CE +=，∠222(4)BE CF BE +=-，∠2222(4)BE BE +=-， ∠3=2BE ．【点拨】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题．18．6【分析】设点M 是PD 的中点，过点M 作直线P D ''与射线CA 、CB 分别交于点,P D ''，得到当点M 是PD 的中点时，CPD △的面积最小，再根据直角三角形的性质及三角形的面积公式求解即可．解：设点M 是PD 的中点，过点M 作直线P D ''与射线CA 、CB 分别交于点,P D ''，则点M 不是P D ''的中点当MD MP ''>时，在MD '上截取ME MP '=，连接DEPMP DME'∠=∠()PMP DME SAS '∴≅=P CD PCD P CDE S S S '''∴>四边形当MD MP ''<时，同理可得P CD PCD S S ''>∴当点M 是PD 的中点时，CPD △的面积最小如图，作DH AB ⊥于H则DHM PAM ≌,90,AM MH DHM PAM AP DH ∴=∠=∠=︒=90BHD =∴∠︒1AM =，3BM =1AM MH ∴==2BH ∴=在等腰Rt ABC △中，314CA BA ==+=45B C ∴∠=︒=∠45B BDH ∴∠=∠=︒2BH DH AP ∴===426CP AC AP ∴=+=+=过点D 作DK PC ⊥交于K∴四边形AKDH 是矩形2DK AH AM HM ∴==+=1162622CDP S CP DK ∴=⋅=⨯⨯= 故答案为：6 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．19．【分析】过点E作EH∠BF于H，利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明∠BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题．解：过点E作EH∠BF于H．∠AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，∠AD=AC∠DF=FC，AE=EC，∠EF=1AD，EF//AD，2∠∠FEC=∠DAC=90°，∠∠ABC=90°，AE=EC，∠BE=AE=EC∠EF=BE∠∠BAD=105°，∠DAC=90°，∠∠BAE=105°-90°=15°，∠∠EAB=∠EBA=15° ，∠∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，∠∠FEB=90°+30°=120°，∠∠EFB=∠EBF=30°，∠EH∠BF，EF，FH∠EH=1∠ BF=2FH，S △EFB =11··22BF EH =⨯=故答案为【点拨】本题考查三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．94或1 【分析】分∠CFE =90°和∠CEF =90°两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解．解：∠如图，当∠CFE =90°时，∠四边形ABCD 是矩形，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，AB =6，AD =4，∠∠P AE =∠PFE =∠EBC = 90°，AE =EF =BE =3，∠∠PFE +∠CFE =180°，∠P 、F 、C 三点一线，∠△EFC ∠△EBC ，∠FC =BC =4，EC ，∠FEC =∠BEC ，∠∠PEF +∠FEC =90°，设AP =x ，则PC =x +4，∠2222(4)35x x +=++,解得x =94； ∠如图，当∠CEF =90°∠∠CEB+2∠PEA =90°，∠∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，延长PE、CB，二线交于点G，∠AE=BE，∠P AE=∠GBE =90°，∠AEP=∠BEG，∠△P AE∠△GBE，∠P A=BG，∠AEP=∠BEG，∠∠G =90°-∠GEB= 90°-∠PEA，∠CEB+∠PEA =90°-∠PEA，∠∠G =∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∠CE=CBC+BG=BC+AP，∠5=4+AP，解得P A=1，故答案为：94或1．【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．21．4【分析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出∠F AE∠∠EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=2BC=8，求出BC即可．解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，由题意可得出：△DAF ∠∠BAF ′，∠DF =BF ′，∠DAF =∠BAF ′，∠∠EAF ′=45°，在△F AE 和△EAF ′中,AF AF FAE EAF AE AE ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠F AE ∠∠EAF ′（SAS ），∠EF =EF ′，∠∠ECF 的周长为8，∠EF +EC +FC =FC +CE +EF ′=FC +BC +BF ′=DF +FC +BC =2BC =8，∠BC =4，即正方形的边长为4．故答案为：4．【点拨】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△F AE ∠∠EAF ′是解题关键．22．3【分析】根据翻折的性质和已知条件可得点F 和点A 重合，过点D 作DH BC ⊥，DG AB ⊥，垂足分别为H ，G ，得四边形BHDG 是正方形，设DG DH x ==，1x x +=，求出x 的值，进而可以解决问题．解：如图，由折叠可知：30E C ∠=∠=︒，FE FD ∴=，当30ADE ∠=︒时，260BFD E ∠=∠=︒，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，60A ∴∠=︒，∴点F 和点A 重合，如图，过点D 作DH BC ⊥，DG AB ⊥，垂足分别为H ，G ，由折叠可知：45CBD EBD ∠=∠=︒，DG DH ∴=，∴四边形BHDG 是正方形，设DG DH x ==，AG DG ∴==，AB AG BG AG GD x ∴=+=++，1x x +=，解得x =DG ∴=， 30C ∠=︒，CD DH∴==．23故答案为：3．【点拨】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】过点H作HG∠CD于点G，连接DE，DE交FH于点Q，得到∠HGF=∠HGD=90°，推出∠HFG+∠FHG=90°，根据正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°，得到四边形DAHG中，∠AHG=90°，推出四边形DAHG是矩形，得到GH=AD，GH=CD，根据折叠知，FH∠DE，得到∠DQF=90°，推出∠QFD+∠QDF=90°，得到∠GHF=∠CDE，根据∠HGF=∠C=90°，推出△DCE∠∠HGF(ASA)，得到FH=DE，根据E是BC中点，得到CE=12BC=2，推出DE FH=解：过点H作HG∠CD于点G，连接DE，DE交FH于点Q，则∠HGF=∠HGD=90°，∠∠HFG+∠FHG=90°，∠正方形ABCD中，AD=CD=BC=4，∠A=∠ADC=∠C=90°，∠四边形DAHG中，∠AHG=90°，∠四边形DAHG是矩形，∠GH=AD，∠GH=CD，由折叠知，FH∠DE，∠∠DQF=90°，∠∠QFD+∠QDF=90°，∠∠GHF=∠CDE，∠∠HGF=∠C=90°，∠∠DCE∠∠HGF(ASA)，∠FH=DE，∠E是BC中点，∠CE =12BC=2，∠DE ==，∠FH=故答案为【点拨】本题主要考查了正方形，折叠，矩形，全等三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形．24．【分析】延长BA 到点G ，使AG CF =，连接DG ，EF ，利用SAS 证明ADG CDF ≌，得ADG CDF ∠=∠，DG DF =，再证明()GDE FDE SAS △≌△，得=GE FE ，设AE x =，则6BE x =-，3EF x =+，再利用勾股定理即可解决问题．解：：如图，延长BA 到点G ，使AG CF =，连接DG ，EF ，∠ 四边形ABCD 是正方形，∠AD CD =，90DAG DCF ∠=∠=︒，90ADC BAD ABC ∠=∠=∠=︒，在ADG 和CDF 中，AD CD DAG DCF AG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ADG CDF SAS △≌△，∠ADG CDF ∠=∠，DG DF =，∠45EDF ∠=︒，。

2019-2020北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元培优试卷解析版(难度较大)

2019-2020北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元培优试卷一．选择题（每小题3分，共24分）1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45° B．55° C．60° D．75°2.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．64.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=8，则四边形OCED的周长为（）A．8 B．16 C．18 D．205.如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（）A ．B ．C ．D ．6.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF ＝9的点P 的个数是（）A ．0B ．4C ．6D ．87.如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（）A ．B ．C ．D ．8.已知菱形ABCD ，E,F 是动点，边长为4，BE=AF ，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC≌△AFC ； ②△ECF 为等边三角形③∠AGE=∠AFC ④若AF=1，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 431 GEGF二．填空题（每小题4分，共24分）9.如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为．10.矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=．11.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是．12.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．13.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．三．解答题（共52分）15.（6分）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．16.（6分）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证．DF=AB；（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．17.（6分）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．18.（6分）如图是一个长为a ，宽为b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a ，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a ＝3，b ＝2时，求矩形中空白部分的面积．19.（9分）已知:在矩形ABCD 中,BD 是对角线,AE ⊥BD 于点E,CF ⊥BD 于点F ；(1)如图1,求证:AE=CF ；(2)如图2,当∠ADB=30°时,连接AF 、CE,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的。

北师大版九年级上册数学同步培优第一章特殊平行四边形全章热门考点整合专训

即12×16×6＝12×10·OE－12×10·OF.
解得OE－OF＝9.6.∴OE＋OF的值发生变化，OE，OF之
间的数量关系为OE－OF＝9.6.
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11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部， ∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB， OB，OC，AC的中点．
【答案】 B
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5．【2021·鞍山】如图，在▱ABCD中，G为BC边上一点， DG＝DC，延长DG交AB的延长线于点E，过点A作 AF∥ED交CD的延长线于点F.求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD. ∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形． ∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE. ∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C.∴∠BAD＝∠ADE. ∴AE＝DE.∴平行四边形AEDF是菱形．
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14．阅读
在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，
y2)为端点的线段的中点坐标为运用
x1＋2 x2，y1＋2 y2.
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别
在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为_(_2_，__1_.5_)_；
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4．【2021·河池】如图，在边长为4的正方形ABCD中，点
E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的
长是( ) A．2 2
B.32 2
C.43 2
D.54 2
【点方法】由于BF⊥EF，所以过F作AB的垂线交 AB于N，交CD于M，证明△MFE≌△NBF，设 ME＝x，利用MN＝4列方程，即可求解．
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