理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(考试版)
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////// …
18．（12 分）
以看它能否及时把工人的产品带走．显然，在工人数目不变的情况下传送带速度越快，带
如图，在矩形 ABCD 中，将 △ACD 沿对角线 AC 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且平面 ABP 平面 ABC .
15．设
Sn
是数列 {an} 的前
n
项和，已知
S1 =2
，若对于任意的 n N
都有
an +1
an
2 ，则
Sn 64 n+1
的最小值为__________.
16．过点
A( c2 a
,0) 作双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的一条渐近线的垂线，垂足为
P
，点 Q
在
双曲线 C 上，且 AQ 3QP ，则双曲线 C 的离心率是__________.
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 f (x) |x a||x 2a| ．
（1）若 a 1 ，解不等式 f (x) 4 ；
（2）对任意满足
y, z
0 且 2y
zБайду номын сангаас
1 2
的实数
y, z
，若总存在实数 x
，使得
z y
1 z
f
(x)
，
求实数 a 的取值范围．
理科数学试卷 第 5页（共 6 页）
B． f (x) 的图象关于 ( 2 , 0) 中心对称 9
D．
f
(x)
在
(0,
)
上单调递增
6
…
11．过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A, B 两点，过点 A 作 x 轴的垂线，交 x 轴于点 C ，
… …
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
/ /
…//////
过点 B 作抛物线的准线的垂线，交准线于点 D ，则 | AC | | BD | 的最小值是
…//////
ABC 所成的角为 60 ，则三棱锥 D ABC 的外接球的表面积为
…////// …//////
… / / /考 / / /
A． 50 π 9
B． 5π
C． 52 π 9
D． 6π
… / / /生 / / / … / / /注 / / / … / / /意 / / /
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．曲线 y sin 2x cos x 在 x 0 处的切线方程是__________.
21．（12 分） 在机械化生产车间里，工人们在排列整齐的工作台旁紧张地生产同一种产品，工作台上方 一条传送带在运转，带上设置若干钩子，钩子均匀排列，如图，工人将产品挂在经过他上 方的钩子上带走．当生产进入稳定状态后，每个工人生产一件产品所需时间是不变的，而 他挂产品的时刻是随机的．每个工人在任何时刻都能触到一只钩子，且只能触到一只，在 他生产出一件产品的瞬间，如果他能触到的钩子是空的，则可将产品挂上带走；如果非空， 则他只能将产品放下．放下的产品就永远退出这个传送系统．衡量这种传送系统的效率可
如图，在极坐标系 Ox 中，正方形 OBCD 的边长为 2 . （1）分别求正方形 OBCD 的四条边的极坐标方程； （2）若点 P 在边 BC 上，点 Q 在边 DC 上，且 POQ π ，求 △POQ 的面积的最小值.
4
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
（2）若对任意的 x 0 ，有 f (x) 1 ax 成立，求实数 a 的取值范围.
… / / /则 / / /
… … … … … …
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / / /
责 任 自
/ / / /
/负 /
/。 /
/ / / / / /
/ / / / / /
在 △ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ，△ABC 的面积为 S ，已知 b2 bc ab cos C 2 3S . （1）求角 A ； （2）若 △ABC 的周长为 12，求 S 的最大值.
…////// …//////
…//////
A．4
B．3
C．5
D．2
12．在三棱锥 D ABC 中，△ABC 是边长为 2 的正三角形， AD BD ， DC 3 ， DC 与平面
… … 装 …
/ / / / /
/ / / / /
/ / / / /
/ / / / /
/ / / / /
/ / / / /
a3
a1 ，则
S4 S2
… …
A． 7
…
6
B． 3 2
…
线 …
C． 21 32
D． 1 4
…
…
… 4．在四边形 ABCD 中， AB DC 3 ， AD BC 4 ，则 AC DB
…
…
○ A．1
B． 1
…
… …
C．7
D．12
…
…
…
理科数学试卷 第 1页（共 6 页）
5．函数 f (x) (x 3sin x) cos x 在 [π, π] 上的大致图象是
… / / /印 / / /
… / / /或 / / /
… / / /缺 / / /
订 / / /页 / / /
… / / /， / / /
… … … …
/ / / /
/ / / /
/ / / /
若 有 要
/ / / /
/ / / /
/ / / /
… / / /及 / / /
… / / /时 / / /
A． 2 3 5 abc
B． 2 5 3 acb
C． 3 2 5 bac
D． 5 3 2 cba
理科数学试卷 第 2页（共 6 页）
8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为
A．50
B．351
C．551
D．751
9．鞋匠刀形是一种特殊的图形，若 C 是线段 AB 上的任一点，分别以 AB ， BC ， CA 为直径
学校：
班级：
姓名：
准考证号：
绝密★启用前
…
…
… …
全国名校 2020 年高三 5 月大联考（新课标Ⅰ卷）
…
… …
理科数学
…
…
○
本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
… …
注意事项：
○
… …
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
○
…
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
/ / /， / / / …
/ / / / / /
/ / / / / /
/否 /
/则 /
/ / / /
责 任 自
/ / / /
/ / / / / /
/ / / / / /
… … … … … …
/ / /负 / / / …
/ / /。 / / / …
////// …
////// …
////// 线
////// …
若 有 要
/ / / /
/ / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / /
… … … … … … … … … 订 … … … …
/ / /及 / / / …
/ / /时 / / / …
/ / /更 / / / …
/ / /换 / / / …
…//////
线//////
…//////
…//////
…//////
…//////
…//////
…//////
… … … … …
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / / / / /
/ / / / / /
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…//////
理科数学试卷 第 3页（共 6 页）
理科数学试卷 第 4页（共 6 页）
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////// …
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////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// …
////// 装
////// …
////// …
////// …
////// … / / /考 / / / … / / /生 / / / … / / /注 / / / …
… / / /更 / / /
… / / /换 / / /
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
… / / /， / / /
… / / /否 / / /
/ / /意 / / / …
/ / /清 / / / …
/ / /点 / / / …
/ / / / / / / / / / / / / / /
/ / / / / / / / / / / / / / /
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)试卷讲评
1
1
k lg 33
，5 5 c k lg 5
1 1 k lg 5 5
1
1
k lg 55
，由于
1
1
1
1
1
1
(33 )6 9 (22 )6 8 ，所以 33 22 ，lg 33 lg 22 0 ，
1
1
，于是
3
2
1
，由于 (55 )10
25
1
1
ba
lg 33 lg 22
1
1
1
1
1
(22 )10 32 ，所以 55 22 ，0 lg 55 lg 22 ，
A U B {x | 2 x 1} .故选 B．
2．已知复数 z 满足 iz 2 i ，则在复平面内复数 z 表示的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．D 【解析】由 iz 2 i ，得 z 2 i 1 2i ，则 z 1 2i ，在复平面内复数 z 表示 i
的点是 (1, 2) ，位于第四象限.故选 D．
3．已知等比数列{an} 中， Sn 是其前 n 项和，且 2a5
a3
a1 ，则
S4 S2
A． 7 6
B． 3 2
C． 21 32
D． 1 4
3．B【解析】设等比数列{an} 的公比为 q(q 0) ，则由 2a5 a3 a1 ，得 2a1q4 a1q2 a1 0 ，
即 2q4
q2
1 0 ，即 (2q2
1)(q 2
1) 0 ，所以 q2
1 ，则 2
S4 S2
1 q4 1 q2
1+q2
3 ，故 2
数学(理科A卷)答案2020年五月 高考全省联考
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2020年高考(新课标Ⅰ卷)全国名校5月大联考 理科综合试题+全解全析(纯word版)
2020年高考（新课标Ⅰ卷）全国名校5月大联考理科综合本卷满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ca 40As 75 Cd 112一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．内质网参与细胞内蛋白质和脂质的合成以及钙离子稳态的调控等，其与多种膜性细胞结构建立膜接触位点，进行物质的交换、信号转导、膜动态性调控等生理活动，这种细胞器之间通过膜接触位点发生相互联系的现象称为细胞器互作。
下列关于细胞器互作的推断错误的是A．细胞器互作现象不可能发生于原核细胞内B．膜接触位点一定依赖于蛋白质和脂质的相互识别作用C．内质网可以与高尔基体、线粒体等发生细胞器互作D．浆细胞内的细胞器互作现象可能比心肌细胞内的多2．小肠上皮细胞的肠腔侧存在转运葡萄糖的载体蛋白SGLT，在转运葡萄糖的过程中，Na+顺浓度梯度进入小肠上皮细胞时产生的电化学梯度为其提供能量；在其对侧则含转运葡萄糖的载体蛋白GLUT2，如图所示，下列关于跨膜运输方式的叙述，错误的是A．哺乳动物成熟的红细胞吸收葡萄糖的方式与图中GLUT2介导的方式相同B．图中SGLT介导的运输方式还可能存在于肾小管上皮细胞中C．小肠上皮细胞吸收葡萄糖的方式是协助扩散D．图中Na+外流、K+内流属于主动运输3．下列关于生物进化的叙述，正确的是A．捕食者的存在往往不利于增加物种多样性B．无机环境与生物之间会发生共同进化C．生物进化的标志是生物间出现了生殖隔离D．抗生素会使细菌逐代向抗药性增强的方向变异4．如图为探究某一浓度生长素对不同类型拟南芥下胚轴插条形成不定根影响的结果，IAA14蛋白和ARF17是参与生长素信号传导的因子，下列相关分析正确的是A．IAA14蛋白功能获得型的突变可导致slr-1突变体对IAA的敏感性增强B．该实验结果表明生长素的生理作用具有两重性的特点C．由图可知IAA14蛋白可以促进插条不定根的形成D．生长素通过促进细胞伸长来促进不定根的生成5．海洋资源是有限的，能让一片海域的海产品产量最大化是人类的追求。
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(全解全析)
全国名校2020年高三5月大联考（新课标I 卷）理科数学·全解全析1．B 【解析】因为{|01}A x x =<≤，21{|2320}{|2}2B x x x x x =+-<=-<<，所以{|21}A B x x =-<≤U .故选B ．2．D 【解析】由i 2i z =-+，得2i12i iz -+==+，则i 12z =-，在复平面内复数z 表示的点是(1,2)-，位于第四象限.故选D ．3．B 【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，则由5312a a a +=，得4211120a q a q a +-=，即42210q q +-=，即22(21)(1)0q q -+=，所以212q =，则42422131+12S q q S q -===-，故选B ． 4．B 【解析】()()AC DB AC AB AD AC AB AC AD AC AB AB BC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=⋅-+⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()341AB AD BC AD AC AD AB BC AD DC AB BC AD ⋅-⋅=-⋅-⋅=⋅-⋅=-=-uu u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选B ．5．D 【解析】()(3sin )cos ()f x x x x f x -=-+=-，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ．当π2x =时，π()02f =，故排除A ．当π4x =时，ππ()(044f =<，故排除C ．因此选D ．6．C 【解析】A 项，由图可知，甲企业的月收入比乙企业的月收入都高，所以该项正确； B 项，由图可知，甲、乙两企业的月收入差距如下表：显然7月份甲、乙两企业的月收入差距最大，为600，故该项正确； C 项，3月份到10月份，甲企业月收入的平均增长量为800300500125882-==；乙企业月收入的平均增长量为500100508-=，显然125502>，故该项错误； D 项，甲企业1月份到10月份月收入的平均增长量为8004004010-=；乙企业1月份到10月份月收入的平均增长量为5002003010-=，显然4030>，所以该项正确.综上，选C. 7．C 【解析】设lg 2lg3lg5a b ck ===，由于,,a b c 是正实数，所以0k >，lg 2,lg3a k b k ==，lg5c k =，1222111lg 2lg 2lg 22a k k k ===，1333111lg3lg3lg33b k k k ===，1555111lg5lg5lg55c k k k ===，由于163(3)9=>162(2)8=，所以113232>，1132lg3lg 20>>，113211lg 2lg3<，于是32b a<，由于1105(5)25=<1102(2)32=，所以115252<，11520lg5lg 2<<，115211lg 2lg5>，于是52c a >，即25a c <，因此325b a c<<.故选C ．8．D 【解析】开始，1,1n S ==，故1112S =⨯+=，2113n =⨯+=，显然320>不成立，故继续循环；3217S =⨯+=，2317n =⨯+=，显然720>不成立，故继续循环；77150S =⨯+=，27115n =⨯+=，显然1520>不成立，故继续循环；15501751S =⨯+=，215131n =⨯+=，显然3120>成立，此时结束循环，故输出S 的值为751.故选D.9．C 【解析】设以BC ，CA 为直径所作的两个半圆所在圆的半径分别为1r ，2r ，则以AB 为直径所作的半圆所在圆的半径为12r r +，所以211π2S r =Ⅰ，221π2S r =Ⅱ，222121212111π()πππ222S r r r r r r =+--=Ⅲ，S S +=ⅠⅡ 2222121212111πππ()π222r r r r r r S +=+≥=Ⅲ，又1S p S S S =++ⅠⅠⅡⅢ，2S p S S S =++ⅡⅠⅡⅢ，3S p S S S =++ⅢⅠⅡⅢ，则123p p p +≥.故选C ．10．D【解析】由题意，2()sin 2sin()23xf x x x ωωωπ=++，令3t x ωπ=+，则当02x π≤≤时，π323t ωππ≤≤+，因为()f x 的图象在[0,]2π上只有一个最高点和一个最低点，所以3π52232ωπππ≤+<，解得71333ω≤<，又因为*ω∈N ，所以3ω=或4，设函数()f x 的最小正周期为T ，则 ①当3ω=时，()2sin(3)3f x x π=+，23T π=；由33x k π+=π(k ∈Z ，下同)，得+93k x ππ=-，所以()f x 的图象的对称中心为(,0)93k ππ-+；由332x k ππ+=+π，得()f x 的图象的对称轴为183k x ππ=+；由232232k x k πππ-+π≤+≤+π，得522183183k x k ππ-+π≤≤+π，故函数()f x 的单调递增区间为522,183183k k ππ[-+π+π]． ②当4ω=时，()2sin(4)3f x x π=+，242T ππ==；由43x k π+=π(k ∈Z ，下同)，得+124k x ππ=-，所以()f x 的图象的对称中心为(,0)124k ππ-+；由432x k ππ+=+π，得()f x 的图象的对称轴为244k x ππ=+；由242232k x k πππ-+π≤+≤+π，得511++242242k x k ππ-π≤≤π，故函数()f x 的单调递增区间为511[+,+242242k k ππ-ππ]． 综上，对比选项可知，选项D 一定错误，故选D ．11．A 【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线为1x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线:AB 1x my =+，代入24y x =，得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，1||||AC y =，2||1BD x =+，由于2224y x =，所以22212214()444y y x y -===，121214||||||1||1||AC BD y x y y +=++=++，令1||(0)y t t =>，24()1f t t t =++，则33388()1t f t t t-'=-=，当02t <<时，()0f t '<，当2t >时，()0f t '>，所以()f t 在(0,2)上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，则当2t =时，()f t 取得最小值为(2)2114f =++=，即||||AC BD +的最小值为4.故选A ．12．C 【解析】如图，取AB 的中点E ，连接,ED CE ，根据AC BC =，AD BD =，得,CE AB DE AB ⊥⊥，又DE CE E =I ，所以AB ⊥平面DCE ，又AB ⊂平面ABC ，则平面DCE ⊥平面ABC ，可得DCE ∠是DC 与平面ABC 所成的角，即60DCE ∠=o .又在DCE △中，3EC =，3DC =，所以DCE △是等边三角形，则3DE =，又1AE BE ==，DE AB ⊥，所以2AD BD ==，设三棱锥D ABC -外接球的球心为O ，过点O 作OF DE ⊥于F ，OG CE ⊥于G ，则点,F G 分别是,DAB ABC △△的外接圆的圆心，则OG OF =，连接OE ，在Rt OEG △中，30OEG ∠=o ，133EG CE ==，所以313OG EG ==，连接,OB BG ，在Rt OBG △中，23BG =，因此22211213999R OG BG =+=+=，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为2524ππ9S R ==.故选C ．13．210x y -+= 【解析】当0x =时，1y =，2cos2sin y x x '=-，02x y ='=，所以所求的切线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.14．1560 【解析】2555(32)(1)2)(x x x x ++=++，5(1)x +的展开式的通项为515C r rr T x -+=,5(2)x +的展开式的通项为515C 2r r rr T x -+'=，故25(32)x x ++的展开式中3x 的系数为23524335555455C C 2C C 2C C +⨯⨯⨯⨯+⨯⨯4555252C C 2404008003201560+=+++=⨯⨯.15．15 【解析】由112S a ==，+12n n a a -=可知数列{}n a 是首项1=2a ，公差=2d 的等差数列，所以1+(1)22(1)2n a a n d n n =-=+-=，1()=(1)2n n a a n S n n +=+，所以2646464==11111n S n n n n n n +++++-+++，又641161n n ++≥+，当且仅当6411n n +=+，即7n =时等号成立，故64+1n S n +的最小值为15．16【解析】不妨取双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线为b y x a =，则过点2(,0)c A a且与此渐近线垂直的直线方程为2()a c y x b a=--，与b y x a =联立，得(,)P a b ，设点00(,)Q x y ，则20000(,),(,)cAQ x y QP a x b y a =-=--u u u r u u u r ，又3AQ QP =u u u r u u u r ，所以200003()3()c x a x a y b y ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩，即2003434c a a x b y ⎧+⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，根据点00(,)Q x y 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上，得22222(3)911616c a b a a b +-=，即2222(3)916c a a a a+-=，即235c a a a +=，即22c a a =，222c a=，所以22e =，又1e >，则e 17．（12分）【解析】（1）由1sin 2S ab C =，及2cos b bc ab C +-=，得2cos sin b bc ab C C +-=，即cos sin b c a C C +-，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin sin sin cos sin B C A C A C +-，（3分） 又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin sin sin A C C A C +=， 又sin 0C ≠，所以cos 1A A +cos 1A A -=，π1sin()62A -=，因为0πA <<，所以ππ66A -=，π3A =.（6分） （2）方法一：由余弦定理，得222π2cos ,3a b c bc =+-即22()3a b c bc =+-，又ABC △的周长为12a b c ++=，则12()a b c =-+，因此22[12()]()3b c b c bc -+=+-，即14424()3b c bc -+=-，488()bc b c +=+≥b c =时取等号.（8分）(0)t t >，则216480t t -+≥，(12)(4)0t t --≥，又12()0a b c =-+>，则12b c +<，根据b c +≥6<，即6t <， 因此由(12)(4)0t t --≥，得04t <≤，则当b c =时，t 取得最大值4，即bc 取得最大值16，（10分）又ABC △的面积为13sin 432S bc A bc ==≤，因此ABC △的面积的最大值为43.（12分）方法二：ABC △的面积为21π33()sin 234b c S bc bc +==≤⨯，当且仅当b c =时取等号，（8分） 又π3A =，则当b c =时，ABC △为等边三角形，又ABC △的周长为12，则4b c a ===，（10分） 故2max3(44)434S +=⨯=.（12分） 18．（12分）【解析】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥，根据平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP I 平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面ABP ，则BC AP ⊥，（2分） 又AP PC ⊥，根据BC PC C =I ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥平面PBC ， 又PB ⊂平面PBC ，因此AP PB ⊥.（5分）（2）过点P 作PO AB ⊥于点O ，由于平面ABP ⊥平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，OP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知CB ⊥平面ABP ，所以CPB ∠是直线PC 与平面ABP 所成的角，即3sin 4CPB ∠=， 在PBC △中，90CBP ∠=︒，3sin 4CB CPB CP ∠==， 设3CB =，则4CP =，22437PB -=（7分）由于PO ⊥平面ABC ，所以可以取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，（8分）由（1）知，AP PB ⊥，所以在直角三角形APB 中，PO AB ⊥，3AP =，4AB =，7PB =， 所以94AO =，74BO =，37PO =， 于是37P ，9(,0,0)4A -，7(,3,0)4C ，(4,3,0)AC =u u u r ，937(4AP =u u u r ，设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则由00AC AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n，得430904x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 取3x =-，则(=-n ，（10分）则9cos ,||||16⋅===⋅m nm n m n ， 显然二面角P AC B --的平面角为锐角， 所以二面角P AC B --的余弦值为916.（12分） 19．（12分）【解析】（1）过点(2,1)P 且斜率为0的直线与椭圆C 只有一个公共点，则1b =， 设椭圆C 的焦距为2c ，因为椭圆Cc e a ==（2分） 根据222a b c =+，得22213a a =+，则23a =，因此椭圆C 的标准方程为2213x y +=.（4分）（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:l y kx m =+，代入2213x y +=，得222(31)6330k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，根据根与系数的关系，得2121222633,3131km m x x x x k k -+=-=++，（6分） 设0(3,)Q y ，由点,,B P Q 三点共线，直线AQ 的斜率为1，得011221311322y y x y y x -⎧=⎪-⎪⎨--⎪=⎪--⎩，消去0y ，得211213=12y y x x -+-+-，即2121212(2)2()30x y y x x x x ---++-=，（7分） 根据1122,y kx m y kx m =+=+，得2121212(2)()()2()30x kx m kx m x x x x -+-+-++-=，122112(1)()22()330k x x m k x kx x x m -+--++--=，21122233612(1)()()2330313131m km km k m k x kx m k k k --+-------=+++，21222(33)(1)6()1233()0313131m k km m k kmm m k x k k k --------+=+++，222212433()031k m km k m m km k m k x k ++++++⋅++=+，12()()(3)3()031km k m k m m k m k m k x k ++++++⋅++=+，12()(13)3()031k m km m k m k x k ++++⋅++=+， 当0m k +=时，等式恒成立，此时直线:l y kx k =-，恒过点(1,0)， 由于点(1,0)在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 有两个交点.（10分）当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：3x x =，3333(,),(,)A x y B x y -，且223313x y +=，设0(3,)Q y ，由点,,B P Q 三点共线，直线AQ 的斜率为1，得033331311322y y x y y x -⎧=⎪-⎪⎨---⎪=⎪--⎩，化简得333(1)(3)0x y x --+=，则31x =，故直线l 恒过点(1,0). 综上，可得直线l 经过定点(1,0).（12分） 20．（12分）【解析】（1）()e (1)e (1)e ax ax ax f x a x ax a '=++=++， 当0a =时，()1f x x =+，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数； 当0a >时，令()0f x '>，则1a x a +>-，令()0f x '<，则1a x a +<-，所以()f x 在1(,)a a+-∞-上是减函数，在1(,)a a+-+∞上是增函数；（2分） 当0a <时，令()0f x '>，则1a x a +<-，令()0f x '<，则1a x a +>-，所以()f x 在1(,)a a+-+∞上是减函数，在1(,)a a+-∞-上是增函数. 综上，当0a =时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为1(,)a a +-+∞，单调递减区间为1(,)a a +-∞-；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(,)a a+-∞-，单调递减区间为1(,)a a+-+∞.（4分） （2）当0a ≥时，对任意的0x ≤，有10ax ->，若1x ≤-，则10x +≤，所以()0f x ≤，于是有()1f x ax ≤-成立.令()e 1(0)x h x x x =--≥，则()e 10x h x '=-≥，()h x 在[0,)+∞上是增函数， 所以()(0)0h x h ≥=，即e 1x x ≥+， 若10x -<≤，因此有e 1ax ax -≥-+，即11e ax ax ≥-，又10ax ->，所以1e 1axax≤-， 根据10x -<≤，可得10x +>，于是221(21)()(1)(1)e (1)(1)11axx a x a x f x ax x ax ax ax ax++---=+--≤--=--， 其中22(21)0,0a x a x +≤-≤，所以()(1)0f x ax --≤，即有()1f x ax ≤-成立. 因此，当0a ≥时，对任意的0x ≤，有()1f x ax ≤-成立，符合题意.（7分） 令()()(1)(1)e (1)ax g x f x ax x ax =--=+--，则对任意的0x ≤，有()0g x ≤恒成立，()(1)e ax g x ax a a '=+++，令()()m x g x '=，则()(2)e ax m x a ax a '=++，当102a -≤<时，若0x ≤，则(2)0a ax a ++<，()0m x '<，所以()m x 在(,0]-∞上是减函数，则()(0)210m x m a ≥=+≥，于是()g x 在(,0]-∞上是增函数，则()(0)0g x g ≤=，符合题意.（9分） 当12a <-时，(0)210g a '=+<，(1)e a g a -'-=+，根据e 1(0)x x x ≥+≥，得(1)e 110a g a a a -'-=+≥-++=>，所以存在0(1,0)x ∈-，使得0()0g x '=，且当00x x <<时，()0g x '<，于是()g x 在0(,0)x 上是减函数，()(0)0g x g >=，这与()0g x ≤恒成立矛盾，不符合题意. 因此，实数a 的取值范围是1[,)2-+∞.（12分）21．（12分）【解析】（1）当m =3，n =4时，对一个周期而言，有m =3个钩子通过每一工作台上方，则每个挂钩被一名工人触到的概率是13；（1分）由工人生产的独立性，可知任一只钩子不被挂上产品的概率是4116(1)381-=，（2分）即每只钩子为空钩的概率1681p =，（3分） 故传送系统的效率163(1)(1)65814108s m p D n n⨯--====.（4分） （2）对一周期而言，有m 个钩子通过每一工作台上方， 则每个挂钩被一名工人触到的概率是1m；（5分） 由工人生产的独立性，可知任一只钩子不被挂上产品的概率是1(1)nm-，（6分） 则传送系统的效率1[1(1)]n m mnD -=-，（8分）若m 远大于n ，则2211[1(1)][1(1)]122n m m n n n n D n m n m m m--=--≈--+=-.（10分）欲使D 提高，需12n m-减小，而n 不可能无限增加，所以有效的方法是通过增加一个周期内钩子的数量来提高传送效率．（12分）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）由题意知边OB 的极坐标方程是0(02)θρ=≤≤， 边BC 的极坐标方程是πcos 2(0)4ρθθ=≤≤，边CD 的极坐标方程是ππsin 2()42ρθθ=≤≤，边OD 的极坐标方程是π(02)2θρ=≤≤.（4分）（2）由题意，设POB θ∠=，则||cos 2OP θ=，2||cos OP θ=， 且π||sin()24OQ θ+=，2||πsin()4OQ θ=+，（7分）则POQ △的面积1122π2||||sin sin π22cos 4cos (sin cos )sin()4S OP OQ POQ θθθθθ=∠=⨯⨯⨯=++2441)11πsin 21cos 2sin 2(1cos 2))1224θθθθθ===≥=++++++，当ππ242θ+=，即π8θ=时，POQ △的面积取得最小值1).（10分） 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1a =时，()4f x ≥|1||2|4x x ⇔++-≥， 化为1124x x ≤-⎧⎨-≥⎩或1234x -<<⎧⎨≥⎩或2214x x ≥⎧⎨-≥⎩，（2分）解得32x ≤-或x 无解或52x ≥，所以32x ≤-或52x ≥，所以不等式()4f x ≥的解集为3{|2x x ≤-或5}2x ≥．（4分）（2）由题意得1z y z+的取值范围是()f x 值域的子集．∵122y z +=，∴421y z +=，∴1424226z z y z z y y z y z y z ++=+=++≥=，（6分） 当且仅当4z y y z =，即11,84y z ==时，取等号， ∴1z y z+的取值范围是[6,)+∞，（7分）由于()|||2||()(2)|3||f x x a x a x a x a a =++-≥+--=， ∴()f x 的值域为[3||,)a +∞，（8分）由题意得3||6a ≤，即||2a ≤，∴22a -≤≤，（9分） 即实数a 的取值范围是[2,2]-．（10分）。
全国名校2020年高三5月大联考理科数学(新课标Ⅰ卷)(考试版)
理科数学试卷 第1页（共6页） 理科数学试卷 第2页（共6页）………………………○……○……○……○……○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………学校： 班级： 姓名： 准考证号：绝密★启用前全国名校2020年高三5月大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|01}A x x =<≤，2{|2320}B x x x =+-<，则A B =A ．{|21}x x -<<B ．{|21}x x -<≤C ．{|1}x x ≤D ．1{|0}2x x <<2．已知复数z 满足i 2i z =-+，则在复平面内复数z 表示的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S = A ．76 B ．32C ．2132D ．144．在四边形ABCD 中，3AB DC ⋅=，4AD BC ⋅=，则AC DB ⋅=A ．1B ．1-C ．7D ．125．函数()(3sin )cos f x x x x =-在[π,π]-上的大致图象是6．甲、乙两家企业1月份到10月份的收入情况统计如图所示，则下列说法中错误的是A ．甲企业的月收入比乙企业的月收入高B ．7月份甲、乙两企业的月收入差距最大C ．3月份到10月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业低D ．1月份到10月份月收入的平均增长量甲企业比乙企业高7．设,,a b c 是正实数，且lg 2lg3lg5a b c ==，则下列不等式正确的是 A ．235a b c<< B ．253a c b<< C ．325b a c << D ．532c b a<<理科数学试卷 第3页（共6页） 理科数学试卷 第4页（共6页）////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// ////// //////………………………装…………………………………………………订…………………………………………………线………………………………考生注意清点试卷有无漏印或缺页︐若有要及时更换︐否则责任自负︒8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为A ．50B ．351C ．551D ．7519．鞋匠刀形是一种特殊的图形，若C 是线段AB 上的任一点，分别以AB ，BC ，CA 为直径且在AB 的同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形，如图中的阴影部分，其中以BC ，CA 为直径所作的两个半圆部分分别记作Ⅰ，Ⅱ，阴影部分记作Ⅲ．在以AB 为直径的半圆中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．13p p <B ．23p p >C ．123p p p +≥D ．123p p p +<10．已知函数2*()sin 233()2xf x x ωωω=+∈N ，且()f x 的图象在[0,]2π上只有一个最高点和一个最低点，则下列说法中一定错误的是 A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 的图象关于2(,0)9π中心对称 C ．()f x 的图象关于724x π=对称 D ．()f x 在(0,)6π上单调递增11．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于,A B 两点，过点A 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，过点B 作抛物线的准线的垂线，交准线于点D ，则||||AC BD +的最小值是 A ．4B ．3C ．5D ．212．在三棱锥D ABC -中，ABC △是边长为2的正三角形，AD BD =，3DC =DC 与平面ABC 所成的角为60，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为A ．50π9B ．5πC ．52π9D ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届全国大联考高三联考数学(理)试题(解析版)
x y 2 0,
范围是（ ）
A．[1, )
B． (, 1]
C． (1, )
D． (, 1)
【答案】A 【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断 a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为 z ax y 的最大值为 2a 6 ，所以 z ax y 在点 A(2, 6) 处取得最大值，则 a 1 ，即 a 1 .
，则可得结论.
【详解】
第 2 页 共 20 页
0
(
1
)
2 5
(1)0
1，
33
(
2
)
1 3
(2)0
1，
5
5
log2
1 3
log2
1
0
，
c a b .
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问
题，其中选择中间量 0 和 1 是解题的关键，属于基础题.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.
2．设集合 A {x | y x 3}, B {x |1 x 9} ，则 (ðR A) B （ ）
A． (1,3)
B． (3,9)
C．[3, 9]
D．
【答案】A
【解析】求函数定义域求得集合 A ，由此求得 ðR A B .
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
5．已知
a
1 3
2
5
,b
2 5
1 3
,
c
log2
1 3
，则（
）
A． a b c
理科数学-全国名校2020年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(答案及评分标准)
2
34
4
4
又 A = π ，则当b = c 时，△ABC 为等边三角形， 3
又△ABC 的周长为 12，则b = c = a = 4 ，（10 分）
故 （ 分） Smax =
3 × (4 + 4)2 = 4
4
4
3.
12
．（ 18 12 分）
【解析】（1）由四边形 ABCD 是矩形，得 AB ⊥ BC ，根据平面 ABP ⊥ 平面 ABC ，平面 ABP ∩ 平面
因此 ，即 ， ，当且仅当 [12 − (b + c)]2 = (b + c)2 − 3bc 144 − 24(b + c) = −3bc 48 + bc = 8(b + c) ≥ 16 bc
b=c
时取等号.（8 分）
设 ，则 ， ， bc = t(t > 0) t2 −16t + 48 ≥ 0 (t −12)(t − 4) ≥ 0
sin A sin B sin C
又 ，所以 ， sin B = sin(A + C) = sin AcosC + cos Asin C
cos Asin C + sin C = 3 sin Asin C
又 ，所以 ，即 ， ， sinC ≠ 0
cos A + 1 = 3 sin A
3 sin A − cos A = 1 sin( A − π ) = 1
ABC = AB ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 BC ⊥ 平面 ABP ，则 BC ⊥ AP ，（2 分） 又 AP ⊥ PC ，根据 BC ∩ PC = C ， BC ⊂ 平面 PBC ， PC ⊂ 平面 PBC ，所以 AP ⊥ 平面 PBC ，
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)联考 理科数学+答案+全解全析
D． 2 2
13． (x + 2 y −1)5 的展开式中 x2 y2 的系数为___________.
14．若
sin(α
+
π )
6
=
−
1 3
,α
∈ (0, π)
，则
sin(2α
+
π )
3
=
___________.
15．已知双曲线 E
：
x2 a2
−
y2
= 1(a
>
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
a,b
=
A． 2 5 5
B． − 2 5 5
C． − 5 5
D． 5 5
9．已知[x] 表示不超过
x
的最大整数，数列{an} 满足
an
=
[
(−1)
n −1 ] 2
n
2
，则数列{an} 的前
6030
C． 3660
理科数学 第 2 页（共 13 页）
D． −3660
10．将函数 f (x) =
如图所示，正方形 ABCD 所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，MB∥AN， NA = AB = 2 ， BM = 4 ，
CN = 2 3 .
（1）证明：平面 DMN ⊥ 平面 BCN ； （2）求二面角 C − MN − D 的余弦值.
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
x2 C： a2
+
y2 b2
不迟到的概率的范围； （2）在这 10 天中任取 2 天，记该学生早上从家出发到教室所花时间的差的绝对值为 Y ，求 Y 的分布列 和数学期望. 附：若随机变量 X 服从正态分布 N (µ,σ 2 ) ，则 P(µ − σ < X < µ + σ ) = 0.6826 ，P(µ − 2σ < X < µ + 2σ ) = 0.9544 ， P(µ − 3σ < X < µ + 3σ ) = 0.9974 . 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) = cos(x −1) + x(1 − ln x) . （1）设 g(x) = f ′(x) ，求证： g(x) < 1 ；