光纤光学讲义二
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光纤光学
光纤坚硬而又弯曲灵活，强度极大；光学性质：取决于结构和 成分，最明显的就是损耗或信号衰减特性等。光纤是绝缘体， 它不能直接传输电信号和能量。
1.4 光纤与通信网络 光纤的带宽和具有吸引力的特征使其成为理想的线缆 传输媒介。对于通信系统，光纤是具有强大运载信息 能力的工具。光纤工业已经进入显著的繁荣期。在过 去的20年里，一根光纤所能承载的最大数据率差不多 平均每年翻一番，比电子行业的摩尔定律（每18个月 翻一番）还要快 1.4 光纤与通信网络（续） （1）全球海底网络（2）陆地网络 （3）卫星系统与光纤网络（4）光纤到户 （5）局域网
光纤传感技术应用： 工业、制造、土木工程、军用科技、环境保护、地质勘
探、石油探测、生物医学等。
光纤传感器种类： 包括湿度、温度、应变、应力、振动、声音和压力传感
器等。 （1）光纤光栅传感器（2）光纤法布里－珀罗传感器（3）光 纤白光干涉传感器 （4）光纤陀螺传感技术（5）其他光纤传感技术 1.6 光纤的发展 种类：多模光纤 单模光纤、保偏光纤、塑料光纤、掺杂 光纤、光子晶体光纤等数十种； 材料：石英光纤 聚合物/塑料光纤、光子晶体光纤、掺 稀土光纤等
z ds
路径 dr
r r+dr
ls
ls＝
dr ds
dr=ds
o
y
x
图 光线传播路径示意图
z
a
b
r
r=(s/n)a+b
o
y
x
图 均匀介质中路径方程的解
矢量b 指出了光线的起始位置； 矢量a 则指明了光线的传播方向。
总结
当光纤纤芯的横向尺寸（直径）远大于光 波长时，可以用较成熟的几何光学（射线光 学）分析法进行分析；
在工业发达国家及我国：干线大容量通信线路不再新建 同轴电缆，而全部铺设光缆。
1.4 光纤与通信网络 光纤的带宽和具有吸引力的特征使其成为理想的线缆 传输媒介。对于通信系统，光纤是具有强大运载信息 能力的工具。光纤工业已经进入显著的繁荣期。在过 去的20年里，一根光纤所能承载的最大数据率差不多 平均每年翻一番，比电子行业的摩尔定律（每18个月 翻一番）还要快 1.4 光纤与通信网络（续） （1）全球海底网络（2）陆地网络 （3）卫星系统与光纤网络（4）光纤到户 （5）局域网
光纤传感技术应用： 工业、制造、土木工程、军用科技、环境保护、地质勘
探、石油探测、生物医学等。
光纤传感器种类： 包括湿度、温度、应变、应力、振动、声音和压力传感
器等。 （1）光纤光栅传感器（2）光纤法布里－珀罗传感器（3）光 纤白光干涉传感器 （4）光纤陀螺传感技术（5）其他光纤传感技术 1.6 光纤的发展 种类：多模光纤 单模光纤、保偏光纤、塑料光纤、掺杂 光纤、光子晶体光纤等数十种； 材料：石英光纤 聚合物/塑料光纤、光子晶体光纤、掺 稀土光纤等
z ds
路径 dr
r r+dr
ls
ls＝
dr ds
dr=ds
o
y
x
图 光线传播路径示意图
z
a
b
r
r=(s/n)a+b
o
y
x
图 均匀介质中路径方程的解
矢量b 指出了光线的起始位置； 矢量a 则指明了光线的传播方向。
总结
当光纤纤芯的横向尺寸（直径）远大于光 波长时，可以用较成熟的几何光学（射线光 学）分析法进行分析；
在工业发达国家及我国：干线大容量通信线路不再新建 同轴电缆，而全部铺设光缆。
光纤光学-文档资料
22
折射光线
条件:
0< n(r0) cosθz(r0)<√n22-(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)
内散焦面半径: r = rr1
02.07.2020
23
GIOF中的最佳折射率分布
近轴子午光线： P2/ A
02.07.2020
P2/n(r0)nc0 oA sz(r0) 24
02.07.2020
21
隧道光线
条件:
n2> n(r0) cosθz(r0)>√n22－(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)
光线存在区域: rl1 < r < rl2 r > rl3
内散焦面半径：rl1 外散焦面半径：rl2 辐射散焦面半径: rl3
02.07.2020
(dz／dS)|r0 ＝ cosθz(r0)
r r r ˆ z z ˆ x
z r
er
r0
r0 d
z dz
ds
r0
dr
y
e
er
02.07.2020
11
轴向运动
分析轴向分量方程:
d n dz 0 dS dS
有： n(dz/dS)=const., 令其为 n , 则有
n ＝n(r)dz/dS＝n(r)cosθz(r)=n(r0)cosθz(r0)
＝r0n(r0)sinθz(r0)cosθφ(r0)
I ---- 第二射线不变量
02.07.2020
15
角向运动特点
• 光线的角动量：
r2ω=r2dφ/dt=
Ic/
2n 恒为常数
第二章 光纤光学的基本方程
第二章 光纤光学的基本方程
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
❖ 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。
❖ 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
n r
dr ds
dn ds
❖ 上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有
K
1
R
eR
n r nr
❖ 因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：
n r nr
0时，eR 与er 夹角小于
2
；
n r n r
0时，eR
与er
夹角大于
2
；
A B C A C B A B C
❖ 得到
{S r • S r }E0 n 2E0 0
即
S r • S r n 2 程函方程
或 S 2 n 2， S(r ) n r
或
S r
eR
❖ 即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
n’ n dr/ds
n’ >n
例3：光线在圆柱体中的传播
z
光线方程：d ds
n(r)
dr ds
n(r)
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：
设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：
麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程 程函方程与射线方程 波导场方程 模式及其基本性质
波动光学理论
❖ 用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光 纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性 质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及 其它许多特性。
❖ 采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理， 研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中 的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。
n r
dr ds
dn ds
❖ 上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有
K
1
R
eR
n r nr
❖ 因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：
n r nr
0时，eR 与er 夹角小于
2
；
n r n r
0时，eR
与er
夹角大于
2
；
A B C A C B A B C
❖ 得到
{S r • S r }E0 n 2E0 0
即
S r • S r n 2 程函方程
或 S 2 n 2， S(r ) n r
或
S r
eR
❖ 即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。
n’ n dr/ds
n’ >n
例3：光线在圆柱体中的传播
z
光线方程：d ds
n(r)
dr ds
n(r)
r
0
光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：
设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：
光纤光学PPT课件02
按材料分：
石英 纯度高, 通信 塑料 成本低,损耗大 红外光纤 极低理论损耗,用于跨洋通信等
特种光纤：
保偏(单偏振)光纤；有源光纤；晶体光纤 零/非零色散位移光纤；负色散光纤； 特殊涂层光纤；耐辐射光纤；发光光纤
1-2 光纤光学的基本方程
光纤光学的研究方法
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 研究内容
模式的场分量
模式场分布由六个场分量唯一决定： Ex Ey Ez Hx Hy Hz Er Ef Ez Hr Hf Hz
场的横向分量可由纵向分量来表示： 纵横关系式（1.2.25-1.2.28)—直角坐标系 （1.2.29-1.2.32)—直角坐标系
Ez 和 Hz 总是独立满足波导场方程。
模式命名
“芯 / 包”结构 凸形折射率分布，n1>n2 低传输损耗
光纤的分类(1)按用途分
通信光纤 传感光纤 传光光纤 传像光纤
光纤的分类(2)按折射率分布
光纤的分类(3)按光纤传输模式分
模式: 光场在光纤横截面上的分布, 横模 单模光纤: 针对给定的光波长,只允许一个模式传输
光纤的分类(4)按材料分
刘海荣 (Dr. Liu Hairong)
第一章 光纤光学的基本理论
光纤光学所涉及的基本问题
(1)模式的激励 (光的入射) (2) 模式的分布 (光线传播轨迹) (3)传输损耗 (损耗) (4)光信号的畸变 (色散) (5) 模式耦合
光纤技术所涉及的基本问题
(1)参数的测试技术 (2)自聚焦,准直技术 (3)光纤间连接技术,光纤与光源间的耦合技术 (4)光隔离滤波技术 (5)光的放大技术
根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命 名为:
(1)横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0;
石英 纯度高, 通信 塑料 成本低,损耗大 红外光纤 极低理论损耗,用于跨洋通信等
特种光纤：
保偏(单偏振)光纤；有源光纤；晶体光纤 零/非零色散位移光纤；负色散光纤； 特殊涂层光纤；耐辐射光纤；发光光纤
1-2 光纤光学的基本方程
光纤光学的研究方法
适用条件 研究对象 基本方程 研究方法 研究内容
模式的场分量
模式场分布由六个场分量唯一决定： Ex Ey Ez Hx Hy Hz Er Ef Ez Hr Hf Hz
场的横向分量可由纵向分量来表示： 纵横关系式（1.2.25-1.2.28)—直角坐标系 （1.2.29-1.2.32)—直角坐标系
Ez 和 Hz 总是独立满足波导场方程。
模式命名
“芯 / 包”结构 凸形折射率分布，n1>n2 低传输损耗
光纤的分类(1)按用途分
通信光纤 传感光纤 传光光纤 传像光纤
光纤的分类(2)按折射率分布
光纤的分类(3)按光纤传输模式分
模式: 光场在光纤横截面上的分布, 横模 单模光纤: 针对给定的光波长,只允许一个模式传输
光纤的分类(4)按材料分
刘海荣 (Dr. Liu Hairong)
第一章 光纤光学的基本理论
光纤光学所涉及的基本问题
(1)模式的激励 (光的入射) (2) 模式的分布 (光线传播轨迹) (3)传输损耗 (损耗) (4)光信号的畸变 (色散) (5) 模式耦合
光纤技术所涉及的基本问题
(1)参数的测试技术 (2)自聚焦,准直技术 (3)光纤间连接技术,光纤与光源间的耦合技术 (4)光隔离滤波技术 (5)光的放大技术
根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命 名为:
(1)横电磁模(TEM): Ez＝Hz＝0;
光纤光缆基础知识培训讲义
光纤光缆基础知识培训讲义第一部分光纤理论与光纤结构一.光及其特性：1. 光是一种电磁波。
可见光部分波长范围是： 390~760nm(毫微米).大于760nm部分是红外光，小于390nm部分是紫外光。
光纤中应用的是：850，1310，1550三种。
2.光的折射，反射和全反射。
因光在不同物质中的传播速度是不同的，所以光从一种物质射向另一种物质时，在两种物质的交界面处会产生折射和反射。
而且，折射光的角度会随入射光的角度变化而变化。
当入射光的角度达到或超过某一角度时，折射光会消失，入射光全部被反射回来，这就是光的全反射。
不同的物质对相同波长光的折射角度是不同的(即不同的物质有不同的光折射率)，相同的物质对不同波长光的折射角度也是不同。
光纤通讯就是基于以上原理而形成的。
二.光纤结构及种类：1.光纤结构：光纤裸纤一般分为三层：中心高折射率玻璃芯(芯径一般为50或62.5μm)，中间为低折射率硅玻璃包层(直径一般为125μm)，最外是加强用的树脂涂层。
2.数值孔径：入射到光纤端面的光并不能全部被光纤所传输，只是在某个角度范围内的入射光才可以。
这个角度就称为光纤的数值孔径。
光纤的数值孔径大些对于光纤的对接是有利的。
不同厂家生产的光纤的数值孔径不同(AT&TCORNING)。
3.光纤的种类：A. 按光在光纤中的传输模式可分为：单摸光纤和多模光纤。
多模光纤：中心玻璃芯教粗(50或62.5μm)，可传多种模式的光。
但其模间色散较大，这就限制了传输数字信号的频率，而且随距离的增加会更加严重。
例如：600MB/KM的光纤在2KM时则只有300MB的带宽了。
因此，多模光纤传输的距离就比较近，一般只有几公里。
单模光纤：中心玻璃芯教细(芯径一般为9或10μm)，只能传一种模式的光。
因此，其模间色散很小，适用于远程通讯，但其色度色散起主要作用，这样单模光纤对光源的谱宽和稳定性有较高的要求，即谱宽要窄，稳定性要好。
B.按最佳传输频率窗口分：常规型单模光纤和色散位移型单模光纤。
光纤光学-第二章
第12页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
在光的传播方向上,各点的光矢量在确定的平面内，这种光称 为平面偏振光。也由于在垂直于传播方向的平面内，平面偏 振的光矢量端点的轨迹为一直线，又称为线偏振光。
E
振动面
符号表示
v
3）圆偏振光与椭圆偏振光 传播方向相同、振动方向相互垂直、相位差恒定的两线偏振 光叠加（或组合）可合成光矢量有规则变化的圆偏振光或椭 圆偏振光。
2 2 2 2 2 2 x y z
2
1 1 2 (r ) 2 2 2 r r r r z
2
直角坐标系
第7页
圆柱坐标系
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
自由介质中的单色均匀平面波
i (t kr ) E (r , t ) E0e
y 右旋 E 左旋 Ey
O
Ex
x
第15页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
第16页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
§1-2 波导方程
矩形波导
圆波导
微带线
电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存在，在横向以“驻波” 的形式存在。
第17页
《光纤光学》第二章 一、波导方程
光纤光学基本方程
E 2 E E 0 2 t
第13页
《光纤光学》第二章
光纤光学基本方程
设电场强度的瞬时值为
E x ( z, t ) e x Exm sin( t kz)
在空间任一固定点，电场强度矢量的端点随时 间的变化轨迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种极 化特性称为线极化，其极化方向为 x 方向。
chapter光纤光学ppt课件
Pin(dBm)=10log10[Pin(mW)/1mW] =10log10[200×10-3mW/1mW]=-7dBm
在z=30km时的输出功率（用dBm表示） Pout(dBm)=Pin(dBm)-αz
=-7dBm-0.8dB/km×30km =-31dBm
Pout=10-31/10(mW)=0.79×10-3mW=0.79uW
整理ppt
35
2.群延时
延时差：
d( 1 )
g
Vg d
色散系数
整理ppt
36
3.色散系数
引进色散系数D，指的是光信号在单位轴向距离上、单位波长间隔
产生的时延差：Dd dgd d V 1 g 2 2c2 cd d2n 2
群速率色散参数β2
()n()c01012202...
mdd mm0
(dB /km )1 z0log10[P P ((0 z))]4.343 p
整理ppt
5
dB=10log10(PA/PB)是功率增益的单位，是一个相对值。 例如：PA的功率比PB的功率大一倍，那么
10log10(PA/PB)=10log10(2)=3dB
为了方便计算光纤链路中的光功率，通常将dBm作为光功率 的运算单位，这个单位的含义是相对于1mW的功率。
=10log10[PA(mW)/PB(mW)] 例1：如果PA的功率为46dBm，PB的功率为40dBm,则PA比PB大 6dB。
46dBm-40dBm=6dB
10log10[PA/PB]=6 PA/PB=100.6=3.98≈4
整理ppt
7
例2：设想一根30km长的光纤，在波长1300nm处的衰减为 0.8dB/km，如果我们从一端注入功率为200uW的光信号，求 其输出功率Pout。 解：首先将输入功率的单位转换成dBm。
在z=30km时的输出功率（用dBm表示） Pout(dBm)=Pin(dBm)-αz
=-7dBm-0.8dB/km×30km =-31dBm
Pout=10-31/10(mW)=0.79×10-3mW=0.79uW
整理ppt
35
2.群延时
延时差：
d( 1 )
g
Vg d
色散系数
整理ppt
36
3.色散系数
引进色散系数D，指的是光信号在单位轴向距离上、单位波长间隔
产生的时延差：Dd dgd d V 1 g 2 2c2 cd d2n 2
群速率色散参数β2
()n()c01012202...
mdd mm0
(dB /km )1 z0log10[P P ((0 z))]4.343 p
整理ppt
5
dB=10log10(PA/PB)是功率增益的单位，是一个相对值。 例如：PA的功率比PB的功率大一倍，那么
10log10(PA/PB)=10log10(2)=3dB
为了方便计算光纤链路中的光功率，通常将dBm作为光功率 的运算单位，这个单位的含义是相对于1mW的功率。
=10log10[PA(mW)/PB(mW)] 例1：如果PA的功率为46dBm，PB的功率为40dBm,则PA比PB大 6dB。
46dBm-40dBm=6dB
10log10[PA/PB]=6 PA/PB=100.6=3.98≈4
整理ppt
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例2：设想一根30km长的光纤，在波长1300nm处的衰减为 0.8dB/km，如果我们从一端注入功率为200uW的光信号，求 其输出功率Pout。 解：首先将输入功率的单位转换成dBm。
《光纤光学教学课件》第二讲
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
c.光纤器件所涉及到的方面：
①自聚焦透镜； ② 光纤耦合器； ③ 光学隔离器、光学环形器； ④ 光纤光栅； ⑤ 光纤放大器与光纤激光器。
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
光纤光学的研究方法
几何光学方法：
光纤芯径远大于光波波长λ0时, 可以近似认为λ0→0，从而将 光波近似看成由一根一根光线所构成, 因此可采用几何光学方法来分 析光线的入射、传播(轨迹) 以及时延(色散) 和光强分布等特性，这 种分析方法即为光线理论。
2020/4/22 © HUST 2012
Cartoon picture of light guidance in BGF
forbidden range of angles
2020/4/22
Cartoon picture of light guidance in BGF
forbidden range of angles
优点：简单直观，适合于分析芯径较粗的多模光纤。 缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分 布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。
2020/4/22 © HUST 2012
2020/4/22
波动光学方法：
是一种严格的分析方法，从光波的 本质特性电磁波出发， 通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。
Constructive interference
Multi-stack mirror is 1D photonic bandgap device Total reflection for Δ centred around
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1 iC t 2 A 0, t A0 exp exp i0t 2 T0
C=0时，高斯脉冲的波形
FWHM：半极 大值全宽度或 半高全宽 T0 : 1/e强 度点的半宽
2T02 2 T02 A 0, A0 exp 1 iC 2 1 iC
同号时2C>0，啁啾高 斯脉冲单调展宽的速度 比无啁啾脉冲的快 异号时2C<0 ， 在传输初始阶段 脉冲宽度变窄， 而后迅速展宽
无啁啾脉冲，不论色散正 负，脉宽随[1+(z/LD)2]1/2 成比例展宽
Dispersion induced limitations
Bit 1 Bit 2 Bit 1 Bit 2 Bit 1 Bit 2 Bit 1 Bit 2 Bit 1 Bit 2
意义：具有单位频率间隔的两个光波在光纤中传输单位距离 时产生的时延差。
单模光纤的色散
D=DM+DW
17ps/nm.k m@1550nm
零色散 波长
Dispersion of “Standard” Single-Mode Fiber
D
零色散 波长
< D 正常色散区 2>0, D<0 红快兰慢 光脉冲的较高的频率分量 （兰移）比较低的频率分 量（红移）传输得慢
•通常长波长光的场分布在包层中延伸更远， 因此长波长光“经历”的材料折射率更小，其 群速度就会比短波长光更大一些。因此考虑波 导色散，长波长光传播快，短波长光传播慢。
对光纤色散的理解
光纤色散 构成光信号的电磁波各分量在光纤中具有不同传输速度的现象
模间色散：不同模式不同传输速度
材料色散：不同频率不同折射率 波导色散：不同频率不同模场分布 偏振模色散：不同偏振态不同传输速度 群速度色散（Group－Velocity Dispersion）
> D 反常色散区 2<0, D>0兰快红慢 光脉冲的较高的频率分量 （兰移）比较低的频率分 量（红移）传输得快
光纤色散(disp
G.653 色散位移光纤：让损耗和色散最低点都在1550 nm
办法：材料色散不变，通过改变 折射率剖面形状来增大波 导色散，使零色散点往长 波长方向移动
2 1 iC t z A0T0 1 A z, t exp 12 2 2 2 T0 i2 z 1 iC T i z 1 iC 0 2
啁啾高斯脉冲展宽因子T1/T0随传输距离的变化
12
ra r a
Gaussian近似
Ex A exp r 2 W 2 exp i z
模场直径MFD
对单模光纤，2a与处 于同一量级，由于衍射 效应，模场强度有相当 一部分处于包层中，不 易精确测出2a的精确值， 因而只有结构设计上的 意义，在应用中并无实 际意义，实际应用中常 用模场直径2w，即光 斑尺寸表示，近似为：
A A 2 2 A 1 i 0 2 z t 2 t
vg d d 1 1
2 d 2 d2
传输方程是决定光脉冲在光纤中传输演 变的基本方程，表明了在光脉冲传输过 程中，其波形如何受光纤色散的影响。
1 A z, t 2 i 2 A 0, exp i z z i t 1 2 d 2
偏振模色散
材料色散
•纤芯材料折射率随波长而变化，导致光信号不同波长承载的 光脉冲成分的传播速度也随波长而变化，使得光脉冲波形被展 宽，称之为材料色散。
•材料色散取决于折射率对波长的 二阶导数，即折射率随波长的非 线性变化。
•减小材料色散：选择谱宽窄的 光源
波导色散 •波导结构影响光波群速度，因为导模场分 布实际上是在纤芯和包层中都存在的，因此 光波群速度取决于两者的比例。
1/2
脉冲的线性啁啾
This pulse increases its frequency linearly in time (from red to blue).
In analogy to bird sounds, this pulse is called a "chirped" pulse.
入射无啁啾 高斯脉冲
1550 nm
1550 nm 1310
匹配包层单模光纤
三角形芯型
G.656 色散平坦光纤
在较大的范围内保持相近的色散值，适用于波分复用系统
普通商用光纤
色散平坦光纤
相移法测量光纤色散
包层模消除器 光源 波长选择器 被测光纤 振荡器 相位计 ¡ « ¡ « ¡ « 滤波器 计算机 光检测器
传输方程
Inter-symbol interference(ISI)
Time Slot
2.5Gb/s
Dispersion
OA
10Gb/s
速率越高，色散影响越严重！
Dispersion
OA
Dispersion Induced Power Penalty
e=2.71828
电场强度 降到峰值 的1/e
E0/e
2w
2a
W a 0.69 1.1619 V
3 2
2.879 V
6
光纤内的模斑参量随光纤参量的变化
色散（Dispersion）的分类
模间色散
不同模式对应不同的模折射率
光 纤 色 散
材料色散
波导色散
由光源发出的进入光纤的光脉 冲包含许多不同的频率分量， 脉冲的不同频率分量将以不同 的群速度传播，因而在传输过 程中必将出现脉冲展宽，这种 现象成为群速度色散，或简称 为光纤色散。
传输功率法测截止波长
HE11模的模场分布
J 0 ur a J 0 u exp i z Ex E0 K 0 ur a K 0 u exp i z H y n2 0 0 Ex