精算数学1
精算数学
（1）保费设定； ）保费设定； （2）准备金评估； ）准备金评估； （3）再保险形式的选择及自留额的确定问 ） 题； （4）资产负债与偿付能力管理问题。 ）资产负债与偿付能力管理问题。
因为不同的人对同一潜在后果有不同的风险 态度， 态度，即使是同一个人在不同的时候对同一 个风险亦有不同的认识， 个风险亦有不同的认识，当然价值判断也就 不同，折射到保险学方面， 不同，折射到保险学方面，就会有不同保额 的产生或者保单的不同设计条款。 的产生或者保单的不同设计条款。
例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手 ， 例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手A，一个 是做梦都想发财的B，两个人手里都有10元钱 元钱， 是做梦都想发财的 ，两个人手里都有 元钱，目标是通 过购买彩票或不够买彩票这两种可能的决策方案来获得最 大的收益，结果A的决策是不作为 的决策是不作为， 却选择了购买。 大的收益，结果 的决策是不作为，而B却选择了购买。面 却选择了购买 临着同样的风险，A和B的风险态度便有了区别。 临着同样的风险， 和 的风险态度便有了区别。 的风险态度便有了区别
对于后面的两个问题， 对于后面的两个问题，构造 一个决策问题示意图来说明。 一个决策问题示意图来说明。 假如有n个决策 个决策DM1， 假如有 个决策 DM2，……，DM n为了达 ， 到某个决策目标O而提出一 到某个决策目标 而提出一 系列被选方案f, 系列被选方案 g,……,h,要 要 在其中选择一个最优秀或最 满意的方案. 满意的方案
表1中的每一项都可能形成风险，譬 中的每一项都可能形成风险， 中的每一项都可能形成风险 保险收入”如不稳定， 如“保险收入”如不稳定，假设出 现大量的退保现象， 现大量的退保现象，则会形成保费 收入现金流动风险。 税务” 收入现金流动风险。“税务”一栏 也会形成风险， 也会形成风险，假设法律法规更改 突然规定税率的提高， 突然规定税率的提高，则会形成税 金准备不足风险等等。 金准备不足风险等等。
第二章-1 精算数学
§2.2 理赔额的分布 一、损失额与理赔额的区别联系
损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实 损失额是指保险标的在保险事故中遭到的实 际损失大小。 际损失大小。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 损失是不确定的，常用一随机变量描述。 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保 理赔额是指保险公司按承保合同规定的保 险责任所支付的实际费用， 险责任所支付的实际费用，由实际损失决 一般不超过损失额。 定，一般不超过损失额。
20
3
100 F (20) = 1 − = 0.4213 20 + 100
3
1）假定保单规定免赔额为20，理赔额 ）假定保单规定免赔额为 ，
即为非零赔款的均值！ 即为非零赔款的均值！
定理2.1 定理 表示实际损失额， 设X表示实际损失额，若保单规定了免赔额 表示实际损失额 为d，最高赔偿限额为 ，比例分担额为 α ， ，最高赔偿限额为u， 则平均理赔额为
E (Y ) =
α [ E ( X ∧ u) − E ( X ∧ d )]
1 − F (d )
其均值 E ( X ) = θ
τ
Γ(1 + )
1
τ
Weibull分布密度函数 分布密度函数
性质1
当 τ = 1 时，Weibull分布就是参数为 θ 分布就是参数为 的指数分布。 的指数分布。
性质2
Weibull分布乘以正常数r后，仍然是 分布乘以正常数 后 仍然是Weibull 分布乘以正常数 分布， 分布，参数为 (θ / r τ ,τ ) 。
θ α −1 αθ
2 2
α > 2 ， Var ( X ) =
(α − 1) (α − 2)
性质1
精算师考试用书
准精算师考试有9门，得先通过，相应的考试科目及对应的参考书目如下：（一）科目名称：数学基础I中国精算师资格考试1、科目代码：01中国精算师资格考试2、考试时间：3小时中国精算师资格考试3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试4、考试内容：中国精算师资格考试5、参考书：①《高等数学讲义》（第二篇数学分析）樊映川编著高等教育出版社中国精算师资格考试②《线性代数》胡显佑四川人民出版社中国精算师资格考试③《运筹学》（修订版）1990年《运筹学》教材编写组清华大学出版社中国精算师资格考试除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。
中国精算师资格考试建议买同济高数第五或六版，考研的也行，差不多（二）科目名称：数学基础II中国精算师资格考试1、科目代码：02中国精算师资格考试2、考试时间：3小时中国精算师资格考试3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试4、考试内容：中国精算师资格考试（1）概率论（分数比例：50%）中国精算师资格考试（2）数理统计（分数比例：35%）（3）应用统计（分数比例：15%）中国精算师资格考试如果有统计学基础就牛B了，刚刚好5、参考书：①《概率论第一册》复旦大学编人民教育出版社1979年4月第1版中国精算师资格考试②《概率论第二册》（第一、二分册）复旦大学编人民教育出版社1979年8月第1版中国精算师资格考试③《概率论与数理统计》陈希孺编著中国科学技术大学出版社2000年3月第1版中国精算师资格考试④《应用线性回归》（美）S.Weisberg著王静龙、梁小筠等译中国统计出版社1998年3月第1版中国精算师资格考试（三）科目名称：复利数学中国精算师资格考试1、科目代码：03中国精算师资格考试2、考试时间：2小时中国精算师资格考试3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试4、考试内容：利息理论中国精算师资格考试5、参考书：《利息理论》（中国精算师资格考试用书）刘占国主编南开大学出版社2000年9月第1版中国精算师资格考试（四）科目名称：寿险精算数学中国精算师资格考试1、科目代码：04中国精算师资格考试2、考试时间：4小时中国精算师资格考试3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试4、考试内容：寿险精算数学中国精算师资格考试5、参考书：《寿险精算数学》（中国精算师资格考试用书）卢仿先、曾庆五编著，南开大学出版社，2000年6月第一版。
精算数学1
寿险产品趸缴净保费的厘定
1 2
厘定原则和建模假设 建模思想
亡年末赔付趸缴净保费
不同时刻赔付的换算关系
净保费厘定原理
原则
保费净均衡原则
解释
所谓净均衡原理是指保险人收取的净保费应该恰好等于未来支出 的保险赔付金。这是保险业经营过程中遵循的一条基本原则，各 种类型的保险产品，无论采用何种缴费方式，在厘定净保费时都 应遵循这条基本原则。 净均衡原则的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下， 收费期望现时值等于支出期望现时值 。
由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死 亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时 期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。
主要险种死亡即刻赔付趸缴净保费的厘 定
终身寿险 n年期定期寿险 延期m年的终身寿险 n年期生存保险 n年期两全保险 延期m年的n年期的两全保险 递增终身寿险 递减n年定期寿险
t
x
ln p ln(1i )
fT (t )dt
x
ln p t ln(1 i )
px x t dt
现值随机变量的方差
方差公式
Var ( zt ) E ( z ) E ( zt ) e2 t fT (t )dt E ( zt ) 2
2 t 2 0
记
2
Ax e2 t fT (t )dt
0
（相当于利息力翻倍以后求终身寿险的趸缴保费）
所以方差等价为
Var ( zt ) 2 Ax ( Ax )2
例3.2
设( x)投保终身寿险, 保险金额为1元, 签单时其未来寿命T的密度函数为 1 , 0 x 60 fT (t) 60 . 0 , 其它 利息力为 ( 0). 计算（1 ）Ax (2)Var ( zt ) .
精算师的数学和统计知识要求
精算师的数学和统计知识要求精算师是一种专业的职业，需要在数学和统计学方面具备扎实的知识。
在进行精算工作时，精算师需要运用各种数学和统计方法来评估风险、制定保险策略、计算保险费率等。
本文将探讨精算师在数学和统计学方面的知识要求。
1.数学知识要求作为精算师，精通数学是必不可少的。
以下是一些数学知识要求：1.1.微积分精算师需要熟悉微积分的基本概念和应用，能够理解和计算函数的导数和积分。
微积分在估计损失率、计算保费预测和提现保单现值等方面非常重要。
1.2.线性代数线性代数是精算中的一项基础学科，用于解决线性方程组以及矩阵和向量的运算。
在精算中，线性代数常用于评估风险模型和构建精算模型等。
1.3.概率论概率论是精算师必备的数学知识之一。
精算师需要了解概率的基本概念和概率分布，能够应用概率论的理论和方法进行风险评估和预测。
1.4.随机过程随机过程是概率论的一个重要分支，用于描述和分析随机现象的发展过程。
精算师需要熟悉随机过程的基本概念和性质，能够应用随机过程理论来建立和解析精算模型。
2.统计学知识要求统计学在精算实践中起着重要的作用。
以下是一些统计学知识要求：2.1.描述统计学描述统计学是统计学的基础，用于总结和展示数据的基本特征。
精算师需要掌握描述统计学的基本概念和统计指标，能够进行数据的整理、分类和可视化。
2.2.统计推断统计推断是根据样本数据对总体进行推断的过程。
精算师需要了解统计推断的原理和方法，能够通过抽样和假设检验等统计技术对风险进行评估和预测。
2.3.回归分析回归分析是统计学的一个重要分支，用于建立变量之间的关系模型。
精算师需要掌握回归分析的基本概念和方法，能够构建合适的回归模型来解析精算问题。
2.4.时间序列分析时间序列分析是精算中常用的统计方法之一，用于处理随时间变化的数据。
精算师需要了解时间序列模型的原理和应用，能够预测和分析时间序列数据的趋势和周期性。
综上所述，作为一名精算师，数学和统计学知识是至关重要的。
精算学基础
精算学基础
精算学是一门应用数学和统计学于保险和金融领域的学科，其基础涵盖多个方面，包括数学、统计学、金融和保险业务知识。
以下是精算学的基础要点：数学基础：
微积分：精算学需要运用微积分来理解和建模与风险和不确定性相关的问题。
概率论：概率论是精算学的核心，因为保险业务和金融业务通常涉及到风险和随机性，需要使用概率模型进行分析。
线性代数：精算学中的一些模型和方法可能涉及到线性代数的概念。
统计学基础：
统计推断：精算学使用统计推断来对从样本中得到的数据进行分析，估计参数和做出预测。
回归分析：回归分析是精算学中常用的统计方法，用于建立和解释变量之间的关系。
金融和经济学知识：
金融市场：精算学涉及到对金融市场的理解，包括不同资产类别的风险和收益。
经济学原理：精算学与经济学有密切关系，因为经济环境的变化可能对精算模型和风险进行影响。
保险业务知识：
保险产品：精算师需要了解各种不同类型的保险产品，包括寿险、财产险等。
保险法规：了解保险法规和行业标准对于评估风险和制定保险策略至关重要。
计量经济学：
计量经济学方法：精算学中可能使用计量经济学的方法来评估变量之间的因果关系。
计算机科学和数据分析：
编程和数据处理：精算学中的建模和分析通常需要编程技能和对数据处理的熟练掌握。
精算学的学科基础涵盖多个领域，因此精算师需要具备跨学科的知识和技能，以便有效地应对保险和金融领域中的复杂问题。
中国精算师考试科目及考试内容
中国精算师考试科目及考试内容阅读(4305)中国精算师资格考试分为两部分，准精算师部分和精算师部分。
准精算师部分的考试内容包括：科目名称科目代码科目名称科目代码中国精算师资格考试数学基础Ⅰ01 生命表基础06中国精算师资格考试数学基础Ⅱ02 寿险精算实务07中国精算师资格考试复利数学03 非寿险精算数学与实务08中国精算师资格考试寿险精算数学04 综合经济基础09中国精算师资格考试风险理论05精算师部分的考试内容包括：科目代码课程名称备注中国精算师资格考试011 保险公司财务管理必考中国精算师资格考试012 保险法及相关法规必考中国精算师资格考试013 个人寿险与年金精算实务必考中国精算师资格考试014 社会保障选考中国精算师资格考试015 资产负债管理选考中国精算师资格考试016 高级非寿险精算实务选考中国精算师资格考试017 团体寿险选考中国精算师资格考试018 意外伤害和健康保险选考中国精算师资格考试019 高级投资学选考中国精算师资格考试020 养老金计划选考中国精算师资格考试021 精算职业后续教育（PD）必修，精算师部分要求完成3门必考课程，2门选考课程及精算职业后续教育后，并具有三年以上的精算工作经验，方可具备资格。
本次考试为准精算师部分的九门课程和精算师部分的三门课程，考试科目及内容如下：（一）科目名称：数学基础I中国精算师资格考试1、科目代码：01中国精算师资格考试2、考试时间：3小时中国精算师资格考试3、考试形式：标准化试题中国精算师资格考试4、考试内容：中国精算师资格考试（1）微积分（分数比例：60%）中国精算师资格考试①函数、极限、连续中国精算师资格考试函数的概念及性质反函数复合函数隐函数分段函数基本初等函数的性质初等函数数列极限与函数极限的概念函数的左、右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的比较极限的四则运算中国精算师资格考试函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质中国精算师资格考试②一元函数微积分中国精算师资格考试导数的概念函数可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则微分在近似计算中的应用中值定理及其应用洛必达（L’Hospital）法则函数的单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值和最小值中国精算师资格考试原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分及导数不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念及计算定积分的应用中国精算师资格考试③多元函数微积分中国精算师资格考试多元函数的概念二元函数的极限与连续性有界闭区间上二元连续函数的性质偏导数的概念与计算多元复合函数及隐函数的求导法高阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上的简单二重积分的计算曲线的切线方程和法线方程中国精算师资格考试④级数中国精算师资格考试常数项级数收敛与发散的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数的收敛性正项级数收敛性的判断任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数莱布尼茨定理幂级数的概念收敛半径和收敛区间幂级数的和函数幂级数在收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式泰勒级数与马克劳林级数中国精算师资格考试⑤常微分方程中国精算师资格考试微分方程的概念可分离变量的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程二阶常系数线性微分方程的求解特解与通解中国精算师资格考试（2）线性代数（分数比例：30%）中国精算师资格考试①行列式中国精算师资格考试n级排列行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开行列式的计算克莱姆法则中国精算师资格考试②矩阵中国精算师资格考试矩阵的定义及运算矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩几种特殊矩阵可逆矩阵及矩阵的逆的求法分块矩阵中国精算师资格考试③线性方程组中国精算师资格考试求解线性方程组的消元法n维向量及向量间的线性关系线性方程组解的结构中国精算师资格考试④向量空间中国精算师资格考试向量空间和向量子空间向量空间的基与维数向量的内积线性变换及正交变换线性变换的核及映像中国精算师资格考试⑤特征值和特征向量中国精算师资格考试矩阵的特征值和特征向量的概念及性质相似矩阵一般矩阵相似于对角阵的条件实对称矩阵的特征值及特征向量若当标准形中国精算师资格考试⑥二次型中国精算师资格考试二次型及其矩阵表示线性替换矩阵的合同化二次型为标准形和规范形正定二次型及正定矩阵中国精算师资格考试（3）运筹学（分数比例：10%）①线性规划中国精算师资格考试线性规划问题的标准形线性规划问题的解的概念单纯形法（包括大M法和两阶段法）单纯形法的矩阵形式对偶理论影子价格对偶单纯形法灵敏度分析中国精算师资格考试②整数规划中国精算师资格考试③动态规划中国精算师资格考试多阶段决策问题动态规划的基本问题和基本方程动态规划的基本定理离散确定性动态规划模型的求解离散随机性动态规划模型的求解中国精算师资格考试5、参考书：中国精算师资格考试①《高等数学讲义》（第二篇数学分析）樊映川编著高等教育出版社中国精算师资格考试②《线性代数》胡显佑四川人民出版社中国精算师资格考试③《运筹学》（修订版）1990年《运筹学》教材编写组清华大学出版社中国精算师资格考试除以上参考书外，也可参看其他同等水平的参考书。
精算学中的必备技能：金融数学公式综合总结
精算学中的必备技能：金融数学公式综合总结。
1.复利公式复利公式是精算学中最基础的公式之一，用于求解复利的本利和。
在投资领域中，存在一种名为复利的概念。
简单地说，复利是指在一定投资期限内，将原始资本及其收益部分再次投资，以便获取更多的利息收益。
复利公式的推导如下：FV = PV × (1 + r/n)^(nt)其中FV表示复利的本利和，PV表示初始投资额，r表示年化利率，n表示复利次数，t表示投资时间（年数或天数）。
可以看出，复利公式有利于帮助投资者最大化其投资收益。
2.期望值公式期望值公式同样是精算学中的一个重要公式，用于表示一系列事件可能产生的平均结果。
在实际应用中，期望值公式可用于计算保险公司在未来某个时间段内可能需要索赔的平均成本。
期望值公式的计算如下：E(x) = Σ (x * P(x))其中E(x)表示期望值，x表示事件的可能结果，P(x)表示该结果发生的概率。
期望值公式的应用在精算学中非常广泛，而其计算结果对于保险公司的风险管理决策具有重要参考意义。
3.正态分布公式正态分布公式是统计学中的一个重要公式，精算学中同样也经常用到。
在实际应用中，正态分布公式可以帮助精算师理解概率和标准差之间的关系，以及计算保险损失的概率分布。
正态分布公式的计算如下：f(x) = (1 / (σ*sqrt(2*pi))) * e^(-((x-μ)^2 / 2σ^2))其中f(x)表示x值的概率密度函数,μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布公式的应用场景非常广泛，不仅限于精算学领域，而且对于金融和保险公司的决策也有着很重要的参考价值。
4.贝叶斯公式贝叶斯公式是精算学中比较复杂的公式之一，用于计算一个事件的概率在先验知识与证据的情况下的更新情况。
在实际应用中，贝叶斯公式可以帮助保险公司在未知的风险领域中做出更为准确的风险评估。
贝叶斯公式的计算如下：P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E)其中P(H|E)表示在已知证据E的前提下，事件H发生的概率。
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F ( x) 即
F ( x) P( X x) x
首页
分布函数F（x）具有下列性质：
1 2
0 F ( x) 1
x
F ( x) 是非降函数，即当 x1 x 2 时，有
F ( x1 ) F ( x2 )
3 4
x
lim F ( x) 0
特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
拓展
基础知识
第一节 第二节 第三节 概 率 随机变量及其分布 随机变量的数字特征
第一节
概
率
一、基本概念 1．随机试验
其结果在事先不能确定的试验。 具有三个特性：
（1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果；
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp{ Ax B(c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
Weibull模型(1939)
x kx n
s( x) exp{kx
n 1
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1) k 1 qx k qx (1 k 1 px ) (1 k px ) k px k 1 px S ( x k ) S ( x k 1) S ( x k ) S ( x k ) S ( x k 1) S ( x) S ( x) S ( x) S (x k ) k px qx k k qx
x
则称 X 为连续型随机变量， f （ x ）称为 X 的概率密 度，且满足
f ( x) 0
f ( x)dx 1
首页
第三节 随机变量的数字特征 一、期望和方差 1．期望 设离散型随机变量X的分布律为
P( X xk ) pk
k 1,2,
则
E ( X ) xk pk
x
lim F ( x) 1
F ( x 0) F ( x)
F（x）是右连续的，即
首页
3．分布密度 最常见的随机变量是离散型和连续型两种。 离散型 随机变量 随机变量 X 的可能取值仅有有限 个或可列无穷多个。
设 xk (k 1,2,) 是离散型随机变量X的
所有可能的取值，
x
剩余寿命
t
定义：已经活到x岁的人（简记(x)）， 还能继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x)。 分布函数 t qx ：
qx Pr(T ( X ) t ) Pr( x X x t X x) S ( x) S ( x t ) S ( x)
剩余寿命
x t
死亡效力
死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
0 x
死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
S ( x) S ( x t ) G (t ) 1 t px S ( x) d d S ( x) S ( x t ) S ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt S ( x) S ( x)
0
整值剩余寿命的期望与方差
期望整值剩余寿命：( x ) 整值剩余寿命的期望值 (均值)，简记 e x
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0
整值剩余寿命的方差
2 2 2
Var ( K ( x)) E ( K ) E ( K ) (2k 1) k 1 px ex
，有
P( Bi | A)
P（Bi）P（A | Bi )
i 1
n
P（Bi）P（A | Bi )
首页
五、独立性
1．定义 两个 如果事件A，B满足
P（AB ） P（A）P（B）
则称事件A，B相互独立。
，An 是n个事件，如果对于任意 n个 设 A1，A2，
s
(2 s n) 和 1 i1 i2 is n ，有
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) S(x t) S ( x)
特别：
x
p0 S ( x)
剩余寿命
qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1 qx
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 p x 1 px
P（ Ei） P（Ei )
i 1
n
两两互不相容 ，则
5
设两两互不相容的事件 则对于任意事件A，有
E1，E2， ， Ei
i 1
P（A）
P（A E )
i 1 i
首页
四、条件概率
1．定义 设E为随机试验，为其样本空间，A、B 为任意两个事件， 则称 若
P（A） 0
生命表起源
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表. 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单, 写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统 计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表 的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为 生命表的创始人。 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
（3）对两两互不相容的事件序列
E1，E2，
首页
P（ Ei） P（Ei )
i 1 i 1
则称P（E）为事件E的概率。
二、概率的性质： 1 2
P（） 0
P（E F） P（E） P（F） P（EF）
P( E ) 1 P( E)
c
3
4
设
E1，E2， ，En
n i 1
tu
qx：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
tu
间去世的概率
qx t u qx t qx t px t u px
整值剩余寿命
定义：( x )未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,
概率函数
寿险精算学
统计系 尹剑
本课程要求
上课要求：准时出席，注意课堂秩序， 独立完成作业； 下一次上课前交作业，过时不收； 期末成绩=（出勤与作业成绩）*30%+ （期末试卷成绩）*70%。
2015-4-26
2
课程结构
基础
利息理论基础 生命表基础
核心
保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利
P（AB ） P（B | A） P（A）
为事件A出现的情况下，事件B的条件概率， 或简称事件B关于事件A的条件概率。
首页
2．基本公式
定理2（乘法公式）
假设 若 则
A1，A2， ，An为任意n个事件（ n 2 ），
P（A1 A2 An） 0
P（A1 A2 An） P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
g (x) f ( x)dx
首页
第一章
生存分布与生命表
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命 死亡效力 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造
生命表的构造
有关分数年龄的三种假定
第一节 死亡年龄的概率分布函数
生存函数
定义
S ( x) Pr(X x)
生命表的发展历史
生命表的特点
生命表的构造
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率） 新生生命组个体数：l0 x 年龄： 极限年龄：
常用符号
生命表的构造
pk
是
xk
的概率：
P( X xk ) pk
(k 1,2,)
则称上式为X的概率分布或分布率 。且满足
pk 0
k 1
pk 1
首页
3．分布密度
连续型 随机变量
如果对于随机变量X的分布函数为F（x）， 存在非负的函数 f（ x）,使对任意的实数 x 有
F ( x) f (t )dt
意义：新生儿能活到 x岁的概率。 与分布函数的关系： S ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系： f ( x) S ( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：