组合数学

组合数学
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组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
传说，大禹在4000多年前就观察到神龟 背上的幻方…... 幻方可以看作是 一个3阶方阵，其元 素是1到9的正整数， 每行、每列以及两条 对角线的和都是15。
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贾宪 北宋数学家（约11世纪） 著有《黄 帝九章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑 （“古算法导引”）都已失传。 杨辉著《详解九章算法》（1261年）中 曾引贾宪的“开方作法本源”图（即指数为 正整数的二项式展开系数表，现称“杨辉三 角形”）和“增乘开方法”（求高次幂的正 根法）。 前者比帕斯卡三角形早600年，后者比霍 纳（William Geoge Horner，1786—1837）的 方法（1819年）早770年。
若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙 、黄四种颜色的话，则，方案数就不是4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的 相互独立性。
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加法和乘法法则的综合运用
例1：我国曾经推行的02式汽车的牌照的式样 如下：999.999、999.XXX、XXX.999，那么 共有多少个不同的车牌号码？（其中9代表该 位为数字，X表示该位为大写字母） 例2：计算机系统的每个用户有一个6-8个字 符构成的登录密码，其中每个字符是一个大 写字母或数字，且每个密码必须至少包含一 个数字，有多少个可能的密码？
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定理：如果把n+1个或更多的物体被放入到n
个盒子里，则至少有一个盒子包含了
两个或更多的物体。
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2. 推广的鸽巢原理 鸽巢原理指出当物体比盒子多时，一定 至少有两个物体在同一个盒子里。
但是当物体数超过盒子数的倍数时可以 叙述更多的结果。 例如，有21只鸽子，只有10个鸽巢，则 至少有一个鸽巢中住着3只鸽子。
记|A|为A所含元素的个数，设A1和A2是有 限集合，根据集合运算的定义，有以下关系 式成立。
6
E
A1
A2
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2. 相容排斥原理
设A1和A2是有限集合，其元素个数分别 为|A1|和|A2|，则
| A1∪A2 |= |A1|+|A2|- | A1∩A2 |
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例1：一个班级有50名学生，有16人第一次考 试优秀，有11人第二次考试优秀，其中6人两 次考试均优秀，问两次考试均未达优秀的学 生有几名？
** 5元 10元 * 5元 * 10元
** 20元 50元 100元 * 20元 50元 100元 ** 10元 * *
1元
2元
5元
20元 50元 100元
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选择5张纸币的方法数对应于安排6条竖 线和5颗星的方法数，因此选择5张纸币的方 法数就是从11个可能的位置选5颗星位置的方 法数。
这对应于含11个物体的集合中无序地选 5 择5个物体的方法数，可以有C 11 种方式。
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定理：具有n个物体的集合允许重复的r排列 数为nr。
定理：重集B={n1· b1,n2· b2,…,nk· bk}的全排列 的个数为 n 1! n 2!...nk! ，式中n= ni 。 i 1 例：重新排序单词SUCCESS中的字母能构成 多少个不同的字符串？
n!
k
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三、组合
1. 无重复组合 当从集合A的n个元素中取出r(0≤r≤n)个而
解：设第一次考试优秀者的集合为A， 第二次考试优秀者的集合为B。
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对于任意三个集合A1、 A2和A3，可以推广定 理的结果为：
| A1∪A2 ∪A3 |= |A1|+|A2|+|A3|- | A1∩A2 |- | A1∩A3 | - | A2∩A3 |+| A1∩A2 ∩A3 |
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例2：设A、B、C是三家计算机公司，它们的 固定客户分别有12家、16家和20家。已知A与 B、 B与C 、C与A的公共固定客户分别为6家、 8家和7家，A、B、C三家的公共固定客户有5 家，求A、B、C三家计算机公司拥有的固定 客户总数。
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2. 有重复的组合
例1：从包含苹果、橙子和梨的篮子里选4个 水果。如果选择水果的顺序无关，且只关心 水果的类型而不管是该类型的哪一个水果， 那么当篮子中每类水果至少有4个时，有多少 种选法？ 为了求解这个问题，我们列出选择水果 的所有可能的方式。令a表示苹果，b表示橙 子，c表示梨，共有以下15种方式： aaaa,aaab,aaac,aabb,aabc,aacc,abbb,abbc,abcc ,accc,bbbb,bbbc,bbcc,bccc,cccc
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4. 乘法法则
假定一个过程可分解为两个相互独立的 任务。如果完成第一项任务有n1种方式，完 成第二项任务有n2种方式，那么完成这个过 程有n1×n2种方式（可推广到多个任务的情 形）。 集合论语言： 若|A|=m，|B|=n， AB ={(a,b) | aA，bB}， 则 |A B| = m · n。
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二、排列
求出根据已知的条件所能作出的不同排 列的种数，这就是研究排列问题的主要目的。 1. 无重复排列 设A是含有n个不同元素的集合，任取A中 的r(0≤r≤n)个元素，按顺序排成一列，称为集
r 合A的r-排列，其排列数记为 p n ，或P(n,r)。
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例：A={a,b,c}，r=2，从A中取2个的排列如下： ab、ac、ba、bc、ca、cb 总数为6个。
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例1：设一标识符由两个字符组成，第一个字 符由a、b、c、d、e组成，第二个字符由1、2、 3组成，则可以组成多少不同的标识符？
例2：从A到B有三条道路，从B到C有两条道 路，则从A经B到C有多少条道路？
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例3：某运动服的着色由底色和装饰条纹的颜 色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色 可选黑、白，则共有几种着色方案？
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2. 有重复的排列
例1：用英文字母可以构成多少个n位字符串？ 英文字母有26个，每个字母可以被重复 使用，故每位上都有26种可能。根据乘法法 则存在26n个n位字符串。 例2：r个不同的球放入n个盒子，每个盒子可 放任意多个球，有多少种放法？ 因为每个球都有n个盒子可供选择，根据 乘法法则则有nr种放法。
1 2 3
……
r
Байду номын сангаас
n种选法
n-1种选法
n-2种选法
n-r+1种选法
n! r 定理： n =n(n-1)……(n-r+1)= (n r )! n 当r=n时称为全排列， n =n!
p
p
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例1：由数字1,2,3,4,5,6可以构成多少个数字 互不相同的4位数？ 例2：假定有10名运动员，按成绩给前3名分 别颁发金、银、铜牌。如果比赛可能出现所 有可能的结果，有多少种不同的颁奖方式？ 例3(旅行商问题)：一个商人从一个城市出发， 不重复地走遍n个城市。若果路径可以按照他 想要的任何次序进行，问可能有多少种不同 的路径？
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这个解是从3个元素的集合{a,b,c}中允许 重复的4-组合数。 为求解这种类型的更复杂的计数问题， 需要计数一个n元素集合的r-组合的一般方法。
例：从包含1元、2元、5元、10元、20元、50 元、100元的钱袋中选5张纸币，有多少种方 式？假设不管纸币被选的次序，同种比值的 纸币都是不加区别的，并且至少每种纸币有5 张。
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解：因为纸币被选的次序是无关的，且7 中不同类型的纸币都可以被选5次，问题涉及 的是计数从7个元素的集合中允许重复的5-组 合数。枚举法是不可行的，下面给出一种方 法来计算。 7种不同类型的纸币被6块隔板分开，每 选择1张纸币就对应于在相应的隔板里放置1 个标记。
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* 1元 2元 *** 1元 2元
p
r n
=C
r r! n ·
定理：设n是正整数，r是满足的整数，则n元
素集合的r-组合为C
n! r n = (n r )! r!
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例1：在一个平面上有42个点，且没有任何三 个点在同一条直线上。通过这些点可以确定 多少条不相同的直线？可以构成多少个位置 不相同的三角形？
例2：为开展学校的教学工作，要选出一个委 员会。如果数学系有9名教师，计算机系有11 名教师，而这个委员会要由3名数学系教师和 4名计算机系教师组成。那么有多少种不同的 选择方式？
组合数学主要研究一组离散对象满足一 定条件的安排，讨论的内容大致有四方面：
1．存在性：有没有满足条件的安排？
2．计数：满足条件的安排有多少种？
3．构造：给出满足条件的安排的具体构造。
4．优化：在众多满足要求的安排中，按一
定的标准挑出最优的安排。
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一、计数
1. 基本计数关系式
集合的运算，可用于有限个元素的计数 问题。
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定理：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个盒 子里，则至少有一个盒子里有不少于 m+1的物体。 例：在100个人中至少有多少人生日在同一
定理：n个元素集合中允许重复的的r-组合有
C
r n r 1
个。
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四、生成函数
无穷实数序列a0,a1,…,ak,…的生成函数是
无穷级数： G(x)=a0+a1x1+a2x2+…+akxk+…=
i a x i i
0
由定义可知，一个序列和它的生成函数 是一一对应的。给定了一个序列就可以得到 这个序列的生成函数。反之，如果给定了生 成函数，则序列也随之而定。由此可知，生 成函数实质上就是序列的另一种表达形式。
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3. 加法法则
如果完成第一项任务有n种方式，完成第 二项任务有m种方式，并且这两项任务不能同 时完成，那么完成第一项和第二项任务有 n+m种方式（可推广到多个任务的情形）。 集合论语言： 若 |A| = m ， |B| = n ，AB = ，则 |AB| = m + n 。