逻辑函数的基本运算与定律

证明：
__ __ __ __ __ __
A + AB = A + B
A + AB = (A + A)・(A + B) =1 ・(A + B) =A + B
2.5逻辑代数的常用公式一消冗余项公式
__ __
> 2.5.3消冗余项公式
AB + AC + BC = AB + AC
证明： AB + AC + BC = AB + AC + (A + A) BC
♦ 式中，与运算还可以写成
♦ 在不致混淆的场合下，A和B的与运算常常表示为AB。
♦ 与逻辑的公理规则
0-0 = 0
0.1 = 1.0 = 0 1-1 = 1
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2.1基本逻辑运算-与逻辑和与运算
、与,遷他旳,曰则
4・0=0 A-l =A A-A = O A-A=A A- A- A - ---A = A
♦三种基本逻辑电路的符号 国标GB4728.12-85、美国MIL-STD-806B、原部颁标准SJ1223-77
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2.2常用的复合逻辑运算
在基本逻辑运算的基础上，通过多种基本逻辑运算的组合定 义 了与非、或非、与或非、异或和同或这几种新的逻辑运算， 称为 复合逻辑运算。
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能；
♦ 逻辑变量是一种二值变量。仅取0、1 （或者真、假）两种逻辑值
♦ 逻辑变量的真和假称为逻辑真值，用数码1和0表示，1代表逻辑 真，
而0表示逻辑假。
♦ 逻辑代数中的1和0是逻辑常量，它们不具备数的性质，无大、小
、正、负之分，仅仅表示真、假两个相反的逻辑状态；
♦ 数字电路中的两种状态，可以用二值逻辑表示；
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2.1基本逻辑运算-逻辑运算的完备集
从5”"以"L
A^B = A +B
同样可得：
ATB = A-B
这两个公式，也称为反演定律
♦运用反演律可使两个变量的与运算化为非和或运算
AB = A^B = A +B
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2.1基本逻辑运算-逻辑运算的完备集
」川H，区个5叫丄如；"•以川丿5直以3成If，
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2.5逻辑代数的常用公式一并项公式
__ __ > 2.5.1并項公式
证明：
__ __ __ __ __ 2016/9/23
AB + AB = B
AB + AB = (A + A)B
=1-B=B
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2.5逻辑代数的常用公式一消冗余因子公式
__ __ , 2.5.2消"余因了公式
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2.4逻辑代数的基本规则一对偶规则
> 2.4.2对偶（Dual）规则 ♦ 对偶规则：对任一逻辑函数，对它的表达式中所有的逻辑常量和
逻辑符号分别作1与0、+与•的对换，得到的新函数就是原函数F的 对偶函数。原函数所具有的一切性质，其对偶函数同样具备； ♦应用对偶规则时应注意： （1） 上述变换必须对所有的逻辑常量、逻辑符号进行，不能遗漏； （2） 必须保持原函数变量之间的运算顺序不变，必要时使用括号； ♦对偶函数是一个全新的函数，只不过在形式上与原来的函数对偶
1=0
公理1
Hl 2
1-1 = 1
公理3
l+0=0+l=l
■里4
0+0=0
公理5
R. + B = 3 + 丄
交换律
A + （召 + C）— （J4 + 结合律
占）+ C
A +■ C）—（且 + 3X且 + Q分配律
）
3+1=1
控制律
A + 0=A
白等律
A+A=A A-bA'B^A
重蠱律 吸收律
且2 = 0
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2.4逻辑代数的基本规则一置换规则
例2」：证明反演律推论等式A + B + C=^・B・C成立 根据反演律A + B = A • B, 将变量B置换成函数(B+C),得到等式： 刀+ (B + C) = J-F+C 再运用反演律，则有A-~BTC =A-B-C 所以 A + B + C = A • B • C
A+ B = ATB = A- B
♦这样，我们知道，与运算可以由或运算和非运算替代实现，前 面我 们说过，｛与，或，非｝是逻辑运算的完备集；因此，｛或， 非｝ 也是逻辑运算的完备集；
♦同样，集合｛与，非｝也是完备集； ♦但是，非运算无法由与运算和或运算所代替，所以集合
｛与，或｝不是完备集；
2.1基本逻辑运算-逻辑运算的完备集
♦反演规则也称求反规则或求补规则，主要用来求取逻辑函数的反 函数；
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2.4逻辑代数的基本规则一反演规则
旬2.3：求選机两技F=g - x2 +又3) • Xi，的丿又雨技Fc 根据反演规则有反函数:
F = （xi + x2） • x3 + x4
可以使用反演律证明该关系式的正确:
2.1基本逻辑运算-或逻辑和或运算
>
L=A+B
♦式中，或运算还可以写AN B成，读作“A或B”；
♦或逻辑的公理规则 0 + 0 = 0
1+0 = 0 + 1 = 1
1+1=1
♦或逻辑运算法则 A + Q=A
A + l = l A+A=A A+A =l A + A + A + ・・・A =A
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(A + B) (A + C) (B + C) = (A + B) (A + C) 显然，运用这些公式以及控制律、重叠律、吸收律等基本 定 律可以将逻辑表达式简化。
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2.2常用复合逻辑运算
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2.3逻辑代数的基本定律
逻辑代数的公理与基本定律
如
则 A=O
0=1
00 = 0
0.1 = 1.0 = 0
1-1 = 1
A-B=B■A
A（B-C）=（AB）-C
A\B + C）=A-B + AC
&0 = 0
A
AA=A
A-（A + B）=A
如A却则A=1
AB=A+B
A + A=l A + B = A-B
互补律 反演律
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A =A双重否定律源自192.4逻辑代数的基本规则一置换规则
> 2.4.1 置换(Replacement)规则 ♦ 置换规则：对于逻辑等式中的任一变量X,若将所有出现它的 地 方都用逻辑函数G置换，那么，等式仍然成立；
♦因为逻辑函数G和逻辑变量X的值域均为二值逻辑0和1,所以 可以用穷举法证明代入规则的正确性。
用逻辑函数表示；
♦在数字电路中，信息用二进制表示，因此在这里只研究二值逻辑； ♦逻辑代数又称布尔代数，开关代数。在这里，是一个由逻辑变量真
假（或取值0, 1 ）、以及用“与”、“或”、“非” 3种基本运算 构 成的代数系统。
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2.1基本逻辑运算
♦ 对于二值逻辑，任何逻辑命题只有真（True）和假（False）两个可
♦任何复杂的逻辑运算，都可以由与、或、非三种基本逻辑运算 组合来实现的，所以逻辑运算｛与，或，非｝是一个完备集；
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2.1基本逻辑运算-逻辑运算的完备集
» ♦设有如下逻辑函数F = A • B和G=A + B； ♦根据三种基本运算的定义和公理，分别得到如下真值表:
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F =（X1 顷2 + X3） -X4 =X1 •又2 + X3 + X4 =X± -x2 * x3 + X4 =（X! + X2） • X3 + X4
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2.4逻辑代数的基本规则一反演规则
♦注意： ⑴上述变换必须对所有的逻辑常量、逻辑符号和逻辑变量实行 ， 不能遗漏； (2) 必须保持原函数变量之间的运算顺序不变，必要时可添加括 号； (3) 注意区分非运算和反变量。在反演时，互换对逻辑变量与 反变 量有效，而非运算须保留。
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2.1基本逻辑运算-非逻辑和非运算
> L = f （刀）=A ♦ 字母A上方的短划线“一”表示非运算，符号读作“A非”； ♦ 非逻辑公理
0=1 1=0
♦ 非运算规则
A=A
♦ 表明非运算具有“否定之否定等于肯定”的双重否定律；
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2.1基本逻辑运算-与逻辑和与运算
=AB + AC + ABC + ABC
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=AB(1 + C) + AC(1 + B) = AB + AC
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2.5逻辑代数的常用公式一消冗余项公式
推论：
AB + AC + BCD = AB + AC 根据对偶规则，则有推论
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2.1基本逻辑运算一逻辑运算的完备集