第3章-逻辑函数运算规则及化简
第三章布尔代数与逻辑函数化简
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和 ( A + A)
_
乘第二项和第三项， ( B + B)
_
(2) 真值表法。将原逻辑函数A、B、C 取不同 值组合起来，得其真值表，而该逻辑函数是将F=1 那些输入变量相或而成的，如表3 - 3所示。
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= A B + A B + ( A B + A B )CD
令 A B + A B = G, 则
F = G + G CD = G + CD = A B + A B + CD
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3. 应用多余项定律 ( AB + A C + BC = AB + A C )
例 10 解 化简
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此例就是用 (C + C ) 和 ( A + A) 分别去乘第三项和第四项， 然后再进行化简。
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6. 添项法
在函数中加入零项因子 x . x 或 x . x f ( AB . ..) ，利用 加进的新项，进一步化简函数。 例 14 化简 = AB C + ABC AB 。 F
第三章 布尔代数与逻辑函数化简
3.1 3.2 3.3 基本公式和规则 逻辑函数的代数法化简 卡诺图化简
第3章 逻辑代数基础
15
3.3.3 配项法
利用公式 A A 1 给某一个与项配项，然后将其拆分 成两项，再和其它项合并。 例3-9 化简
F AB AC BC
利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上所能合并的项
例3-10 化简
F ABC ABC ABC ABC
16
3.3.4
利用公式7
消去冗余项法
(利用 A A 1 的公式)
(1)F ABC ABC
(2)F ABC ABC BC
14
3.3.2 吸收法
利用公式 A AB A 和
例3-8 化简
A AB A B
(1) F AB ABCD( E F )
(2)F AB C ACD BCD
注 意 变 量 顺 序 ！
34
例子：将 AB AC BC用卡诺图表示。 F
方法一：将一般形式的逻辑函数化为标准与或表达式；
答
A
BC 00 01 11 10
案
0 1
0 1
1 1
1 0
1 1
35
例子：将 F
m(4,5,9,11,12,13,14,15)用卡诺图表示。
按照格雷码顺序进行行和列的排列，使得每行和每列的相邻方格 之间仅有一位变量发生变化。
BC
C
00 01
m1 m5
A
0 1
11
m3 m7
பைடு நூலகம்10
m2 m6
AB 00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4
1 m1 m3 m7 m5
32
m0 m4
3变量卡诺图
CD AB 00 00 m0 m4 m12 m8 01 m1 m5 m13 m9 11 m3 m7 m15 m11 10 m2 m6 m14 m10
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.1
基本定律和规则
逻辑函数的运算
3.逻辑函数运算规则
１） 代入规则 对于任何一个含有变量A 的等式， 如果所有出现A 的地方都以另一个逻辑 式代替，则等式仍然成立。 ２） 反演规则 对于逻辑函数F ， 将表达式中的所有“ · ” 换成“ ＋ ” ， “ ＋ ” 换成 “ . ” ， 常量０换成１ ， 常量１ 换成０ ， 所有原变量换成反变量， 所 有反变量换成原变量， 即得反函数 。 ３） 对偶规则 在介绍对偶规则前先定义对偶式。设F 为逻辑表达式， 如果将F 中所有的 “ ＋ ” 换成“ · ” ， “ · ” 换成“ ＋ ” ， １ 换成０ ， ０ 换成１ ， 而变量保持不变， 则所得新的逻辑式就称为F 的对偶式， 记为F′ 。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
1.真值表
将输入变量所有取值情况及其相 应的输出结果， 全部列表表示， 即为真值表。
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
2.逻辑表达式
将输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式， 称为逻辑 表达式， 简称逻辑式。 如图所示判决电路， 当A 闭合， B 和C 中至少一个闭合， 则 可表示为A BC ＋A B C ＋ A BC ， 故其逻辑表达式为
逻辑代数基础
1.4
逻辑函数卡诺图化简
5项的函数时， 由于无关项 的取值对函数不产生影响， 加入的无关 项应与函数尽可能多的最小项具有相邻 性。在画矩形时， 无关项的取值以矩形 组合最大， 矩形数目最少为原则。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
5.逻辑表达式的标准表达式
逻辑函数化简公式大全
逻辑函数化简公式大全逻辑函数化简是在布尔代数中常用的一种方法，它通过应用逻辑运算规则和布尔代数定律，将复杂的逻辑函数简化为更简洁的形式。
这种简化可以减少逻辑电路的复杂性，提高计算机系统的效率。
以下是一些常见的逻辑函数化简公式大全：1. 与运算的化简：- 与运算的恒等律：A∧1 = A，A∧0 = 0- 与运算的零律：A∧A' = 0，A∧A = A- 与运算的吸收律：A∧(A∨B) = A，A∧(A∧B) = A∧B- 与运算的分配律：A∧(B∨C) = (A∧B)∨(A∧C)- 与运算的交换律：A∧B = B∧A2. 或运算的化简：- 或运算的恒等律：A∨1 = 1，A∨0 = A- 或运算的零律：A∨A' = 1，A∨A = A- 或运算的吸收律：A∨(A∧B) = A，A∨(A∨B) = A∨B- 或运算的分配律：A∨(B∧C) = (A∨B)∧(A∨C)- 或运算的交换律：A∨B = B∨A3. 非运算的化简：- 非运算的双重否定律：(A) = A- 非运算的德摩根定律：(A∧B) = A∨B，(A∨B) = A∧B4. 异或运算的化简：- 异或运算的恒等律：A⊕0 = A，A⊕1 = A- 异或运算的自反律：A⊕A = 0- 异或运算的结合律：A⊕(B⊕C) = (A⊕B)⊕C- 异或运算的交换律：A⊕B = B⊕A5. 条件运算的化简：- 条件运算的恒等律：A→1 = 1，A→0 = A- 条件运算的零律：A→A' = 0，A→A = 1- 条件运算的反转律：A→B = A∨B- 条件运算的分配律：A→(B∧C) = (A→B)∧(A→C)这些公式是逻辑函数化简中常用的基本规则，通过灵活应用它们，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
使用这些规则，我们可以提高逻辑电路的效率和简洁性，并降低硬件成本。
第三章 逻辑函数化简
一：布尔代数的基本公式公式名称公式1、0-1律A*0=0 A+1=12、自等律A*1=A A+0=A3、等幂律A*A=A A+A=A4、互补律A*A=0 A+A=15、交换律A*B=B*A A+B=B+A6、结合律A*（B*C）=（A*B）*C A+（B+C）=（A+B）+C7、分配律A（B+C）=AB+AC A+BC=（A+B）（A+C）8、吸收律1（A+B）（A+B）=A AB+AB=A9、吸收律2A（A+B）=A A+AB=A10、吸收律3A（A+B）=AB A+AB=A+B11、多余项定律（A+B）（A+C）（B+C）=（A+B）（A+C）AB+AC+BC=AB+AC12、否否律（）=A13、求反律AB=A+B A+B=A*B下面我们来证明其中的两条定律：（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式（因为B+B=1）（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB（1+C）+AC（1+B）=AB+AC=右式证毕注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。
二：布尔代数的基本规则代入法则它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z 代替，等式仍然成立。
对偶法则它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。
我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。
反演法则有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。
第三章逻辑函数及其化简
AB C ABC ABC
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 或： m (3,6,7)
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
三变量最小项的编号表
2、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是唯一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例13 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。 解： Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
或：
Y AB AB A
代入规则
2、吸收法 利用公式A+AB=A进行化简，消去多余项。 例6 化简函数 解：
Y A B A B CD( E F )
Y A B A B CD( E F ) AB
例7 化简函数
Y ABD C D ABC D( E F EF )
第四节
逻辑函数的卡诺图化简法
用代数法化简逻辑函数，需要依赖经验和技巧，有 些复杂函数还不容易求得最简形式。下面介绍的卡 诺图化简法，是一种更加系统并有统一规则可循的 逻辑函数化简法。 一、最小项及最小项表达式 1、最小项 设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项： ①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是 它的一个因子； ②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、 B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
归纳简化任意逻辑函数的方法：
(1) A AB A （吸收法） AB AC BC AB AC (2) A AB A B （消去法） （3）AB AB A （并项法） （4）A A A A A 1 （配项法）
逻辑函数化简公式
逻辑函数化简公式逻辑函数化简是一种将复杂的逻辑表达式简化为更简洁形式的方法。
通过化简，我们可以减少逻辑电路的复杂性，提高电路的性能和效率。
公式化简的过程涉及到逻辑运算的规则和性质。
下面是一些常见的逻辑函数化简公式：1. 同一律：A + 0 = A，A * 1 = A。
这表示在逻辑表达式中，与0相或的结果是原始信号本身，与1相与的结果是原始信号本身。
2. 吸收律：A + A * B = A，A * (A + B) = A。
这表示当一个信号与另一个信号的与运算结果相或，或者一个信号的与运算结果与另一个信号相与时，结果都是原始信号本身。
3. 分配律：A * (B + C) = A * B + A * C，A + (B * C) = (A + B) * (A + C)。
这表示在逻辑表达式中，可以将与运算分配到相或的运算中，或者将相或的运算分配到与运算中。
4. 德摩根定律：(A + B)' = A' * B'，(A * B)' = A' + B'。
这表示在逻辑表达式中，如果一个信号取反后与另一个信号相与，或者一个信号取反后与另一个信号相或，相当于原始信号分别与另一个信号取反后的结果相或相与。
通过运用这些公式，我们可以逐步将复杂的逻辑表达式进行化简，从而得到更简洁的形式。
这有助于我们设计更简单、更高效的逻辑电路，并且减少电路的成本和功耗。
然而，化简过程也需要谨慎进行，需要根据具体情况来选择最优的化简策略。
有时候，过度地化简可能会导致逻辑电路的复杂性增加，或者引入一些错误。
因此，在进行逻辑函数化简时，我们需要充分理解逻辑运算的规则和性质，并结合具体的应用场景来进行合理化简。
第3章(1) 逻辑代数
3.2 逻辑函数的卡诺图化简法
3.2.1 最小项的定义及其性质
1、最小项 ⑴、定义：
在n个变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘 积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m 中出现一次，则称m为该组变量的最小项。
例：3变量逻辑函数中
ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC, ABC , ABC 是最小项
一、化简的意义和最简的概念 1、化简的意义
• 节省器材。元器件减少，成本降低。
• 提高了工作的可靠性。单个门电路减少，输入、输出头减 少，电路的工作可靠性提高
· 例： A B·
·· &
１
&
C
·１
&
≥１ Y=ABC+ABC+ABC
A
&
Y=ABC+ABC+ABC
B
≥１
C
=A(BC+BC+BC) =A(BC+BC+BC+BC) =A(B+C)
4、配项法：
利用 A=A（B+ B ）作配项用，然后消去更多的项 Z=AB+ A C+BC=AB+ A C+（A+ A ）BC
=AB+ A C+ABC+ A BC=AB+ A C 也可利用 A+1=1 或 A+A=A 来配项
Z=ABC+ A BC+ AB C=ABC+ A BC+ AB C+ABC =（A+ A ）BC+（ AB +AB）C=BC+C=C
3.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1 基本关系 加运算规则: 0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1 A+0 =A，A+1 =1，A+A A+A =1 =A， 乘运算规则: 0•0=0 0•1=0 1•0=0 1•1=1
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3.2.2 逻辑代数的基本定律
（1）0-1律： ） 律 （2）自等律： ）自等律： （3）重叠律： ）重叠律： （4）互补律： ）互补律： （5）还原律： ）还原律： （6）交换律： ）交换律： （7）结合律： ）结合律：
A ⋅ 0 = 0 ； A +1 = 1 。 A ⋅1 = A ； A + 0 = A 。 A⋅ A = A； A + A = 1 。 A⋅ A = 0 ； A + A = 1 。 A=A 。 A⋅ B = B ⋅ A； A + B = B + A 。
试求其反函数。 【例3-2】 已知逻辑函数 F = A + B (C + DE ) ，试求其反函数。 】 解：
F = A( B + C ( D + E ))
而不应该是
F = AB + CD + E
2．反演规则 ．
原则： 原则： (2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。或不属于单个变量上的 不属于单个变量上的反号应保留不变。 反号下面的函数当一个变量处理。 反号下面的函数当一个变量处理。 3-3】 【例3-3】 已知 F = A + B + C D + E , 求 F 解法一： 解法一：
F = AB + C + A + BC = ABC + ABC = ( A + B )C + A( B + C ) = AC + BC + AB + AC = A + BC
3含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现 的位置都 任何一个含有变量 的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都 的逻辑等式 代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。 代之以同一个逻辑函数 ，则等式仍然成立。 例: A（B+C）=AB+AC，等式中的 都用（C+D）代替， 代替， ，等式中的C都用 该逻辑等式仍然成立， 该逻辑等式仍然成立，即 A（B+（C+D））=AB+A（C+D）
F = AB + CD ，求 F * 。
F * = ( A + B )(C + D )
。 F*
【例3-5】 已知 F = A + B + C D + E ，求 】 解：
F = A + B + C D + E = A + B + CDE
F * = A B (C + D + E ) = AB + CDE
逻辑表达式 逻辑图 波形图和卡诺图
3.2 逻辑代数的运算规则
3.2.1 逻辑代数基本公理
公理1： 公理 ： 为逻辑变量， 设A为逻辑变量，若A≠0，则A＝1；若A≠l，则A＝0。这个公理 为逻辑变量 ， ＝ ； ， ＝ 。 决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的0和 ， 决定了逻辑变量的双值性。在逻辑变量和逻辑函数中的 和1，不是数 值的0和 ，而是代表两种逻辑状态。 值的 和1，而是代表两种逻辑状态。 公理2： 公理 ： 0 ⋅ 0 = 0 ； 1 + 1 = 1 。式中点表示逻辑与，在用文字表述 式中点表示逻辑与， 时常省略；加号表示逻辑或。 时常省略；加号表示逻辑或。 公理3： 公理 ： 1 ⋅1 = 1 ； 0 + 0 = 0 。 公理4： 公理 ： 0 ⋅1 = 0 ； 1 + 0 = 1 。 1 ⋅ 0 = 0 ； 0 + 1 = 1 。 公理5： 公理 ： 0 = 1 ； 1= 0 。
C ( A, B ) = AB = AB
图 3-1 例3-7的逻辑图 的逻辑图
S
3.3.3 真值表表述
【例3-8】 】 列出函数Y=AB+BC+CA的 列出函数 的 真值表。 真值表。 解： 从真值表中可以看出， 从真值表中可以看出，这 是一个多数表决通过的逻辑函 当输入变量A 数，当输入变量A、B、C中有 两个或两个以上为1 两个或两个以上为1时，输出 变量Y 变量Y为1。
3.2.3 摩根定理
运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“ 运算。 （1）逻辑变量“与”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“或”运算。 ）逻辑变量“ 用公式表示如下： 用公式表示如下：
AB = A + B
运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“ 运算。 （2）逻辑变量“或”运算后取反等于各个逻辑变量分别取反的“与”运算。 ）逻辑变量“ 用公式表示如下： 用公式表示如下：
。
F = A + B + C D + E = A + B + CDE F = A( B + CDE ) = AB + ACDE
解法二： 解法二：
F = A + B + C D + E = A B (C + D + E ) = A( B + C + D + E ) = A( B + CDE ) = AB + ACDE
(利用0 − 1律和自等律） (利用乘对加的分配律） ( 利用重叠律) (利用乘对加的分配律) (利用乘对加的分配律)
3.2.2 逻辑代数的基本定律
⋅ = （9）吸收律： A + AB = A；A（A + B） A ）吸收律：
证明： 证明： A + AB = A 1 + B） A ⋅1 = A （ =
表3-2 例3-8的真值表 的真值表 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Y 0 0 0 1 0 1 1 1
3.3.4 卡诺图表述
(a) 2变量卡诺图 变量卡诺图
(b) 3变量卡诺图 变量卡诺图
(c) 4变量卡诺图 变量卡诺图
F * = ( AC + B )( A + BC ) = ( A + B)(C + B )( A + B)( A + C ) = ( A + B )( B + C )( A + C ) = A( B + C )( A + C ) + B ( B + C )( A + C ) = ( B + C )( A + AC ) + ( B + BC )( A + C ) = A( B + C ) + B( A + C ) = F
A + B = AB
上述两个定理也适用于多个变量的情形， 上述两个定理也适用于多个变量的情形，如：
ABC = A + B + C A + B + C = ABC
3.2.3 摩根定理
【例3-1】 应用摩根定理化简逻辑函数 】 解：反复应用摩根定理可得： 反复应用摩根定理可得：
F = ( AB + C )( A + BC )
图3-3 5变量的卡诺图 变量的卡诺图
3.4 逻辑函数的标准形式
3.4.1 最小项表述
1．最小项的定义 ． 设有n个变量 它们所组成的具有n个变量的 个变量， 个变量的“ 项中， 设有 个变量，它们所组成的具有 个变量的“与”项中，每个变量以原 变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。 变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。
3.2.4 逻辑代数的基本规则
2．反演规则 ．
对于任何一个逻辑表式F，若将其中所有的与“ 变成或 变成或“ ， 对于任何一个逻辑表式 ，若将其中所有的与“· ”变成或“+”， 换成“ ， 换成“ ， 换成“ ，原变量换成反变量， “+”换成“· ”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量， 换成 换成 换成 F 反变量换成原变量， 反变量换成原变量，则得到的结果就是 。 原则： 原则： (1) 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。 注意保持原函数中的运算符号的优先顺序不变。
图3-2 2、3、4变量的卡诺图 、 、 变量的卡诺图 CDE AB 00 01 11 10 000 m0 m8 m24 m16 001 m1 m9 m25 m17 011 m3 m11 m27 m19 010 m2 m10 m26 m18 110 m6 m14 m30 m22 111 m7 m15 m31 m23 101 m5 m13 m29 m21 100 m4 m12 m28 m20
3.2.2 逻辑代数的基本定律
（11）反演律（摩根定理） A ⋅ B = A + B ； A + B = A B ）反演律（摩根定理）
采用真值表法证明，反演律成立。 采用真值表法证明，反演律成立。 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
A· B
1 1 1 0
A+ B
1 1 1 0
A+B
1 0 0 0
3.3 逻辑函数表述方法
3.3.1 逻辑代数表达式
F ( A, B, C , D) = ABC + ABC + ABD + ABCD
3.3.2 逻辑图表述
逻辑图的逻辑功能。 【例3-7】 分析图 】 分析图3-1逻辑图的逻辑功能。 逻辑图的逻辑功能 解：由图可知
A B C
S ( A, B) = ( A + B ) AB
3.2.2 逻辑代数的基本定律
⋅ = （ = （ ⋅ （8）分配律： A（B + C） AB + AC ； A + B ⋅ C）（A + B） A + C） ）
加（逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下： 逻辑或）对乘（逻辑与）的分配律证明如下：