2016_2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课件北师大版选修1_2
当n＝5时，a5＝(52－5×5－5)2＝25.
【纠错心得】 归纳得出的结论不一定正确，需要进行验 证．另外说明一个命题正确要进行证明，而说明其错误则举出
一个反例即可．
52＋5＋2 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝ ＝16. 2
(2)根据题意猜想： 圆内两两相交的 n(n≥2)条线段，彼此最多分割为 f(n)＝n2 n2＋n＋2 条线段，将圆最多分割为 g(n)＝ 部分． 2
方法二：(1)求 f(n)同方法一， ∵g(2)－g(1)＝2，g(3)－g(2)＝3，g(4)－g(3)＝4， ∴g(5)－g(4)＝5，g(5)＝g(4)＋5＝11＋5＝16. (2)由(1)归纳猜测 g(n)－g(n－1)＝n， ∴累加得 g(n)－g(1)＝2＋3＋4＋…＋n. ∴g(n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋1 nn＋1 n2＋n＋2 ＝ 2 ＋1＝ . 2
第 三 章
推理与证明
§1 归纳与类比
1．1 归纳推理
课前预习学案
有下列几个结论 ①若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件； 1 ②抛物线 y ＝4x 关于直线 x＝y 对称的抛物线的焦点坐标
2
1 是0，16；
③x>3 是 x≥3 的充分但不必要条件； 1 ④函数 f(x)＝ 2(x∈R)的值域是[0,1]． 1＋x 其中正确的是________．(填序号) 提示： ①②③
a4＝a3＋5＝9. 由a1＝02，a2＝12，a3＝22，a4＝32，
可归纳猜想出an＝(n－1)2.
an (2)当 n＝1，a1＝1，由 an＋1＝ (n∈N*)，得 1＋2an 1 a2 1 a3 1 a2＝3，a3＝ ＝ ，a ＝ ＝ . 1＋2a2 5 4 1＋2a3 7 1 1 1 1 由 a1＝1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7， 1 可归纳猜想出 an＝ (n∈N*) 2n－1
2 ∴a2 ＋ 2 a － 1 ＝ 0 ，即 ( a ＋ 1) ＝2. 2 2 2
1分
∵a2＞0，∴a2＝ 2－1.
3分
1 1 令 n＝3，则 S3＝2a3＋a . 3 1 1 ∴a1＋a2＋a3＝2a3＋2a . 3 1 1 即 2＋2a3＝2a . 3
2 ∴a2 ＋ 2 2 a ＝ 1 ，即 ( a ＋ 2) ＝3. 3 3 3
3．根据下列条件，写出数列的前 4 项，并归纳猜想它的通 项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)； an (2)a1＝1，an＋1＝ . 1＋2an
解析： (1)当n＝1时，a1＝0， 由an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)得a2＝a1＋1＝1，
a3＝a2＋3＝4，
特点进行归纳猜想．
[边听边记]
设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成
的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
2 1 ＋1＋2 2 方法一：(1)f(1)＝1＝1 ，g(1)＝2＝ ； 2 2 2 ＋2＋2 2 f(2)＝4＝2 ，g(2)＝4＝ ； 2 2 3 ＋3＋2 2 f(3)＝9＝3 ，g(3)＝7＝ ； 2 2 4 ＋4＋2 2 f(4)＝16＝4 ，g(4)＝11＝ ； 2
思路二：逐一求出 a1，a2，a3，a4 后归纳猜想出 an.
[规范解答]
1 1 方法一：a1＝S1＝2a1＋a ， 1 1分
又因为 a1>0，所以 a1＝1.
1 1 1 1 当 n≥2 时，Sn＝2an＋a ，Sn－1＝2an－1＋a ， 3分 － n n 1 两式相减得： 1 1 1 1 an＝2an＋a －2an－1＋a ， n n－1
归纳推理的特点 1．归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所 得的结论超越了前提所包容的范围． 2．归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未
知的现象，因而结论具有猜测的性质．
3．归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、 经验或实验的基础上的． 由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到 一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用
1 1 即 an－a ＝－an－1＋a ， － n 1 n
6分
1 所以 a2－a ＝－2，又因为 a2>0，所以 a2＝ 2－1. 7 分 2 1 a3－a ＝－2 2，又因为 a3>0，所以 a3＝ 3－ 2. 8 分 3 1 a4－a ＝－2 3，又因为 a4>0，所以 a4＝2－ 3. 4 将上面 4 个式子写成统一的形式：a1＝ 1－ 0， a2＝ 2－ 1，a3＝ 3－ 2，a4＝ 4－ 3， 由此可以归纳推测：an＝ n－ n－1. 12 分 9分
答案： A
2．(2014·陕西卷)观察分析下表中的数据： 多面体
三棱柱
五棱锥
面数(F) 5 6
顶点数(V) 6 6
棱数(E) 9 10
立方体
6812猜来自一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析： ∵5＋6－9＝2；
6＋6－10＝2；
6＋8－12＝2， 归纳：F＋V－E＝2.
答案： F＋V－E＝2
3．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋ 43 ＝ 102 ， … ， 根 据 上 述 规 律 ， 第 五 个 等 式 为 __________________．
解析：
考查学生类比推理能力，观察给定的式子，第 n
个式子，左边应为13＋23＋……＋(n＋1)3 右边应为(1＋2＋3＋……＋n＋1)2
答案： 任何形如 2 ＋1(n∈N＋)的数都是质数
2n
21
22
23
24
2n
2n
归纳推理从个别到一般，通过归纳猜想结
论．一般来说，归纳推理发现真理过程以观察和实验作为基 础，从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形成一般 命题→结论猜想→证明．
1． 观察下列等式， 并从中归纳出一般结论： sin230° ＋sin290° 3 3 2 2 2 ＋sin 150° ＝2，sin 5° ＋sin 65° ＋sin 125° ＝2，….
合情不一定合理
数列 {an} 的通项公式为 an ＝ (n2 － 5n ＋ 5)2 ，计算得 a1 ＝ 1，a2＝1，a3＝1，于是你可以猜想出什么结论，你的猜想正确 吗？ 【考查内容】 归纳推理的特点． 【解题关键】 了解不完全归纳的局限性，有限项成立 时，不一定所有情况都成立．
【正解】 猜想：an＝1. 猜想不正确，
归纳推理在数列中的应用
1 1 (12 分)已知正项数列{an}满足 Sn＝2an＋a ，求出 n a1，a2，a3，a4，并推测 an.
[思路导引] 思路一：由 an＝Sn－Sn－1(n≥2)得到 an 与 an－1 的 递推关系，分别求出 a1，a2，a3，a4，并分析特征，猜想出通项 公式 an.
1 1 方法二：令 n＝1，则 S1＝2a1＋a ， 1 1 1 即 a1＝2a1＋2a ， 1 ∴a2 1＝1，又 a1＞0，∴a1＝1. 1 1 令 n＝2，则 S2＝2a2＋a ， 2 1 1 即 a1＋a2＝2a2＋a . 2 1 1 ∴1＋2a2＝2a . 2
21 22 23 24
[ 思路导引 ] 根据给出的数字等式观察数字等式的结构特 征，如数式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等．提练 出数字等式的变化规律，归纳出一般结论．
解析： 观察分析可知： 等式左边第 1 项与序号的关系为： 1→2 ， 2→2 ， 3→2 ， 4→2 ， 猜测项与序号的关系为 n→2 ； 等式右边各数都是质数，故猜想：任何形如 2 ＋1(n∈N＋)的数 都是质数．
的．观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性
的说法，正是科学研究的最基本的方法之一．
1.观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图 形为( ) B．△ D．○ 图形涉及□、○、△三种符号；其中○与△各有 A．■ C．□ 解析： 合适．
3个，且各自有两黑一白，所以缺一个 □符号，即应画上■才
当n＝6时，26>62；
当n＝7时，27>72. 可以归纳猜想：当n＝3时，2n<n2， 当n∈N＋，且n≠3时，2n≥n2.
课堂互动讲义
归纳推理在等式和数式中的应用
由 2 ＋ 1 ＝ 5,2 ＋ 1 ＝ 17,2 ＋ 1 ＝ 257,2 ＋ 1 ＝ 65 537 都是质数，于是猜想：___________________.
1．归纳推理的含义
部分事物 具有某种属性，推断这类事 根据一类事物中 ___________ 每一个都有这种属性 ，我们将这种推理方式称为归纳 物中______________________ 推理．
2．归纳推理的特征
部分 到 ______ 一般 的推 整体 ，由 ______ 个别 到 ______ 归纳推理是由 ______ 理．
7分
∴a1＝1＝ 1－ 0， a2＝ 2－1＝ 2－ 1， a3＝ 3－ 2， a4＝2－ 3＝ 4－ 3. 归纳可得 an＝ n－ n－1. 10 分 12 分
1.归纳推理的一般步骤
第一步：通过观察特殊例子发现共性或一般规律； 第二步：把这种共性推广为一般性命题(猜想)． 2．数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之 间的对应关系，通常根据已知的递推公式算出数列的前几项， 然后归纳出数列的通项公式．
故第五个式子应为13＋23＋33＋43＋53＋63
＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
4．对任意正整数n，猜想2n与n2的大小． 解析： 当n＝1时，21>12； 当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23<32；
当n＝4时，24＝42； 当n＝5时，25>52；
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归纳与类比课件
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是(
A．an＝2n－1
)
B．an＝2n－1
C．an＝2n－1－1
答案： C
D．an＝2n－1＋1
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
2．下列说法正确的是( A．合情推理就是归纳推理
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
5．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：
“________________”，这个类比命题的真假性是________．
解析： 由类比推理可知．
答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
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答案：
f3(x)＝
x 1－22x
fn(x)＝
x － (n∈N＋) 1－2n 1x
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律， 可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构．
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定
答案：
3
6
15
nn－1 2
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第六章
不等式 推理与证明
栏目导引
x 【变式训练】 1.已知： f(x)＝ ， f1(x)＝f(x)，n(x)＝fn－1[fn－1(x)](n 设 f 1－x ＞1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为______________，猜想 fn(x)(n∈N＋) 的表达式为________．
高中数第三章推理与证明1.1归纳推理课件北师大版选修12
∵对一切的n∈N＋,an>0,∴a2＝3. 同理可求得a3＝5,a4＝7,猜想出an＝2n－1(n∈N＋).
题型二 几何中的归纳推理
例2 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)是由这 样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去, 那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是( )
解析 观察式子的结构可知：如果不等式的左边是 n 项的和 (n≥2),则不等式左端就为 1＋212＋312＋…＋n12,而右端分母正好是 n,分子是 2n－1,因此可以猜想,n≥2 时,满足的不等式为 1＋212＋ 312＋…＋n12＜2nn－1.
∴第 n 个不等式为：1＋212＋312＋…＋n＋112＜2nn＋＋11.
思考 什么情况下可以进行归纳推理？ 答 若干个特殊的对象具有相同的形式和结论，可以进行 归纳，进而推广到一般情形.
知识点二 归纳推理的特征
归纳推理是由 部分到 ,由整体 到个的别推理. 一般
知识点三 归纳推理结论真假
利用归纳推理得出的结论. 不一定是正确的
知识点四 思维过程流程图
实验、观察 → 概括、推广 → 猜想一般性结论
解析 图(1)是1个小正方体木块, 图(2)是(2＋1×4)个小正方体木块, 图(3)是[3＋(1＋2)×4]个小正方体木块, 按照前三个图所反映出来的规律,归纳推理可知,第七个叠放 的图形中小正方体木块数应是7＋(1＋2＋3＋…＋6)×4＝91. 故选C. 答案 C
反思与感悟 由一组平面或空间图形,归纳猜想其数量的 变化规律,也是高考的热点问题.这类问题颇有智力趣题的 味道,可以激励学生仔细观察,从不同的角度探索规律.解决 这类问题常常可从两个方面入手：(1)图形的数量规律；(2) 图形的结构变化规律.
高中数学 推理与证明课件
面面积，那么你类比得到的
结论是
S12
S
2 2
S
2 3
S
2 4
.
如何证明
变式训练2： 在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a， 则△ABC的外接圆的半径 r a2 b2 ，
2
把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。
变式训练3：
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
注：演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论 必然是正确的。
例3:有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,
则平行于平面内所有直线；已知直线l∥平面 ，
直线a 平面, 则直线l / /直线a ,的结论显然是错
误的，这是因为
A.大前提错误 √
C.推理形式错误
B.小前提错误 D.非以上错误
变式训练4：
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为S 1 (a b c)r,r为三角形内切圆半径 2
请类比出四面体的有关性质？
在三角形中有下列性质：
(1) 三角形的两边之和大于第三边；
(2) 三角形的中位线等于第三边的一半；
(3) 三角形的面积为
,r为三角形内
切圆半径
请类比出四面体的有关性质？
2 变式训练1： tan 5 • tan10 tan 5 • tan 75 tan10 • tan 75 1
tan10 • tan 20 tan10 • tan 60 tan 20 • tan 60 1
tan15 • tan 35 tan15 • tan 40 tan 35 • tan 40 1 由以上两式可以推出什么结论，并证明
例2. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的 一个角，那么截下的一个直角三角形，
中学高三数学推理与证明课件复习课件新人教A版
归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质． ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性 命题(猜想)．
(2)类比推理 根据 两类不同 事物之间具 有的某些 类似 (或一致)性 推测其 中一类事物具有与 另一类事物类似 (或相同 )的性 质，这样的推理叫类比推理． 类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的 结论可能是真的．所以类比推理属于合情推理．
如图②，连接 BE 并延长交 CD 于 F，连接 AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF⊂平面 ACD， ∴AB⊥AF， 在 Rt△ABF 中，AE⊥BF， ∴A1E2＝A1B2＋A1F2.
在 Rt△ACD 中，AF⊥CD， ∴A1F2＝A1C2＋A1D2. ∴A1E2＝A1B2＋A1C2＋A1D2，故猜想正确．
解析：设 AB＝a，AC＝b，AD＝c.
∵三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两垂直，
∴AB、AC、AD 两两垂直．
∴S△2 ABC＋S2△ACD＋S2△ADB＝14a2b2＋14a2c2＋14b2c2. 作 BE⊥DC 于 E，连接 AE，则 CD⊥AE.
在 Rt△CAD 中，AE＝
bc b2＋c2 .
3．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征， ②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物 的相似性质等入手进行类比．
归纳推理
[例 1] 平面内有 n 条直线，其中任何两条都不平行， 任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．
解析：n＝2 时，交点个数：f(2)＝1. n＝3 时，交点个数：f(3)＝3. n＝4 时，交点个数：f(4)＝6. n＝5 时，交点个数：f(5)＝10. 归纳猜想 f(n)＝12n(n－1)(n≥2)．
高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课件
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1．下面几种推理是类比推理的是( ) A．因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角 和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2) B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位 团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能 被2整除 答案： B
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
解析： 如图①所示，在平面△DEF 中，正弦定理为sDinEF ＝siEnFD＝sDinFE.如图②，已知平面 SAB，SAC，SBC 与底面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3.
类比可得，在四面体 S－ABC 中，有sSi△nSAαB1＝sSi△nSAαC2＝sSi△nSBαC3. 即sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3.
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
三角形的面积 S＝12(a＋b＋c)r(r 为三角形内 切圆的半径)
四面体
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
[思路导引] 已知三角形和四面体的“外在”性质，合理寻找
类比对象对二者“内在”性质进行探究．
[边听边记] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形
，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三
答案： 正四面体的内切球半径是高的14
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
北师版数学高二选修1-2课件 归纳与类比
an＝a1qn－1
性质 若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
跟踪训练3 若数列{an}(n∈N＋)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋n …＋an (n∈N＋)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列， 且cn>0，则有数列dn＝_n_c_1_c_2c_3_…_c_n_(n∈N＋)也是等比数列.
解答
(1)类比推理的一般步骤
反思与感悟
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与 球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下：
平面图形 点
直线 边长 面积 三角形 线线角
空间图形 直线 平面 面积 体积 四面体 面面角
跟踪训练4 如图，在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别 为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.
答案
梳理
(1)定义：由两类不同对象具有某些 类似 的特征在此基础上，根据一类对 象的其他特征，推断 另一类对象 也具有类似的其他特征的推理称为类比 推理(简称类化). (2)特征：由特殊 到 特殊 的推理.
知识点三 合情推理
思考1
归纳推理与类比推理有何区别与联系？ 答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理，而类比推理是 由特殊到特殊的推理. 联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.
C.n2
D.n
解析 答案
反思与感悟
图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量变化规律入手，找到数值变化与数量的关系. (2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上 一次比较，数值发生了怎样的变化.
高中数学 第三章 推理与证明整合课件 北师大版选修1-2
-5-
本章整合
专题二
知识网络
专题探究
专题一
专题三
【应用 2】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似 地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂 巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f(n)表示第 n 个图的蜂巢总数.
(1)试给出 f(4),f(5)的值,并求 f(n)的表达式(不要求证明); (2)证明:
(1)解:f(4)=37,f(5)=61. 因为 f(2)-f(1)=7-1=6, f(3)-f(2)=19-7=2×6, f(4)-f(3)=37-19=3×6, f(5)-f(4)=61-37=4×6, … 所以当 n≥2 时,有 f(n)-f(n-1)=6(n-1), 所以 f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1) =6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1. 又 f(1)=1=3×12-3×1+1, 所以 f(n)=3n2-3n+1.
O 所作的
不在同一平面内的三条射线 OP,OQ 和 OR 上分别有点 P1,P2,点 Q1,Q2,点 R1,R2,则类似的结论为 .
图①
图②
-4-
本章整合
专题二
知识网络
专题探究
专题一
专题三
如:
������△������������1 ������1 ������△������������2 ������2 ������������-������ ������������-������
高中数学 第三章 推理与证明本章知识体系课件 北师大版选修1-2
＝ax1(ax2－x1－1)＋x23＋x12－xx1＋1 1. 因为 x2－x1>0，又 a>1，所以 ax2－x1>1. 而－1<x1<x2，所以 x1＋1>0，x2＋1>0. 所以 f(x2)－f(x1)>0. 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
【例 4】 已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1、 lga2、lga4 成等差数列．又 bn＝a12n，n＝1,2,3，….
类比是高中数学学习的重要思维，它是通过两个已知 事物在某些方面所具有的共同属性去推测这两个事物在其 他方面也具有相同或类似的属性，从而大胆猜测得到结 论．类比推理还可以培养创新精神和创造力．下面我们一 起来探讨常见的类比．
【例 1】 (1)如图所示的三个图形是由若干盆花组成 的形如三角形的图案，每条边(包括顶点)有 n(n>1)盆花，每 个图案花盆总数为 Sn，按此规律推断，Sn 与 n 的关系式是 _______n}，归纳该数列的通项公式； (3)求 a10，并说明 a10 表示的实际意义； (4)已知 an＝9 900，问 an 是数列的第几项？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
【解析】 (1)当 m＝2 时，表示一个 2 行 3 列的士兵 方阵，共有 6 人，依次可以得到当 m＝3,4,5，…时的士兵 人数分别为 12,20,30，….故所求数列为 6,12,20,30，….
[1＋n＋21]·n＋1＝n2＋32n＋2.
【答案】
(1)Sn＝3n－3
n2＋3n＋2 (2) 2
[规律方法] 解答此类题目时，需要细心观察，寻找每 一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．如果 我们把(2)中每个图形的方格总数算出来，是很难找到其中 的规律的．
高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.1归纳推理课件
答案： 任何形如 22n＋1(n∈N＋)的数都是质数
数学D 选修1-2
第三章 推理与提升
归纳推理从个别到一般，通过归 纳猜想结论．一般来说，归纳推理发现真理过程以观察和实验 作为基础，从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形 成一般命题→结论猜想→证明．
数学D 选修1-2
[思路导引] 根据给出的数字等式观察数字等式的结构特 征，如数式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等．提练 出数字等式的变化规律，归纳出一般结论．
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
解析： 观察分析可知：等式左边第 1 项与序号的关系为： 1→221，2→222，3→223，4→224，猜测项与序号的关系为 n→22n； 等式右边各数都是质数，故猜想：任何形如 22n＋1(n∈N＋)的数 都是质数．
第三章 推理与证明
课前预习学案
课堂互动讲义
课后演练提升
1．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：sin230°＋sin290° ＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32，….
解析： 观察可得两个等式的左边都是平方项的和，角度 依次相差 60°，等式的右边都是常数32，由此可得出一般结论：
数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
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数学D 选修1-2
第三章 推理与证明
课前预习学案
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课后演练提升
归纳推理在等式和数式中的应用
由 221＋1＝5,222＋1＝17,223＋1＝257,224＋1＝65 537 都是质数，于是猜想：___________________.
数学D 选修1-2
第三章 推理与提升
归纳推理从个别到一般，通过归 纳猜想结论．一般来说，归纳推理发现真理过程以观察和实验 作为基础，从具体问题→实验观察→经验归纳(归纳推理)→形 成一般命题→结论猜想→证明．
数学D 选修1-2
[思路导引] 根据给出的数字等式观察数字等式的结构特 征，如数式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等．提练 出数字等式的变化规律，归纳出一般结论．
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解析： 观察分析可知：等式左边第 1 项与序号的关系为： 1→221，2→222，3→223，4→224，猜测项与序号的关系为 n→22n； 等式右边各数都是质数，故猜想：任何形如 22n＋1(n∈N＋)的数 都是质数．
第三章 推理与证明
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1．观察下列等式，并从中归纳出一般结论：sin230°＋sin290° ＋sin2150°＝32，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝32，….
解析： 观察可得两个等式的左边都是平方项的和，角度 依次相差 60°，等式的右边都是常数32，由此可得出一般结论：
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第三章 推理与证明
课前预习学案
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第三章 推理与证明
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归纳推理在等式和数式中的应用
由 221＋1＝5,222＋1＝17,223＋1＝257,224＋1＝65 537 都是质数，于是猜想：___________________.
2016_2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课件北师大版选修1_2
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出 一个明确的命题，即猜想． [说明] 一般地，如果类比的相似性越多，相似的性质与 推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠．
2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，试 在立体几何中，给出四面体性质的猜想．
解析： 如下图，在 Rt△ABC 中，
SA⊥SC ，且平面 SAB ， SAC ， SBC 与底面 ABC 所成角分别为
α1，α2，α3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1， S2 ， S3 ，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜
想．
DE 解析： 如图①所示，在平面△DEF 中，正弦定理为sin F EF DF ＝sin D＝sin E.如图②，已知平面 SAB，SAC，SBC 与底面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3.
2 2 b a a ＋ b cos2A＋cos2B＝c 2＋c 2＝ c2 ＝1.
于是把结论类比到四面体 P－ A′B′C′中，我们猜想：三棱
锥 P － A′B′C′ 中，若三个侧面 PA′B′ 、 PB′C′ 、 PC′A′ 两两互相
垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1.
1 1 三角形的面积为 S＝2 四面体的体积为 V＝3(S1＋S2＋S3 (a＋b＋c)r(r 为三角 形内切圆的半径) ＋S4)r，S1、S2、S3、S4 为四面体四 个面的面积，r 为内切球的半径
1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需
要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关
系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中 的相关结论．
1.运用类比思想找出项与项的联系，应用等
2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，试 在立体几何中，给出四面体性质的猜想．
解析： 如下图，在 Rt△ABC 中，
SA⊥SC ，且平面 SAB ， SAC ， SBC 与底面 ABC 所成角分别为
α1，α2，α3，三侧面△SAB，△SAC，△SBC的面积分别为S1， S2 ， S3 ，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜
想．
DE 解析： 如图①所示，在平面△DEF 中，正弦定理为sin F EF DF ＝sin D＝sin E.如图②，已知平面 SAB，SAC，SBC 与底面 ABC 所成的角分别为 α1，α2，α3.
2 2 b a a ＋ b cos2A＋cos2B＝c 2＋c 2＝ c2 ＝1.
于是把结论类比到四面体 P－ A′B′C′中，我们猜想：三棱
锥 P － A′B′C′ 中，若三个侧面 PA′B′ 、 PB′C′ 、 PC′A′ 两两互相
垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1.
1 1 三角形的面积为 S＝2 四面体的体积为 V＝3(S1＋S2＋S3 (a＋b＋c)r(r 为三角 形内切圆的半径) ＋S4)r，S1、S2、S3、S4 为四面体四 个面的面积，r 为内切球的半径
1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需
要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关
系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中 的相关结论．
1.运用类比思想找出项与项的联系，应用等