2019-2020学年天津市耀华中学高三(上)第一次月考数学试卷
2019-2020学年天津市耀华中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|3x 2+x −2≤0}，B ＝{x|log 2(2x −1)≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.[−1, 23]B.[23,1]C.(12,1]D.(12,23]【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】集合A ＝{x|3x 2+x −2≤0}＝{x|−1≤x ≤23}，B ＝{x|log 2(2x −1)≤0}＝{x|0<2x −1≤1}＝{x|12<x ≤1}， 则A ∩B ＝{x|12<x ≤23}＝(12, 23]．2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1, 2)内是增函数的为（ ） A.y ＝cos 2x ，x ∈R B.y ＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0 C.y =e x −e −x2,x ∈R D.y ＝x 3+1，x ∈R【答案】 B【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】利用函数奇偶性的定义可排除C ，D ，再由在区间(1, 2)内有增区间，有减区间，可排除A ，从而可得答案． 【解答】对于A ，令y ＝f(x)＝cos 2x ，则f(−x)＝cos (−2x)＝cos 2x ＝f(x)，为偶函数， 而f(x)＝cos 2x 在[0, π2]上单调递减，在[π2, π]上单调递增，故f(x)＝cos 2x 在(1, π2]上单调递减，在[π2, 2)上单调递增，故排除A ；对于B ，令y ＝f(x)＝log 2|x|，x ∈R 且x ≠0，同理可证f(x)为偶函数，当x ∈(1, 2)时，y ＝f(x)＝log 2|x|＝log 2x ，为增函数，故B 满足题意； 对于C ，令y ＝f(x)=e x −e −x2,x ∈R ，f(−x)＝−f(x)，为奇函数，故可排除C ；而D ，为非奇非偶函数，可排除D ；3. 设a =log 36，b =log 510，c =log 714，则( )A.c >b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c 【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】利用log a (xy)=log a x +log a y(x 、y >0)，化简a ，b ，c 然后比较log 32，log 52，log 72大小即可． 【解答】解：因为a =log 36=1+log 32，b =log 510=1+log 52，c =log 714=1+log 72， 因为y =log 2x 是增函数， 所以log 27>log 25>log 23. 因为log 27=1log 72，log 25=1log 52，log 23=1log 32，所以log 32>log 52>log 72， 所以a >b >c . 故选D ．4. 设α∈R ，则“sin α=12”是“α＝2kπ+π6，k ∈Z ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】若sin α=12，则α=2kπ+π6(k ∈z)或α=2kπ+5π6(k ∈z)，∴ “sin α=12”是“α=2kπ+π6(k ∈z)”的必要不充分条件．5. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2acos A =3c−2b cos B，且b =√5sin B ，则a ＝（ ） A.53B.23C.35D.2√53【答案】A【考点】 正弦定理 【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A ＝2sin C ，结合sin C ≠0，可得cos A ，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理可求a 的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6. 已知x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点．若x1∈(1, x0)，x2∈(x0, +∞)，则（）A.f(x1)<0，f(x2)<0 B.f(x1)<0，f(x2)>0C.f(x1)>0，f(x2)<0D.f(x1)>0，f(x2)>0【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】因为x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点可得到f(x0)＝0，再由函数f(x)的单调性可得到答案．【解答】∵x0是函数f(x)＝2x+11−x的一个零点∴f(x0)＝0∵f(x)＝2x+11−x是单调递增函数，且x1∈(1, x0)，x2∈(x0, +∞)，∴f(x1)<f(x0)＝0<f(x2)7. 已知函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f(x)的图象（）A.关于点(π12, 0)对称 B.关于直线x=π12对称C.关于点(5π12, 0)对称 D.关于直线x=5π12对称【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】由周期求出ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x+φ)，再根据图象向右平移π3个单位后得到的函数y＝sin(2x−2π3+φ]是奇函数，可得φ=−π3，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．【解答】由题意可得2πω=π，解得ω＝2，故函数f(x)＝sin(2x+φ)，其图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2(x−π3)+φ]＝sin(2x−2π3+φ]是奇函数，又|φ|<π2，故φ=−π3，故函数f(x)＝sin(2x−π3)，故当x=5π12时，函数f(x)＝sinπ2=1，故函数f(x)＝sin(2x−π3)关于直线x=5π12对称，8.若函数f(x)=e x(sin x+a cos x)在(π4, π2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A.(−∞, 1]B.(−∞, 1)C.[1, +∞)D.(1, +∞)【答案】A【考点】函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．【解答】解：∵f(x)=e x(sin x+a cos x)在(π4, π2)上单调递增，∴f′(x)=e x[(1−a)sin x+(1+a)cos x]≥0在(π4, π2)上恒成立，∵e x>0在(π4, π2)上恒成立，∴(1−a)sin x+(1+a)cos x≥0在(π4, π2)上恒成立，∴a(sin x−cos x)≤sin x+cos x在(π4, π2)上恒成立,∴a≤sin x+cos xsin x−cos x，设g(x)=sin x+cos xsin x−cos x，∴g′(x)=−2(sin x−cos x)<0在(π4, π2)上恒成立，∴g(x)在(π4, π2)上单调递减，∴g(x)>g(π2)=1，∴a≤1，故选A ．9. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120∘，点E 、F 分别在边BC 、DC 上，BE →=λBC →，DF →=μDC →，若AE →⋅AF →=1，CE →⋅CF →=−23，则λ+μ＝（ ） A.12B.23C.56D.712【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由AE →⋅AF →=1，求得4λ+4μ−2λμ＝3 ①；再由CE →⋅CF →=−23，求得−λ−μ+λμ=−23②．结合①②求得λ+μ的值． 【解答】由题意可得若AE →⋅AF →=(AB →+BE →)⋅(AD →+DF →)=AB →⋅AD →+AB →⋅DF →+BE →⋅AD →+BE →⋅DF →＝2×2×cos 120∘+AB →⋅μAB →+λAD →⋅AD →+λAD →⋅μAB →=−2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos 120∘＝4λ+4μ−2λμ−2＝1， ∴ 4λ+4μ−2λμ＝3 ①．CE →⋅CF →=−EC →⋅(−FC →)=EC →⋅FC →=(1−λ)BC →⋅(1−μ)DC →=(1−λ)AD →⋅(1−μ)AB →＝(1−λ)(1−μ)×2×2×cos 120∘＝(1−λ−μ+λμ)(−2)=−23，即−λ−μ+λμ=−23②． 由①②求得λ+μ=56，二、填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．如复数z =1+i1−i +m(1−i)（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m 的值为________． 【答案】 0【考点】 复数的运算 【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，又已知复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】∵z=1+i1−i +m(1−i)=(1+i)21−i2+m(1−i)＝m+(1−m)i为纯虚数，∴{m=01−m≠0，解得m＝0．则实数m的值为：0．(3x+√x)4的展开式中x3的系数是________．【答案】54【考点】二项式定理及相关概念【解析】求出(3x+√x)4的通项公式为T r+1，通过x的幂指数，求出r的值，即可求得x3的系数．【解答】由于(3x+√x)4的展开式的通项公式为T r+1=C4r(3x)4−r⋅(√x)r=C4r⋅34−r⋅x4−r2，令4−r2=3，解得r＝2，故(3x+√x)4的展开式中x3的系数是：C42⋅32=54，如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1−BFE的体积为________．【答案】112【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由V B1−BEF =V E−BB1F，利用等积法能求出三棱锥B1−BFE的体积．【解答】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，∴三棱锥B1−BFE的体积：V B1−BEF =V E−BB1F=13×AD×S△BB1F=13×1×12×12×1=112．故答案为：112．数列{a n}中，已知a1=1,a2=2,a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，则a2020＝________．−1【考点】 数列递推式 【解析】将a 1，a 2的值代入，求出前8项即可求得数列{a n }是以6为周期的周期数列，即可求解． 【解答】∵ a 1=1,a 2=2,a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，； ∴ a 3＝1；同理可得：a 4＝−1，a 5＝−2，a 6＝−1，a 7＝1，a 8＝2； ∴ 数列{a n }是以6为周期的周期数列； ∴ a 2020＝a 4＝−1；不等式x +2√2xy ≤a(x +y)对任意正数x ，y 恒成立，则正数a 的最小值是________． 【答案】 2【考点】函数恒成立问题 【解析】 分离参数得a ≥x+2√2xy x+y=1+2√2√yx1+y x，令√yx =t ，得出不等号右侧关于t 的函数，求出函数的最大值即可得出a 的最小值． 【解答】由x +2√≤a(x +y)可得a ≥x+2√2xy x+y=1+2√2√yx1+y x，令√yx =t(t >0)，f(t)=1+2√2t1+t 2(t >0)，则f′(t)=−2√2t 2−2t+2√2(1+t 2)2，令f′(t)＝0可得t=√22或t =−√2（舍）． ∴ 当0<t <√22时，f′(t)>0，当t >√22时，f′(t)<0，∴ f(t)在(0, √22)上单调递增，在(√22, +∞)上单调递减， ∴ 当t =√22时，f(t)取得最大值f(√22)＝2． ∴ a ≥2．设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个函数，f(x)满足f(x +2)＝−f(x)，g(x)满足g(x +2)＝g(x)，且当x ∈(0, 2]时，f(x)=√−x 2+2x ，g(x)={k(x +2)0<x ≤1−121<x ≤2 ，若在区间[0, 11]上，关于x 的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】 [13, √24)函数的零点与方程根的关系 【解析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解答】由f(x +2)＝−f(x)，得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，所以函数的周期是4． 作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图可知，函数f(x)与g(x)=−12[0, 11]仅有2个实数根； 要使关于x 的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则f(x)=√−x 2+2x ，x ∈(0, 2]与g(x)＝k(x +2)，x ∈(0, 1]的图象有2个不同交点， 由(1, 0)到直线kx −y +2k ＝0的距离为1，得√k 2+1=1，解得k =√24(k >0)，又因为两点(−2, 0)，(1, 1)连线的斜率k =13，三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（2016·山东济南一模）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分． 求ξ的分布列和数学期望；求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 【答案】解由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30． P(ξ=0)=15×14×13=160，P(ξ=10)=45×14×13+15×34×13+15×14×23=960=320，P(ξ=20)=4×3×1+4×1×2+1×3×2=26=13 P(ξ=30)=45×34×23=2460=25．ξ的分布列为∴ E(ξ)=0×160+10×320+20×1330+30×25=1336．用A 表示“甲得30分，乙得0分”， 用B 表示“甲得20分，乙得10分”， 且A ，B 互斥．又P(A)=(34)3×160=91280，P(B)=C 32(34)2×14×320=811280，甲、乙两队得分总和为30分且甲队获胜的概率为P(A +B)=P(A)+P(B)=901280=9128． 【考点】离散型随机变量的期望与方差 古典概型及其概率计算公式 离散型随机变量及其分布列 【解析】 此题暂无解析 【解答】 略 略如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中AD // BC ，AB ⊥AD ，AB ＝AD =12BC ＝2，PA ＝4，E 为棱BC 上的点，且BE =14BC ．求证：DE ⊥平面PAC ；(Ⅱ)求二面角A −PC −D 的余弦值；(Ⅲ)设Q 为棱CP 上的点（不与C 、P 重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55，求CQCP 的值．【答案】证明：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，E(2, 1, 0)， DE →=(2, −1, 0)，AC →=(2, 4, 0)，AP →=(0, 0, 4)， ∵ DE →⋅AC →=0，DE →⋅AP →=0， ∴ DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，∵ AP ∩AC ＝A ，∴ DE ⊥平面PAC ．（2）由(Ⅰ)知平面PAC 的法向量m →=(2, −1, 0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ PD →=(0, 2, −4)，PC →=(2, 4, −4)，∴ {n →⋅PD →=2y −4z =0n →⋅PC →=2x +4y −4z =0 ，取z ＝1，得n →=(−2, 2, 1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=−2√55， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为2√55． (Ⅲ)设CQ CP=λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)，∴ Q ＝(2−2λ, 4−4λ, 4λ)， ∴ QE →=(2λ, 4λ−3, −4λ)，∵ 直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55， ∴ |cos <QE →，m →>|=|QE →⋅m →||QE →|⋅|m →|=√55， 解得λ=23，∴CQ CP=23．【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明DE ⊥平面PAC ．(Ⅱ)求出平面PAC 的法向量和平面PCD 的法向量，利用向量法能求出二面角A −PC −D 的余弦值． (Ⅲ)设CQ CP=λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)，由直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值，利用向量法能求出CQ CP的值．【解答】证明：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 4, 0)，D(0, 2, 0)，P(0, 0, 4)，E(2, 1, 0)， DE →=(2, −1, 0)，AC →=(2, 4, 0)，AP →=(0, 0, 4)， ∵ DE →⋅AC →=0，DE →⋅AP →=0，∴ DE ⊥AC ，DE ⊥AP ，∵ AP ∩AC ＝A ，∴ DE ⊥平面PAC ．（2）由(Ⅰ)知平面PAC 的法向量m →=(2, −1, 0)， 设平面PCD 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ PD →=(0, 2, −4)，PC →=(2, 4, −4)，∴ {n →⋅PD →=2y −4z =0n →⋅PC →=2x +4y −4z =0，取z ＝1，得n →=(−2, 2, 1)，∴ cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=−2√55， ∴ 二面角A −PC −D 的余弦值为2√55． (Ⅲ)设CQCP =λ(0<λ<1)，即CQ →=λCP →=(−2λ, 4λ, 4λ)， ∴ Q ＝(2−2λ, 4−4λ, 4λ)， ∴ QE →=(2λ, 4λ−3, −4λ)，∵ 直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为√55， ∴ |cos <QE →，m →>|=|QE →⋅m →||QE →|⋅|m →|=√55， 解得λ=23，∴CQ CP=23．正项等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，S 3＝13． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n }的各项为正，且b 2＝5，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列．设c n =b n (b 2n −1)a n，求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（1）正项等比数列{a n }的公比设为q ，q >0， a 1＝1，S 3＝13，可得1+q +q 2＝13，解得q ＝3， 则a n ＝3n−1；（2）等差数列{b n }的各项为正，设公差d >0，且b 2＝5，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，可得(a2+b2)2＝（(a1+b1)（(a3+b3)，即(3+5)2＝(1+5−d)(9+5+d)，解得d＝2，即有b n＝5+2(n−2)＝2n+1；c n=b n(b2n−1)a n =(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，则前n项和T n＝6[3⋅23+5⋅(23)2+7⋅(23)3+...+(2n+1)⋅(23)n]，2 3T n＝6[3⋅(23)2+5⋅(23)3+7⋅(23)4+...+(2n+1)⋅(23)n+1]，相减可得13T n＝6[2+2⋅(23)2+2⋅(23)3+...+2⋅(23)n−(2n+1)⋅(23)n+1]＝6[2+2⋅49(1−2n−13n−1)1−23−(2n+1)⋅(23)n+1]，化简可得T n＝84−6(2n+7)⋅(23)n．【考点】数列递推式数列的求和【解析】(Ⅰ)正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，运用等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)等差数列{b n}的各项为正，设公差d>0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，可得公差d，进而得到b n，c n=(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】（1）正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，a1＝1，S3＝13，可得1+q+q2＝13，解得q＝3，则a n＝3n−1；（2）等差数列{b n}的各项为正，设公差d>0，且b2＝5，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，可得(a2+b2)2＝（(a1+b1)（(a3+b3)，即(3+5)2＝(1+5−d)(9+5+d)，解得d＝2，即有b n＝5+2(n−2)＝2n+1；c n=b n(b2n−1)a n =(2n+1)⋅2n+13n−1=6(2n+1)⋅(23)n，则前n项和T n＝6[3⋅23+5⋅(23)2+7⋅(23)3+...+(2n+1)⋅(23)n]，2 3T n＝6[3⋅(23)2+5⋅(23)3+7⋅(23)4+...+(2n+1)⋅(23)n+1]，相减可得13T n＝6[2+2⋅(23)2+2⋅(23)3+...+2⋅(23)n−(2n+1)⋅(23)n+1]＝6[2+2⋅49(1−2n−13n−1)1−23−(2n+1)⋅(23)n+1]，化简可得T n＝84−6(2n+7)⋅(23)n．设椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2，左顶点为A ，左焦点到左顶点的距离为1，离心率为12．(Ⅰ)求椭圆M 的方程；(Ⅱ)过点A 做斜率为k 的直线与椭圆M 交于另一点B ，连接BF 2并延长交椭圆M 于点C ，若F 1C ⊥AB ，求k 的值． 【答案】（1）由题意得：a −c ＝1，e =c a=12，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆M 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得A(−2, 0)，F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)直线AB 的方程：y ＝k(x +2)，联立与椭圆的方程整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2+16k 2−12＝0，有一个根x ＝−2，另一根x =6−8k 23+4k 2，将x =6−8k 23+4k 2代入直线AB 中得y =12k3+4k 2，所以B 的坐标(6−8k 23+4k 2, 12k3+4k 2)，所以k BF 2=12k 3+4k 26−8k 23+4k 2−1=4k 1−4k 2，所以直线BF 2:y =4k1−4k 2(x −1)，直线F 1C 的方程：y =−1k(x +1)，联立直线BF 2与直线F 1C:{y =4k1−4k 2(x −1)y =−1k (x +1)解得：C(8k 2−1, −8k)，C 在椭圆上：(8k 2−1)24+(−8k)23=1，整理得：192k 4+208k 2−9＝0，解得：k 2=124，所以k =±√612． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】(Ⅰ)由题意离心率12及左焦点到左顶点的距离为1，和a ，b ，c 之间的关系求出a ，b ，即求出椭圆方程；(Ⅱ)设直线AB ，代入椭圆求出B 的坐标，进而写出直线BF 2的方程，由题意设CF 1方程，两直线联立求出C 的坐标，代入椭圆求出k 的值． 【解答】（1）由题意得：a −c ＝1，e =ca =12，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆M 的方程：x 24+y 23=1；（2）由(Ⅰ)得A(−2, 0)，F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)直线AB 的方程：y ＝k(x +2)，联立与椭圆的方程整理得：(3+4k 2)x 2+16k 2+16k 2−12＝0，有一个根x ＝−2，另一根x =6−8k 23+4k 2，将x =6−8k 23+4k 2代入直线AB 中得y =12k3+4k 2，所以B 的坐标(6−8k 23+4k 2, 12k3+4k 2)，所以k BF 2=12k 3+4k 26−8k 23+4k 2−1=4k 1−4k 2，所以直线BF 2:y =4k 1−4k 2(x −1)，直线F 1C 的方程：y =−1k(x +1)，联立直线BF 2与直线F 1C:{y =4k1−4k (x −1)y =−1k(x +1)解得：C(8k 2−1, −8k)，C 在椭圆上：(8k 2−1)24+(−8k)23=1，整理得：192k 4+208k 2−9＝0，解得：k 2=124，所以k =±√612．已知a >0，且a ≠1，函数f(x)＝a x −1，g(x)＝−x 2+x ln a ．（1）若a >1，证明函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数；（2）求函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)在区间[−1, 1]上的最大值；（3）若函数F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)，当a >e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，求实数m 的值． 【答案】ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝a x −1+x 2−x ln a ， 则ℎ′(x)＝(a x −1)ln a +2x ，∵ a >1，∴ 当x >0时，a x −1>0，ln a >0，∴ ℎ′(x)>0，即此时函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数． 由（1）知，当a >1时，函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数， 则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，同理当0<a <1时，ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数， 则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，即当a >0，且a ≠1时，ℎ(x)在区间[−1, 0)上是减函数，在区间([0, 1)上是增函数， 当−1≤x ≤1时，ℎ(x)的最大值为ℎ(−1)和ℎ(1)中的最大值， ∵ ℎ(1)−ℎ(−1)＝(a −ln a)−(1a +ln a)＝a −1a −2ln a ， ∴ 令G(a)＝a −1a −2ln a ，a >0，则G′(a)＝1+1a −2a =(1−1a )2≥0，∴ G(a)＝a −1a −2ln a ，在a >0上为增函数，∵ G(1)＝1−1−2ln 1＝0，∴ a >1时，G(a)>0，即ℎ(1)>ℎ(−1)，最大值为ℎ(1)＝a −ln a ， 当0<a <1时，G(a)<0，即ℎ(−1)>ℎ(1)，最大值为ℎ(−1)=1a +ln a ． ∵ F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)＝−x 2+x ln a ， ∴ 设F(x)=−13x 3+12x 2ln a +c ，∵F(x)的图象过原点，∴F(0)＝0，即c＝0，则F(x)=−13x3+12x2ln a．设切点为B(x0, −13x03+12x02ln a)，则B处的切线方程为：y−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(x−x0)，将A的坐标代入得m−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(1−x0)，即m=23x03−(1+12ln a)x02+x0ln a (※)，则原命题等价为关于x0的方程(※)至少有2个不同的解，设φ(x)=23x3−(1+12ln a)x2+x ln a，则φ′(x)＝2x02−(2+ln a)x+ln a＝(x−1)(2x−ln a)，∵a>e103，∴ln a2>1，当x∈(−∞, 1)和(ln a2, +∞)时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)为增函数，当x∈(1, ln a2)时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)为减函数，∴φ(x)的极大值为φ(1)=23−1−12ln a+ln a=12ln a−13，φ(x)的极小值为φ(12ln a)=112ln3a−14ln2a(1+12ln a)+12ln2a=−124ln3a+14ln2a，设t＝ln a，则t>103，则原命题等价为{m≤12ln a−13=12t−13m≥−124ln3a+14ln2a=−124t3+14t2对t>103恒成立，∴由m≤12t−13得m≤43，∵s(t)=−124t3+14t2的最大值为s(4)=43，∴由m≥−124t3+14t2，得m≥43，即m=43，综上所述当a>e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，此时实数m的值为43．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F(x)的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】ℎ(x)＝f(x)−g(x)＝a x−1+x2−x ln a，则ℎ′(x)＝(a x−1)ln a+2x，∵a>1，∴当x>0时，a x−1>0，ln a>0，∴ℎ′(x)>0，即此时函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数．由（1）知，当a>1时，函数ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数，则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，同理当0<a<1时，ℎ(x)在区间(0, +∞)上是单调增函数，则在区间(−∞, 0)上是单调减函数，即当a>0，且a≠1时，ℎ(x)在区间[−1, 0)上是减函数，在区间([0, 1)上是增函数，当−1≤x≤1时，ℎ(x)的最大值为ℎ(−1)和ℎ(1)中的最大值，∵ℎ(1)−ℎ(−1)＝(a−ln a)−(1a +ln a)＝a−1a−2ln a，∴令G(a)＝a−1a−2ln a，a>0，则G′(a)＝1+1a2−2a=(1−1a)2≥0，∴G(a)＝a−1a−2ln a，在a>0上为增函数，∵G(1)＝1−1−2ln1＝0，∴a>1时，G(a)>0，即ℎ(1)>ℎ(−1)，最大值为ℎ(1)＝a−ln a，当0<a<1时，G(a)<0，即ℎ(−1)>ℎ(1)，最大值为ℎ(−1)=1a+ln a．∵F(x)的图象过原点，且F′(x)＝g(x)＝−x2+x ln a，∴设F(x)=−13x3+12x2ln a+c，∵F(x)的图象过原点，∴F(0)＝0，即c＝0，则F(x)=−13x3+12x2ln a．设切点为B(x0, −13x03+12x02ln a)，则B处的切线方程为：y−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(x−x0)，将A的坐标代入得m−(−13x03+12x02ln a)＝(−x02+x0ln a)(1−x0)，即m=23x03−(1+12ln a)x02+x0ln a (※)，则原命题等价为关于x0的方程(※)至少有2个不同的解，设φ(x)=23x3−(1+12ln a)x2+x ln a，则φ′(x)＝2x02−(2+ln a)x+ln a＝(x−1)(2x−ln a)，∵a>e103，∴ln a2>1，当x∈(−∞, 1)和(ln a2, +∞)时，φ′(x)>0，此时函数φ(x)为增函数，当x∈(1, ln a2)时，φ′(x)<0，此时函数φ(x)为减函数，∴φ(x)的极大值为φ(1)=23−1−12ln a+ln a=12ln a−13，φ(x)的极小值为φ(12ln a)=112ln3a−14ln2a(1+12ln a)+12ln2a=−124ln3a+14ln2a，设t＝ln a，则t>103，则原命题等价为{m≤12ln a−13=12t−13m≥−124ln3a+14ln2a=−124t3+14t2对t>103恒成立，∴由m≤12t−13得m≤43，∵s(t)=−124t3+14t2的最大值为s(4)=43，∴由m≥−124t3+14t2，得m≥43，即m=43，综上所述当a>e 103时，函数F(x)过点A(1, m)的切线至少有2条，此时实数m的值为43．。
天津市耀华中学第一学期高三年级第一次月考数学(理)无答案-word文档资料
天津市耀华中学2019届高三年级第一次月考理科 数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一. 选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．. 1. i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ） A. 55i -- B. 1i + C. 55i + D. 1i -- 2.下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A. ()sin f x x =B. ()1f x x =-+C. 1()()2x x f x a a -=+D. 2()ln 2x f x x -=+3.ABC 中，ABC 为锐角三角形是sin cos A B >的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0, 2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A. 向右平移12π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度C. 向左平移12π个单位长度D. 向左平移6π个单位长度5. 已知定义在R 上的函数21()()52x mf x --=+为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(22)c f m =-，则（ ）A. a c b <<B. c b a <<C. c a b <<D. a b c << 6. 已知函数设向量2()2sin cos sin 2xf x x x ωωω=-（0ω>）的最小值在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少出现两次，则ω的最小值等于（ ）A. 6B.94C. 154D. 37. 若函数3()3f x x x =-在区间2(12,)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A. ]1,2(-B. 1,4)(-C. (-D. 1,2)(-8. 已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x =-的图象有三个不同的公共点，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A. a e <-B. 1a >C. a e >D. a e <-或1a >第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二. 填空题：共6个小题，每小题5分，共30分，将答案．．．填写．．在答题．．．纸．上．. 9. 若集合{}213A x x =-<，2103x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B = . 10. 曲线1y x=与直线y x =，2x =所围成的封闭图形的面积为 . 11. 设α，β都是锐角，且cos 5α=，3sin()5αβ+=，则cos β= . 12. 若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = . 13. 已知函数2()3f x x x =+，x R ∈，若方程()10f x ax --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是 .14. 已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足对x R ∀∈都有(2)(2)f x f x -+=-，当0x ≥时，2 0122() 13sin 2ln , 12x x f x x x x x ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩若对于[],1x m m ∀∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是 .三. 解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分）已知a ,b ,c 分别为⊿ABC 三个内角A ,B ,C的对边，cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a =，⊿ABCb ，c . 16.（本题满分13分）甲乙两个进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛. 假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）. 17.（本题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， H 是正方形11AA B B的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B，且1C H =（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（2）求二面角111A AC B --的正弦值；（3）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长.18.（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n S n n 在直线上11122y x =+上. 数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=（*n N ∈），且311b =，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设21tan(211)tan()3n n n b c a -=-⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（本题满分14分）椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）离心率2e =， 3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上HC 1B 1A 1BAC除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为1k ，MN 的斜率为2k ，是否存在实数λ使12k k λ-为定值？如果存在，求出λ，否则说明理由. 20.（本题满分14分）设函数2()ln (2)f x x a x a x =---. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12 x x ，. （1）求满足条件的最小正整数a 的值； （2）求证：12()02x x f +'>.。
天津市耀华中学2020届高三数学第一次校模拟考试试题 文(含解析)
天津市耀华中学2020届高三年级第一次校模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：∵是纯虚数，∴，解得a=−6.本题选择A选项.2. 曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选．3. 命题：，命题：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件与简易逻辑的综合.点评：要先求出p,q真的条件，得到,真的条件，再根据,为真对应的集合之间的包含关系，从而可求出是成立的充要关系.4. 在区间中随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系。
5. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.6. 已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，为单位向量，又，则，可得，则，．又．则在上的投影为．故本题答案选．7. 过双曲线（，）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，即.恰有4个零点即有4个零点等价于函数图像与直线的图像有4个交点.因为的最小值为，结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.考点：1函数方程，零点;2数形结合思想.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知全集，集合，，则集合__________．【答案】【解析】求题知，，则，则．故本题应填．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．【答案】2【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.11. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________．【答案】12【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。
2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（4分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（4分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（4分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数5．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．166．（4分）若（2x﹣1）＜（3x），则实数x的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，+∞）7．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x8．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．9．（4分）试画出函数f（x）=ln（x﹣）的大致图象．10．（4分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上）11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（θ+）=1的距离是．12．（5分）由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是．13．（5分）已知f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f（），b=f（），c=f （），则a，b，c由大到小的顺序为．14．（5分）如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP=2，则RQ=．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为．16．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k 的取值范围为．三、简答题（本大题共6小，总分30）（请在规定区域内答题）17．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．18．（13分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．20．（13分）设函数f（x）=（b，c∈N+）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（﹣2）＜﹣（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项均不为零的数列{a n}满足：4S n f（）=1（S n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a n．21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x﹣2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．解答：解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．（4分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：数形结合．分析：由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．解答：解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．点评：此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．3．（4分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（4分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据函数奇偶性的定义，以及导数和函数单调性的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x+sinx，∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．函数的导数f′（x）=1+cosx≥0，则函数f（x）单调递增，为增函数．故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．5．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．6．（4分）若（2x﹣1）＜（3x），则实数x的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，+∞）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据y=在定义域上的性质，及根式的意义得出，解不等式组得出范围即可．解答：解：y=在定义域上是增函数，故有，解不等式组得x≥﹣．故选B．点评：本题考查幂函数及其性质，基础题．7．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（﹣x）=0、f（x﹣1）=f（x+1），判断出函数是奇函数、函数是周期函数并可求出周期，再由奇函数的性质、周期函数的性质、对数的运算律，将f（log12）进行转化到已知区间求值即可．解答：解：由f（x）+f（﹣x）=0得，f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，由f（x﹣1）=f（x+1）得，f（x）=f（x+2），所以f（x）是定义在R上以2为周期的周期函数，则f（log12）=f（﹣）=﹣f（），因为2＜＜3，所以0＜﹣2＜1，因为当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，所以f（﹣2）==12×﹣1=，所以f（log12）=﹣f（）=﹣f（﹣2）=﹣，故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数的运算律，解题的关键是判断出利用定义函数的奇偶性、周期性．9．（4分）试画出函数f（x）=ln（x﹣）的大致图象．考点：对数函数的图像与性质．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞），作出其简图即可．解答：解：函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞），其图象如下：点评：本题考查了学生的作图能力及对函数的性质的把握，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得|f（x）|=﹣k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．解答：解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故选D．点评：本题考查根的存在性及个数的判断，作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上）11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（θ+）=1的距离是1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点P（2，），可得=1，=，∴P．直线ρcos（θ+）=1化为=1，∴．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．12．（5分）由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：如图所示，联立，解得．直线y=x﹣4与坐标轴的交点分别为B（4，0），C（0，﹣4）．可得由直线y=x﹣4，利用微积分基本定理可得：曲线y=及x轴所围成的图形的面积S=﹣S△OBC．解答：解：如图所示，联立，解得．直线y=x﹣4与坐标轴的交点分别为B（4，0），C（0，﹣4）．∴由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积S=﹣S△OBC=﹣=．故答案为：．点评：本题考查了微积分基本定理的应用，属于基础题．13．（5分）已知f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f（），b=f（），c=f （），则a，b，c由大到小的顺序为c＜b＜a．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和周期性将函数值进行转化，即可得到结论．解答：解：∵f（x）是周期为2的偶函数，∴b=f（）=f（﹣2）=f（）=f（），c=f（）=f（﹣2）=f（），∵当0＜x＜1时，f（x）=lgx，∴此时函数单调递增，∵，∴f（）＜f（）＜f（），即c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，以及对数函数的单调性是解决本题的关键．14．（5分）如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP=2，则RQ=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OQ，得△OBQ为等腰三角形，由切线的性质，可得OQ⊥QR，则由等腰的余角相等及对顶角相等，可得∠QPR=∠BQR，即△RPQ为等腰三角形，进而判断出RP、RQ的大小关系．解答：解：连接OQ，如图所示：∵OQ=OB∴∠OQB=∠OBQ∵RQ为圆O的切线，OA⊥OB∴∠BPO=90°﹣∠OBQ，∠BQR=90°﹣∠OQB∴∠BPO=∠QPR=∠BQR，即△RPQ为等腰三角形∴RP=RQ，由题意知RP=2，则RQ=2．故答案为：2．点评：本题考查的知识点是切线的性质，等腰三角形的判定与性质，其中添加辅助线，以帮助分析题目中角与解之间的关系，是解答本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为8．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：把ρsin2θ=4cosθ化为直角坐标方程为y2=4x，直线l的参数方程化为普通方程，联立，再利用弦长公式，即可得出结论．解答：解：由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y=3，两方程联立可得y2+4y﹣12=0，∴y=﹣6或2，∴|AB|=•|2+6|=8．故答案为：8．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k 的取值范围为[2e，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：f′（x）=e x+2x﹣1，x∈[﹣1，1]．令g（x）=e x+2x﹣1，利用导数研究函数的单调性极值与最值．对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立⇔|2f（x）|max≤k，x∈[﹣1，1]．解答：解：f′（x）=e x+2x﹣1，x∈[﹣1，1]．令g（x）=e x+2x﹣1，则g′（x）=e x+2＞0，x∈[﹣1，1]．∴g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．g（﹣1）=e﹣1﹣3＜0，g（1）=e+1＞0．而g（0）=0．∴当x∈[﹣1，0）时，函数g（x）单调递减；当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递增．∴当x=0时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（0）=0．∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．f（﹣1）=2﹣e﹣1，f（1）=e．∴对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立⇔|2f（x）|max≤k，x∈[﹣1，1]．∴k≥2e．∴k的取值范围为[2e，+∞）．故答案为：[2e，+∞）．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、简答题（本大题共6小，总分30）（请在规定区域内答题）17．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．考点：正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．解答：解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=2点评：考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．18．（13分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．（2）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，转化为集合关系．解答：解：由x2﹣4ax+3a2＜0，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a…．（2分）由满足；得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…..…．（4分）（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3…（6分）（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2…（12分）点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．19．（13分）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题．分析：（1）利用函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，即1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴2﹣x+k•2x=﹣（2x+k•2﹣x）∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立∴k=﹣1（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，∴2x+k•2﹣x＞2﹣x成立∴1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立∵y=22x在[0，+∞）上单调递增∴函数的最小值为1∴1﹣k＜1∴k＞0点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．20．（13分）设函数f（x）=（b，c∈N+）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（﹣2）＜﹣（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项均不为零的数列{a n}满足：4S n f（）=1（S n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a n．考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设=x，得（1﹣b）x2+cx+a=0，由，得a=0，b=1+，由此能求出f（x）．（2）由已知得，从而2S n﹣1=，由此能求出a n=﹣n．解答：解：（1）∵f（x）=（b，c∈N+），方程f（x）=x的根为0和2，∴设=x，得（1﹣b）x2+cx+a=0，∴，解得a=0，b=1+，∴f（x）=，f（﹣2）=，解得c＜3，又b，c∈N*，∴c=2，b=2，∴f（x）=，x≠1．（2）由已知得，∴2S n﹣1=，两式相减，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，当n=1时，，∴a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1，则a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣n．点评：本题考查函数的解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）可设椭圆C的方程为，可得，，a2=b2+c2，解出即可．（2）联立，解得（x，y）．根据圆P与x轴相切，可得|OA|=|OP|，即可解出．（3）⊙P的方程：x2+（y﹣m）2=3﹣3m2，由题意可得：﹣1＜m＜1，取1＞m≥0，，因此只要求出y=m+的最大值即可．解答：解：（1）∵椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，可设椭圆C的方程为，∴，，a2=b2+c2，解得a2=3，b2=1，．∴椭圆C的方程为：=1．（2）联立，解得，．∵圆P与x轴相切，∴|OA|=|OP|，∴=|m|，解得m=±．∴P．（3）⊙P的方程：x2+（y﹣m）2=3﹣3m2，由题意可得：﹣1＜m＜1，取1＞m≥0，，∴只要求出y=m+的最大值即可．y′=1﹣=，令y′=0，解得，当时，y′＞0；当m时，y′＜0．∴当m=时，函数y=m+取得极大值即最大值2．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x﹣2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，即可求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；（Ⅲ）分别求出函数的最大值，建立不等式，即可求a的范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴（x＞0）若a=﹣1，（Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数当a＜0，令f′（x）＞0，∴，f′（x）＜0，∴，综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意；当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣）∴由题意知，只需满足f（x）max≥g（x）max=g（1）=0，∴，∴综上：点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2019届天津耀华中学高三上学期开学考试数学(文)试卷【含答案及解析】
2019届天津耀华中学高三上学期开学考试数学（文）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、解答题1. 已知数列的前项和和通项满足．（1）求数列的通项公式；（2）求证：；（3）设函数，，求．2. 已知函数（）．（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若函数的图象与轴有两个不同的交点，（），求证：（其中为的导函数）．二、选择题3. 集合，，，则等于（）A． B． C． D．4. 函数的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45. 已知，，那么“ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 ________ D．既不充分也不必要条件6. 设为等差数列的前项和，若，公差，，则（）A．8 B．7 C． 6 D．57. 已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．8. 定义在上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则，，大小关系是（） A． B．C．_________________________________ D．9. 设，是双曲线（，）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10. 如图，在△ 中，已知，，，点为的三等分点（靠近点），则的取值范围为（）A． B． C． D．三、填空题11. 已知复数满足，则等于___________ ．12. 某程序框图如下图所示，则输出的结果等于___________ ．13. 若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围是___________ ．14. 设是圆上的点，直线：，则点到直线距离的最大值为______________________________ ．15. 如果实数，满足不等式，那么的取值范围是___________ ．16. 如图，点是外一点，为的一切线，是切点，割线经过圆心，若，，则________________________ ．四、解答题17. 已知函数（）．（1）求函数的最小正周期和单调减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．18. 在△ 中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．（1）求的值；（2）求的值．19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，为的中点，平面，，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求直线与平面所成角的正切值．20. 已知过抛物线（）的焦点，斜率为的直线交抛物线于，（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019-2020学年天津一中高三(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 集合A ={x|x 2−x −2≤0}，B ={x|x −1<0}，则A ∪B =( )A. {x|x <1}B. {x|−1≤x <1}C. {x|x ≤2}D. {x|−2≤x <1}2. 定义域为[a,b]的函数y =f(x)图像的两个端点为A 、B ，向量ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M(x,y)是f(x)图像上任意一点，其中x =λa +(1−λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数y =2x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A. 2−√2B. 3−2√2C. 3+2√2D. 2+√23. 把函数y =sin(x +φ)(0<φ<π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，所得图象过点(π4,0)，则φ=A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6 4. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( )A. b <a <cB. a <b <cC. c <a <bD. b <c <a5. 已知sinα=23,则cos(3π−2α)等于( )A. −√53B. 19 C. −19 D. √536. 设函数y =f(x)是奇函数，若f(−2)+f(−3)−1=f(2)+f(3)+2，则f(2)+f(3)=( )A. 1B. 3C. −1D. −37. 一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为( )A. 3B. 2C. 1D. 168. 已知函数f(x)={(12)x ,x ≤1−x 2+4x −52,x >1，若函数g(x)=32x −a ，其中a ∈R ，若函数y =f(x)−g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1516)B. (1516,1)C. (1,1615)D. (1,54)9. 将函数f (x )=sin (2x +π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. 直线x =π2是g(x)的图象的一条对称轴B. g (π6)=√32C. g(x)的周期为2πD. g(x)为奇函数二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10.若复数1+iz=1−i，则|z|=____．11.已知角α满足tanα−1tanα+1=−13，则sinαcosα=__________．12.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.13.已知函数f(x)=|lnx|，实数m,n满足0<m<n，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m2,n]上的最大值是2，则nm的值为__________．14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望Eξ=______ ．15.设函数f(x)=sin2x−√3cosxcos(x+π2)，则函数f(x)在区间[0,π2]上的单调增区间为_________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.已知tan(π4+α)=3，且α为锐角．(1)求tanα的值；(2)求sin(α+π6)的值．17.设函数f(x)=12ax2−1−lnx，其中a∈R.(1)若a=0，求过点(0,−1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2.①求a的取值范围；②求证：f′(x1)+f′(x2)<0．18. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π，x ∈R ，ω>0是常数．(1)求ω的值； (2)若f(θ2+π12)=65，θ∈(0,π2)，求sin2θ．19. 已知离心率为√63的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A,B 两点，|AB |=2√33． (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y =kx +2与椭圆交于C,D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (−1,0)，求k 的值．20. 已知函数f(x)=xlnx ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求f(x)的单调区间；(3)若对于任意x ∈[1e ,e]，都有f(x)≤ax −1，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A ={x|x 2−x −2≤0}={x|−1<x <2}， B ={x|x −1<0}={x|x <1}， ∴A ∪B ={x|x <2}． 故选：C ．先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析： 【分析】本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属较难题．先阅读理解定义，做出y =2x 在闭区间图像和端点，利用题目中的等式得到M ，N 横坐标相等，从而可以用x 表示|MN |，从而问题转化为求闭区间上的最值问题． 【解答】解：作出函数y =2x 图像，它的图象在[1,2]上的两端点分别为：A (1,2)，B (2,1)， 所以直线AB 的方程为：x +y −3=0， 设M (x,y )是曲线y =2x 上的一点，x ∈[1,2]， 其中x =λ×1+(1−λ)×2，由ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知A,B,N 三点共线， 所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x +y −3=0， 又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， 则ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+2(1−λ),2λ+(1−λ))， 所以M,N 两点的横坐标相等.故|MN |=|2x −(3−x )|， 函数y =2x 在[1,2]上满足“k 范围线性近似”， 所以x ∈[1,2]时，|2x −(3−x )|≤k 恒成立， 即：|2x −(3−x )|max ≤k 恒成立，记y=2x −(3−x)，整理得：y=2x+x−3，x∈[1,2]，y=2x +x−3≥2√2x×x−3=2√2−3，当且仅当x=√2时，等号成立，当x=1时，y=21+1−3=0，则x∈[1,2]时，所以2√2−3≤y≤0，所以|2x −(3−x)|max=3−2√2，即：3−2√2≤k所以该函数的线性近似阈值是：3−2√2，故选：B．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．由题意，根据三角函数图像变换规律，可得变换后的图像对应解析式，再由(π4,0)点在函数图像上，求解φ．【解答】解：函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到y=sin(2x+φ)的图象，再将其图象向右平移π6个单位，可得y=sin[2(x−π6)+φ]=sin(2x−π3+φ)的图象，∵所得图象过点(π4,0)，∴2π4−π3+φ=kπ，k∈Z，∵0<φ<π，∴φ=5π6．故选D．4.答案：A解析：【分析】本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．容易得出0<sin2<1, log0.3π<0, 40.5>1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0<sin2<1，log0.3π<log0.31=0，40.5>40=1，∴b<a<c．故选：A．5.答案：C解析：解：∵sinα=23，∴cos(3π−2α)=cos[2π+(π−2α)]=cos(π−2α)=−cos2α=−(1−2sin2α)=−1+2×49=−19．故选：C．把所求式子中的角3π−2α变形为2π+(π−2α)，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．6.答案：C解析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(−2)=−f(2)，f(−3)=−f(3)，∴−f(2)−f(3)−1=f(2)+ f(3)+1，∴f(2)+f(3)=−1．7.答案：C解析：解：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6−2x，则无盖方盒的容积为：V(x)=x(6−2x)2．得V′(x)=12x2−48x+36．令V′(x)=12x2−48x+36>0，解得x<1或x>3；令V′(x)=12x2−48x+36<0，解得1<x<3．∵函数V(x)的定义域为x∈(0,3)，∴函数V(x)的单调增区间是：(0,1)；函数V(x)的单调减区间是：(1,3)．令V′(x)=12x2−48x+36=0，得x=1或x=3(舍)．并求得V(1)=16．由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值．故截去的小正方形的边长x为1m时，无盖方盒的容积最大，其最大容积是16m3．故选C．设无盖方盒的底面边长为a，则a=6−2x，则无盖方盒的容积为：V(x)=x(6−2x)2.求导得V′(x)= 12x2−48x+36.再令V′(x)=12x2−48x+36=0，得x=1或x=3(舍).并求得V(1)=16.由V(x)的单调性知，16为V(x)的最大值．由此能求出截去的小正方形的边长x为多少时，无盖方盒的容积最大．本题考查函数模型的选择与应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数解题．易错点是理不清数量间的相互关系，不能正确地建立方程．8.答案：B解析： 【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点问题，利用数形结合作出两个函数的图象是解决本题的关键，属于中档题．由y =f(x)−g(x)=0得f(x)=g(x)，作出两个函数f(x)和g(x)的图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：由y =f(x)−g(x)=0得f(x)=g(x)，作出两个函数f(x)和g(x)的图象，则A(1,12)，当g(x)经过点A 时，f(x)与g(x)有2个交点，此时g(1)=32−a =12，此时a =1， 当g(x)与f(x)在x >1相切时，此时f(x)与g(x)有2个交点 由−x 2+4x −52=32x −a ， 即x 2−52x +52−a =0，由判别式Δ=0得(52)2−4(52−a)=0， 得a =1516，要使f(x)与g(x)有3个交点，则g(x)位于这两条线之间， 则a 满足a ∈(1516,1)， 故选：B9.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了函数的图像和性质，属于中档题．解题的关键首先找到f(x)平移后的表达式y =g(x)，再利用性质判断正确选项即可． 【解答】 解：因为将函数的图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，所以，所以y=g(x)的对称轴方程为，即，故A正确；而，故B不正确；因为，故C不正确；因为，所以g(x)为偶函数，故D不正确；故选A．10.答案：1解析：【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：1+iz=1−i，则复数|z|=|1+iz+i |=|(1+i)2(1−i)(1+i)|=1，故答案为1．11.答案：25解析：由tanα−1tanα+1=−13⇒tanα=12，∴sinαcosα=sinαcosαcos2α+sin2α=tanα1+tan2α=25．12.答案：−1解析：【分析】本题属于利用导数求某点处的曲线方程，考察了对导数的几何意义的理解．首先要判定点是否满足曲线，而后求导求出切线方程的斜率，切线方程与直线x+my+l=0平行，故斜率相等．属中等题．【解答】解：点(0,0)满足曲线f(x)，对f(x)求导：f′(x)=e x sinx+e x cosx；过(0,0)的切线方程斜率为：f′(0)=1；∴切线方程为：y−0=1×(x−0)⇒y=x；由直线x+my+l=0，则y=−1m x−1m∵切线方程与直线x+my+l=0平行；∴−1m=1解得m=−1．故答案为−1．13.答案：e2解析：【分析】本题考查了含绝对值函数的单调性、函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．利用函数的单调性可得，或，分别检验两种情况下的最大值是否为2，可得结论．【解答】解：由题意得−lnm=lnn，∴1m=n，且0<m<1<n，又函数在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，，或．∴当|lnm2|=2时，m=1e，又n=1m，∴n=e，此时，f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2，满足条件．当时，n=e2，m=1e2，此时，f(x)在区间[m2,n]上的最大值为，不满足条件．综上，n=e，m=1e．nm=e2，故答案为e2．14.答案：76解析：解：由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C32C42⋅C42C62=15，P(ξ=1)=C31C11C42⋅C42C62+C32C42⋅C21C41C62=715，P(ξ=2)=C31C11C42⋅C21C41C62+C32C42⋅C22C62=310，P(ξ=3)=C31C11C42⋅C22C62=130，∴Eξ=0×15+1×715+2×310+3×130=76．故答案为：76．由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分另求出P(ξ=0)，P(ξ=1)，P(ξ=2)，P(ξ=3)，由此能求出ξ的数学期望Eξ．本题考查离散型随机变量的数学期的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．15.答案：解析：【分析】本题主要考查三角函数，两角和差公式及倍角公式与半角公式，属于基础题．【解答】解：=12−12cos2x+√32sin2x=sin(2x−π6)+12．令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，得− π 6+kπ ⩽x⩽ π 3+kπ ，k∈Z，当k=0时，− π 6⩽x⩽ π 3，故f(x)在上的单调增区间是．16.答案：解：(1)∵tan(π4+α)=tanπ4+tanα1−tanπ4tanα=1+tanα1−tanα，由tan (π4+α)=3，得：1+tanα1−tanα=3，解得tanα=12．(2)∵α为锐角，tanα=sinαcosα，sin2α+cos2α=1，∴sinα=√55，cosα=2√55，∴sin(α+π6)=√55×√32+2√55×12=√15+2√510．解析：(1)由条件利用两角和的正切公式，求得tanα的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinα、cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(α+π6)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的三角公式的应用，属于基础题．17.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=−1−lnx ，f ′(x)=−1x ．设切点为T(x 0,−1−lnx 0)，则切线方程为：y +1+lnx 0=−1x 0( x −x 0).因为切线过点(0,−1)，所以−1+1+lnx 0=−1x 0(0−x 0)，解得x 0=e ．所以所求切线方程为y =−1e x −1． (2)f (x )的定义域为(0,+∞)， ①f ′(x)=ax −1x =ax 2−1x，x >0．(i) 若a ≤0，则f ′(x)<0，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减， 从而函数f(x)在(0,+∞)上至多有1个零点，不合题意． (ii)若a >0，由f ′(x)=0，解得x =√a 负值舍去)． 当0<x <√a 时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x >√a 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min =f(√a )=12−√a 1=−12−√a ．要使函数f(x)有两个零点，首先−12−√a <0，解得0<a <e ． 当0<a <e 时，√a >√e >1e ．因为f(1e )=a2e 2>0，故f(1e )⋅f(√a )<0．又函数f(x)在√a )上单调递减，且其图象在√a )上不间断， 所以函数f(x)在区间√a )内恰有1个零点． 考察函数g(x)=x −1−lnx ，则g ′(x)=1−1x =x−1x．当x ∈(0,1)时，g ′(x)<0，函数g(x)在(0,1)上单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，g ′(x)>0，函数g(x)在(1,+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(1)=0，故f(2a )=2a −1−ln 2a ≥0． 因为2aa=2−√a a >0，故2a >√a ．因为f(√a )⋅f(2a )≤0，且f(x)在(√a +∞)上单调递增，其图象在(√a +∞)上不间断， 所以函数f(x)在区间(√a 2a ]上恰有1个零点，即在(√a +∞)上恰有1个零点． 综上所述，a 的取值范围是(0,e)．②由x 1，x 2是函数f(x)的两个零点(不妨设x 1<x 2)，得 {12ax 12−1−lnx 1=012ax 22−1−lnx 2=0，两式相减，得 12a(x 12−x 22)−ln x1x 2=0， 即12a(x 1+x 2) (x 1−x 2)−ln x1x 2=0，所以a(x 1+x 2)=2lnx 1x 2x1−x 2．f ′(x 1)+f ′(x 2)<0等价于ax 1−1x 1+ax 2−1x 2<0，即a(x 1+x 2)−1x 1−1x 2<0，即2lnx 1x 2x 1−x 2−1x 1−1x 2<0，即2ln x1x 2+x2x 1−x1x 2>0．设ℎ(x)=2lnx +1x −x ，x ∈(0,1)， 则ℎ′(x)=2x −1x2−1=−(x−1)2x 2<0，所以函数ℎ(x)在(0,1)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0．因为x 1x 2∈(0,1)，所以2ln x 1x 2+x 2x 1−x1x 2>0，即f ′(x 1)+f ′(x 2)<0成立．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性、函数的极值，考查转化思想以及计算能力，属于难题．(1)当a =0时，对f(x)求导，设切点为T(x 0,−1−lnx 0)，可得切线方程，结合切线过点(0,−1)，代入切线方程解得x 0=e ，推出切线方程； (2)①f ′(x)=ax −1x =ax 2−1x，x >0；(i) 若a ≤0，不合题意；(ii)若a >0，求出函数的f(x)min ，当0<a <e 时，函数f(x)在区间√a )内恰有1个零点，在(√a +∞)上恰有1个零点，利用函数的零点个数推出a 的取值范围是(0,e)．②由x 1，x 2是函数f(x)的两个零点(不妨设x 1<x 2)，得 {12ax 12−1−lnx 1=012ax 22−1−lnx 2=0转化求解即可．18.答案：解：(1)∵f(x)=sinωx +√3cosωx =2sin(ωx +π3)，∵函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π， ∴T =π=2πω，解得：ω=2．(2)∵f(θ2+π12)=2sin[2(θ2+π12)+π3]=2sin(θ+π2)=2cosθ=65，∴cosθ=35， ∵θ∈(0,π2)，，∴sin2θ=2sinθcosθ=2×35×45=2425．解析：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦型函数的周期性，属于基础题． (1)由辅助角公式化简解析式可得f(x)=2sin(ωx +π3)，由已知及周期公式即可求ω的值． (2)由诱导公式可得f(θ2+π12)=2cosθ=65，可得cosθ，由θ∈(0,π2)，可得sinθ，sin2θ的值．19.答案：解：(1)设焦距为2c ，∵e =ca =√63，a 2=b 2+c 2，∴b a=√33； ∵|AB|=2√33， ∴2b 2a=2√33， 解得b =1，a =√3； 故椭圆的方程为x 23+y 2=1；(2)将y =kx +2代入椭圆方程， 化简可得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 由直线与椭圆有两个交点知， Δ=(12k)2−36(1+3k 2)>0， 解得，k 2>1； 设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)；则x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1； 若以线段CD 为直径的圆过点E(−1,0)， 则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，而y 1y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4， 则(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=(k 2+1)93k 2+1−(2k +1)12k3k 2+1+5=0， 解得，k =76，满足k 2>1；故k =76．解析：本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了学生的化简运算能力，属于中档题． (1)设焦距为2c ，结合e =ca=√63，从而求椭圆的方程； (2)联立方程化简可得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)；从而可得x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1；从而由平面向量化简可得(k 2+1)93k 2+1−(2k +1)12k3k 2+1+5=0，从而解得． 20.答案：解：(Ⅰ)因为函数f(x)=xlnx ，所以f′(x)=lnx +x ⋅1x =lnx +1，f′(1)=ln1+1=1． 又因为f(1)=0，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y =x −1． (Ⅱ)函数f(x)=xlnx 定义域为(0,+∞)， 由(Ⅰ)可知，f′(x)=lnx +1． 令f′(x)=0，解得x =1e ．f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)上的情况如下：所以，f(x)的单调递增区间是(e ，的单调递减区间是(0,1e )． (Ⅲ)当1e ≤x ≤e 时，“f(x)≤ax −1”等价于“a ≥lnx +1x ”. 令g(x)=lnx +1x ，x ∈[1e ,e]， g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，x ∈[1e ,e]．当x ∈(1e ,1)时，g′(x)<0，所以g(x)在区间(1e ,1)单调递减． 当x ∈(1,e)时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(1,e)单调递增． 而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5， g(e)=lne +1e =1+1e <1.5．所以g(x)在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e )=e −1．所以当a ≥e −1时，对于任意x ∈[1e ,e]，都有f(x)≤ax −1．解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(Ⅱ)求出函数的导数，根据导数和函数单调的关系，求出函数的单调区间即可；(Ⅲ)问题等价于“a≥lnx+1”，构造函数，利用导数求出函数的最值，从而求出ax的范围即可．。
【精准解析】天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题+Word版含解析
15.设 f x, g x 是定义在 R 上的两个函数， f x 满足 f x 2 f x ， g x 满足
只要坚持 梦想终会实现
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高中学习讲义
g x 2 g x ，且当 x 0, 2 时， f x
x2
2x
，
g
x
k x
1 2
,1
2,
x
0
2
x
1
.若
在区间 0,11 上，关于 x 的方程 f x g x 有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是______
,即对称点为 6
k 2
,
0
；
令 2x k k Z ,则对称轴为 x 5 k k Z ,
32
12 2
当 k 0 时, x 5 ， 12
故选：D
【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性
8.若函数
f
(x)
ex (sin
x
a cos
x)
在(
,
)
上单调递增，则实数
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高中学习讲义
则平移后的图像的解析式为
y
sin
2
x
3
sin
2x
2 3
,
此时函数是奇函数,所以 2 k k Z ,
3
则 2 k k Z ,
3
因为
2
,当 k
1 时,
3
,
所以
f
x
sin
2x
π 3
,
令2x 3
k
k
Z ,则
x
6
k 2
k Z
cos A
cos B
即 2 sin A cos B 3sin C cos A 2 sin B cos A ,
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析
2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：,，∴=，∴() A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件得如图所示的阴影区域,由，即由,可得,平移直线，由图可知，当直线过点时, 直线在轴上的截距最小，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知程序框图如图所示，则输出的是（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．【考点】程序框图．4．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.【详解】由函数的部分图象,可得,再根据五点法作图可得，，因为上，且，所以,，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或2 D．或2【答案】A【解析】通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论.【详解】由题可知,边为腰,则等腰三角形的腰,根据双曲线的定义可知,,，即,化简得:,，解得或(舍),故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与离心率,涉及到余弦定理等基础知识,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可.详解：二次函数均有两个零点，所以，解得，因为，所以对称轴位于对称轴左边，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化为，①，②解①得，且，两边平方得，，由②得，平方得，显然成立，综上，，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标.二、填空题9．已知，是虚数单位，若复数，则______.【答案】4【解析】化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.【详解】,,,,故答案为4.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题. 若，则.10．设20,a xdx=⎰则二项式5axx⎫-⎪⎭展开式中含2x项的系数是______.【答案】80-【解析】首先确定a的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x项的系数. 【详解】由题意可得：22211d4222a x x x===⨯=⎰，则5axx⎫⎪⎭即52xx⎫-⎪⎭，其展开式的通项公式为：515(2)rr rnT C xx-+=⋅-=3525(2)rr rC x--⋅⋅，令3522r-=可得3r=，则展开式中含2x项的系数是()325281080C-=-⨯=-.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin ,42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.【答案】1-【解析】首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩,(θ为参数)，化为普通方程：()221x a y -+=.直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()sin cos θθ-=， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，12∴=,解得12a =-±. 故答案为：12-±. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．若正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】 ，即又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为，即 ，那么，所以 的最大值是 .【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再，构造1来求最值.14．在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.【答案】0【解析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．三、解答题15．已知函数，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
2019届耀华中学高三 校一模 数学理科试题(最终版)
天津市耀华中学2019届高三年级第一次校模拟考试理科数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题．．．．．．．纸．上．． 1. 设全集U R =，集合2{|log 2}A x x =≤，{|(3)(1)0}B x x x =-+≥，则()U B A =ðA.(-∞，1]-B.(-∞，1](0-，3)C.0（，]3D.(0，3)2. 设变量x ，y 满足约束条件2024x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A.5B.4C.3D.23．已知如右程序框图，则输出的i 是A ．9B ．11C ．13D ．154．设a ，b 都是不等于1的正数，则“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，1()()12x f x =-，则3(log 2)a f =，1()2b f =-，(3)c f =的大小关系是A.a b c >>B.b c a >>C.b a c >>D.c b a >>6．函数()sin()f x x ωϕ=+(R)x ∈(0,||)2πωϕ><的部分图象如图所示，如果122,(,)63x x ππ∈，且f （x 1）=f （x 2），则12()f x x +=（）A.B. 12-C.12D.7． 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．若双曲线C 上存在一点P ，使得12PF F ∆为等腰三角形，且127cos 8PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）A. 43B.32 C. 332或 D.423或 8． 已知函数2()2f x x x a =---有零点12,x x ，函数2()(1)2g x x a x =-+-有零点34,x x ，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是A. 9(,2)4--B. 9(,0)4- C. (2,0)-D. (1,)+∞第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．． 9．已知a ，b R ∈，i 是虚数单位，若复数21biai i+=-，则a b += . 10．设2a xdx =⎰，则二项式5)ax 展开式中含2x 项的系数是 .11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC的中点， 记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = .12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos (sin x a y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ-=若直线l 与圆C 相切，则实数a = . 13. 若正实数a ，b 满足()2261a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为 .14. 在ABC ∆中，点M 满足14M B A B =，且对于边AB 上任意一点N ，恒有NB NC MB MC⋅⋅≥.则()CA CB AB +⋅= ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．．． 15. （本小题满分13分） 已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC ∆的面积．E DCAP在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个.（Ⅰ）现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求： ①最多取两次就结束的概率；②整个过程中恰好取到2个白球的概率；（Ⅱ）若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球.则设取球的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点. （Ⅰ）求证：AM ∥平面SCD ；（Ⅱ）求二面角S CD M --的正弦值； （Ⅲ）在线段DC 上是否存在一点N ，使得MN 与平面SAB 所成角的正弦值为7， 若存在，请求出DNDC的值，若不存在，请说明理由.已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+（Ⅰ）设2nn n a b =，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）记21(1)(42)2n nn n n n n c a a +-++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分14分）已知A 是圆224x y +=上的一个动点，过点A 作两条直线12,l l ，它们与椭圆2213x y +=都只有一个公共点，且分别交圆于点,M N ． （Ⅰ）若()2,0A -，求直线12,l l 的方程；（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点A ，都有12l l ⊥成立； ②求AMN ∆面积的取值范围．20. （本小题满分14分） 已知函数()ln f x x x x =+.（Ⅰ）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；（Ⅱ）若k Z ∈，且(1)()k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （Ⅲ）当4n m >≥时，证明：()()n mm nmn nm >.。
天津市耀华中学2020届高三数学第一次校模拟考试试题 文(含解析)
天津市耀华中学2020届高三年级第一次校模拟考试文科数学试卷第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：∵是纯虚数，∴，解得a=−6.本题选择A选项.2. 曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对函数求导则，则，则倾斜角为．故本题答案选．3. 命题：，命题：，则是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B考点：充要条件与简易逻辑的综合.点评：要先求出p,q真的条件，得到,真的条件，再根据,为真对应的集合之间的包含关系，从而可求出是成立的充要关系.4. 在区间中随机取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系。
5. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A本题选择A选项.6. 已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，为单位向量，又，则，可得，则，．又．则在上的投影为．故本题答案选．7. 过双曲线（，）的右顶点作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为，，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：直线l：y=-x+a与渐近线l1：bx-ay=0交于B，l与渐近线l2：bx+ay=0交于C，A（a，0），∴，∵，∴，b=2a，∴，∴，∴考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质8. 已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，即.恰有4个零点即有4个零点等价于函数图像与直线的图像有4个交点.因为的最小值为，结合函数图像如图所示:分析可得.故D正确.考点：1函数方程，零点;2数形结合思想.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9. 已知全集，集合，，则集合__________．【答案】【解析】求题知，，则，则．故本题应填．10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是__________．【答案】2【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：.11. 已知某几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________．【答案】12【解析】由三视图可知：该几何体可以看成一个棱长为4，2，3的长方体的一半。
2019届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：,，∴=，∴()A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件得如图所示的阴影区域,由，即由,可得,平移直线，由图可知，当直线过点时, 直线在轴上的截距最小，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知程序框图如图所示，则输出的是（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．【考点】程序框图．4．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.【详解】由函数的部分图象,可得,再根据五点法作图可得，，因为上，且，所以,，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或2 D．或2【答案】A【解析】通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论.【详解】由题可知,边为腰,则等腰三角形的腰,根据双曲线的定义可知,,，即,化简得:,，解得或(舍),故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与离心率,涉及到余弦定理等基础知识,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可.详解：二次函数均有两个零点，所以，解得，因为，所以对称轴位于对称轴左边，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化为，①，②解①得，且，两边平方得，，由②得，平方得，显然成立，综上，，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标.二、填空题 9．已知，是虚数单位，若复数，则______.【答案】4【解析】化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.【详解】,,,,故答案为4.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.若，则.10．设2,a xdx =⎰则二项式5ax ⎫-⎪⎭展开式中含2x 项的系数是______.【答案】80-【解析】首先确定a 的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x 项的系数. 【详解】由题意可得：2220011d 4222a x x x ===⨯=⎰，则5ax ⎫-⎪⎭即52x ⎫⎪⎭，其展开式的通项公式为：515(2)rr rn T C x -+=⋅-=3525(2)r rr C x--⋅⋅，令3522r -=可得3r =，则展开式中含2x 项的系数是()325281080C -=-⨯=-. 【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==【考点】几何体的体积.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.【答案】1-【解析】首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩,(θ为参数)，化为普通方程：()221x a y -+=. 直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，展开可得：()sin cos 22ρθθ-=， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，1=,解得1a =-故答案为：1-±【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．若正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】，即又，等号成立的条件为，原式整理为，即，那么，所以的最大值是.【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式，已知积为定值，求和的最小值，，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数，，求的最小值，变形为，再，构造1来求最值.14．在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.【答案】0【解析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．三、解答题15．已知函数，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。