(4)矩阵的对角化与二次型
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
线性代数：矩阵的对角化与二次型
1 P1AP
2
n
A( p1, p2 ,, pn ) ( p1, p2 ,, pn )1
n
( Ap1, Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
Api i pi (i 1,2,, n)
即p1, p2 ,, pn是A的n个特征向量.
又因为P可逆，所以p1, p2 ,, pn线性无关.8
推出 P1 AP .
从证明中可看出，相似变换矩阵P的列向量就是
A的对应于i的n个线性无关的特征向量.的对角元 是A的n个 特征值.
9
推论 1 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值 1 , 2 ,, n ,
则 A 可对角化.
1
即
A
~
2
n
注意：A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件，
特征向量不能由特征值唯一确定。
2
4.1.2 矩阵的特征值与特征向量的性质
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
3） 设A为n阶方阵，且A2 = A( A幂等），
则A的特征值只能是0和1.
4、 设i (i 1,2,, m)是方阵A的特征值，pi是对应于
i的特征向量. 若1 , 2 ,m互不相等，则p1 , p 2 ,
第四章 矩阵的对角化与二次型
4.1 矩阵的特征值与特征向量
1
4.1.1 矩阵的特征值与特征向量的概念
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程 A I 0的全部根，即为A的
全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出(A i I )x 0的 非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
(8) 第三部分 特征值,矩阵的相似对角化及二次型——典型例题
() ( )
⎝
1
⎠
( )
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
19
例48 已知二次型
f ( x1 , x2 , x3 )
四 化二次型为标准形
(06)
2 2 = (1 − a ) x12 + (1 − a ) x2 + 2 x3 + 2(1 + a ) x1 x2
求二次曲面
x + 2x + Yx + 2 x1 x2 + 2 Xx1 x3 = 1
2 1 2 2 2 3
为椭球面的概率
22 December 2012
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
10
二 反求参数问题
⎛2 0 0 ⎞ ⎛2 0 0⎞ 例37 设A = ⎜ 0 0 1 ⎟ 与B = ⎜ 0 y 0 ⎟相似, 则( ⎜ 0 0 −1 ⎟ ⎜0 1 x⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 December 2012
科大考研辅导——线性代数
第三部分 特征值与特征向量,矩阵的对角化及二次型——典型例题
6
例32 已知 A1 , A2 , A3 为3个非零的3阶矩阵，
A = Ai (i = 1, 2, 3), Ai A j = 0 (i ≠ j ),
2 i
证明0，1一定是 Ai (i = 1, 2, 3) 的特征值. 为3维单位列向量，且 α T β = 0, 例33 设α , β T T . A = αβ + βα , 则A的特征值为
《线性代数》教学课件—第5章 二次型 第四节 对称矩阵的对角化
矩阵因 PA ,对使称P,因-故1AAP 对= 称,,其故中 是以 A 的 n 个特征
值为对角1p1元T =素(的1对p1p)角T1T=矩=(阵A(p.11p)1T)T= =p1(TAApT1)=T p=1TpA1TA, T = p1TA
于是证明从略于.是
1 p1Tp2 = p11TpA1pT2p2==p1pT1(TA2p2 =) =p1T2(p21pTp2 2) ,= 2 p1Tp
的基础解系, 设为 pi1 , pi2 , , pini
( i = 1, 2, ···, s). 并把它们正交化、单位化，仍记
为 pi1 , pi2 , , pini ，以这些向量为列构
造矩阵
P ( p11,p12,, p1n1,p21,p22,, p2n2 ,, ps1,ps2,,psns ),
1
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
单击这里求特征多项式
3 2 0
|A E| 2 2 2
0 2 1
例 18
设
A
A0101010111
1 1,
,
1 1 1 1 00
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
方法评单注击这里求特征多项式
角矩阵 矩=角阵di矩aPg阵(,使1,矩P·=·-·阵1d,AiaPPng)=(,相使1似,,P··其，-·1,A中从Pn而)=相是A似-以 , 其，AE中从的而n是A个-以 与 - E值=与为di对ag角-(元1E-值素=为的d, i·对·a对·g,角(角n元1矩-素阵)的,.相··对·似, 角.n矩-当阵).相似. 当 是 A 的 k 重是特A征的值时 k 重，特1征, ·值··,时n，这1n, 个···特, 征n 这 n 个特
二次型定理
二次型定理二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。
本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。
一、二次型的定义在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。
设有n个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。
二次型可以表示为：f(x) = x^TAx其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。
二、二次型的矩阵表示设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx可以写成矩阵形式：f(x)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\\vdots \\x_n\end{pmatrix}整理得：f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j将此式称为二次型的矩阵表示。
三、二次型定理二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。
具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得：P^TAP = D其中，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为二次型的主元或特征值。
进一步推广，在主元前面引入主元系数q_i，则有：P^TAP = q_1\lambda_1 + q_2\lambda_2 + ... + q_n\lambda_n其中，\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n是A的特征值，q_1, q_2, ..., q_n 是相应的特征向量。
矩阵对角化
引言在高等代数中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在线性空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.基本概念定义定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1−=或者BT T A 1−=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1−=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C . 定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(−−=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=. 定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1−=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化. 定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =−；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =−；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P −=− 定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵。
线性代数13.实对称矩阵对角化、二次型
AQ
.
1 2
1 2
0
解 1.计算特征值 由 E A 0容易求得A的3个特征值分别为1, - 1，- 1 22
1
2.计算特征向量. 特征值 1对应的一个特征向量为：p1 1，
1
1
特征值
1 2
对应的两个线性无关特征向量为：p2
1
,
3.对特征向量进行正交化处理.
0
1
p3
0
.
1
0,1, 2.
0 0 1
对于 0， 求解特征方程组0E A x 0，
1
得通解：x
k1
1
0
对于 1， 求解特征方程组1E A x 0，
0
得通解：x
k2
0
1
1
对于 2， 求解特征方程组2E A x 0，
得通解：x
k3
1
0
1
0
1
取
p1
1，p2 0
0
，
1
5.3实对称矩阵的正交相似对角化
5.3.1实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵有如下重要结论：
定理5.3.1 实对称矩阵的特征值全是实数.
定理5.3.2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交.
证： 设1, 2为A的两个不同特征值，
p1, p2分别为1, 2对应的特征向量，下面证明p1, p2正交.
解:
2 1 1
二次型的矩阵为A
1
2
1
1 1 2
得A的特征值: 1,1, 4
2 1 1 fA () | E A | 1 2 1 ( 1)2 ( 4)
1 1 2
对于 1， 求解特征方程组1E A x 0，
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0
1
A对应于1 2 1的全部特征向量为
0 1 k1p1 k2p2 k1 1 k2 0. 0 1
(其中k1 , k2为不全为零的任意常数)
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
3)线性性(x, y) (x, y) (x, y); (x y, z) (x, z) (y, z);
（2）向量的长度
定义3 向量的长度
x (x, x) x12 x22 L xn2 , 称为n维向量x的长度..
当 x 1时，称x为单位向量.
向量长度的性质：
对1 2 3 1, 解( A I )x 0,
~ 3 1 2
A I 5 2 3
1 0
0 1
1 1
x1 x3
得
x
2
x3
1 0 1
0 0 0
x3
x3
得
到
一个基础
解
系为p
1 1,
1
A对应于1 2 3 1的全部特征向量为
kp
k
1 1
(k
0的任意常数).
1
注：1)若0为单根，基础解系含一个解向量； 2)若0为k重根，基础解系含解向量的个数 k；
即方阵A的k重特征值不一定对应k个线性无关 的特征向量。
阵 A 的对应于特征值λ的特征向量.
例如
2 2
1312 412
a11 (1) f ( ) A I a21
an1 称为A的特征多项式.
a12
a22
an2
a1n a2n
ann
(2) f () A I 0称为A的特征方程.
两两正交，
s
则称向量组1， 2， s为正交向量组.
n阶方阵A为正交矩阵 它的行（或列）
向量组是两两正交的单位向量组.
T i
i
1
iT j 0
1 ai1a j1 ai2a j2 L ain a jn 0
(i j) .
(i j)
正交向量组有以下性质：
定理 1 正交向量组一定是线性无关的.
定理
2
如果r个n维非零向量1 , 2
,
,
构成
r
正交向量组，且r n,则必有n维非零向量x,
使x与1,2 , ,r都正交.
证 x应满足齐次线性方程组：
12rTTTxxx
0, 0,
0,
即
12TT
x
对1 2 1, 解( A I )x 0,
~ 1 0
AI 0 0
1
0
1 0
0 0
1 0
x1
x2
x2
x3
1
0 1
0
0
0
x3
x3
0
1
得到一个基础解系为p1 1, p2 0,
3 1
111100
5100
1 1
13,
1 4
3 5100 1 5100
3 3 13
5100 5100
.
3 3 5 设A x 4 y
1 1 1
例（3 2000年四）（9分）
(3)特征方程的解i (i 1, , n)称为A的特征值.
(4)将特征值i代入方程，则( A i I ) x 0有非零解, 此方程的非零解称为A的对应于i的特征向量.
求特征值和特征向量的步骤：
(1) 求出A的特征方程A I 0的全部根，
即为A的全部特征值;
(2) 对A的每一个特征值i，求出( A i I )x 0 的非零解，即为A的对应于i的全部特征向量.
设 A、B 都是 n 阶方阵，若存在可逆方阵 P，使
P -1AP=B
则称 A 与 B 相似，或称 B 是 A 的相似矩阵.记作
A∽B 对A进行的运算P 1 AP称为对A进行相似变换.
相似矩阵的性质:
(1)自反性：A ~ A; (2)对称性：若A ~ B，则B ~ A; (3)传递性：若A ~ B，B ~ C则A ~ C; (4)若 A∽B，则 A B , r(A) r(B).
A I 0 0 0 0 0 0
1 0 1
0
0
0
x1
x2
x2
x3
0 令p1 1,
x3
x3
0
1
p2 0,
1
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
(5)若 A∽B，则A 与 B 的特征多项式相同，特征值相同.
λ1
推论:若n阶方阵A与对角阵Λ=
λ2
O
λn
相似，则1, 2 , , n就是A的n个特征值.
例 设A 10
12,
B
1 0
21, 试证不存在可逆矩阵
P，使P 1AP B.
第四章
重点：
矩阵特征值、特征向量的概念及求法， 矩阵对角化的条件， 用正交变换化二次型为标准型
难点：
用正交变换化二次型为标准型
§4.1矩阵的特征值与特征向量
一、概念
Def 特征值和特征向量
设 A 为 n 阶方阵，如果对于一个数λ，存在一个
n 维非零列向量 x,使得 Ax x 成立，
则称数λ为方阵 A 的特征值，非零向量 x 称为方
例1.求
矩
阵A
0 0
0 1
1 0
的
特
征
值
和
特
征
向
量.
1
0
0
解 A的特征方程为
0 A I 0 1
1
0 (1 )
1
1
1 0
(1 )( 1)( 1) 0
A的特征值为：1 2 1, 3 1,
二、特征值与特征向量的性质
（1）n阶方阵A与它的转置矩阵AT 有相同的特征值.
(2)设i (i
1,2,
,
m
)是方阵A的特征值，p
是对应于
i
i的特征向量.若1 , 2 , m互不相等，则p1 , p2 ,
, p m线性无关.
例3.设是 方 阵A的 特 征 值 ， 证 明 ：(1)k是kA的 特 征 值 ；
0的常数).
1
例2.求
矩
阵A
2 5
1 3
2 3
的 特 征 值 和 特 征 向 量.
1 0 2
解 A的特征方程为
2 1 2
A I 5 3 3 ( 1)3 0
1 0 2
A的特征值为：1 2 3 1,
特征值相同是相似的必要条件，但不是充分条件。
二、矩阵的对角化
定理 n阶方阵A ~
A有n个线性无关的特征向量.
相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无关 的特征向量. Λ的对角元是A的n个特征值
定理3 若n阶方阵A有n个不同的特征值
1, 2 , , n , 则 A 可对角化.
1
1)非负性 x 0;
2)齐次性 x x ;
3)三角不等式 x y x y . 4)设A是n阶正交矩阵，x是n维列向量，
则 Ax x .
因此正交矩阵A作用于向量x不改变向量长度.
（3）正交向量
定义4 正交向量
若(x, y) 0，则称x与y正交.
定义5 正交向量组
若非零向量组1， 2，
1
即
P
1
AP
2
n
其中，1 , 2 , , n ,是A的n个特征值，
P是由n个线性无关的特征向量作为 列向量所构成的矩阵.
例1.将
矩
阵A
0 0
0 1
1 0
相 似 变 换 矩 阵.
10相 似 对 角 化并，写 出 0
即
A
~
2
n
A 有 n 个不同的特征值是 A 可对角化的充分条件， 但不是必要条件.
将方阵A化为对角阵的步骤：
1)求出方阵A的特征值和特征向量；
2)判 断A能 否 对 角(是 否 有n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量)；
3)若A能 化 为 对 角 阵则，写 出 与A相 似 的 对 角 阵.
AP
1 0
0 1
0 0 .
0
11Leabharlann 00
1
1 0 1
1 0 0
若令P ( p3 , p1, p2 ) 0 1 0, 则 P 1AP 0 1 0.
1
0
1
0
0 1
说明与A相似的对角阵不唯一，但对角元都是 A的特征值，只是次序不同.