高等代数总结
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数总结模板范文
一、引言高等代数作为数学学科中的重要分支，是一门理论性、抽象性、逻辑性较强的课程。
通过学习高等代数，我们可以掌握代数系统的概念、多项式、方程组、矩阵、行列式等基本知识，为后续学习数学分析、抽象代数等课程奠定基础。
以下是对高等代数知识点的总结，供大家参考。
二、代数系统的概念1. 定义：一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算，并且这些运算满足结合律、交换律、单位元、逆元等性质，则称这个集合为一个代数系统。
2. 常见的代数系统：群、环、域、向量空间等。
三、多项式1. 定义：有限个单项式的和，其中单项式是系数与变量的乘积。
2. 性质：多项式具有可加性、结合律、交换律等性质。
3. 运算：多项式的加减、乘除、因式分解等。
四、方程组1. 定义：含有未知数和等式的集合。
2. 解法：代入法、消元法、矩阵法等。
3. 性质：线性方程组解的存在性与唯一性。
五、矩阵1. 定义：由m×n个数排成的m行n列的矩形数组。
2. 性质：矩阵的加法、数乘、乘法等。
3. 运算：矩阵的转置、逆矩阵、行列式等。
六、行列式1. 定义：n阶方阵的元素按照一定的规则排成的代数和。
2. 性质：行列式的展开、性质、计算方法等。
3. 应用：线性方程组的解、矩阵的秩、逆矩阵等。
七、线性相关性1. 定义：向量组中，至少有一个向量可以由其他向量线性表示。
2. 性质：线性相关与线性无关的关系、秩的定义等。
3. 应用：线性方程组的解、矩阵的秩等。
八、总结高等代数作为一门重要的数学课程，涉及众多知识点。
通过学习高等代数，我们可以掌握代数系统的概念、多项式、方程组、矩阵、行列式等基本知识，为后续学习数学分析、抽象代数等课程奠定基础。
在学习过程中，我们要注重理论联系实际，不断提高自己的运算能力和解题技巧。
相信通过努力，我们一定能够掌握高等代数的精髓，为未来的学习和发展打下坚实基础。
高等代数知识点总结笔记
高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。
大一高等代数知识点总结归纳
大一高等代数知识点总结归纳高等代数是大一学生必修的一门数学课程，其内容包括线性方程组、线性空间、线性变换和矩阵等。
下面是对大一高等代数知识点进行总结归纳。
一、线性方程组1. 行列式行列式是一个方阵所对应的一个数，它的运算规则包括定义、性质和计算方法等。
例如，二阶行列式的计算方法是交叉相乘后相减。
2. 矩阵矩阵是由若干个数按照一定的规律排列而成的矩形阵列。
矩阵的运算包括加法、减法和乘法等。
此外，还有转置、伴随和逆矩阵等重要的概念。
3. 线性方程组的解法线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其求解通常采用高斯消元法、矩阵法或克拉默法则等方法。
需要注意的是，线性方程组可能有唯一解、无解或无穷解。
二、线性空间1. 线性空间的定义线性空间是一个向量空间，它包含有向量的加法和数量乘法等运算。
同时，还要满足线性空间的八条公理，如封闭性、结合律和分配律等。
2. 子空间子空间是线性空间的一个非空子集，并且它也是一个线性空间。
子空间的判定可以根据零向量是否属于这个子集来进行。
3. 线性相关与线性无关线性相关表示存在一个非零向量，可以由其他向量线性表示出来。
线性无关表示任何向量组中的向量都不能由其他向量线性表示出来。
三、线性变换1. 线性变换的定义线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间之间的变换，它需要满足保持加法和数量乘法运算的性质。
2. 线性变换的表示线性变换可以用矩阵表示，其中矩阵的列向量表示线性变换前的向量组，而矩阵的列向量表示线性变换后的向量组。
3. 特征值与特征向量特征值是指线性变换矩阵的特殊值，满足Ax=λx的等式，其中A为线性变换矩阵，λ为特征值，x为特征向量。
四、矩阵1. 矩阵的运算矩阵的加法、减法和乘法是矩阵运算中的基本操作。
此外，还有转置、伴随和逆矩阵等运算。
2. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵所具有的线性无关的行或列的最大数目。
秩的计算可以采用初等行变换、高斯消元法或矩阵的特征值等方法。
以上是对大一高等代数知识点的总结归纳。
高等代数知识点总结
高等代数知识点高等代数是数学的一个分支学科，它研究代数结构与代数运算的一般理论。
在学习高等代数的过程中，我们会接触到一些重要的概念和知识点。
本文将对一些常见的高等代数知识点进行。
1. 线性代数线性代数是高等代数的一个重要分支，它研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
1.1 向量空间向量空间是线性代数中最基本的概念之一，它是一个满足一定条件的集合。
向量空间具有以下特性：•闭合性：向量空间中的任意两个向量的线性组合仍然属于该向量空间。
•加法结合律：向量的加法满足结合律。
•加法交换律：向量的加法满足交换律。
•零向量存在性：向量空间中存在一个零向量，它和任意向量的加法得到的结果是原向量本身。
•加法逆元存在性：向量空间中的任意向量都有一个加法逆元。
1.2 线性变换线性变换是指保持向量空间中的线性运算不变的变换。
线性变换具有以下性质：•保持零向量不变：线性变换将零向量映射为零向量。
•保持向量加法：线性变换将向量加法映射为映射后的向量的加法。
•保持标量乘法：线性变换将标量乘法映射为映射后的向量的标量乘法。
1.3 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合。
求解线性方程组的关键是确定进行何种变换操作，使得方程组的解能够被简化。
常见的线性方程组解法包括高斯消元法、矩阵消元法等。
2. 群论群论是代数学中研究群的一个分支学科，它研究群的性质和结构。
2.1 群的定义群是一个集合和一个二元运算构成的代数结构。
群具有以下性质：•闭合性：群中的任意两个元素的运算结果仍然属于该群。
•结合律：群中的运算满足结合律。
•存在单位元：群中存在一个元素，使得该元素与群中的任意元素进行运算得到的结果等于该元素本身。
•存在逆元：群中的任意元素都存在一个逆元，使得该元素与其逆元进行运算得到的结果等于单位元。
2.2 群的性质群具有一些重要的性质，例如：•闭包性：群的闭包性指的是群中的任意两个元素的运算结果仍然属于该群。
•唯一性：群的单位元和每个元素的逆元都是唯一的。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
高等代数知识点总结大一
高等代数知识点总结大一高等代数知识点总结在大一学习高等代数时，我们会接触到一系列的知识点，它们是我们理解和掌握高等代数的基础。
本文将对这些知识点进行总结，并给出一些例子来帮助读者更好地理解。
1. 向量和矩阵高等代数的基础是向量和矩阵。
向量是具有大小和方向的量，用于表示物理量或数学对象。
它可以进行加法、标量乘法和内积等运算。
矩阵是由一组排列成矩阵形式的数所构成的矩形阵列，可以进行加法、标量乘法和矩阵乘法等运算。
2. 行列式行列式是一个方块矩阵的标量值，用于确定矩阵的某些性质。
行列式可以用来解线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等。
3. 线性方程组线性方程组是一组线性方程的集合，其未知数以线性的方式出现。
解线性方程组意味着找到满足所有方程的解。
可以使用矩阵和行列式的方法来解线性方程组。
4. 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性代数中非常重要的概念。
特征值表示矩阵的重要特性，特征向量是对应于特征值的向量。
5. 基变换和相似矩阵基变换是指改变向量的基准从而表示同一个向量的不同坐标。
相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一个基变换相互转化。
6. 线性空间和子空间线性空间是指满足线性运算法则的向量空间。
子空间是指线性空间中的一个子集，它同样满足线性运算法则。
7. 线性变换线性变换是指保持向量空间运算法则不变的变换。
线性变换是高等代数中的核心概念之一，它可以用矩阵表示。
8. 内积空间和正交性内积空间是指在向量空间中定义了一种内积运算的空间。
正交性是指两个向量的内积为零，表示它们之间的垂直关系。
9. 特征向量空间和对角化特征向量空间是指由一个矩阵的所有特征向量生成的向量空间。
对角化是指将一个矩阵相似化成一个对角矩阵的过程，可以简化计算。
10. 线性相关性和线性无关性线性相关性是指向量之间存在线性关系的情况。
线性无关性是指向量之间不存在非平凡的线性关系。
以上是大一学习高等代数中的一些重要知识点的总结。
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i ki11 + +kir r , i r 1, , m
（1）
下面证 1， ， r 是 1， ， m 的一个极大线性无关组，从而 1， ， m 的秩等于矩阵 A 的秩
1， ， r 线性无关：令 k1 1 kr r 0 ，则有，
3
, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
dim span 1， ， m 秩 A ） ， m 1， ， n A ，则， 1，
证明：设秩 ( A) r ， A aij 由 1， ， r 线性表示，
n m
的列向量组为 1， ， m ，不失一般性，不妨设 1， ， r 线性无关，则 i 可
， n B bij mn 的列向量组为 1，
m n
的列向量组为 1， ， n
只需要证明： k11 + kn n 0 k1 1 + kn n 0 记 K k1 , , k n 因为，所以，
k11 + k n n 0 1 , , n K 0 AK 0 C 1 BK 0 BK 0 1 , , n K 0 k11 + kn n 0
再记 ki11 + +kir r li1 , , lin , i r 1, , m ，则上式为，
T
i li11 + lin n , i r 1, , m
即 i 可由线性表示 1， ， r （ i r 1, , m ）线性表示。 所以， 1， ， r 是 1， ， m 的一个极大线性无关组。 例：设向量组 1， ， m 1， ， n A ，问：如何确定向量组 1， ， n 的秩是 r ， 1， ， m 的秩 解：不妨设 1， ， r 线性无关，则存在 r (n r ) 的矩阵 B ，使得 r 1， ， n 1， ， r B ，所以，
j1
jn r
i1
ir
， n 的极大线性无关组，且 1， ， n 中其余向量 i ， ， ir 是 1，
1
， ， ， C ，
j1
jn r
i1
ir
2、子空间 （1）线性子空间的一组基总可以扩充为原线性空间的一组基 （2）维数定理：设 V1 和 V2 是线性空间 V 的两个子空间，则有：
0 k11 kr r 1， ， r k1 , , k r 1， ， n 1， ， r k1 , , k r
T T T
因为 1， ， n 线性无关，所以 1， ， r ，则 k1 , , k r 是线性方程 ， r k1 , , kr 0 。记 A1 1， 组 A1 x 0 的解，而 A1 是列满秩的，它只有零解，因此 k1 , , k r 0 ，所以 1， ， r 线性无关
习题 6.3.3、解：提示： W 为线性方程组
x1 0 的解空间 x 0 2
第四节 正交变换 1、定义 6.7（正交变换） 易知，正交变换在任何一组标准正交基下的矩阵都是正交矩阵 2、若ε , ε , ⋯ , ε 是欧氏空间V的一组标准正交基，σ是一正交变换，则向量组σ(ε ), σ(ε ), ⋯ , σ(ε )仍然 是一组标准正交基 3、命题 6.5 正交变换把标准正交基仍旧变为标准正交基 4、定题 6.4 正交变换下向量的内积不变 5、推论 6.3 正交变换保持向量的长度不变. 推论 6.4 正交变换保持向量之间的夹角不变 6、定理 6.5 设σ是n维欧氏空间中的线性变换，则下述命题等价： （1）σ是正交变换， （2）σ保持长度 不变， （3）σ保持内积不变， （4）σ把标准正交基变为标准正交基 7、例 6.11 8、例 6.12 习题 6.4.4、设 是 n 维欧氏空间中保持内积不变的变换，证明： 一定是线性变换，因而是正交变换。 保持向量长度的变换是否一定是线性变换？ 解： （1）直接验证 是线性变换：设 , V ，则有
，
, , , , , , , , , 0
所以， 同理， k k （2）只保持长度不变的变换未必是线性变换 例如：在欧式空间 V 中取定一个单位向量 0 ，定义 V 上的变换 ：任给， V ， 0 ，则 保 持长度不变: , 0 , 0 但 不是线性的。 习题 6.4.5、设 , 是 n 维欧氏空间 V 中的向量，且 。证明：存在正交变换 ，使得 证明： 0 时，结论是显然的，因为，对任何线性变换 ， (0) 0 。下面设 0 ， 0 记 1
， m 1， ， n A 1， ， r CA 1，
E 其中 C r 0
B ， m 的秩等于矩阵 CA 的秩。 ，因此向量组 1， 0
1
（2） 将矩阵 A 做有限次行的初等变换， 得到矩阵 B ， 则 A 与 B 的列向量组之间有完全一致的线性关系。 证明：由初等变换的性质知，存在可逆矩阵 C ，使得 B CA ，记 A aij
W W W
2
（2）设 W 是 不变的， 与在上的限制 W 的联系与区别：不同之处， L V ，而 L W ； 相同之处，对任何 W ，有 4、线性变换及矩阵的特征值与特征向量及其计算 （1） （见补充材料）
dim V1 V2 dim V1 dim V2 dim V1 V2
（3）若 1， ， n 线性空间 V 的一组基，向量组 1， ， r 1， ， n A 及 1， ， s 1， ， n B ， 其中 A 和 B ，都是列满秩的，则 span 1， ， r span 1， ， s 是直和的充分必要条件是：线性方程组
B x 0 只有零解，即矩阵 A， B 是列满秩的： 秩 A， B r s A，
证明：由直和的性质： span 1， ， r span 1， ， s 是直和 如果 0=x1 1 xr r xr 11 xr s s ，则必有 x1 x2 xr s 0 ，即线性方程组 A， B x 0 只有零解 思考：如果 A 和 B 中有非列满秩的，则 span 1， ， r span 1， ， s 是直和的充分必要条件是什么？ 3、不变子空间 （1）设 W 是线性空间 V 的子空间， L V ，则 W 是 V 的 不变子空间（简称为 不变的）是指：
0 1 （2）正交矩阵的特征值可以是复数，例如矩阵 1 0
（3）若 是正交矩阵 A 的特征值，则 1 也是 A 的特征值 （4）正交矩阵的实特征值只能是 1 （习题 6.2.6） （5）正交矩阵的特征值的模为 1 （习题 6.2.6） 5、欧氏空间 （1）内积及其性质 （2）度量矩阵：内积由度量矩阵唯一确定 （3）度量矩阵一定是正定的 6、通常说的 n 维欧氏空间 R n ， n 阶正交矩阵，都是在内积为 x, y xT y 的意义下的，其中列向量 x Rn , y Rn . 第六章 欧式空间 第三节 正交子空间 1、定义 6.6（正交补空间） 2、定理 6.3 n维欧氏空间V的任意子空间都有唯一的正交补空间 3、例 6.10 在三维空间ℝ 中，记 W = {(x, y, z)|x + y + z = 0}，W = {(x, y, z)|x = y = z} 有W ⊕ W = ℝ
1
2 2 2
，1
1
。将 1 扩充为一组标准正交基： 1 , 2 , , n
T
1 a111 a21 2 an1 n ，记 1 a11 , a21 , , an1 ，则 1 是 R n 中的单位向量，由此扩充为 R n 的一组
标准正交基 1 , 2 , , n ，记 A 1 , 2 , , n ，易知 A 是正交矩阵，定义正交变换 ，
高等代数（下）期末考试复习 1பைடு நூலகம்
一、一些要点或补充 1、关于向量组的秩 （1）设向量组 1， ， m 1， ， n A ，则向量组 1， ， n 线性无关， 1， ， m 的秩等于矩阵 A 的秩 （这一命题也可表述为：若 1， ， n 线性空间 V 的一组基，
T
T
i 可由线性表示 1， ， r （ i r 1, , m ）线性表示：
由 1， ， m 1， ， n A 及（1）式，我们有，
i 1， ， n i 1， ， n ki11 + +kir r , i r 1, , m
T
练习：矩阵 A 与 B 同（2） ，设 A 的列向量组为 1， ， n ， B 的列向量组为 1， ， n 利用（2）证明： i ， ， n 的极大线性无关组，且 1， ， n 中其余向量 ， ir 是 1，
1
， ， ， C ，