广东省各市2015年中考数学试题分类汇编(解析版)专题7：函数的图像、性质和应用问题
广东省各市2015年中考数学试题分类解析汇编（20专题）专题7：函数的图像、性质和应用问题1.（2015年广东梅州3分）对于二次函数2 2y x x =-+有下列四个结论：①它的对称轴是直线1x =；②设22111222 2 2y x x y x x =-+=-+，，则当21>x x 时，有21>y y ；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<<2x 时，>0y .其中正确结论的个数为【 】A. 1B.2C. 3D. 4 【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质.【分析】∵()22211y x x x =-+=--+，∴二次函数图象的对称轴是直线1x =.故结论①正确.∴当1x ≥时，y 随x 的增大而减小，此时，当21>x x 时，有21<y y .故结论②错误.∵220y x x =-+=的解为120,2x x == ，∴二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论③正确.∵二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，∴当0<<2x 时，>0y .故结论④正确.综上所述，正确结论有①③④三个. 故选C.2. （2015年广东深圳3分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如下图所示，下列说法①0a >；②0b >；③0c <；④240b ac ->，正确的个数是【 】A. 1B. 2C.3D. 4 【答案】B.【考点】二次函数的图像和性质.【分析】∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的开口向下，∴<0a . 故说法①错误.∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像的对称轴在y 轴右侧，∴>02ba-， 即>0b .故说法②正确. ∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像与y 轴的交点在x 轴上方，∴>0c . 故说法③错误. ∵二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图像与x 轴有两个交点，∴240b ac ->.故说法④正确. 综上所述，正确的个数是②④2个. 故选B.3. （2015年广东汕尾4分）对于二次函数2 2y x x =-+有下列四个结论：①它的对称轴是直线1x =；②设22111222 2 2y x x y x x =-+=-+，，则当21>x x 时，有21>y y ；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0<<2x 时，>0y .其中正确结论的个数为【 】A. 1B.2C. 3D. 4 【答案】C.【考点】二次函数的图象和性质.【分析】∵()22211y x x x =-+=--+，∴二次函数图象的对称轴是直线1x =.故结论①正确.∴当1x ≥时，y 随x 的增大而减小，此时，当21>x x 时，有21<y y .故结论②错误.∵220y x x =-+=的解为120,2x x == ，∴二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0） .故结论③正确.∵二次函数图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），且有最大值1，∴当0<<2x 时，>0y .故结论④正确.综上所述，正确结论有①③④三个. 故选C.1. （2015年广东深圳3分）如图，已知点A 在反比例函数(0)ky x x=<上，作Rt ABC ∆，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE ∆的面积为8，则k = ▲ .【答案】16.【考点】反比例函数的应用；相似三角形的判定和性质；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质.. 【分析】由题意，182BCE S BC OE ∆=⋅⋅=，∴16BC OE ⋅=. ∵点D 为斜边AC 的中点，∴BD DC =. ∴DBC DCB EBO ∠=∠=∠. 又∵ABC EOB ∠=∠，∴ABC EOB ∆∆∽. ∴BC ABOB OE=. ∴16k OB AB BC OE =⋅=⋅=.1. （2015年广东梅州9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元. （1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 ▲ 元；②月销量是 ▲ .件；（直接填写结果） （2）设销量该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】解：（1）①60x -；②2400x -+.（2）依题意可得：()()()2260240025202400021309800y x x x x x =--+=-+-=--+.当x =130时，y 有最大值980.∴售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.【考点】二次函数和一次函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.【分析】（1）①根据“=-利润售价进价”得出结论.②根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为m kx b =+，将（100，200），（110，180）代入，得100200110180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2400k b =-⎧⎨=⎩.∴2400m x =-+.将其它各组数据代入检验，适合，∴月销量是2400x -+件.（2）根据“=-利润售价进价”得出y 关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.2. （2015年广东梅州10分）如图，已知直线3:34l y x =-+分别与x 、y 轴交于点A 和B . （1）求点A 、B 的坐标； （2）求原点O 到直线l 的距离；（3）若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标.【答案】（1）∵当x =0时，y =3 ，∴B 点坐标（0，3） .∵当y =0时，有3034x =-+，解得x =4. ∴A 点坐标为（4，0）. （2）如答图1，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则OC 长为原点O 到直线l 的距离.在Rt △BOA 中，OA =4，0B =3，由勾股定理可得AB =5，∵1122BOA S OB OA AB OC =⋅⋅=⋅⋅V ，∴125OB OA OC AB ⋅==. ∴原点O 到直线l 的距离为125.（3）如答图2，3，过点M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，则当圆M 与直线l 相切时，MD =2，在△BOA 和△BDM 中，∵∠OBA =∠DBM ，∠BOA =∠BDM ，∴△B OA ∽△BDM .∴AB OA MB DM =，即542MB =，解得52MB =. ∴1–2OM OB BM ==或112OM OB BM =+=.∴点M 的坐标为M （0，12）或 M （0，112）.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，将y =0和x =0分别代入334y x =-+即可求得点A 、B 的坐标..（2）作辅助线：过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则OC 长为原点O 到直线l 的距离，由勾股定理求得AB 的长，从而根据三角形面积公式1122BOA S OB OA AB OC =⋅⋅=⋅⋅V 求得OC 的长，即原点O 到直线l 的距离. （3）作辅助线：过点M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，则当圆M 与直线l 相切时，MD =2，根据△B OA ∽△BDM 列式求得52MB =，分点M 在直线AB 的上、下方两种情况讨论即可. 3. （2015年广东梅州10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x =图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得111x k y k ⎧=±⎪⎨⎪=±⎩，∴111,A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ . 同理，221,B k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∵22121211OA k OB k k k =+=+，， ∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--= ⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =. ∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b. 【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.4. （2015年广东佛山6分）若正比例函数1y k x =的图象与反比例函数2k y x=的图象有一个交点坐标是()2,4- .（1）求这两个函数的表达式； （2）求这两个函数图象的另一个交点坐标.【答案】解：（1）∵正比例函数1y k x =的图象经过()2,4- ，∴142k =-，解得12k =-. ∴正比例函数的表达式为2y x =-. ∵反比例函数2k y x=的图象经过()2,4- ， ∴242k =-，解得18k =-. ∴正比例函数的表达式为8y x=-. （2）联立28y xy x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得24x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=-⎩， ∴这两个函数图象的另一个交点坐标为()2,4- .【考点】正比例函数图象和反比例函数图象交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，分别将()2,4- 代入两个解析式即可求得这两个函数的表达式.（2）联立两表达式，解方程组即可求得这两个函数图象的另一个交点坐标.5. （2015年广东佛山10分）如图，一小球从斜坡O 点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数24y x x =-+刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画. （1）请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标； （2）小球的落点是A ，求点A 的坐标；（3）连结抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA . 求△POA 的面积；（4）在OA 上方的抛物线上存在一点M （M 与P 不重合），△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点．．．．．M 的坐标.【答案】解：（1）∵()()222444424y x x x x x =-+=--++=--+，∴点P 的坐标为()2,4 .（2）联立2412y x x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或7274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点A 的坐标为77,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）如答图1，作二次函数图象的对称轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为()2,1 ，3BP =. ∴1172132322224POA OBP BAP S S S ∆∆⎛⎫=+=⨯⨯+⨯⨯-= ⎪⎝⎭V . （4）315,24⎛⎫⎪⎝⎭ . 【考点】二次函数的应用（实际问题）；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等高三角形面积的应用；待定系数法、转换思想和数形结合思想的应用. 【分析】（1）化为顶点式即可得二次函数图象的顶点坐标.（2）联立24y x x =-+和12y x =即可求出点A 的坐标. （3）作辅助线“作二次函数图象的对称轴交OA 于点B ”，将POA S V 转化为OBP S ∆和BAP S ∆之和. （4）作辅助线“过点P 作//PM OA 交抛物线于另一点M ”，则△MOA 的面积等于△POA 的面积，设直线PM 的解析式为12y x m =+，将()2,4P 代入，得14232m m =⋅+⇒=， ∴直线PM 的解析式为132y x =+.联立24132y x x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，解得，24x y =⎧⎨=⎩或32154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点M 的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭. 6. （2015年广东广州10分）已知反比例函数7m y x-=的图象的一支位于第一象限. （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；（2）如图，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若OAB ∆的面积为6，求m 的值.【答案】解：（1）∵反比例函数7m y x-=的图象的一支位于第一象限， ∴该函数图象的另一支位于第三象限.∴7>0m -，解得>7m . ∴m 的取值范围为>7m . （2）设7,m A a a -⎛⎫⎪⎝⎭， ∵点B 与点A 关于x 轴对称，∴()27m AB a-=. ∵OAB ∆的面积为6，∴()27162m a a-⋅⋅=，解得13m =. 【考点】反比例函数综合题；解一元一次不等式；轴对称点的性质. 【分析】（1）根据反比例函数()0ky k x=≠的性质：当0k ＞时，图象分别位于第一、三象限；当0k ＜时，图象分别位于第二、四象限.由反比例函数7m y x-=的图象的一支位于第一象限，得另一支位于第三象限，得到7>0m -，解之即可.（2）设7,m A a a -⎛⎫⎪⎝⎭，根据“关于x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数”得到AB 的长，根据OAB ∆的面积为6列方程求解即可.7. （2015年广东广州10分）已知O 为坐标原点，抛物线21(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于点1(,0)A x ,2(,0)B x .与y 轴交于点C ，且O ，C 两点之间的距离为3，12120,4x x x x ⋅<+= ，，点A ，C在直线23y x t =-+上. （1）求点C 的坐标；（2）当1y 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；（3）将抛物线1y 向左平移(0)n n >个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求225n n -的最小值. 【答案】解：（1）令0x =，得1y c =，∴()0,C c .∵O ，C 两点之间的距离为3，∴3c =，解得3c =±. ∴点C 的坐标为()0,3 或()0,3 -. （2）∵120x x ⋅<，∴12,x x 异号.①若()0,3C ，把()0,3C 代入23y x t =-+得30t =+，即3t =. ∴233y x =-+.把()1,0A x 代入233y x =-+得1033x =-+，即11x =.∴()1,0A . ∵12,x x 异号，11>0x =，∴2<0x .∵124x x +=，∴214x +=，214x -=，23x =-.∴()3,0B - .把()1,0A ，()3,0B - 代入213y ax bx =++，得309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩.∴()2212314y x x x =--+=-++.∴当1x ≤-时，1y 随着x 的增大而增大.②若()0,3C -，把()0,3C -代入23y x t =-+得30t -=+，即3t =-. ∴233y x =--.把()1,0A x 代入233y x =--得1033x =--，即11x =-.∴()1,0A - . ∵12,x x 异号，11<0x =-，∴2>0x .∵124x x +=，∴214x -+=，214x +=，23x =.∴()3,0B . 把()1,0A - ，()3,0B 代入213y ax bx =++，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.∴()2212314y x x x =--=--.∴当1x ≥时，1y 随着x 的增大而增大.综上所述，若()0,3C ，当1y 随着x 的增大而增大时，1x ≤-；若()0,3C -，当1y 随着x 的增大而增大时，1x ≥.（3）①若()0,3C ，则()2212314y x x x =--+=-++，233y x =-+，1y 向左平移(0)n n >个单位后的解析式为()2314y x n =-+++，则当1x n ≤--时，3y 随着x 的增大而增大.直线2y 向下平移n 个单位后的解析式为433y x n =-+-. 要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =--时，34y y ≥，即()()2114313n n n n ---+++≥---+-，解得1n ≤-，与>0n 不符，舍去.②若()0,3C -，则()2212314y x x x =--=--，233y x =--，1y 向左平移(0)n n >个单位后的解析式为()2314y x n =-+-，则当1x n ≥-时，3y 随着x 的增大而增大.直线2y 向下平移n 个单位后的解析式为433y x n =---. 要使平移后直线与P 有公共点，则当1x n =-时，43y y ≥， 即()()2313114n n n n ----≥---+-，解得1n ≥. 综上所述，1n ≥.∵2252525248n n n ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当54n =时，225n n -的最小值为258-. 【考点】二次函数综合题；线动平移问题；曲线上点的坐标与方程的关系；不等式和绝对值的性质；二次函数的最值；分类思想的应用.【分析】（1）一方面，由点C 在抛物线21(0)y ax bx c a =++≠得到()0,C c ，另一方面，由O ，C 两点之间的距离为3，得到3c =±，从而得到点C 的坐标.（2）分()0,3C 和()0,3C -两种情况讨论.（3）分()0,3C 和()0,3C -两种情况讨论得到n 的范围内1n ≥，从而根据二次函数最值原理即可求解.8. （2015年广东深圳9分）如图1，关于x 的二次函数2y x bx c =-++经过点(3,0)A - ，点(0,3)C ，点D为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在x 轴上. （1）求抛物线的解析式；（2）DE 上是否存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等，若存在求出点P ，若不存在请说明理由； （3）如图2，DE 的左侧抛物线上是否存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，若存在求出点F 的坐标，若不存在请说明理由.【答案】解：（1）将点(3,0)A - ， (0,3)C 代入2y x bx c =-++，得9303b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩.∴抛物线的解析式为223y x x =--+. （2）存在.∵()222314y x x x =--+=-++，∴2,4,25AE DE AD === .∴25sin 525AE ADE AD ∠===. 设()1,P p - ，当点P 在DAB ∠的角平分线时，如答图1，过点P 作PM AC ⊥于点M ， 则()5sin 4,5PM PD ADE p PE p =⋅∠=-= ， ∵PM PE =，∴()545p p -=，解得51p =-. ∴()1,51P -- . 当点P 在DAB ∠的外角平分线时，如答图2，过点P 作PM AC ⊥于点M ， 则()5sin 4,5PM PD ADE p PE p =⋅∠=-=- ， ∵PM PE =，∴()545p p -=-，解得51p =--. ∴()1,51P -- -. 综上所述，DE 上存在点P 到AD 的距离与到x 轴的距离相等，点P 的坐标为()1,51--或()1,51-- -.（3）存在.假设存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，设()2,23F f f f --+∵2,3BE OC == ，∴3EBC S ∆=. ∵23FBC EBC S S ∆∆=，∴92FBC S ∆=. 设CF 的解析式为y mx n =+，则2233fm n f f n ⎧+=--+⎨=⎩，解得23m f n =--⎧⎨=⎩.∴CF 的解析式为()23y f x =--+. 令0y =，得32x f =+，即CF 与x 轴的交点坐标为3,02Q f ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 若点F 在x 轴上方，如答图2，则BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=-， ∴()2913131312322222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅-⋅--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即290f f --=，解得1372f ±=（舍去正值）. 当1372f -=时，233715232f f ---+=.∴13733715,22F ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 若点F 在x 轴下方，如答图3，则BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=+， ∴()2913131312322222f f f f ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅+⋅-⋅+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即290f f --=，解得1372f ±=（舍去正值）. 当1372f -=时，23371523>02f f ---+=，不符合点F 在x 轴下方，舍去. 综上所述，DE 的左侧抛物线上存在点F ，使23FBC EBC S S ∆∆=，点F 的坐标为13733715,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；角平分线的性质；分类思想、转换思想和方程思想的应用.【分析】（1）将点(3,0)A - ， (0,3)C 代入2y x bx c =-++即可求解.（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，分点P 在DAB ∠的角平分线和点P 在DAB∠的外角平分线两种情况讨论即可.（3）由已知求出92FBC S ∆=，分点F 在x 轴上方和点F 在x 轴下方两种情况讨论，当点F 在x 轴上方时，BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=-；当点F 在x 轴下方时，BCF BCQ BFQ S S S ∆∆∆=+，据此列方程求解. 9. （2015年广东9分）如图，反比例函数ky x=(0k ≠，0x ＞)的图象与直线3y x =相交于点C ，过直线上点A (1，3)作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB =3B D. （1）求k 的值； （2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d =MC +MD 最小，求点M 的坐标.【答案】解：（1）∵A (1，3)，∴OB =1，AB =3.又∵AB =3BD ，∴BD =1. ∴D (1，1). ∵反比例函数=ky x(0≠k ，0＞x )的图象经过点D ，∴111=⨯=k .（2）由（1）知反比例函数的解析式为1=y x， 解方程组31=⎧⎪⎨=⎪⎩y xy x ，得333⎧=⎪⎨⎪=⎩x y 或333⎧=-⎪⎨⎪=-⎩x y （舍去）， ∴点C 的坐标为(33，3). （3）如答图，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.设直线CE 的解析式为=+y kx b ，则 3331⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩k b k b ，解得233232⎧=-⎪⎨=-⎪⎩k b ， ∴直线CE 的解析式为(233)232=-+-y x . 当x =0时，y =232-， ∴点M 的坐标为(0，232-).【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；轴对称的应用（最短距离问题）；方程思想的应用.【分析】（1）求出点D 的坐标，即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出k 的值.（2）由于点C 是反比例函数1=y x的图象和直线3=y x 的交点，二者联立即可求得点C 的坐标. （3）根据轴对称的应用，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.10. （2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 与Rt △ADC 拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC =∠ADC =90°，∠CAD =30°，AB =BC =4cm . （1）填空：AD = ▲ (cm )，DC = ▲ (cm )；（2）点M ，N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B 的方向运动，当N 点运动 到B 点时，M ，N 两点同时停止运动，连结MN ，求当M ，N 点运动了x 秒时，点N 到AD 的距离(用含x 的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC 中点P ，连结MP ，NP ，设△PMN 的面积为y (cm 2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin 75°=624+，sin 15°=624-)【答案】解：（1）26；22.（2）如答图，过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ，则NE =DF .∵∠ACD =60°，∠ACB =45°，∴∠NCF =75°，∠FNC =15°.∴sin 15°=FCNC. 又∵NC =x ，sin 15°=624-，∴624-=FC x . ∴NE =DF =62224-+x . ∴点N 到AD 的距离为62224-+x cm.（3）∵NC =x ，sin 75°=FNNC，且sin 75°=624+∴624+=FN x ， ∵PD =CP =2，∴PF =6224-+x . ∴16262116262(26)(22)(26)2(2)()2442244+--+=+-+--⨯-+y x x x x x x ·即22673222384---=++y x x . ∴当732273224266228----=-=--⨯x 时，y 有最大值为6673102304246+---.【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4，∴42=AC .∵∠ADC =90°，∠CAD =30°， ∴31cos 4226,sin 422222=⋅∠=⋅==⋅∠=⋅= AD AC CAD DC AC CAD . （2）作辅助线“过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ”构造直角三角形CNF ，求出FC 的长，即可由NE =DF =FC +CD 求解.（3）由∆∆=--梯形PNF NDP MDFN y S S S 列式，根据二次函数的最值原理求解.11. （2015年广东汕尾9分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x 元. （1）请用含x 的式子表示：①销售该运动服每件的利润是 ▲ 元；②月销量是 ▲ .件；（直接填写结果） （2）设销量该运动服的月利润为y 元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】解：（1）①60x -；②2400x -+.（2）依题意可得：()()()2260240025202400021309800y x x x x x =--+=-+-=--+.当x =130时，y 有最大值980.∴售价为每件130元时，当月的利润最大，为9800元.【考点】二次函数和一次函数的应用（实际应用问题）；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；二次函数的最值.【分析】（1）①根据“=-利润售价进价”得出结论.②根据所给数据猜想月销量是售价的一次函数，可设为m kx b =+， 将（100，200），（110，180）代入，得100200110180k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2400k b =-⎧⎨=⎩.∴2400m x =-+.将其它各组数据代入检验，适合，∴月销量是2400x -+件.（2）根据“=-利润售价进价”得出y 关于的二次函数，应用二次函数的最值原理求解即可.12. （2015年广东汕尾11分）如图，已知直线3:34l y x =-+分别与x 、y 轴交于点A 和B . （1）求点A 、B 的坐标； （2）求原点O 到直线l 的距离；（3）若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标.【答案】（1）∵当x =0时，y =3 ，∴B 点坐标（0，3） .∵当y =0时，有3034x =-+，解得x =4. ∴A 点坐标为（4，0）. （2）如答图1，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则OC 长为原点O 到直线l 的距离.在Rt △BOA 中，OA =4，0B =3，由勾股定理可得AB =5，∵1122BOA S OB OA AB OC =⋅⋅=⋅⋅V ，∴125OB OA OC AB ⋅==. ∴原点O 到直线l 的距离为125.（3）如答图2，3，过点M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，则当圆M 与直线l 相切时，MD =2，在△BOA 和△BDM 中，∵∠OBA =∠DBM ，∠BOA =∠BDM ，∴△B OA ∽△BDM .∴AB OA MB DM =，即542MB =，解得52MB =. ∴1–2OM OB BM ==或112OM OB BM =+=.∴点M 的坐标为M （0，12）或 M （0，112）.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；三角形面积公式的应用；相似三角形的判定和性质；直线与圆的位置关系；分类思想的应用.【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，将y =0和x =0分别代入334y x =-+即可求得点A 、B 的坐标..（2）作辅助线：过点O 作OC ⊥AB 于点C ，则OC 长为原点O 到直线l 的距离，由勾股定理求得AB 的长，从而根据三角形面积公式1122BOA S OB OA AB OC =⋅⋅=⋅⋅V 求得OC 的长，即原点O 到直线l 的距离. （3）作辅助线：过点M 作MD ⊥AB 交AB 于点D ，则当圆M 与直线l 相切时，MD =2，根据△B OA ∽△BDM 列式求得52MB =，分点M 在直线AB 的上、下方两种情况讨论即可. 13. （2015年广东汕尾10分）如图，过原点的直线1y k x =和2y k x =与反比例函数1y x=的图象分别交于两点A ，C 和B ，D ，连结AB ，BC ，CD ，DA ．（1）四边形ABCD 一定是 ▲ 四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD 可能是矩形吗？若可能，试求此时1k 和2k 之间的关系式；若不可能，说明理由； （3）设()()()112221,,,,0P x y Q x y x x >> 是函数1y x =图象上的任意两点，12122,2y y a b x x +==+ ，试判断a ，b 的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）平行.（2）四边形ABCD 可能是矩形，此时121k k =，理由如下：当四边形ABCD 是矩形时，OA =OB .联立11y k x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得111x k y k ⎧=±⎪⎨⎪=±⎩，∴111,A k k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ .同理，221,B k k ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.∵22121211OA k OB k k k =+=+，， ∴121211k k k k +=+，得()21121 10k k k k ⎛⎫--=⎪⎝⎭. ∵210k k -≠， ∴12110k k -=. ∴121k k =. ∴四边形ABCD 可以是矩形，此时121k k =. （3）>a b .理由如下：∵()()()()2212121212121212121212124211122222x x x x x x y y a b x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫+-=-=+-== ⎪++++⎝⎭. ∵x 2 > x 1 > 0，∴()212>0x x -，()12122>0x x x x +.∴()()2121212>02x x x x x x -+.∴>a b. 【考点】反比例函数和一次函数综合题；平行四边形的判定；矩形的性质；代数式化简；作差法的应用. 【分析】（1）根据反比例函数的中心对称性，有,OA OC OB OD == ，所以，四边形ABCD 一定是平行四边形.（2）求出点A 、B 的坐标，根据矩形对角线互相平分且相等的性质得到OA =OB ，即22OA OB =，据此列式化简得证.（3）作差，化简，得出结论.14. （2015年广东珠海7分）已知抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线1x =． （1）求证：20a b +=；（2）若关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4，求方程的另一个根． 【答案】解：（1）证明：∵抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线1x =，∴12ba-=.∴20a b +=. （2）设关于x 的方程280ax bx +-=的另一个根为2x ，∵抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线1x =，∴2x 和4关于直线1x =对称 ，即2141x -=-，解得22x =-. ∴方程的另一个根为2-．【考点】二次函数的性质；二次函数与一元二次方程的关系.【分析】（1）由抛物线23y ax bx =++的对称轴是直线1x =，根据对称轴公式列式化简即可得出结果.（2）根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程280ax bx +-=的两个根是二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交点的横坐标，即两根关于对称轴对称，据此列式求角即可.另解（代数解法）：∵关于x 的方程280ax bx +-=的一个根为4， ∴16480a b +-=，即42a b +=.联立2042a b a b ì+=ïí+=ïî，解得，12a b ì=ïí=-ïî.∴关于x 的方程为2280x x --=，解得124,2x x ==- . ∴方程的另一个根为2-．15. （2015年广东珠海7分）如图，在平面直角坐标中，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴，y 轴上，函数ky x=的图像过()4,3P 和矩形的顶点()(),0<<4B m n m ． （1）求k 的值；（2）连接,PA PB ，若ABP D 的面积为6，求直线BP 的解析式．【答案】解：（1）∵函数k y x =的图像过()4,3P ，∴43k=，即12k =. （2）∵点(),B m n 在12y x=的图像上，∴矩形OABC 的面积为12，即12m n ?.又∵ABP D 的面积为6，∴()1462m n -=，即412n m n -?.二者联立12412m n n m n ì?ïí-?ïî，解得26m n ì=ïí=ïî.∴点B 的坐标为（2，4）.设直线BP 的解析式为y kx b =+，则4326k b k b ì+=ïí+=ïî，解得329k b ì=-ïíï=î.∴直线BP 的解析式为392y x =-+. 【考点】反比例函数和一次函数交点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；矩形的性质；方程思想的应用. 【分析】（1）由函数ky x=的图像过()4,3P ，根据地点在曲线上点的坐标满足方程的关系，列式求解即可. （2）根据“矩形OABC 的面积为12”和“ABP D 的面积为6”列方程组，求出点B 的坐标，从而应用待定系数法求出直线BP 的解析式.16. （2015年广东珠海9分）如图，折叠矩形OABC 的一边BC ，使点C 落在OA 边的点D 处，已知折痕55BE =，且43OD OE =．以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所以的平面直角坐标系，抛物线211:162l y x x c =--+经过点E ，且与AB 边相交于点F ． （1）求证：∽ABD ODE D D ；（2）若M 是BE 的中点，连接MF ，求证：MF BD ^；（3）P 是线段BC 上的一动点，点Q 在抛物线l 上，且始终满足PD DQ ^，在点P 运动过程中，能否使得PD DQ =？ 若能，求出所有符合条件的Q 点坐标；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）证明：∵四边形OABC 是矩形，且由折叠的性质知BCE D ≌BDE D ，∴90BDE BCE ???.∵90BAD??，∴90EDO BDA BDA DAB ?????.∴EDO DAB ??. 又∵90EOD BAD ???，∴ABD ODE D D ∽.（2）证明：∵43OD OE =，∴可设4,3OD k OE k == ，则由勾股定理，得5DE k =.由折叠的性质知5CE DE k ==，∴8AB OC CE OE k ==+=. 由（1）ABD ODE D D ∽，∴AB DA OD EO =.∴43AB OD DA OE ==.∴6DA k =. ∴10BC OA k ==.在Rt BCE D 中，由勾股定理，得222BE BC CE =+，即()()()22255105k k =+，解得，1k =.∴3,4,6,8,10OE OD DA AB OA ===== .∴抛物线的解析式为2113162y x x =--+. ∵当10x =时，74y =，∴725,44AF BF AB AF ==-= .在Rt AFD D 中，由勾股定理，得2222725644DF AF AD 骣琪=+=+=琪桫， ∴BF DF =.又∵点M 为Rt BDE D 斜边上的中点，∴MD MB =. ∴MF 为线段BD 的垂直平分线. ∴MF BD ^. （3）由（2）知，抛物线的解析式为2113162y x x =--+， 设抛物线与x 的两个交点为H G 、，令0y =，即21130162x x --+=， 解得124,12x x =-= ， ∴()()4,012,0H G - ,. ①当PD x ^轴时，如答图1, ∵8,8PD DM DN === , ∴点Q 坐标为()4,0- 或()12,0 . ②当PD 不垂直于x 轴时，如答图2,当点Q 在抛物线对称右侧时，分别过点,P Q 作x 轴的垂线，垂足分别为,N I ，则点Q 不与点G 重合，即8DI ¹，∵PD DQ ^， ∴90QDIPDN DPN ????.∴Rt PDN Rt DQI D D ∽. ∵8PN =，∴PN DI ¹.∴Rt PDN D 和Rt DQI D 不全等. ∴PD DQ ¹.同理，当点Q 在抛物线对称左侧时，PD DQ ¹.综上所述，在点P 运动过程中，能使得PD DQ =，符合条件的Q 点坐标为()4,0- 或()12,0 .【考点】二次函数综合题；单动点和折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；全等、相似三角形的判定和性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系；线段垂直平分线的性质；待定系数法和分类思想的应用. 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可求得ABD D 和ODE D 的两组对应角相等而得到结论.（2）由条件应用待定系数法，根据相似三角形的性质和勾股定理求得,,,,OE OD DA AB OA 的长，从而求得抛物线的解析式，而得到点F 的坐标，进而得到MF 为线段BD 的垂直平分线的结论而证明结论.（3）分PD x ^轴和PD 不垂直于x 轴两种情况讨论即可.。
2015年广东省中考数学试题(附答案)
2015年广东省初中毕业考试试题数 学一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 2-=（ ）A. 2B. 2-C. 12D. 12- 2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨， 将13 573 000 用科学记数法表示为（ ）A. 61.357310⨯B. 71.357310⨯C. 81.357310⨯D. 91.357310⨯3. 一组数据2,6,5,2,4，则这组数据的中位数是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 64. 如题4图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）A. 75°B. 55°C.40°D.35°5. 下列所述的图形中，既是中心对称图形，有时轴对称图形的是（ ）A. 矩形B.平行四边形C. 正五边形D. 正三角形6. ()24x -=（ ）A. 28x -B. 28xC. 216x -D. 216x7. 在0，2，()03-，5-这四个数中，最大的数是（ ）A. 0B. 2C. ()03-D. 5-8. 若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2a ≥ B. 2a ≤ C. 2a > D. 2a <9. 如图9题，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 910.如题10图，已知正△ABC 的边长为2，E,F,G 分别是AB,BC,CA 上的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的 面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11.正五边形的外角和等于 （度）.12.如题12图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长为 .13.分式方程321x x=+的解是 . 14.若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是 .15.观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .16.如题16图，△ABC 三边的中线AD,BE,CF 的公共点为G ，若=12ABC S △，则图中阴影部分的面积是 .三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17.解方程：2320x x -+=18.先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中1x =.19.如题19图，已知锐角△ABC.（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求做法）；（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan ∠BAD=34，求DC 的长.20.老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同.老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果.题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.21.如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.22.某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？23.如题23图，反比例函数()0,0>≠=x k xk y 的图象与直线x y 3=相交于点C ，过直线上点A （1,3） 作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD.（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点的距离之和=d MC+MD 最小，求点M 的坐标.24.⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过劣弧BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.（1）如题24-1图，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；（2）如题24-2图，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；（3）如题24-3图，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.25.如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt △ABC 和Rt △ADC 拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点B ，D 分别在AC 的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.（1）填空：AD= （cm ），DC= （cm ）；（2）点M,N 分别从A 点，C 点同时以每秒1cm 的速度等速出发，且分别在AD ，CB 上沿A →D ，C →B方向运动，当N 点运动到B 点时，M,N 两点同时停止运动，连接MN ，求当M,N 点运动了x 秒 时，点N 到AD 的距离（用含x 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC 中点P ，连结MP ，NP ，设△PMN 的面积为y （cm 2），在整个运动过程中，△PMN 的面积y 存在最大值，请求出y 的最大值.（参考数据：42675sin +=︒，42615sin -=︒）2015年广东省初中毕业考试试题（附答案）数 学一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 2-=（ A ）A. 2B. 2-C. 12D. 12- 2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨， 将13 573 000 用科学记数法表示为（ B ）A. 61.357310⨯B. 71.357310⨯C. 81.357310⨯D. 91.357310⨯3. 一组数据2,6,5,2,4，则这组数据的中位数是（ B ）A. 2B. 4C. 5D. 64. 如题4图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ C ）A. 75°B. 55°C.40°D.35°5. 下列所述的图形中，既是中心对称图形，有时轴对称图形的是（ A ）A. 矩形B.平行四边形C. 正五边形D. 正三角形6. ()24x -=（ D ）A. 28x -B. 28xC. 216x -D. 216x7. 在0，2，()03-，5-这四个数中，最大的数是（ B ）A. 0B. 2C. ()03-D. 5-8. 若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ C ） A. 2a ≥ B. 2a ≤ C. 2a > D. 2a <9. 如图9题，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ D ）A. 6B. 7C. 8D. 910.如题10图，已知正△ABC 的边长为2，E,F,G 分别是AB,BC,CA 上的点，且AE=BF=CG ，设△EFG 的 面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图像大致是（ D ）A. B. C. D.二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11.正五边形的外角和等于 360 （度）.12.如题12图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长为 6 .13.分式方程321x x=+的解是 . 14.若两个相似三角形的周长比为2:3，则它们的面积比是 4:9 .15.观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 .16.如题16图，△ABC 三边的中线AD,BE,CF 的公共点为G ，若=12ABC S △，则图中阴影部分的面积是 4 .三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17.解方程：2320x x -+=解： (1)(2)0x x --=∴ 10x -=或20x -=∴ 11x =，22x =18.先化简，再求值：21111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中1x =.解：原式= 1(1)(1)x x x x x -⋅+- 当1x 时，= 11x + 原式==.19.如题19图，已知锐角△ABC.（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求做法）；（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan ∠BAD=34，求DC 的长. 解：（1）如图所示，MN 为所作；（1）在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =34AD BD =， ∴344BD =，解得：BD =3∴DC =AD ﹣BD =5﹣3=2.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20.老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2， 3的卡片，卡片除数字外其余都相同.老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到 卡片上的数字之积是奇数的概率.于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可 能结果.题20图是小明同学所画的正确树状图的一部分.（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.解：（1）如图，补全树状图；（2）从树状图可知，共有9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有4种结果，∴ P (积为奇数)=49 答：小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为 .21.如题21图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG.（1）求证：△ABG ≌△AFG ；（2）求BG 的长.(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形， （2）解：由(2)得：△ABG ≌△AFG ，∴ ∠B=∠D=90°，AD=AB ， ∴ BG=FG ，由折叠的性质可知： 设BG=FG=x ，则GC=6x -,AD=AF ，∠AFE=∠D=90°， ∵ E 为CD 的中点，∴ ∠AFG=90°，AB=AF ， ∴ CF=EF=DE=3，∴ ∠AFG=∠B ， ∴ EG =3x +，又∵ AG=AG ， ∴ 2223(6)(3)x x +-=+， 解得2x =，∴ △ABG ≌△AFG ； ∴ BG 的长为2.22.某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场 销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器， 可获利润120元.（1）求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格-进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型 号的计算器多少台？解：(1) 设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得：5(30)(40)766(30)3(40)120x y x y -+-=⎧⎨-+-=⎩，解得x=42,y=56， 答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元；(2) 设最少需要购进A 型号的计算a 台，得3040(70)2500a a +-≥49解得：30x ≥答：最少需要购进A 型号的计算器30台.五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23.如题23图，反比例函数()0,0>≠=x k xk y 的图象与直线x y 3=相交于点C ，过直线上点A （1,3） 作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图象于点D ，且AB=3BD.（1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C ，D 两点的距离之和=d MC+MD 最小，求点M 的坐标.（3）取点D 关于y 轴的对称点'D ，连结'CD ， 与y 轴交于点M .由（1）得D （1，1） ∴'D （-1，1） 设直线'CD 的解析式为b ax y +=，把 点C 和点'D 的坐标分别代入得：24.⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过劣弧BC 的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接 AG ，CP ，PB.（1）如题24-1图，若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；（2）如题24-2图，在DG 上取一点K ，使DK=DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如题24-3图，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB.（1）解：∵ P 是劣弧BC 的中点 ∴ AG=BP, ∠3=∠2∴ OP ⊥BC ∴ AG=CK ，∠1=∠3又∵ D 是OP 的中点 ∴ AG ∥CK∴ OD=21OP=21OB ∴ 四边形AGKC 是平行四边形 ∴ 21=OB OD （3）证明：由（1）得：OP ⊥BC ∴ 21sin =∠OBD ∴ 点D 是BC 的中点 ∴ ∠OBD=30° ∵ 点E 是CP 的中点∵ AB 是⊙O 的直径 ∴ DE 是△CBP 的中位线∴ ∠ACB=90° ∴ DH ∥PB∴ ∠BAC=90°-∠OBD=60° 又∵ △AOG ≌△BOP（2）证明：由（1）得：OP ⊥BC ∴ ∠G=∠OPB∴ CD=BD ∴ AG ∥PB在△CDK 和△BDP 中 ∴ DH ∥AG∴ △AOG ∽△HOD ∵ OAOG ∴ ∠G=∠OAG ∴ △CDK ≌△BDP （SAS ） ∴ ∠ODH=∠OHD∴ CK=BP,∠1=∠2 在△POH 和△BOD 中∴ CK ∥BP 在△AOG 和△BOP 中 ∴ △POH ≌△BOD （SAS ） ∴ ∠PHO=∠PDO=90°⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DP DK BDPCDK BD CD ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OP OG BOP AOG OB OA ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=OP OB HOPDOB OH OD∴△AOG≌△BOP（SAS）∴ PH⊥AB25.如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD= （cm），DC= （cm）；（2）点M,N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 方向运动，当N点运动到B点时，M,N两点同时停止运动，连接MN，求当M,N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值.（参考数据：42675sin +=︒，426 15sin -=︒）解：（本题表示数据较为“复杂”，第三问的方法是对的，但是最终结果不能保证其正确性，万分抱歉！出题老师，你说呢？）。
2015年广东省中考数学试题(Word版,含答案解析),推荐文档
2015年广东省初中毕业生学业考试数学一、选择题 1.21 1 A.2B. 2C.D.-22【答案】A.【解析】由绝对值的意义可得，答案为 A 。
2.据国家统计局网站 2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573000用科学记数法表示为A. 1.3573 106B.1.3573 107C. 1.3573 108D.1.3573 109【答案】B.【解析】科学记数法的表示形式为 aX10n 的形式，其中1W |齐10, n 为整数•确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.13 573 000=1.3573 107 ； 3.一组数据2, 6, 5, 2, 4，则这组数据的中位数是 A.2B.4C.5D.6【答案】B.【解析】由小到大排列，得：2, 2, 4, 5, 6,所以，中位数为 4,选B 。
4.如图，直线 a // b ，/仁75 °，/ 2=35°，则/ 3的度数是 A.75 ° B.55 ° C.40 °D.35 ° 【答案】C.【解析】两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角之和，所以，75°=/ 2+Z 3,所以，/ 3 = 40°，选 G 5.下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形【答案】A.【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。
6.( 4x)2【答案】D.【解析】原式=(-4)2x 2 = 16x 2 7.在0, 2, ( 3)0 , 5这四个数中，最大的数是D.正三角形A. 8x 22 2 2B.8xC. 16xD.16xA.0B.2C. ( 3)0D. 5【答案】B.【解析】(—3) 0= 1,所以，最大的数为2，选B。
2015年15广东省中考数学试卷(解析版)
2015年广东省中考数学试卷解析（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1. （2015年广东3分）2-=【 】A.2B.2-C.12D.12- 【答案】A. 【考点】绝对值.【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣错误！未找到引用源。
到原点的距离是2错误！未找到引用源。
，所以，22-=.故选A.2. （2015年广东3分）据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为【 】A. 61.357310⨯B. 71.357310⨯C. 81.357310⨯D. 91.357310⨯ 【答案】B.【考点】科学记数法.【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a ×10n，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值. 在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1. 当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，∵13 573 000一共8位，∴713573000 1.357310=⨯. 故选B.3. （2015年广东3分）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是【 】A.2B. 4C. 5D. 6 【答案】B. 【考点】中位数.【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此，∵将这组数据重新排序为2，2，4，5，6，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：4.故选B.4（2015年广东3分）如图，直线a ∥b ，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是【 】A. 75°B. 55°C. 40°D. 35° 【答案】C.【考点】平行线的性质；三角形外角性质.【分析】如答图，∵a ∥b ，∴∠1=∠4.∵∠1=75°，∴∠4=75°.根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”得∠4＝∠2＋∠3，∵∠2=35°，∴∠3=40°. 故选C.5. （2015年广东3分）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是【 】A. 矩形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正三角形 【答案】A.【考点】轴对称图形和中心对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是矩形. 故选A.6. （2015年广东3分）2(4)x -=【 】A. 28x -B. 28xC. 216x -D. 216x 【答案】D.【考点】幂的乘方和积的乘方.【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方等于每一个因数乘方的积”的积的乘方法则得()()22224416-=-=x x x .故选D.7. （2015年广东3分）在0，2，0(3)-，5-这四个数中，最大的数是【 】A. 0B. 2C. 0(3)-D. 5- 【答案】B.【考点】零指数幂；有理数的大小比较. 【分析】∵()031-=，∴根据有理数“正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小”的大小比较法则，得()053-<0<-<2.∴最大的数是2. 故选B.8. （2015年广东3分）若关于x 的方程2904x x a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是【 】A. 2a ≥B. 2a ≤C. 2a ＞D. 2a ＜ 【答案】C.【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式. 【分析】∵关于x 的方程2904+-+=x x a 有两个不相等的实数根， ∴291404⎛⎫∆=-+> ⎪⎝⎭－a ，即1＋4a －9＞0，解得2＞a .故选C.9. （2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为【 】A.6B.7C. 8D. 9 【答案】D.【考点】正方形的性质；扇形的计算.【分析】∵扇形DAB 的弧长»DB 等于正方形两边长的和6+=BC CD ，扇形DAB 的半径为正方形的边长3，∴16392=⋅⋅=扇形DAB S . 或由变形前后面积不变得：339==⨯=正方形扇形ABCD DAB S S . 故选D.10. （2015年广东3分）如图，已知正△ABC 的边长为2，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 上的点，且AE =BF =CG ，设△EFG 的面积为y ，AE 的长为x ，则y 关于x 的函数图象大致是【 】A. B. C. D.【答案】D.【考点】由实际问题列函数关系式（几何问题）；二次函数的性质和图象. 【分析】根据题意，有AE =BF =CG ，且正三角形ABC 的边长为2，∴2===-BE CF AG x . ∴△AEG 、△BEF 、△CFG 三个三角形全等． 在△AEG 中，2==-，AE x AG x ，∴()13224=⋅⋅⋅=-V AEG S AE AG sinA x x . ∴()2333333323442=-=-⋅-=-+V V ABC AEG y S S x x x x ． ∴其图象为开口向上的二次函数. 故选D.二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11. （2015年广东4分）正五边形的外角和等于 ▲ （度）. 【答案】360.【考点】多边形外角性质.【分析】根据“n 边形的外角和都等于360度”的性质，正五边形的外角和等于360度.12. （2015年广东4分）如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，则对角线AC 的长是 ▲ .【答案】6.【考点】菱形的性质；等边三角形的判定和性质. 【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =B C =6.∵∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC =AB =B C =6.13. （2015年广东4分）分式方程321=+x x的解是 ▲ . 【答案】2=x . 【考点】解分式方程【分析】去分母，得：()321=+x x ，解得：2=x ，经检验，2=x 是原方程的解， ∴原方程的解是2=x .14. （2015年广东4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ▲ . 【答案】4：9.【考点】相似三角形的性质.【分析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比2：3.又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个相似三角形的它们的面积比是4：9.15. （2015年广东4分）观察下列一组数：13，25，37，49，511，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ▲ . 【答案】1221. 【考点】探索规律题（数字的变化类）.【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第n 个数为21+nn ，所以，第10个数是1012210121=⨯+.16. （2015年广东4分）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 ▲ .【答案】4.【考点】等底同高三角形面积的性质；转换思想和数形结合思想的应用.【分析】如答图，各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥，∵△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，∴AG =2GD . ∴①=②，③=⑥，④=⑤，①+②=2③，④+⑤=2⑥. ∵12=△ABC S ，∴12=①+②+③+④+⑤+⑥. ∴1222=①+②④+⑤①+②++④+⑤+， ∴()12312422=⇒+=⇒+=2②2⑤2②++2⑤+②⑤②⑤，即图中阴影部分面积是4. 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17. （2015年广东6分）解方程：2320x x -+=. 【答案】解：(1)(2)0--=x x ，∴10-=x 或20-=x . ∴11=x ，22=x .【考点】因式分解法解一元二次方程.【分析】因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）. 18. （2015年广东6分）先化简，再求值：21(1)11x x x ÷+--，其中21x =-. 【答案】解：原式=11(1)(1)1-⋅=+-+x x x x x x .当21=+x 时，原式=1112122112===+-+x . 【考点】分式的化简；二次根式化简.【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x 的值，进行二次根式化简. 19. （2015年广东6分）如图，已知锐角△AB C.（1）过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）条件下，若BC =5，AD =4，tan ∠BAD =34，求DC 的长.【答案】解：（1）作图如答图所示，AD 为所作.（2）在Rt △ABD 中，AD =4，tan ∠BAD =34=BD AD ， ∴344=BD ，解得BD =3. ∵BC =5，∴DC =AD ﹣BD =5﹣3=2.【考点】尺规作图（基本作图）；解直角三角形的应用；锐角三角函数定义. 【分析】（1）①以点A 为圆心画弧交BC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 长为半径画弧，两交于点G ； ③连接AG ，即为BC 边的垂线MN ，交BC 于点D .（2）在Rt △ABD 中，根据正切函数定义求出BD 的长，从而由BC 的长，根据等量减等量差相等求出DC 的长.四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20. （2015年广东7分）老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，图是小明同学所画的正确树状图的一部分.（1）补全小明同学所画的树状图；（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.【答案】解：（1）补全树状图如答图：（2）∵由（1）树状图可知，小明同学两次抽到卡片上的数字之积的情况有9种：1，2，3，2，4，6，3，6，9，数字之积是奇数的情况有4种：1，3，3，9，∵小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率是4 9 .【考点】画树状图法；概率.【分析】（1）根据题意补全树状图.（2）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.21.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求BG的长.【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =∠D =90°，AD =AB .由折叠的性质可知，AD =AF ，∠AFE =∠D =90°，∴∠AFG =90°，AB =AF . ∴∠AFG =∠B .又∵AG =AG ，∴△ABG ≌△AFG （HL ）. （2）∵△ABG ≌△AFG ，∴BG =FG .设BG =FG =x ，则GC =6-x ,∵E 为CD 的中点，∴CF =EF =DE =3，∴EG =3+x ，在∆Rt CEG 中，由勾股定理，得2223(6)(3)+-=+x x ，解得2=x ， ∴BG =2.【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL 即可证明△ABG ≌△AFG （HL ）.（2）根据全等三角形的性质，得到BG =FG ，设BG =FG =x ，将GC 和EG 用x 的代数式表示，从而在∆Rt CEG 中应用勾股定理列方程求解即可.22. （2015年广东7分）某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？【答案】解：（1）设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得：5(30)(40)766(30)3(40)120-+-=⎧⎨-+-=⎩x y x y ，解得4256=⎧⎨=⎩x y . 答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元.（2）设最少需要购进A型号的计算a台，得3040(70)2500+-≥a a，解得30≥a.答：最少需要购进A型号的计算器30台.【考点】二元一次方程组和一元一次不等式的应用（销售问题）.【分析】（1）要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系，本题设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，等量关系为：“销售5 台A型号和1台B型号计算器的利润76元”和“销售6台A型号和3台B型号计算器的利润120元”.（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题设最少需要购进A型号的计算a台，不等量关系为：“购进A，B两种型号计算器共70台的资金不多于2500元”.五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23.（2015年广东9分）如图，反比例函数kyx=(0k≠，0x＞)的图象与直线3y x=相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3B D.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.【答案】解：（1）∵A(1，3)，∴OB=1，AB=3.又∵AB=3BD，∴BD=1. ∴D(1，1).∵反比例函数=kyx (0≠k，0＞x)的图象经过点D，∴111=⨯=k.（2）由（1）知反比例函数的解析式为1=yx，解方程组31=⎧⎪⎨=⎪⎩y xyx，得333⎧=⎪⎨⎪=⎩xy或333⎧=-⎪⎨⎪=-⎩xy（舍去），∴点C 的坐标为(33，3). （3）如答图，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.设直线CE 的解析式为=+y kx b ，则3331⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩k b k b ，解得233232⎧=-⎪⎨=-⎪⎩k b ， ∴直线CE 的解析式为(233)232=-+-y x .当x =0时，y =232-，∴点M 的坐标为(0，232-).【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；轴对称的应用（最短距离问题）；方程思想的应用.【分析】（1）求出点D 的坐标，即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出k 的值.（2）由于点C 是反比例函数1=y x的图象和直线3=y x 的交点，二者联立即可求得点C 的坐标. （3）根据轴对称的应用，作点D 关于y 轴对称点E ，则E (1-,1)，连接CE 交y 轴于点M ，即为所求.24. （2015年广东9分）⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，过»BC的中点P 作⊙O 的直径PG 交弦BC 于点D ，连接AG ， CP ，P B.（1）如题图1；若D 是线段OP 的中点，求∠BAC 的度数；（2）如题图2，在DG 上取一点k ，使DK =DP ，连接CK ，求证：四边形AGKC 是平行四边形；（3）如题图3，取CP 的中点E ，连接ED 并延长ED 交AB 于点H ，连接PH ，求证：PH ⊥AB.【答案】解：（1）∵AB 为⊙O 直径，点P 是»BC的中点，∴PG ⊥BC ，即∠ODB =90°.∵D为OP的中点，∴OD=1122=OP OB.∴cos∠BOD=12=ODOB. ∴∠BOD=60°.∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.（2）证明：由（1）知，CD=BD，∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.∴四边形AGCK是平行四边形.（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥A B.25.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. （1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN 的面积y存在最大值，请求出这个最大值.(参考数据：sin75°=624+，sin15°=624-)【答案】解：（1）26；22.（2）如答图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，∴∠NCF=75°，∠FNC=15°.∴sin15°=FC NC.又∵NC=x，sin15°=624-，∴624-=FC x.∴NE=DF=62224-+x.∴点N到AD的距离为62224-+x cm.（3）∵NC=x，sin75°=FNNC，且sin75°=624+∴624+=FN x，∵PD=CP=2，∴PF=6224-+x.∴16262116262(26)(22)(26)2(2)()2442244 +--+=+-+--⨯-+y x x x x x x〃即22673222384---=++y x x . ∴当732273224266228----=-=--⨯x 时，y 有最大值为6673102304246+---. 【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.【分析】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4，∴42=AC .∵∠ADC =90°，∠CAD =30°， ∴31cos 4226,sin 422222=⋅∠=⋅==⋅∠=⋅= AD AC CAD DC AC CAD . （2）作辅助线“过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC 延长线于F ”构造直角三角形CNF ，求出FC 的长，即可由NE =DF =FC +CD 求解.（3）由∆∆=--梯形PNF NDP MDFN y S S S 列式，根据二次函数的最值原理求解.。
2015年广州市中考数学试卷及答案解析(Word版)(word文档良心出品)
2015年广东省广州市中考数学试卷(解析版)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2015•广州）四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是（）A ．﹣3.14 B．0 C．1 D．2考点：正数和负数．分析：根据负数是小于0的数，可得答案．解答：解：四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是﹣3.14，故选：A．点评：本题考查了正数和负数，解决本题的关键是小于0的数是负数．2．（3分）（2015•广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）A. B. C. D.考点：生活中的旋转现象．分析：根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．解答：解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是．故选：D．点评：此题主要考查了旋转中，中心旋转180°后图形的性质，此题应注意图形的旋转变换．3．（3分）（2015•广州）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（）A ．2.5 B．3 C．5 D．10考点：切线的性质．分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5．故选C．点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．4．（3分）（2015•广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A ．众数B．中位数C．方差D．以上都不对考点：统计量的选择．分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．解答：解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．故选：C．点评：本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．5．（3分）（2015•广州）下列计算正确的是（）A ．ab•ab=2ab B．（2a）3=2a3C ．3﹣=3（a≥0）D．•=（a≥0，b≥0）考点：二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的乘除法．分析：分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：A、ab•ab=a2b2，故此选项错误；B、（2a）3=8a3，故此选项错误；C、3﹣=2（a≥0），故此选项错误；D、•=（a≥0，b≥0），正确．故选：D．点评：此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．6．（3分）（2015•广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A ．B．C．D．考点：由三视图判断几何体；几何体的展开图．分析：由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解．解答：解：∵主视图和左视图是长方形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，∴该几何体的展开图可以是．故选：A．点评：此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．7．（3分）（2015•广州）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A ．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解答：解：，①+②×5得：16a=32，即a=2，把a=2代入①得：b=2，则a+b=4，故选B．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（3分）（2015•广州）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．3个B．2个C．1个D．0个考点：命题与定理；平行四边形的判定．分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．9．（3分）（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A ．3B．9C．18D．36考点：正多边形和圆．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．10．（3分）（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A ．10 B．14 C．10或14 D．8或10考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．分析：先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．解答：解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2015•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为50°．考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=50°，∴∠2=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠1=∠2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．12．（3分）（2015•广州）根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是机动车尾气．（填主要来源的名称）考点：扇形统计图．分析：根据扇形统计图即可直接作出解答．解答：解：所占百分比最大的主要来源是：机动车尾气．故答案是：机动车尾气．点评：本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．13．（3分）（2015•广州）分解因式：2mx﹣6my=2m（x﹣3y）．考点：因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：原式提取公因式即可得到结果．解答：解：原式=2m（x﹣3y）．故答案为：2m（x﹣3y）．点评：此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为y=6+0.3x．考点：根据实际问题列一次函数关系式．分析：根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．解答：解：根据题意可得：y=6+0.3x（0≤x≤5），故答案为：y=6+0.3x．点评：此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．15．（3分）（2015•广州）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．（3分）（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解答：解：方程去括号得：5x=3x﹣12，移项合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．点评：此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）（2015•广州）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．19．（10分）（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．解答：解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．20．（10分）（2015•广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．考点：反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．解答：解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3．设A（x，），则x•=3，解得m=13．点评：本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．21．（12分）（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）长率来求2016年该地区将投入教育经费．解答：解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．点评：本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长22．（12分）（2015•广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？考点：利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；解答：解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率=×=；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．点评：本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．23．（12分）（2015•广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．考点：作图—复杂作图；圆周角定理．分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；（2）连接OD，设⊙O的半径为r，证得△ABE∽△DCE，在R t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在R t△ODC中，求得DC==r，于是问题可得．解答：（1）如图所示；（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠D EC，∴△ABE∽△DCE，在R t△ACB 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45°，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴∠DOC=90°，在R t△ODC 中，DC==r，∴== =．点评：本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．24．（14分）（2015•广州）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8 ①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．考点：四边形综合题．分析：（1）证明△OMP≌△ONP，即可证得MN⊥OT，且OT平分MN；（2）①若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，即AC和BD互相平分，据此即可判断；②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根据菱形的面积公式求得GE的长，然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长，再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．解答：解：（1）MN⊥OT，且OT平分MN．理由是：连接MN、OT相交于点P．在△OMT和△ONT中，，∴△OMT≌△ONT，∴∠MOT=∠NPT，∴在△OMP和△ONP中，，∴△OMP≌△ONP，∴MP=NP，∠OPM=∠O PN=90°，即MN⊥OT；（2）①经过A，B，C，D 四个点的圆不一定存在，理由是：若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC 和BD的中垂线的交点，根据（1）可得AC垂直平分BD，而垂足不一定是AC 的中点；②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，且BN=BD=4，∴AN=NE===3，AE=6．∴S菱形ABED=AE•B D=×6×8=24，又∵S菱形ABED=AB•EG ，∴EG=．∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BF D，∴△BNE∽△BFD，∴，即，∴BF=．∵GE⊥AB，FM⊥AB，∴GE∥FM，∴△BEG∽△BFM，∴，即，解得：FM=．点评：本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x ﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0 ∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x 增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n 个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x 增大而增大，y2向下平移n 个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．点评：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．。
2015年广东省深圳市中考数学试卷解析版
2015年广东省深圳市中考数学试卷解析版一、选择题：1．﹣15的相反数是（）A．15B．﹣15C．115D．−115【解答】解：﹣15的相反数是15，故选：A．2．用科学记数法表示316000000为（）A．3.16×107B．3.16×108C．31.6×107D．31.6×106【解答】解：将316000000用科学记数法表示为：3.16×108．故选：B．3．下列计算错误的是（）A．a•a＝a2B．2a+a＝3a C．（a3）2＝a5D．a3÷a﹣1＝a4【解答】解：A、a•a＝a2，正确，故本选项错误；B、2a+a＝3a，正确，故本选项错误；C、（a3）2＝a3×2＝a6，故本选项正确；D、a3÷a﹣1＝a3﹣（﹣1）＝a4，正确，故本选项错误．故选：C．4．下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．5．下列主视图正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．故选：A．6．在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A．75，80B．80，80C．80，85D．80，90【解答】解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，∴这组数据的众数是80；把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得75，80，80，85，90，所以这组数据的中位数是80．故选：B．7．解不等式2x≥x﹣1，并把解集在数轴上表示（）A．B．C．D．【解答】解：2x≥x﹣1，2x﹣x≥﹣1，x≥﹣1．故选：B．8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2﹣4ac＞0．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴−b2a＞0，∴b＞0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，所以③错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④正确．故选：B．9．如图，AB为⊙O直径，已知∠DCB＝20°，则∠DBA为（）A．50°B．20°C．60°D．70°【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝90°﹣20°＝70°，∴∠DBA＝∠ACD＝70°．故选：D．10．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元．A．140B．120C．160D．100【解答】解：设商品的进价为每件x元，售价为每件0.8×200元，由题意，得0.8×200＝x+40，解得：x＝120．故选：B．11．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得P A+PC＝BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵PB+PC＝BC，而P A+PC＝BC，∴P A＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：D．12．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=725．在以上4个结论中，正确的有（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°， ∴△ADG ≌△FDG ，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x +6，BG ＝12﹣x ， 由勾股定理得：EG 2＝BE 2+BG 2， 即：（x +6）2＝62+（12﹣x ）2， 解得：x ＝4∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，BG ＝2AG ，②正确；BE ＝EF ＝6，△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，③错误； S △GBE =12×6×8＝24，S △BEF =EF EG •S △GBE =610⋅24=725，④正确． 故选：C ．二、填空题：13．因式分解：3a 2﹣3b 2＝ 3（a +b ）（a ﹣b ） ． 【解答】解：原式＝3（a 2﹣b 2）＝3（a +b ）（a ﹣b ）， 故答案为：3（a +b ）（a ﹣b ）14．在数字1，2，3中任选两个组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 13．【解答】解：如图所示：共有6种情况，能被3整除的有12，21两种．因此概率为26=13．故答案为：13．15．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有 21 个太阳．【解答】解：第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳， 第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n ﹣1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5+16＝21个太阳． 故答案为：21．16．如图，已知点A 在反比例函数y =k x（x ＜0）上，作Rt △ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ．若△BCE 的面积为8，则k ＝ 16 ．【解答】解：∵△BCE 的面积为8， ∴12BC ⋅OE =8，∴BC •OE ＝16，∵点D 为斜边AC 的中点， ∴BD ＝DC ，∴∠DBC ＝∠DCB ＝∠EBO ， 又∠EOB ＝∠ABC ， ∴△EOB ∽△ABC ， ∴BC OB=AB OE，∴AB •OB •＝BC •OE ∴k ＝AB •BO ＝BC •OE ＝16． 故答案为：16． 三、解答题：17．（5分）计算：|2−√3|+2sin60°+(12)−1−(√2015)0．【解答】解：原式＝2−√3+2×√32+2﹣1＝3．18．（6分）解方程：x2x−3+53x−2=4．【解答】解：去分母得：3x2﹣2x+10x﹣15＝4（2x﹣3）（3x﹣2），整理得：3x2﹣2x+10x﹣15＝24x2﹣52x+24，即7x2﹣20x+13＝0，分解因式得：（x﹣1）（7x﹣13）＝0，解得：x1＝1，x2=13 7，经检验x1＝1与x2=137都为分式方程的解．19．（7分）11月读书节，深圳市为统计某学校初三学生读书状况，如下图：（1）三本以上的x值为20%，参加调查的总人数为400，补全统计图；（2）三本以上的圆心角为72°．（3）全市有6.7万学生，三本以上有13400人．【解答】解：（1）40÷10%＝400（人），x＝100%﹣10%﹣25%﹣45%＝20%，400×20%＝80（人），故答案为：20%，400；如图所示；（2）20%×360°＝72°，故答案为：72°；（3）67000×20%＝13400（人），故答案为：13400．20．（8分）小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度．【解答】解：如图，∵∠ADG＝30°，∠AFG＝60°，∴∠DAF＝30°，∴AF＝DF＝10，在Rt△FGA中，AG＝AF•sin∠AFG＝10×√32=5√3，∴AB＝1.5+5√3．答：旗杆AB的高度为（1.5+5√3）米．21．（8分）下表为深圳市居民每月用水收费标准，（单位：元/m3）．用水量单价x≤22a剩余部分a+1.1（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？【解答】解：（1）由题意可得：10a＝23，解得：a＝2.3，答：a的值为2.3；（2）设用户水量为x立方米，∵用水22立方米时，水费为：22×2.3＝50.6＜71，∴x＞22，∴22×2.3+（x﹣22）×（2.3+1.1）＝71，解得：x＝28，答：该用户用水28立方米．22．（9分）如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG•CE．【解答】（1）解：由题意可得：BO＝4cm，t=42=2（s）；（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，又∵∠A＝45°，∴AO=√2OH＝3√2cm，∴AD＝AO﹣DO＝（3√2−3）cm；（3）证明：如图3，连接EF，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵DE为直径，∴∠ODF+∠DEF＝90°，∠DEC＝∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG，又∵∠FCG＝∠ECF，∴△CFG∽△CEF，∴CFCG =CECF，∴CF2＝CG•CE．23．（9分）如图1，关于x的二次函数y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC＝3S△EBC？若存在求出点F 的坐标，若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣3，0），点C （0，3），∴{c =3−9−3b +c =0，解得{b =−2c =3， ∴抛物线的解析式y ＝﹣x 2﹣2x +3，（2）存在，当P 在∠DAB 的平分线上时，如图1，作PM ⊥AD ，设P （﹣1，m ），则PM ＝PD •sin ∠ADE =√55（4﹣m ），PE ＝m ，∵PM ＝PE ，∴√55（4﹣m ）＝m ，m =√5−1， ∴P 点坐标为（﹣1，√5−1）；当P 在∠DAB 的外角平分线上时，如图2，作PN ⊥AD ，设P （﹣1，n ），则PN ＝PD •sin ∠ADE =√55（4﹣n ），PE ＝﹣n ，∵PN ＝PE ，∴√55（4﹣n ）＝﹣n ，n =−√5−1， ∴P 点坐标为（﹣1，−√5−1）；综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为（﹣1，√5−1）或（﹣1，−√5−1）；（3）∵抛物线的解析式y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴B （1，0），∴S △EBC =12EB •OC ＝3，∵2S △FBC ＝3S △EBC ，∴S △FBC =92，过F 作FQ ⊥x 轴于点H ，交BC 的延长线于Q ，过F 作FM ⊥y 轴于点M ，如图3，∵S △FBC ＝S △BQH ﹣S △BFH ﹣S △CFQ =12HB •HQ −12BH •HF −12QF •FM =12BH （HQ ﹣HF ）−12QF •FM =12BH •QF −12QF •FM =12QF •（BH ﹣FM ）=12FQ •OB =12FQ =92， ∴FQ ＝9，∵BC 的解析式为y ＝﹣3x +3，设F （x 0，﹣x 02﹣2x 0+3），∴﹣3x 0+3+x 02+2x 0﹣3＝9，解得：x 0=1−√372或1+√372（舍去）， ∴点F 的坐标是（1−√372，3√37−152）， ∵S △ABC ＝6＞92， ∴点F 不可能在A 点下方，综上可知F 点的坐标为（1−√372，3√37−152）．。
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2015年广州市初中毕业生学业考试数学时间120分钟，满分150分第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.四个数－3.14，0，1，2中为负数的是（ ） (A) －3.14(B) 0(C) 1(D) 22.将图1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）3.已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ） (A) 2.5(B) 3(C) 5(D) 104. 两名同学生进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ） (A) 众数 (B) 中位数 (C) 方差 (D) 以上都不对5. 下列计算正确的是（ ） (A) ab ⋅ab ＝2ab(B)(2a)4＝2a 4(C) 3a －a ＝3(a≥0)(D) a ⋅b ＝ab (a≥0，b≥0)6.如图2是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是 （ ）7.⎩⎨⎧＋5b＝123a －b ＝4，则a ＋b ＝（ ） (A) －4 (B) 4 (C)－2 (D) 2 8. 下列命题中，真命题的个数有( )(A) (B) (C) (D) 图1(A ) (B ) (C ) (D )图2主视图 左视图俯视图①对角线互相平分的四边形是平行四边形， ②两组对角线分别相等的四边形是平行四边形.③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形. (A) 3个 (B) 2个 (C) 1个 (D) 0个9. 已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） (A) 3 3(B) 9 3(C) 18 3 (D) 36 310．已知2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） (A) 10 (B) 14 (C) 10或14 (D) 8或10第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11.如图3，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 相交，若∠1＝ 50°，则∠2的度数为 .12.根据环保局公布的广州市2013年到2014年PM2.5 的主要来源的数据，制成扇形统计图（如图4）.其中所占百 分比最大的主要来源是 (填主要来源的名称) 13.分解因式：2mx －6my ＝ .14.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为 6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的 水位高度y 米与时间x 小时0≤x≤5的函数关系式 为 .15．如图5，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cosC ＝ . 16.如图6，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝33，AD ＝3，点M 、N 分别线段BC 、AB 上的动点（含端 点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM 、 MN 的中点 ，则EF 长度的最大值为 .三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）A B CD图3l1 2 其它19%20.6%11.5%21.7%10.4% 8.6% 8.2% 生物质燃烧扬尘机动车尾气工业工艺源 燃煤生活垃圾图4AB C D E图ABC DEFM N图17.(本小题满分9分) 解方程：5x ＝3(x －4).18.(本小题满分9分)如图7.正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 上，且AE ＝DF ，连接BE 、AF.求证：BE ＝AF.19.(本小题满分10分) 已知A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1.(1) 化简A ；(2)当A 满足不等式组⎩⎨⎧x －1≥0x －3＜0，且x 为整数时，求A 的值.20.(本小题满分10分)已知反比例函y ＝m －7x的图象的一支位于第一象限.(1) 判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；(2) 如图8，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位第于第一象限的图象上，点B 与点A 关ADEBCF图7于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值.图821.(本小题满分12分)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元.(1) 求2013年到2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2) 根据 (1) 所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.22.(本小题满分12分)4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.(1) 从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；(2) 从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3) 在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现：抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？23.(本小题满分12分)如图9，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.(1) 利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)(2) 在 (1) 所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.AC 图924.(本小题满分14分)如图10，四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.(1) 试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；(2) 在筝形ABCD中，已知AB＝AD＝5，BC＝CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD＝8.①是否存在一个圆使得A、B、C、D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F 到AB的距离.OM NT图1025.(本小题满分14分)已知O 为坐标原点，抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)与x 轴相交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)，与y 轴交于点C ，且OC 两点间的距离为3，x 1⋅x 2＜0，│x 1│＋│ x 2│＝4，点A 、C 在直线 y 2＝－3x ＋t 上. (1) 求点C 的坐标；(2) 当y 随着x 的增大而增大时，求自变量x 的取值范围；(3) 当抛物线y 1向左平移n(n ＞0) 个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ，直线y 2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求2n 2－5n 的最小值.2015广州中考数学、参考答案一、选择题：1-5 A D C C D 6-10 A B B C B 二、填空题11、50° 12、机动车尾气 13、)3(2y x m - 14、63.0+=x y 15、3216、3三、简答题17、6-=x 18、提示：证明△EAB 与△FDA 全等 19、（1）11-x （2）2=x （只能取2）时，A=1 20、（1）7>m （2）13=m21、（1）10% （2）3327.5万元 22、（1）41 （2）21（3）1623、提示（2）设半径为R ，△ABE 与△DCE 相似，在RT △ODC 中利用勾股定理算出DC ，最后求出面积比为相似比的平方等于21。
2015年广东省广州市中考数学试卷及答案
2015年广州市初中毕业生学业考试数学时间120分钟，满分150分第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.四个数－3.14，0，1，2中为负数的是（ ） (A) －3.14(B) 0(C) 1(D) 22.将图1所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（ ）3.已知⊙O 的半径是5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ） (A) 2.5(B) 3(C) 5(D) 104. 两名同学生进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ） (A) 众数 (B) 中位数 (C) 方差 (D) 以上都不对5. 下列计算正确的是（ ） (A) ab ⋅ab ＝2ab(B)(2a)4＝2a 4(C) 3a －a ＝3(a≥0)(D) a ⋅b ＝ab (a≥0，b≥0)6.如图2是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是 （ ）(A )(B )(C )(D )图2主视图 左视图俯视图7.已知a 、b 满足方程组⎩⎨⎧a ＋5b ＝123a －b ＝4，则a ＋b ＝（ ）(A) －4 (B) 4 (C) －2 (D) 2 8. 下列命题中，真命题的个数有( ) ①对角线互相平分的四边形是平行四边形， ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形. (A) 3个 (B) 2个 (C) 1个 (D) 0个9. 已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） (A) 3 3(B) 9 3(C) 18 3 (D) 36 310．已知2是关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） (A) 10 (B) 14 (C) 10或14 (D) 8或10第二部分 非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11.如图3，AB ∥CD ，直线l 分别与AB 、CD 相交，若∠1＝ 50°，则∠2的度数为 .12.根据环保局公布的广州市2013年到2014年PM2.5 的主要来源的数据，制成扇形统计图（如图4）.其中所占百 分比最大的主要来源是 (填主要来源的名称) 13.分解因式：2mx －6my ＝ .14.某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为 6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的 水位高度y 米与时间x 小时0≤x≤5的函数关系式 为 .15．如图5，△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE ，若BE ＝9，BC ＝12，则cosC ＝ .16.如图6，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝33，A B CD图3l1 2 其它19%20.6%11.5%21.7%10.4% 8.6% 8.2% 生物质燃烧扬尘机动车尾气工业工艺源 燃煤生活垃圾图4 ABCD E图AD ＝3，点M 、N 分别线段BC 、AB 上的动点（含端 点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM 、 MN 的中点 ，则EF 长度的最大值为 .三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分9分) 解方程：5x ＝3(x －4).18.(本小题满分9分)如图7.正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CD 上，且AE ＝DF ，连接BE 、AF.求证：BE ＝AF.19.(本小题满分10分) 已知A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－x x －1.(1) 化简A ；(2)当A 满足不等式组⎩⎨⎧x －1≥0x －3＜0，且x 为整数时，求A 的值.ADEBCF图7ABCDEFMN 图20.(本小题满分10分)已知反比例函y ＝m －7x的图象的一支位于第一象限.(1) 判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m 的取值范围；(2) 如图8，O 为坐标原点，点A 在该反比例函数位第于第一象限的图象上，点B 与点A 关于x 轴对称，若△OAB 的面积为6，求m 的值.21.(本小题满分12分)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. (1) 求2013年到2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2) 根据 (1) 所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.22.(本小题满分12分)4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.(1) 从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；图8(2) 从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；(3) 在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现：抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？23.(本小题满分12分)如图9，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB＝30°.(1) 利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)(2) 在 (1) 所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比.AC 图924.(本小题满分14分)如图10，四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.(1) 试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；(2) 在筝形ABCD中，已知AB＝AD＝5，BC＝CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD＝8.①是否存在一个圆使得A、B、C、D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F 到AB的距离.OM NT图1025.(本小题满分14分)已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交于点C，且OC两点间的距离为3，x1 x2＜0，│x1│＋│ x2│＝4，点A、C在直线y2＝－3x＋t上.(1) 求点C的坐标；(2) 当y随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；(3) 当抛物线y1向左平移n(n＞0) 个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值.2015广州中考数学、参考答案一、选择题：1-5 A D C C D 6-10 A B B C B二、填空题11、50° 12、机动车尾气 13、)3(2y x m - 14、63.0+=x y 15、3216、3三、简答题17、6-=x 18、提示：证明△EAB 与△FDA 全等 19、（1）11-x （2）2=x （只能取2）时，A=1 20、（1）7>m （2）13=m21、（1）10% （2）3327.5万元 22、（1）41 （2）21（3）1623、提示（2）设半径为R ，△ABE 与△DCE 相似，在RT △ODC 中利用勾股定理算出DC ，最后求出面积比为相似比的平方等于21。
2015年广东省广州市中考数学试题及解析.pdf
的度数为
．
12．（ 3 分）（ 2015?广州）根据环保局公布的广州市 2013 年至 2014 年 PM2.5 的主要来源的
数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是
．（填主要来源的
名称）
13．（ 3 分）（ 2015?广州）分解因式： 2mx﹣ 6my=
．
14．（ 3 分）（ 2015?广州）某水库的水位在 5 小时内持续上涨，初始的水位高度为 6 米，水
）
A ．众数
B． 中 位数
C． 方 差
D． 以 上都不对
5．（ 3 分）（ 2015 ?广州）下列计算正确的是（ A ．ab?ab=2ab C． 3 ﹣ =3 （ a≥0）
）
B．
（
2a）
33
=2a
D． ? = （ a≥0， b≥0）
6．（ 3 分）（ 2015 ?广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（
的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（
）
A ．10
B． 14
C． 10 或 14
D． 8 或 10
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
11．（ 3 分）（ 2015?广州）如图， AB ∥ CD ，直线 l 分别与 AB ，CD 相交，若∠ 1=50°，则∠ 2
20．（ 10 分）（ 2015 ?广州）已知反比例函数 y= （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求
的图象的一支位于第一象限． m 的取值范围；
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（2）如图， O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 于 x 轴对称，若 △ OAB 的面积为 6，求 m 的值．
2015年广东省汕尾市中考数学试卷(含解析版)
2015年广东省汕尾市中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（4分）（2015•汕尾）的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）（2015•汕尾）如图所示几何体的左视图为（）A． B． C． D．3．（4分）（2015•汕尾）下列计算正确的是（）A．x+x2=x3 B．x2•x3=x6 C．（x3）2=x6 D．x9÷x3=x34．（4分）（2015•汕尾）下列说法正确的是（）A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定是S甲C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式5．（4分）（2015•汕尾）今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集121万个签名，将121万用科学记数法表示为（）A．1.21×106 B．12.1×105 C．0.121×107 D．1.21×1056．（4分）（2015•汕尾）下列命题正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形7．（4分）（2015•汕尾）使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在8．（4分）（2015•汕尾）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°9．（4分）（2015•汕尾）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（）A．2 B． C． D．10．（4分）（2015•汕尾）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（）A、1 B 、2 C 、3 D、4二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）（2015•汕尾）函数中，自变量x的取值范围是．12．（5分）（2015•汕尾）分解因式：m3﹣m=．13．（5分）（2015•汕尾）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是．14．（5分）（2015•汕尾）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）15．（5分）（2015•汕尾）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．16．（5分）（2015•汕尾）若=+，对任意自然数n 都成立，则a=，b；计算：m=+++…+ =．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）17．（7分）（2015•汕尾）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）（1）本次调查获取的样本数据的众数是；（2）这次调查获取的样本数据的中位数是；（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有人．18．（7分）（2015•汕尾）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．19．（7分）（2015•汕尾）已知a+b=﹣，求代数式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a 的值．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）（2015•汕尾）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．21．（9分）（2015•汕尾）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．22．（9分）（2015•汕尾）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是x﹣60元；②月销量是400﹣2x件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？五、解答题（本大题共3小题，第23、24小题各11分，第25小题10分，共32分）23．（11分）（2015•汕尾）如图，已知直线y=﹣x+3分别与x，y轴交于点A 和B．（1）求点A，B的坐标；（2）求原点O到直线l的距离；（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M 的坐标．24．（11分）（2015•汕尾）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于2，线段CE1的长等于2；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）25．（10分）（2015•汕尾）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是平行四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=，b=，试判断a，b的大小关系，并说明理由．2015年广东省汕尾市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个答案，其中只有一个是正确的）1．（4分）（2015•汕尾）的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【考点】相反数．.【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：的相反数是﹣．故选D．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．（4分）（2015•汕尾）如图所示几何体的左视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．.【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看看得到的图形是左视图．3．（4分）（2015•汕尾）下列计算正确的是（）A．x+x2=x3 B．x2•x3=x6 C．（x3）2=x6 D．x9÷x3=x3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．.【专题】计算题．【分析】A、原式不能合并，错误；B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=x5，错误；C、原式=x6，正确；D、原式=x6，错误．故选C．【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键4．（4分）（2015•汕尾）下列说法正确的是（）A．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件B．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定是S甲C．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨D．了解一批电视机的使用寿命，适合用普查的方式【考点】方差；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义．.【分析】利用事件的分类、普查和抽样调查的特点、概率的意义以及方差的性质即可作出判断．【解答】解：A、掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是可能事件，此选项错误；B、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，此选项正确；是S甲C、“明天降雨的概率为”，表示明天有可能降雨，此选项错误；D、解一批电视机的使用寿命，适合用抽查的方式，此选项错误；故选B．【点评】本题主要考查了方差、全面调查与抽样调查、随机事件以及概率的意义等知识，解答本题的关键是熟练掌握方差性质、概率的意义以及抽样调查与普查的特点，此题难度不大5．（4分）（2015•汕尾）今年五月份香港举办“保普选反暴力”大联盟大型签名活动，9天共收集121万个签名，将121万用科学记数法表示为（）A．1.21×106 B．12.1×105 C．0.121×107 D．1.21×105【考点】科学记数法—表示较大的数．.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将121万用科学记数法表示为：1.21×106．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值6．（4分）（2015•汕尾）下列命题正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形【考点】命题与定理．.【分析】根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项，从而得出答案．【解答】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，此选项错误；B、对角线相互垂直的四边形是菱形也可能是梯形，此选项错误；C、对角线相等的四边形是矩形也可能是等腰梯形，此选项错误；D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，此选项正确；故选D．【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质，此题难度不大．7．（4分）（2015•汕尾）使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在【考点】一元一次不等式组的整数解．.【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定x的取值范围，最后根据x 的取值范围找出x的整数解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：3≤x＜5，则x的整数值是3，4；故选A．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了8．（4分）（2015•汕尾）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=20°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°【考点】切线的性质．.【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=20°，∴∠AOC=40°，∴∠C=50°．故选：D．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．9．（4分）（2015•汕尾）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（）A．2 B． C． D．【考点】翻折变换（折叠问题）．.【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而得到CO的长，然后证明△DAC∽△OFC，根据相似三角形的性质可得，然后代入具体数值可得FO的长，进而得到答案．【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，∴AC⊥EF，AO=CO，在矩形ABCD，∠D=90°，∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC==2，∴CO=，∵∠EOC=∠D=90°，∠ECO=∠DCA，∴△DAC∽△OFC，∴，∴，∴EO=，∴EF=2×=．故选：B．【点评】此题主要考查了图形的翻折变换和相似三角形的判定与性质，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．10．（4分）（2015•汕尾）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（）A、1 B 、2 C 、3 D、4【考点】二次函数的性质．.【分析】利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．【解答】解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，错误；③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），正确；④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），∴当0＜x＜2时，y＞0，正确．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）（2015•汕尾）函数中，自变量x的取值范围是x≥0．【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．.【分析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解．【解答】解：根据题意，得x≥0．故答案为：x≥0．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．12．（5分）（2015•汕尾）分解因式：m3﹣m=m（m+1）（m﹣1）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．.【专题】压轴题．【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：m3﹣m，=m（m2﹣1），=m（m+1）（m﹣1）．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．13．（5分）（2015•汕尾）一个学习兴趣小组有4名女生，6名男生，现要从这10名学生中选出一人担任组长，则女生当选组长的概率是．【考点】概率公式．.【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用女生的人数除以这个学习兴趣小组的总人数，求出女生当选组长的概率是多少即可．【解答】解：女生当选组长的概率是：4÷10=．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．14．（5分）（2015•汕尾）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC 边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是AF=AC或∠AFE=∠ABC．（写出一个即可）【考点】相似三角形的判定．.【专题】开放型．【分析】根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．【解答】解：分两种情况：①∵△AEF∽△ABC，∴AE：AB=AF：AC，即1：2=AF：AC，∴AF=AC；②∵△AFE∽△ACB，∴∠AFE=∠ABC．∴要使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．【点评】本题很简单，考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边15．（5分）（2015•汕尾）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20．【考点】平行四边形的性质．.【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．16．（5分）（2015•汕尾）若=+，对任意自然数n 都成立，则a=，b﹣；计算：m=+++…+=．【考点】分式的加减法．.【专题】计算题．【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值．【解答】解：=+=，可得2n（a+b）+a﹣b=1，即，解得：a=，b=﹣；m=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故答案为：；﹣；．【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）17．（7分）（2015•汕尾）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）（1）本次调查获取的样本数据的众数是30元；（2）这次调查获取的样本数据的中位数是50元；（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有250人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数．.【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；（2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；（3）求得调查的总人数，然后利用1000乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．【解答】解：（1）众数是：30元，故答案是：30元；（2）中位数是：50元，故答案是：50元；（3）调查的总人数是：6+12+10+8+4=40（人），则估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有：1000×=250（人）．故答案是：250．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（7分）（2015•汕尾）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．.【专题】计算题．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键19．（7分）（2015•汕尾）已知a+b=﹣，求代数式（a﹣1）2+b（2a+b）+2a 的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．.【专题】计算题．【分析】原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1，把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）（2015•汕尾）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．.【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21．（9分）（2015•汕尾）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连接BD，与AC交于点E，连接AD，CD．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．【考点】全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．.【分析】（1）利用SSS定理证得结论；（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．【解答】（1）证明：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：设BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°•x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．22．（9分）（2015•汕尾）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是x﹣60元；②月销量是400﹣2x件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．.【分析】（1）根据利润=售价﹣进价求出利润，运用待定系数法求出月销量；（2）根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．【解答】解：（1）①销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元；②设月销量W与x的关系式为w=kx+b，由题意得，，解得，，∴W=﹣2x+400；（2）由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．五、解答题（本大题共3小题，第23、24小题各11分，第25小题10分，共32分）23．（11分）（2015•汕尾）如图，已知直线y=﹣x+3分别与x，y轴交于点A 和B．（1）求点A，B的坐标；（2）求原点O到直线l的距离；（3）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M 的坐标．【考点】一次函数综合题．.【专题】综合题．【分析】（1）对于直线解析式，分别令x与y为0，求出y与x的值，即可确定出A与B的坐标；（2）利用点到直线的距离公式求出原点O到直线l的距离即可；（3）设M坐标为（0，m），确定出OM，分两种情况考虑：若M在B点下边时，BM=3﹣m；若M在B点上边时，BM=m﹣3，利用相似三角形对应边成比例求出m的值，即可确定出M的坐标．【解答】解：（1）对于直线y=﹣x+3，令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=4，∴A（4，0），B（0，3）；（2）直线整理得：3x+4y﹣12=0，∴原点O到直线l的距离d==；（3）设M坐标为（0，m）（m＞0），即OM=m，若M在B点下边时，BM=3﹣m，∵∠MBN′=∠ABO，∠MN′B=∠BOA=90°，∴△MBN′∽△ABO，∴=，即=，解得：m=，此时M（0，）；若M在B点上边时，BM=m﹣3，同理△BMN∽△BAO，则有=，即=，解得：m=．此时M（0，）．【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24．（11分）（2015•汕尾）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于2，线段CE1的长等于2；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）【考点】几何变换综合题．.【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；（3）首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD 为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．【解答】（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE=AD=2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，∴BD1==2，E1C==2；故答案为：2，2；（2）证明：当α=135°时，如图2，∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，在△D1AB和△E1AC中∵，∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BFA=∠CFP，∴∠CPF=∠FAB=90°，∴BD1⊥CE1；（3）解：如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，故∠ABP=30°，则PB=2+2，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．【点评】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．25．（10分）（2015•汕尾）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．（1）四边形ABCD一定是平行四边形；（直接填写结果）（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，a=，b=，试判断a，b的大小关系，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．.【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出=，两边平分得+k1=+k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，得到y1=，y2=，求出a===，得到a﹣b=﹣==＞0，即可得到结果．【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象关于原点对称，∴OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD 是平行四边形；故答案为：平行；（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y=的图象在第一象限相交于A，∴k1x=，解得x=（因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）将x=带入y=k1x得y=，故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），又∵OA=OB，∴=，两边平分得得+k1=+k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，∵k1≠k2，所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；（3）∵P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点，∴y1=，y2=，∴a===，∴a﹣b=﹣==，∵x2＞x1＞0，∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，∴＞0，∴a﹣b＞0，∴a＞b．【点评】本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，比较代数式的大小，掌握反比例函数图形上点的坐标的特征是解题的关键．祝福语祝你考试成功!。
2015年广州中考数学试题(含解析与答案)
2015年广东省广州市中考数学试卷(含解析与答案)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2015•广州）四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是（）A ﹣3.14B 0C 1D 2考点：正数和负数．分析：根据负数是小于0的数，可得答案．解答：解：四个数﹣3.14，0，1，2中为负数的是﹣3.14，故选：A．点评：本题考查了正数和负数，解决本题的关键是小于0的数是负数．2．（3分）（2015•广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是（）A. B. C. D.考点：生活中的旋转现象．分析：根据旋转的性质，旋转前后图形不发生任何变化，绕中心旋转180°，即是对应点绕旋转中心旋转180°，即可得出所要图形．解答：解：将图中所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是．故选：D．点评：此题主要考查了旋转中，中心旋转180°后图形的性质，此题应注意图形的旋转变换．3．（3分）（2015•广州）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（）A ．2.5 B．3 C．5 D．10考点：切线的性质．分析：根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5．解答：解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，∴点O到直线l的距离等于圆的半径，即点O到直线l的距离为5．故选C．点评：本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．4．（3分）（2015•广州）两名同学进行了10次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（）A ．众数B．中位数C．方差D．以上都不对考点：统计量的选择．分析：根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故要判断哪一名学生的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生三级蛙跳测试成绩的方差．解答：解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生三级蛙跳成绩的方差．故选：C．点评：本题考查方差的意义以及对其他统计量的意义的理解．它是反映一组数据波动大小，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．5．（3分）（2015•广州）下列计算正确的是（）A ．ab•ab=2ab B．（2a）3=2a3C ．3﹣=3（a≥0）D．•=（a≥0，b≥0）考点：二次根式的加减法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；二次根式的乘除法．分析：分别利用积的乘方以及二次根式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：A、ab•ab=a2b2，故此选项错误；B、（2a）3=8a3，故此选项错误；C、3﹣=2（a≥0），故此选项错误；D、•=（a≥0，b≥0），正确．故选：D．点评：此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．6．（3分）（2015•广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（）A ．B．C．D．考点：由三视图判断几何体；几何体的展开图．分析：由主视图和俯视图可得此几何体为柱体，根据左视图是圆可判断出此几何体为圆柱，再根据圆柱展开图的特点即可求解．解答：解：∵主视图和左视图是长方形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，∴该几何体的展开图可以是．故选：A．点评：此题考查由三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个试图确定其具体形状．同时考查了几何体的展开图．7．（3分）（2015•广州）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A ．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2考点：解二元一次方程组．专题：计算题．分析：求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．解答：解：，①+②×5得：16a=32，即a=2，把a=2代入①得：b=2，则a+b=4，故选B．点评：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（3分）（2015•广州）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A ．3个B．2个C．1个D．0个考点：命题与定理；平行四边形的判定．分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．9．（3分）（2015•广州）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（）A ．3B．9C．18D．36考点：正多边形和圆．分析：解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．解答：解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积=18，故选C．点评：本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．10．（3分）（2015•广州）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A ．10 B．14 C．10或14 D．8或10考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．分析：先将x=2代入x2﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法求出方程的根x1=2，x2=6，分两种情况：①当6是腰时，2是等边；②当6是底边时，2是腰进行讨论．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．解答：解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，∴22﹣4m+3m=0，m=4，∴x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解一元二次方程﹣因式分解法，三角形三边关系定理以及等腰三角形的性质，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）（2015•广州）如图，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1=50°，则∠2的度数为50°．考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．解答：解：∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵∠1=50°，∴∠2=50°，故答案为：50°．点评：本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠1=∠2是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．12．（3分）（2015•广州）根据环保局公布的广州市2013年至2014年PM2.5的主要来源的数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是机动车尾气．（填主要来源的名称）考点：扇形统计图．分析：根据扇形统计图即可直接作出解答．解答：解：所占百分比最大的主要来源是：机动车尾气．故答案是：机动车尾气．点评：本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．13．（3分）（2015•广州）分解因式：2mx﹣6my=2m（x﹣3y）．考点：因式分解-提公因式法．专题：计算题．分析：原式提取公因式即可得到结果．解答：解：原式=2m（x﹣3y）．故答案为：2m（x﹣3y）．点评：此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（3分）（2015•广州）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为y=6+0.3x．考点：根据实际问题列一次函数关系式．分析：根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．解答：解：根据题意可得：y=6+0.3x（0≤x≤5），故答案为：y=6+0.3x．点评：此题考查函数关系式，关键是根据题中水位以每小时0.3米的速度匀速上升列出关系式．15．（3分）（2015•广州）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形．分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出CD：CE，即为cosC．解答：解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．（3分）（2015•广州）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N 分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为3．考点：三角形中位线定理；勾股定理．专题：动点型．分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3．解答：解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4）考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解答：解：方程去括号得：5x=3x﹣12，移项合并得：2x=﹣12，解得：x=﹣6．点评：此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）（2015•广州）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE=DF，连接BE，AF．求证：BE=AF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解答：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=AF．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的定义，求出两三角形全等，从而得到BE=AF是解题的关键．19．（10分）（2015•广州）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．解答：解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．20．（10分）（2015•广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．考点：反比例函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；（2）由对称性得到△OAC的面积为3．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值．解答：解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣7＞0，则m＞7；（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，∴△OAC的面积为3．设A（x，），则x•=3，解得m=13．点评：本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．21．（12分）（2015•广州）某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解．（2）利用（1）中求得的增长率来求2016年该地区将投入教育经费．解答：解：设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为2500（1+x）（1+x）万元．则2500（1+x）（1+x）=3025，解得x=0.1=10%，或x=﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．（2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）．故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．点评：本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．22．（12分）（2015•广州）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？考点：利用频率估计概率；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；解答：解：（1）∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，∴P（不合格品）=；（2）这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率=×=；（3）∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴抽到合格品的概率等于0.95，∴=0.95，解得：x=16．点评：本题考查了概率的公式、列表法与树状图法及用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．23．（12分）（2015•广州）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，∠ACB=30°（1）利用尺规作∠ABC的平分线BD，交AC于点E，交⊙O于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，求△ABE与△CDE的面积之比．考点：作图—复杂作图；圆周角定理．分析：（1）①以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角ABC两边于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧交于一点；③作射线BE交AC与E，交⊙O于点D，则线段BD为△ABC的角平分线；（2）连接OD，设⊙O的半径为r，证得△ABE∽△DCE，在R t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，得到AB=AC=r，推出△ADC是等腰直角三角形，在R t△ODC中，求得DC==r，于是问题可得．解答：（1）如图所示；（2）如图2，连接OD，设⊙O的半径为r，∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，在R t△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC=r，∵∠ABD=∠ACD=45°，∵OD=OC，∴∠ABD=∠ACD=45°，∴∠DOC=90°，在R t△ODC中，DC==r，∴===．点评：本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是解答本题的关键．24．（14分）（2015•广州）如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8 ①是否存在一个圆使得A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由；②过点B作BF⊥CD，垂足为F，BF交AC于点E，连接DE，当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．考点：四边形综合题．分析：（1）证明△OMP≌△ONP，即可证得MN⊥OT，且OT平分MN；（2）①若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，即AC和BD互相平分，据此即可判断；②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根据菱形的面积公式求得GE的长，然后根据△BNE∽△BFD求得BF的长，再根据△BEG∽△BFM求得FM的长．解答：解：（1）MN⊥OT，且OT平分MN．理由是：连接MN、OT相交于点P．在△OMT和△ONT中，，∴△OMT≌△ONT，∴∠MOT=∠NPT，∴在△OMP和△ONP中，，∴△OMP≌△ONP，∴MP=NP，∠OPM=∠OPN=90°，即MN⊥OT；（2）①经过A，B，C，D四个点的圆不一定存在，理由是：若经过A，B，C，D四个点的圆存在，则圆心一定是AC和BD的中垂线的交点，根据（1）可得AC垂直平分BD，而垂足不一定是AC的中点；②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，且BN=BD=4，∴AN=NE===3，AE=6．∴S菱形ABED=AE•BD=×6×8=24，又∵S菱形ABED=AB•EG，∴EG=．∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BFD，∴△BNE∽△BFD，∴，即，∴BF=．∵GE⊥AB，FM⊥AB，∴GE∥FM，∴△BEG∽△BFM，∴，即，解得：FM=．点评：本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．25．（14分）（2015•广州）已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．（1）求点C的坐标；（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．解答：解：（1）令x=0，则y=c，故C（0，c），∵OC的距离为3，∴|c|=3，即c=±3，∴C（0，3）或（0，﹣3）；（2）∵x1x2＜0，∴x1，x2异号，①若C（0，3），即c=3，把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，∴y2=﹣3x+3，把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，即x1=1，∴A（1，0），∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，∵|x1|+|x2|=4，∴1﹣x2=4，解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．②若C（0，﹣3），即c=﹣3，把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，∴y2=﹣3x﹣3，把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，则﹣3x1﹣3=0，即x1=﹣1，∴A（﹣1，0），∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0∵|x1|+|x2|=4，∴1+x2=4，解得：x2=3，则B（3，0），代入y1=ax2+bx+3得，，解得：，∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则当x≥1时，y随x增大而增大，综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，解得：n≤﹣1，∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，综上所述：n≥1，2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．点评：此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．。