专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)
含绝对值不等式的解法
形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)x＋p的不等式的解法
例5 解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x.
【解】 原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x， 当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x， 即x>6，∴x>6； 当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3 ＋x， 即x<－2， ∴x∈∅；
即|x－4|＋|x－3|≥1.
∴当a>1时，不等式有解．
变式训练 ＋4.
解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x
5 解：当 x<－ 时，有－x＋1－3x－5≤4x 3 ＋4， ∴8x≥－8.∴x≥－1， 此时无解． 5 当－ ≤x<1 时，有 3 －x＋1＋3x＋5≤4x＋4， ∴2x≥2.∴x≥1， 此时无解．
当x≥1时，有
x－1＋3x＋5≤4x＋4. ∴4≤4成立， ∴原不等式解集为{x|x≥1}．
5 当 x≥2 时，x－1＋x－2>2，∴x> . 2 1 5 综上，原不等式解集为{x|x< 或 x> }． 2 2 法二：设 y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.
－2x＋3 ∴y1＝1 1≤x<2 2x－3 x≥2
x<1 .
其图象如图．
1 5 ∴原不等式的解集为{x|x< 或 x> }． 2 2
a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．
【思路点拨】 化简两个集合，求出解集形 式，通过两解集区间端点的关系求a.
【解】 ∵A＝{x||2－x|<5}＝{x||x－2|<5}＝ {x|－5<x－2<5}＝{x|－3<x<7}；
01绝对值不等式(含经典例题+答案)
绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。
绝对值不等式的解法-高中数学知识点讲解(含答案)
绝对值不等式的解法（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）不等式|1|2x -的解集是( ) A ．{|3}x xB ．{|13}x xC ．{|13}x x -D ．{|33}x x -2．（2018秋•石景山区期末）关于x 的不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)6+∞B ．1[,)3+∞C ．1[,)2+∞D ．1[,)12+∞3．（2015•北京校级模拟）已知集合2{20}A x x =-->，集合{|||3}B x x a =-<，若A B R =，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．(1,2)-C ．[1-，2]D ．(2,1)-4．（2013•宣武区校级模拟）不等式|1||2|5x x -+-的解集为( ) A ．{|1x x -或4}x B ．{|1x x 或2}xC ．{|1}x xD ．{|2}x x5．（2012秋•海淀区校级月考）不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(-∞，4]D ．[4，)+∞6．（2012•房山区校级学业考试）不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．3x <B ．1x >-C ．1x <-或3x >D ．13x -<<二．填空题（共2小题）7．（2019秋•海淀区校级期中）不等式|2|3x -<的解集是 ．8．（2018秋•通州区期中）已知函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<的解集为 ． 三．解答题（共4小题）9．（2019秋•海淀区校级期中）设关于x 的不等式||2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．10．（2018秋•海淀区校级月考）已知()|2||3|f x x ax =+--． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）当03a <时，若(0,2)x ∈，求证：()1f x x >-．11．（2018秋•海淀区校级月考）设函数()|3|||10f x x x a =++--． （1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）如果对任意的x ，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围．12．（2017春•西城区校级期末）若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）()i 对0x >，比较(1)ln x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． ()ii 已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232n a a a a e ⋯<．绝对值不等式的解法（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019秋•海淀区期末）不等式|1|2x -的解集是( ) A ．{|3}x xB ．{|13}x xC ．{|13}x x -D ．{|33}x x -【分析】根据|1|2x -去绝对值解不等式即可． 【解答】解：|1|2x -，212x ∴--，13x ∴-，∴不等式的解集为{|13}x x -．故选：C ．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．2．（2018秋•石景山区期末）关于x 的不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是( ) A ．1[,)6+∞B ．1[,)3+∞C ．1[,)2+∞D ．1[,)12+∞【分析】把不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞，转化为x R ∀∈，2|1|30ax x a -++恒成立，分离参数a ，可得22|1|1||33x x ax x ++=++，构造函数令21()||3x g x x +=+，然后利用基本不等式求最值得答案．【解答】解：不等式2|1|30ax x a -++的解集是(,)-∞+∞， 即x R ∀∈，2|1|30ax x a -++恒成立， 22|1|1||33x x ax x ++∴=++， 令21()||3x g x x +=+， 当1x =-时，()0g x =； 当1x ≠-时，211()||||43121x g x x x x +==+++-+， 若10x +>，则4(1)22(1)2211x x x x ++-+-=++， 当且仅当411x x +=+，即1x =时上式“=”成立； 若10x +<，则44(1)2[(1)]22[(1)]261(1)(1)x x x x x x ++-=--++----=-+-+-+， 当且仅当4(1)(1)x x -+=-+，即3x =-时上式“=”成立．4(1)2(1x x ∴++-∈-∞+，6][2-，)+∞． ()(0g x ∴∈，1]2．12a∴． 则实数a 的取值范围是1[,)2+∞．故选：C ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 3．（2015•北京校级模拟）已知集合2{20}A x x =-->，集合{|||3}B x x a =-<，若A B R =，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，2]B ．(1,2)-C ．[1-，2]D ．(2,1)-【分析】求出两个集合，然后利用并集求解即可． 【解答】解：集合2{20}{|1A x x x x =-->=<-或2}x >， 集合{|||3}{|33}B x x a x a x a =-<=-<<+， 若AB R =，可得31a -<-并且32a +>，解得(1,2)a ∈-． 故选：B ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，二次不等式的解法，并集的应用，考查计算能力． 4．（2013•宣武区校级模拟）不等式|1||2|5x x -+-的解集为( ) A ．{|1x x -或4}x B ．{|1x x 或2}xC ．{|1}x xD ．{|2}x x【分析】利用绝对值的意义，|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，从而得出结论．【解答】解：|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，故不等式|1||2|5x x -+-的解集为{|1x x -或4}x ， 故选：A ．【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|1||2|5x x -+-=的点的坐标为1-和4，是解题的关键．5．（2012秋•海淀区校级月考）不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，3]B ．[1-，3]C ．(-∞，4]D ．[4，)+∞【分析】构造函数()|3||1|f x x x =++-，利用绝对值的意义可求得()min f x ，从而可得答案．【解答】解：不等式|3||1|x x a ++-对任意实数x 恒成立， 令()|3||1|f x x x =++-， 则()min a f x ．由绝对值的几何意义可得：()|3||1||3(1)|4f x x x x x =++-+--=，()4min f x ∴=．4a ∴．即实数a 的取值范围是(-∞，4]． 故选：C ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的意义及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 6．（2012•房山区校级学业考试）不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．3x <B ．1x >-C ．1x <-或3x >D ．13x -<<【分析】利用||(0)x a a <>等价于a x a -<< 求得此不等式的解集． 【解答】解：由不等式|1|2x -<得212x -<-<， 13x ∴-<<，故选：D ．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用了||x a < 等价于a x a -<<． 二．填空题（共2小题）7．（2019秋•海淀区校级期中）不等式|2|3x -<的解集是 {|15}x x -<< ． 【分析】根据|2|3x -<，可得323x -<-<，然后解出不等式即可． 【解答】解：|2|3x -<，323x ∴-<-<， 15x ∴-<<，∴不等式的解集为{|15}x x -<<．故答案为：{|15}x x -<<．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．8．（2018秋•通州区期中）已知函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<的解集为 {|4x x >，或40}x -<< ．【分析】要解得不等式即2(||4)(||4)0x x x x x x -+--<，化简可得即(4||)0x x -<，故有04||0x x >⎧⎨-<⎩①，或04||0x x <⎧⎨->⎩②．分别解出①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：函数()||4f x x x x =-，那么不等式2()()0f x f x --<，即2(||4)(||4)0x x x x x x -+--<，化简可得4||x x x <，即(4||)0x x -<，∴04||0x x >⎧⎨-<⎩①，或04||0x x <⎧⎨->⎩②．解①求得4x >，解求得40x -<<，故不等式的解集为{|4x x >，或40}x -<<， 故答案为：{|4x x >，或40}x -<<．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 三．解答题（共4小题）9．（2019秋•海淀区校级期中）设关于x 的不等式||2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）解不等式可得{|22}A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<； （Ⅱ）利用A B ⊆可得22a --，23a +即可得a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）||2x a -<，22x a ∴-<-<， 22a x a ∴-<<+，{|22}A x a x a ∴=-<<+， 2112x x -<+，∴302x x -<+， (2)(3)0x x ∴+-<，23x ∴-<<， {|23}B x x ∴=-<<；（Ⅱ）A B ⊆，22a ∴--，23a +， 01a ∴，即a 的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了解不等式，集合的运算，属于中档题． 10．（2018秋•海淀区校级月考）已知()|2||3|f x x ax =+--． （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）当03a <时，若(0,2)x ∈，求证：()1f x x >-． 【分析】（1）按照：①当2x <- 时；②当322x-时；③当32x >时，三种情况去绝对值分别解不等式再相并； （2）先将要证不等式转化为证：|3|3ax -<，再用不等式的基本性质可证． 【解答】解（1）2a =时，不等式化为|2||23|2x x +--> ①当2x <- 时，2232x x --+->，不等式无解； ②当322x-时，2232x x ++->，不等式无解；③当32x >时，2232x x +-+>，解得332x <<； 综上所述()2f x >的解集为3(2，3)．（2）当(0,2)x ∈时，()2|3|f x x ax =+--，即要证()(1)2|3|13|3|0f x x x ax x ax --=+---+=-->，即|3|3ax -<，03a <，02x <<，0236ax ∴<<⨯=，333ax ∴-<-<，|3|3ax ∴-<， 即()1f x x >-【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．11．（2018秋•海淀区校级月考）设函数()|3|||10f x x x a =++--． （1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）如果对任意的x ，不等式()0f x >恒成立，求a 的取值范围． 【分析】（1）分3段去绝对值解不等式，再相并；（2）先用绝对值不等式的性质得()f x 的最小值，再将不等式恒成立转化为最小值，解不等式即可．【解答】解：（1）1a =时，()0|3||1|10f x x x >⇔++->可得13110x x x ⎧⎨++->⎩或33110x x x -⎧⎨---+>⎩或313110x x x -<<⎧⎨++->⎩， 解得6x <-或4x >，所以不等式的解集为{|6x x <-，或4}x > （2）()|3|||10|(3)()|10|3|10f x x x a x x a a =++--+---=+-，所以对任意的x ，不等式()0f x >恒成立等价于|3|100a +->， 解得13a <-或7a >．所以a 的取值范围是13a <-或7a >．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．12．（2017春•西城区校级期末）若实数x ，y ，m 满足||||x m y m -<-，则称x 比y 靠近m ． （Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）()i 对0x >，比较(1)ln x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． ()ii 已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232n a a a a e ⋯<．【分析】（Ⅰ）根据定义可得不等式，再按照绝对值不等式的解法求解，即可求实数x 的取值范围；（Ⅱ）()i 由题意，|(1)0||0|(1)ln x x ln x x +---=+-，记()(1)f x ln x x =+-，利用导数证明()f x 在(0,)+∞内单调递减，即可得到结论；()ii 利用()i 的结论，利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|1(1)||(1)|x x +--<---，即|2||1|x x +<-． 此不等式同解于22(2)(1)x x +<-，解得12x <-；（Ⅱ）()0i x >，(1)0ln x ∴+>，|(1)0||0|(1)ln x x ln x x ∴+---=+-．记()(1)f x ln x x =+-，则(0)0f =． 1()1011xf x x x-'=-=<++， ()f x ∴在(0,)+∞内单调递减． ()(0)0f x f ∴<=，即(1)ln x x +<． (1)ln x ∴+比x 靠近0；()ii 显然120n ->．由()i 的结论，得2323()n n ln a a a lna lna lna ⋯=++⋯+121121(12)(12)(12)222n n ln ln ln ------=++++⋯++<++⋯+111112(12)211212n ------=<=--， 23n a a a e ∴⋯<．又12a =，1232n a a a a e ∴⋯<．【点评】本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，正确理解新定义是关键，是中档题．。
绝对值不等式的解法(选修4-5)2014
-1 0
3
4
原不等式的解集是 {x | 1 x 0， 或3 x 4}.
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
例2 解不等式 3<|3-2x|≤5 .
解法2：3 | 3 2 x | 5 3 | 2 x 3 | 5
方法一：利用绝对值的几何意义(体现了数形结 合的思想).
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2 1 2
所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ 3
题型四：含多个绝对值不等式的解法
方法二： |x-1|+|x+2|≥5，利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把 数轴分为三段,然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对 值符号的不等式求解（零点分段讨论法）
小结
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不 等式（组） ，根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：
⑴ f x a (a 0) f x a或f x a；
⑵ f x a (a 0) a f x a；
⑶ f x g ( x ) f x g ( x )或f x g ( x )；
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
例1、解不等式 （ 1） 2 x 1 3 (2) | x 2 3 x 4 | x 1
尝试 1:分类讨论去绝对值符号.
．
尝试 2:运用推广的解法公式.
题型一：不等式|x|<a与|x|>a （a>0）的解集
6.5 含绝对值的不等式
|f(2)|＝|4a＋2b＋c|＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)|≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)|≤7. ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ － － ＋ － ＋ 此与f(2)＞ ＞ 此与 矛盾． 矛盾．
变式3.已知 ＝ 定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2， 变式 已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间 已知 ＋ 定义在区间 上 ， 证明： 证明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|； ＝ ； － ； (3)|f(x2)－f(x1)|< － ；(4)|f(x2)－f(x1)|≤ － .
上恒成立， 故|f(x)－g(x)|≤1在x∈[2,3]上恒成立，从而两函数是接近的． － 在 ∈ 上恒成立 从而两函数是接近的． 答案： 答案：B
2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为 ．不等式 ＜ ＋ ＜ 的解集为 的解集为( A．(0,2) ． C．(－4,0) ．－
)
B．(－2,0)∪(2,4) ．－ ∪ D．(－4，－2)∪(0,2) ．－ ， ∪ 或 0＜x＜2或－4＜x＜－ ，故选 项． ＜－2，故选D项 ＜ ＜ 或 ＜ ＜－
(3)不妨设 2>x1，由(2)知|f(x2)－f(x1)|<x2－x1.① 不妨设x 不妨设 知 － ① 而由(1)知 ＝ 而由 知f(0)＝f(1)，从而 2)－f(x1)|＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ，从而|f(x － ＝ － ＋ － ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|<|1－x2|＋|x1|＝1－x2＋x1② － ＋ － － ＋ ＝ － ①＋②得2|f(x2)－f(x1)|<1，即|f(x2)－f(x1)|< . － ， － (4)|f(x2)－f(x1)|≤f(x)最大－f(x)最小＝f(0)－f( )＝ － － ＝ .
绝对值不等式的解法
2 绝对值不等式的解法[学习目标] 1.掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题.2.了解绝对值不等式的几何解法．[知识链接] 解下列不等式： (1) |x －2|≤3； (2)|x －2|＞1； (3)1＜|x －2|≤3； (4)|2x ＋5|＞7＋x .答案 (1)|x －2|≤3⇔－3≤x －2≤3⇔－1≤x ≤5.(2)|x －2|＞1⇔x －2＞1或x －2＜－1，解得x ＞3或x ＜1.(3)原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5，解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，(4)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4，或x ＞2}． [预习导引]1．|x |＞a 和|x |＜a (a ＞0)型不等式的解法 |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a ；|x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a . 2．|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b |≤c 和|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义；(2)利用x －a ＝0，x －b ＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之；(3)通过构成函数，利用函数的图象.要点一 绝对值不等式的解法 例1 (1)解不等式|x ＋3|＋|x －3|＞8； (2)解不等式|2x ＋1|－|x －4|＞2.解 (1)方法一 由代数式|x ＋3|、|x －3|知，－3和3把实数集分为三个区间：x ＜－3，－3≤x ＜3，x ≥3.当x ＜－3时，－x －3－x ＋3＞8，即x ＜－4，此时不等式的解集为{x |x ＜－4}．① 当－3≤x ＜3时，x ＋3－x ＋3＞8，此时不等式无解② 当x ≥3时，x ＋3＋x －3＞8，即x ＞4， 此时不等式的解集为{x |x ＞4}③ 取①②③式的并集得原不等式的解集为 {x |x ＜－4，或x ＞4}．方法二 分别画出函数y 1＝|x ＋3|＋|x －3|和y 2＝8的图象，如图所示． y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x (x ＜－3)6 (－3≤x ＜3)，2x (x ≥3)不难看出，要使y 1＞y 2，只需x ＜－4或x ＞4. ∴原不等式的解集为{x |x ＜－4，或x ＞4}． (2)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝⎛⎭⎫x ≤－123x －3 ⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜4x ＋5 (x ≥4)，作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|与函数y ＝2的图象，它们的交点为(－7,2)和⎝⎛⎭⎫53，2.所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞.规律方法 对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点)．令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若不等式f (x )＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围．解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32，(2x ＋1)＋(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤32，(2x ＋1)－(2x －3)≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－(2x ＋1)－(2x －3)≤6，解之得32＜x ≤2或－12≤x ≤32或－1≤x ＜－12，即不等式的解集为{x |－1≤x ≤2}．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4， ∴|a －1|＞4，解此不等式得a ＜－3或a ＞5. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 要点二 与函数有关的绝对值不等式 例2 已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解 (1)函数的定义域满足：|x －1|＋|x －5|－a ＞0，即|x －1|＋|x －5|＞a ， 设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝|x －1|＋|5－x | ≥|x －1＋5－x |＝4，g (x )min ＝ 4，f (x )min ＝log 2 (4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4. |x －1|＋|x －5|－a ＞0，∴a ＜4，∴a 的取值范围是(－∞，4).规律方法 解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值的不等式(组)，为此往往需要分区间进行讨论去绝对值符号；有些绝对值不等式利用绝对值的几何意义解起来更快速． 跟踪演练2 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为(－∞，1]∪[5，＋∞)． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12由已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎨⎧a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3.要点三 含绝对值不等式的恒成立问题 例3 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m . (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅.分别求出m 的范围．解方法一因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|P A|－|PB|.由图象知(|P A|－|PB|)max＝1，(|P A|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.方法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为∅，即m≥1.规律方法问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，都属于恒成立问题，问题(2)、(3)则属于恒成立问题．要对任意实数x，结论都成立或都不成立，都不成立也就是结论的矛盾方面都成立，都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a，f(x)＞a恒成立⇔f(x)min＞a.跟踪演练3设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当时a＝－5，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．解(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象(如图所示), 知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0， 即|x ＋1|＋|x －2|≥－a 由(1)|x ＋1|＋|x －2|≥3， ∴－a ≤3，∴a ≥－3.1．若集合A ＝{x ||2x －1|＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ＋13－x ＜0，则A ∩B 是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，或2＜x ＜3， B ．{x |2＜x ＜3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜2 D ．{x |－1＜x ＜－12}答案 D解析 ∵A ＝{x |－2＜2x ＜4}＝{x |－1＜x ＜2}．B ＝{x |(2x ＋1)(x －3)＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－12，或x ＞3.∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12.2．不等式3≤|5－2x |＜9的解集是( ) A ．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B ．[1,4] C ．[－2,1]∪[4,7] D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析 由3≤|5－2x |＜9得3≤2x －5＜9，或－9＜2x －5≤－3，即4≤x ＜7或－2＜x ≤1，所以不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)，选D. 3．不等式2|x |＋|x －1|＜4的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，53解析 当x ＜0时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：－2x ＋1－x ＜4，解得－1＜x ＜0，当0≤x ≤1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋1－x ＜4，解得0≤x ≤1，当x ＞1时，不等式2|x |＋|x －1|＜4转化为：2x ＋x －1＜4，解得1＜x ＜53.综上不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，53. 4．解不等式|x 2－2x ＋3|＜|3x －1|. 解 x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2＞0， |x 2－2x ＋3|＜|3x －1|⇔x 2－2x ＋3＜|3x －1| ⇔3x －1＞x 2－2x ＋3或3x －1＜－x 2＋2x －3. 由x 2－5x ＋4＜0，得1＜x ＜4，由x 2＋x ＋2＜0，得⎝⎛⎭⎫x ＋122＋74＜0， 该不等式解集为∅.所以原不等式的解集为(1,4)．1.解不等式|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c(1)当c ≥0时，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，解之即可； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，解之即可．(2)当c ＜0时，由绝对值的定义知|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．解|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的一般步骤 ①令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； ②把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； ④这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．绝对值不等式的解法1．不等式|x ＋1|>3的解集是( ) A ．{x |x <－4或x >2} B ．{x |－4<x <2} C ．{x |x <－4或x ≥2}D ．{x |－4≤x <2}解析：选A |x ＋1|>3，则x ＋1>3或x ＋1<－3，因此x <－4或x >2. 2．满足不等式|x ＋1|＋|x ＋2|<5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3) C ．(－4,1) D.⎝⎛⎭⎫－32，72 解析：选C |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|<5解集是(－4,1)．3．不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎣⎡⎦⎤1，32B.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎦⎤1，32C.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎝⎛⎦⎤1，32D.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫1，32 解析：选D 由1≤|2x －1|<2，得1≤2x －1<2或－2<2x －1≤－1，因此－12<x ≤0或1≤x <32.4．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C ．(－4,2)D ．[－4,1]解析：选A 由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |＞3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据绝对值不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|＞3即可，所以m ＋1＞3或m ＋1＜－3，解得m ＞2或m ＜－4，故实数m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．5．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(x ＋2)2≥x 2， ∴x 2＋4x ＋4≥x 2，即x ≥－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≥－1}． 答案：{x |x ≥－1}6．不等式|2x －1|－x <1的解集是__________．解析：原不等式等价于|2x －1|<x ＋1⇔－x －1<2x －1<x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x >0，x <2⇔0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a |，若函数f (x )的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围为________．解析：因为|x ＋1|＋|x －2|≥|x ＋1－(x －2)|＝3， 所以f (x )的最小值为3－|a 2－2a |. 由题意，得|a 2－2a |＜3，解得－1<a <3. 答案：(－1,3)8．解不等式：|x 2－2x ＋3|<|3x －1|. 解：原不等式⇔(x 2－2x ＋3)2<(3x －1)2⇔[(x 2－2x ＋3)＋(3x －1)] [(x 2－2x ＋3)－(3x －1)]<0 ⇔(x 2＋x ＋2)(x 2－5x ＋4)<0⇔x 2－5x ＋4<0(因为x 2＋x ＋2恒大于0)⇔1<x <4. 所以原不等式的解集是{x |1<x <4}．9．解关于x 的不等式|2x －1|<2m －1(m ∈R)．解：若2m －1<0，即m ≤12，则|2x －1|<2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m－1>0，即m >12，则－(2m －1)<2x －1<2m －1， 所以1－m <x <m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅；当m >12时，原不等式的解集为{x |1－m <x <m }．10．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0， 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
含绝对值不等式的解法1
方法一：等价于 不等式组
| ax b | n | ax b | m
方法二：几何意义
-m
-n 0 n
m
n ax b m,或 m ax b n
推广 a f(x) b a f(x) b或-b f(x) a
题型二：不等式n＜| ax + b | ＜m (m＞n＞0) 的解集
∴原不等式的解集为{x | x<－2或x>－1}.
解题反思：
1、采用了整体换元。
2、归纳型如(a>0)
| f(x)|<a, |f(x)|>a 不 等式的解法。
| f(x)|<a | f(x)|>a
-a<f(x)<a
f(x)<-a或 f(x)>a
变式例题：型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中
题型四：含多个绝对值不等式的解法
练习4 解不等式 x+1 - x-3 2
解不等式
x2 x3 7
2x 4 3x 3 7
3.解不等式:| x 2 || x 1| 3
x 2
三、例题讲解
① -1 ② 3 ③
例2 解不等式|x +1| + |3－x| >2 + x.
解析原不等式变形为| X +1| + |X －3| > 2 + X.
不等式解集为 x x≥-1
推广 f x g x f x2 g x2
题型三：不等式 的解集|f(x)|> |g(x)| 练习3 解不等式 | x 2 || x 1|
四、练习
2.解不等式 x 9 x 1
解： x 9 x 1
x 92 x 12
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文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式一、知识点回顾1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；（4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。
（见P8）5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。
6、解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。
一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ”文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（3）532<+<-x (2) 392+≤-x x(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x(2)解：（1）法一：原不等式⎩⎨⎧+≤-≥-⇔390922x x x ①或⎩⎨⎧+≤-<-390922x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或，由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法二：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ⎩⎨⎧≤≤-≥-≤⇔4323x x x 或 ∴原不等式的解集是{}342-=≤≤x x x 或法三：设)33,9221-≥+=-=x x y x y （，由392+=-x x 解得非曲直2,3,4321=-==x x x ，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使21y y ≤的x 的范围是433≤≤-=x x 或，∴原不等式的解集是{342-=≤≤x x x 或（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩例2。
解不等式22x xx x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
练习：x x 3232->-(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>32x x （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。
例3、解不等式123x x ->-。
解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。
2-和1把实数集合分成三个区间，即2-<x ，12≤≤-x ，1>x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x综上，原不等式的解集为{}23<<-x x 。
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
三、几何法：即转化为几何知识求解。
例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3(B)k<-3(C)k ≤3(D)k ≤-3分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -2-的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。
（3）分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-<x 时，01,03<+<-x x ∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x ②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x ③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x综上，原不等式的解集为}21|{>x x也可以这样写： 解：原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ，解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3},∴原不等式的解集为{x|x>21}方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>21}变式：（1）若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。
解：由几何意义可知，12+++x x 的最小值为1，所以实数a 的取值范围为()1,∞-。
（2）数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。
解：设M （x ，0）则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+-<≤-+-<≤+≥-=1,6321,852,45,63x x x x x x x x x f由图象可得：当()62min ==x f x 时 四、典型题型1、解关于x 的不等式10832<-+x x解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，即⎩⎨⎧<-+->-+1083108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---2、解关于x 的不等式2321>-x 解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠474523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x即 0)13)(3(<+-x x解得：331<<-x∴ 原不等式的解集为)3,31(-4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈解：⑴ 当012≤-m 时，即21≤m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。
⑵ 当012>-m 时，即21>m ，原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m解得：m x m <<-1 综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当21>m 时，不等式解集为{}m x m x <<-15、解关于x 的不等式1312++<--x x x解：当3-<x 时，得⎩⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解当213≤≤-x ，得⎪⎩⎪⎨⎧++<---≤≤-13)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)216、解关于x 的不等式521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ） 解： 五、巩固练习1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根，则a 的取值范围 是 ．3、不等式121≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+； ⑶ |21||2|4x x ++->；⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2（a R ∈） 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ） 6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ；()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；8、不等式x x 3102≤-的解集为（ ） 9、解不等式：221>-+-x x10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ，不等式xxx x ->-22的解集是 ； 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）11、不等式3529x ≤-<的解集是12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值13、解关于x 的不等式：①解关于x 的不等式31<-mx ；②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.15、 设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}21,2≤≤--==x x y y B ，则()R C A B 等于 ( ) 16、不等式211x x --<的解集是 ．17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈（参考答案）1、 6 ； ∅ ；2、 ]4,0[3、)23,2()2,(----∞4、⑴ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><231x x x 或 ⑵ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21x x ⑶ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<121x x x 或⑷ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-527212x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时，{}a x a x 22<<-；当0≤a 时，不等式的解集为∅5、C6、D7、⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ；8、C9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或11、D 12、 1513、① 当0=m 时，R x ∈；当0>m 时，m x m 42<<-；当0<m 时，mx m 24-<< ② 当01>+a ，即1->a 时，不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-122a x a x ；当01≤+a ，即1-≤a 时，不等式的解集为∅； 14、D 15、B 16、0(，)217、当01>-a ，即1<a 时，不等式的解集为{}a x a x x -><2或；当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为{}1≠x x ； 当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为R ；。