组合变形习题集

9-2 矩形截面钢杆如图所示，用应变片测得杆件上下表面的线应变分别为

33110,0.410a b εε--=⨯=⨯，材料的弹性模量210GPa E =。要求：

（1）试绘制横截面的正应力分布图； （2）确定拉力P 及偏心距δ的大小。

题9-2图

δ

P m=147.04

F

N

+

=

M

ζζ

解：（1）外力分析判变形：杆所受外力与轴线平行，杆件发生拉弯组合变形。 （2）内力分析判危险面：杆各横截面上具有相同的轴力和弯矩。

N F P M P δ==,

（3）应力分析确定拉力P 及偏心距δ的大小：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。应力分布如图所示。

93

2932

=21010110+=0.0050.0250.0050.025/618.38kN 1.785=210100.410=0.0050.0250.0050.025/6N a

a z N

b b z F M P P E A W P F M P P E A W δσεδδσε--⎧=⨯⨯⨯=+⎪⨯⨯=⎧⎪

→⎨

⎨=⎩⎪=⨯⨯⨯=-⎪⨯⨯⎩

-mm 147.04 62.99 210.03 84.05

（4）将拉力P 及偏心距δ代入上式，计算得到：

147.0462.99147.0462.99210.03147.0462.9984.05N

F M a a σσσσ==→=+==-=MPa ,MPa

MPa,MPa

正应力分布如图所示。

.

9-5 构架如图所示，梁ACD 由两根槽钢组成。已知a=3m,b=1m,F=30kN 。梁材料的许用应

力[σ]=170MPa 。试选择槽钢的型号。

69.28M kN ·m)

(d )(c )

F N kN)

+

30

-

(a )

解：〈1〉外力分析：梁的计算简图如图(b)所示，外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC 段发生拉弯组合变形。对A 取矩BC 杆所受压力为：

3

(31)3010()0sin 30()08030.5A CB CB m F F a a b F F +⨯⨯=→-+=→==⨯∑o

N kN

2〉内力分析： 轴力图、弯矩图如图。C 左截面轴力和弯矩同时达到最大，是危险面。

max

69.28kN ,30kN m N F M

==⋅

（3）应力分析判危险点：

由于发生的是发生拉弯组合变形，加之截面有有两个对称轴，危险面的上边缘具有最大拉应力，比下边缘的最大压应力的绝对值大，上边缘上各点正应力最大。

（4）强度计算选择槽钢的型号：

[]33max max

69.28103010170MPa 2222N z z

M F A W A W σ

σ+⨯⨯=+=+≤= 1）忽略轴力项的正应力，仅由弯曲项选槽钢的型号：

3

33010170MPa 88.242z z

W W ⨯≤→≥cm 。

查表可知，的2

3

21.95cm ,108.3cm z A W == 2）对所选槽钢进行校核：

[]33

max

46

69.2810301015.781138.504154.29170MPa 221.95102108.310

σ

σ+--⨯⨯=+=+=≤=⨯⨯⨯⨯故，所选择16号槽钢能满足强度要求。

9-7 图示钢板的一侧切去深为40mm 的缺口，受力P=128kN 。试求：（1）横截面AB 上的最大正应力。(2)若两侧都切去深为40mm 的缺口，此时最大应力是多少?不计应力集中的影响。

ζ

ζF

N

=

15

+

M ζm=P δ

题9-7图

解：（1）求一个缺口时处横截面AB 上的最大正应力

①外力分析判变形：杆所受外力不过缺口处AB 截面形心，杆件在缺口处发生拉弯组合变形。

②内力分析判危险面：杆缺口处各横截面上具有相同的轴力和弯矩。

0.3600.3600.040

128kN 128(

) 2.56kN m()22

N F P M P δ-====⨯-=⋅↵, ③应力分析：轴力引起均匀分布的正应力，横截面上还有弯曲正应力。应力分布如图所示，最大拉应力出现在缺口处AB 截面的上边缘。

33666

max

2

12810 2.5610+=401015105510MPa 0.3200.0100.0100.320/6

N z F M A W σ⨯⨯=+=⨯+⨯=⨯⨯⨯ （2）两侧有对称缺口时的应力： 此时杆将发生轴向拉压变形。

3

6

12810=Pa 45.7MPa (360240)1010N F A σ-⨯==-⨯⨯⨯

9-9 如图所示，轴上安装两个圆轮，P 、Q 分别作用在两轮上，并沿竖直方向。轮轴处于平衡状态。若轴的直径d=110mm, 许用应力[σ]=60MPa 。试按第四强度理论确定许用荷载P 。

P

M Z 图

M T 图

1.95P

-P

(e )

(d )

(c )

(b )

+

解：（1）外力分析，判变形。

力P 、Q 向轴线平移，必附加引起扭转的力偶，受力如图所示；平移到轴线的外力使轴在铅锤面平面内上下弯曲。外力沿竖直方向与轴异面垂直，使轴发生弯扭组合变形。

1) 由于轴平衡，故::

()010.502x

m F P Q Q P =→-⨯+⨯=→=∑

2) 将轴进行简化，计算简图如图所示，研究铅垂面内梁的求其约束反力

()0 1.5 3.550 1.31.5 3.550 1.7()0A B B A A B m F Q P F F P

P Q F F P m F ⎧=--+==⎧⎧⎪⇒⇒⎨

⎨⎨++-===⎩

⎩⎪⎩∑∑ (2)内力分析，判危险面：

扭矩图、弯矩图如图所示，C 的右截面是危险面：,max 2.25P P z T M M == (3) 应力分析：

z M 使C 横截面上下边缘点弯曲正应力最大，同时又有最大的扭转剪应力，故C 的右截

面上下边缘点是强度理论的危险点。

（4）按第四强度理论求许可荷载

[]646010 2.91kN 32

32

r z

P σσ=

=

=≤=⨯→≤