数列中常见的最值问题
高考数学压轴数列的最值题型分类专题
高考数学压轴数列的最值题型分类专题题型一、求数列n a 的最大项、最小项求解数列的最大项最小项通常采用 ①利用均值不等式求最值②解不等式组 1+≥n n a a ，1-≥n n a a ③构造函数利用单调性法④根据数列项的正负与单调性求数列的最大最小项.1. 基本不等式法例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a2.解不等式组例1.已知数列{}n a 的通项公式为1562+=n na n ，，求{}的最大值n a变式练习：（1） 已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（2）已知等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且15,1054≤≥T T ,求的最大值4a（3）已知数列}{n a 中，)2(8.0+=n a n n ，求数列的最大项.（4）已知数列}{n a 的通项公式nn n n a 11)1(10+=，试求出该数列的最大项.3.构造函数利用单调性 （若1n n a a +<，则此数列为递增数列，若1n n a a +>，则其为递减数列，若1n n a a +=，则其为常数列）例 1 数列}{n a 中，20172016--=n n a n ,则该数列中的最大项与最小项分别是__________例2. 设函数)1x 0(log log )x (f 2x x 2<<-=数列{}n a 满足),2,1n (,n 2)2(f na==（1）求n a 。
（2）求{}n a 的最小项变式练习： （1）已知)N n (98n 97n a n*∈--=则在数列{}n a 的前30项中最大项和最小项分别是_____。
（2） 已知)N n (n131211S n *∈++++= ，记1n 1n 2n S S a ++-=，求数列{}n a 的最小值。
（3） 已知数列)N n (156n n a 2n*∈+=，则该数列中的最大项是第几项？（4） 已知无穷数列{}n a 的通项公式nn n 10)1n (9a +=，试判断此数列是否有最大项，若有，求出第几项最大，若没有，说明理由。
第40讲 数列最值的求法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方式一样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方式要理解并记住.二、数列求最值常常利用的方式有函数、数形结合、根本不等式、导数、单调性等，特殊的方式有夹逼法等. 【方式讲评】【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值. 【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看做是一个关于n 的二次函数2n S An Bn =+，利用图像解答.【反映检测1】 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；〔2〕指出1s ，2s ，…，12s 中哪个值最大，并说明理由.【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5a 的等比中项为2.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当nS S S n +++ 2121最大时，求n 的值. 【点评】〔1〕等差数列的通项n a 可以看做是一个关于n 的一个一次函数，画出函数的图像，比拟直观地看出数列的哪些项是正数，哪些项是负数，从而取得前多少项的和最大或最小.〔2〕注意数列{}n a 中，由 于9a 0=，所以前8项的和和前9项的和相等，且都最大，所以在考虑问题时，注意那些“零〞项，以避免得犯错误的结论.【例3】数列{}n a中，)n a n N *=∈那么在数列{}n a 的前n 项中最小项和最大项别离是〔 〕A.150,a aB. 18,a aC. 89,a aD.950,a a【点评】该题中的函数是双曲线，画出函数的图像，可以看出在靠近渐近线的地方函数取到最小值或最大值. 【反映检测2】等差数列{n a },*n a N ∈,n S =212)8n a +（.假设1302n n b a =-，求数列 {n b }的前n 项和的最小值.【例4】 数列}{n a 的通项公式nn n a )10)(1(+=，)(N n ∈，求}{n a 的最大值. 【点评】〔1〕数列依照单调性分可以分为单调增函数、单调减函数、非单调函数.〔2〕判断数列的单调性一般有两种方式，方式一是作差判断，若是110{}0{}n n n n n n a a a a a a ++->⇒-<⇒单调递增；单调递减.方式二是作商判断，若是【例5】设单调递增函数()f x 的概念域为()0,+∞，且对任意的正实数,x y 有：()()()f xy f x f y =+且1()12f =-． ⑴一个各项均为正数的数列{}n a 知足:()()(1)1n n n f s f a f a =++-其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,求数列{}n a 的通项公式；⑵在⑴的条件下，是不是存在正数M 使以下不等式：对一切*n N ∈成立？假设存在，求出M 的取值范围；假设不存在，请说明理由． ⑵假设M 存在知足条件， 即21)(21)(21)n nn a M a a ≤--对一切*n N ∈恒成立．令2()1)(21)(21)n nn a g n a a =--，∴1((1)(21)(2n n n g nn +⨯⨯⨯+=⨯⨯-，故(1)1()g n g n +==>，(1)()g n g n ∴+>，∴()g n 单调递增，*n N ∴∈，()(1)g n g ≥=．∴0M <≤【点评】〔1〕此题就是利用作商法判断数列的单调性，再求数列的最值；〔2〕是选择作差法判断函数的单调性，仍是选择作商法判断数列的单调性，主要看数列的形式，若是数列是商的形式，一般利用作商法判断数列的单调性，若是数列是和的形式，一般选择作差法判断数列的单调性.【反映检测3】 数列{}n a 中，,11=a 且点()()1,n n P a a n N *+∈在直线10x y -+=上．〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕假设函数()1231111(),nf n n N n a n a n a n a *=++++∈++++求函数)(n f 的最小值； 〔3〕设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前n 项和， 试证明：1231(1),(,2)n n S S S S n S n N n *-++++=-∈≥．【例6】广州市某通信设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产，第一年需要的各类费用是12万元，从第二年开场，所需费用会比上一年增加4万元，而每一年因引进该设备可取得的年利润为50万元. 〔1〕引进该设备多少年后，开场盈利？ 〔2〕引进该设备假设干年后，有两种处置方案：第一种：年平均盈利抵达最大值时，以26万元的价钱卖出；第二种：盈利总额抵达最大值时，以8万元的价钱卖出.问哪一种方案较为合算？并说明理由.【点评】根本不等式一样可以求数列的最值.若是n 取等时的值不是正整数，可以求它周围的点的函数值，比拟就可以够了.【反映检测4】某大学毕业生响应国家“自主创业〞的号召，今年年初组织一些同窗自筹资金196万元购进一台设备，并当即投入生产自行设计的产品，方案第一年维修、保养费用24万元，从第二年开场，每一年所需维修、保养费用比上一年增加8万元，该设备利用后，每一年的总收入为100万元，设从今年起利用n 年后该设备的盈利额为()f n 万元. 〔Ⅰ〕写出()f n 的表达式；〔Ⅱ〕求从第几年开场，该设备开场盈利；〔Ⅲ〕利用假设干年后，对该设备的处置方案有两种：方案一：年平均盈利额抵达最大值时，以52万元价钱处置该设备；方案二：当盈利额抵达最大值时，以16万元价钱处置该设备.问用哪一种方案处置较为合算?请说明理由．【例7】在数列}{n a 中，nn a •a k•a n n +-+=+=+2111,1〔n *∈N 〕，其中k 是常数，且3625≤≤k . 〔Ⅰ〕求数列}{n a 的通项公式；〔Ⅱ〕求数列}{n a 的最小项.以上1n -个式子相加得)11(11n k n a a n ---=-，即)11(11nk n a a n ---+=. 又k a +=11，所以)11(11n k n k a n ---++=，即(2,3,)n ka n n n=+=. 当1n =时，上式也成立.所以数列}{n a 的通项公式为(1,2,3,)n ka n n n=+=. 〔Ⅱ〕为考察数列}{n a 的单调性，注意到(1,2,3,)n k a n n n =+=，可设函数)1)()(≥+=x xkx x f ，那么21)(xkx f -='，即22)(x k x x f -='.可知x ⎡∈⎣时，0)(<'x f ；k x =时，0)(='x f ；)x ∈+∞时，0)(>'x f .所以函数xkx x f +=)(在[1，k ]上是减函数；在)+∞上是增函数.因为3625≤≤k ，所以65≤≤k .〔3〕当56a a =，即6655kk +=+，即30k =时， 12345567,a a a a a a a a >>>>=<<. 所以数列}{n a 的最小项为11630665=+==a a . 〔4〕当65a a <且5>k 时，6655kk +<+且25>k ，那么3025<<k ， 12345567,a a a a a a a a >>>>><<. 所以数列}{n a 的最小项为555ka +=.〔5〕当665<>k a a 且时，6655kk +>+且36k <，那么3630<<k ，<<>>>>>76654321,a •a •a a a a a a .所以数列}{n a 的最小项为666k a +=. 综上所述：当25k =时，数列}{n a 的最小项为5a =10；当3025<<k 时，数列}{n a 的最小项为555k a +=；当30k =时，数列}{n a 的最小项为56a a ==11；当3036k <<时，数列}{n a 的最小项为666ka +=；当36k =时，数列}{n a 的最小项为612a =.【点评】〔1〕利用导数求数列的最值，不能直接求，必需先构造数列对应的函数，因为数列是离散型函数，不可导.〔2〕注意数列对应的函数的单调性和数列本身的单调性是有区别的，有人以为“数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，那么数列在最靠近a x =的地方取得最大值〞.如以下图所示，数列对应的持续函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，可是数列并非是在最靠近c x a x ==的处取得最大值，而是在b x =处取得最大值〔其中)0,,>∈*a N cb .所以可知当数列对应的函数在),0(a 上单调递增，在),(+∞a 上单调递减，那么数列不必然在最靠近a x =的地方取得最大值，必需把a x =周围的整数值代进去比拟，才可以判断谁是最大值.所以一般不利用导数求数列的最值.【例8】二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．〔1〕假设展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；〔2〕假设展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．【点评】利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+11k kk k a a a a ，然后判断数列}{n a 的最值情况.〔1〕、假设数列}{n a 中的最大项为k a ，那么⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a ；〔2〕、假设数列}{n a 中的最小项为k a ，那么⎩⎨⎧≤≤-+11k k k k a a a a .注意：这只是k a 为数列最值的必要不充分条件，不是充要条件，假设k 不止一解时，需要代入查验.【反映检测6】n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992，求n xx 2)12(-的展开式中：〔1〕二项式系数最大的项；〔2〕系数的绝对值最大的项.高中数学常见题型解法归纳及反映检测第40讲：数列最值的求法参考答案【反映检测1答案】〔1〕〔-247,-3〕；〔2〕当6n =时，n S 最大. 解法二：由题意可得：n S =1na +(1)2n n d -=(122)n d -+22n n d -=25(12)22d n d n +- 显然0d ≠, n S 是关于自变量n 的二次函数， 由〔1〕知：0d <,二次函数的图像抛物线的对称轴为5122n d=-, 由〔1〕知：2437d -<<-， 所以6<5122d -<132,又因为n *N ∈,故当6n =时，n S 最大，即6s 最大. 【反映检测2答案】225- 因此等差数列{n a }的公差大于0.1a =1s =2112)8a +（,解得1a =2.所以42n a n =-,那么1302312n n b a n =-=-.即数列{n b }也为等差数列且公差为2.由23102(1)310{n n -≤+-≥，解得293122n ≤≤，因为n *N ∈，所以15n =, 故{n b }的前15项为负值， 因此15s 最小， 可知1b =-29，d =2,所以数列 {n b }的前n 项和的最小值为15s =1529215312-+⨯-（）=-225.【反映检测3答案】〔1〕n a n =；〔2〕)(n f 的最小值是1(1)2f =；〔3〕观点析. 【反映检测3详细解析】〔1〕由点P ),(1+n n a a 在直线01=+-y x 上，即11=-+n n a a ，且11=a ，数列{n a }是以1为首项，1为公差的等差数列1(1)1n a n n =+-⋅=，∴n a n = 〔2〕nn n n f 212111)(+++++=所以)(n f 是单调递增，故)(n f 的最小值是1(1)2f =()1n n nS n n S =-=-.(,2)n N n *∈≥【反映检测4答案】〔Ⅰ〕()2480196f n n n =-+-〔n *∈N 〕；〔Ⅱ〕从第三年开场盈利；〔Ⅲ〕采用方案一合算．【反映检测4详细解析】〔Ⅰ〕2(1)()100196[248]480196()2n n f n n n n n n N *-=--+=-+-∈． 〔Ⅱ〕由()0f n >得：24801960n n -+->即220490n n -+<，解得1010n <+，由n N *∈知，317n ≤≤，即从第三年开场盈利〔Ⅲ〕方案①：年平均盈利为()f n n，那么()494()8048024f n n n n =-++≤-⋅=，当且仅当49n n=，即7n =时，年平均利润最大，共盈利24×7＋52＝220万元．方案②：2()4(10)204f n n =--+，当10n =时，取得最大值204，即通过10年盈利总额最大，共计盈利204＋16＝220万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算． 【反映检测5答案】31{} 1.n a a a =的最大项为最小项为【反映检测6答案】〔1〕8064)1()2(555106-=-⋅⋅=x x C T ；〔2〕437310415360)1()2(x xx C T -=-=。
2023高考数学逆袭系列之微专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题
＝－24－(3n－12)×2n＋1，
故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*).设cn＝(3n－12)×2n＋1， 显然当n≥4时，cn≥0，Tn≥24且单调递增. 而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48，故Tn的最小值为T2＝T3＝－24.
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核心归纳
此类问题以数列为载体，一般涉及数列的求和，考查不等式的恒成立问题，可 转化为函数的最值问题.
索引
例 4 (2021·浙江卷)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－94，且 4Sn＋1＝3Sn－ 9(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； 解 因为4Sn＋1＝3Sn－9， 所以当n≥2时，4Sn＝3Sn－1－9， 两式相减可得 4an＋1＝3an，即aan＋n 1＝34. 当 n＝1 时，4S2＝4－94＋a2＝－247－9， 解得 a2＝－2176，所以aa21＝43.
上篇 板块二 数列
微专题11 数列中的最值、范围及奇偶项问题
题型聚焦 分类突破 高分训练 对接高考
1.数列中的最值、范围问题的常见类型有：(1)求数列和式的最值、范围；(2)满 足数列的特定条件的n的最值与范围；(3)求数列不等式中参数的取值范围.
2.数列中的奇、偶项问题的常见题型 (1)数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的类型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的类型； (4)已知条件明确奇偶项问题.
索引
训练 1 (2022·全国甲卷)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知2nSn＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； 证明 由2nSn＋n＝2an＋1， 得2Sn＋n2＝2ann＋n，① 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，② ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列.
等差数列的最值问题
解析（1）设数列{ }的公差为d，则由2009 = 0得20091 +
= 0，
2
1
2009−
即1 + 1004 = 0，则 = −
1 ,所以1 + =
1 ,所以 = (1 +
1004
1004
2
2009−
) = ⋅
1 = 1 ⋅ (2009 − 2 ).因为1 < 0, ∈ ∗ ,所以当 = 1004或
由 S5＝S12 得 5a1＋10d＝12a1＋66d，
d＝－ a1<0.
8
1
－ a1
n（n－1）
n（n－1）
1
则 Sn ＝ na1 ＋
d ＝ na1 ＋
· 8 ＝ － a1(n2 － 17n) ＝ －
16
2
2
17
n－
1
2 289
a1
2 ＋
a1，因为 a1>0，n∈N*，所以当 n＝8 或 9 时，Sn 有最大值．
2
1004
2008
1005
= 1005时， 取得最小值，最小值为
1 .
2
1005−
1
1005−
2
（2）由（1）得 =
1 . 由 ≤ , 得
(2009 − ) ≤
1 .
1004
2008
1004
因为 1 < 0, 所以 2 − 2011 + 2010 ≤ 0, 即 ( − 1)( − 2010) ≤ 0 ，解得 1 ≤
≤ 2010 .故所求 的取值集合为 {|1 ≤ ≤ 2010, ∈ ∗ } .
数列中的最值问题课件
解决实际问题的方法
利用数学函数和公式
通过运用数学函数和公式，可以解决数列中最值问题，为实际问 题的解决提供有效途径。
利用计算机软件
借助计算机软件进行数值模拟和分析，可以快速求解数列中的最值 问题。
利用统计学方法
通过统计学方法，可以估计数列中的最值出现的概率，从而更好地 解决实际问题。
最值问题在金融中的应用
决策问题：在决策科学 中，最值问题也是非常 重要的工具。例如，在 风险评估和决策分析中 ，需要用到最值来衡量 极端情况下的风险和收 益。
THANKS
感谢观看
要点三
中心极限定理
中心极限定理是概率论中的另一个重 要定理，它描述了在独立随机试验中 ，随着试验次数的增加，试验结果的 平均值将逐渐接近正态分布。在数列 中，可以利用中心极限定理来求解一 些随机变量的最值问题。
06
数列中的最值问题的总结 与展望
最值问题的总结与回顾
最大值与最小值
01
数列中的最大值和最小值是两个最基本的最值问题，它们通常
05
数列中的最值问题的扩展
最值问题的多变量扩展
变量扩展
在数列中，最值问题通常涉及多个变量，需要对多个变量 进行优化。多变量最值问题需要找到一组变量的最优组合 ，使得这组变量的函数值达到最小或最大。
约束条件
多变量最值问题通常存在各种约束条件，如非负约束、等 式约束、不等式约束等。需要在满足约束条件下，求解最 值问题。
等差数列中的最值问题
定义
等差数列中的最值问题是指在 等差数列中寻找满足条件的最
大值或最小值。
性质
等差数列的通项公式为$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_1$为 首项，$d$为公差。
专题08 数列中的最值问题【解析版】
第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+ ，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)等差数列中Sn的最值问题(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。
数列求最大值练习题
数列求最大值练习题问题描述小明正在研究数学中的数列，老师给了他几个练题，要求他求出每个数列中的最大值。
请帮小明完成以下练题：1. 数列A：给定一个数列A，求出数列A中的最大值。
2. 数列B：给定一个数列B，其中的元素是从1开始的连续整数，即数列B的第一个元素是1，第二个元素是2，以此类推。
求出数列B中的最大值。
3. 数列C：给定一个数列C，其中的元素是每个正整数的平方，即数列C的第一个元素是1^2=1，第二个元素是2^2=4，以此类推。
求出数列C中的最大值。
4. 数列D：给定一个数列D，其中的元素是 Fibonacci 数列的前10个数，即数列D的第一个元素是0，第二个元素是1，第三个元素是1，以此类推。
求出数列D中的最大值。
解答1. 数列A的最大值为{A的最大值}。
2. 数列B的最大值为{B的最大值}。
3. 数列C的最大值为{C的最大值}。
4. 数列D的最大值为{D的最大值}。
计算过程1. 数列A的最大值可通过遍历数列A中的每个元素，将当前元素与已知最大值进行比较，更新最大值即可。
2. 数列B是从1开始的连续整数，所以最大值即为数列的最后一个元素，即最大值为{B的最后一个元素}。
3. 数列C中的元素是正整数的平方，由于平方的结果会越来越大，所以数列C的最大值即为第C的长度，即最大值为{C的长度}。
4. 数列D是 Fibonacci 数列的前10个数，可通过递归或循环的方式计算出 Fibonacci 数列并找到最大值。
总结通过完成上述练习题，小明可以加深对数列的理解，并掌握求最大值的方法。
数列在数学中具有广泛的应用，掌握求最大值的技巧对于解决实际问题非常有帮助。
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数列中常见的最值问题
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,01>a 若20032004200320040,0,a a a a +>⋅<
（1） 试求公差d 的取值范围（用1a 表示）；
（2） n S 取得最大值的n 值为多少?
（3） 使得0>n S 成立的最大自然数n 的值为多少？
例1设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,01>a 若20032004200320040,0,a a a a +>⋅<
（1） 试求公差d 的取值范围（用1a 表示）；
（2） n S 取得最大值的n 值为多少?
（3） 使得0>n S 成立的最大自然数n 的值为多少？
练习：
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0a 1<, 且 135S S =, 则n S 有最______值，此时n 的值为______.
例2 数列{}n a 的首项1536a 1=，公比2
1q =
，用n T 表示它的前n 项之积，则n T 取得最大值时n 的 值为多少?
例3 数列{}n a 的通项公式n n 9.0n a ⨯=，试问：此数列中是否存在最大项？若有，说明是第几项； 若没有，说明理由。
二、 方法提炼——求数列中常见的最值问题的方法
思考练习：数列{a n }的通项公式为9897
--=n n a n ，则数列{a n }的前30项中最大和最小的项分别是 （ ）
A. 301a ,a
B. 91a ,a
C. 910a ,a
D. 3010a ,a
四、小结
五、分层作业（A 组必做，B 组选做）
A 组
1．在等差数列{a n }中，公差0d <，且|a ||a |73= ，设数列前n 项和为n S ，问: n 为何值时n S 最大？
2．若数列{}n a 满足1722n n a -=（n ∈N*），用n T 表示它的前n 项之积，试求n T 取得最大值时n 的取值.
3．已知156
2+=
n n a n （n ∈N*）求数列{a n }的最大值. B 组 1．等差数列{}n a 的前n 项之和为n S .已知：当且仅当5n =时，n S 有最小值.
(1)当n 取怎样的值时，分别有0,0,0n n n S S S =><?
(2)n a 是否可能等于零？试说明理由；
(3)若7872a a +=,问数列{}n a 中有多少项满足9260n a -≤≤?
2．等比数列{}n a 的首项11536a =，公比q 12
=-
，用n T 表示它的前n 项之积，则n |T |的最大项 是第几项? n T 的最大项是第几项?
3．已知数列{}n a 满足1111,()(1)0n n n n a a a a a ++=+--=，试求10a 的最大值与最小值.
4．已知)1(2)()1()(2-=-=x x g x x f ，，数列{}a n 满足,21=a 1()n n a a +-⋅0)()(=+n n a f a g ， 数列{}b n 满足)()(1+-=n n n a g a f b ，试求{}b n 最大项和最小项.。