15-3方程的解法
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
五年级 简易方程
第五章简易方程一、用字母表示数（1）在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。
数与数之间的乘号不能省略。
a×a可以写作a·a ，读作a的平方，表示两个a相乘。
2a表示a+a（2）数字和字母相乘，省略乘号时要把数字写在前面。
（如b×4写作4b ）练习题：1、省略乘号，写出下列格式。
x×y( ) 7×a( ) 1×a( ) y ×3+9( )2.下面式子对吗？如果不对请改正过来。
㎡写作m×2（） a×b写作ba（） 1×a写作1a（）。
3.用含有字母的式子表示下面的数量关系。
a与b的差（） x与8.5的积（）比b多c的数（）y的4倍（）b除c（） x减去a的2倍（）4.填一填列式子（1）小红体重36千克，比小莉重a千克，小红体重（）千克。
（2）李佳有10元钱，买钢笔用去x元，还剩（）元。
（3）超市运回10箱方便面，每箱X元，卖出180袋。
用含有字母的式子表示超市还剩下方便面多少袋（）根据这个式子，求当X=24时，超市还剩方便面多少袋？（）总结：通过以上的例子，大家要理解用字母可以表示任何数字，以及当数字与字母相乘，或者是字母与字母相乘的时候，可以把乘号简写，或者是省略。
但是省略时数字一定要写到字母的后面。
例如：8Xa=___________________二、1、运算定律，用字母表示（1）加法交换律： a+b=b+a(2)加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)(3)乘法交换律： ab=ba（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)（5）乘法分配律：(a+b)c=ac+bc例题：a+18=（a+12）+b=m*2.5*0.4=m-a-b=2、图形公式（1）长方形周长：c=2(a+b) 面积：s=ab （2）正方形周长：c=4a 面积：s=a×a （3）平行四边形面积：s=ah（4）三角形面积：s=ah÷2（5）梯形面积：s=（a+b）h÷2例题：已知长方形的长是宽的1.5倍，如果用a表示宽，用表示周长，请你用含有字母的式子表示长方形的周长。
十几减几的计算方法
十几减几的计算方法首先，我们来看一些简单的十几减几的计算例子。
比如，15减3等于多少？这个问题对于很多人来说可能是很简单的，因为我们可以直接在心中进行计算，15减3等于12。
但是对于一些小朋友或者刚接触这类问题的人来说，可能就需要借助一些具体的计算方法来解决这个问题。
其实，十几减几的计算方法可以分为两种情况来进行处理，一种是在心中进行计算，另一种是通过列竖式来进行计算。
首先，我们来看一下在心中进行计算的方法。
比如，对于15减3这个问题，我们可以先将15拆分为10和5，然后再减去3，即10减3等于7，再加上5，最终得到的结果就是12。
这种方法虽然简单，但对于一些小朋友来说可能还是有一定难度，因为需要一定的心算能力和逻辑思维能力。
另一种方法是通过列竖式来进行计算。
列竖式是一种非常直观和规范的计算方法，可以帮助我们更清晰地看到每一步的计算过程。
比如，对于15减3这个问题，我们可以写成：```。
15。
3。
-----。
```。
然后从个位开始依次相减，得到的结果就是12。
通过列竖式的方法，我们可以更加直观地看到每一步的计算过程，对于一些小朋友或者刚接触这类问题的人来说可能更容易理解和掌握。
除了以上介绍的两种方法外，还有一种更加简便的计算方法，即利用数学法则进行计算。
比如，对于15减3这个问题，我们可以利用加法的逆运算来进行计算，即15减3等于15加上-3，最终得到的结果还是12。
这种方法虽然可能需要一定的数学基础，但对于一些善于思考和总结的人来说可能更加方便和快捷。
总的来说，十几减几的计算方法并不复杂，只要掌握了正确的技巧，就能够轻松应对各种情况。
通过在心中进行计算、利用列竖式进行计算以及利用数学法则进行计算等方法，我们可以更加轻松地解决这类问题。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地理解和掌握十几减几的计算方法，从而在日常生活中能够更加便捷地进行计算。
专题5.6 特殊一元一次方程的解法的七大技巧浙教版解析版
专题5.6 特殊一元一次方程的解法的七大技巧【浙教版】【题型1 分母化整】 (1)【题型2 利用倒数关系去括号】 (3)【题型3 整体思想的应用】 (4)【题型4 先约分，再去分母】 (6)【题型5 先合并再解方程】 (7)【题型6 先拆分再合并】 (8)【题型7 分组通分】 (10)【题型1分母化整】【例1】解方程：x−40.2−x−30.5=1.6【分析】根据解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次计算可得【详解】去分母，得：5（x﹣4）﹣2（x﹣3）＝1.6，去括号，得：5x﹣20﹣2x+6＝1.6，移项，得：5x﹣2x＝1.6+20﹣6，合并同类项，得：3x＝15.6，系数化为1，得：x＝5.2．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式1-1】解方程：x10.25−x−20.5=5．【分析】先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，解出x的值即可．【详解】解：x10.25−x−20.5=5，去分母得，4（x+1）﹣2（x﹣2）＝5，去括号得，4x+4﹣2x+4＝5，移项得，4x ﹣2x ＝5﹣4﹣4，合并同类项得，2x ＝﹣3，系数化为1得，x =−32．【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【变式1-2】解方程：0.3x−0.40.2+2=0.5x−0.20.3．【答案】x =4【分析】利用分数的基本性质，先将含有的小数化为整数，再按步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行求解即可．【详解】解：原方程可化为：3x−42+2=5x−23，去分母，得：3(3x−4)+12=2(5x−2)，去括号，得：9x−12+12=10x−4，移项，得：9x−10x =−4，合并同类项，得：−x =−4，系数化为1，得：x =4.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式1-3】解方程4x−1.50.5−0.5x−0.080.02=1.2−x 0.1+2.【答案】x=-137【详解】试题分析：将方程变形为40x−155−50x−82=12－10x +2，然后通过去分母，移项合并，x 前面系数化为1解出x 即可．试题解析：40x−155−50x−82=12－10x +2，8x －3－(25x －4)＝12－10x ＋2，8x －3－25x ＋4＝12－10x ＋2，-7x ＝13，x ＝ -137．点睛：一元一次方程分母出现小数时，可以先将分母化为整数然后再求解．【题型2 利用倒数关系去括号】【例2】解方程：3x 22−1=【答案】−928【分析】按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．【详解】3x +22−1=3x 22−1=2x−14−2x 15，10（3x +2）−20=5（2x−1）−4（2x +1），30x +20−20=10x−5−8x−4，30x−10x +8x =−5−4−20+20，28x =−9，x =−928．【点睛】此题考查了一元一次方程，解题的关键是熟悉一元一次方程的解题步骤．【变式2-1】解方程：32[23(x 4−1)−2]−x =2．【分析】根据去括号、移项、合并同类项、化系数为1，求出方程的解即可．【详解】解：32[23(x 4−1)−2]−x =2去括号得：14x ﹣1﹣3﹣x ＝2，合并同类项得：−34x ＝6，系数化为1得：x ＝﹣8．【点睛】本题考查了解一元一次方程，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号是解题的关键．【变式2-2】解方程：2x−73=+1【答案】x =2【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x 系数化为1，即可求出解．【详解】解：2x−73+1去分母得：2(2x−7)=3(2−3x )+6，去括号得：4x−14=6−9x +6，移项得：4x +9x =6+6+14，合并得：13x =26，解得：x =2．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．【变式2-3】解方程：79{97[15（x 23+4）+6]+9}＝1．【分析】去括号、去分母、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可．【详解】解：去括号，可得：15（x 23+4）+6+7＝1，去分母，可得：x+2+12+195＝15，移项，可得：x ＝15﹣2﹣12﹣195，合并同类项，可得：x ＝﹣194．【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【题型3 整体思想的应用】【例3】解方程16(20x +50)+23(5+2x)−12(4x +10)=0【分析】先去分母，方程两端同乘各分母的最小公倍数，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．【详解】解：原方程去分母得：20x+50+4（5+2x ）﹣3（4x+10）＝0，去括号得：20x+50+20+8x ﹣12x ﹣30＝0，合并同类项得：16x+40＝0，化系数为1得：x =−52，故答案为−52．【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．【变式3-1】解方程：(x−4)−(x−4)−12=【答案】x =6.2【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可．【详解】解：(x−4)−(x−4)−12=去分母得：6(x−4)−3(x−5)=18−2(x−2) ，去括号得：6x−24−3x +15=18−2x +4，移项合并得：5x =31，解得：x =6.2．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．【变式3-2】解方程：45（x ﹣7）＝6−15（x ﹣7）．【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．【详解】解：45(x −7)=6−15(x −7)．45(x −7)+15(x −7)=6，x −7=6∴原方程的解为x =13．【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式3-3】解方程：45(x +7)=1−65(x +7)．【答案】x =−132【详解】解：45(x +7)=1−65(x +7)．45(x +7)+65(x +7)=1，2(x +7)=1x +7=12∴原方程的解为x =−132．【点睛】本题主要考查解方程，掌握解方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键．【题型4 先约分，再去分母】【例4】解方程：2x−28=4x−612−3．【答案】x =39【分析】先去分母，再去括号，然后移项，最后合并同类项后，系数化为1，得出答案．【详解】2x−28=4x−612−3解：2x−28=4x−612−3x−14=2x−36−33(x−1)=2(2x−3)−363x−3=4x−6−363x−4x =−6−36+3−x =−39x =39．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键．【变式4-1】解方程：3y−14−1=4y 146．【答案】43【分析】根据解一元一次方程的一般步骤解方程即可求解．【详解】解：3y−14−1=4y 1463y−14−1=2y +73去分母得 3(3y−1)−12=4(2y +7)，去括号得 9y−3−12=8y +28，移项得 9y−8y =28+3+12，合并同类项得 y =43．【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题关键．【变式4-2】解方程：x−1−4x 3=33x 2112【答案】先去分母、去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1，即可得到答案；【详解】解：x−1−4x 3=33x +2112x−1−4x 3=11x +74去分母，得：12x−4(1−4x)=3(11x +7)去括号、移项，得：12x +16x−33x =21+4合并同类项，得：−5x =25系数化为1，得：x =−5；【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法进行解题．【变式4-3】解方程：x−4x 26=2−2x−44．【答案】x =4【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可．【详解】解：2−2x−44x−2x +13=2−x−22去分母，得：6x−2(2x +1)=12−3(x−2)，去括号，得：6x−4x−2=12−3x +6，移项，合并，得：5x =20，系数化1，得：x =4．【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．【题型5 先合并再解方程】【例5】解方程：5x 12−13=−7x 12+53．【答案】x =2【详解】解：5x 12−13=−7x 12+53．，方程整理得：5x 12+7x 12=53+13，解得x =2．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．【变式5-1】解方程：5x 16−13=−27x 16+83．【答案】x =32【详解】解：5x 16−13=−27x 16．，方程整理得：5x 16+27x 16=13+83，解得x =32．【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的方法与步骤”是解本题的关键．【变式5-2】解方程: y 4−2314=5y 4+514．【答案】y =−2【详解】y 4−2314=5y 4+514y 4−5y 4=514+2314，−y =2，y =−2．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【变式5-3】解方程: y 9−238=51y 9+98．【答案】y =−1825．【详解】y 9−238=51y 9+98y 9−51y 9=98+238，−50y 9=4，y =−1825．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．【题型6 先拆分再合并】【例6】解方程：1−2y 3−4y =1−y 26【答案】y =−227【分析】先去分母，再去括号，再移项，再合并同类项，最后系数化1即可．【详解】解：1−2y 3−4y =1−y 262−4y−24y =6−(y +2)2−28y =4−y−27y =2y =−227．【点睛】本题考查解一元一次方程，能够数量掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．【变式6-1】解方程:7x−13−=【答案】x =4【分析】（1）去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，按步骤计算即可；【详解】解：7x−13−5x 12=2−3x 24，去分母得：4(7x−1)−6(5x +1)=24−3(3x +2)去括号得：28x−4−30x−6=24−9x−6移项得：28x−30x +9x =24−6+4+6合并同类项得：7x =28系数化为1得， x =4【变式6-2】解方程：2x−13−3x 16=1．【答案】x =9【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤即可解答．【详解】解：去分母，可得：2(2x−1)−(3x +1)=6，去括号，可得：4x−2−3x−1=6，移项，可得：4x−3x =6+2+1，合并同类项，可得：x =9．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解答本题的关键．【变式6-3】解方程：y−y−12=2−y 35；【答案】y =97【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．【详解】解：y−y−12=2−y 35去分母得：10y−5(y−1)=20−2(y +3)，去括号得：10y−5y +5=20−2y−6，移项得：10y−5y +2y =20−6−5，合并同类项得：7y =9，系数化为1度：y =97．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．【题型7 分组通分】【例7】解方程：x 37−x 25=x 16−x 44．【答案】x =−36211【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．化简，得−2x 135=−x−1012．解得x =−36211．【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．【变式7-1】解方程：x−24−2x 15=x 13+x−47．【答案】x =−194263．【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x−2)−4(2x 1)20=7(x 1)3(x−4)21．化简，得−3x−1420=10x−521．解得x =−194263．【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．【变式7-2】解方程：x−34+2x 33=x 56−x−45．【答案】x =8357【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．=化简，得11x 312=−x 4930．解得x =8357．【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．【变式7-3】解方程：x−27−x 14=x 33−x−48．【答案】x =−34253．【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．=化简，得−3x−1528=5x 3624．解得x =−34253．【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．。
小学数学解方程10种方法,解方程其实很简单(经典集锦)
小学数学解方程10种方法,解方程其实很简单（经典集锦）小学解方程10种方法汇总一、未知数加减乘除1.形如x+a=b或x-a=b的方程。
(遇加同减，遇减同加)例1 x+7=19 遇加同减解：x+7-7=19-7 两边同时减去7X=12例2 x－6=19 遇减同加解：x-6+6=19+6 两边同时加上6x=252.利用等式解形如ax=b或x÷a=b(a不等于0)的方程。
（遇乘同除，遇除同乘）例1 7x=63 遇乘同除解：7x÷7=63÷7两边同时除以7x=9例2 x ÷7=9 遇除同乘解：x÷7×7=9×7两边同时乘以7x=633.利用等式解形如ax+b=c、ax-b=c或x÷a+b=c、x÷a-b=c(a 不等于0)的方程。
（混合运算，先加减再乘除：能计算的要先计算）例1 2x+5=29 有乘法和加法，先算加法，遇加同减解：2x+5-5=29-5 两边同时减去52x=24 遇乘同除2x÷2=24÷2两边同时除以2x=12例2 5x-6=24 有乘法和减法，先算减法，遇减同加解： 5x-6+6=24+6 两边同时加上65x=30 遇乘同除5x÷5=30÷5两边同时除以5x=6例3 x÷7+3=10 有除法和加法，先算加法，遇加同减解：x÷7+3-3=10-3 两边同时减去3x÷7=7 遇除同乘x÷7×7=7×7两边同时乘以7x=49例4 x÷10-6=9 有除法和减法，先算减法，遇减同加x÷10-6+6=9+6 两边同时加上6x÷10=15遇除同乘x÷10×10=15×10两边同时乘以10x=150二、未知数被加上或被减去；4.未知数被加上a+x=b，a+bx=c（解法同上）5.形如b-x=c、b-ax=c的方程。
八年级数学上册15-3分式方程第1课时分式方程及其解法习题新版新人教版
B. m ≥2
C. m ≤2且 m ≠－2
D. m ＜2且 m ≠－2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 【新视角·新定义题】对于实数 a ， b ，定义一种新运算
“△”为： a △ b ＝
，这里等式右边是实数运算.例
−
如：1△3＝
＝－ .则方程 x △(－3)＝－1的解− Nhomakorabea7
8
9
10
11
12
13
9. 已知关于 x 的分式方程
可能是(
D
−
－ ＝1无解，则 m 的值不
+
−
)
A. 0
B. －8
C. －4
D. －2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 已知关于 x 的分式方程
的取值范围是(
C
＋1＝
的解是非负数.则 m
−
−
)
A. m ≤2
所以方程的另一个解为 x ＝ ，
因为 x1＜ x2，所以 x1＝ ， x2＝2.
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13. 【新考法·阅读类比法】对于两个不相等的非零实数 m ，
(−)(−)
n ，分式
的值为零，则 x ＝ m 或 x ＝ n .又因为
一元三次方程的15种解法
一元三次方程的15种解法引言一元三次方程是高中数学中的重要概念之一。
解一元三次方程需要灵活运用代数的各种解法，包括因式分解、配方法、Vieta定理等等。
本文将介绍一元三次方程的15种解法，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
1. 因式分解法对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，当方程左边可以因式分解时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1.将方程左边进行因式分解，得到a(x-r1)(x-r2)(x-r3) = 0的形式；2.令每个括号内的表达式分别等于零，解方程得到x= r1，x = r2，x = r3。
2. 配方法当一元三次方程不能直接进行因式分解时，可以利用配方法来求解。
具体步骤如下：1.将方程的x^3项与x^2项之间的系数去掉；2.构造一个三次方程y^3 + py + q = 0，使得其方程的二次项和常数项的系数与原方程一致；3.根据配方法的原理，使得y + a为一个因式，进而得到新的方程y^3 + py + q = (y+a)(y^2+by+c)；4.令(y^2+by+c)等于零，解出y，再代入原来的方程，得到x的解。
3. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种数值计算的方法，可以用来求解一元三次方程的近似解。
具体步骤如下：1.假设x0为一个初始值，计算f(x0) = ax0^3 +bx0^2 + cx0 + d和f'(x0) = 3ax0^2 + 2bx0 + c；2.根据牛顿迭代法的迭代公式，计算x1 = x0 -f(x0) / f'(x0)；3.重复步骤2，直到满足收敛准则，即|x(n+1) -x(n)| < ε，其中ε是一个预设的小数值。
4. 二倍角公式二倍角公式可以用来求解三次方程中的根。
具体步骤如下：1.将一元三次方程的三次项系数化为1，即将方程变形为x^3 + bx^2 + cx + d = 0；2.计算p = (3b - a^2) / 3和q = (2a^3 - 9ab+ 27c) / 27；3.根据二倍角公式，得到三个根x1 = 2∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x2 = 2∛[-q/2 -√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3，x3 = -∛[-q/2 +√(q^2/4 + p^3/27)] - a/3。
苏科版数学八年级上册第十五章15.3分式方程
第十五章 分式15.3 分式方程第1课时 分式方程及其解法学习目标：1.了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路.2.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法.3.理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法. 重点：掌握解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解分式方程无解的原因.一、知识链接1.下列哪些式子是方程？（1）267=-x （ ） （2）549=- （ ） （3）8+x （ ） （4）312 -x （ ） （5）2131x x =- （ ） （6）132=-yx （ ） （7）132=-y x （ ） （8）5=x （ ） 2.解一元一次方程的一般需经过哪些步骤呢？结合例题回顾.3.找出下列各组分式的最简公分母： （1）11+x 与11-x 的最简公分母是 .（2）21+a 与412-a 的最简公分母是 . 二、新知预习问题1：什么是分式方程？要点归纳：分母中含有________的方程叫做分式方程.问题2：解分式方程的一般步骤有哪些？要点归纳：(1)去分母：在方程的两边都乘以___________，化成整式方程； (2)解这个整式方程：去括号、移项、合并同类项；(3)检验：把解得的根代入______________，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解. 三、自学自测1.下列各式中，分式方程是 （ ）A.65x x = B.1051x x =- C.2341x x =+ D.()1033x xa a =-≠2.解分式方程2211x x x++--＝3时，去分母后变形为 （ ） A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1) B ．2－x ＋2＝3(x －1) C ．2－(x ＋2)＝3(1－x) ． D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)3.解方程：(1)x －2x ＋2－1＝3x 2－4；(2)2x 2x －3－12x ＋3＝1.四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：分式方程的概念 问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所解：设江水的流速为 x 千米/时.依题意，得问题2：此方程与我们所学过的方程有何差别？所列方程是整式方程吗？要点归纳： 的方程叫做分式方程.例1：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？437x y +=；13(2)2x x =-；(1)(4)1x x x -=-；3(3)2x x π-=；162105x x -+=（）；152x x -=（）；2131x x x ++=.方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点2：分式方程的解法 问题1：如何求分式方程vv -=+30603090的解呢？问题2：分式方程2510512-=-x x 有解吗？问题3：解分式方程的基本思路是什么？需要注意的问题是什么？例1：解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x－3.方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．例2：关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.例3：若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值．方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．1.解方程：(1)2112x x =--；(2)2313162x x -=--. 2.若关于x 的方程无解，求a 的值.A.3＋x 2＝2＋x 5B.2x －17＝x 2C.x π＋1＝2－x 3D.12＋x＝1－2x 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ） 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ） A.2（x -8)+5x=16(x -7) B.2(x -8)+5x=8 C.2(x -8)-5x=16(x -7) D.2(x -8)-5x=8 4．若关于x 的分式方程2213m x x x +-=-无解，则m 的值为 ( ) A ．－1，5 B ．1 C ．－1.5或2 D ．－0.5或－1.53. 解方程：311x a x x--=-第十五章 分式15.3 分式方程第2课时 分式方程的应用学习目标：1.理解实际问题中的数量关系.3.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.重点：能通过列分式方程解决实际问题.难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程.一、知识链接1.解方程：2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案.3.列方程（组）解应用题的关键是什么？二、新知预习4.完成下面解题过程：小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系；答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解；解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得_________________________.解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________.答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为：第一步，审清题意；第二步，根据题意设未知数；第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________；241122x x x x +=--第五步，作答． 三、自学自测1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )A.300x －2060＝3001.2xB.300x －3001.2x ＝20C.300x －300x ＋1.2x ＝2060D.300x ＝3001.2x －2060 四、我的疑惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________二、要点探究探究点1：利用分式方程解决工程问题 例1：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ . . 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？探究点2：利用分式方程解决行程问题例2：朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？方法总结：明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.1.小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？2.两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？例3：佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．(1)求第一次水果的进价是每千克多少元？(2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？掌握这次活动的流程．1.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为()A.180x－180x＋2＝3 B.180x＋2－180x＝3 C.180x－180x－2＝3 D.180x－2－180x＝32.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度.3.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.4.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？。
方程式解题100道
方程式解题100道下面是100道方程式解题的例子，以及相关的解法和讨论。
以下为了简化分析过程，我们假设方程的根属于实数范围。
1.解方程2x+5=9解法：将式子右边的常数5减去，得到2x=4、再将等式两边同时除以2，得到x=22.解方程3(x+2)=15解法：首先，将括号里的表达式乘以3，得到3x+6=15、然后，将式子右边的常数6减去，得到3x=9、最后，再将等式两边同时除以3，得到x=33.解方程4x-6=10。
解法：将式子右边的常数6加上，得到4x=16、然后，将等式两边同时除以4，得到x=44.解方程x/2+3=7解法：首先，将式子左边的表达式乘以2，得到x+6=14、然后，将式子右边的常数6减去，得到x=85.解方程2(3x-1)=5x+3解法：首先，将括号里的表达式乘以2，得到6x-2=5x+3、然后，将等式两边同时减去5x，得到x-2=3、最后，将式子右边的常数2加上，得到x=56.解方程3(2x+1)=2(3x-4)。
解法：首先，将两边的括号里的表达式按照分配律展开，得到6x+3=6x-8、然后，移项将方程化简，得到3=-8、这个方程没有解，表示原方程无解。
7.解方程x^2-4=0。
解法：可以将这个方程看作是一个二次方程，将它改写为(x-2)(x+2)=0。
因此，方程的根为x=2和x=-28.解方程x^2+5x+6=0。
解法：这个方程可以通过因式分解来解，将它改写为(x+2)(x+3)=0。
因此，方程的根为x=-2和x=-39.解方程x^2-9=0。
解法：这个方程可以通过差平方公式来解，将它改写为(x+3)(x-3)=0。
因此，方程的根为x=3和x=-310.解方程x^2+2x+1=0。
解法：这个方程可以通过求根公式来解，根据公式 x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)，将 a=1，b=2，c=1 代入，得到 x = (-2 ±√(4 - 4)) / 2，即 x = -1以上是一些简单方程的解法，接下来我们将涉及一些稍复杂的方程。
八年级数学上册15-3分式方程第5课时分式方程的应用(3)__购买问题习题新版新人教版
C. 赔了
D. 无法判断
【点拨】
设玩具 A 的成本为 x 元，依题意得
−
×100％＝50
％，解得 x ＝60，经检验 x ＝60是原方程的根.设玩具 B
−
的成本为 y 元，依题意得
×100％＝－40％，解得 y
＝150，经检验 y ＝150是原方程的解.90－60＋(90－150)
味的奶油草莓贵10元，用800元购买 A 种口味奶油草莓的
数量与用600元购买 B 种口味奶油草莓的数量相同，问购
买的 A ， B 两种口味的奶油草莓每盒分别是多少元？
【解】设 B 种口味奶油草莓每盒的价格为 x 元，则 A 种口
味奶油草莓每盒的价格为( x ＋10)元，
根据题意得
＝
，解得 x ＝30，经检验， x ＝30是
李所进甜瓜的质量为(
B
)
A. 180 kg
B. 200 kg
C. 240 kg
D. 300 kg
8. [2024淄博一模]某超市同时卖出了两个进价不同的玩具 A
和 B ，售价均为90元，按成本计算，超市人员发现玩具 A
盈利了50％，而玩具 B 却亏损了40％，则这次超市
(
C
)
A. 不赚不赔
B. 赚了
方案.
【解】设该商场购进 m 个 A 种书包，
则购进(2 m ＋5)个 B 种书包，
≥ ，
根据题意得ቊ
+ ( + ) ≤ ，
解得19≤ m ≤20.
∵ m 为正整数，∴ m 的值可以为19，20.
∴该商场共有2种进货方案，方案1：购进19个 A 种书
包，43个 B 种书包；方案2：购进20个 A 种书包，45
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方程的解法
教学目标：
1. 掌握一元一次方程，二元一次方程的解法；
2. 掌握一元二次方程的解法。
重点难点：
1. 一元二次方程的解法。
授课过程：
一．一元一次方程及二元一次方程（组）
【知识梳理】
1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）
的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题．
2．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ．
3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组．
4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以
借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．
【思想方法】
方程思想和转化思想
【例题精讲】
例1． （1）解方程
.x x +--=21152156
（2）解二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=+27271523y x y x 解：
例2．已知x =-2是关于x 的方程()x m x m -=-284的解，求m 的值．
方法1 方法2
例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y ，则y=______________． ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+65115y x y x ⎩⎨⎧-=+=+2102
y x y x ⎩⎨⎧==+158xy y x ⎩⎨⎧=+=31
y x x 032=-+y x
例5．已知a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-=-+0
2052c b a c b a ，则a ：b ：c= ．
例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，
那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10
元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费．
①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该
交电费多少元（用 A 表示）？ ．
②右表是这户居民 3 月、4 月的用电
情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A 度为 ．
【当堂检测】
1．方程x -=52的解是___ ___．
2．一种书包经两次降价10%，现在售价a 元，则原售价为_______元．
3.若关于x 的方程x k =-153
的解是x =-3，则k =_________． 4．若⎩
⎨⎧-==11y x ，⎩⎨⎧==22y x ，⎩⎨⎧==c y x 3都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）：
（1）()x x -=--3252； （2）....x x +=-0713715023；
（3）⎩⎨
⎧=+=+8
32152y x y x ； （4）x x -+=-2114135；
6．当x =-2时，代数式x bx +-22的值是12，求当x =2时，这个代数式的值．
7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每
人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒
乓球板价值多少？
8．甲、乙两人同时解方程组8(1)5 (2)mx ny mx ny +=-⎧⎨-=⎩
由于甲看错了方程①中的m ，得到的解是42x y =⎧⎨=⎩
，乙看错了方程中②的n ，得到的解是25x y =⎧⎨=⎩，试求正确,m n 的值．
二． 一元二次方程
【知识梳理】
1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax 2+bx +c =0 (a ≠0)
2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法
3．求根公式：当b 2-4ac≥0时，一元二次方程ax 2+bx +c =0 (a ≠0)的两根为
4．根的判别式： 当b 2-4ac ＞0时，方程有 实数根．
当b 2-4ac=0时， 方程有 实数根．
当b 2-4ac ＜0时，方程 实数根．
【思想方法】
1. 常用解题方法——换元法
2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想
【例题精讲】
例1．选用合适的方法解下列方程：
(1) (x-15)2-225=0； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；
(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 2+22x=0
例2 ．已知一元二次方程
0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值．
例3．用22cm 长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和
宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
a
ac b b x 242-±-=
例4．已知关于x 的方程x 2―(2k+1)x+4(k -0.5)=0
(1) 求证：不论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形ABC 的一边长为a=4，另两边的长b ．c 恰好是这个方程的
两个根，求△ABC 的周长．
【当堂检测】
一、填空
1．下列是关于x 的一元二次方程的有_______ ①
02x 3x 12=-+ ②01x 2=+ ③)3x 4)(1x ()1x 2(2--=- ④06x 5x k 22=++ ⑤021x x 2432=-- ⑥0x 22x 32=-+
2．一元二次方程3x 2=2x 的解是 ．
3．一元二次方程(m-2)x 2+3x+m 2-4=0有一解为0，则m 的值是 ．
4．已知m 是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m = ．
5．一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则的值为 ．
6．关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根, 则k 的取值范
围是__________．
7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以
是 ．
二、选择题：
8．对于任意的实数x,代数式x 2－5x ＋10的值是一个( )
A.非负数
B.正数
C.整数
D.不能确定的数
9．已知(1-m 2-n 2)(m 2+n 2)=-6,则m 2+n 2的值是（ ）
A.3
B.3或-2
C.2或-3
D. 2
10．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0（C ）x 2＋x ＋3＝0（D ）x 2＋2x －1＝0
11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）
A ．若x 2=4，则x=2
B ．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1
C ．方程x 2+2x+2=0实数根为0个
D ．方程x 2-2x-1=0有两个相等的实数
根
12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x 2-9x+20=0的一个根,则这个三角形
的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21
三、解下方程：
(1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x 2-4x-4=0
(4)x 2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0。