2022年中考数学真题分类汇编：阅读材料题(含答案)

2021-2022年中考数学真题分类汇编阅读材料题1.(2022·湖南省)阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asinA =bsinB．证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD=asinB在Rt△ACD中，CD=bsinA∴asinB=bsinA∴asinA=bsinB根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：bsinB =csinC；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)2.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积．3.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)．(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0<x2、|x1|>|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=34．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值；②若NP=2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦⋅韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−ba ，x1x2=ca”.此关系通常被称为“韦达定理”．4. (2022·内蒙古自治区赤峰市)阅读下列材料 定义运算：min|a ，b|，当a ≥b 时，min|a ，b|=b ；当a <b 时，min|a ，b|=a ． 例如：min|−1，3|=−1；min|−1，−2|=−2． 完成下列任务(1)①min|(−3)0，2|=______； ②min|−√14，−4|=______．(2)如图，已知反比例函数y 1=kx 和一次函数y 2=−2x +b 的图象交于A 、B 两点．当−2<x <0时，min|kx，−2x +b|=(x +1)(x −3)−x 2，求这两个函数的解析式．5. (2022·湖南省永州市)已知关于x 的函数y =ax 2+bx +c ． (1)若a =1，函数的图象经过点(1,−4)和点(2,1)，求该函数的表达式和最小值； (2)若a =1，b =−2，c =m +1时，函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围． (3)阅读下面材料：设a >0，函数图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若A ，B 两点均在原点左侧，探究系数a ，b ，c 应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面： ①因为函数的图象与x 轴有两个不同的交点，所以Δ=b 2−4ac >0；②因为A ，B 两点在原点左侧，所以x =0对应图象上的点在x 轴上方，即c >0； ③上述两个条件还不能确保A ，B 两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b2a <0． 综上所述，系数a ，b ，c 应满足的条件可归纳为：{a >0Δ=b 2−4ac >0c >0−b 2a<0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=ax2−2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．6.(2022·浙江省金华市)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：作法如图2．1.作直径AF．2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．3.连结AM，MN，NA．(1)求∠ABC的度数．(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．7.(2022·吉林省)下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线l1//l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设l1与l2之间的距离为ℎ，则S△ABC=12BC⋅ℎ，S△DBC=12BC⋅ℎ．∴S△ABC=S△DBC．【探究】(1)如图②，当点D在l1，l2之间时，设点A，D到直线l2的距离分别为ℎ，ℎ′，则S△ABCS△DBC=ℎℎ′．证明：∵S△ABC=______．(2)如图③，当点D在l1，l2之间时，连接AD并延长交l2于点M，则S△ABCS△DBC =AMDM．证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°．∴AE//______．∴△AEM∽______．∴AEDF =AMDM．由【探究】(1)可知S△ABCS△DBC=______，∴S△ABCS△DBC =AMDM．(3)如图④，当点D在l2下方时，连接AD交l2于点E.若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，则S△ABCS△DBC的值为______．8.(2022·四川省凉山彝族自治州)阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mn(m+n)=−1×1=−1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2=______.x1x2=______．(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm +mn的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1 s −1t的值．9.(2022·山西省)阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．下面根据抛物线的顶点坐标(−b2a ,4ac−b24a)和一元二次方程根的判别式Δ=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行分析：(1)a>0时，抛物线开口向上．①当Δ=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点(如图1)．②当Δ=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0.∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点(如图2)．∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．③当Δ=b2−4ac<0时，……(2)a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______(从下面选项中选出两个即可)；A.数形结合B.统计思想C.分类讨论D.转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0，Δ<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识．例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为______．10.(2021·四川省凉山彝族自治州)阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550−1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707−1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N，比如指数式24=16可以转化为对数式4=log216，对数式2=log39可以转化为指数式32=9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a(M⋅N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：设log a M=m，log a N=n，则M=a m，N=a n，∴M⋅N=a m⋅a n=a m+n，由对数的定义得m+n=log a(M⋅N)．又∵m+n=log a M+log a N，∴log a(M⋅N)=log a M+log a N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：①log232=______ ，②log327=______ ，③log71=______ ；(2)求证：log a MN=log a M−log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0)；(3)拓展运用：计算log5125+log56−log530．11.(2021·宁夏)阅读理解：如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EF//BC，可以得到以下结论：AHAD =EFBC．拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC=3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度(单位：厘米)随着排数(单位：排)的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘160______ ______ ______ …米若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？12.(2021·贵州省安顺市)(1)阅读理解我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；(2)问题解决勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形.若AC=12，BC=5，求EF的值；(3)拓展探究如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形.设大正方形N的边长为定值n，小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d．已知∠1=∠2=∠3=α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的关系式，并写出该关系式及解答过程(b与c的关系式用含n的式子表示)．13.(2021·湖北省鄂州市)数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现由5+5=2√5×5=10；13+13=2√13×13=23；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8；15+5>2√15×5=2；0.2+3.2>2√0.2×3.2=1.6；12+18>2√12×18=12．猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立)．猜想证明∵(√a−√b)2≥0，∴①当且仅当√a−√b=0，即a=b时，a−2√ab+b=0，∴a+b=2√ab；②当√a−√b≠0，即a≠b时，a−2√ab+b>0，∴a+b>2√ab．综合上述可得：若a>0，b>0，则a+b≥2√ab成立(当且仅当a=b时等号成立)．猜想运用对于函数y=x+1x(x>0)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y=1x−3+x(x>3)，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题.高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S(米 2).问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？14.(2021·内蒙古自治区赤峰市)阅读理解：在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1,y1)，点N的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”.如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．(1)已知点A的坐标为(2,0)．①若点B的坐标为(4,4)，则点A、B的“相关矩形”的周长为______ ；②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；(2)已知点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)若使函数y=kx的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．15.(2021·山西省)(1)计算：(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2．(2)下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2x−1 3>3x−22−1．解：2(2x−1)>3(3x−2)−6……第一步4x−2>9x−6−6……第二步4x−9x>−6−6+2……第三步−5x>−10……第四步x>2……第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______ (运算律)进行变形的；②第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．16.(2021·湖南省张家界市)阅读下面的材料：如果函数y=f(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，(1)若x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)是增函数；(2)若x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)是减函数．例题：证明函数f(x)=x2(x>0)是增函数．证明：任取x1<x2，且x1>0，x2>0．则f(x1)−f(x2)=x12−x22=(x1+x2)(x1−x2).∵x1<x2且x1>0，x2>0，∴x1+x2>0，x1−x2<0．∴(x1+x2)(x1−x2)<0，即f(x1)−f(x2)<0，f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=x2(x>0)是增函数．根据以上材料解答下列问题：(1)函数f(x)=1x (x>0)，f(1)=11=1，f(2)=12，f(3)=______ ，f(4)=______ ；(2)猜想f(x)=1x(x>0)是______ 函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想．17.(2021·山东省济宁市)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．(1)阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD−A′B′C′D′(图1)，因为在平面AA′C′C中，CC′//AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．(2)如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是______ ；②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．18.(2021·山西省)阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法 图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线(或曲线)，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F =95C +32得出，当C =10时，F =50.但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式1R =1R 1+1R 2求得R 的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值． 图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：(1)请根据以上材料简要说明图算法的优越性；(2)请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式1R =1R 1+1R 2计算：当R 1=7.5，R 2=5时，R 的值为多少； ②如图，在△AOB 中，∠AOB =120°，OC 是△AOB 的角平分线，OA =7.5，OB =5，用你所学的几何知识求线段OC 的长．19. (2021·安徽省)【阅读理解】我们知道，1+2+3+⋯+n =n(n+1)2，那么12+22+32+⋯+n 2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n 个n n+n+⋯+n ⏟ ，即n 2，这样，该三角形数阵中共有n(n+1)2个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+⋯+n 2．【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n−1行的第一个圆圈中的数分别为n−1，2，n)，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______ ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+⋯+n2)=______ ，因此，12+22+32+⋯+ n2=______ ．【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+⋯+201721+2+3+⋯+2017的结果为______ ．20.(2021·广西壮族自治区南宁市)【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF=∠DFC=90°，∴AE//DF．∵l1//l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE=DF．又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF．∴S△ABC=S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．21.(2021·河南省)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG=∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，(1)分别在射线OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP.射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是______ (填序号)．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．(3)如图3，已知∠AOB=60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE=OF=√3+1.点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC=OD，连接DE，CF，交点为P，当∠CPE=30°时，直接写出线段OC的长．1.(1)证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AD=csinB，在Rt△ACD中，AD=bsinC，∴csinB=bsinC，∴bsinB =csinC；(2)解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠BAC=67°，∠B=53°，∴∠C=60°，在Rt△ACE中，AE=AC⋅sin60°=80×√32=40√3(m)，又∵ACsinB =BCsin∠BAC，即800.8=BC0.9，∴BC=90m，∴S△ABC=12×90×40√3=180√3(m2).2.(1)证明：如图1，连接DC，∵△ABC和△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BC，∠ABC=∠DBE=∠E=∠BDE=60°，∴∠ABC−∠ABD=∠DBE−∠ABD，即∠CBD=∠ABE，∴△CBD≌△ABE(SAS)，∴CD=AE，∠BDC=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDE+∠BDC=120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形，理由如下：如图2，连接CG，∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴AB=CB，BE=BG，∠ABC=∠BCD=∠EBG=∠BGF= 90°，∠EGB=∠GEB=45°，∴∠ABC−∠ABG=∠EBG−∠ABG，即∠CBG=∠ABE，∴△CBG≌△ABE(SAS)，∴CG=AE，∠CGB=∠AEB=45°，∴∠AGC=∠EGB+∠CGB=45°+45°=90°，∴△ACG是直角三角形，即以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形；②由①可知，CG=AE，∠AGC=90°，∴CG2+AG2=AC2，∴AE2+AG2=AC2，∵AE2+AG2=10，∴AC2=10，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2=10，∴AB2=5，∴S正方形ABCD=AB2=5．3.解：(1)当a=1，b=3时，y=x2+3x+c，把x=1，y=1代入得，1=1+3+c，∴c=−3；(2)①由ax2+bx+c=0得，x1=−b−√b2−4ac2a ，x2=−b+√b2−4ac2a，∴AB=x2−x1=√b2−4aca，∵抛物线的顶点坐标为：(−b2a ,4ac−b24a)，∴AE=b2−4ac4a ，OM=b2a，∵∠BAE=90°，∴tan∠ABE=AEAB =34，∴b2−4ac4a ÷√b2−4aca=34，∴b2−4ac=9；②∵b2−4ac=9，∴x 2=−b+32a ，∵OP//MN ，∴NP BP=OM OB ， ∴b 2a ：−b+32a=2， ∴b =2，∴22−4ac =9，∴c =−54a ，∴T =1a 2+165c =1a 2−54a ⋅165=1a 2−4a =(1a −2)2+4， ∴当1a =2时，T 最小=4，即a =12时，T 最小=4．4.1 −45.解：(1)根据题意得{1+b +c =44+2b +c =1a =1，解得{a =1b =2c =1，∴y =x 2−2x +1=(x −1)2，∴该函数的表达式为y =x 2−2x +1或y =(x −1)2， 当x =1时，y 的最小值为0；(2)根据题意得y =x 2−2x +m +1， ∵函数的图象与x 轴有交点，∴Δ=b 2−4ac =(−2)2−4(m +1)≥0， 解得：m ≤0；(3)根据题意得到y =ax 2−2x +3的图象如图所示， 如图1，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a <1a −2+3>0，即{ a <0a <13a >1a >−1， ∴a 的值不存在； 如图2，{ a <0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3>0，即{ a <0a <13a <1a >−1， ∴a 的取值范围为−1<a ≤0， 如图3，{ a <0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3<0，即{ a <0a =13a <1a <−1， ∴a 的值不存在；如图4，{ a >0(−2)2−12a >0−−22a >1a −2+3<0，即{ a >0a <13a <1a <−1∴a 的值不存在； 如图5，{ a >0(−2)2−12a =0−−22a >1a −2+3>0，即{ a >0a =13a <1a >−1， ∴a 的值为13； 如图6，当a =0时，函数解析式为y =−2x +3，函数与x 轴的交点为(1.5,0)， ∴a =0成立；综上所述，a 的取值范围为−1<a ≤0或a =13．6.解：(1)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =(5−2)×18025=108°，即∠ABC =108°； (2)△AMN 是正三角形， 理由：连接ON ，NF ， 由题意可得：FN =ON =OF ， ∴△FON 是等边三角形， ∴∠NFA =60°， ∴NMA =60°，同理可得：∠ANM =60°， ∴∠MAN =60°， ∴△MAN 是正三角形； (3)∵∠AMN =60°， ∴∠AON =120°， ∵∠AOD =360°5×2=144°，∴∠NOD =∠AOD −∠AON =144°−120°=24°， ∵360°÷24°=15， ∴n 的值是15．7.12BC ⋅ℎ DF △DFM AE DF 738.解：(1)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−32=32，x 1x 2=−12=−12，故答案为：32，−12；(2)∵一元二次方程2x 2−3x −1=0的两根分别为m 、n ， ∴m +n =32，mn =−12，∴n m +m n=n 2+m 2mn =(m +n)2−2mnmn =(32)2−2×(−12)−12=−132；(3)∵实数s 、t 满足2s 2−3s −1=0，2t 2−3t −1=0， ∴s 与t 看作是方程2x 2−3x −1=0的两个实数根， ∴s +t =32，st =−12，∴(s −t)2=(s +t)2−4st ， (s −t)2=(32)2−4×(−12)， (s −t)2=174，∴s −t =±√172， ∴1s −1t =t −s st =−(s −t)st=±√172−12=±√17．9.AC 可用函数观点认识二元一次方程组的解(答案不唯一) 10.(1)5 ，3，0(2)设log a M =m ，log a N =n ，则M =a m ，N =a n ， ∴M N=a m a n=a m−n ，由对数的定义得m −n =log a MN ，又∵m −n =log a M −log a N ，∴log a MN =log a M −log a N(a >0,a ≠1,M >0,N >0)； (3)原式=log 5(125×6÷30)=log 525=2．11.400332038012.解：(1)a 2+b 2=c 2(直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方)，证明如下：∵如图①是由直角边长分别为a ，b 的四个全等的直角三角形与中间一个边长为(b −a)的小正方形拼成的一个边长为c 的大正方形，∴4△ADE 的面积+正方形EFGH 的面积=正方形ABCD 是面积， 即4×12ab +(b −a)2=c 2， 整理得：a 2+b 2=c 2；(2)由题意得：正方形ACDE 被分成4个全等的四边形， 设EF =a ，FD =b ， ∴a +b =12①，∵正方形ABIJ 是由正方形ACDE 被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM 拼成，∴E′F′=EF ，KF′=FD ，E′K =BC =5， ∵E′F′−KF′=E′K ， ∴a −b =5②，由①②得：{a +b =12a −b =5，解得：a =172，∴EF =172；(3)c +b =n ，理由如下： 如图③所示：设正方形E 的边长为e ，正方形F 的边长为f ， ∵∠1=∠2=∠3=α，∠PMQ =∠D′OE′=∠B′C′A′=90°，∴△PMQ ∽△D′OE′∽△B′C′A′， ∴OE′C′A′=D′E′B′A′，PMB′C′=PQB′A′， 即ce =en ，bf =fn ， ∴e 2=cn ，f 2=bn ，在Rt △A′B′C′中，由勾股定理得：e 2+f 2=n 2， ∴cn +bn =n 2， ∴c +b =n ．13.解：猜想运用：∵x >0，∴x +1x ≥2√x ⋅1x ， ∴y ≥2，∴当x =1x 时，y min =2， 此时x 2=1， 只取x =1，即x =1时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵x >3， ∴x −3>0， ∴y =1x−3+x =1x−3+(x −3)+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3≥5，∴当1x−3=x −3时，y min =5， 此时(x −3)2=1， ∴x 1=4，x 2=2(舍去) 即x =4时，函数y 的最小值为5．拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，由题意得：9x +12y =63， 即：3x +4y =21， ∵3x >0，4y >0 ∴3x +4y ≥2√3x ⋅4y ， 即：21≥2√12xy ， 整理得：xy ≤14716，即：S ≤14716，∴当3x =4y ，时S max =14716此时x =72，y =218即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为14716．14.(1)①12；②∵若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，∴C(4,2)或(4,−2)，设直线AC的关系式为：y=kx+b将(2,0)、(4,2)代入解得：k=1，b=−2，∴y=x−2，将(2,0)、(4,−2)代入解得：k=−1，b=2，∴y=−x+2，∴直线AC的解析式为：y=x−2或y=−x+2；(2)∵点P的坐标为(3,−4)，点Q的坐标为(6,−2)，设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M(3,−2)，N(6,−4)，的图象过M时，k=−6，当函数y=kx的图象过N时，k=−24，当函数y=kx若使函数y =kx 的图象与点P 、Q 的“相关矩形”有两个公共点，则−24<k <−6．15.解：(1)(−1)4×|−8|+(−2)3×(12)2=1×8−8×14=8−2=6； (2)任务一： ①乘法分配律②五；化系数为1用到性质3，即变不等号方向，其它都不会改变不等号方向； 任务二：x <216.(1)13；14(2)减；证明：任取x 1<x 2，x 1>0，x 2>0，则f(x 1)−f(x 2)=1x 1−1x 2=x 2−x 1x 1x 2，∵x 1<x 2且x 1>0，x 2>0， ∴x 2−x 1>0，x 1x 2>0， ∴x 2−x 1x 1x 2>0，即f(x 1)−f(x 2)>0，∴函数f(x)=1x (x >0)是减函数．17.解：(1)如图1中，连接BC′．∵A′B=BC′=A′C′，∴△A′BC′是等边三角形，∴∠BA′C′=60°，∵AC//A′C′，∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的角，∴两直线BA′与AC所成角为60°．(2)①丙②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．由题意在Rt△MKJ中，∠MJK=90°，MJ=5+3=8，JK=8−(4−2)=6，∴MK=√MJ2+JK2=√82+62=10，∴PM+PN的最小值为10．18.解：(1)图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；(答案不唯一)．(2)①当R1=7.5，R2=5时，1 R =1R1+1R2=17.5+15=5+7.57.5×5=13，∴R=3．②过点A作AM//CO，交BO的延长线于点M，如图，∵OC 是∠AOB 的角平分线，∴∠COB =∠COA =12∠AOB =12×120°=60°．∵AM//CO ，∴∠MAO =∠AOC =60°，∠M =∠COB =60°． ∴∠MAO =∠M =60°． ∴OA =OM ．∴△OAM 为等边三角形． ∴OM =OA =AM =7.5． ∵AM//CO ， ∴△BCO ∽△BAM ． ∴OCAM =BOBM ． ∴OC 7.5=57.5+5．∴OC =3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．19.【规律探究】2n +1；n(n+1)(2n+1)2；n(n+1)(2n+1)6；【解决问题】 1345．20.解：【类比探究】过点E 作EF ⊥CD 于点F ，连接AF ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD =CD =4，∠ADC =90°， ∵DE =CE ，EF ⊥CD ，∴DF =CF =12CD =2，∠ADC =∠EFD =90°， ∴AD//EF ， ∴S △ADE =S △ADF ，∴S△ADE=12×AD×DF=12×4×2=4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，∴∠BDC=∠GCF，∴BD//CF，∴S△BDF=S△BCD，∴S△BDF=12BC×BC=8．21.解：(1)如图1，由作图得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO=∠PHO=90°，∵OE−OC=OF−OD，∴CE=DF，∵CG=12CE，DH=12DF，∴CG=DH，∴OC+CG=OD+DH，∴OG=OH，∵OP=OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，故答案为：⑤．(2)射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：如图2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，∴△DOE≌△COF(SAS)，∴∠PEC=∠PFD，∵∠CPE=∠DPF，CE=DF，∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，∴△OPE≌△OPF(SAS)，∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，∴OP是∠AOB的平分线．(3)如图3，OC<OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PME=90°，由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，∵∠AOB=60°，∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∵∠CPE=30°，∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，∴∠OCP=∠OPC=12(180°−∠POE)=12×(180°−30°)=75°，∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，∴∠OPM=90°−30°=60°，∴∠MPE=105°−60°=45°，∴∠MEP=90°−45°=45°，∴MP=ME，设MP=ME=m，则OM=MP⋅tan60°=√3m，由OE=√3+1，得m+√3m=√3+1，解得m=1，∴MP=ME=1，∴OP=2MP=2，∴OC=OP=2；如图4，OC>OE，连接OP，作PM⊥OA，则∠PMO=∠PMC=90°，同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°，∠MPC=∠MCP=45°，∴OE=OP=√3+1，∵MC=MP=12OP=12OE=√3+12，∴OM=MP⋅tan60°=√3+12×√3=3+√32，∴OC=OM+MC=3+√32+√3+12=2+√3．综上所述，OC的长为2或2+√3．。