共线条件方程
共线条件方程表达式
共线条件方程表达式
共线条件方程，也被称为线性等式约束，是一种用来确定问题可行解的实用工具。
它以一个简单的方式强加到优化问题中，使得待求解问题可以快速有效地解决。
通常情况下，可用共线条件方程解决的优化问题有线性规划、二次规划和最优化等类型，其主要涉及线性和非线性参数最优化。
例如，最小化或最大化目标函数所要求的变量，使用共线条件方程时，必须确保变量值满足共线条件的约束条件，而只有当变量的值满足约束条件时，方程的解才能有意义。
当解出线性规划问题的优化解时，使用共线条件方程可以显著提高求解效率，且可以随时间调整和更新解，因此可以有效的改善解的准确度。
另外，共线条件方程的解也可用于其它优化问题中，如多目标规划和动态优化等，使问题求解更简单并得到更准确的解。
总之，共线条件方程在优化问题中显得尤为重要，它可以帮助用户更快速、更方便地求解复杂的问题，提高求解效率，并可以调整和更新求出的解，以更大程度地满足问题求解的准确度要求。
中心投影的共线条件方程表达了
中心投影的共线条件方程是描述在三维空间中，一点经由中心投影到一个平面上，这个点的投影与另外一点的投影相连的直线与同一平面的交点共线的情况。
在三维几何中，中心投影的共线条件方程起到了非常重要的作用，是解决几何问题的关键工具之一。
下面将从几何的角度出发，详细讲解中心投影的共线条件方程的表达和应用。
一、中心投影的基本概念中心投影是指将三维空间中的一点通过一个给定的中心投影到一个平面上，形成一个新的点。
在中心投影的过程中，要特别注意中心的位置、投影的方向和平面的位置，这些都是中心投影的基本要素。
对于给定的三维空间中的一点P(x, y, z)，如果它经由中心O(0, 0, 0)投影到平面Ax+By+Cz+D=0上，那么中心投影的结果就是P'，它的坐标为(x', y', z')。
二、中心投影的共线条件在进行中心投影分析时，要研究一个重要的问题就是在三维空间中，如果两个点P和Q被中心投影到同一个平面上，那么它们的投影P'和Q'是否与同一个平面上的另外一个点R'共线。
这个问题就是中心投影的共线条件。
根据中心投影的性质和多元函数的相关知识，可以得到中心投影的共线条件方程。
设P(x₁, y₁, z₁)、Q(x₂, y₂, z₂)两点经中心O(0, 0, 0)投影到平面Ax+By+Cz+D=0上，对应的投影点分别为P'(x'₁, y'₁, z'₁)和Q'(x'₂, y'₂, z'₂)，那么它们的共线条件方程可以表示为：(1) (y'₂-y'₁)(z-z'₁)-(z'₂-z'₁)(y-y'₁)=0(2) (z'₂-z'₁)(x-x'₁)-(x'₂-x'₁)(z-z'₁)=0(3) (x'₂-x'₁)(y-y'₁)-(y'₂-y'₁)(x-x'₁)=0这就是中心投影的共线条件方程，它描述了在三维空间中，两个点经中心投影到同一平面上的投影点与另一个点的连线与同一平面的交点共线的情况。
共线条件方程
二、共线条件方程的应用
求像底点坐标 单像空间后方交会和多像空间前方交会 摄影测量中的数字投影基础 航空影像模拟 光束法平差的基本数学模型 利用DEM制作数字正射影像图 利用DEM进行单张像片测图
X
三、共线条件方程的线性化
目的 观测值 x,y 未知数 Xs, Ys, Zs, , , , X, Y, Z , x0 , y0 , f 泰勒级数展开
vx
x
x
x
x X s
X s
x Ys
Ys
x Z s
Z s
x X
X
x Y
Y
x Z
Z
x x0
x0
x y0
y0
x f
f
x0
x
vy
y Y x
s
X
Z
Ztp
Zs X
Ytp
XA- Xs
M
Xs Ys N
Xtp
共线条件方程
X
Y
Z
1
X A
YA ZA
Xs Ys Zs
X x a1 a2 a3 x
Y
Z
R y f
bc11
b2 c2
b3 c3
y f
x f a1(X X s ) b1(Y Ys ) c1(Z Zs ) a3 (X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Zs )
X s
y Ys
Ys
y Z s
Z s
y X
X
y Y
Y
y Z
Z
y x0
航空摄影测量共线条件方程及其应用
高精度测量
共线条件方程在航空摄影测量中 能够实现高精度的测量，因为它 基于严密的数学模型和物理原理， 能够准确地描述摄影光线与地面
目标之间的关系。
适用性强
共线条件方程适用于各种类型的 航空摄影测量任务，无论是地形 测量、城市规划还是资源调查等 领域，都能提供可靠的数据支持。
自动化程度高
随着计算机技术的发展，共线条 件方程的应用越来越自动化，减 少了人工干预和误差，提高了工
03
共线条件方程的应用场景
航空摄影测量中的应用
航空摄影测量是利用航空摄影所获取的影像信息，通过摄影 测量技术手段进行地形测绘的一种方法。共线条件方程在航 空摄影测量中主要用于确定物点、像点和投影中心之间的共 线关系，是实现立体测图和解析摄影测量的基础。
在实际应用中，共线条件方程用于建立物点坐标与像点坐标 之间的数学模型，通过解算该模型，可以获取物点的空间位 置信息，进而绘制地形图。
三维重建和虚拟现实中的案例
古迹数字化保护
通过航空摄影测量和共线条件方程，对古迹进行高精度三维重建， 实现数字化保护和虚拟展示。
城市三维模型构建
利用航空摄影测量和共线条件方程，构建城市三维模型，为城市 规划、设计和管理工作提供可视化辅助工具。
虚拟现实与游戏开发
将三维重建技术应用于虚拟现实和游戏开发中，提供逼真的场景 和环境，增强用户体验。
在航空摄影测量中，由于摄影机镜头 的透视效应，像点、物点和投影中心 往往不处于同一条直线上，需要通过 共线条件方程来修正这种透视误差。
共线条件方程的数学表达
共线条件方程通常用矩阵形式表示， 包括像点坐标、物点坐标和投影中心 坐标等变量的线性方程组。
通过解这个线性方程组，可以得到物 点的空间坐标，进而进行三维重建和 测量。
摄影测量中的共线条件方程
偏导数 1
x f X Z 2 ( Z X) X s X s Z X s f 2 (a1Z a3 X ) Z 1 X (a1 f f a3 ) Z Z 1 a1 f a3 ( x x0 ) Z
偏导数 2
x f X Z ( Z X) 2 Z
X X s 0 0 1 X X s Y Ys R 1 0 0 0 Y Ys Z Z 1 0 0 Z Z s s
偏导数 2-2
X Y 0 0 1 X Z R 1 0 0 0 R Y 1 0 0 Z c1 c2 c 3 0 0 0 a1 a1 a 2 b1 a3 c1 a2 b2 c2 a3 X b3 Y c3 Z a1c3 a3 c1 X a 2 c3 a 3 c 2 Y Z 0
地面坐标
Y(m) 25273.32 31324.51 24934.98 30319.81 Z(m) 2195.17 728.69 2386.50 757.31
X0=y0=0,f=150mm,m=10000
核 核 核 点 线 面 : : :
立 体 像 对 摄 核 摄 张 在 影 面 影 像 不 基 与 基 片 同 位 线 像 线 置 与 平 与 摄 像 面 地 取 平 的 面 同 面 交 点 一 的 线 组 物 交 成 体 点 的 的 平 两 面
摄 影 基 线 相 邻 两 摄 站 的 连 线
同 名 像 点 同 名 光 线 与 像 平 面 的 交 点
同 名 光 线 地 面 点 向 不 同 摄 站 投 射 的 光 线
: : : :
四、数字摄影测量学共线条件方程
目前，许多影像数据如：IKONOS、QuickBird等均在 其元数据中提供以上所有参数。
RPC模型：
有些影像数据不提供RPC参数，或提供的参 数精度不高，此时可利用部分控制点，采用最 小二乘原理进行系数解算，最终获得模型。
RPC模型的优点：
通用性高、与传感器无关、形式简单。 与之对应的严格成像模型，都是从轨道模型、姿态 模型、成像几何等方面出发来建立构像模型，与传 感器等密切相关，不同的传感器有不同的严格成像 模型。 因为RFM中每一等式右边都是有理函数，所以RFM 能得到比多项式模型更高的精度。 RFM独立于坐标系。 众所周知，在像点坐标中加入附件改正参数能提高 传感器模型的精度。在RFM中无需另行加入这一附 加改正参数，因为多项式系数本身包含了这一改正 数。
正则化地面坐标
P LONG _ OFF PN LONG _ SCALE L LAT _ OFF LN LAT _ SCALE H HEIGHT _ OFF H N HEIGHT _ SCALE
正则化影像坐标
r LINE _ OFF rn LINE _ SCALE c c SAMP _ OFF n SAMP _ SCALE
y
Y x
X
M
Xs
共线条件方程
X X A X s Y 1 YA Ys Z Z Z A s
X x a1 Y R y b1 Z f c 1 a2 b2 c2 a3 x b3 y f c3
NumS ( Pn , Ln , H n ) c0 c1Ln c2 Pn c3 H n c4 Ln Pn c5 Ln H n c6 Pn H n c7 Ln 2
数字摄影测量学第03讲_共线条件方程
c1Z c3Z
y
f
a2
X
b2Y
c2Z
a3 X b3Y c3 Z
（3）
用地面点坐标表示像点坐标的共线条件方程
x
f
a1 a3
X X
b1Y b3Y
c1Z c3Z
y
f
a2
X
b2Y
c2Z
a3 X b3Y c3 Z
（3）
(Xs,Ys, Zs)
X ( XT X S );Y (YT YS ); Z (ZT ZS )
a1 a2 a3 R b1 b2 b3
c1 c2 c3
X x Y R y Z z
x a1 X b1Y c1 Z
y
a2
X
b2Y
c2 Z
z a3 X b3Y c3 Z
x X y RT Y
z
Z
x
X
y R1 Y
z
c1 x
c2
y
c3z
x yz X a1 a2 a3 Y b1 b2 b3 Z c1 c2 c3
x a1X b1Y c1Z
y
a2
X
b2Y
c2 Z
z a3 X b3Y c3Z
R ? ,,
X a1 x a2 y a3z
Y b1 x b2 y b3 z
Z
c1 x
c2
y
c3z
a
x，y，-f
A
xA，yA，zA
S—XYZ
X，Y，Z
xA X
yA RTY
zA
Z
xA a1 X b1Y c1Z
yA
a2
X
b2Y
c2 Z
z
共线条件方程的表达及含义
共线条件方程：表达与含义共线条件方程：表达与含义1.定义共线条件方程，也称为线性方程，是一种描述两个或多个变量之间线性关系的数学模型。
线性关系意味着当一个变量增加时，另一个变量也以相同的比率增加，反之亦然。
共线条件方程可以表示为数学形式，如：y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是截距。
2.形式表达共线条件方程通常可以表示为 y = mx + b 的形式，其中 y 和 x 是两个变量，m 是斜率，b 是截距。
斜率 m 描述了 x 变化时 y 变化的比率，而截距 b 是当 x 为 0 时 y 的值。
3.参数解释在共线条件方程中，斜率 m 和截距 b 是两个重要的参数。
斜率 m 描述了两个变量之间的线性关系强度和方向。
如果 m > 0，那么 y 随着 x 的增加而增加；如果 m < 0，则 y 随着 x 的增加而减少。
截距 b 则表示当 x 为 0 时 y 的值。
4.应用领域共线条件方程在各个领域都有广泛的应用。
例如，在经济学中，它可以用来描述商品价格和需求量之间的关系；在生物学中，可以用来描述物种数量和生态系统承载力之间的关系；在工程学中，可以用来描述电路元件的电压和电流之间的关系。
5.实例展示让我们用一个简单的例子来说明共线条件方程的应用。
假设你是一位商家，你发现商品的销售量（y）与商品的价格（x）之间存在线性关系。
通过收集数据并绘制散点图，你发现当商品价格每上升1个单位时，销售量会减少2个单位。
那么，这个线性关系可以表示为 y = -2x + b 的形式，其中 b 是当商品价格为0 时销售量的值。
通过这个方程，你可以预测商品价格的变化对销售量的影响。
6.实际应用在实际应用中，共线条件方程可以帮助我们理解和预测各种现象。
例如，在机器学习中，共线条件方程经常被用来训练模型和优化数据；在统计学中，它是描述变量之间关系的重要工具；在社会科学中，它是研究不同因素之间关系的重要方法。
此外，在工程、生物医学等领域，共线条件方程也有广泛的应用。
共线条件方程
Ys ) c2 (Z N Ys ) c3 (Z N
Zs) Zs)
xn
f
c1(Z N c3 (Z N
Zs) Zs)
f
பைடு நூலகம்
c1 c3
yn
f
c2 (Z N c3 (Z N
Zs) Zs)
f
c2 c3
像片仿真
已知 •内、外方位元素 •地面点空间坐标 •DEM •DOM
z
S(Xs, Ys, Zs)
单像测图
z1 y1
z2
S1
x1
y2
S2
x2
Z
a1(x1,y1)
a2(x2,y2)
已知 •内、外方位元素 •像点坐标 •DEM
A(X,Y,Z) Y
X
(X
Xs)
(Z
Zs )
a1x a2 y a3 f c1x c2 y c3 f
(Y
Ys
)
(Z
Zs )
b1 x c1 x
b2 c2
y y
b3 c3
求像底点坐标
XN Xs
YN ZN
Z
s
Ys H
N
xn
f
a1( X N a3 ( X N
X s ) b1(YN X s ) b3 (YN
Ys ) c1(Z N Zs ) Ys ) c3 (Z N Zs )
yn
f
a2 (X N a3 ( X N
X s ) b2 (YN X s ) b3 (YN
y f a2 (X X s ) b2 (Y Ys ) c2 (Z Zs ) a3 (X X s ) b3 (Y Ys ) c3 (Z Zs )
二、共线条件方程的应用
第04讲-共线条件方程
x a1 X b1Y c1 Z y a 2 X b2Y c 2 Z z a 3 X b3Y c 3 Z
a1 R b1 c 1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
x
X Y Z
a1 b1 c1
y
a2 b2 c2
z
a3
RT=R-1
[三] 点的坐标变换
1、旋转矩阵
RT=R-1
旋转矩阵是一个正交矩阵。 • • 0 • • 同一行（列）各元素的自乘之和为1 任意二行（列）对应元素的互乘之和为 行列式等于1 每一元素等于其对应代数余子式
旋 转 矩 阵 性 质
三个独立的方向余弦。
a1 b1 c1 1
2 2 2
xA X T Y yA R z Z A
如何将像点和地面点联系起来?
[四] 共线条件方程
1、共线条件方程定义 为了对航摄像片进行解 析处理，必须建立航空影 像、地面目标和投影中心 的数学模型。在理想情况 下，像点、投影中心、物 点位于同一条直线上，我 们将以三点共线为基础建 立起来的描述这三点共线 的数学表达式，称之为共 线条件方程式。
(3) 由反对称矩阵的三个参数组成
特点：避免三角函数运算、开方运算以及正负号 判断。 反对称矩阵：主对角线元素为零，非对角线元素 的数值对称，但符号相反，即ST＝－S。
设三个独立参数为a、b、c，则
0 c S 2 b 2 c 2 0 a 2 b 2 a 2 0
S—XYZ （3） S
D—XTYTZT XS，YS，ZS
X sin Y cos Z 0
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共线条件方程
共线条件方程是一种非常重要的数学概念，它主要讨论当一系列平面几何体共线时，在满足某些条件的情况下，如何使这些几何体保持共线的性质。
一般来说，共线条件方程可以分为三种：相等型共线条件方程、斜率型共线条件方程和限制型共线条件方程。
相等型共线条件方程是一种最常用的共线条件方程。
它要求几何体的值(如坐标)必须相等，例如，当两个三角形的三个顶点共线时，它们的边长必须相等。
斜率型共线条件方程是指若干个几何体的顶点共线时，它们的斜率必须相等。
例如，当三角形的直角顶点共线时，它们的斜率必须相等。
限制型共线条件方程是指在满足某种特定条件的情况下，几何体的顶点也必须共线。
例如，若两个圆的直径之和为定值，则这两个圆必须共线。
共线条件方程还有一些其他特殊的情况，比如当两个平行四边形有两个共线顶点时，它们必须平行，或者当三角形有两个共线顶点时，它们必须等腰。
共线条件方程在几何学、统计学和线性代数领域都有广泛的应用，如几何图形的分析、统计抽样的选取、特征值的求解等等。
此外，共线条件方程还可以用于判断两个数据点是否共线，并利用相关系数分析其关系的强弱程度。
此外，共线条件还可以用于多元函数的拟合，因为它可以减少
多元函数的参数数量，使得函数拟合的问题变得更加容易解决。
总之，共线条件方程是一种非常重要的数学概念，它在几何学、拟合多元函数以及统计分析等方面有着广泛的应用。
因此，运用共线条件的原理，可以解决许多复杂的数学问题，为数学的发展做出了重要的贡献。