专题21.3一元二次方程的解法：公式法-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典(解
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.3一元二次方程的解法：公式法姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•青山区期末）方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2【分析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．【解析】：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2△＝1+8＝9＞0∴x=1±√9 2解得x1＝﹣1，x2＝2．故选D．2．（2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c依次为（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，8【分析】整理为一般式即可得出答案．【解析】：∵3x2﹣4x＝8，∴3x2﹣4x﹣8＝0，则a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8，故选：B．3．（2019秋•宜城市期中）x=−4±√42−4×2×12×2是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝0【分析】根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论．【解析】：解一元二次方程的公式为x=−b±√b2−4ac2a．所以a＝2，b＝4，c＝1．所以方程为2x2+4x+1＝0故选：A．4．（2020秋•松桃县期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x＝0B．x2﹣2x+1＝0C．2x2﹣x﹣1＝0D．2x2﹣x+1＝0【分析】根据判别式即可求出答案．【解析】：（A）△＝4，故选项A有两个不同的实数根；（B）△＝4﹣4＝0，故选项B有两个相同的实数根；（C）△＝1+4×2＝9，故选项C有两个不同的实数根；（D）△＝1﹣8＝﹣7，故选项D没有两个不同的实数根；故选：D．5．（2020•福州模拟）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+√b2+42，x2=−b−√b2+42，下列判断一定正确的是（）A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝﹣1D．ca=−1【分析】根据一元二次方程的求根公式与根与系数的关系可得答案．【解析】：根据一元二次方程的求根公式可得：x1=−b+√b2−4ac2a，x2=−b−√b2−4ac2a，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1=−b+√b2+42，x2=−b−√b2+42，∴x1+x2＝﹣b=−ba，x1•x2=ca=−1，∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，故选：D．6．（2020春•广陵区校级期中）用公式法解方程√2x2+4√3x＝2√2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16B．±4C．32D．64【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可．【解析】：∵√2x2+4√3x＝2√2，∴√2x2+4√3x﹣2√2=0，∴a=√2，b＝4√3，c＝﹣2√2，∴b2﹣4ac＝（4√3）2﹣4×√2×（﹣2√2）＝64；7．（2019秋•连城县期中）已知α是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，则下列对α值估计正确的是（ ） A ．2＜α＜3B ．1.5＜α＜2C ．1＜α＜1.5D ．0＜α＜1【分析】先求出方程的解，再估算出√5的范围，求出1+√52的范围，即可得出选项．【解析】：解方程x 2﹣x ﹣1＝0得：x 1=1+√52，x 2=1−√52， 即a =1+√52， ∵2＜√5＜3， ∴3＜1+√5＜4， ∴32＜1+√52＜2，即1.5＜a ＜2， 故选：B ．8．（2021春•龙口市期中）观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ）x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.9【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.2＜√5.4＜2.4，依此即可求出一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围． 【解析】：x 2﹣x ＝1.1， x 2﹣x ﹣1.1＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x =1±√5.42， x 1=1+√5.42，x 2=1−√5.42， ∵2.2＜√5.4＜2.4， ∴3.2＜1+√5.4＜3.4， ∴1.6＜1+√5.42＜1.7， 即一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是1.6＜x ＜1.7．9．（2020秋•遂宁期末）如果关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞−14B ．a ≥−14C ．a ≥−14且a ≠0D ．a ＞−14且a ≠0【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围．【解析】：∵关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴{a ≠0△=12−4×a ×(−1)＞0， ∴a ＞−14且a ≠0． 故选：D ．10．（2021春•中原区校级月考）定义新运算“a *b ”对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝（a +b ）（a ﹣b ）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：4*3＝（4+3）×（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（ ） A ．有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【分析】利用新定义得到（x +k ）（x ﹣k ）﹣1＝x ，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用△＞0可判断方程根的情况．【解析】：∵x *k ＝x （k 为实数）是关于x 的方程， ∴（x +k ）（x ﹣k ）﹣1＝x ， 整理得x 2﹣x ﹣k 2﹣1＝0， ∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k 2﹣1） ＝4k 2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（2019•西藏）一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0的根是 x 1=1+√52，x 2=1−√52． 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【解析】：△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，x =1±√52×1， 所以x 1=1+√52，x 2=1−√52． 故答案为x 1=1+√52，x 2=1−√52． 12．（2020秋•宛城区校级月考）已知x =−b+√b 2−4c 2（b 2﹣4c ≥0），则式子x 2+bx +c 的值是 0 ． 【分析】把x =−b+√b 2−4c 2代入代数式x 2+bx +c ，再进行化简即可．【解析】：∵x =−b+√b 2−4c 2（b 2﹣4c ≥0）， ∴x 2+bx +c ＝（−b+√b 2−4c2）2+b •−b+√b 2−4c2+c=b 2−2b √b 2−4c+b 2−4c 4+−2b 2+2b √b 2−4c 4+4c 4 =b 2−2b √b 2−4c+b 2−4c−2b 2+2b √b 2−4c+4c 4＝0， 故答案为：0．13．（2020秋•云县校级期末）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0有两个相等的实数根，则k 的值为 ﹣1 ．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2﹣4ac ＝0，建立关于k 的等式，求出k 的值．【解析】：∵关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝4+4k ＝0， 解得k ＝﹣1， 故答案为﹣1．14．（2020秋•长春期末）若关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＞1 ． 【分析】根据判别式的意义得到△＝22﹣4k ＜0，然后解不等式即可． 【解析】：根据题意得△＝b 2﹣4ac ＝22﹣4k ＜0， 解得k ＞1． 故答案为：k ＞1．15．（2021•浦东新区二模）如果关于x 的方程x 2+3x ﹣k ＝0没有实数根，那么k 的取值范围是 k ＜−94 ． 【分析】根据判别式的意义得到△＝32﹣4×（﹣k ）＜0，然后解不等式即可．【解析】：根据题意得△＝32﹣4×（﹣k）＜0，解得k＜−9 4．故答案为：k＜−9 4．16．（2021•长丰县模拟）定义a⊗b={a(a−b≤1)，b(a−b＞1).比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是k≥1．【分析】先根据定义对方程进行分两种情况讨论．第一种情况是x2﹣（x+1）≤1时，解出﹣1≤x≤2．方程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，△＞0，代入可以解出k＞0．而方程的根可以解出为±√1k，这个值需要满足﹣1≤x≤2，再代入求解得到k≥1．第二种情况是x2﹣（x+1）＞1，方程变为k（x+1）﹣1＝0．当k≠0时，是一元一次方程，只有一个实数解，与题意矛盾；当k＝0，方程不存在．综上所述，k ≥1．【解析】：（1）当x2﹣（x+1）≤1时，方程变为kx2﹣1＝0．∵方程变为kx2﹣1＝0有两个不等实数根，∴△＞0，即△＝4k＞0，k＞0．∴方程的解为x＝±√1 k．又∵x2﹣（x﹣1）≤1，∴﹣1≤x≤2，∴﹣1≤−√1k＜√1k≤2，解出k≥1．（2）当x2﹣（x+1）＞1时，方程变为k（x+1）﹣1＝0．因为k≠0时，此方程是一元一次方程方程，不可能有两个不等实数根，k＝0时，方程不存在，所以这种情况舍去．故答案为：k≥1．17．（2021•海城市模拟）关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是k≤2．【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当k﹣1＝0时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即k＝1符合题意；当k﹣1≠0时，由根的判别式△≥0，可求出k的取值范围．综上即可得出结论．【解析】：当k﹣1＝0，即k＝1时，原方程为2x﹣2＝0，解得：x＝1，∴k＝1符合题意；当k﹣1≠0，即k≠1时，有△＝22﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得：k≤2且k≠1．综上所述：k的取值范围是k≤2．故答案为：k≤2．18．（2020•浙江自主招生）关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是整数，则整数a＝0或1或﹣1或2或3．【分析】分两种情况讨论：当a＝1时，x＝1；当a≠1时，△＝4a2≥0，x1+x2=21−a，再由已知，可得1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，求出a的值即可．【解析】：当a＝1时，2x﹣2＝0，解得x＝1；当a≠1时，（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0，△＝4a2≥0，x1+x2=21−a，x1•x2=a+11−a=−1−2a−1，∵根都是整数，∴1﹣a＝±1，1﹣a＝±2，∴a＝0或a＝2或a＝﹣1或a＝3，故答案为0或1或﹣1或2或3．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•夏邑县期末）解下列方程：（1）（x﹣1）（x+3）＝12；（2）2x2﹣4x+1＝0．【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式求方程的解．【解析】：（1）x2+2x﹣15＝0，（x+5）（x﹣3）＝0，x+5＝0或x＝3，所以x1＝3，x2＝﹣5；（2）解：∵a＝2，b＝﹣4，c＝1，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8，∴x=4±√84=4±2√24，即x1=2+√22，x2=2−√22．20．（2019秋•广汉市期末）解方程（1）用配方法：x2﹣8x﹣2＝0．（2）用公式法：（2x﹣1）（x+3）＝﹣5．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解析】：（1）∵x2﹣8x＝2，∴x2﹣8x+42＝2+42，∴（x﹣4）2＝18，∴x﹣4＝±√18，则x1＝4+3√2，x2＝4﹣3√2；（2）整理得：2x2+5x+2＝0，∴b2﹣4ac＝52﹣4×2×2＝9，∴x=−b±√b2−4ac2a=−5±√92×2，则x1=−12，x2＝﹣2．21．（2020春•海淀区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣1＝0．（1）当k＝1时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求k的取值范围．【分析】（1）先写k＝1时的方程，然后利用因式分解法解方程；（2）利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可．【解析】：（1）当k＝1时，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，所以x1＝0，x2＝3；（2）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）≥0，解得k≤13 4．22．（2019秋•东莞市校级期末）已知关于x的方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）任取一个你喜欢的m值代入，并求出此时方程的根．【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；（2）取m＝0时，得到方程x2﹣1＝0，解方程即可求解．【解答】（1）证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）解：当m＝0时，方程x2﹣mx+m﹣1＝0为方程x2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝1．故m＝0时，方程的根是x1＝﹣1，x2＝1．23．（2020秋•曾都区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m＝1时，求方程x2﹣2x+m＝2的解．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m＝2有两个不相等的实数根，可得△＞0，从而可以求得m的取值范围；（2）利用配方法求解即可．【解析】：（1）由题意可得，△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝12﹣4m＞0．解得m＜3；（2）当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，（x﹣1）2＝2，解得x1＝1+√2，x2＝1−√2．24．（2020春•玄武区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）若该方程有一个根为4，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4＞0，由此即可证出：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）将x＝4代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，解得：m1＝4，m2＝6．故m的值为4或6．。
一元二次方程的解法(3)-2021-2022学年九年级数学上册一课一练(苏科版)(解析版)
1.2 一元二次方程的解法（3）1.用配方法解方程2210x x --=，变形结果正确的是（ ） A ．213 ()24x -= B ．213 ()44x -=C ．2117 ()416x -=D ．219 ()416x -=【答案】D【解析】根据配方法的定义,将方程2210x x --=的二次项系数化为1, 得：211022x x --=，配方得21111216216x x -+=+， 即:219()416x -=． 本题正确答案为Ｄ．2.用配方法解下列方程，配方正确的是（ ） A ．2y 2﹣4y ﹣4=0可化为（y ﹣1）2=4 B ．x 2﹣2x ﹣9=0可化为（x ﹣1）2=8 C ．x 2+8x ﹣9=0可化为（x+4）2=16 D ．x 2﹣4x=0可化为（x ﹣2）2=4【答案】D【解析】A. 2y 2−4y−4=0可化为(y−1)2=5，故选项错误； B. x 2−2x−9=0可化为(x−1)2=10，故选项错误； C. x 2+8x−9=0可化为(x+4)2=25，故选项错误； D. x 2−4x=0可化为(x−2)2=4，故选项正确． 故选D.3.下列用配方法解方程21x 2﹣x ﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D 【解析】解方程21x 2﹣x ﹣2＝0， 去分母得：x 2﹣2x ﹣4＝0，即x 2﹣2x ＝4，配方得：x 2﹣2x+1＝5，即（x ﹣1）2＝5， 开方得：x ﹣1＝±5，解得：x ＝1±5， 则四个步骤中出现错误的是④． 故选：D ．4.把方程2x 2－4x －1＝0化为(x ＋m)2＝n 的形式，则m ，n 的值是( ) A ．m ＝2，n ＝32 B ．m ＝－1，n ＝32 C ．m ＝1，n ＝4 D ．m ＝n ＝2【答案】B【解析】∵2x 2－4x －1＝0，∴2x 2－4x ＝1，∴x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝12＋1，∴(x －1)2＝32，∴m ＝－1，n ＝32.故选B.5.若用配方法解方程24121x x +=，通常要在此方程两边同时加上一个“适当”的数，则下面变形恰当的是（ ）A ．2221212412122x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22241212112x x ++=+C ．2412919x x ++=+D ．241212112x x ++=+【答案】C【解析】解：方程24121x x +=变形为2(2)621x x +⨯=，2(2)62+91+9x x +⨯=∴2412919x x ++=+故选：C6.用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为()213x m -=的形式，则m =_____． 【答案】1【解析】解：3x 2-6x+2=0，2223x x -=-，21213x x -+=21(1)3-=x ，即 m=1． 故填1．7.将23220x x --=配方成2()x m n +=的形式，则n =__________． 【答案】79【解析】解：∵3x 2-2x-2=0，∴222033x x --=，∴221213939x x -+=+， ∴217()39x -=，故答案为：79． 8.把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.【答案】2110333x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； 2或6. 【解析】根据题意，一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3（x 2-23x-1）=0， 括号里面配方得，3（x-13）2-109×3=0，即3（x-13）2=103； ∵多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，∴2a-3=（2a）2，∴解得a=2或6． 9.用配方法解方程：(1)2x 2－7x ＋6＝0； (2)－16x 2－13＝12x ；(3)2x(x －3)＝1; (4)2x 2＋4x ＋6＝0. 【答案】(1)x 1＝2，x 2＝32. (2)x 1＝－1，x 2＝－2.(3)x 1＝3＋112，x 2＝3－112. (4)原方程无解．【解析】解：(1)两边都除以2，得x 2－72x ＋3＝0.移项并配方，得x 2－72x ＋4916＝－3＋4916，即2)47(-x ＝116.两边开平方，得x －74＝±14.所以x 1＝2，x 2＝32.(2)移项，得－16x 2－12x －13＝0.两边都乘－6，得x 2＋3x ＋2＝0.移项并配方，得x 2＋3x ＋94＝－2＋94，即2)23(+x ＝14.两边开平方，得x ＋32＝±12.所以x 1＝－1，x 2＝－2.(3)整理，得2x 2－6x －1＝0. 两边都除以2，得x 2－3x －12＝0.移项并配方，得x 2－3x ＋94＝12＋94.即2)23(-x ＝114.两边开平方，得x －32＝±112.所以x 1＝3＋112，x 2＝3－112.(4)2x 2＋4x ＋6＝0，x 2＋2x ＋3＝0，x 2＋2x ＝－3， x 2＋2x ＋1＝－3＋1，(x ＋1)2＝－2， 所以原方程无解．10.试确定当x 取何值时，2x 2+4x+1有最小值？最小值是多少？ 【答案】x=-1时有最小值，最小值为-1．【解析】由题意先应用完全平方公式对2x 2+4x+1配方后，进而根据偶次方的非负性质进行分析即可． 解：2x 2+4x+1=2222(2)12(1)212(1)1x x x x ++=+-+=+-， ∵2(1)0x +≥， ∴22(1)11x +-≥-，则有x=-1时有最小值，最小值为-1．11.用配方法解方程2x 2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2=3 B ．2（x ﹣2）2=3 C ．2（x ﹣1）2=1 D ．2（x ﹣1）2=12【答案】C【解析】解：2x 2﹣4x=-1，x 2﹣2x=12-，x 2﹣2x+1=12-+1，∴21(1)2x -=，即22(1)1x -=.故选C ．12.若方程290x mx -+=的左边是一个完全平方式，则m 等于（ ） A ．3 B ．6 C ．3± D ．6±【答案】D【解析】∵方程290x mx -+=的左边是一个完全平方式， ∴()22293x mx x mx -+=-+±，∴()236m =⨯±=±， 故答案选D ．13.若代数式221078M a b a =+-+，2251N a b a =+++，则M N -的值（ ） A 、一定是负数 B 、一定是正数 C 、一定不是负数 D 、一定不是正数【答案】B ；【解析】（作差法）22221078(51)M N a b a a b a -=+-+-+++2222107851a b a a b a =+-+----29127a a =-+291243a a =-++2(32)30a =-+>.故选Ｂ．14.将方程2x 2－4x －5＝0化成(x ＋h)2＝k 的形式为________________． 【答案】 (x －1)2＝72【解析】方程两边同除以2，得x 2－2x －52＝0，移项，得x 2－2x ＝52，两边同时加上1可进行配方．15.方程22430x x +-=，用配方法可把原方程化为2(1)x k +=，其中k=___________． 【答案】25【解析】解：方程两边同时除以2，得：23202x x +-=， 移项得：2322x x +=， 两边同时加1得：232+1+12x x +=， 即：25+12x =（）， 故：52k =． 故答案为：52．16.若将方程x 2+2x ﹣1=0配方成（x+a ）2=h 的形式，则a+h 的值是_____． 【答案】3【解析】x 2+2x=1，x 2+2x+1=1+1，（x+1）2=2，所以a=1，h=2， 所以a+h=1+2=3． 故答案是：3．17.、当x ＝________时，代数式4x 2＋2x －1的值与代数式3x 2－2的值相等． 【答案】-1【解析】依题意，得4x 2＋2x －1＝3x 2－2.整理，得x 2＋2x ＋1＝0，即(x ＋1)2＝0，解得x 1＝x 2＝－1， 即x ＝－1时，代数式4x 2＋2x －1的值与代数式3x 2－2的值相等，所以应填－1.18.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中，会得到一个新的实数3a 2－4b ＋6. 若将实数(x ，－2x)放入其中，得到1，则x ＝________． 【答案】－53或－1.【解析】 根据题意，得3x 2－4(－2x)＋6＝1. 整理，得3x 2＋8x ＝－5. 化简、配方，得(x ＋43)2＝19.解得x 1＝－53，x 2＝－1.故答案为－53或－1.19.用配方法解下列方程：(1)2x 2＋7x －4＝0； (2)3x 2－6x ＝8；(3)6x 2－x －12＝0; (4)3(x －1)(x ＋2)＝x ＋4.【答案】(1) x 1＝12，x 2＝－4. (2)x 1＝333＋1，x 2＝1－333.（3）x 1＝32，x 2＝－43. (4)x 1＝－1＋313，x 2＝31－13.【解析】解：(1)移项、方程两边除以2，得x 2＋72x ＝2，配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝2＋(74)2，即(x ＋74)2＝32＋4916，开方，得x ＋74＝±94，解得x 1＝12，x 2＝－4.(2)方程两边除以3，得x 2－2x ＝83，配方，得x 2－2x ＋1＝83＋1，即(x －1)2＝113，开方，得x －1＝±333， 解得x 1＝333＋1，x 2＝1－333.(3)移项、方程两边除以6，得x 2－16x ＝2，配方，得x 2－16x ＋1144＝2＋1144，即(x －112)2＝289144，解得x 1＝32，x 2＝－43.(4)原方程变形为3x 2＋2x ＝10， 两边除以3，得x 2＋23x ＝103，配方，得x 2＋23x ＋(13)2＝103＋2)31(，即(x ＋13)2＝319，开方，得x ＋13＝±313，解得x 1＝－1＋313，x 2＝31－13.20.当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数？ 【答案】－4或53.【解析】解：由题意，得2x 2＋7x －1＝－(x 2－19)， 整理，得3x 2＋7x ＝20. 两边都除以3，得x 2＋73x ＝203.配方，得x 2＋73x ＋2)67(＝203＋2)67(，即2)67( x ＝28936.两边开平方，得x ＋76＝±176.所以x 1＝－4，x 2＝53.即当x 的值为－4或53时，代数式2x 2＋7x －1的值与代数式x 2－19的值互为相反数．21.《代数学》中记载，形如x 2+10x ＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为25x 的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+6x+m ＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．3-5 3C ．3-5 2D ．3-523 【答案】B【解析】x 2+6x+m ＝0， x 2+6x ＝﹣m ，∵阴影部分的面积为36， ∴x 2+6x ＝36， 设4a ＝6， 则a=23， 同理：先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为23x 的矩形，得到大正方形的面积为36+（23）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为 453＝3-53． 故选：B ．22.阅读理解配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为3a 2≥0，所以3a 2＋1就有最小值1，即3a 2＋1≥1，只有当a ＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a 2≤0，所以－3a 2＋1有最大值1，即－3a 2＋1≤1，只有当a ＝0时，才能得到这个式子的最大值1. (1)当x ＝________时，代数式－2(x －1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值为________． (2)当x ＝________时，代数式－2x 2＋4x ＋3有最________(填“大”或“小”)值为________． 分析：－2x 2＋4x ＋3＝－2(x 2－2x ＋________)＋________＝－2(x －1)2＋________．(3)如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边栅栏的总长度是16 m ，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？(假设墙足够长)【答案】见解析。
人教版数学九年级上册 21.2.2一元二次方程的解法 ---公式法(共18张PPT)
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
例1 用公式法解下列方程： (1)2x2-x-1=0
(2)4x2-3x+2=0 (3) 2x222x10
注意: 用公式法解一元二次方程的前提是: 先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 . 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 .
3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
(A )
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
已知 :关于
m x 2 (3 m 2 )x 2 m 2 0 (m 0 )
（1）将常数项移到方程的右边，得 ax2bxc .
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
（3）方程两边同时加上__( _2b_a _) 2__，得
x2bx(b)2c(b)2. a 2a a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac.
2a
4a2
(x b )2 b2 4ac.
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
21-3实际问题与一元二次方程22-23人教版九年级数学上册
练习
1. 某药品原价是100元，打八折售出后，盈利14元，则此药品的成
本价是
元.
2. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件. 市场调查反 映：每降价1元，每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元， 在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单 价定位多少元？
求2022年社区购买药品的总费用；
小结
1. 某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨.设这两年无 公害蔬菜产量的年平均增长率为x,根据题意,列出方程为 __________________ .
2. 某电视机厂2020年生产一种彩色电视机,每台成本 3000元,由于 该厂不断进行技术革新,连续两年降低成本, 至2022年这种彩电 每台成本仅为1920元,设平均每年降低成本的百分数为x,可列方 程_____________.
复习
1. 直角三角形的面积公式是什么？ 2. 一般三角形的面积公式是什么呢？ 3. 正方形的面积公式是什么呢？ 4. 长方形的面积公式又是什么？ 5. 梯形的面积公式是什么？ 6. 菱形的面积公式是什么？ 7. 平行四边形的面积公式是什么？ 8. 圆的面积公式是什么？
解决几何问题
列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后 要检验根是否符合实际．
3. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积 为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多10 m. 设绿地的宽为x m，根据 题意，可列方程为( )
A. x(x－10)＝900
B. x(x＋10)＝900
C. 10(x＋10)＝900 D.2[x＋(x＋10)]＝900
4. 某小区有一块长为18 m，宽为6 m的矩形空地，计划在其中修建 两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60 m2，两块绿地之间及 周边留有宽度相等的人行通道. 若设人行道的宽度为x m，则可以列 出关于的方程是？
解一元二次方程(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
解一元二次方程（知识点考点一站到底）知识点☀笔记一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：（1） 直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =（2） 配方法：要先把二次项系数化为1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式，右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解；（3） 公式法：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是24b b ac x -±-=()240b ac -≥； （4） 因式分解法：如果()()0x a x b --=则12,x a x b ==。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。
根的判别式 定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b ac x a a -+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b ac x -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 考点☀梳理解题指导：① 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；② 当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；③ 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；④ 如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.⑤ 十字相乘法例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确），第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.⑥ 换元法在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.考点1：直接开方法解一元二次方程必备知识点：①直接开平方法：如果()20x k k =≥，则x k =题型1 直接开方法解一元二次方程例1．（2022·新疆·沙雅县第五中学七年级期中）解方程：()216125x +=． 【答案】114x =，294x =- 【分析】方程两边同时除以16，再开平方来求解．【详解】解：方程两边同时除以16得()225116x +=， 开平方得514x +=±， 解得114x =，294x =-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解直接开平方法是解答关键．例2．（2022·陕西安康·九年级期末）解方程：1250x --=． 【答案】16x =，24x =-【分析】由()21250x --=，得出2125x ，开方得15x -=±，即可解出【详解】∵()21250x --=，∵2125x ，∵15x -=或15x -=-，则16x =，24x =-．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，将题给式子移项，化为2x a =的形式，再利用数的开放直接求解．练习1．（2022·广东·可园中学七年级期中）解方程：24(3)250x --=．【答案】1112x =，212x =【分析】利用直接开平方法求解即可．【详解】解：24(3)250x --=，24(3)25x -=，225(3)4x -=， 532x ∴-=±， 1112x ∴=，212x =． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【答案】x 1＝16，x 2＝﹣14【分析】根据直接开平方法进行求解即可．【详解】解：∵（x ﹣1）2＝225，∵x ﹣1＝±15，解得x 1＝16，x 2＝﹣14．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．练习3．（2022·江苏·九年级专题练习）解方程：2x 2＝6 【答案】x 13=，x 23=-【分析】直接开平方即可一元二次方程．【详解】解：226x =，23x =，3x ∴=±，13x ∴=，23x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．练习4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：316m =． 【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：()2316m -=，34m -=±，34m =±， ∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．考点2：配方法解一元二次方程必备知识点：①当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；题型2 配方法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）用配方法解方程：21090x x -+= 【答案】19x =，21x =【分析】利用解一元二次方程-配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可．【详解】解：21090x x -+=，2109x x -=-，21025925x x -+=-+，2(5)16x -=，54x -=±，54x -=或54x -=-，19x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程-配方法的步骤． 例2．（2021·河南南阳·九年级期中）用配方法解方程23210x x +-=． 【答案】11x =-，213x = 【分析】先将原方程配方，然后再整体运用直接开平方法，最后求出x 即可．【详解】解：原方程可化为：22133x x += 22221113333x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21439x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 1233x +=±， 11x =-，213x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程是解答本题的关键．【答案】x 1＝32，x 2＝﹣4 【分析】移项，方程两边都除以2，再配方，开方，即可得出两个方程，再求出方程的解即可．【详解】解：2x 2+5x ﹣12＝0，移项，得2x 2+5x ＝12，x 2+52x ＝6， 配方，得x 2+52x +2516＝6+2516，即（x +54）2＝12116， 开方，得x +54＝±114， 解得：x 1＝32，x 2＝﹣4． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【答案】11x =，23x =【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x -+=，配方得∵()221x -=，解得∵21x -=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键． 练习3．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：x 2-6x =8 【答案】12317,317x x =+=-【分析】利用配方法解一元二次方程即可得．【详解】解：268x x -=，26989x x -+=+，2(3)17x -=，317x -=±，317x =±，即方程的解为12317,317x x =+=-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等）是解题关键．【答案】x 1＝162+，x 2＝162- 【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数的绝对值一半的平方．【详解】解：2x 2﹣4x ﹣1＝0x 2﹣2x 12-=0 x 2﹣2x +112=+1 （x ﹣1）232=∵x 1＝162+，x 2＝162-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．例1．（2022·广西贺州·八年级期中）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的223x x +-最小值．()22222232111314x x x x x +-=+⋅+--=+- ()210x +≥∴当x =－1时，223x x +-有最小值－4请根据上述方法，解答下列问题：(1)(()2222352332x x x x x a b ++=+++=++，则a ＝__________，b ＝__________； (2)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值． 【答案】(1)3，2(2)2k =±【分析】（1）根据配方法直接作答即可；（2）根据题中材料告知的方法，先配方，再根据平方的非负性求解即可．（1）解：2235x x ++()222332x x =+⨯++ ()232x =++，3,2a b ∴==，故答案为：3，2；（2）解：227x kx -+22227x kx k k =-+-+()227x k k =--+， ∵2)0x k -≥（， ∵()227x k k --+的最小值是27k -+，∵代数式227x kx -+有最小值3，∵273k -+=，即24k =，∵2k =±．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及平方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．练习1．（2022·山东泰安·八年级期中）在学了乘法公式“222()2a b a ab b ±=±+”的应用后，王老师提出问题：求代数式245x x ++的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：22222454225(2)1x x x x x ++=++-+=++，∵2(2)0x +≥，∵2(2)11x ++≥．当2(2)0x +=时，2(2)1x ++的值最小，最小值是1．∵245x x ++的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出2(1)3x -+的最小值为_____．(2)求代数式21032x x ++的最小值． (3)你认为代数式21253x x -++有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值． (4)若27110x x y -+-=，求x ＋y 的最小值．【答案】(1)3(2)21032x x ++的最小值是7；(3)21253x x -++有最大值，最大值是8； (4)x +y 的最小值是2．【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；（4）根据7x －x 2+y －11=0，用x 表示出y ，写出x +y ，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求． （1）解：()213x -+，当x ＝1时，2(1)3x -+有最小值，是3；故答案为：3；（2）解：222221032105532(5)7x x x x x ++=++-+=++．∵2(05)x +≥，∵2(5)77x ++≥，当2(5)0x +=时，2(5)7x ++的值最小，最小值是7．∵21032x x ++的最小值是7；（3）解：21253x x -++有最大值，理由如下： ∵21253x x -++ 21(6)53x x =--+ =21(699)53x x --+-+ 21(69)353x x =--+++ 2133()8x =-++． 当21(3)03x -+=时，21(3)83x -++有最大值，最大值是8， ∵21253x x -++有最大值，最大值是8； （4）解：∵27110x x y -+-=，∵2711y x x =-++，∵22222271161163311(3)2x y x x x x x x x x +=-++=-+=-+-+=-+，∵2(3)0x -≥，∵2(3)22x -+≥，当2(3)0x -=时，2(3)2x -+的值最小，最小值是2．∵x +y 的最小值是2．【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．265x x ++22223335x x =+⋅⋅+-+2(3)4x =+-∵ ()230x +≥，∵ 当x =-3时，代数式265x x ++的最小值为-4．请根据上述的方法，解答下列问题：(1) 2261()x x x m n +-=++，则mn 的值为_______．(2)求代数式2265x x --+的最大值．(3)若代数式226x kx ++的最小值为2，求k 的值． 【答案】(1)-30(2)最大值为11(3)k =42±【分析】（1）利用配方法根据一次项的系数求出m 与n 的值，再相乘即可；（2）先提出代数式的负号，再进行配方，最后根据偶次方的非负性求出代数式的最大值即可； （3）先将代数式中的二次线系数提出来化为1，再进行配方，根据最小值为2求出k 的值即可．(1)解：261x x +-22223331x x =+⋅⋅+--2(3)10x =+-2()x m n =++ 解得m =3，n =-10，∵mn =-30．(2)解： 2265x x --+2(26)7x x =-++222(26(6)(6)5x x ⎡⎤=-+⋅⋅+-+⎣⎦2(6)11x =-++∵2(6)0x +≥，∵2(6)0x -+≤，∵代数式2265x x --+的最大值为11．解：226x kx ++22()62k x x =++ 22222()()6444k k k x x ⎡⎤=+⋅⋅+-+⎢⎥⎣⎦ 222()648k k x =+-+ ∵2()04k x +≥， ∵代数式226x kx ++有最小值为268k -． ∵代数式226x kx ++的最小值为2，∵2628k -=． 解得：k =42±．【点睛】本题考查的是将多项式进行配方化为完全平方式的形式，再利用偶次方的非负性求代数式的最大或最小值，准确的进行配方是解题的关键．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=． ∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0， ∵()210m +=且()230n -=，∵m ＝－1，n ＝－3．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ． 【答案】(1)x ＝－2，y ＝1(2)5或7【分析】（1）先将等式左边化为两个完全平方式，根据非负数的和为零可得x 和y 的值；（2）同理可得a 和b 的值，再分类讨论，由勾股定理可得c 的值．（1）解：∵224250x x y y ++-+=∵()()22210x y ++-=∵x ＋2＝0，y －1＝0∵x ＝－2，y ＝1．（2）∵228625a b a b +=+-∵2286250a b a b +--+=∵()()22430a b -+-=∵a －4＝0，b －3＝0∵a ＝4，b ＝3∵ABC 是直角三角形∵22345c =+=或22437c =-=∵c 的值为5或7．【点睛】此题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是要学会拼凑出完全平方式． 练习4．（2022·江西上饶·八年级期末）在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若2222440m mn n n ++-+=，求m 和n 的值；解：由题意得：()()2222440m mn n n n +++-+=，∵22()(2)0m n n ++-=，∵020m n n +=⎧⎨-=⎩，解得22m n =-⎧⎨=⎩． (1)若22228160x xy y y ++++=，求2x y -（）的值；(2)若22126450a b a b +-++=，求32a b -的值． 【答案】(1)64 (2)24【分析】（1）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果；（2）已知等式整理后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a 与b 的值，代入原式计算即可得到结果． (1)由题意得：22228160x xy y y y +++++= ∵()()2240x y y +++=∵040x y y +=⎧⎨+=⎩解得：44x y =⎧⎨=-⎩∵()()224464x y -=+=． (2)由题意得：221236690a a b b -++++= ∵()()22630a b -++=∵6030a b -=⎧⎨+=⎩解得：63a b =⎧⎨=-⎩∵33322262162439a ab b -====-（）．【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式及运算法则是解本题的关键．考点3：公式法解一元二次方程必备知识点：①如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法. 题型3 公式法解一元二次方程例1．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）用开平方法解方程：(2316m =．【答案】134m =+，234m =-【分析】根据开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：()2316m -=，34m -=±， 34m =±，∴134m =+，234m =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【答案】11193x +=，21193x -=【分析】先找出a ，b ，c ，再求出24b ac ∆=-的值，根据求根公式即可求出答案． 【详解】解：∵23260x x --=， ∵3a =，2b =-，6c =-，∵()()224243676b ac ∆=-=--⨯⨯-=，∵()()22224364223b b ac x a±--⨯⨯--±-==⨯22196±=1193±=∵11193x +=，21193x -=【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键．练习1．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）解方程：x 2﹣25x ﹣4＝0． 【答案】x 1＝5+3，x 2＝5﹣3【分析】先找出各项系数，求出判别式，根据一元二次方程的求根公式计算即可． 【详解】解：a ＝1，b ＝﹣25，c ＝﹣4， Δ＝b 2﹣4ac ＝（﹣25）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0， 方程有两个不等的实数根，x ＝24253653221b b ac a -±-±==±⨯，即x 1＝5+3，x 2＝5﹣3．【点睛】本题考查用公式法求解一元二次方程，熟练掌握根据方程的特点，选择恰当解法是解题的关键． 390x x --=【答案】13352x +=，23352x -=【分析】根据公式法即可求解． 【详解】解：∵1a =，3b =-，9b =-， ∵93645∆=+=>0，∵243453352212b b ac x a -±-±±===⨯， ∵13352x +=，23352x -=． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解方程的方法是解题的关键． (1)5x 2－6x ＋1=0（公式法） (2)x 2＋8x －2=0（公式法） 【答案】(1)121,15x x ==(2)12432,432x x =+=-【分析】（1）根据题意，用公式法解一元二次方程； （2）根据题意，用配方法解一元二次方程即可求解．（1）解：5x 2－6x ＋1=0中，5,6,1a b c ==-=，24362016b ac ∴∆=-=-=，2464210b b ac x a -±-±∴==，解得：121,15x x ==；（2）x 2＋8x －2=0，28=2x x +，281618x x ++=，()2418x +=，432x +=±，解得：12432,432x x =+=-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1)2219x x -+= ; (2)22310x x -+=． 【答案】(1)124,2x x ==- (2)1211,2x x ==【分析】（1）用直角开平方法解答即可； （2）用求根公式解答即可．（1）解：2219x x -+=，原方程可化为2(1)9x -=，直接开平方，得13x -=±，∵124,2x x ==-． （2）22310x x -+=，∵981∆=-=>0，∵方程有两个不相等的实数根，12314x ±=，，1211,2x x ==． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是能够正确地选择恰当的解题方法．必备知识点：①若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法； 题型4 因式分解法解一元二次方程例1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解方程：23543x x x【答案】121,4x x =-=【分析】先整理可得2340x x --=，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：23543xx x∵239120x x ，即2340x x --=， ∵()()140x x +-=， 解得：121,4x x =-=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．例2．（2022·安徽安庆·八年级期末）解方程：2212x x x -=-． 【答案】12x =或1x =- 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：2x 2-x =1-2x ， ∵2x 2+x -1=0，∵（2x -1）（x +1）=0， 2x -1=0或x +1=0， ∵12x =或1x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键． 练习1．（2022·安徽合肥·八年级期末）解一元二次方程：()()323x x -=-． 【答案】x 1=3，x 2=5【分析】通过移项，因式分解再求方程的解即可． 【详解】解：（x -3）2=2（x -3） 移项得（x -3）2-2（x -3）=0，因式分解得（x -3）（x -3-2）=0， （x -3）（x -5）=0， ∵x 1=3，x 2=5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，关键是运用因式分解使解方程变得更简洁． 练习2．（2022·上海市罗星中学八年级期末）解方程：24830x x -+=【答案】1231,22x x ==【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】24830x x -+= (23)(21)0x x --=∵230x -=或210x -=1231,22x x ==【点睛】本题考查解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键． (1)()()22311-=-x x (2)()3122x x x -=- 【答案】(1)10x =，212x = (2)123x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式分解因式后求解； （2）利用提公因式分解因式后求解． （1）解：()()22311-=-x x()()223110x x ---=()()3113110x x x x -+---+=()2420x x -=10x =，212x =． （2）()3122x x x -=-()()31210x x x ---=()()3210x x --=∵320x -=或10x -=， 解得，123x =，21x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． (1)2x x = (2)21090x x ++=【答案】(1)10x =，21x =； (2)11x =-，29x =-【分析】（1）利用移项，提公因式求解即可； （2）利用因式分解法求解即可．（1）解：∵2x x =，∵20x x -=，∵x (x -1)=0，∵x =0或x -1=0，∵10x =，21x =； （2）∵21090x x ++=，∵(x +1)(x +9)=0，∵x +1=0或x +9=0，∵11x =-，29x =-【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．考点5：换元法解一元二次方程必备知识点：①在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.题型5 换元法解一元二次方程例1．（2022·全国·九年级专题练习）解方程：()()2226x x x x +++=．【答案】122,1x x ==-【分析】利用换元法可将原方程降次求解，再根据分类讨论思想对一元二次方程求解即可． 【详解】解：设x 2＋x ＝y ，则原方程变形为y 2＋y －6＝0， 解得：y 1＝－3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2＋x ＝2，即x 2＋x －2＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝1；②当y ＝－3时，x 2＋x ＝－3，即x 2＋x ＋3＝0， ∵∵＝12－4×1×3＝1－12＝－11＜0， ∵此方程无解；∵原方程的解为x 1＝－2，x 2＝1．【点睛】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程，能够掌握换元法将原方程降次，熟练运用公式法，因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．例2．（2022·江苏·九年级课时练习）转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程x 4－3x 2－4＝0时，我们就可以通过换元法，设x 2＝y ，将原方程转化为y 2－3y －4＝0，解方程得到y 1＝－1，y 2＝4，因为x 2＝y ≥0，所以y ＝－1舍去，所以得到x 2＝4，所以x 1＝2，x 2＝－2．请参考例题解法，解方程：223320x x x x ＋－+=． 【答案】x 1＝1，x 2＝－4【分析】利用题中给出的方法设23x x +=y ，把方程转化为含y 的一元二次方程，求出y 的值，再求解无理方程，求出x 的值．【详解】解：设23x x +＝y ，则x 2＋3x =y 2， 原方程可化为：y 2－y －2＝0， ∵y 1＝－1，y 2＝2 ， ∵23x x +＝y ≥0， ∵y 1＝－1舍去 ， ∵23x x +＝2， ∵x 2＋3x ＝4， ∵x 2＋3x －4＝0， ∵x 1＝1，x 2＝－4．【点睛】本题考查了解一元二次方程及换元法，掌握换元法的一般步骤是解决本题的关键，换元法的一般步骤：设元(未知数)，换元，解元，还原四步．解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =． 当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±； ∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．仿照上面方法，解方程：222(3)4(3)30x x x x +++=+． 【答案】1352x -+=，2352x --=．【分析】设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0，求出y =-1，或y =-3，再分别解方程即可． 【详解】解：设x 2+3x =y ，则原方程变为y 2+4y +3=0， ∵（y +1）（y +3）=0， 解得y =-1，或y =-3，当y =-1时，x 2+3x =-1，即x 2+3x +1=0，解得x =12353522x x -+--==，，当y =-3时，x 2+3x =-3，即x 2+3x +3=0，因为∆=32-4×3<0，所以方程没有实数根，舍去； ∵原方程有两个根：1352x -+=，2352x --=．【点睛】此题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． (1)2x -2x =99(2)2(21)x -+3（2x -1）=0 (3)22()x x --5（2x -x ）+6=0． 【答案】(1)111x =，29x =- (2)112x =，21x =- (3)12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解求解即可；（3）先令x 2-x =y ，得到关于y 的一元二次方程，然后根据因式分解法求出y ，再把y 的值代入x 2-x =y 求解即可． (1)解：2x -2x =99， ∵2x -2x +1=99+1 ∵2(1)100x -=， ∵110x -=±， ∵111x =，29x =-； (2)解：2(21)x -+3（2x -1）=0，∵(21)[(21)3]0x x --+=，即(21)(22)0x x -+=， ∵210x -=或220x +=， ∵112x =，21x =-； (3)解：22()x x --5（2x -x ）+6=0， 令2x x y -=，则原方程为2560y y -+=∵(2)(3)0y y --=， ∵20y -=或30y -=， ∵y =2或3当y =2时，22x x -=， ∵220x x --= ∵(2)(1)0x x -+=， ∵x -2=0或x +1=0， ∵12x =，21x =-； 当y =3时，23-=x x ， ∵230x x --=， ∵1141(3)11322x ±-⨯⨯-±==， ∵31132x +=，41132x -=． 综上所述，12x =，21x =-，31132x +=，41132x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 阅读材料：像13x x -=这样，根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 13;x x --；两边平方：x ﹣1＝9﹣6x ＋x 2. 解这个一元二次方程：x 1＝2，x 2＝5检验所得到的两个根，只有 是原无理方程的根． 理解应用：解无理方程1122x x +=． 【答案】2x ＝；x ＝3【分析】阅读材料：通过检验可确定原方程的解； 理解应用：先移项得到1212x x -=+，再两边平方得到一个一元二次方程，然后解这个一元二次方程，然后进行检验确定原无理方程的根． 【详解】解：阅读材料： 经检验2x ＝是原方程的解； 故答案为：2x ＝； 理解应用：移项：1212x x -=+， 两边平方：()214414x x x -+=+，解得154x =，23x =， 经检验原无理方程的根为3x ＝．【点睛】本题考查了无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 必备知识点：①根的判别式：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．题型6 根的判别式的应用例1．（2022·江苏扬州·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2312200kx k x k k ．(1)求证：无论x 取何值，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两根都是整数，求整数k 的值． 【答案】(1)见解析 (2)±1【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）用公式法求出方程的两根，1211,2x x k=-=-，再由该方程的两根都是整数，且k 为整数，可得11k -为整数，即可求解． （1）解：根据题意得：231422k k k2296188k k k k =++--221k k =-+()210k =-≥∵无论x 取何值，此方程总有两个实数根；（2）解：2312200kxk x k k ， ∵()()3112k k x k-+±-=， ∵1211,2x x k=-=-， ∵该方程的两根都是整数，且k 为整数，∵11k-为整数， ∵整数k 为±1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根是解题的关键．例2．（2022·安徽滁州·八年级期末）已知关于x 的方程()．(1)小明同学说：“无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m 的值． 【答案】(1)有道理，理由见解析(2)另一个根为2，5m =-【分析】（1）根据Δ=b 2-4ac ＞0，即可得证；（2）将x =-2代入方程，求出m 的值，再将m =-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．（1）解：有道理，理由如下：∵()()()222245416213120b ac m m m m m ∆=-=+-+=++=++>∵无论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将2x =-代入方程得()42510m m -+++=解得5m =-∵原方程为240x -=∵2x =±∵另一个根为2，5m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．练习1．（2022·江苏南京·八年级期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣3mx +m 2+m ﹣3＝0（m 为常数）．(1)求证：无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x ＝2是方程的根，则m 的值为_____． 【答案】(1)见解析(2)552m +=或552-【分析】（1）先计算判别式的值得到∆=（m -2）2+8>0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）将x =2代入方程，解方程即可．（1）解：∵∆=9m 2-4×2（m 2+m -3）=（m -2）2+8>0，∵无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）将x =2代入方程，得8-6m +m 2+m ﹣3＝0，整理得，m 2-5m +5＝0，解得552m +=或552-， 故答案为：552m +=或552-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2-4ac ：当∆＞0，方程有两个不相等的实数根；当∆=0，方程有两个相等的实数根；当∆＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程． 210x kx k ++-=方程总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】根据Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞判断即可．【详解】∵关于x 的方程22210x kx k ++-=，a =1，b =2k ，c =21k -，∵Δ=2224(2)41(1)40b ac k k -=-⨯⨯-=＞，∵无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 练习3．（2022·山东青岛·八年级期中）已知关于x 的一元二次方程250x mx m -+-=．(1)求证：无论m 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；(2)若方程有一根为25m 的值．【答案】(1)见解析(2)4m =【分析】（1）根据根的判别式求出∆的值，即可得到结论；（2）把x =25+代入方程，得出关于m 的方程，解之可得．（1）证明：24(5)m m ∆=--2420m m =-+24416m m =-++2(2)16m =-+∵2(2)160m ∆=-+>∵方程一定有两个不相等的实数根．（2）将25x =+代入原方程，得2(25)(25)50m m +-++-=(15)445m +=+∵4m =【点睛】此题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．练习4．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于x 的方程220x k x k -++=(1)求证：无论k 取何值，该方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的一边长1a =，另两边b 、c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．【答案】(1)见解析(2)三角形另外两边长为2，2【分析】（1）检验根的判别式的正负情况即可得证．（2）∵ABC 是等腰三角形，若b =c ，即∆=0，解出k 后代入方程，解方程可得另外两边长；若a 是腰，则a ＝1是方程的根，把1代入方程解出k 后，再解出方程另一个解，检验是否符合三角形三边关系即可． （1）证明：2(2)42k k ∆=+-⨯2448k k k =++-2(2)0k =-≥所以此方程总有实根．（2）解：①若b c =，则此方程有两个相等实根此时20k -=，则2k =，原方程为：2440x x -+=，122x x ==，∵另外两边长为2和2，②若a c =，则1a =是方程2(2)20x k x k -++=的根，∵21(2)20k k -++=，∵1k =，原方程为2320x x -+=，解得：11x =，22x =，而1、1、2为边不能构成三角形．所以，三角形另外两边长为2，2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形存在性、三角形三边关系等知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．。
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
121 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(解析版)
1.2.1 一元二次方程的解法-配方法与直接开平方法【基础知识】一、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O ；表示为，有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．【典例剖析】考点一：直接开平方法及其条件【典例1】．一元二次方程()229x -=的解为（ ）A ．121x x ==-B ．125x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-= 【答案】D【解析】 23x -=±，∴121,5x x =-=．【典例2】．关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ）A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥．【解析】∵()20x a +≥，∴0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．【典例3】．若（a 2+b 2﹣3）2＝25，则a 2+b 2＝（ ）A ．8或﹣2B ．﹣2C ．8D ．2或﹣8【答案】C【分析】 先直接开平方求得a 2+b 2﹣3＝±5，然后再整体求出a 2+b 2即可． 【解析】解：∵（a 2+b 2﹣3）2＝25，∴a 2+b 2﹣3＝±5，∴a 2+b 2＝3±5，∴ a 2+b 2＝8或a 2+b 2＝﹣2∵a 2+b 2≥0∴a 2+b 2＝8．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键．【典例4】．对于方程()2ax b c +=，下列叙述正确的是（ ）A ．不论c 为何值，方程均有实数根B ．方程的根是c b x a-=C ．当0c ≥时，方程可化为ax b +=ax b +=D ．当0c 时，b x a= 【答案】C【解析】当0c <时，方程没有实数根；当0c ≥时，方程有实数根，则ax b +=，解得12x x ==；当0c 时，解得12b x x a==-． 【典例5】．用直接开平方的方法解方程22(31)(25)x x +=-，做法正确的是（ ）A ．3125x x +=-B ．31(25)x x +=--C ．31(25)x x +=±-D ．3125x x +=±-【答案】C【分析】 一元二次方程22(31)(25)x x +=-，表示两个式子的平方相等，因而这两个数相等或互为相反数，据此即可把方程转化为两个一元一次方程，即可求解．【解析】解：22(31)(25)x x +=-开方得31(25)x x +=±-，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．考点二：配方法【典例6】．用配方法解一元二次方程224x x -=，则下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(22)x +=C ．2(26)x -=D ．2(2)6x +=【答案】C【解析】 2224,42x x x x -=∴-=．224424,(2)6x x x ∴-+=+∴-=．【典例7】．对于方程210a +-=，下列各配方式中，正确的是（ ）A ．(23a =B ．(23a =C ．(23a -=D ．(23a += 【答案】B【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方得出即可．【解析】 解：22210a +-=2=1a ∴+22+=1+2a ∴+∴(23a =故选：B ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的正确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【典例8】．用配方法解方程23620x x -+=，则方程可变形为（ ）A ．()2133x -=B ．()2113x -=C ．()2311x -=D ．()2213x -= 【答案】B【解析】原方程为23620x x -+=，二次项系数化为1，得2223x x -=-．配方，得222113x x -+=-+，∴()2113x -=． 考点三：配方法的应用 【典例9】．已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 满足2264130a a b b -+-+=，c 为奇数，则ABC 的周长为______．【答案】8利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可．【解析】22a b 4a 6b 130+--+=，()()22a 4a 4b 6b 90∴-++-+=， 22(a 2)(b 3)0∴-+-=，a 2∴=，b 3=，∴边长c 的范围为1c 5<<．边长c 的值为奇数，c 3∴=，ABC ∴的周长为2338++=．故答案为：8．【点睛】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键．【典例10】0．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．【答案】4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【解析】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【典例11】．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n ---=，则n m 的值等于____． 【答案】19【分析】根据6m-4n-m 2-n 2与13的大小，确定m ，n 的值．【解析】解：∵min{13，6m-4n-m 2-n 2}=13，∴13≤6m -4n-m 2-n 2．整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，∴m-3=0，n+2=0．解得m=3，n=-2．∴m n =3-2=19． 故答案是：19． 【点睛】考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．【典例12】．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________． 【答案】34【分析】 先将已知等式变形可得1=--z x y ，然后代入M 中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．【解析】解：∵1x y z ++=∴1=--z x y∴23M xy yz zx =++=()()1312---+-+x y x y x x y y=22222333+--+--xy y xy y x x xy=2234223---++x xy y y x=()22224223----++x xy y x y x=()22222-++-x+y x y x +x=()()22111124444⎡⎤⎛⎫--++---+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭x+y x y x x =22111122224⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x =221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∵22112022⎛⎫⎛⎫----≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∴221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ≤34 ∴23M xy yz zx =++的最大值为34故答案为：34． 【点睛】 此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．【过关检测】一、单选题1．方程x 2﹣5＝0的实数解为（ ）A ．x 1x 2B ．x 1＝5，x 2＝﹣5C ．xD ．x 【答案】A【分析】先移项，再利用直接开平方法解一元二次方程．【解析】移项得，x 2＝5，两边开方得，x ＝所以方程的解为x 1x 2故选：A ．【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．22x = ）A ．120,x x ==B ．120,x x ==C ．12x x ==D ．12x x ==【答案】A【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得．【解析】 2x =(23x =，利用直接开方法得：x解得120,x x ==故选：A ．【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．3．方程224(21)25(1)0x x --+=的解为（ ）A ．127x x ==-B ．1217,3x x =-=- C ．121,73x x == D ．1217,3x x =-= 【答案】B【分析】移项后利用直接开平方法解答即可．【解析】解：移项，得224(21)25(1)x x -=+，两边直接开平方，得2(21)5(1)x x -=±+，即2(21)5(1)x x -=+或2(21)5(1)x x -=-+，解得：17x =-，213x =-． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 4．如果方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，那么m 的取值范围是（ ）. A ．0m > B ．7mC ．7m >D ．任意实数【答案】B【分析】根据70-≥m 时方程有实数解，可求出m 的取值范围．【解析】由题意可知70-≥m 时方程有实数解，解不等式得7m ，故选B ．【点睛】形如()2+m =a x 的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．5．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）．A ．x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B ．x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C ．2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】根据配方法，对各个选项分别计算，即可得到答案．【解析】()2222992110011000x x x x x --=-+-=--=即()21100x -=∴选项A 正确；()222898167470x x x x x ++=++-=+-=即()247x +=∴选项B 不正确； 222277498178127422=220221616416t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+-=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴选项C 正确；22224244102103423=3+=303339939y y y y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=------=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴选项D 正确；故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程配方法的性质，从而完成求解． 6．将一元二次方程2850x x --=化成2()x a b +=（a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．4-，21B ．4-，11C ．4，21D ．8-，69【答案】A【分析】根据配方法步骤解题即可．【解析】解：2850x x --=移项得285x x -=，配方得2284516x x -+=+，即()2421x -=，∴a =-4，b =21．故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．7．形如2()(0)ax b p a +=≠的方程，下列说法错误的是（ ）A ．0p >时，原方程有两个不相等的实数根B ．0p =时，原方程有两个相等的实数根C ．0p <时，原方程无实数根D ．原方程的根为x =【答案】D【分析】 根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案．【解析】解：A 、当0p >时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；B 、当0p =时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意；C 、当0p <时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意；D 、当0p ≥时，原方程的根为x =，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 8．不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数 【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案．【解析】 2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>，∴a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键．9．《代数学》中记载，形如21039x x +=的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为2x 的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为392564+=，则该方程的正数解为853-=．”小聪按此方法解关于x 的方程260x x m ++=时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．353C ．352D ．3352【答案】B【分析】 根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为32，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．【解析】x 2+6x+m=0，x 2+6x=-m ，∵阴影部分的面积为36，∴x 2+6x=36，4x=6，x=32， 同理：先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为32x 的矩形，得到大正方形的面积为36+（32）2×4=36+9=4533=． 故选：B ．【点睛】 此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．10．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ） A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023【答案】B【分析】 根据同族二次方程的定义，可得出a 和b 的值，从而解得代数式的最小值．【解析】解：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=为同族二次方程．22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ∴++-+=+-+，22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ∴++-+=+-+++，∴42(2)83b a a -=-+⎧⎨=+⎩， 解得：510a b =⎧⎨=-⎩． 222201*********(1)2013ax bx x x x ∴++=-+=-+，∴当1x =时，22018ax bx ++取最小值为2013.故选：B.【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．二、填空题11．已知方程20x m -=__________．【答案】【分析】把x =,m 再把m 的值代入原方程解方程即可得到答案．【解析】解：把x30,m -=3.m ∴=230,x ∴-=23,x ∴=x ∴=所以：方程的另一根为：故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．12．方程（x-1）2=20202的根是________．【答案】1220212019x x ==-， 【分析】利用直接开平方法求解可得．【解析】∵(1x -)2=20202，∴12020x -=或12020x -=-，解得1220212019x x ==-，， 故答案为：1220212019x x ==-，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13．方程20(1)x x =-的解为______．【答案】1x =-【分析】根据0指数幂的意义并利用直接开平方法解答即可．【解析】解：由原方程得21x =且10x -≠，解得1x =-．故答案为：1x =-．【点睛】本题考查了0指数幂的意义以及利用直接开平方法求解一元二次方程，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．14．一元二次方程24430x x --=的解为____________． 【答案】132x =，212x =- 【分析】先把-3移到方程的右边，然后方程两边都加1，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可.【解析】移项，得2443x x -=，配方，得244131x x -+=+，即2(21)4x -=，两边开平方，得212x -=±， 解得132x =，212x =-． 故答案为132x =，212x =-． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．15．如果关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，那么m 的取值范围是____．【答案】m ＜1【分析】根据直接开平方法定义即可求得m 的取值范围．【解析】解：∵关于x 的方程（x ﹣2）2＝m ﹣1没有实数根，∴m ﹣1＜0，解得m ＜1，所以m 的取值范围是m ＜1．故答案为：m ＜1．【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法．16．已知()(2)10a b a b ++-+=，则+a b 的值为__________．【答案】1.【分析】先把()(2)1a b a b ++-+化成完全平方式，然后直接开平方，即可求解．【解析】∵()(2)10a b a b ++-+=,∴2()2()10a b a b +-++=,∴2(1)0a b +-=,∴10a b +-=,∴1a b +=.故答案为1.【点睛】本题考查用直接开平方法解一元二次方程和完全平方公式，本题中对已知等式进行变形时，应把+a b 看成一个整体进行计算.17．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是____________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.【答案】2110333x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； 2或6. 【分析】把一元二次方程3x 2-2x-3=0提出3，然后再配方即可；多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则2a-3是2a 的平方，然后解方程即可值a 的值．【解析】 根据题意，一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3（x 2-23x-1）=0， 括号里面配方得，3（x-13）2-109×3=0，即3（x-13）2=103； ∵多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，∴2a-3=（2a ）2， ∴解得a=2或6．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，是基础题．18．已知223720336n m m n -+-+=，则56n m -的值为_______． 【答案】0【解析】【分析】已知等式左边配方变形后，利用非负数的性质求出m 与n 的值，即可确定出6n-m 5的值．【解析】 ∵223720336n m m n -+-+= =（m 2-2m+1）+（n 2-3n +136） =（m-1）2+（n-16）2=0， ∴m=1，n=16， 则6n-m 5=1-1=0．故答案为：0【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．19．已知x =y =则225x xy y -+的值为__________.【答案】5【分析】由于x +y =xy =1方便运算，故可考虑将代数式化为含（x +y ）和xy 的项，再整体代入（x +y ）和xy 的值，进行代数式的求值运算．【解析】解： ∵x =y =∴x +y =xy =1，∵225x xy y -+22(2)7x xy y xy =++-=2()7x y xy +-，∴原式=271-⨯=5,故答案为5.【点睛】本题考查了代数式求值和二次根式的运算．由于直接代入计算复杂容易出错，因此可考虑整体代入， 20．已知22143134m n m n =--+，则11m n +的值等于______． 【答案】13【分析】 利用配方法将已知等式转化为()()2212604m n -++=的形式，由非负数的性质求得,m n 的值，然后代入求值即可．【解析】 解：22143134m n m n =--+ 221(2)(6)04m n -++=， 则20m -=，60n +=，所以2m =，6n =-， 所以11111263m n +=-=． 故答案是：13．【点睛】考查了配方法的应用，非负数的性质以及分式的加减法，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．21．关于x 的方程2()10(0)bx b -=≥的根是_________________． 【答案】无解或者x=±1b .【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程即可．【解析】解：∵（bx ）2-1=0∴（bx ）2=1∴bx=±1①当b=0时，该方程无解．②当b ＞0时，x=±1b综上所述，当b=0时原方程无解；当b ＞0时方程的解是x=±1b ．故答案是：无解或者x=±1b．【点睛】考查了解一元二次方程的解法-直接开平方法．形如x 2=p 或（nx+m ）2=p （p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解．22．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________． 【答案】34【分析】 先将已知等式变形可得1=--z x y ，然后代入M 中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．【解析】解：∵1x y z ++=∴1=--z x y∴23M xy yz zx =++=()()1312---+-+x y x y x x y y=22222333+--+--xy y xy y x x xy=2234223---++x xy y y x=()22224223----++x xy y x y x=()22222-++-x+y x y x +x=()()22111124444⎡⎤⎛⎫--++---+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭x+y x y x x =22111122224⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x =221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∵22112022⎛⎫⎛⎫----≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ∴221132224⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x+y x ≤34 ∴23M xy yz zx =++的最大值为34故答案为：34． 【点睛】 此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．三、解答题23．用直接开平方法解下列方程：（1）222322x x +=-+；（2）(3)(3)7x x +-=．【答案】（1）无实数根；（2）14x =，24x =-．【解析】【分析】（1）先移项、合并同类项，可知该方程无解；（2）先去括号、移项、合并同类项，然后开平方即可.【解析】（1）移项、合并同类项，得241x =-，两边同除以4，得2104x =-<． 所以原方程没有实数根．（2）原方程可化为297x -=，移项、合并同类项，得216x =， 两边开平方，得4x =±．所以14x =，24x =-．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成2(0)ax c ac =>，然后系数化为1，再两边开平方即可.24．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）【答案】（1），；（2），；（3），；（4），.【解析】【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可.【解析】解：（1），，，，；（2），，，；（3），，，；（4），，，，.【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解．25．用直接开平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；（2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．【答案】（1）x13x2=232）x1=9，x2=﹣3；（3）y1=﹣53，y2=﹣193；（4）y1=﹣75，y2=1．【分析】（1）直接开方，再移项、合并同类项即可；（2）先方程两边都除以2，再直接开方；（3）先把-49移项到方程右边，再直接开方；（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．【解析】（1）x ﹣∴x 1x 2=2（2）（x ﹣3）2=36，x ﹣3=±6，∴x 1=9，x 2=﹣3；（3）9（y+4）2=49，∴（y+4）2=499， ∴y+4=±73， ∴y 1=﹣53，y 2=﹣193； （4）∵2（2y ﹣5）=±3（3y ﹣1）， ∴y 1=﹣75，y 2=1．【点睛】考查用直接开方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 26．用配方法解下列方程：（1）225x x -=；（2）22103x x -+=； （3）22360x x --=；（4）2212033x x +-=；（5）)3x x =；（6）(23)(6)16x x +-=．【答案】（1）1211x x ==2）原方程无实数根；（3）12x x ==4）123,22x x ==-；（5）12x x ==6）12==x x ． 【分析】（1）方程两边加上1，再进行配方即可求解；（2）移项后，方程两边都加上23一半的平方，再进行配方即可求解； （3）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（4）先将方程的二次项系数化为1，再进行配方即可求解；（5）先将方程整理后，再进行配方即可求解；（6）先将方程整理后，再进行配方即可求解．【解析】（1）225x x -=22+15+1x x -=配方，得2(1)6x -=，1211x x ∴==（2）22103x x -+= 移项，得2213x x -=-． 配方，得21839x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 809-<， ∴原方程无实数根．（3）22360x x --=移项，得2236x x -=．配方，得2357416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x ∴==． （4）2212033x x +-= 移项，得221233x x +=． 配方，得2149416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 123,22x x ∴==-．（5）)3x x =原方程化为一般形式为230x -+=．移项，得23x -=-．配方，得2(0x =，12x x ∴==（6）(23)(6)16x x +-=原方程化为一般形式为229340x x --=．二次项系数化为1得29172x x -=． 配方，得29353416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，12x x ∴== 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方．27．解关于y 的方程：by 2﹣1＝y 2+2．【答案】当b＞1时，原方程的解为y＝；当b≤1时，原方程无实数解．【分析】把b看做常数根据解方程的步骤：先移项，再合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【解析】解：移项得：by2﹣y2＝2+1，合并同类项得：（b﹣1）y2＝3，当b＝1时，原方程无解；当b＞1时，原方程的解为y＝±1b-；当b＜1时，原方程无实数解．【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是根据题意分类讨论．28．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0．解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，①直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），②∴x=﹣7．③上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程．【答案】②漏掉了2（2x-1）=-5(x+1) 见解析．【分析】先将方程化成ax2=b的形式，再根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，从而得出两个关于x的一元一次方程．【解析】第②步错了，直接开方应等于2（2x-1）=±5（x+1），漏掉了2（2x-1）=-5(x+1)正确的解答过程如下：移项得4（2x-1）2=25（x+1）2，直接开平方得2（2x-1）=±5（x+1），即2（2x-1）=5（x+1）或2（2x-1）=-5（x+1）．∴x1=-7，x2=-1 3 .【点睛】考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 29．试证：不论当x 为何值时，多项式42241x x --的值总大于4224x x --的值.【答案】证明见解析【分析】比较大小常用的方式：利用完全平方公式证明两个多项式的差恒大于零即可解答.【解析】因为()()()242424322412423120x x x x x x x -----=-+=-+>，所以原题得证.【点睛】本题考查利用完全平方公式比较多项式的大小，熟练掌握完全平方公式是解题关键.30．李老师在课上布置了一个如下的练习题：若()222316x y +-=，求22x y +的值．看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： (22x y +223y +-=227,y x +=晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤．【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析．【分析】根据22x y +的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和22x y +的非负性解答即可．【解析】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下：()222316x y +-=， 2234x y ∴+-=±，22227,1x y x y ∴+=+=-．不论,x y 为何值22x y +都不等于1-，227x y ∴+=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略22x y +的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题．31．有n 个方程：x 2+2x ﹣8=0；x 2+2×2x ﹣8×22=0；…x 2+2nx ﹣8n 2=0．小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为：“①x 2+2x=8；②x 2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x 1=4，x 2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤 开始出现错误的．（2）用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0．（用含有n 的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x 1=2n ，x 2=﹣4n ．【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【解析】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x 2+2nx ﹣8n 2=0，x 2+2nx=8n 2，x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2，（x+n ）2=9n 2，x+n=±3n ，x 1=2n ，x 2=﹣4n ．32．选取二次三项式2(0)ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：2242(2)(224)x x x x -+=+或2242(2)(422)x x x x -+=-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料解决下面问题：（1）写出284x x -+的两种不同形式的配方．（2）已知22330x y xy y ++-+=，求y x 的值．（3）已知a 、b 、c 为三条线段，且满足()222214(23)a b c a b c ++=++，试判断a 、b 、c 能否围成三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；（2）根据22330x y xy y ++-+=求出x 、y 的值，代入求解即可；（3）将原式进行转换，得出a 、b 、c 之间的等量关系，从而进行判断．【解析】（1）22284816164(4)12x x x x x -+=-+-+=--或2284(2)4x x x x -+=--．（2）22330x y xy y ++-+=，223(2)024y x y ⎛⎫∴++-= ⎪⎝⎭． 1x ∴=-，2y =．2(1)1y x ∴=-=．（3）不能，理由如下：原式变形：(222222141414494612)0a b c a b c ab ac bc ++-+++++=． ()()()222222449691240a ab b a ac c b bc c ∴-++-++-+=．即222(2)(3)(32)0a b a c b c -+-+-=．2b a ∴=，3c a =，32b c =．3a b a c ∴+==．∴a 、b 、c 三条线段不能围成三角形．【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．33．我们把形如x 2=a （其中a 是常数且a≥0）这样的方程叫做x 的完全平方方程．如x 2=9，（3x ﹣2）2=25，21()43x x +-=…都是完全平方方程． 那么如何求解完全平方方程呢？探究思路：我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．如：解完全平方方程x 2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x 1=3，x 2=﹣3．解决问题：（1）解方程：（3x ﹣2）2=25．解题思路：我们只要把 3x ﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．解：根据乘方运算，得3x ﹣2=5 或 3x ﹣2= ．分别解这两个一元一次方程，得x 1=73，x 2=﹣1． （2）解方程21()43x x +-=． 【答案】（1）﹣5；（2）x 1=52-，x 2=72． 【分析】（1）根据乘方运算求解；（2）根据题意给出的思路即可求出答案．【解析】（1）3x ﹣2=﹣5，（2）根据乘方运算， 得123x x +-=± ∴x 1=52-，x 2=72． 【点睛】考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意.34．阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2+2ab +b 2=(a +b )2配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．例如：①我们可以将代数式a 2+6a +10进行变形，其过程如下 a 2+6a +10=(a 2+6a )+10=(a 2+6a +9)+10-9=(a +3)2+1 ∵(a +3)2≥0∴(a +3)+1≥1，因此，该式有最小值1②已知：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =0将其变形， a 22ab +2ac +b 2++2bc +c 2=0 a 2+2a (b +c )+(b +c )2= 可得(a +b +c )2=0(1)按照上述方法，将代数式x 2+8x +20变形为a (x +h )2+k 的形式；(2)若p =-x 2+2x +5，求p 的最大值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+2b 2+c 2-2b (a +c )=0，试判断此三角形的形状并说明理由；(4)已知：a =2020x +2019， b =2020x +2020，c =2020x +2021，直接写出a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值．【答案】(1)()244x ++； (2)6；（3）等边三角形；（4）3【分析】（1）根据材料步骤配方即可；（2）配方后即可求最大值；（3）先配方成几个平方的和为0的形式即可解题；（4）扩大两倍后平方即可.【解析】(1) x 2+8x +2=( x 2+8x )+20=( x 2+8x+16)+20-16=()244x ++(2)p =-x 2+2x +5=()222(2)5(211)615x x x x x --+=-+=---+-+∵(x -1)2≥0∴()2661x --+≤因此，该式有最大值6(3) 2222220a b c ab bc ++--= 2222220a ab b b c bc -+++-=22()()0a b b c -+-=∴0,0a b b c -=-=∴a b c ==∴三角形是等边三角形(4) 原式22212()2a b c ab bc ac =⨯⨯++--- 2221(222222)2a b c ab bc ac =⨯++--- 2222221(222)2a ab bc c ab bc ac =⨯+++++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =⨯-++-++-+ 2221[()()()]2a b a c b c =-+-+- ∵a =2020x +2019， b =2020x +2020，c =2020x +2021∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1∴原式2221[(1)(2)(1)]2=-+-+-=3 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟读阅读材料并理解运用是解题的关键.。
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
《用公式法解一元二次方程》课时练习(含答案) 2021--2022学年青岛版数学九年级上册
青岛版数学九年级上册4.3《用公式法解一元二次方程》课时练习一、选择题1.解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( )A.直接开平方法B.配方法C.公式法或配方法D.分解因式法2.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3=0时,首先要确定a,b,c 的值,下列叙述正确的是( ) A.a=3，b=2，c=3 B.a=－3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=-3D.a=3，b=-2，c=33.一元二次方程x 2-0.25=2x 的解是( ) A. B.252±=x C.251+=x D.251±=x4.用公式法解方程4x 2﹣12x=3所得的解正确的是( )A.x=B.x=C.x=D.x=5.以x=为根的一元二次方程可能是( )A.x 2+bx+c=0B.x 2+bx ﹣c=0C.x 2﹣bx+c=0D.x 2﹣bx ﹣c=06.下列方程适合用求根公式法解的是( )A.(x ﹣3)2=2B.325x 2﹣326x+1=0C.x 2﹣100x+2500=0D.2x 2+3x ﹣1=07.用公式法解﹣x 2+3x=1时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为( )A.﹣1，3，﹣1B.1，﹣3，﹣1C.﹣1，﹣3，﹣1D.1，3，18.用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3=0时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是( ) A.a=3，b=2，c=3B.a=－3，b=2，c=3C.a=3，b=2，c=－3D.a=3，b=－2，c=3 9.方程x 2＋x －1=0的一个根是( )A.1－ 5B.1－52C.－1＋ 5D.－1＋5210.方程2x 2＋43x ＋62=0的根是( )A.x 1=2，x 2= 3B.x 1=6，x 2= 2C.x 1=22，x 2= 2D.x 1=x 2=－ 6二、填空题11.用求根公式解方程x 2+3x=﹣1，先求得b 2﹣4ac= ，则 x 1= ，x 2= .12.当 ≥0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为 .13.把方程(x+3)(x ﹣1)=x(1﹣x)整理成ax 2+bx+c=0的形式 ，b 2﹣4ac 的值是 .14.已知关于x 的方程ax 2－bx ＋c=0的一个根是x 1=12，且b 2－4ac=0， 则此方程的另一个根x 2= .15.方程2x 2－6x －1=0的负数根为 .16.等腰三角形的边长是方程x 2-22x+1=0的两根,则它的周长为 .三、解答题17.用公式法解方程：(x ＋2)2=2x ＋4；18.用公式法解方程：6x 2－11x ＋4=2x －2；19.用公式法解方程：2x 2＋7x=4.解：∵a=2，b=7，c=4，∴b 2－4ac=72－4×2×4=17.∴x=－7±174， 即x 1=－7＋174，x 2=－7－174. 上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正.20.如图所示，要设计一座1 m高的抽象人物雕塑，使雕塑的上部(腰以上)AB与下部(腰以下)BC 的高度比，等于下部与全部(全身)AC的高度比，雕塑的下部应设计为多高？参考答案1.答案为：C2.答案为：D3.答案为：B.4.答案为：D.5.答案为：D.6.答案为：D.7.答案为：A.8.答案为：D9.答案为：D10.答案为：D11.答案为：5；； 12.答案为：b 2﹣4ac ；x=13.答案为：2x 2+x ﹣3=0；25.14.答案为：12. 15.答案为：x=3－112. 16.答案为：32+117.解：原方程可化为x 2＋2x=0.a=1，b=2，c=0.Δ=b 2－4ac=22－4×1×0=4. x=－2±42=－1±1， x 1=0，x 2=－2. 18.解：原方程可化为6x 2－13x ＋6=0.a=6，b=－13，c=6.Δ=b 2－4ac=(－13)2－4×6×6=25. x=13±252×6=13±512， x 1=32，x 2=23.19.解：不正确.错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c 的符号错误. 正解：移项，得2x 2＋7x －4=0，∵a=2，b=7，c=－4，∴b 2－4ac=72－4×2×(－4)=81.∴x=－7±812×2=－7±94. 即x 1=－4，x 2=12. 20.解：设雕塑的下部应设计为x m ，则上部应设计为(1－x)m.根据题意，得1－x x =x 1. 整理，得x 2＋x －1=0.解得x 1=－1＋52，x 2=－1－52(不合题意，舍去). 经检验，x=－1＋52是原分式方程的解. 答：雕塑的下部应设计为5－12 m.。
122 一元二次方程的解法-2021-2022学年九年级数学上(苏科版)(解析版)
1.2.2 一元二次方程的解法-公式法与因式分解法【基础知识】一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bx a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典例剖析】考点一：公式法【典例1】．小丽同学想用公式法解方程231x x -+=，你认为a ，b ，c 的值应分别为（ ） A ．1-，3，1- B ．1-，3，1 C ．1-，1-，1 D ．1，3-，1-【答案】A 【解析】∵231x x -+=，∴2310x x -+-=．∴1,3,1a b c =-==-．【典例2】．用公式法解方程23412x x +=，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】D 【解析】231240,3,12,4x x a b c -+===-=，代入求根公式得x =．【典例3】．当20,40a b ac ≠-≥的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．20ax bx c -+=C ．2ax bx c +=D ．2ax bx c =+【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程20ax bx c ++=，当0a ≠，240b ac -≥的时候，它有两个实数根242b b c aa -±-．故选：A ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式．【典例4】．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3 B ．2C ．1D ．23【答案】B 【解析】试题分析：2x 2－6x ＋3＝0， 这里a ＝2，b ＝－6，c ＝3， ∵△＝36－24＝12， ∴x 623±33±，即p 33- x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1， ∵△＝4＋8＝12， ∴x 223±13±， 即q ＝132+则p ＋q 2． 故选B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解．考点二：因式分解法【典例5】．方程23x x =的根是（ ） A ．3x = B ．0x =C ．123,0x x =-=D ．123,0x x ==【答案】D 【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x （x ﹣3）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x ＝0或x ﹣3＝0，然后解一元一次方程即可． 【解析】 解：∵x 2＝3x ， ∴x 2﹣3x ＝0， ∴x （x ﹣3）＝0， ∴x ＝0或x ＝3， 故选：D ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可． 【典例6】．方程2(3)5(3)x x x +=+的根是（ ） A ．52x =B ．3x =-或52x =C ．3x =-D ．3x =或52x =-【答案】B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：2(3)5(3)x x x +=+ 移项，得2(3)5(3)0x x x +-+=()(3)250x x +-=解得：3x =-或52x = 故选B ． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 【典例7】．下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）A ．210x x -+=B ．2(10x x +=C ．22350x x ++=D ．2650x x --=【答案】B 【分析】根据因式分解法即可得． 【解析】观察四个选项可知，只有选项B 适合用因式分解法解，即2(10x x +=可因式分解为(1)(0x x +=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解方程，掌握因式分解法是解题关键． 【典例8】．用因式分解法解方程，下列方法正确的是（ ） A ．∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -= B ．∵()()311x x +-=，∴30x +=或11x -= C ．∵()()2323x x --=⨯，∴22x -=或33x -= D ．∵()20x x +=，∴20x += 【答案】A 【解析】∵()()22340x x --=，∴220x -=或340x -=，A 选项正确，符合题意；由于使用因式分解法解方程时方程右边须为0，故B ，C 选项错误；∵()20x x +=，∴20x +=或0x =，故D 选项错误．考点三：综合题（换元法、含绝对值问题、设值（参）与代换问题）【典例9】．解方程① 9(x -3)2 = 25，② 6x2 -x = 1，③ x2 +4x -3596 = 0，④ x(x -1) = 1.较简便的方法依次是（）；A．开平方法、因式分解法、公式法、配方法B．因式分解法、公式法、公式法、配方法C．配方法、因式分解法、配方法、公式法D．开平方法、因式分解法、配方法、公式法【答案】D对于第①个方程，由于左右两边是某个数或式子的平方，据此选择开平方法解方程；对于方程②可结合因式分解中的基本方法分析即可得解; 对于方程③二次项系数为1可考虑配方法; 对于方程④利用公式法求解比较简便.【解析】解：方程①符合直接开方法的形式，因此选择开平方法比较简便；方程②等号左边含有公因式x，则可利用因式分解法比较简便；方程③等号左边二次项系数为1，则可利用配方法比较简便；方程④等号左边展开，移项，然后利用公式法求解比较简便.故选D.【点睛】本题是解一元二次方程的题目，关键是知道如何合理的选择解一元二次方程的方法.【典例10】0．已知(x+y)(x+y +2) = 15, 则x+y的值为（）.A．3或5 B．3或-5 C．-3或5 D．-3或-5【答案】B【分析】首先把x+y看做一个整体,然后利用因式分解法解此方程即可.【解析】解：方程整理，得：(x+y) ²+2(x+y)−15=0，因式分解，得： [(x+y)+5][(x+y)−3]=0，得：x＋y＝－5或x＋y＝3.故答案为B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握此解法是解本题的关键．【典例11】．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是（）．A．1；B．2；C．3；D．4．【答案】C【分析】利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可．【解析】解：当x＞0时，原式=x2-3x+2=0，解得：x1=1；x2=2；当x＜0时，原式=-x2+3x+2=0，解得：x1（不合题意舍去），x2∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，充分考查的是绝对值的意义．【典例12】．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（）A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误【答案】A【解析】（x+2）（x﹣2）=5，x2-4=5，x2-9=0，（x+3）（x-3）=0，x+3=0或x-3=0，x1=-3，x2=3，所以甲错误，乙正确，故选A.【典例13】．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（）A．0，﹣23B．0，23C．﹣1，2 D．1，﹣2【答案】A【解析】【分析】将x0、﹣x0分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可. 【解析】设x0为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x0为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，∴（a+1）x02﹣a x0+a2﹣a﹣2=0①，（a+1）x02﹣a x0﹣a2+a+2=0②，∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1，当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣23；②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.∴方程的解是0或﹣2 3 .故选A.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.【过关检测】一、单选题1．方程210x x+-=的根是（）A．1B C．1-D 【答案】D【分析】观察原方程，可用公式法求解. 【解析】解：∵1a =，1b =，1c =-， ∴241450b ac -=+=>，∴x =； 故选：D . 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，正确理解运用一元二次方程的求根公式是解题的关键.2．一元二次方程260x +-=的根是( )A ．12x x ==B ．120x x ==-，C ．12x x ==-D ．12x x ==-【答案】C找出方程中二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，再根据x=2b a-± ，将a ，b 及c 的值代入计算，即可求出原方程的解． 【解析】解：∵a=1，c=-6∴ =2- =，∴x 1，x 2 故选：C ． 【点睛】本题考查利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a ，b 及c 的值代入求根公式即可求出原方程的解．3．一元二次方程x 2﹣px+q=0的两个根是（4q ＜p 2）（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式x=(240b ac -≥)可直接得到答案．【解析】∵a=1，b=-p ，c=q ， ∴b 2-4ac=p 2-4q ， ∵4q ＜p 2， ∴b 2-4ac=p 2-4q ＞0，∴x= 2b a -故选A ． 【点睛】此题主要考查了公式法解一元二次方程，关键是掌握求根公式．4．若在实数范围内定义一种运算“*”,使a*b =(a +1)2-ab ,则方程(x +2)*5=0的解为( )A ．-2B ．-2,3C D【答案】D 【分析】根据题目所给的运算方法，列出一元二次方程，解方程求解即可. 【解析】∵a*b =(a +1)2-ab ,，∴(x +2)*5=(x +2+1)2-5(x +2)= x 2+x -1， ∵(x +2)*5=0， ∴x 2+x -1=0，解得x 1,x 2故选D. 【点睛】本题是阅读理解题，根据新运算的规则列出方程是解答此题的关键． 5．方程()()451x x +-=的根为（ ） A ．x=-4B ．x=5C ．14x =-，25x =D ．以上结论都不对【答案】D 【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可. 【解析】原方程化为2210x x --=，利用求根公式有x =A 、B 、C 中都没有方程的根，故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解方程时，一定把方程化为一般形式.6．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ） A ．a 4=-，b 5=，c 3= B ．a 4=-，b 5=-，c 3= C ．a 4=，b 5=，c 3= D ．a 4=，b 5=-，c 3=- 【答案】B 【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式． 【解析】 ∵-4x 2+3=5x∴-4x 2-5x+3=0，或4x 2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B ． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式． 7．一元二次方程2234x x x -+=-+ 的根是（ ）A ．11x =-2x 1=-B ．1x =， 212x =C ．112x+=,212x -=D ．1211x x =-+=--【答案】D 【解析】试题解析：方程整理得：2220.x x +-=()224242120.b ac ∆=-=-⨯-=>1x ===-±故选D.点睛：一元二次方程：()200.ax bx c a ++=≠公式法的求根公式为：x =8．方程ax 2+bx+c=0（a ＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（ ）ABC ．2b a -≤2b a-D 【答案】A 【解析】因为b b -≤-且 a ＜0,,故选A.9．已知实数x 满足()()2224120x x x x ----=，则代数式21x x -+的值是( )A ．7B ．-1C ．7或-1D ．-5或3【答案】A 【分析】将x 2-x 看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x 2-x 的值，再整体代入进行求解即可. 【解析】∵(x 2﹣x)2﹣4(x 2﹣x)﹣12＝0， ∴(x 2﹣x+2)(x 2﹣x ﹣6)＝0， ∴x 2﹣x+2＝0或x 2﹣x ﹣6＝0， ∴x 2﹣x ＝﹣2或x 2﹣x ＝6； 当x 2﹣x ＝﹣2时，x 2﹣x+2＝0， ∵b 2﹣4ac ＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解；当x 2﹣x ＝6时，x 2﹣x+1＝7， 故选A ． 【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x 2-x 看成一个整体． 10．若方程()()x 23x 10-+=，则3x 1+的值为( )? A ．7 B ．2C ．0D ．7或0【答案】D 【分析】根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x 的值，将x 的值代入31x +中，即可求出值．方程2310x x -+=（）（），可得20x -=或310x +=，解得：12123x x ==-，，当2x =时，313217x +=⨯+=；当13x =-时，1313103x +=⨯-+=（）． 故选D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为0，左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 11．方程2430x x -+=的解是（ ） A ．1x =±或3x =± B ．1x =或3x = C ．1x =-或3x =- D ．无实数根【答案】A 【解析】 【解析】（1）当x ＞0时，原方程可变形为2430x x -+=， 即()()310x x --=， 解得1x =或3x =；（2）当x ＜0时，原方程可变形为2430x x ++=， 即()()310x x ++=， 解得1x =-或3x =-，则方程2430x x -+=的解是1x =±或3x =±. 故选A. 【点睛】解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可. 12．若1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，满足()()()()()2123452005200520052005200524x x x x x -----=，则2222212345x x x x x ++++的末位数字是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．7【分析】因为1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数，所以()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为26224=23 ，所以这5个偶数只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011，所以2222212345x x x x x ++++的末位数字是1 【解析】解：∵1x ，2x ，3x ，4x ，5x 为互不相等的正奇数∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -为互不相等的偶数，且负数个数为偶数个而将224分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：2242(2)46(6)=⋅-⋅⋅-∴()12005x -，()22005x -，()32005x -，()42005x -，()52005x -分别等于2、()2-、4、6、()6- ∴1x ，2x ，3x ，4x ，5x 分别等于2007，2003，2001，1999，2011又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1∴2222212345x x x x x ++++的末位数字是1．故选A ． 【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．二、填空题13．方程()()1312x x -+=的解为________． 【答案】3或5- 【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解． 【解析】（x-1）（x+3）=12 x 2+3x-x-3-12=0 x 2+2x-15=0282-±==, ∴x 1=3，x 2=-5 故答案是:3或-5． 【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式． 14．把方程2511333x x +=-化为一般形式是______，其中a =______，b =______，c =______，24b ac -=______，方程的根是1x =______，2x =______.【答案】23520x x --= 3 －5 －2 49 13- 2 【分析】方程整理为一般形式，找出一般形式中a ，b ，c 的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【解析】 解：方程2511333x x +=-化为一般形式是：23520x x --=， ∴a ＝3，b ＝−5，c ＝−2， ∵b 2−4ac ＝25＋24＝49， ∴x ＝54957236， 则方程的解为x 1＝13-，x 2＝2． 故答案为23520x x --=；3，−5，−2，49；13-，2． 【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．15．方程20.250x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．【答案】5 12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可． 【解析】解：20.250x x +-= a=0.2，b=1，c=-5∴24b ac -=()2140.2550-⨯⨯-=<∴x=120.2-±⨯=52-±∴125522x x -+--==故答案为：5；12x x ==【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键． 16．方程()()2232x x -=-用________法求解较宜，解得方程的根是____________ 【答案】因式分解 122 5.x x ==， 【分析】先移项，然后利用因式分解法进行解方程，即可求出方程的根． 【解析】解：∵()()2232x x -=-， ∴()()22320x x ---=， 利用因式分解法，得()()2230x x ---=，∴()()250x x --=， ∴20x -=或50x -=，∴122, 5.x x ==∴原方程的根是122, 5.x x == 故答案为：因式分解；122, 5.x x == 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程． 17．一元二次方程x(x ﹣5)=x ﹣5的解为___________． 【答案】x 1=5，x 2=1 【分析】先移项得到x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x （x ﹣5）﹣（x ﹣5）=0， （x ﹣5）（x ﹣1）=0， x ﹣5=0或x ﹣1=0， 所以x 1=5，x 2=1． 故填x 1=5，x 2=1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．18．已知2－4c>0)，则x 2＋bx ＋c 的值为_______________________.【答案】0 【分析】把x 的值代入代数式，再进行计算即可． 【解析】∵2(40)2b x bc -=->，∴2,x bx c ++2,22b b b c ⎛⎫--=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭,c =,c =2222422,4b bc b c ---+=+,c c =-+ 0.=故答案为0. 【点睛】考查解一元二次方程-公式法，把x 的值代入是解题的关键.19．设A 是方程x 2的所有根的绝对值之和,则A 2=________. 【答案】4083 【分析】根据公式法得到，再根据题意得到，计算即可得到答案.【解析】由公式法得x=2，则=A 2=4083.【点睛】本题考查公式法求一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求一元二次方程.20．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．已知关于x 的一元二次方程2455x x m mx -+=+和2210x x m ++-=互为“友好方程”，则m 的值为_______．【答案】34-或1或2- 【分析】先利用因式分解法解方程2455x x m mx -+=+，得到x 1=5，x 2=m-1．再分别将x=5，x=m-1代入x 2+2x+m-1=0，求出m 的值即可． 【解析】2455x x m mx -+=+，整理得2(4)5(1)0x m x m -++-=，分解因式，得(5)[(1)]=0x x m ---， 解得1251x x m ==-，．当5x =时，221x x m ++-=251010m ++-=， 解得34m =-；当1x m =-时，221x x m ++-=21)11)0(2(m m m -+-+=-， 解得1m =或2m =-． 所以m 的值为34-或1或2-． 故答案为：34-或1或2-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，求出方程2455x x m mx -+=+的两个解是解题的关键． 21．已知c 为实数，并且方程x 2﹣3x +c =0的一个根的相反数是方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，则方程x 2+3x ﹣c =0的解是______． 【答案】x 1=0，x 2=﹣3． 【解析】解：设方程x 2﹣3x +c =0一个根为t ，则t 2﹣3t +c =0①，因为﹣t 为方程x 2+3x ﹣c =0的一个根，所以t 2﹣3t ﹣c =0②，由①②得：c =0，解方程x 2+3x =0得：x 1=0，x 2=﹣3．故答案为x 1=0，x 2=﹣3．22．对于实数a ，b ，定义运算“*”，a *b ＝22()()a ab a b ab b a b ⎧->⎨-≤⎩例如4*2．因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8，若x 1、x 2是一元二次方程x 2－9x ＋20＝0的两个根，则x 1*x 2＝__． 【答案】4【解析】试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.试题解析：x 2－7x ＋12＝0，(x －4)(x －3)＝0，x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 2＝3或x 1＝3，x 2＝4.当x 1＝4，x 2＝3时，x 1*x 2＝42－4×3＝4， 当x 1＝3，x 2＝4时，x 1*x 2＝3×4－42＝－4，∴x 1*x 2的值为4或－4. 点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，#等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.三、解答题23．公式法解方程：（1）2220x x +-=；（2）2(2)3x x x +=-；（3）228817x x x -+=．【答案】（1）1211x x =-=-2）121,32x x ==-；（3）1211,2x x =-=． 【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可；（3）方程整理成一般式后，直接利用公式法求解即可．【解析】（1）122a b c ===-，，，224241(2)120b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=>，1x ∴===-即1211x x =-=-（2）2(2)3x x x +=-，22530x x ∴+-=，253a b c ∴===-，，，224542(3)49b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，557244b x a ---±∴===，12132x x ∴==-，；（3）228817x x x -+=，整理，得2210x x +-=，211a b c ∴===-，，，224142(1)9b ac ∴∆=-=-⨯⨯-=，134x -±∴===，12112x x ∴=-=，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．24．用因式分解法解下列关于x 的方程（1）()()2234410x x --+= （2）23(5)2(5)x x -=-（3）(1)(2)24x x x ++=+ （4）2(2)3(2)40x x +++-= 【答案】（1）137x =，25x =-；（2）15=x ，2133x =；（3）12x =-，21x =；（4）16x =-，21x =-【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解析】解：（1）()()22344+1=0x x --()()()()344+1344+1=0x x x x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-+-- ()()735=0x x --- 解得：137x =，25x =- （2）23(5)2(5)x x -=-23(5)2(5)0x x -+-=[](5)3(5)20x x --+=()(5)3130x x --=解得：15=x ，2133x = （3）(1)(2)24x x x ++=+()(1)(2)220x x x ++-+=()2(1)0x x +-=解得：12x =-，21x =（4）2(2)3(2)40x x +++-=(24)(21)0x x +++-=(6)(1)0x x ++=解得：16x =-，21x =-【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．25．按指定的方法解方程：（1）9（x ﹣1）2﹣5=0（直接开平方法）（2）2x 2﹣4x ﹣8=0（配方法）（3）6x 2﹣5x ﹣2=0（公式法）（4）（x+1）2=2x+2（因式分解法）【答案】（1）x 1，x 22）x 1x 2=13）x 1，x 2（4）x 1=﹣1，x 2=1．【分析】（1）移项后，利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法，先把二次项的系数化为1，再确定一次项的系数，然后配方即可；（3）先确定a 、b 、c 的值，然后求出△=b 2-4ac ，判断后利用公式法解方程即可；（4）把方程右边提公因式2，再移项，提公因式x+1即可解方程.【解析】（1）移项得：9（x ﹣1）2=5，（x ﹣1）2=59，开方得：x ﹣x 1，x 2； （2）2x 2﹣4x ﹣8=0，2x 2﹣4x=8，x 2﹣2x=4，配方得：x 2﹣2x+1=4+1，（x ﹣1）2=5，开方得：x ﹣x 1x 2=1（3）6x 2﹣5x ﹣2=0，b 2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×6×（﹣2）=73，x 1=12，x 2=512； （4）（x+1）2=2x+2，（x+1）2﹣2（x+1）=0，（x+1）（x+1﹣2）=0，x+1=0，x+1﹣2=0，x 1=﹣1，x 2=1．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解法，关键是熟练掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法.26．用因式分解法解下列关于x 的方程：（1）2152x x -=；（2）224(3)(2)0+--=x x ；（3）222(3)9x x -=-；（4）22204a x ax b -+-=．【答案】（1）10x =，210x =-；（2）18x =-，243x =-；（3）13x =，29x =；（4）112x a b =-，212x a b =+．【分析】（1）移项后提取公因式；（2）使用平方差公式；（3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式；（4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式．【解析】解：（1）2152x x -=，21502x x +=，1502x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有0x =或1502x +=， 解得：10x =，210x =-；（2）224(3)(2)0+--=x x ，[][]2(3)(2)2(3)(2)0x x x x +--++-=，(8)(34)0x x ++=，则有80+=x 或340+=x ，解得：18x =-，243x =-； （3）222(3)9x x -=-，22(3)(3)(3)x x x -=+-，[](3)2(3)(3)0x x x ---+=，(3)(9)0x x --=，则有30x -=或90x -=，解得：13x =，29x =；（4）22204a x ax b -+-=， 2202⎛⎫--= ⎪⎝⎭a x b ， 022a a x b x b ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则有02a x b -+=或02--=a x b ， 解得：112x a b =-，212x a b =+． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根．27．选用适当的方法解下列方程：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0；（3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ）【答案】（1）x 1＝0，x 2＝3；（2）x 1＝2，x 2＝﹣12；（3）x 1＝﹣1，x 2＝35；（4）x 1＝1，x 2＝22 ． 【分析】（1）用完全平方式变形后，提出公因式求解即可；（2）整理后分解因式得出两个一元一次方程，求解即可；（3）先开平方，可得出两个一元一次方程，求解即可；（4）移项后整理分解因式即可求解．【解析】解：（1）（3﹣x ）2+x 2＝9，2x 2﹣6x ＝0，x 2﹣3x ＝0，x （x ﹣3）＝0，x 1＝0，x 2＝3；（2）（2x ﹣1）2+（1﹣2x ）﹣6＝0，（2x ﹣1）2﹣（2x ﹣1）﹣6＝0，（2x ﹣1﹣3）（2x ﹣1+2）＝0，x 1＝2，x 2＝﹣12； （3）（3x ﹣1）2＝4（1﹣x ）2；3x ﹣1＝±2（x ﹣1），3x ﹣1＝2x ﹣2或3x ﹣1＝﹣2x +2，x 1＝﹣1，x 2＝35；（4x ﹣1）2＝（1﹣x ），x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）＝0，x 1＝1，x 2＝22-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．28．选择合适的方法解方程：（1）(1)x x x -=；（2）(1)(1)2(3)8x x x +-++=；（326x =（4）2210x x --=．【答案】（1）120,2x x ==；（2）123,1x x =-=；（3）1x 2x =（4）11x =21x =【分析】（1）移项后利用分解因式法求解；（2）先化为一般形式，再利用分解因式法求解；（3）二次项系数化为1后利用配方法求解；（4）利用公式法解答即可．【解析】解：（1）移项，得(1)0x x x --=，提取公因式，得(11)0x x --=．∴0x =或110x --=，解得：120,2x x ==；（2）整理，得212680x x -++-=，即2230x x +-=，因式分解，得(3)(1)0x x +-=．即30x +=或10x -=，解得：123,1x x =-=；（326x -=二次项系数化为1，得21x -=-．配方，得2221x -+=-+，即2(2x =，∴x -=解得：1x =2x =（4）方程中，1,2,1a b c ==-=-，2(2)41(1)80∴∆=--⨯⨯-=>．∴212x ==即11x =21x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 29．解方程：(x －2 013)(x －2 014)＝2 015×2 016．【答案】原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．【分析】根据题意结合等式的性质可分情况讨论，将方程转化为两个方程组，方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩或2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，然后分别解方程组即可求解． 【解析】解：由题意得：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩的解一定是原方程的解，解得x ＝4 029， 方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩的解也一定是原方程的解，解得x ＝－2， ∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x 1＝4 029，x 2＝－2．30．小明在解方程x 2﹣5x ＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝1，（第一步）∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x =∴152x =，252x =（第四步） （1）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ．（2）写出此题正确的解答过程．【答案】（1）一，原方程没有化简为一般形式；（2）见解析【分析】（1）根据一元二次方程的解法步骤即可求出答案．（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解析】解：（1）确定一元二次方程的系数时，应该先化简为一般形式，所以小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是原方程没有化简为一般形式．故答案为：一，原方程没有化简为一般形式．（2）∵a ＝1，b ＝﹣5，c ＝﹣1，∴b 2﹣4ac ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．∴x =∴1x ，2x = 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．31．阅读理解：方程()200++=≠ax bx c a 的根是x =.方程20y by ac ++=的根是y =因此，要求()200++=≠ax bx c a 的根，只要求出方程20y by ac ++=的根，再除以a 就可以了. 举例：解方程2172806x x ++=. 解：先解方程：2187206y y ++⨯=，得12y =-，26y =-. 所以方程2172806x x ++=的两根是1272x -=，2672x -=. 即1136x =-，2112x =-. 请按上述阅读理解中所提供的方法解方程2149607x x +-=. 【答案】1149x =，217x =- 【分析】 根据材料中方法先求出方程2164907y y +-⨯=的根，然后再除以49即可. 【解析】 先解方程2164907y y +-⨯=，即2670y y +-=， 分解因式得()()170y y -+=，解得11y =，27y =-，∴方程2149607x x +-=的解为1149x =，217x =-. 【点睛】此题考查了解一元二次方程−公式法与因式分解法，理解题中的方法是解本题的关键．32．阅读下面的材料：解方程2||20x x --=．解：当0x >时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；当0x =时，20-=，矛盾，舍去；当0x <时，原方程化为220x x +-=解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．请参照上面材料解方程．（1）2|1|10x x ---=；（2）2|21|4x x =-+．【答案】（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-【分析】（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．【解析】（1）2|1|10x x ---=，当1x >时，原方程化为20x x -=，解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）； 当1x =时，原方程化为1010--=，∴1x =是原方程的解；当1x <时，原方程化为220x x +-=，解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1212x x ==-，； （2）2|21|4x x =-+， 当12x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144=，矛盾，舍去； 当12x <时，原方程化为2250x x +-=，解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．综上所述，原方程的根是1231x x ==-，【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程． 33．已知a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中较小的根.（1）求242012a a -+的值；（2）化简求值21211a a a a-+-.【答案】（1）2011；（2）a-1，1【分析】（1）因为a 是一元二次方程的根，可得到2410a a -+=，进而可得到结果；（2）先解出方程，方程两个解中较小的为a ，然后利用二次根式与分式的化简法则对代数式进行化简，最后代入a 即可.【解析】（1）a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2410a a ∴-+=.2420122011a a ∴-+=.（2）解方程可得12x =22x =a 是一元二次方程2410x x -+=的两个实数根中最小的根，2a ∴=110a ∴-=<.21211a a a a-+--()2111a a a -=- ()21(1)(1)=(1)a a a a a a ------ ()21(1)a a a a -=- 1a =-∴原式1=【点睛】本题考查一元二次方程的解以及二次根式的混合运算，解题关键在于能够得到a 的值.34．观察下列方程：①2227910x x -+=；②2223660x x -+=；③2219450x x -+=；④2215280x x -+=；⑤2211150x x -+=；…上面每一个方程的二次项系数都是2，各个方程的解都不同，但每个方程24b ac -的值均为1．（1）请你写出两个方程，使每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同．（2）对于一般形式的一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0，24b ac -≥0），能否作出一个新方程20ax b x c '+'+=，使24b ac -与24b ac '-'相等？若能，请写出所作的新的方程（b '，c '需用a ，b ，c 表示），并说明理由；若不能，也请说明理由．【答案】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，见解析.【解析】【分析】（1）先根据已知条件每个方程的二次项系数都是2，且每个方程的24b ac -的值也都是1，但每个方程的解与已知的5个方程的解都不相同这个条件，再根据根的判别式即可求出答案.（2）根据（1）可得出一个新方程20ax b x c '+'+＝，使24b ac -与24b ac '-'相等.【解析】（1）答案不惟一，如2227602310x x x x -+=-+=，；（2）能，所作的新方程为2(2)()0ax b a x a b c +++++=．通过观察可以发现2b b a c a b c ''=+=++，．【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题时要找出规律，得出新的方程是此题的关键.35．阅读下列材料：解方程：x 4﹣6x 2+5＝0．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣6y +5＝0…①，解这个方程得：y 1＝1，y 2＝5．当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝5时，x 2＝5，∴x ＝所以原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3x 4在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）解方程（x 2﹣x ）2﹣4（x 2﹣x ）﹣12＝0时，若设y ＝x 2﹣x ，则原方程可转化为 ；求出x（2）利用换元法解方程：224224x x x x -+-＝2．【答案】（1）y 2﹣4y ﹣12＝0，x 1＝-2，x 2＝3；（2）x 1＝x 2＝1【分析】（1）直接代入得关于y 的方程，然后进行计算，即可得到结果；（2）设y=224x x -把分式方程变形后求解，把解代入设中求出x 的值． 【解析】解：（1）设y ＝x 2﹣x ，原方程可变形为：y 2﹣4y ﹣12＝0故答案为：y 2﹣4y ﹣12＝0 ，∴(6)(2)0y y -+=，∴6y =或2y =-，∴26x x -=或22x x -=-解得：x 1＝-2，x 2＝3． （2）设y ＝224x x -，则2412x x y-=， 原方程变形为：120y y+-=， 去分母，得y 2﹣2y +1＝0，即（y ﹣1）2＝0解得，y 1＝y 2＝1经检验，y ＝1是分式方程的根． ∴224x x -＝1， 即x 2﹣2x ﹣4＝0解得：x 1＝x 2＝1经检验，∴原分式方程的解为：x 1＝x 2＝1【点睛】本题考查了一元二次方程、分式方程的解法．看懂题例理解换元法是关键．换元法的一般步骤有：设元、换元、解元、还原几步．注意应用换元法解分式方程，注意验根．36．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =⋅，作为第一列，2y 项系数12c c c =⋅，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=⨯，623=⨯，而51312=⨯+⨯；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=⨯，1262-=-⨯，而4121(6)-=⨯+⨯-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=⨯，3(1)(3)=-⨯-，3(3)1-=-⨯；满足41(3)1(1)-=⨯-+⨯-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=⨯-+⨯=-⨯-+-⨯；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【答案】（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-⎧⎨=⎩和24x y =⎧⎨=-⎩【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；。
人教版数学九年级上册《公式法解一元二次方程》ppt课件
三、用公式法解一元二次方程
例1、解方程 2x2 5x 3 0 解： a 2,b 5,c 3
注意符号
b2 4ac 52 4 2 3
=49
x 5 49 5 7
22
4
x1
1 2
,
x2
3
一 般 步 骤：
1.把方程化为一般形式
ax2 bx c 0 a 0
2.写出方程的各项系数与常数项a、b、c ３.求出 b2 4ac，看b2 4ac 是否大于等于０
所以，方程有两个相等的实数根。
一 1、化为一般式，确定 a、b、c 的值.
般
2、计算 的值，确定 的符号.
步
骤 3、判别根的情况，得出结论.
：
你会了吗？来练一下吧！ 我相信你肯定行！
练习 不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1) 1 x2 3x 8； 4
(2)5 t2 1 7t 0.
订正
b2 2a
4ac
;
x2
b
b2 4ac ;
2a
当b2 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的
实数根： 当b2
x1
x2
b 2a
;
4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况 b2 4ac
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
b2 4ac 2 3 2 4 13 0
x 2 3 0 2 3 3
2 1
2
x1 x2 0
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
相等的实数根.
四、练习
１、用公式法解方程